Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 281Soru →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler ve onlar basamağından oluşan iki basamaklı sayı ABAB, onlar ve birler basamağından oluşan iki basamaklı sayı BCBC'dir.

AB−BC=65AB - BC = 65

eşitliğini sağlayan rakamları birbirinden farklı en büyük ABCABC doğal sayısı için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En büyük ABCABC sayısı 927 olup, bu sayının rakamları toplamı 18'dir.
Verilen denklem çözümlendiğinde 10A−9B−C=6510A - 9B - C = 65 elde edilir. En büyük ABCABC sayısı için A=9A = 9 seçildiğinde 9B+C=259B + C = 25 olur. Bu eşitliği sağlayan tek rakam ikilisi B=2B = 2 ve C=7C = 7'dir. Rakamları farklı olan en büyük sayı 927 olup rakamları toplamı 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BCBC iki basamaklı sayılarını çözümleriz.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BC=10B+CBC = 10B + C olur.
Sayıları çözümleyerek basamak çözümlemesi bağıntısını elde etmek için.
2
Çözümlenen ifadeleri verilen AB−BC=65AB - BC = 65 denkleminde yerine yazarız.
10A−9B−C=6510A - 9B - C = 65 denklemi elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi basitleştirmek için.
3
Eşitliği 10A−65=9B+C10A - 65 = 9B + C olarak düzenler ve en büyük ABCABC sayısı için A=9A = 9 seçerek deneriz.
9B+C=259B + C = 25 bulunur.
ABCABC sayısını en büyük yapmak amacıyla en büyük basamağa en büyük rakamı vermek için.
4
9B+C=259B + C = 25 eşitliğinde BB ve CC rakam değerlerini belirleriz.
B=2B = 2 ve C=7C = 7 bulunur. Rakamları farklı ABC=927ABC = 927 sayısı elde edilir.
BB ve CC değerlerinin rakam olması şartını sağlayan tek durumu bulmak için.
5
Rakamları toplamını hesaplarız.
9+2+7=189 + 2 + 7 = 18 olarak bulunur.
Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki ve üç basamaklı doğal sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değerlerinin analizi.
Soru 282Soru →

Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı TT olduğuna göre, bu sayıların en büyüğünün TT türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: T+33\frac{T+3}{3}

Cevap

T+33\frac{T+3}{3}
Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı TT ise ortanca terim T3\frac{T}{3} olur. En büyük sayı ortanca sayıdan 11 fazla olduğundan, bu değer T3+1=T+33\frac{T}{3} + 1 = \frac{T+3}{3} şeklinde ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç sayıyı temsil eden bilinmeyenleri belirleyin.
Sayılar sırasıyla x−1x-1, xx ve x+1x+1 olsun (burada xx ortanca sayıdır).
Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla ortanca sayıyı merkez alan bir gösterim seçilmiştir.
2
Sayıların toplamını TT cinsinden yazıp ortanca sayıyı yalnız bırakın.
(x−1)+x+(x+1)=T⇒3x=T⇒x=T3(x-1) + x + (x+1) = T \Rightarrow 3x = T \Rightarrow x = \frac{T}{3}
Ortanca sayıyı bulmak, diğer sayıları TT cinsinden ifade etmemizi sağlar.
3
En büyük sayının TT cinsinden değerini hesaplayın.
En büyük sayı x+1x+1 olduğundan, xx yerine T3\frac{T}{3} yazılırsa: x+1=T3+1=T+33x+1 = \frac{T}{3} + 1 = \frac{T+3}{3} elde edilir.
Soru bizden en büyük sayının TT türünden değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısına bölündüğünde ortanca terimi (veya ortanca iki terimin ortalamasını) verir. Bu özellik kullanılarak ardışık sayı soruları daha hızlı çözülebilir.
Soru 283Soru →

Bir öğrenci, iki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarını toplamak isterken yanlışlıkla BABA sayısının onlar basamağındaki rakamı 3 eksik görerek toplama işlemini yapmış ve sonucu 113 bulmuştur.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42
Onlar basamağındaki rakamın 3 eksik görülmesi sayıyı 30 azaltır. Dolayısıyla gerçek toplam 113+30=143113 + 30 = 143 olur. Basamak analizi yapıldığında 11(A+B)=143  ⟹  A+B=1311(A+B) = 143 \implies A+B = 13 elde edilir. Çarpımın en büyük değeri için rakamlar birbirine en yakın seçilmelidir; bu rakamlar 6 ve 7 olduğundan en büyük çarpım 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Hatalı okunan sayının değerindeki değişimi belirleme
BABA sayısın��n onlar basamağındaki rakam 3 eksik görüldüğünde, bu sayının değeri 3×10=303 \times 10 = 30 azalır.
Onlar basamağındaki her 1 birimlik değişim say��nın değerini 10 etkiler.
2
Gerçek toplamı bulma ve çözümleme yapma
Hatalı toplam 113 olduğuna göre, gerçek toplam 113+30=143113 + 30 = 143 olur. Buradan AB+BA=143AB + BA = 143 elde edilir.
Eksik hesaplanan miktar hatalı toplama eklenerek doğru toplam bulunur.
3
Çözümleme formülünü uygulayarak rakamların toplamını bulma
10A+B+10B+A=143  ⟹  11(A+B)=143  ⟹  A+B=1310A + B + 10B + A = 143 \implies 11(A+B) = 143 \implies A+B = 13 bulunur.
İki basamaklı sayıların basamak analizinden faydalanılır.
4
Çarpımın en büyük değerini bulma
A+B=13A+B = 13 koşulunu sağlayan ve ABAB ile BABA iki basamaklı sayı olduğu için sıfırdan farklı olan rakamlar arasından birbirine en yakın olanlar 66 ve 77'dir. Bu durumda en büyük çarpım 6×7=426 \times 7 = 42 olur.
Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve basamak değerindeki değişimlerin sayıya etkisi.
Soru 284Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya ardışık sayılar içeren aşağıdaki üç kümeyi tanımlamıştır:

