Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 261Soru →

aa ve bb birer pozitif tam sayıdır.

(a+2)!+(a+1)!+a!(a+1)!−a!=b2\frac{(a+2)! + (a+1)! + a!}{(a+1)! - a!} = \frac{b}{2}

olduğuna göre, bb değişkeninin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 59'dur.
Verilen denklemde pay ifadesi ortak paranteze alındığında a!(a+2)2a!(a+2)^2 ve payda ifadesi a!⋅aa! \cdot a olarak yazılıp sadeleştirildiğinde (a+2)2a=b2\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} eşitliği elde edilir. Buradan denklem düzenlenirse b=2a+8+8ab = 2a + 8 + \frac{8}{a} bulunur. İlgili değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu bilindiğinden, paydadaki değişken sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} değerlerini alabilir. Bu değerler yerine yazıldığında aranan değişkenin alabileceği farklı değerler 16, 18 ve 25 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 59'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük olan terim cinsinden yazıp ortak paranteze alın.
(a+2)!+(a+1)!+a!=a!⋅[(a+2)(a+1)+(a+1)+1]=a!⋅(a2+4a+4)=a!⋅(a+2)2(a+2)! + (a+1)! + a! = a! \cdot [(a+2)(a+1) + (a+1) + 1] = a! \cdot (a^2 + 4a + 4) = a! \cdot (a+2)^2
Pay kısmını sadeleştirmek ve ortak bir çarpan elde etmek için.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak paranteze alıp sadeleştirin.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1-1) = a! \cdot a. Buradan kesirli ifade a!⋅(a+2)2a!⋅a=(a+2)2a\frac{a! \cdot (a+2)^2}{a! \cdot a} = \frac{(a+2)^2}{a} olur.
Kesri en sade biçimine getirmek için.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen denkleme eşitleyin ve ilgili değişkeni yalnız bırakın.
(a+2)2a=b2  ⟹  b=2(a+2)2a=2a+8+8a\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} \implies b = \frac{2(a+2)^2}{a} = 2a + 8 + \frac{8}{a}
Değişkenin alabileceği değerlerin tam sayı olabilme koşullarını belirlemek için.
4
Tanımlanan sayı kümelerine göre olası değerleri hesaplayın.
aa pozitif tam sayı olduğundan sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} olmalıdır. Bu değerler için sırasıyla 18, 16, 18 ve 25 değerleri elde edilir.
Pozitif tam sayı tanımına uygun değerleri bulmak için.
5
Bulunan farklı değerleri toplayın.
Farklı değerler kümesi {16,18,25}\{16, 18, 25\} olup toplamları 16+18+25=5916 + 18 + 25 = 59 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin ortak çarpan parantezine alınarak sadeleştirilmesi ve tam sayı bölen analizinin yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 262Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayıları sayı doğrusu üzerinde soldan sağa sırasıyla a<b<ca < b < c eşitsizliğini sağlamaktadır.

Bu sayılarla ilgili,
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2

Cevap

−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinde; a<0a < 0 olduğundan a3a^3 negatif bir sayıdır ve önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3-a^3 pozitif olur. c>0c > 0 olduğundan c2c^2 de pozitif bir sayıdır. İki pozitif sayının çarpımı kesinlikle pozitif olduğundan bu ifade her zaman pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 ve a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c bağıntılarını kullanarak değişkenlerin sıfır olma durumunu belirleme.
a≠0a \neq 0 ve b=0b = 0 elde edilir.
a2⋅b>−a2⋅c  ⟹  a2(b+c)>0a^2 \cdot b > -a^2 \cdot c \implies a^2(b+c) > 0 eşitsizliğinde, bir sayının karesi negatif olamayacağından ve sonuç sıfırdan büyük olduğundan a≠0a \neq 0 ve a2>0a^2 > 0 olmalıdır. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif olan a2a^2 ile bölündüğünde b+c>0b + c > 0 bulunur. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğundan ve a≠0a \neq 0 olduğundan, bb veya cc sayılarından en az biri sıfır olmalıdır. Eğer c=0c = 0 olsaydı, a<b<ca < b < c sıralamasından dolayı b<0b < 0 olurdu. Bu durumda b+c<0b + c < 0 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla c≠0c \neq 0 olup b=0b = 0 olmalıdır.
2
b=0b = 0 bilgisini kullanarak aa ve cc sayılarının işaretlerini belirleme.
a<0a < 0 ve c>0c > 0 elde edilir.
a<b<ca < b < c sıralamasında b=0b = 0 yazıldığında a<0<ca < 0 < c elde edilir. Bu durumda aa negatif, cc ise pozitif bir gerçel sayıdır. Ayrıca b+c>0  ⟹  0+c>0  ⟹  c>0b + c > 0 \implies 0 + c > 0 \implies c > 0 durumu da bunu doğrular.
3
Elde edilen işaretleri seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak kesinlikle pozitif olan ifadeyi bulma.
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinin değeri kesinlikle pozitiftir.
a<0a < 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 olur. Önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3>0-a^3 > 0 (pozitif) elde edilir. c>0c > 0 olduğundan c2>0c^2 > 0 (pozitif) olur. İki pozitif ifadenin çarpımı olan −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesi kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret belirleme, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.
Soru 263Soru →

Üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları için,

ABC−BCA=315ABC - BCA = 315

olduğuna göre, A−BA - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Çözümleme yapılıp denklem sadeleştirildiğinde ve rakam sınırları incelendiğinde elde edilen doğru fark 3'tür.
Çözümleme yapılıp denklem sadeleştirildiğinde 10(A−B)+(A−C)=3510(A-B) + (A-C) = 35 eşitliği elde edilir. AA, BB ve CC birer rakam ve A,B≥1A, B \ge 1 olduğundan, iki rakamın farkı olan A−CA-C ifadesi −8-8 ile 99 arasında değerler alabilir. Bu durumda 10(A−B)10(A-B) ifadesi ancak 30 olabilir (eğer 40 olsaydı A−C=−5A-C = -5 olurdu ki bu da A≤4A \le 4 ve A≥5A \ge 5 çelişkisine yol açardı). Dolayısıyla A−B=3A-B = 3 olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı sayıları basamak değerlerine göre açın.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BCA=100B+10C+ABCA = 100B + 10C + A
Çözümleme yaparak basamaklar arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Verilen ç��karma işlemini çözümlediğiniz ifadelerle yazıp düzenleyin.
99A−90B−9C=31599A - 90B - 9C = 315
Sayıların farkını tek bir cebirsel denklem haline getirmek için.
3
Elde edilen denklemin her iki tarafını 9 ile sadeleştirin.
11A−10B−C=3511A - 10B - C = 35
Daha küçük katsayılarla çalışarak çözümü kolaylaştırmak için.
4
Denklemi A−BA - B ifadesini içerecek şekilde yeniden düzenleyin.
10(A−B)+(A−C)=3510(A - B) + (A - C) = 35
İstenen A−BA - B farkı ile diğer basamak ilişkilerini gruplandırmak için.
5
Rakamların sınır koşullarını dikkate alarak olası değerleri test edin.
A−B=3A - B = 3 ve A−C=5A - C = 5
A,B,CA, B, C rakam olduğundan −8≤A−C≤9-8 \le A-C \le 9 olmalıdır. A−B=4A-B=4 durumu incelendiğinde A≤4A \le 4 ve A≥5A \ge 5 çelişkisi oluşur, bu yüzden tek geçerli çözüm A−B=3A-B=3'tür.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı doğal sayıların basamak analizi yöntemiyle çözümlenmesi ve rakam sınır koşullarına göre denklem çözümü.
Soru 264Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=2c⋅32a! + b! = 2^c \cdot 3^2
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplam�� kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı ikilileri incelendiğinde, a!+b!a! + b! toplamının asal çarpanlarının yalnızca 2 ve 3 olabileceği görülür. Bu durum en az bir değişkenin 5'ten küçük olmasını gerektirir. Yapılan analiz sonucunda tek çözümün {a, b} = {4, 5} ve c = 4 olduğu bulunur. Bu değerlerin toplamı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin asal çarpanlarının belirlenmesi
2c⋅32=9⋅2c2^c \cdot 3^2 = 9 \cdot 2^c ifadesinin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla, sol taraftaki a!+b!a! + b! ifadesinin 5 veya daha büyük bir asal böleni olamaz.
Eşitliğin her iki tarafının asal çarpanlarının aynı olması gerekmektedir.
2
a ve b değerlerinin aralığının analiz edilmesi
Eğer a≥5a \ge 5 ve b≥5b \ge 5 olsaydı, her iki faktöriyel terimi de 5 ile tam bölüneceğinden toplamları da 5 ile tam bölünürdü. Bu durumda en az bir terim 5'ten küçük olmalıdır. Genelliği bozmadan a≤ba \le b alırsak, a<5a < 5 olmalıdır.
Sol tarafta 5 asal çarpanının bulunmasını engellemek için.
3
a'nın 5'ten küçük değerleri için durum analizi yapılması
a=4a = 4 için 4!+b!=24+b!=9⋅2c4! + b! = 24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b=5b = 5 seçildiğinde 24+120=14424 + 120 = 144 olur. 144=9⋅16=32⋅24144 = 9 \cdot 16 = 3^2 \cdot 2^4 eşitliği sağlar. Diğer a değerleri için uygun tam sayı çözümü bulunmaz.
Denklemin sol tarafını sağlayan uygun b ve c değerlerini bulmak için.
4
Bulunan değerler yardımıyla istenen toplamın hesaplanması
a=4a = 4, b=5b = 5 (veya a=5a = 5, b=4b = 4) ve c=4c = 4 elde edilir. Toplamları 4+5+4=134 + 5 + 4 = 13 olarak bulunur.
İstenen a + b + c toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Kavramı ve Asal Çarpan Analizi
Soru 265Soru →
aa ve bb birden büyük doğal sayılar olmak üzere,
A=(a+1)!−a!(a−1)!A = \frac{(a+1)! - a!}{(a-1)!}
B=(b+1)!+b!(b−1)!B = \frac{(b+1)! + b!}{(b-1)!}
eşitlikleri veriliyor.
A=49A = 49 ve B=80B = 80 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde A=a2A = a^2 ve B=b(b+2)B = b(b+2) denklemleri elde edilir. Buradan a2=49a^2 = 49 eşitliğinden a=7a = 7 ve b(b+2)=80b(b+2) = 80 eşitliğinden b=8b = 8 bulunur. aa ve bb değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
A=a2A = a^2 elde edilir.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1 - 1) = a! \cdot a olarak yazılır. Paydadaki (a−1)!(a-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında a!⋅a(a−1)!=a⋅(a−1)!⋅a(a−1)!=a2\frac{a! \cdot a}{(a-1)!} = \frac{a \cdot (a-1)! \cdot a}{(a-1)!} = a^2 olur.
2
A = 49 eşitliğini kullanarak a değerini bulun.
a=7a = 7 bulunur.
a2=49a^2 = 49 ve aa birden büyük bir doğal sayı olduğundan a=7a = 7 olmalıdır.
3
B ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
B=b(b+2)B = b(b+2) elde edilir.
(b+1)!+b!=b!⋅(b+1+1)=b!⋅(b+2)(b+1)! + b! = b! \cdot (b+1 + 1) = b! \cdot (b+2) olarak yazılır. Paydadaki (b−1)!(b-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında b!⋅(b+2)(b−1)!=b⋅(b−1)!⋅(b+2)(b−1)!=b(b+2)\frac{b! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = \frac{b \cdot (b-1)! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = b(b+2) olur.
4
B = 80 eşitliğini kullanarak b değerini bulun.
b=8b = 8 bulunur.
b(b+2)=80b(b+2) = 80 ise b2+2b−80=0b^2 + 2b - 80 = 0 olur. Buradan (b+10)(b−8)=0(b+10)(b-8) = 0 elde edilir. bb birden büyük bir doğal sayı olduğundan b=8b = 8 olmalıdır.
5
Bulunan a ve b değerlerini toplayın.
a+b=15a + b = 15 bulunur.
a=7a = 7 ve b=8b = 8 değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

