Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 241Soru →

Birer tam sayı olan aa, bb ve cc sayılarından biri pozitif, biri negatif, diğeri ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Bu sayılar için,
- cb⋅a>0c^b \cdot a > 0
- ca<0c^a < 0
- a−c=5a - c = 5
- a⋅c+b=−6a \cdot c + b = -6

eşitlik ve eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen ifadenin değeri 16 olarak bulunur.
Verilen koşullardan b=0b = 0, a=3a = 3 ve c=−2c = -2 tam sayıları elde edilir. Bu değerler a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr tam sayının belirlenmesi
b=0b = 0
Tam sayılarda işareti olmayan (nötr) tek sayı 00 olduğundan ve aa ile cc sıfır olamayacağından (sıfır olsalardı eşitsizlikler sağlanmazdı) b=0b = 0 olmalıdır.
2
aa ve cc sayılarının işaretlerinin belirlenmesi
a>0a > 0 ve c<0c < 0
cb⋅a>0c^b \cdot a > 0 eşitsizliğinde b=0b = 0 yazıldığında c0⋅a>0  ⟹  a>0c^0 \cdot a > 0 \implies a > 0 elde edilir. Sayılardan biri pozitif, biri negatif, biri nötr olduğundan aa pozitif ve cc negatif olmalıdır.
3
aa ve cc değerlerinin bulunması
a=3a = 3 ve c=−2c = -2
a⋅c=−6a \cdot c = -6 ve a−c=5a - c = 5 denklem sisteminin negatif/pozitif tam sayı çözümleri (3,−2)(3, -2) ve (2,−3)(2, -3)'tür. ca<0c^a < 0 eşitsizliğinde taban negatif olduğundan üssün tek sayı olması gerekir. Bu durumda a=3a = 3 (tek) ve c=−2c = -2 çözümü sağlanır.
4
İstenen ifadenin değerinin hesaplanması
16
a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde değerler yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Üs, İşaret ve Nötr Eleman Kuralları
Soru 242Soru →

Bir dijital tartı, üzerine konulan paketlerin gram cinsinden üç basamaklı ağırlıklarını; yüzler basamağındaki rakamı onlar basamağına, onlar basamağındaki rakamı birler basamağına, birler basamağındaki rakamı ise yüzler basamağına kaydırarak göstermektedir. Örneğin; gerçek ağırlığı 345345 gram olan bir paketi bu tartı 534534 gram olarak göstermektedir.

Bu tartıya gerçek ağırlıkları sırasıyla üç basamaklı ABCABC ve CABCAB gram olan iki paket ayrı ayrı konulduğunda, tartının gösterdiği değerlerin toplamı 798798 gram olmaktadır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Rakamların toplamı 12'dir.
Yapılan basamak analizi ve rakam kısıtları incelemesi sonucunda, birinci paketin gerçek ağırlığının ABC=534ABC = 534 olduğu ve bu sayının rakamları toplamının 12 olduğu belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Tartının rakamları kaydırma kuralını çözümleyelim ve paketlerin gösterilen ağırlıklarını bulalım.
Gerçek ağırlığı ABCABC olan paketin yüzler basamağı (AA) onlar basamağına, onlar basamağı (BB) birler basamağına, birler basamağı (CC) ise yüzler basamağına geçer. Dolayısıyla bu paket tartıda CABCAB olarak görünür. Benzer şekilde, gerçek ağırlığı CABCAB olan paketin yüzler basamağı (CC) onlar basamağına, onlar basamağı (AA) birler basamağına, birler basamağı (BB) yüzler basamağına geçer. Bu paket de tartıda BCABCA olarak görünür.
Tartının çalışma mekanizmasını basamak analiziyle ifade etmek için bu adım gereklidir.
2
Tartıda gösterilen değerlerin toplamını basamak çözümlemesi yöntemiyle yazalım.
CAB+BCA=798CAB + BCA = 798 olup çözümleme yapıldığında:
(100C+10A+B)+(100B+10C+A)=798(100C + 10A + B) + (100B + 10C + A) = 798
11A+101B+110C=79811A + 101B + 110C = 798 elde edilir.
Üç basamaklı sayıların toplamını tek bir denklemde birleştirmek için çözümleme yapılır.
3
Elde edilen 11A+101B+110C=79811A + 101B + 110C = 798 denklemini rakamların sınırların�� kullanarak çözelim.
Denklemin her iki tarafının 10 ile bölümünden kalana bakalım:
11A+101B+110C≡A+B≡8(mod10)11A + 101B + 110C \equiv A + B \equiv 8 \pmod{10} (çünkü 798 sayısının birler basamağı 8'dir).
AA ve BB birer rakam ve sayılar üç basamaklı olduğundan A≥1,B≥1A \ge 1, B \ge 1 olmalıdır. Dolayısıyla A+B=8A + B = 8 veya A+B=18A + B = 18 olabilir.
- Eğer A+B=18A + B = 18 ise, A=9A = 9 ve B=9B = 9 olmalıdır. Denklemde yerine yazarsak:
11(9)+101(9)+110C=798⇒1008+110C=79811(9) + 101(9) + 110C = 798 \Rightarrow 1008 + 110C = 798 olur ki bu durumda CC negatif bir değer alır. Dolayısıyla bu durum imkansızdır.
- Eğer A+B=8A + B = 8 ise, A=8−BA = 8 - B yazabiliriz. Denklemde yerine koyalım:
11(8−B)+101B+110C=79811(8 - B) + 101B + 110C = 798
88−11B+101B+110C=79888 - 11B + 101B + 110C = 798
90B+110C=710⇒9B+11C=7190B + 110C = 710 \Rightarrow 9B + 11C = 71 elde edilir.
9B+11C=719B + 11C = 71 denkleminde CC rakamına değerler verelim:
C=4C = 4 için 9B+44=71⇒9B=27⇒B=39B + 44 = 71 \Rightarrow 9B = 27 \Rightarrow B = 3 olur.
Bu durumda A=8−3=5A = 8 - 3 = 5 bulunur. Diğer hiçbir CC rakamı için BB bir tam sayı (rakam) çıkmaz.
Rakam olma koşulunu ve basamak değerlerini doğru uygulayarak bilinmeyenleri tek tek bulmak için bu analiz gereklidir.
4
Bulunan rakamların toplamını hesaplayalım.
A+B+C=5+3+4=12A + B + C = 5 + 3 + 4 = 12
Soruda bizden istenen nihai toplama ulaşmak için bu işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 243Soru →