* AA kümesi, en küçük elemanı 1919 olan ardışık xx tane pozitif tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 180180'dir.
* BB kümesi, en büyük elemanı 3232 olan ardışık yy tane pozitif çift tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 162162'dir.
* CC kümesi, en büyük elemanı 2929 olan ardışık zz tane pozitif tek tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 125125'dir.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayacak şekilde aşağıdaki ögeleri doğru sıraya göre düzenleyiniz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru s��ralama C kümesinin eleman sayısı (z), B kümesinin eleman sayısı (y) ve A kümesinin eleman sayısı (x) şeklinde küçükten büyüğe doğrudur (z < y < x).
Ardışık sayılar, ardışık çift sayılar ve ardışık tek sayıların toplam formülleri ve elemanlarının pozitif olma kısıtlamaları kullanılarak kümelerin eleman sayıları sırasıyla z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olarak bulunur. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin eleman sayısını (xx) hesaplama
x=8x = 8
AA kümesinin elemanları 19,20,…,19+x−119, 20, \dots, 19 + x - 1 şeklindedir. Toplam formülünden: x2⋅[19+(18+x)]=180  ⟹  x(37+x)=360  ⟹  x2+37x−360=0\frac{x}{2} \cdot [19 + (18 + x)] = 180 \implies x(37 + x) = 360 \implies x^2 + 37x - 360 = 0. Bu denklem (x−8)(x+45)=0(x - 8)(x + 45) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. xx pozitif tam sayı olduğundan x=8x = 8 bulunur.
2
BB kümesinin eleman sayısını (yy) hesaplama
y=6y = 6
BB kümesinin elemanları en büyüğü 3232 olan ardışık çift sayılardır: 32,30,…,32−2(y−1)32, 30, \dots, 32 - 2(y-1). Toplam formülünden: y2⋅[32+(34−2y)]=162  ⟹  y(33−y)=162  ⟹  y2−33y+162=0\frac{y}{2} \cdot [32 + (34 - 2y)] = 162 \implies y(33 - y) = 162 \implies y^2 - 33y + 162 = 0. Bu denklem (y−6)(y−27)=0(y - 6)(y - 27) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer y=27y = 27 alınırsa en küçük eleman 32−2(26)=−2032 - 2(26) = -20 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla y=6y = 6 olmalıdır.
3
CC kümesinin eleman sayısını (zz) hesaplama
z=5z = 5
CC kümesinin elemanları en büyüğü 2929 olan ardışık tek sayılardır: 29,27,…,29−2(z−1)29, 27, \dots, 29 - 2(z-1). Toplam formülünden: z2⋅[29+(31−2z)]=125  ⟹  z(30−z)=125  ⟹  z2−30z+125=0\frac{z}{2} \cdot [29 + (31 - 2z)] = 125 \implies z(30 - z) = 125 \implies z^2 - 30z + 125 = 0. Bu denklem (z−5)(z−25)=0(z - 5)(z - 25) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer z=25z = 25 alınırsa en küçük eleman 29−2(24)=−1929 - 2(24) = -19 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla z=5z = 5 olmalıdır.
4
Elde edilen eleman sayılarını küçükten büyüğe sıralama
z<y<xz < y < x
Bulunan eleman sayıları z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olduğundan, küçükten büyüğe sıralama 5<6<85 < 6 < 8 yani z<y<xz < y < x şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin pozitiflik kısıtlamaları altında uygulanması.
Soru 285Soru →

Aşağıda verilen yedi elemanlı AA kümesinin elemanlarından beş tanesi, yan yana bulunan beş kutunun içine her kutuda farklı bir sayı olacak biçimde soldan sağa doğru sırasıyla aa, bb, cc, dd ve ee şeklinde yerleştirilecektir:

A={2,4; −1,4; 13; 53; −3,5; 1,2; 3}A = \left\{ 2,4; \ -1,4; \ \frac{1}{3}; \ \frac{5}{3}; \ -3,5; \ 1,2; \ \sqrt{3} \right\}

Kutulara yerleştirilen bu sayılar aşağıdaki şartları sağlamaktadır:
- a+ba + b toplamı bir tam sayıdır.
- c+dc + d toplamı bir tam sayıdır.
- ee sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, kutulara yerleştirilmeyen iki sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2.3