Alternatif Yöntem

Faktöriyelleri tek tek açmak yerine genel n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliği kullanılarak pay kısımları paydadaki terim cinsinden doğrudan sadeleştirilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 266Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
(x−y)⋅(y−z) (x - y) \cdot (y - z)
çarpımının bir tek sayıya eşit olduğu biliniyor.
Buna göre;
I. x⋅z+yx \cdot z + y
II. xy+zx^y + z
III. x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z
ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıya eşittir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Doğru cevap olan 'Yalnız I' seçeneği, y değişkeninin tek veya çift olduğu her iki durumda da tek sayı verir. y çift iken x ve z tek olup çarpımları tek, çift olan y ile toplamları yine tek olur. y tek iken x ve z çift olup çarpımları çift, tek olan y ile toplamları yine tek olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpanların karakterini belirlemek.
(x−y)(x - y) ve (y−z)(y - z) ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Farkların tek sayı olmasından yola çıkarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını sınıflandırmak.
1. Durum: yy çift ise xx tek ve zz tek olmalıdır. 2. Durum: yy tek ise xx çift ve zz çift olmalıdır. Her iki durumda da xx ve zz değişkenleri aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
İki tam sayının farkının tek olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
3
Elde edilen iki durumu öncüllerde yerine koyarak her zaman tek sayı veren ifadeyi bulmak.
I. öncül (x⋅z+yx \cdot z + y) her iki durumda da (tek ⋅\cdot tek + çift = tek veya çift ⋅\cdot çift + tek = tek) tek sayı verir. II. öncülde yy negatif (örneğin -1) alınırsa ifade rasyonel sayı olur ve teklik-çiftlik aranmaz; y=0y = 0 alınırsa ve zz tek iken sonuç çift olur. III. öncül her zaman çift sayı olur.
Değişkenlerin tam sayı olduğu belirtildiğinden negatif veya sıfır olma durumları da dahil tüm ihtimaller test edilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri
Soru 267Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* a+ba + b rasyonel sayıdır.
* a⋅ca \cdot c irrasyonel sayıdır.
* b⋅cb \cdot c rasyonel sayıdır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. aa irrasyonel sayıdır.
II. cc irrasyonel sayıdır.
III. a⋅ba \cdot b rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Verilen koşullarda c sayısının rasyonel olduğu kabul edilirse a, b ve a * c sayılarının tamamının rasyonel olması gerektiği çelişkisine ulaşılır. Bu yüzden c ve dolayısıyla b ile a sayıları da irrasyonel olmak zorundadır. Ancak toplamları rasyonel olan iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel de irrasyonel de olabileceğinden üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
c sayısın��n rasyonel veya irrasyonel olma durumu çelişki yöntemiyle incelenir.
c sayısı rasyonel olsaydı, b * c rasyonel ve c sıfırdan farklı olduğundan b = (b * c) / c ifadesi de iki rasyonel sayının bölümü olarak rasyonel olmak zorundaydı. b rasyonel olduğunda, a + b rasyonel olduğundan a = (a + b) - b farkı da rasyonel olurdu. Bu durumda iki rasyonel sayının çarpımı olan a * c de rasyonel olurdu, fakat a * c'nin irrasyonel olduğu verilmiştir. Dolayısıyla c kesinlikle irrasyoneldir.
c sayısının kümesini belirlemek için rasyonel olduğu varsayılarak çelişki aranır.
2
b sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b sayısı rasyonel olsaydı, sıfırdan farklı b rasyonel sayısı ile irrasyonel c sayısının çarpımı olan b * c irrasyonel olmak zorundaydı. Ancak b * c'nin rasyonel olduğu verilmiştir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla b kesinlikle irrasyoneldir.
c'nin irrasyonel olduğu bilgisi kullanılarak b'nin kümesi belirlenir.
3
a sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b irrasyonel bir sayı ve a + b = q (q rasyonel) olduğuna göre, a = q - b olur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının farkı irrasyonel olduğundan, a kesinlikle irrasyoneldir.
b'nin irrasyonelliği kullanılarak a'nın kümesi belirlenir.
4
a * b çarpımının rasyonellik durumu karşıt örneklerle test edilir.
a ve b irrasyonel sayılar olduğunda a * b çarpımı her zaman rasyonel olmak zorunda değildir. Örneğin, a = 3 - sqrt(2) ve b = sqrt(2) alındığında a + b = 3 (rasyonel), c = sqrt(2) için b * c = 2 (rasyonel), a * c = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) sağlanır fakat a * b = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) olur. Öte yandan, a = 1 - sqrt(2) ve b = 1 + sqrt(2) alındığında ise a * b = -1 (rasyonel) olur. Dolayısıyla III. ifade her zaman doğru değildir.
Her zaman doğruluk arandığı için iddiayı çürüten karşıt örnekler analiz edilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Altındaki Kapalılık Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 268Soru →

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; aa, bb ve cc birer tam sayıdır.

* aa sayısı negatif bir tam sayıdır ve a>−4a > -4 koşulunu sağlamaktadır.
* bb sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
* cc sayısı pozitif bir tam sayıdır ve c<3c < 3 koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, a⋅b+aca \cdot b + a^c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer -3'tür.
Sıfır sayısı işaretsiz olduğundan b=0b = 0 olur ve a⋅ba \cdot b ifadesi sıfıra eşitlenir. Geriye kalan aca^c ifadesinde en küçük değeri bulmak için negatif bir tabanın tek kuvveti tercih edilmelidir. aa negatif tam sayısı −3-3, cc pozitif tam sayısı 11 seçildiğinde ifadenin alabileceği en küçük değer −3-3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) sayının belirlenmesi ve ifadenin sadeleştirilmesi
b=0b = 0 ve a⋅b=0a \cdot b = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) tek sayıdır. Bu nedenle b=0b = 0 olur ve ifadedeki çarpım terimi sıfıra eşitlenir.
2
Değişkenlerin alabileceği değerlerin belirlenmesi
a∈{−3,−2,−1}a \in \{-3, -2, -1\} ve c∈{1,2}c \in \{1, 2\}
Verilen negatif/pozitif tam sayı tanımları ve eşitsizlik sınırları kullanılarak değişkenlerin kümesi oluşturulur.
3
Kuvvet alma kurallarına göre en küçük değerin hesaplanması
ac=(−3)1=−3a^c = (-3)^1 = -3
Negatif bir sayının tek kuvveti negatif sonuç verir. En küçük negatif değere ulaşmak için taban −3-3 ve üs 11 olarak seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Sıfırın işaretsiz olması ve negatif sayıların tek/çift kuvvetlerinin işareti
Soru 269Soru →
A={−4,3,0,153,−2.5,1.44,π,−72}A = \left\{ -4, \sqrt{3}, 0, \frac{15}{3}, -2.5, \sqrt{1.44}, \pi, -\frac{7}{2} \right\}

kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarından rasyonel sayı olanların sayısı RR, tam sayı olanların sayısı TT ve pozitif olmayan gerçel sayı olanların sayısı PP olarak belirleniyor.

Buna göre, R+T+PR + T + P toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kümedeki elemanların doğru sınıflandırılması sonucu elde edilen rasyonel sayı adedi R = 6, tam sayı adedi T = 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi P = 4 değerlerinin toplamı 13'tür.
Rasyonel sayı adedi 6, tam sayı adedi 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi 4 olarak hesaplanır. Bu üç değer toplandığında 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın rasyonel sayı olup olmadığını belirleme
Rasyonel sayılar kümesi (Q) elemanları: -4, 0, \frac{15}{3} (5), -2.5, \sqrt{1.44} (1.2) ve -\frac{7}{2}. Toplam R = 6 eleman.
Soruda istenen rasyonel sayı adedini (R) doğru tespit etmek için.
2
Kümedeki elemanların tam sayı olma durumlarını inceleme
Tam sayılar kümesi (Z) elemanları: -4, 0 ve \frac{15}{3} = 5. Toplam T = 3 eleman.
Tam sayı adedini (T) bulmak için. Kesirli olarak gösterilen \frac{15}{3} ifadesinin sadeleşerek 5 tam sayısına eşit olduğuna dikkat edilir.
3
Pozitif olmayan gerçel sayıları belirleme
Pozitif olmayan gerçel sayılar (sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olanlar): -4, 0, -2.5 ve -\frac{7}{2}. Toplam P = 4 eleman.
Pozitif olmayan gerçel sayı adedini (P) bulmak için. Sıfır (0) sayısının işareti olmamakla birlikte pozitif olmadığı unutulmamalıdır.
4
Bulunan değerleri toplama
R + T + P = 6 + 3 + 4 = 13
Soruda bizden istenen toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) arasındaki farklar ve gerçel sayıların işaret özellikleri (pozitiflik, negatiflik ve sıfırın durumu).
Soru 270Soru →

Pozitif bir nn tam sayısı için, n!n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu gösteren değer S(n)S(n) ile ifade edilmektedir.

Buna göre,
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9
eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevap 40'tır. S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan durumlar incelendiğinde, (S(a), S(b)) ikilisi için (1, 8), (2, 7) veya (3, 6) değerleri seçildiğinde en küçük a + b toplamı 40 olarak elde edilir. S(b) = 5 durumunu sağlayan bir b pozitif tam sayısı olmadığı için (4, 5) ikilisi kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısını bulma yöntemini belirleme.
S(n)S(n) fonksiyonu, nn sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle elde edilen b��lümlerin toplamı olarak hesaplanır.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, n!n! içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir.
2
S(n)S(n) fonksiyonunun farklı aralıklardaki en küçük nn değerlerini listeleme.
S(n)=0→nmin=1S(n) = 0 \rightarrow n_{min} = 1, S(n)=1→nmin=5S(n) = 1 \rightarrow n_{min} = 5, S(n)=2→nmin=10S(n) = 2 \rightarrow n_{min} = 10, S(n)=3→nmin=15S(n) = 3 \rightarrow n_{min} = 15, S(n)=4→nmin=20S(n) = 4 \rightarrow n_{min} = 20, S(n)=6→nmin=25S(n) = 6 \rightarrow n_{min} = 25, S(n)=7→nmin=30S(n) = 7 \rightarrow n_{min} = 30, S(n)=8→nmin=35S(n) = 8 \rightarrow n_{min} = 35, S(n)=9→nmin=40S(n) = 9 \rightarrow n_{min} = 40 elde edilir.
Toplamın en küçük olabilmesi için S(a)S(a) ve S(b)S(b) değerlerini veren en küçük aa ve bb pozitif tam sayılarını kullanmamız gerekir.
3
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan olası durumları inceleme.
S(a)=0,S(b)=9→a+b≥1+40=41S(a) = 0, S(b) = 9 \rightarrow a+b \ge 1+40 = 41; S(a)=1,S(b)=8→a+b≥5+35=40S(a) = 1, S(b) = 8 \rightarrow a+b \ge 5+35 = 40; S(a)=2,S(b)=7→a+b≥10+30=40S(a) = 2, S(b) = 7 \rightarrow a+b \ge 10+30 = 40; S(a)=3,S(b)=6→a+b≥15+25=40S(a) = 3, S(b) = 6 \rightarrow a+b \ge 15+25 = 40. S(a)=4,S(b)=5S(a)=4, S(b)=5 durumu ise S(b)=5S(b)=5 olamayacağı için geçersizdir.
Tüm durumları tek tek analiz ederek a+ba+b toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak.
4
Bulunan en küçük değeri sonuç olarak belirleme.
En küçük a+ba+b toplamı 40'tır.
Olası tüm durumlar arasında elde edilen en küçük toplam 40'tır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısı ve asal çarpan analizi
Soru 271Soru →
AA ve xx birer pozitif tam sayı olmak üzere,
A=120xA = \frac{120}{x}
ifadesinde AA bir asal sayı olduğuna göre, xx’in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı 124'tür.
A sayısı 120'yi bölen bir asal sayı olmalıdır. 120'nin asal bölenleri 2, 3 ve 5'tir. Buradan A'nın alabileceği değerler için x değerleri sırasıyla 60, 40 ve 24 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 124 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
120 sayısının asal çarpanlarını bulun.
120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
A sayısı bir asal sayı olduğundan ve 120'yi tam böldüğünden, 120'nin asal bölenleri olmak zorundadır.
2
Her bir asal A değeri için x değerlerini hesaplayın.
A = 2 için x = 60; A = 3 için x = 40; A = 5 için x = 24 elde edilir.
A = 120/x eşitliğinde x'i çekerek x = 120/A formülünü kullanırız.
3
Elde edilen x değerlerini toplayın.
60 + 40 + 24 = 124
Soruda x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarını bulma ve asal sayı tanımını uygulama.
Soru 272Soru →