Bir nn pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı S(n)S(n), farklı asal çarpanlarının sayısı ise C(n)C(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
S(n)⋅C(n)=n−11S(n) \cdot C(n) = n - 11
eşitliğini sağlayan tüm nn sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 86

Cevap

Denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayılar 35 ve 51'dir. Bu sayıların toplamı 86'dır.
Doğru cevap olan 86 sayısı, denklemi sağlayan iki basamaklı doğal sayıların (3535 ve 5151) toplamıdır. Çözüm adımlarında görüldüğü üzere C(n)=2C(n)=2 durumunda (p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2)=15 denklemi elde edilir ve buradan n=35n = 35 ile n=51n = 51 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Farklı asal çarpan sayısı C(n)C(n) değerine göre durumları sınıflandıralım.
C(n)C(n) değeri 1, 2 veya 3 olabilir.
İki basamaklı sayıların en fazla 3 farklı asal çarpanı olabilir (en küçük 4 farklı asal çarpanın çarpımı 2⋅3⋅5⋅7=2102 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 olup iki basamaklı değildir).
2
C(n)=1C(n) = 1 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pkn = p^k (pp asal, k≥1k \geq 1) şeklindedir.
p⋅1=pk−11⇒p(pk−1−1)=11p \cdot 1 = p^k - 11 \Rightarrow p(p^{k-1} - 1) = 11 elde edilir. 11 asal olduğundan p=11p=11 ve 11k−1−1=1⇒11k−1=211^{k-1}-1=1 \Rightarrow 11^{k-1}=2 olur ki bunun tam sayı çözümü yoktur.
Tek asal çarpanı olan sayıların denklemi sağlayıp sağlamadığını belirlemek için.
3
C(n)=2C(n) = 2 durumunu inceleyelim. Bu durumda n=pa⋅qbn = p^a \cdot q^b (p<qp < q asal, a,b≥1a, b \geq 1) şeklindedir. Denklem 2(p+q)=paqb−112(p+q) = p^a q^b - 11 olur.
paqb−2p−2q=11p^a q^b - 2p - 2q = 11 eşitliği elde edilir.
İki farklı asal çarpanı olan sayıların denklemini oluşturmak için.
4
a=1a=1 ve b=1b=1 durumu için elde edilen pq−2p−2q=11pq - 2p - 2q = 11 denklemini çarpanlarına ayıralım.
pq−2p−2q+4=11+4⇒(p−2)(q−2)=15pq - 2p - 2q + 4 = 11 + 4 \Rightarrow (p-2)(q-2) = 15 elde edilir.
Eşitliğin sol tarafını ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırmak için her iki tarafa 4 eklenir.
5
(p−2)(q−2)=15(p-2)(q-2) = 15 denklemini p<qp < q asal sayı koşuluyla çözelim.
15'in çarpanları göz önüne alındığında:
1) p−2=1⇒p=3p-2=1 \Rightarrow p=3 ve q−2=15⇒q=17q-2=15 \Rightarrow q=17 (her ikisi de asal). Buradan n=3⋅17=51n = 3 \cdot 17 = 51 bulunur.
2) p−2=3⇒p=5p-2=3 \Rightarrow p=5 ve q−2=5⇒q=7q-2=5 \Rightarrow q=7 (her ikisi de asal). Buradan n=5⋅7=35n = 5 \cdot 7 = 35 bulunur.
pp ve qq değerlerinin asal sayı olma koşulunu sağlayan durumları bulmak için.
6
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 durumlarını ve C(n)=3C(n) = 3 durumunu kontrol edelim.
a≥2a \geq 2 veya b≥2b \geq 2 için yapılan incelemede asal sayı çözümü gelmez. C(n)=3C(n) = 3 için n≥3(2+3+5)+11=41n \geq 3(2+3+5)+11 = 41 olmalıdır; ancak iki basamaklı ve 3 asal çarpanlı sayılardan (42, 60, 66, 70, 78, 84, 90) hiçbirinin denklemi sağlamadığı görülür.
Tüm olası çözümlerin eksiksiz olarak bulunduğundan emin olmak için.
7
Elde edilen nn değerlerini toplayalım.
35+51=8635 + 51 = 86 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Asal sayılar, asal çarpanlara ayırma ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak iki bilinmeyenli denklemlerin çözümü.
Soru 244Soru →

Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyüğünün faktöriyeline eşittir.