Cevap

Kutulara yerleştirilmeyen iki sayının toplamı -2,3'tür.
Kümedeki tek irrasyonel sayı olan 3\sqrt{3} sayısı e kutusuna yerleştirilir. Geriye kalan altı rasyonel sayı içinden toplamları tam sayı olan benzersiz çiftler yalnızca {2,4;−1,4}\{2,4; -1,4\} (toplamı 1) ve {13;53}\{\frac{1}{3}; \frac{5}{3}\} (toplamı 2) olduğundan, bu dört sayı a,b,c,da, b, c, d kutularına yerleşir. Geriye kalan −3,5-3,5 ve 1,21,2 sayılarının toplamı −2,3-2,3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki sayıları sayı kümelerine göre sınıflandırmak
Kümedeki tek irrasyonel sayı 3\sqrt{3}'tür. Diğer sayılar (2,42,4, −1,4-1,4, 13\frac{1}{3}, 53\frac{5}{3}, −3,5-3,5, 1,21,2) rasyonel sayılardır.
ee sayısının irrasyonel olması şartını sağlayan tek seçeneğin belirlenmesi gerekir.
2
Geriye kalan rasyonel sayılar arasından toplamları tam sayı olan çiftleri belirlemek
2,4+(−1,4)=1∈Z2,4 + (-1,4) = 1 \in \mathbb{Z} ve 13+53=63=2∈Z\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \in \mathbb{Z} çiftleri bulunur. Diğer hiçbir ikilinin toplamı tam sayı değildir.
a+ba+b ve c+dc+d toplamlarının tam sayı olması şartını sağlayan elemanları seçmek gerekir.
3
Kutulara yerleştirilmeyen sayıları bulup toplamak
Yerleştirilmeyen sayılar −3,5-3,5 ve 1,21,2 olup, toplamları −3,5+1,2=−2,3-3,5 + 1,2 = -2,3 olarak bulunur.
Soruda istenen yerleştirilmeyen iki sayının toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ayırt edilmesi ve sayı kümelerinde toplama işlemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 286Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. a+b+ca + b + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c ifadesi bb ortak parantezine alındığında b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) elde edilir. Bu çarpım tek sayı olduğundan, hem bb hem de a2+ca^2 + c tek sayı olmak zorundadır. a2a^2 ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynı olduğundan, a+ca + c toplamı da tek sayıdır. Bir toplamın tek sayı olması, terimlerden birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Yani aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu bilgiler doğrultusunda öncüller incelendiğinde; I. öncüldeki a+b+ca + b + c ifadesi (a+c)+b(a + c) + b şeklinde düşünülebilir. Tek sayı olan a+ca + c ile tek sayı olan bb toplandığında sonuç çift sayı olur (Her zaman doğru). II. öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde, aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı çifttir. Çift bir sayıya tek olan bb eklendiğinde sonuç tek sayı olur (Her zaman yanlış). III. öncüldeki a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinde, çarpanlardan biri (aa veya cc) çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır (Her zaman doğru). Bu nedenle doğru öncüller I ve III'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine almak
b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) ifadesi elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik analizini daha kolay yapabilmek için.
2
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
bb tek sayıdır ve a2+ca^2 + c tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
bb tek sayıdır. a2a^2 ile aa aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olduğundan, a2+ca^2 + c ifadesinin tek olması a+ca + c ifadesinin de tek olmasını gerektirir. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır.
Toplamları tek olan iki tam sayıdan birinin çift, diğerinin tek olması gerektiği kuralından dolayı.
4
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. ifadede (a+c)(a + c) tek ve bb tek olduğundan toplamları çifttir. II. ifadede a⋅ca \cdot c çift (biri çift olduğundan) ve bb tek olduğundan toplamları tektir. III. ifadede aa veya cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları çifttir.
Her bir öncülün her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri, ortak paranteze alma ve toplama/çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkileri.
Soru 287Soru →

Her xx ve yy gerçel sayısı için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 ise yy negatif bir sayıdır veya xx işaretsizdir (nötrdür).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=1x=1 ve y=0y=0 için eşitsizlik sağlanmasına rağmen yy negatif değildir ve xx işaretsiz değildir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü y=0y = 0 ve x=1x = 1 değerleri için x2⋅y=0≤0x^2 \cdot y = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanmasına rağmen, ne yy negatif bir sayıdır ne de xx işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği incelemek için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 koşulunu sağlayan durumları sınıflandırın.
Bu eşitsizliğin sağlanması için ya x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 ya da x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 olmalıdır.
Eşitsizlik ≤\le (küçük veya eşit) sembolü içerdiğinden eşitlik ve küçüklük durumları ayrı ayrı değerlendirilmelidir.
2
x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 durumunu analiz edin.
Bu durumda x=0x = 0 veya y=0y = 0 olmalıdır. Eğer x=0x = 0 ise xx işaretsizdir (nötr). Ancak y=0y = 0 ve x≠0x \ne 0 (örneğin x=1x = 1) ise x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 sağlanır.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
x=1x = 1 ve y=0y = 0 karşıt örneğini önermede yerine koyarak test edin.
x2⋅y=12⋅0=0≤0x^2 \cdot y = 1^2 \cdot 0 = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanır. Bu durumda y=0y = 0 (negatif değil, nötr) ve x=1x = 1 (işaretsiz değil, pozitif) elde edilir. Her iki koşul da ('yy negatif bir sayıdır' veya 'xx işaretsizdir') sağlanmamış olur.
Önermenin her xx ve yy gerçel sayısı için doğru olmadığını gösteren en az bir karşıt örnek bulmak önermenin yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve eşitsizliklerde eşitlik durumunun (00) göz ardı edilmemesi.
Soru 288Soru →

Bir sinema salonunda yan yana bulunan koltuklar soldan sağa doğru 2,4,6,…2, 4, 6, \dots şeklinde ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır. Bu salonda yan yana bulunan ardışık üç koltuğun numaraları toplamı 5454 olduğuna göre, bu koltuklardan numarası en büyük olan koltuğun numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

En büyük koltuk numarası 20'dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı 54 ise, ortadaki sayı 543=18\frac{54}{3} = 18 olur. Sayılar ikişer ikişer arttığı için en büyük sayı 18+2=2018 + 2 = 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamı terim sayısına bölerek ortanca terimi bulma.
Ortanca terim 1818 olarak bulunur.
Ardışık tek sayıda terimi olan aritmetik serilerde, terimler toplamı terim sayısına bölündüğünde ortadaki terim elde edilir.
2
Ortanca terimi kullanarak ardışık çift sayıları belirleme.
Sayılar 1616, 1818 ve 2020 olarak bulunur.
Ardı��ık çift sayılar arasındaki fark 22 olduğundan, ortanca terimin 22 eksiği en küçük terimi, 22 fazlası ise en büyük terimi verir.
3
İstenen en büyük değeri belirleme.
En büyük koltuk numarası 2020 olarak belirlenir.
Soruda yan yana bulunan koltuklardan en büyük numaralı olanı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Ardışık çift sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 289Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda sabah, öğle ve akşam saatlerinde ölçülen hava sıcaklık değerleri sırasıyla aa, bb ve cc santigrat derecedir. Bu değerler arasında,
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* b−c>0b - c > 0
bağıntıları bulunmaktadır.