Bir kırtasiyede satılan A, B ve C marka kalemlerin birer adetlerinin fiyatları sırasıyla iki basamaklı xyxy, yzyz ve zxzx TL'dir. Bu kalemlerin her birinden birer adet satın alan bir öğrenci toplam 198 TL ödemiştir.

Buna göre, bu kalemlerden fiyatı en pahalı olanın fiyatı en çok kaç TL olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 98

Cevap

En pahalı kalemin fiyatı en çok 98 TL olabilir.
Kalemlerin fiyatlarının toplamı çözümleme yapıldığında 11(x+y+z)=19811(x+y+z) = 198 olarak bulunur. Her iki taraf 11'e bölündüğünde x+y+z=18x+y+z = 18 eşitliği elde edilir. Sayıların iki basamaklı olması gerektiğinden x,y,zx, y, z rakamlarının her biri en az 1 olmalıdır. Fiyatı en yüksek yapmak amacıyla x=9x=9 seçildiğinde y+z=9y+z=9 olur. zz en az 1 olabileceğinden yy en fazla 8 olur. Buradan en pahalı fiyat 98 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kalemlerin fiyatları olan iki basamaklı xyxy, yzyz ve zxzx sayılarını basamak çözümlemesine göre açalım.
xy=10x+yxy = 10x + y, yz=10y+zyz = 10y + z, zx=10z+xzx = 10z + x
Sayıların basamak değerlerini belirleyerek toplam fiyatı tek bir denklemde ifade etmek.
2
Kalemlerin toplam fiyatını 198 TL'ye eşitleyip denklemi sadeleştirelim.
(10x+y)+(10y+z)+(10z+x)=198  ⟹  11(x+y+z)=198  ⟹  x+y+z=18(10x + y) + (10y + z) + (10z + x) = 198 \implies 11(x + y + z) = 198 \implies x + y + z = 18 elde edilir.
Rakamların toplamını bulmak için ortak paranteze alıp sadeleştirme yapmak.
3
İki basamaklı sayıların tanımlı olabilmesi için basamaklarındaki kısıtlamaları belirleyelim.
xyxy, yzyz ve zxzx iki basamaklı sayılar olduğundan, onlar basamağındaki rakamlar sıfır olamaz. Dolayısıyla x≠0x \neq 0, y≠0y \neq 0 ve z≠0z \neq 0 olup, x,y,z≥1x, y, z \ge 1 koşulu sağlanmalıdır.
Rakamların alabileceği sınır değerleri belirlemek.
4
En pahalı kalemin fiyatını (örneğin xy=10x+yxy = 10x + y sayısını) en büyük yapacak rakamları seçelim.
xyxy sayısını en büyük yapmak için onlar basamağındaki rakamı en büyük yani x=9x = 9 seçeriz. Bu durumda 9+y+z=18  ⟹  y+z=99 + y + z = 18 \implies y + z = 9 olur. z≥1z \ge 1 olması gerektiğinden yy en fazla 8 olabilir. Buradan en pahalı kalemin fiyatı 10(9)+8=9810(9) + 8 = 98 TL olarak bulunur.
Koşulları sağlayan en büyük iki basamaklı fiyat değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve En Büyük Değer Bulma
Soru 273Soru →

Bir kafede bulunan aa tane masanın her birinde bb adet sandalye vard��r. Bu kafedeki toplam sandalye sayısı çift bir sayıdır. Kafeye sonradan, her birinde cc adet sandalye bulunan 3 masa daha yerleştirildiğinde kafedeki toplam sandalye sayısı tek bir sayı olmaktadır.

Buna göre; aa, bb ve cc pozitif tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ca+cbc^a + c^b

Cevap

Tabanları tek sayı olan ve pozitif tam sayı kuvvetleri alınan iki ifadenin toplamını belirten ifade her zaman çift sayıdır.
cc sayısı tek bir sayıdır. aa ve bb sayıları pozitif tam sayılar olduğu için, tek bir sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri yine tek sayı olacaktır. Dolayısıyla cac^a ve cbc^b ifadeleri birer tek sayıdır. İki tek sayının toplamı olan ca+cbc^a + c^b ifadesi ise her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki sandalye sayısı ile son durumdaki sandalye sayısı arasındaki ilişkiyi yazma.
Kafedeki başlangıçtaki toplam sandalye sayısı a⋅ba \cdot b çift sayıdır. Eklenen sandalye sayısı 3c3c olup, son durumdaki toplam sandalye sayısı a⋅b+3ca \cdot b + 3c tek sayıdır.
Soru metnindeki sözel bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
2
cc sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.
a⋅ba \cdot b çift sayı olduğundan, a⋅b+3ca \cdot b + 3c toplamının tek sayı olabilmesi için 3c3c ifadesinin tek sayı olması gerekir. Buradan cc sayısının kesinlikle tek sayı olduğu sonucuna varılır.
Toplama işleminde çift sayı ile tek sayının toplamının tek sayı olduğunu kullanmak için.
3
aa ve bb sayılarının teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.
a⋅ba \cdot b çarpımı çift sayı olduğundan, aa ve bb sayılarından en az biri çift sayıdır. Yani; biri tek biri çift veya her ikisi de çift olabilir.
Seçenekleri değerlendirirken aa ve bb için tüm olası durumları göz önünde bulundurmak için.
4
ca+cbc^a + c^b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu inceleme.
cc tek sayı olduğundan ve aa ile bb pozitif tam sayılar olduğundan, tek bir sayının pozitif tam sayı kuvvetleri de daima tektir. Dolayısıyla cac^a tektir ve cbc^b tektir. İki tek sayının toplamı (ca+cbc^a + c^b) her zaman çift sayıdır.
Doğru seçeneğin her durumda çift sayı olduğunu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin paritesi
Soru 274Soru →

Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci; Doğal sayılar (N\mathbb{N}), Tam sayılar (Z\mathbb{Z}), Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) ve Gerçel sayılar (R\mathbb{R}) kümelerinden birer eleman seçerek a∈Na \in \mathbb{N}, b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}, c∈Q∖Zc \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve d∈R∖Qd \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} sayılarını belirliyor.