Buna göre, bu sayıların toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen koşula göre oluşturulan x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denkleminde sağ taraf (x+2)(x+1)x!(x+2)(x+1)x! olarak açılır. Sadeleştirme yapıldığında x=x!x = x! eşitliği kalır. Bu eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar sadece 1 ve 2'dir. x=1x = 1 için sayıların toplamı 6, x=2x = 2 için ise 9 olmaktadır. Bu iki değerin toplamı 15 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç pozitif tam sayıyı en küçüğü xx olmak üzere xx, x+1x+1 ve x+2x+2 şeklinde belirleyip denklemi kurmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denklemi elde edilir.
Sözel olarak verilen matematiksel bağıntıyı denklem haline getirmek.
2
Denklemin sağ tarafındaki (x+2)!(x+2)! ifadesini faktöriyel özelliğini kullanarak açmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)⋅(x+1)⋅x!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x! eşitliği elde edilir.
Her iki taraftaki ortak ifadeleri belirlemek.
3
xx pozitif tam sayı olduğundan sıfırdan farklı olan (x+1)⋅(x+2)(x+1) \cdot (x+2) ifadesini sadeleştirmek.
x=x!x = x! denklemi kalır.
Denklemi sadeleştirerek çözümü kolaylaştırmak.
4
x=x!x = x! eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı değerlerini bulmak.
1!=11! = 1 olduğundan x=1x = 1 ve 2!=22! = 2 olduğundan x=2x = 2 bulunur. x≥3x \geq 3 için x!>xx! > x olduğundan başka çözüm yoktur.
Faktöriyel tanımına uyan tüm kökleri belirlemek.
5
Elde edilen xx değerleri için sayı gruplarının toplamını hesaplayıp toplamak.
x=1x=1 için sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66 olur. x=2x=2 için sayılar 2,3,42, 3, 4 olup toplamları 99 olur. Bu iki toplamın toplamı 6+9=156 + 9 = 15 bulunur.
İstenen farklı değerlerin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve sadeleştirme kuralları
Soru 245Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısının onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 3 katıdır. Bu sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı sayı ile başlangıçtaki sayının toplamı 88 olduğuna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Rakamların çarpımı olan 12 sayısı doğru cevaptır.
Doğru seçenekte belirtilen 12 değeri, basamak çözümleme adımları ve verilen basamak ilişkisi doğru uygulandığında elde edilen rakamların çarpımıdır. Onlar basamağı 6, birler basamağı 2 olan sayı 62'dir. Bu sayının rakamları yer değiştirdiğinde 26 elde edilir ve 62+26=8862 + 26 = 88 şartı sağlanır. Rakamların çarpımı ise 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı AB sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B
Sayıyı oluşturan rakamların basamak değerlerini cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Rakamlarının yerleri değiştirildiğinde oluşan BA sayısını çözümleyelim ve bu iki sayının toplamını yazalım.
BA=10B+ABA = 10B + A ve AB+BA=11A+11B=11(A+B)=88AB + BA = 11A + 11B = 11(A + B) = 88
Soruda verilen toplam bilgisini cebirsel eşitliğe dönüştürmek için.
3
11(A+B)=8811(A + B) = 88 denkleminden rakamlar toplamını bulalım.
A+B=8A + B = 8
Basamakların toplam değerini yalnız bırakmak için.
4
Soruda verilen onlar basamağındaki rakamın birler basamağındaki rakamın 3 katı olduğu bilgisini (A=3BA = 3B) yerine koyarak rakamları bulalım.
3B+B=8  ⟹  4B=8  ⟹  B=23B + B = 8 \implies 4B = 8 \implies B = 2 ve A=6A = 6
Elde edilen denklem sistemini çözerek rakamların tekil değerlerine ulaşmak için.
5
Bulunan rakamların çarpımını hesaplayalım.
A⋅B=6⋅2=12A \cdot B = 6 \cdot 2 = 12
Soruda bizden istenen çarpım sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümleme ve Analiz
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 246Soru →
A={−4, 06, 123, 5, −94, 7}A = \left\{-\sqrt{4},\, 0{}6,\, \frac{12}{3},\, \sqrt{5},\, -\frac{9}{4},\, 7\right\} kümesinin elemanlarından kaç tanesi rasyonel sayı olmasına rağmen tam sayı değildir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Kümenin elemanlarından rasyonel sayı olup tam sayı olmayan elemanlar 0,6 ve -9/4 olmak üzere 2 tanedir.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; −4=−2-\sqrt{4} = -2, 123=4\frac{12}{3} = 4 ve 77 sayıları tam sayılardır. 5\sqrt{5} sayısı irrasyoneldir. Geriye kalan 060{}6 ondalık sayısı ve −94-\frac{9}{4} kesirli sayısı ise rasyonel sayı olmalarına rağmen birer tam sayı değillerdir. Bu nedenle koşulu sağlayan eleman sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın değerini sadeleştirerek ait oldukları sayı kümelerini sınıflandıralım.
−4=−2∈Z-\sqrt{4} = -2 \in \mathbb{Z}, 06=35∈Q0{}6 = \frac{3}{5} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}), 123=4∈Z\frac{12}{3} = 4 \in \mathbb{Z}, 5∈Q′\sqrt{5} \in \mathbb{Q}' (irrasyonel), −94∈Q-\frac{9}{4} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}), 7∈Z7 \in \mathbb{Z}'dir.
Elemanların sayı kümeleri içerisindeki tam konumlarını belirlemek için.
2
Rasyonel sayılar kümesinde (Q\mathbb{Q}) yer alıp tam sayılar kümesinde (Z\mathbb{Z}) yer almayan elemanları seçip sayalım.
Bu koşulu sağlayan elemanlar 060{}6 ve −94-\frac{9}{4} sayılarıdır. Toplamda 2 eleman bulunur.
Soruda bizden istenen rasyonel olup tam sayı olmayan eleman sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, İrrasyonel Sayılar) arasındaki ilişkiler ve elemanların sadeleştirilerek sınıflandırılması.
Soru 247Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, x3⋅(x−2)2≥0x^3 \cdot (x - 2)^2 \ge 0 eşitsizliğini sağlayan her xx sayısı pozitif bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (False).
Doğru cevap önermenin yanlış olduğudur. Çünkü eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan x=0x = 0 değeri pozitif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki (x−2)2(x-2)^2 ifadesinin işaret durumunu incelemek.
Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, her xx gerçel sayısı için (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 olur. İfade sadece x=2x = 2 için sıfıra eşittir, diğer tüm durumlarda pozitiftir.
Çift kuvvetli gerçel sayı ifadelerinin negatif olamayacağı kuralını uygulamak.
2
x3⋅(x−2)2≥0x^3 \cdot (x-2)^2 \ge 0 eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini belirlemek.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması için ya (x−2)2=0(x-2)^2 = 0 (yani x=2x = 2) ya da x3≥0x^3 \ge 0 (yani x≥0x \ge 0) olmalıdır. Bu koşulların birleşimi bize x≥0x \ge 0 çözüm kümesini verir.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşitlik ve pozitiflik durumlarını analiz ederek genel çözüm kümesini oluşturmak.
3
Bulunan çözüm kümesindeki elemanların pozitiflik özelliklerini incelemek.
x≥0x \ge 0 çözüm kümesinde x=0x = 0 elemanı yer alır. 00 sayısı pozitif veya negatif olmayan, işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Dolayısıyla kümedeki tüm elemanlar pozitif değildir.
Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma tanımını kullanarak önermenin doğruluk değerini kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve çift kuvvetli ifadelerin negatif olmama özelliği
Soru 248Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−y!=119⋅y!x! - y! = 119 \cdot y!
eşitliğini sağlayan x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 254