Bu üç ölçümden en az birinde hava s��caklığı tam olarak 00 santigrat derece olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −, +, 0-,\ +,\ 0

Cevap

Sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif, akşam sıcaklığı sıfır derece olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekte sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif ve akşam sıcaklığı sıfır derece olarak verilmiştir. a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ne sabah ne de öğle sıcaklığı sıfır olamaz. Bu nedenle akşam sıcaklığı olan c=0c = 0 olmak zorundadır. b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b>0b > 0 bulunur. bb pozitif iken a⋅b<0a \cdot b < 0 olması için a<0a < 0 olmalıdır. Bu durum tüm koşulları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki değişkenleri inceleme
a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olmalıdır.
İki gerçel sayının çarpımı sıfırdan küçük (a⋅b<0a \cdot b < 0) olduğundan, bu sayılardan herhangi biri sıfıra eşit olamaz. Sıfır olsaydı çarpım sonucu sıfır olurdu.
2
Sıfır olan değişkeni belirleme
c=0c = 0 olmalıdır.
Soruda en az bir sıcaklık değerinin sıfır derece olduğu belirtilmiştir. aa ve bb sıfır olamayacağına göre, sıfır olan tek aday cc sayısıdır.
3
Eşitsizlik yardımıyla ikinci değişkenin işaretini bulma
b>0b > 0 (pozitif) olur.
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde cc yerine 00 yazıldığında b−0>0  ⟹  b>0b - 0 > 0 \implies b > 0 elde edilir.
4
Çarpım yardımıyla son değişkenin işaretini bulma
a<0a < 0 (negatif) olur.
a⋅b<0a \cdot b < 0 eşitsizliğinde bb pozitif olduğuna göre, çarpımın negatif çıkması için aa negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın Nötrlük Özelliği
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 290Soru →

xx gerçel sayısı için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. xx bir rasyonel sayıdır.
II. (x+1)2(x+1)^2 bir rasyonel sayıdır.
III. xx irrasyonel sayı ise x2−2xx^2 - 2x de irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
İkinci öncüldeki ifade (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 biçiminde açıldığında, rasyonel olduğu bilinen bir ifadeye rasyonel bir tam sayı olan 1 eklenmektedir. Rasyonel sayılar kümesi toplama işlem altında kapalı olduğu için bu toplam yine bir rasyonel sayıdır. Üçüncü öncülde ise, eğer xx irrasyonel iken x2−2xx^2 - 2x ifadesi rasyonel olsaydı, rasyonel olan x2+2xx^2 + 2x ifadesinden bu ifade çıkarılarak elde edilen 4x4x rasyonel olurdu, bu da xx'in rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu bir çelişki oluşturduğundan x2−2xx^2 - 2x kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü incelemek amacıyla karşıt örnek oluşturma.
x2+2x=1x^2 + 2x = 1 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri x=−1±2x = -1 \pm \sqrt{2} olup irrasyoneldir. Dolayısıyla xx rasyonel olmak zorunda değildir.
Bir öncülün kesinlikle doğru olmadığını göstermek için aksine bir örnek bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncüldeki ifadeyi cebirsel olarak açma ve rasyonel sayıların özelliklerini kullanma.
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 yazılır. x2+2xx^2 + 2x rasyonel olduğundan, buna rasyonel bir sayı olan 1 eklendiğinde elde edilen (x+1)2(x+1)^2 de kesinlikle rasyonel olur.
Rasyonel sayıların toplama işlemine göre kapalı olması özelliğini kullanmak.
3
Üçüncü öncül için çelişkiyle kanıt (olmayana ergi) yöntemini uygulama.
x2+2x=qx^2 + 2x = q (rasyonel) ve x2−2x=px^2 - 2x = p (rasyonel olsun). Taraf tarafa çıkarma yapıldığında (x2+2x)−(x2−2x)=q−p  ⟹  4x=q−p  ⟹  x=q−p4(x^2 + 2x) - (x^2 - 2x) = q - p \implies 4x = q - p \implies x = \frac{q-p}{4} elde edilir. Rasyonel sayıların farkı ve bölümü rasyonel olduğundan xx rasyonel olmalıdır. Bu durum xx'in irrasyonel olması varsayımı ile çelişir. Demek ki x2−2xx^2 - 2x rasyonel olamaz, irrasyonel olmalıdır.
İki ifadenin de rasyonel olması durumunda xx'in de rasyonel olmak zorunda kalacağını göstererek çelişki elde etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık özelliği ve çelişki yöntemi ile ispat.
Soru 291Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için
x2+y2=8x^2 + y^2 = 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının bir tam sayı olduğu durumda x+yx + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

x + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı 5'tir.
xx ve yy gerçel sayıları için (x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy olup, gerçel sayı olma sınırından dolayı −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 elde edilir. Bu aralıkta xyxy tam sayısı için 8+2xy8+2xy ifadesini tam kare yapan değerler xy∈{−4,−2,4}xy \in \{-4, -2, 4\} olup, x+yx+y toplamı 0,±2,±40, \pm 2, \pm 4 olmak üzere 5 farklı rasyonel sayı değeri alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
x+yx+y toplamının karesini alarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
(x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy eşitliği elde edilir.
x+yx+y toplamı ile xyxy çarpımı arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
xx ve yy sayılarının gerçel sayı olma koşulunu uygulayarak xyxy çarpımının sınırlarını belirleyin.
(x−y)2=8−2xy≥0  ⟹  xy≤4(x-y)^2 = 8 - 2xy \geq 0 \implies xy \leq 4 ve (x+y)2≥0  ⟹  8+2xy≥0  ⟹  xy≥−4(x+y)^2 \geq 0 \implies 8 + 2xy \geq 0 \implies xy \geq -4 olup −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 bulunur.
Gerçel sayı kümelerinde çalışıldığı için karelerin negatif olamama kuralını uygulamak.
3
xyxy çarpımının tam sayı koşulunu kullanarak alabileceği tam sayı değerlerini listeleyin.
xy∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}xy \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} olur.
Soruda verilen tam sayı kümesi tanımını uygulamak.
4
x+yx+y toplamını rasyonel yapan xyxy değerlerini tespit edip bu toplamın alabileceği değerleri hesaplayın.
s=x+ys = x+y rasyonel sayısı için s2=8+2xys^2 = 8 + 2xy tam sayı olduğundan 8+2xy8+2xy ifadesinin bir tam kare olması gerekir. Buradan:
- xy=−4  ⟹  s2=0  ⟹  s=0xy = -4 \implies s^2 = 0 \implies s = 0
- xy=−2  ⟹  s2=4  ⟹  s=±2xy = -2 \implies s^2 = 4 \implies s = \pm 2
- xy=4  ⟹  s2=16  ⟹  s=±4xy = 4 \implies s^2 = 16 \implies s = \pm 4
olmak üzere x+yx+y toplamı {−4,−2,0,2,4}\{-4, -2, 0, 2, 4\} kümesindeki 5 farklı rasyonel değeri alabilir.
Rasyonel sayıların karesinin rasyonel olması ve tam sayı katsayılı denklemde tamkarelik koşulunu incelemek.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar) ve Tanımlılık Koşulları
Soru 292Soru →

Aylin, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının onlar ve yüzler basamağını yer değiştirerek üç basamaklı bir XX sayısı, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek ��ç basamaklı bir YY sayısı elde ediyor.

Aylin'in elde ettiği bu sayılar arasında,
ABC−X=180ABC - X = 180
Y−X=198Y - X = 198

bağıntıları olduğuna göre, yazılabilecek tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4522

Cevap

Koşulları sağlayan tüm üç basamaklı sayıların toplamı 4522'dir.
Çözümleme işlemleri yapıldığında A=B+2A = B + 2 ve C=B+2C = B + 2 bağıntılarına ulaşılır. Hem ABCABC hem de onlar ve yüzler basamağı yer değiştirmiş olan X=BACX = BAC sayısının üç basamaklı olabilmesi için B≥1B \ge 1 ve A≤9A \le 9 olmalıdır. Bu sınırlar dahilinde yazılabilecek sayılar 313, 424, 535, 646, 757, 868 ve 979'dur. Bu sayıların toplamı 4522 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC, XX ve YY sayılarının basamak çözümlemesini yapmak
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
X=100B+10A+CX = 100B + 10A + C (Onlar ve yüzler basamağı yer değiştirdi)
Y=100A+10C+BY = 100A + 10C + B (Onlar ve birler basamağı yer değiştirdi)
Sayılar arasındaki farkları basamak değerlerine göre ifade etmek için çözümleme yapılmalıdır.
2
ABC−X=180ABC - X = 180 bağıntısını çöz��mlemek
(100A+10B+C)−(100B+10A+C)=180(100A + 10B + C) - (100B + 10A + C) = 180
90A−90B=180  ⟹  A−B=2  ⟹  A=B+290A - 90B = 180 \implies A - B = 2 \implies A = B + 2
Yüzler ve onlar basamaklarındaki rakamların farkını bulmak için çıkarma işlemi sadeleştirilir.
3
Y−X=198Y - X = 198 bağıntısını çözümlemek
(100A+10C+B)−(100B+10A+C)=198(100A + 10C + B) - (100B + 10A + C) = 198
90A−99B+9C=19890A - 99B + 9C = 198
Her iki taraf 9'a bölünürse:
10A−11B+C=2210A - 11B + C = 22
YY ve XX sayılarının farkını basamak değerleri yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
Elde edilen denklemleri birleştirerek BB ve CC arasındaki ilişkiyi bulmak
10(B+2)−11B+C=2210(B + 2) - 11B + C = 22
10B+20−11B+C=2210B + 20 - 11B + C = 22
−B+C=2  ⟹  C=B+2-B + C = 2 \implies C = B + 2
A=B+2A = B + 2 eşitliği denklemde yerine yazılarak bilinmeyen sayısı azaltılır.
5
Üç basamaklı sayı olma koşullarını dikkate alarak rakam değerlerini belirlemek
XX ve YY sayılarının yüzler basamağındaki rakamlar sıfır olamayacağından B≠0B \neq 0 ve A≠0A \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B≥1B \ge 1 olmalıdır.
BB rakamına değerler verildiğinde:
- B=1  ⟹  A=3,C=3  ⟹  ABC=313B = 1 \implies A = 3, C = 3 \implies ABC = 313
- B=2  ⟹  A=4,C=4  ⟹  ABC=424B = 2 \implies A = 4, C = 4 \implies ABC = 424
- B=3  ⟹  A=5,C=5  ⟹  ABC=535B = 3 \implies A = 5, C = 5 \implies ABC = 535
- B=4  ⟹  A=6,C=6  ⟹  ABC=646B = 4 \implies A = 6, C = 6 \implies ABC = 646
- B=5  ⟹  A=7,C=7  ⟹  ABC=757B = 5 \implies A = 7, C = 7 \implies ABC = 757
- B=6  ⟹  A=8,C=8  ⟹  ABC=868B = 6 \implies A = 8, C = 8 \implies ABC = 868
- B=7  ⟹  A=9,C=9  ⟹  ABC=979B = 7 \implies A = 9, C = 9 \implies ABC = 979
(B=8B = 8 için A=10A = 10 olur, rakam olamaz.)
AA, BB ve CC değerlerinin rakam olması ve basamak kurallarını sağlaması zorunludur.
6
Elde edilen ABCABC sayılarının toplamını hesaplamak
313+424+535+646+757+868+979=4522313 + 424 + 535 + 646 + 757 + 868 + 979 = 4522
Koşulları sağlayan tüm olası üç basamaklı sayıların toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı doğal sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değiştirme durumlarında değer değişimlerinin cebirsel modellenmesi.
Soru 293Soru →

İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarının farkı, bu sayıların rakamları toplamının bir tam sayı katıdır.