Buna göre,
I. a+ba + b negatif bir tam sayı olabilir.
II. b⋅cb \cdot c bir doğal sayı olabilir.
III. c+dc + d bir rasyonel sayı olabilir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru cevap 'I ve II' ifadesidir. Doğal sayı olan aa ile negatif tam sayı olan bb için a=1,b=−2a=1, b=-2 seçilerek toplamın negatif tam sayı (1−2=−11 - 2 = -1) olabileceği görülür. Negatif tam sayı olan bb ile tam sayı olmayan rasyonel sayı olan cc için b=−2,c=−1/2b=-2, c=-1/2 seçilerek çarpımın bir doğal sayı (−2⋅(−1/2)=1-2 \cdot (-1/2) = 1) olabileceği doğrulanır. Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı ise daima irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ait olduğu sayı kümelerini belirlemek.
aa doğal sayıdır (a≥0a \ge 0 ve tam sayı), bb negatif tam sayıdır (b≤−1b \le -1 ve tam sayı), cc tam sayı olmayan rasyonel sayıdır (örneğin kesirli sayılar), dd ise irrasyonel sayıdır.
Öncülleri doğru yorumlamak amacıyla değişkenlerin değer aralıklarını ve sayı türlerini tanımlamak gerekir.
2
Birinci öncülü (a+ba + b) incelemek.
a=1∈Na = 1 \in \mathbb{N} ve b=−2∈Z∖Nb = -2 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} seçilirse, a+b=1+(−2)=−1a + b = 1 + (-2) = -1 olur. −1-1 bir negatif tam sayı olduğu için bu öncül doğrudur.
Toplama işleminin sonucunun negatif bir tam sayı olup olamayacağını örnek değerlerle doğrulamak.
3
İkinci öncülü (b⋅cb \cdot c) incelemek.
b=−2∈Z∖Nb = -2 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} ve c=−1/2∈Q∖Zc = -1/2 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} seçilirse, b⋅c=(−2)⋅(−1/2)=1b \cdot c = (-2) \cdot (-1/2) = 1 olur. 11 bir doğal sayı olduğu için bu öncül doğrudur.
Çarpma işleminin sonucunun bir doğal sayı olabileceğini örnek değerlerle doğrulamak.
4
Üçüncü öncülü (c+dc + d) incelemek.
cc rasyonel, dd irrasyonel bir sayıdır. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir, hiçbir zaman rasyonel olamaz. Bu nedenle bu öncül yanlıştır.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların kapalılık ve toplama özelliklerini analiz etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları, alt kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayılarda işlemler
Soru 275Soru →
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
(a−1)!⋅120=b!(a-1)! \cdot 120 = b!
olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 127

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 127'dir.
Verilen denklem b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120 şeklinde düzenlendiğinde, 120 sayısı ardışık tam sayıların çarpımı olarak 4 farklı şekilde yazılabilir: 120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4, 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ve 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. Buradan aa değerleri 120, 4, 2 ve 1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 127'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenleyerek faktöriyellerin oranını elde etme.
b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120
İki faktöriyelli ifade arasındaki ilişkiyi daha kolay analiz etmek ve ardışık çarpanları belirlemek için denklemi oran biçiminde yazarız.
2
Oranın sonucunun 120 olabilmesi için 120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde yazma.
120 sayısı şu 4 farklı biçimde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1. 120120 (tek çarpan)
2. 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4
3. 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2
4. 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
Ardışık sayıların çarpımı biçimindeki her gösterim, b!(a−1)!\frac{b!}{(a-1)!} ifadesindeki sadeleşmeyen terimleri (yani aa'dan bb'ye kadar olan çarpanları) temsil eder.
3
Her durum için aa ve bb pozitif tam sayı değerlerini hesaplama ve aa değerlerini toplama.
1. Durum: b=120b = 120 ve a−1=119  ⟹  a=120a-1 = 119 \implies a = 120
2. Durum: b=6b = 6 ve a−1=3  ⟹  a=4a-1 = 3 \implies a = 4
3. Durum: b=5b = 5 ve a−1=1  ⟹  a=2a-1 = 1 \implies a = 2
4. Durum: b=5b = 5 ve a−1=0  ⟹  a=1a-1 = 0 \implies a = 1
Bu aa değerlerinin toplamı: 120+4+2+1=127120 + 4 + 2 + 1 = 127 olur.
Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tüm olası aa değerlerini bularak soruda istenen toplamı elde ederiz.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 276Soru →

İki basamaklı bir nn doğal sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı T(n)T(n) ile gösterilmektedir.