Cevap

Farklı x+yx + y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 254'tür.
Doğru cevap olan değer, denklem düzenlendiğinde elde edilen x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğini sağlayan tüm geçerli pozitif tam sayı ikililerinin (x=120,y=119x=120, y=119), (x=6,y=3x=6, y=3) ve (x=5,y=1x=5, y=1) toplamları olan 239, 9 ve 6 sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde ortak terimleri bir araya getirmek için −y!-y! ifadesini eşitliğin sağ tarafına atalım.
x!=119⋅y!+y!  ⟹  x!=120⋅y!x! = 119 \cdot y! + y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edilir.
Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirmek ve oranlamak için ortak paranteze alma işlemi uygulanır.
2
Eşitliğin her iki tarafını y!y! ifadesine bölerek oranlayalım.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 elde edilir.
x!x! ifadesinin y!y! cinsinden açılımını yaparak ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=120\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 120 eşitliğini sağlayan ardışık çarpan gruplarını belirleyelim.
120 sayısı şu şekillerde ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1) Tek çarpan: 120120 (Bu durumda x=120x = 120 ve y+1=120  ⟹  y=119y+1 = 120 \implies y = 119 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239)
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 (Bu durumda x=6x = 6 ve y+1=4  ⟹  y=3y+1 = 4 \implies y = 3 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=6+3=9x+y = 6 + 3 = 9)
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 (Bu durumda x=5x = 5 ve y+1=2  ⟹  y=1y+1 = 2 \implies y = 1 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=5+1=6x+y = 5 + 1 = 6)
120'nin ardışık pozitif tam sayı çarpan kombinasyonlarını bulmak.
4
Olası diğer durumları kontrol edelim.
5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 yazıldığında x=5x = 5 ve y+1=1  ⟹  y=0y+1 = 1 \implies y = 0 olur. Ancak soruda yy'nin pozitif tam sayı olması gerektiği belirtildiğinden bu durum elenir. Başka ardışık çarpan grubu da yoktur.
Soruda verilen küme tanımına (pozitif tam sayı) göre sınırları ve uç durumları kontrol etmek.
5
Elde edilen farklı x+yx + y değerlerini toplayalım.
239+9+6=254239 + 9 + 6 = 254 bulunur.
Farklı x+yx+y toplamlarının toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında sadeleştirme ve ardışık sayı çarpımları şeklinde yazma kuralları.
Soru 249Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya iki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarını yazarak öğrencilerinden bu iki sayının çarpımını bulmalarını istemiştir.

Öğrencilerden Can, yanlışlıkla ABAB sayısının onlar basamağındaki rakamı 2 azaltıp, BABA sayısının onlar basamağındaki rakamı 2 artırarak çarpma işlemini yapmış ve bulduğu sonucun doğru sonuçtan 140 fazla olduğunu görmüştür.

Buna göre, A−BA - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

A - B farkının değeri 3'tür.
Yapılan işlemler sonucunda (AB−20)(BA+20)−AB⋅BA=140(AB - 20)(BA + 20) - AB \cdot BA = 140 denklemi elde edilir. Bu denklem açılıp düzenlendiğinde 20(AB−BA)−400=14020(AB - BA) - 400 = 140 ve buradan AB−BA=27AB - BA = 27 bulunur. Basamak çözümlemesi yapıldığında 9(A−B)=279(A - B) = 27 eşitliğinden A−B=3A - B = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yeni sayıların değerlerini belirlemek
ABAB sayısının onlar basamağı 2 azaltıld��ğından yeni sayı AB−20AB - 20, BABA sayısının onlar basamağı 2 artırıldığından yeni sayı BA+20BA + 20 olur.
Onlar basamağındaki 2 birimlik değişim, sayının değerini 20 birim etkiler.
2
Çarpımlar arasındaki farkı denklem olarak ifade etmek ve sadeleştirmek
(AB−20)(BA+20)−AB⋅BA=140⇒AB⋅BA+20(AB)−20(BA)−400−AB⋅BA=140⇒20(AB−BA)=540⇒AB−BA=27(AB - 20)(BA + 20) - AB \cdot BA = 140 \Rightarrow AB \cdot BA + 20(AB) - 20(BA) - 400 - AB \cdot BA = 140 \Rightarrow 20(AB - BA) = 540 \Rightarrow AB - BA = 27 olur.
Çarpma işleminin dağılma özelliği kullanılarak ortak terimler sadeleştirilir ve iki basamaklı sayıların farkı yalnız bırakılır.
3
Çözümleme yaparak rakamlar arasındaki farkı bulmak
AB−BA=(10A+B)−(10B+A)=9(A−B)=27⇒A−B=3AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B) = 27 \Rightarrow A - B = 3 bulunur.
İki basamaklı sayıların farkı çözümlenerek rakam farkına ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle çözülmesi, basamak değerindeki değişimlerin sayı değerine etkisinin incelenmesi.
Soru 250Soru →

aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,

a⋅b∈Za \cdot b \in \mathbb{Z}
bc∈Q∖Z\frac{b}{c} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
a+c=0a + c = 0

olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. aa irrasyonel sayı ise bb de irrasyoneldir.
II. cc tam sayı ise bb de tam sayıdır.
III. bb rasyonel sayı ise aa tam sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Sadece birinci ifade her zaman doğrudur. Eğer aa irrasyonel ve bb rasyonel olsaydı, rasyonel sayıların kapalılık özelliği gereği a=a⋅bba = \frac{a \cdot b}{b} ifadesinin de rasyonel olması gerekirdi (çünkü a⋅ba \cdot b bir tam sayıdır yani rasyoneldir, bb de sıfırdan farklı bir rasyoneldir). Bu durum aa'nın irrasyonel olması kabulü ile çelişirdi. Dolayısıyla birinci ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullardan yola çıkarak sayıların sıfırdan farklı olduğunu belirleme.
bc\frac{b}{c} ifadesi tanımlı olduğundan c≠0c \neq 0 olur. a+c=0  ⟹  a=−ca + c = 0 \implies a = -c olduğundan a≠0a \neq 0 olur. bc∈Q∖Z\frac{b}{c} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ifadesi tam sayı olmadığından pay kısmı olan bb sıfır olamaz (b≠0b \neq 0).
Tanımlılık ve tam sayı olmama durumlarını analiz ederek sayıların sıfır olup olmadığını netleştirmek için.
2
Birinci öncülü irrasyonel ve rasyonel sayıların çarpımsal özellikleri yardımıyla analiz etme.
aa irrasyonel sayı olsun. Kabul edelim ki bb rasyonel sayı olsun. b≠0b \neq 0 olduğundan 1b\frac{1}{b} de bir rasyonel sayıdır. a⋅b=k∈Za \cdot b = k \in \mathbb{Z} (tam sayılar aynı zamanda rasyoneldir) olduğundan, a=k⋅1ba = k \cdot \frac{1}{b} eşitliği elde edilir. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olacağından aa rasyonel sayı olmalıdır. Bu durum aa'nın irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, aa irrasyonel ise bb mutlaka irrasyonel olmalıdır.
Çelişki yöntemi kullanarak irrasyonel-rasyonel çarpım kurallarını doğrulamak için.
3
İkinci öncül için karşıt örnek arama.
c=−2c = -2 (bir tam sayı) seçelim. Bu durumda a=−c=2a = -c = 2 olur. b=12b = \frac{1}{2} alalım. Koşulları kontrol edelim: a⋅b=2⋅12=1∈Za \cdot b = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \in \mathbb{Z} (sağlanır), bc=1/2−2=−14∈Q∖Z\frac{b}{c} = \frac{1/2}{-2} = -\frac{1}{4} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (sağlanır), a+c=2+(−2)=0a + c = 2 + (-2) = 0 (sağlanır). Ancak bu durumda b=12b = \frac{1}{2} bir tam sayı değildir. Dolayısıyla ikinci öncül her zaman doğru değildir.
Verilen koşulları sağlayan ancak öncülü bozan bir karşıt örnek bularak öncülün doğruluğunu test etmek için.
4
Üçüncü öncül için karşıt örnek arama.
b=3b = 3 (rasyonel sayı) ve a=23a = \frac{2}{3} (rasyonel fakat tam sayı değil) seçelim. Bu durumda c=−a=−23c = -a = -\frac{2}{3} olur. Koşulları kontrol edelim: a⋅b=23⋅3=2∈Za \cdot b = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \in \mathbb{Z} (sağlanır), bc=3−2/3=−92∈Q∖Z\frac{b}{c} = \frac{3}{-2/3} = -\frac{9}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (sağlanır), a+c=23−23=0a + c = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 (sağlanır). Ancak bu durumda a=23a = \frac{2}{3} bir tam sayı değildir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğru değildir.
Rasyonel sayıların tam sayılar kümesini kapsadığını fakat her rasyonel sayının tam sayı olmadığını gösteren bir karşıt örnek bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin özellikleri ve kapalılık kuralları (Tam sayılar, Rasyonel sayılar ve İrrasyonel sayılar arasındaki ilişkiler)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 251Soru →

Birden büyük bir nn tam sayısı için,

(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=90\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 90

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Kesirli ifadenin payı n!n! parantezine alındığında n⋅n!n \cdot n!, paydası (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında ise n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! elde edilir. Bu değerler oranlandığında nn çarpanları sadeleşir ve geriye kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi açıldığında n(n−1)=90n(n-1) = 90 denklemi oluşur. Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayı 10 ve 9 olduğundan, nn değeri 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki (n+1)!−n!(n+1)! - n! ifadesini ortak çarpan parantezine almak amacıyla en küçük terim olan n!n! cinsinden yazıp paranteze alalım.
(n+1)⋅n!−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1) \cdot n! - n! = n! \cdot (n + 1 - 1) = n \cdot n! elde edilir.
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılıp ortak paranteze alınır.
2
Payda kısmındaki (n−1)!+(n−2)!(n-1)! + (n-2)! ifadesini en küçük terim olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
(n−1)⋅(n−2)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1) \cdot (n-2)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n - 1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Payda kısmındaki ifadeyi de sadeleştirmeye hazırlamak amacıyla benzer şekilde en küçük faktöriyel teriminin parantezine alırız.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n⋅(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n \cdot (n-1) ifadesine ulaşılır.
Kesrin pay ve paydasındaki ortak nn çarpanları sadeleşir. Ardından kalan n!n! ifadesi (n−2)!(n-2)! çarpanını içerecek şekilde açılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
n⋅(n−1)=90n \cdot (n-1) = 90 denklemini çözerek pozitif tam sayı olan nn değerini bulalım.
n⋅(n−1)=10⋅9=90n \cdot (n-1) = 10 \cdot 9 = 90 eşitliğinden n=10n = 10 olarak bulunur.
Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayıdan büyük olanı nn, küçük olanı ise n−1n-1'dir. Buradan büyük sayı olan nn, 10 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme
Soru 252Soru →

Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} ile gösterilmektedir.