A>BA > B olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABAB doğal sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Koşulu sağlayan 8 farklı AB doğal sayısı vardır.
Doğru cevap 8'dir. Basamak çözümlemesi ve oran analizi yapıldığında, A>B≥1A > B \ge 1 koşulu altında denklemi sağlayan ABAB sayıları 21, 42, 51, 54, 63, 72, 81 ve 84 olmak üzere tam olarak 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayıları için basamak çözümlemesi yapılarak farkları bulunur.
AB−BA=(10A+B)−(10B+A)=9(A−B)AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B)
Sayıların basamak değerlerini çözümleyip fark ifadesini sadeleştirmek için.
2
Bu farkın, rakamlar toplamı olan A+BA + B ifadesinin bir kk tam sayı katı olduğu denklem kurulur.
9(A−B)=k(A+B)9(A - B) = k(A + B) (burada kk pozitif bir tam sayıdır, çünkü A>B  ⟹  A−B>0A > B \implies A - B > 0)
Soruda verilen kat olma koşulunu matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem düzenlenerek rakamlar arasındaki oran yalnız bırakılır.
9A−9B=kA+kB  ⟹  (9−k)A=(9+k)B  ⟹  BA=9−k9+k9A - 9B = kA + kB \implies (9 - k)A = (9 + k)B \implies \frac{B}{A} = \frac{9 - k}{9 + k}
Farklı kk değerlerine karşılık gelen rakam çiftlerini bulmayı kolaylaştırmak için.
4
AA ve BB birer rakam (1≤A,B≤91 \le A, B \le 9) ve A>BA > B koşulu altında mümkün olan kk değerleri denenir.
- k=1  ⟹  BA=810=45  ⟹  (A,B)=(5,4)  ⟹  AB=54k=1 \implies \frac{B}{A} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \implies (A,B) = (5,4) \implies AB = 54
- k=3  ⟹  BA=612=12  ⟹  (A,B)∈{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}  ⟹  AB∈{21,42,63,84}k=3 \implies \frac{B}{A} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies (A,B) \in \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)\} \implies AB \in \{21, 42, 63, 84\}
- k=5  ⟹  BA=414=27  ⟹  (A,B)=(7,2)  ⟹  AB=72k=5 \implies \frac{B}{A} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \implies (A,B) = (7,2) \implies AB = 72
- k=6  ⟹  BA=315=15  ⟹  (A,B)=(5,1)  ⟹  AB=51k=6 \implies \frac{B}{A} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \implies (A,B) = (5,1) \implies AB = 51
- k=7  ⟹  BA=216=18  ⟹  (A,B)=(8,1)  ⟹  AB=81k=7 \implies \frac{B}{A} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \implies (A,B) = (8,1) \implies AB = 81
Diğer kk değerleri için rakam şartı sağlanmaz. Toplamda 8 farklı değer elde edilir.
Sınır koşullarına uyan tüm basamak değerlerini ve sayıları belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerinin oranlanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 294Soru →

Bir tiyatro salonunda aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk olmak üzere toplam a⋅ba \cdot b adet koltuk vardır. Bu koltukların tamamı doludur ve koltuklarda oturan seyircilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki kadın seyirci sayısı cc adettir.
* Salondaki erkek seyirci sayısı, kadın seyirci sayısının 3 katından 5 fazladır.

Buna göre;

I. ab+baa^b + b^a
II. ac+ba^c + b
III. ca+bc^a + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Toplam koltuk sayısı olan a⋅ba \cdot b, kadın ve erkek seyircilerin toplamı olan 4c+54c + 5 ifadesine eşittir. 4c+54c + 5 ifadesi her zaman tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. Bu durum aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olmasını gerektirir. Birinci öncülde tabanlar tek, üsler pozitif tam sayı olduğundan üslü ifadeler tek sayılardır; toplamları çift olur. İkinci öncülde aa tek olduğundan cc doğal sayısı için aca^c her zaman tektir; tek olan bb ile toplamı çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam seyirci sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Kadın seyirci sayısı cc ise erkek seyirci sayısı 3c+53c + 5 olur. Toplam seyirci sayısı c+(3c+5)=4c+5c + (3c + 5) = 4c + 5 olarak bulunur.
Toplam koltuk sayısının seyirci sayısına eşitliğini kullanarak değişkenler arasında bir bağıntı elde etmek için.
2
Elde edilen bağıntı yardımıyla a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde, cc bir doğal sayı olduğundan 4c4c çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek sayı olan 5'in toplamı tek olacağından a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu sonucu çıkar.
Üslü ifadeleri değerlendirebilmek amacıyla tabanların teklik veya çiftlik durumlarını saptamak için.
3
c sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde cc değeri tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin, a=3,b=3a=3, b=3 için 9=4c+5  ⟹  c=19 = 4c+5 \implies c=1 (tek) iken a=3,b=7a=3, b=7 için 21=4c+5  ⟹  c=421 = 4c+5 \implies c=4 (çift) olur. Dolayısıyla cc sayısı hakkında kesin bir şey söylenemez.
Tabanı veya üssü c olan öncüllerin genel geçerliliğini test etmek için.
4
Verilen öncülleri teker teker analiz edelim.
I. ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif tam sayılardır (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1). Tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağından aba^b ve bab^a tek sayılardır. İki tek sayının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. II. ac+ba^c + b ifadesinde aa tek sayıdır. cc doğal sayı olduğundan c=0c=0 için a0=1a^0 = 1 (tek) ve c≥1c \ge 1 için aca^c tektir. Dolayısıyla aca^c her koşulda tektir. Tek olan aca^c ile tek olan bb sayısının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. III. ca+bc^a + b ifadesinde cc çift sayı ise cac^a çift sayı (çünkü a≥1a \ge 1), toplam C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek olur. Bu durumda her zaman çift sayı olmaz.
Her bir öncülün teklik-çiftlik durumunun kesinliğini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel ifadelerde ve üslü sayılarda teklik-çiftlik kuralları, taban ve üs ilişkileri.
Soru 295Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0
b−c<0b - c < 0
eşitlik ve eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅b−ca^2 \cdot b - c

Cevap

a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesi kesinlikle negatiftir.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinde, sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan a2>0a^2 > 0'dır. Negatif bir sayı olan bb ile pozitif olan a2a^2 çarpıldığında sonuç negatif (a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0) olur. Bu ifadeden sıfıra eşit olan cc çıkarıldığında değer değişmez ve sonuç kesinlikle negatif kalır.