Buna göre, T(n)=5T(n) = 5 eşitliğini sağlayan en küçük nn sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12 sayısı bu koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayıdır.
12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bu sayıların toplamı 2 + 3 = 5 koşulunu sağlar. Ayrıca 12, bu koşula uyan en küçük iki basamaklı doğal sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
T(n)=5T(n) = 5 eşitliğini sağlayan asal çarpan grupları belirlenir.
Toplamları 5 olan asal sayı grupları yalnızca tek elemanlı olarak {5}\{5\} veya iki elemanlı olarak {2,3}\{2, 3\} kümeleridir.
Asal sayıların toplamı 5 olacak şekildeki tüm olası asal çarpan durumlarını belirlemek için.
2
Belirlenen asal çarpan grupları için oluşturulabilecek en küçük iki basamaklı sayılar hesaplanır.
Sadece 5 asal çarpanına sahip en küçük iki basamaklı sayı 52=255^2 = 25 olur. 2 ve 3 asal çarpanlarına sahip en küçük iki basamaklı sayı ise 22⋅31=122^2 \cdot 3^1 = 12 olarak bulunur. (21⋅31=62^1 \cdot 3^1 = 6 sayısı iki basamaklı değildir.)
İki basamaklı sayı kısıtlamasına uyan adayları tespit etmek için.
3
Aday sayılar karşılaştırılarak en küçük olan seçilir.
12<2512 < 25 olduğundan en küçük nn değeri 12'dir.
Bulunan iki basamaklı sayılar arasından en küçük olanını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma ve asal çarpanlar toplamı ilişkisi
Soru 277Soru →
xx ve yy gerçel sayılardır.
x⋅y=12x \cdot y = 12
olduğuna göre, x+yx + y toplamının [−10,10][-10, 10] kapalı aralığındaki bir tam sayıya eşit olduğu ve xx sayısının rasyonel olmadığı biliniyor.
Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen şartları sağlayan x + y toplamının alabileceği 4 farklı değer vardır.
Verilen x ve y sayılarının çarpımı 12 ve toplamları k olsun. Bu durumda x ve y, t^2 - kt + 12 = 0 denkleminin kökleridir. Köklerin gerçel sayı olması için Delta = k^2 - 48 >= 0 olmalıdır. Buradan |k| >= 7 elde edilir. [-10, 10] aralığındaki k tam sayıları {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} olur. x'in rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için Delta = k^2 - 48 ifadesi bir tam kare olmamalıdır. k = +-7 için Delta = 1 (1'in karesi) ve k = +-8 için Delta = 16 (4'ün karesi) olup kökler rasyonel çıkar. k = +-9 için Delta = 33 ve k = +-10 için Delta = 52 tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir. Dolayısıyla sağlayan k değerleri {-10, -9, 9, 10} olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x ve y sayılarının toplamını k kabul edip bu sayıları kök kabul eden ikinci dereceden denklemi kurmak.
t^2 - kt + 12 = 0 denklemi elde edilir.
Köklerin rasyonellik ve reellik durumunu diskriminant üzerinden analiz edebilmek.
2
Köklerin gerçel sayı olması için diskriminant şartını uygulamak.
Delta = k^2 - 48 >= 0 bağıntısından |k| >= 7 elde edilir.
x ve y'nin gerçel sayı olduğu bilgisine uyması için.
3
k tam sayısının [-10, 10] aralığındaki olası değerlerini yazmak.
k elemanıdır {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} kümesi bulunur.
Tanımlanan aralıktaki tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
4
x sayısının rasyonel olmaması için diskriminantın tam kare olmama şartını incelemek.
k = +-7 için Delta = 1 (tam kare), k = +-8 için Delta = 16 (tam kare) olduğundan bu değerler elenir. k = +-9 için Delta = 33 (tam kare değil), k = +-10 için Delta = 52 (tam kare değil) olduğundan bu değerler sağlanır.
Rasyonel olmayan (irrasyonel) gerçel sayı şartını kontrol etmek.
5
Sağlayan değerleri belirleyip saymak.
{-10, -9, 9, 10} olmak üzere 4 farklı değer bulunur.
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar)
Soru 278Soru →

aa, bb ve cc tam sayıları için
* a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin bir tek sayıya,
* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir tek sayıya
eşit olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

Verilen koşulları sağlayan durumlarda aa, bb ve cc tam sayılarından tam olarak biri çift sayı, diğer ikisi ise tek sayıdır. Bu nedenle bu üç sayının toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesi her zaman çift bir sayıdır.
Verilen iki ifadenin tek sayı olması durumları incelendiğinde, aa, bb ve cc sayılarından tam olarak birinin çift ve diğer ikisinin tek olduğu görülür. Bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olan üçlü toplam ifadesi her zaman çift bir sayı sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
a+b⋅ca + b \cdot c ve a⋅b+ca \cdot b + c ifadelerinin tek sayı olması durumlarını incelemek için aa sayısının çift olduğu durumu ele alalım.
aa çift say�� ise, a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin tek sayı olması için b⋅cb \cdot c çarpımı tek sayı olmalıdır. Buradan bb ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi de (çift ⋅\cdot tek) + tek = çift + tek = tek sayı olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.
aa sayısının çift olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.
2
aa sayısının tek sayı olduğu durumları ele alalım.
aa tek sayı ise, a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin tek sayı olması için b⋅cb \cdot c çarpımı çift sayı olmalıdır. Bu da bb veya cc sayılarından en az birinin çift sayı olmasını gerektirir. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı olması için de a⋅ba \cdot b ile cc ifadelerinden biri çift diğeri tek olmalıdır. Buradan ya bb çift cc tek, ya da bb tek cc çift olur.
aa sayısının tek olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.
3
Elde edilen tüm durumları teklik-çiftlik tablosu yardımıyla inceleyip seçenekleri değerlendirelim.
Belirlenen üç olası durumda da (aa çift, bb tek, cc tek veya aa tek, bb çift, cc tek veya aa tek, bb tek, cc çift) sayılardan tam olarak bir tanesi çift sayı, diğer iki tanesi ise tek sayıdır. Bu durumların hepsinde a+b+ca + b + c toplamı iki tek ve bir çift sayının toplamı olacağından sonuç daima çift sayıdır.
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını teyit etmek.

Anahtar Kavram

Tam sayıların teklik ve çiftlik özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.
Soru 279Soru →

Bir kitabın sayfaları 11'den başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılacaktır. Ancak basım hatası nedeniyle numarası 33'ün katı olan sayfalar basılmamış ve bu sayfa numaraları atlanmıştır.

Örneğin; kitabın basılan ilk sayfa numaraları sırasıyla 1,2,4,5,7,8,…1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots şeklindedir.