A={x∈R∣x2∈N} A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{N}\}
B={x∈R∣12x2+1∈Z} B = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{12}{x^2 + 1} \in \mathbb{Z}\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Kesişim kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Kesişim kümesindeki elemanlar hem x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} hem de 12x2+1∈Z\frac{12}{x^2+1} \in \mathbb{Z} koşulunu sağlamalıdır. İkinci koşuldan elde edilen x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k}-1 ifadesinin bir doğal sayı olabilmesi için kk sayısı 12'nin pozitif bölenleri olmalıdır. Bu bölenler için x2x^2 değerleri 11,5,3,2,1,011, 5, 3, 2, 1, 0 olarak bulunur. Pozitif olan 5 adet kare değeri için ikişer adet (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), sıfır değeri için ise tek bir xx gerçel sayısı bulunur. Böylece kesişim kümesinin eleman sayısı 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
B kümesinin eleman tanımından yola çıkarak 12x2+1\frac{12}{x^2+1} ifadesini bir kk tam sayısına eşitlemek ve x2+1≥1x^2+1 \geq 1 eşitsizliğini kullanarak kk değer aralığını bulmak.
k∈{1,2,3,…,12}k \in \{1, 2, 3, \dots, 12\} aralığında olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde bir sayının karesi en az sıfır olabileceğinden payda en az 1 olur. Pozitif bir sayının en az 1 olan bir sayıya bölümü pozitif olup en fazla 12 olabilir.
2
A kümesinin eleman koşulu olan x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} şartını kesişim kümesine uygulamak.
x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k} - 1 ifadesinin doğal sayı olması için kk sayısının 12'nin pozitif bölenleri (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) olması gerekir.
Kesişim kümesindeki elemanların karelerinin doğal sayı (yani negatif olmayan bir tam sayı) olması şartı aranır. 12k−1\frac{12}{k} - 1 ifadesinin tam sayı olması için kk sayısı 12'yi tam bölmelidir.
3
Bölen kk değerleri için xx gerçel sayılarını elde edip eleman sayısını hesaplamak.
k∈{1,2,3,4,6}k \in \{1, 2, 3, 4, 6\} için ikişer adet gerçel sayı (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), k=12k = 12 için ise tek bir gerçel sayı (x=0x = 0) elde edilir. Toplam eleman sayısı 11'dir.
Pozitif tam sayıların karekökü iki farklı gerçel sayı (biri pozitif, diğeri negatif) verirken, sıfırın karekökü yalnızca sıfır değerini verir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların ayırt edilmesi ve küme kesişim işleminin eleman analizi.
Soru 253Soru →

Bir pozitif tam sayının basamaklarındaki rakamların toplamı T(n)T(n) ile gösteriliyor.

AA ve BB üç basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A+B=1000 A + B = 1000
T(A)+T(B)=28 T(A) + T(B) = 28
eşitliklerini sağlayan kaç farklı AA sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Koşulları sağlayan 720 farklı A sayısı vardır.
Üç basamaklı iki sayının toplamının 1000 olması ve rakamları toplamının 28 olması koşulu, toplama işlemindeki elde geçişlerinin incelenmesiyle çözülür. Birler basamağında c+f=10c+f=10 olup onlar basamağına 1 elde aktarılır. Onlar basamağında b+e=9b+e=9 olup yüzler basamağına 1 elde aktarılır. Yüzler basamağında ise a+d=9a+d=9 bulunur. A=abcA=abc sayısı için a∈{1,2,...,8}a \in \{1, 2, ..., 8\} (8 adet), b∈{0,1,...,9}b \in \{0, 1, ..., 9\} (10 adet) ve c∈{1,2,...,9}c \in \{1, 2, ..., 9\} (9 adet) olmak üzere bağımsız seçimlerin çarpımıyla 8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B üç basamaklı sayılarını basamaklarına ayırarak çözümleme ve rakamlar toplamı denklemlerini yazmak.
A=abcA = abc ve B=defB = def olsun. 100(a+d)+10(b+e)+(c+f)=1000100(a+d) + 10(b+e) + (c+f) = 1000 ve (a+d)+(b+e)+(c+f)=28(a+d) + (b+e) + (c+f) = 28 elde edilir.
Toplama işleminin ve rakamlar toplamının basamaklar düzeyindeki matematiksel ifadesini oluşturmak gerekir.
2
Toplama işleminde birler basamağından onlar basamağına geçen elde durumunu analiz etmek.
c+f=10c + f = 10 olmak zorundadır. c+f=0c + f = 0 durumu rakamlar toplamını 28 yapamaz.
Elde geçişi olmadan toplamın birler basamağının sıfır olması sadece c=f=0c=f=0 ile mümkündür ancak bu durum rakamlar toplamı şartını sağlamaz.
3
Onlar ve yüzler basamağındaki elde durumlarını belirlemek.
b+e=9b + e = 9 ve a+d=9a + d = 9 elde edilir.
Birler basamağından gelen 1 eldenin onlar basamağında da 1 elde oluşturup yüzler basamağına aktarması ve toplamın 1000 olmasını sağlaması gerekir.
4
A=abcA = abc sayısının her bir basamağındaki rakamların alabileceği farklı değer sayılarını belirlemek.
aa için 8 farklı değer (1'den 8'e kadar), bb için 10 farklı değer (0'dan 9'a kadar), cc için 9 farklı değer (1'den 9'a kadar) bulunur.
AA ve BB sayılarının üç basamaklı olma şartları (a≥1,d≥1a \ge 1, d \ge 1) ve basamak ilişkileri kullanılarak sınır değerler hesaplanır.
5
Bağımsız basamak seçimlerini çarparak toplam olasılık sayısını bulmak.
8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı AA sayısı elde edilir.
Basamak seçimleri birbirinden bağımsız olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, basamak çözümleme ve toplama işleminde elde geçişlerinin rakamlar toplamı üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 254Soru →

Üç basamaklı A3BA3B doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 300 fazladır.