Adım Adım Çözüm

1
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0 eşitsizliğini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 ve b<0b < 0 olarak bulunur.
aa gerçel say�� olduğundan a4≥0a^4 \ge 0'dır. Eşitsizlik katı (>>) olduğundan a≠0a \neq 0 ve dolayısıyla a4>0a^4 > 0'dır. Bu durumda −a4<0-a^4 < 0 olur. Çarpımın pozitif olması için b3<0b^3 < 0 olmal��dır, bu da b<0b < 0 demektir.
2
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0 eşitliğini analiz etmek.
c=0c = 0 olarak bulunur.
İlk adımdan a≠0a \neq 0 olduğunu bulmuştuk. Çarpımın sıfır olabilmesi için c2=0c^2 = 0 olmalıdır, buradan c=0c = 0 elde edilir.
3
b−c<0b - c < 0 eşitsizliğini kontrol etmek.
b<0b < 0 ve c=0c = 0 olduğundan b−0<0  ⟹  b<0b - 0 < 0 \implies b < 0 elde edilir.
Bulunan değerlerin sistemin tüm koşullarını sağladığını doğrulamak.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinin kesinlikle negatif olduğu belirlenir.
a≠0  ⟹  a2>0a \neq 0 \implies a^2 > 0 ve b<0b < 0 olduğundan a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 olur. c=0c = 0 olduğundan a2⋅b−c=a2⋅b<0a^2 \cdot b - c = a^2 \cdot b < 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin; a=1a = 1, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 seçilirse ifadelerin değerleri incelenerek kesin olarak negatif olan ifade tespit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 296Soru →

a, b ve c pozitif tam sayılardır.

a!⋅b!=a!+b!+c!a! \cdot b! = a! + b! + c!

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Denklemin tek pozitif tam sayı çözümü a=3a=3, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 3+3+4=103+3+4=10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenleyelim ve pozitif tam sayı koşulunu inceleyelim.
a!⋅b!−a!−b!=c!a! \cdot b! - a! - b! = c! ifadesini elde ederiz.
Denklemi analiz etmek için terimleri bir araya topluyoruz.
2
a değişkeninin k��çük değerleri için denklemi inceleyelim.
a = 1 için çözüm yoktur. a = 2 için b!−2=c!b! - 2 = c! olur; b≥3b \ge 3 için b!b! sayısı 3 ile bölünürken c!+2c! + 2 say��sı 3 ile bölünmez. Dolayısıyla a = 2 için çözüm yoktur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını sınırlamak amacıyla.
3
a = 3 durumunu inceleyelim.
3!⋅b!=3!+b!+c!  ⟹  6b!=6+b!+c!  ⟹  5b!−6=c!3! \cdot b! = 3! + b! + c! \implies 6b! = 6 + b! + c! \implies 5b! - 6 = c! elde edilir. Burada b=3b = 3 seçilirse 5⋅6−6=24=c!  ⟹  c!=4!  ⟹  c=45 \cdot 6 - 6 = 24 = c! \implies c! = 4! \implies c = 4 bulunur.
a = 3 için olası b ve c değerlerini tespit etmek için.
4
Elde edilen tek çözümü kullanarak toplamı hesaplayalım.
a=3a = 3, b=3b = 3 ve c=4c = 4 değerleri için a+b+c=3+3+4=10a + b + c = 3 + 3 + 4 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı, faktöriyelli denklemlerin değer analizi ve asal çarpanlar yardımıyla çözülmesi.
Soru 297Soru →

Her xx gerçel sayısı için, −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinden en az biri negatif bir say��ya eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü x=0x=0 için −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinin her ikisi de sıfıra eşit olur ve sıfır negatif bir sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
xx gerçel sayısının sıfırdan farklı olduğu durumları incelemek.
x≠0x \neq 0 iken, −x2-x^2 daima negatif bir sayı, (−x)2(-x)^2 ise daima pozitif bir sayıdır. Bu durumda ifadelerden en az biri (yani −x2-x^2 olanı) negatiftir.
Sıfır dışındaki sayıların karelerinin pozitif olmasından yola çıkarak ifadelerin işaretlerini belirlemek.
2
xx gerçel sayısının sıfır olduğu durumu incelemek.
x=0x = 0 için −02=0-0^2 = 0 ve (−0)2=0(-0)^2 = 0 olur.
Önermenin 'her xx gerçel sayısı' için geçerli olup olmadığını test etmek amacıyla kritik değer olan sıfırı denemek.
3
Sıfırın işaretini belirlemek ve sonucu değerlendirmek.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğundan negatif değildir. x=0x=0 için iki ifade de negatif olmadığından önerme yanlıştır.
Sıfırın pozitif veya negatif olmadığını (nötr olduğunu) kullanarak önermenin yanlışlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sıfırın nötr olması ve negatif sayıların parantezli kuvvetlerinin işaret üzerindeki etkisi
Soru 298Soru →

Bir dijital baskül, üzerine konulan cisimlerin ağırlıklarını üç basamaklı doğal sayılar olarak göstermektedir. Ancak bu baskülde, onlar ve birler basamağındaki rakamları gösteren haneler ters bağlanmıştır. Örneğin; gerçek ağırlığı 135 gram olan bir cisim basküle konulduğunda ekranda 153 sayısı görünmektedir.