Kitapta basılan tüm sayfa numaralarının toplamı 12001200 olduğuna göre, kitapta basılan en büyük sayfa numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Kitapta basılan en büyük sayfa numarası 59'dur.
Basılan sayılar 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayılar (1,2),(4,5),…(1, 2), (4, 5), \dots şeklinde ikili gruplandığında her bir grubun toplamı 3,9,15,…3, 9, 15, \dots aritmetik dizisini oluşturur. İlk kk grubun toplamı 3k23k^2 formülü ile bulunur. 3k2=12003k^2 = 1200 eşitliğinden grup sayısı k=20k = 20 olarak elde edilir. En son grup olan 2020. grubun elemanları 5858 ve 5959 olduğundan, basılan en büyük sayfa numarası 5959 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayfa numaralarını gruplandırma
Basılan sayfa numaraları 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayıları ikili gruplar halinde yazarsak: (1,2),(4,5),(7,8),…,(3k−2,3k−1)(1, 2), (4, 5), (7, 8), \dots, (3k-2, 3k-1) şeklinde kk tane grup elde ederiz.
Ardışık terimlerin toplamını sistematik olarak hesaplamak için terimleri ikili gruplara ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Grup toplamlarını ve genel toplamı bulma
Her bir grubun toplamı sırasıyla şöyledir:
- 1. grup: 1+2=31 + 2 = 3
- 2. grup: 4+5=94 + 5 = 9
- 3. grup: 7+8=157 + 8 = 15
- kk. grup: (3k−2)+(3k−1)=6k−3(3k-2) + (3k-1) = 6k-3

Bu toplamların oluşturduğu dizinin ilk kk teriminin toplamı:
Sk=∑r=1k(6r−3)=6⋅k(k+1)2−3k=3k2+3k−3k=3k2S_k = \sum_{r=1}^{k} (6r - 3) = 6 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 3k^2 + 3k - 3k = 3k^2 olarak bulunur.
İlk kk grubun toplamını veren cebirsel ifadeyi elde etmek için aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.
3
Grup sayısını (kk) belirleme
3k2=1200  ⟹  k2=400  ⟹  k=203k^2 = 1200 \implies k^2 = 400 \implies k = 20 bulunur. Demek ki kitapta toplam 2020 tane grup (yani 4040 sayfa) basılmıştır.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek basılan toplam grup sayısını buluruz.
4
En büyük sayfa numarasını hesaplama
Son grup olan 2020. grubun elemanları:
- İlk eleman: 3(20)−2=583(20) - 2 = 58
- İkinci eleman: 3(20)−1=593(20) - 1 = 59

Bu durumda basılan en büyük sayfa numarası 5959'dur.
En son basılan grubun en büyük elemanı, kitapta basılan en büyük sayfa numarasına eşittir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı ve Aritmetik Diziler
Soru 280Soru →

Bir torbada, üzerinde 1'den nn'ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların yazılı oldu��u nn tane kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki kartın üzerinde yazan sayıların toplamı AA, torbada kalan diğer kartların üzerinde yazan sayıların toplamı ise 220'dir.

Buna göre, AA sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

A sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 44'tür.
Doğru cevap, matematiksel sınırları sağlayan kart sayılarını tespit ederek alabilecekleri değerlerin toplamı olan 44'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm kartların üzerindeki sayıların toplamı için ardışık sayılar toplam formülünü yazıp torbada kalan kartların toplamı ile ilişkilendirelim.
S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2} ve seçilen iki kartın toplamı AA olmak üzere, S−A=220  ⟹  A=n(n+1)2−220S - A = 220 \implies A = \frac{n(n+1)}{2} - 220 elde edilir.
Çekilen kartlar çıkarıldıktan sonra kalan toplam 220 olarak verilmiştir.
2
Seçilen iki kartın alabileceği minimum ve maksimum değerler üzerinden AA için sınır koşullarını belirleyelim.
Kartlar 1 ile nn arasında olduğundan, seçilen iki farklı kartın toplamı en az 1+2=31 + 2 = 3, en çok (n−1)+n=2n−1(n-1) + n = 2n-1 olabilir. Dolayısıyla, 3≤A≤2n−13 \leq A \leq 2n-1 eşitsizliği sağlanmalıd��r.
AA değeri seçilen iki farklı kartın toplamını temsil etmektedir.
3
AA ifadesini sınır eşitsizliğinde yerine yazarak nn tamsayısının alabileceği değer aralığını bulalım.
Eşitsizlikleri çözersek: 1) n(n+1)2−220≥3  ⟹  n(n+1)≥446  ⟹  n≥21\frac{n(n+1)}{2} - 220 \geq 3 \implies n(n+1) \geq 446 \implies n \geq 21 (çünkü 20×21=420<44620 \times 21 = 420 < 446 ve 21×22=462≥44621 \times 22 = 462 \geq 446). 2) n(n+1)2−220≤2n−1  ⟹  n2−3n−438≤0  ⟹  n≤22\frac{n(n+1)}{2} - 220 \leq 2n-1 \implies n^2 - 3n - 438 \leq 0 \implies n \leq 22 (çünkü 222−3(22)−438=−20≤022^2 - 3(22) - 438 = -20 \leq 0 iken 232−3(23)−438=22>023^2 - 3(23) - 438 = 22 > 0 olur). Bu durumda nn tam sayısı sadece 21 veya 22 değerlerini alabilir.
nn sayısının sınırlarını belirleyerek hangi tamsayı değerlerini alabileceğini bulmak gerekir.
4
Bulunan geçerli nn değerleri için AA değerlerini hesaplayıp toplayalım.
n=21n = 21 için A=21×222−220=231−220=11A = \frac{21 \times 22}{2} - 220 = 231 - 220 = 11 olur. n=22n = 22 için A=22×232−220=253−220=33A = \frac{22 \times 23}{2} - 220 = 253 - 220 = 33 olur. Bu değerlerin toplamı 11+33=4411 + 33 = 44 olarak bulunur.
AA'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Ardışık pozitif tam sayıların toplam formülü ve iki elemanın toplamının alabileceği sınır değerleri üzerinden eşitsizlik analizi.
ÖncekiSayfa 14 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 14 | Examkin