Buna göre, AA rakamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

A rakamı 3 olmalıdır.
Verilen sayıların çözümlenmiş hallerinin farkı alındığında BB rakamları sadeleşir ve geriye 90A+30=30090A + 30 = 300 eşitliği kalır. Buradan 90A=27090A = 270 ve A=3A = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen A3BA3B ve ABAB sayılarını basamaklarına çözümleyelim.
A3B=100A+30+BA3B = 100A + 30 + B ve AB=10A+BAB = 10A + B olarak yazılır.
Sayıların basamak değerlerini cebirsel olarak ifade ederek aralarındaki farkı bulabilmek için.
2
A3BA3B sayısının ABAB sayısından 300 fazla olduğu bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
(100A+30+B)−(10A+B)=300(100A + 30 + B) - (10A + B) = 300 denklemi elde edilir.
Soruda verilen sayısal ilişkiyi bir eşitlik halinde yazmak için.
3
Elde edilen denklemde gerekli sadeleştirmeleri yaparak AA değerini bulalım.
90A+30=300  ⟹  90A=270  ⟹  A=390A + 30 = 300 \implies 90A = 270 \implies A = 3 bulunur.
Denklemi çözüp bilinmeyen AA rakamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Basamak çözümlemesinde her rakam bulunduğu basamağın değeri ile çarpılır.
Soru 255Soru →
7!−6!5!\frac{7! - 6!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İşlemin sonucu otuz altı olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmındaki 7!−6!7! - 6! ifadesi, 7⋅6!−6!=6!(7−1)=6!⋅67 \cdot 6! - 6! = 6!(7 - 1) = 6! \cdot 6 şeklinde ortak çarpan parantezine alınır. Elde edilen bu ifade paydadaki 5!5! ile bölündüğünde 6!⋅65!=6⋅5!⋅65!\frac{6! \cdot 6}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} olur. Pay ve paydadaki 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 6⋅66 \cdot 6 çarpımının sonucu otuz altı olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazın.
7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olduğundan pay kısmı 7⋅6!−6!7 \cdot 6! - 6! olur.
Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma işlemi yapabilmek için terimleri aynı cinsten yazmak gerekir.
2
Pay kısmını ortak terim olan 6!6! parantezine alın.
6!⋅(7−1)=6!⋅66! \cdot (7 - 1) = 6! \cdot 6 elde edilir.
Dağılma özelliğini tersten uygulayarak ifadeyi çarpım durumuna getirmek sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Elde edilen ifadeyi paydadaki 5!5! ile oranlayarak sadeleştirin.
6!⋅65!=6⋅5!⋅65!=6⋅6=36\frac{6! \cdot 6}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36
6!6! terimi 6⋅5!6 \cdot 5! şeklinde açılarak paydadaki 5!5! terimi ile sadeleştirilir ve sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde büyük olan faktöriyeli küçük olan faktöriyel cinsinden yazarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yapma.
Soru 256Soru →

Bir şehrin üç günlük hava sıcaklıkları Pazartesi günü aa °C, Salı günü bb °C ve Çarşamba günü cc °C olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerleri arasında,

a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0
b⋅c>0b \cdot c > 0
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0

bağıntıları olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (Sıfır sayısı "İşaretsiz" olarak kabul edilecektir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İşaretsiz, -, -

Cevap

Sırasıyla işaretsiz, negatif ve negatif olmalıdır.
Doğru cevap olan sıralamada ilk terim işaretsiz (yani sıfır), diğer iki terim ise negatiftir. a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0 ifadesinde a4a^4 pozitif olduğundan bb negatif olmak zorundadır. b⋅c>0b \cdot c > 0 ifadesinde bb negatif olduğu için cc de negatif olmalıdır. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde bb ve cc sıfır olamayacağına göre aa mutlaka sıfır (işaretsiz) olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini incelemek.
aa, bb veya cc sayılarından en az biri sıfıra eşit olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Çarpımın sonucunun sıfır çıkması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0 eşitsizliğinde bb sayısının işaretini belirlemek.
a≠0a \neq 0 olmalıdır, aksi takdirde bu çarpım sıfır olurdu. Sıfır dışındaki tüm gerçel sayıların çift kuvvetleri (a4a^4) pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için bb negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif bir sayı verir.
3
b⋅c>0b \cdot c > 0 eşitsizliğinde cc sayısının işaretini belirlemek.
bb negatif bir sayı olduğuna göre, çarpımlarının pozitif (>0>0) olabilmesi için cc sayısının da negatif (c<0c < 0) olması gerekir.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif sonuç verir.
4
Sıfır olan değişkeni tespit etmek.
bb ve cc negatif (sıfırdan farklı) olduğuna göre, a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini sağlayan tek değişken a=0a = 0 (işaretsiz) olmalıdır.
Çarpımın sıfır olmasını sağlayan tek aday sıfırdan farklı olmayan aa değişkenidir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaretleri ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 257Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c)
ifadesinin bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅ca \cdot c
II. c⋅(a+b)c \cdot (a + b)
III. ac+ba^c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre, (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) çift ve (b+c)(b+c) tek olduğundan, (a+b)(a+b) toplamı kesinlikle çifttir. Buradan aa ve bb tam sayılarının aynı işaretli pariteye sahip olduğu (ikisi de tek veya ikisi de çift) sonucu çıkar. Diğer taraftan, (b+c)(b+c) tek sayı olduğu için bb ve cc farklı paritelere sahiptir. Bu ilişkilerden yola çıkarak aa ve cc sayılarının da farklı paritelere sahip olduğu bulunur; yani biri tek iken diğeri çift olmak zorundadır. Bu bilgiler ışığında: I. öncüldeki a⋅ca \cdot c ifadesinde çarpanlardan biri çift olduğundan sonuç daima çift tam sayıdır. II. öncüldeki c⋅(a+b)c \cdot (a+b) ifadesinde (a+b)(a+b) bir çift tam sayı olduğundan ve çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı daima çift olduğundan sonuç her zaman çifttir. Dolayısıyla, I ve II öncüllerini barındıran seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin çarpım ve toplam özelliklerini kullanarak (a + b) toplamının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
(a+b)(a + b) ifadesi çift tam sayıdır.
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c) çarpımı bir çift sayıdır ve çarpanlardan biri olan (b+c)(b + c) tek sayıdır. Çarpımın çift sayı olabilmesi için diğer çarpan olan (a+b)(a + b) ifadesinin kesinlikle çift sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin kendi aralarındaki teklik-çiftlik (parite) ilişkilerini incelemek.
aa ile bb aynı paritede, bb ile cc farklı paritede, dolayısıyla aa ile cc farklı paritededir.
(a+b)(a + b) çift olduğundan aa ve bb ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir. (b+c)(b + c) tek olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu iki durum birleştirildiğinde, aa ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin ise kesinlikle çift olduğu anlaşılır.
3
Elde edilen bilgilere göre öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅ca \cdot c) daima çift, II. öncül (c⋅(a+b)c \cdot (a + b)) daima çift, III. öncül (ac+ba^c + b) her zaman çift değildir.
I. aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları olan a⋅ca \cdot c her zaman çifttir. II. (a+b)(a + b) çift bir tam sayı ve cc de bir tam sayı olduğundan, c⋅(a+b)c \cdot (a + b) çarpımı her zaman çifttir. III. cc negatif bir tam sayı olabileceğinden (örneğin c=−1c = -1, a=2a = 2, b=3b = 3 için 2−1+3=3.52^{-1} + 3 = 3.5 rasyonel sayısı elde edilir), teklik veya çiftlikten bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda işlemler ve negatif üs durumunda teklik-çiftlik kavramının incelenmesi.
Soru 258Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+4b3a + 4b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+5a + 5