Gerçek ağırlıkları sırasıyla gram cinsinden üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları olan iki cisim bu basküle ayrı ayrı konulduğunda ekranda görünen sayıların toplamı 987 olmaktadır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Baskülde hatalı okunan ACBACB ve BACBAC sayılarının toplamı olan 110A+101B+11C=987110A + 101B + 11C = 987 denklemi çözüldüğünde, B=4B = 4, A=5A = 5 ve C=3C = 3 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Baskülde hatalı okunan sayıları belirleme
ABCABC yerine ACBACB, BCABCA yerine ise BACBAC okunur.
Onlar ve birler basamağı ters bağlandığı için bu iki basamaktaki rakamlar yer değiştirir.
2
Sayıları basamak çözümlemesiyle ifade etme
ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B ve BAC=100B+10A+CBAC = 100B + 10A + C
Sayılar basamak değerlerine göre çözümlenerek cebirsel ifadeye dönüştürülür.
3
Toplama işlemini denklem haline getirme
110A+101B+11C=987110A + 101B + 11C = 987
Ekranda görünen sayıların toplamının 987 olduğu bilgisi kullanılarak denklem yazılır.
4
Bölünebilme veya modüler aritmetik kurallarıyla B rakamını bulma
B=4B = 4
110A110A ve 11C11C terimleri 11'in tam katıdır. Sağ taraftaki 987 sayısı 11'e bölündüğünde 8 kalanını verdiğinden, 101B101B sayısının 11'e bölümünden kalan da 8 olmalıdır. Buradan 2B≡8(mod11)2B \equiv 8 \pmod{11} elde edilerek B=4B = 4 bulunur.
5
Diğer bilinmeyen rakamları bulma
A=5A = 5 ve C=3C = 3
B=4B = 4 değeri denklemde yerine yazılıp sadeleştirildiğinde 10A+C=5310A + C = 53 bulunur. AA ve CC rakam olduğundan bu eşitliği yalnızca A=5A=5 ve C=3C=3 değerleri sağlar.
6
Toplamı hesaplama
A+B+C=12A + B + C = 12
A,BA, B ve CC rakamlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve basamaklarındaki rakamların yer değiştirmesiyle oluşan yeni sayıların analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 299Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.

ab\frac{a}{b} ve bc\frac{b}{c} ifadelerinden biri doğal sayı, diğeri ise rasyonel sayı olup tam sayı değildir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Koşulları sağlayan en büyük toplam değeri 21'dir.
Verilen koşullara uygun olarak en büyük a+b+ca + b + c toplamını elde etmek için rakamlar {9,8,4}\{9, 8, 4\} olarak seçilmelidir. Bu durumda oranlardan biri doğal sayı (22) iken, diğeri tam sayı olmayan bir rasyonel sayı (98\frac{9}{8} veya 49\frac{4}{9}) olmaktadır. Bu rakamların toplamı en fazla 2121 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rakamların değer aralığını ve temel kısıtları belirleme.
aa, bb ve cc sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olduğundan, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden seçilmelidir.
Değişkenlerin alabileceği değer kümesini sınırlandırmak.
2
Oranlardan birinin doğal sayı olmasını sağlayacak şekilde en büyük rakamları seçme.
bb sayısının cc'nin tam katı olması durumunu inceleyelim. Toplamı büyük yapmak için b=8b = 8 ve c=4c = 4 seçildiğinde bc=84=2\frac{b}{c} = \frac{8}{4} = 2 bir doğal sayı olur.
Toplamı en büyük yapan rakam çiftini bulmak.
3
Diğer oranın rasyonel sayı olup tam sayı olmama koşulunu inceleme.
b=8b = 8 ve c=4c = 4 iken geriye kalan en büyük rakam a=9a = 9 olarak seçilirse ab=98\frac{a}{b} = \frac{9}{8} ifadesi rasyonel sayıdır ve tam sayı değildir. Bu durumda a+b+c=9+8+4=21a + b + c = 9 + 8 + 4 = 21 elde edilir.
Kalan değişkeni en büyük seçerek tüm koşulların sağlandığını doğrulamak.
4
Alternatif durumları karşılaştırarak sonucun kesinliğini sağlama.
Eğer ab\frac{a}{b} doğal sayı ve bc\frac{b}{c} rasyonel sayı (tam sayı olmayan) olarak seçilseydi, en büyük değerler için a=8a = 8, b=4b = 4 ve c=9c = 9 alınabilirdi. Bu durumda 84=2∈N\frac{8}{4} = 2 \in \mathbb{N} ve 49∉Z\frac{4}{9} \notin \mathbb{Z} olurdu. Buradan da a+b+c=8+4+9=21a + b + c = 8 + 4 + 9 = 21 değeri elde edilirdi.
Farklı birleşimlerin daha büyük bir toplam verip vermeyeceğini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki farklar (doğal sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayılar) ve temel aritmetik işlemler.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 300Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı aa, bb ve cc tam sayıları ile ilgili öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* a+5ba + 5b toplamı bir çift sayıdır.
* b⋅cb \cdot c çarpımı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
Tek sayıların çarpımı tek, toplamı ise çifttir. aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b tek sayıdır. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
b⋅cb \cdot c çarpımının tek sayı olma durumunu inceleyin.
bb ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
a+5ba + 5b toplamının çift say�� olma durumunu inceleyin.
aa sayısı tek sayıdır.
bb tek sayı olduğundan 5b5b de tek sayıdır. Toplamın çift sayı olması için aa sayısının da tek sayı olması gerekir.
3
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
a⋅b+ca \cdot b + c her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. Tek sayı olan a⋅ba \cdot b ile tek sayı olan cc toplandığında sonuç çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel toplama ve çarpma özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 15 / 24Sonraki