Cevap

a + 5 ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
a sayısının tek bir tam sayı olduğu belirlendikten sonra, tek bir sayı ile tek bir sayı olan 5 sayısının toplamı her zaman çift bir sayıya eşit olacaktır. Dolayısıyla a + 5 ifadesi her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin bileşenlerini incelemek
4b ifadesi, b bir tam sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır.
Bir tam sayının çift bir sayı olan 4 ile çarpımı her zaman çifttir.
2
a sayısının tekliğini/çiftliğini belirlemek
3a + 4b ifadesinin tek sayı olabilmesi için 3a ifadesinin tek sayı, dolayısıyla a sayısının tek sayı olması gerekir.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı tek sayı sonucunu verir.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift olup olmadığını test etmek
a tek sayı olduğundan, a + 5 (tek + tek) toplamı her zaman çift tam sayıdır. Diğer seçenekler b'nin değerine veya işaretine bağlı olarak her zaman çift sayı belirtmez.
Her zaman doğru olan seçeneği belirlemek ve diğer seçeneklere karşıt örnekler sunmak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 259Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ve
a+b⋅ca + b \cdot c
sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre bb sayısının çift sayı olduğu ve aa ile cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu sonucuna ulaşılır. Buradan hareketle a⋅ca \cdot c çarpımı çift olur ve a⋅c+ba \cdot c + b toplamı da çift sayı olur. Benzer şekilde, bb çift sayı olduğundan b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı da her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
bb sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
bb sayısı kesinlikle çift sayıdır.
Eğer bb tek sayı olsaydı, hem a⋅b+ca \cdot b + c hem de a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi a+ca + c toplamına eşit olurdu. Bu durumda iki ifadenin de teklik-çiftlik karakteri aynı olurdu (ikisi de aynı anda tek veya çift olurdu). Ancak soruda birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bb tek sayı olamaz, çift sayı olmak zorundadır.
2
aa ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
bb çift sayı olduğuna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumu cc sayısının durumuna; a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin durumu ise aa sayısının durumuna bağlıdır. İki ifadenin teklik-çiftlik durumu farklı olduğuna göre, aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Bu durumda a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çift sayı olur.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅c+ba \cdot c + b) çift sayıdır; II. öncül (b⋅(a+c)b \cdot (a + c)) çift sayıdır; III. öncül (ba+cb^a + c) her zaman çift sayı değildir.
I. öncülde a⋅ca \cdot c çift, bb de çift olduğundan toplamları çift sayıdır. II. öncülde bb çift sayı olduğundan, bir çift sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir. III. öncülde aa negatif bir tek sayı (örneğin −1-1) ve b=2b = 2, c=4c = 4 seçilirse ba+c=2−1+4=4.5b^a + c = 2^{-1} + 4 = 4.5 olur ki bu bir tam sayı bile değildir. Dolayısıyla her zaman çift sayı olamaz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulu.
Soru 260Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki bazı noktalar işaretlenerek bir KK kümesi oluşturuluyor:

K={−6; −94; −2; 0; 153; 17}K = \left\{ -6;\, -\frac{9}{4};\, -\sqrt{2};\, 0;\, \frac{15}{3};\, \sqrt{17} \right\}

Bu kümenin elemanlarından;

- Doğal sayı olanların sayısı aa,
- Rasyonel sayı olanların sayısı bb,
- Gerçel (reel) sayı olup rasyonel sayı olmayanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
Kümedeki doğal sayılar 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olmak üzere 2 tanedir (a=2a=2). Rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 55 olmak üzere 4 tanedir (b=4b=4). İrrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olmak üzere 2 tanedir (c=2c=2). Bu değerlerle yapılan a⋅b−ca \cdot b - c işlemi 2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerindeki yerini belirlemek.
−6∈Z⊂Q-6 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, −94∈Q-\frac{9}{4} \in \mathbb{Q}, −2∈Q′-\sqrt{2} \in \mathbb{Q}', 0∈N⊂Q0 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 153=5∈N⊂Q\frac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 17∈Q′.\sqrt{17} \in \mathbb{Q}'.
Soruda istenen aa, bb ve cc değerlerini bulabilmek için küme elemanlarının özelliklerini analiz etmeliyiz.
2
Doğal sayı olan elemanları seçip adetlerini (aa) belirlemek.
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} şeklindedir. Kümedeki doğal sayılar 00 ve 55 (yani 153\frac{15}{3}) olup a=2a = 2 bulunur.
Sıfırın ve tam sayıya sadeleşen kesirlerin doğal sayı olduğunu doğrulamak.
3
Rasyonel sayı olan elemanları seçip adetlerini (bb) belirlemek.
Rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q}, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Kümedeki rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olup b=4b = 4 bulunur.
Tam sayıların ve ondalıklı/kesirli ifadelerin rasyonel sayı olduğunu saptamak.
4
İrrasyonel (rasyonel olmayan gerçel) sayı olan elemanları seçip adetlerini (cc) belirlemek.
Rasyonel olmayan gerçel sayılar irrasyonel sayılardır (Q′\mathbb{Q}'). Kümedeki irrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olup c=2c = 2 bulunur.
Kök dışına tam çıkamayan gerçel sayıların irrasyonel olduğunu belirlemek.
5
a⋅b−ca \cdot b - c ifadesini hesaplamak.
2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 elde edilir.
Bulunan a=2a = 2, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerlerini soruda istenen denklemde yerine yazmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı ve elemanlarının bu kümeler bazında sınıflandırılması (Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, İrrasyonel Sayılar ve Gerçel Sayılar).
ÖncekiSayfa 13 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 13 | Examkin