Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 141Soru →

Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları ile bir zz gerçel sayısı için,

* −x4-x^4 ve (−y)3(-y)^3 sayıları zıt işaretlidir.
* (−x)3⋅y>0(-x)^3 \cdot y > 0
* y⋅z=0y \cdot z = 0

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y−xx⋅y\frac{y - x}{x \cdot y}

Cevap

Pay ve paydası negatif olan bölüm ifadesi
Bölüm şeklindeki ifadenin payı olan fark (y−xy - x) negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için negatiftir. Paydadaki çarpım (x⋅yx \cdot y) ise zıt işaretli iki sayının çarpımı olduğundan negatiftir. İki negatif sayının birbirine bölümü her zaman pozitif bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaret analizine −x4-x^4 ve (−y)3(-y)^3 ifadeleriyle başlayın.
xx sıfırdan farklı olduğu için x4>0x^4 > 0 olur. Buradan −x4<0-x^4 < 0 elde edilir. İki ifade zıt işaretli olduğundan (−y)3>0(-y)^3 > 0 olmalıdır. Bu durumda −y>0  ⟹  y<0-y > 0 \implies y < 0 (negatif) bulunur.
Parantez dışındaki eksi işaretinin ve negatif tabanlı tek kuvvetlerin özelliklerini belirlemek için.
2
(−x)3⋅y>0(-x)^3 \cdot y > 0 eşitsizliğini kullanarak xx'in işaretini bulun.
y<0y < 0 (negatif) olduğundan çarpımın pozitif olması için (−x)3<0(-x)^3 < 0 olmalıdır. Buradan −x<0  ⟹  x>0-x < 0 \implies x > 0 (pozitif) elde edilir.
Çarpımın işaret kuralı ve tek kuvvet özelliğini uygulamak için.
3
y⋅z=0y \cdot z = 0 eşitliğini kullanarak zz'nin değerini bulun.
y≠0y \neq 0 (y<0y < 0) olduğundan eşitliğin sağlanması için z=0z = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötrdür (işaretsizdir).
Çarpımın sıfıra eşit olma kuralını uygulamak için.
4
Seçenekleri elde edilen işaretlere (x>0x > 0, y<0y < 0, z=0z = 0) göre değerlendirin.
Bölüm ifadesinde pay y−x<0y - x < 0 ve payda x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğundan, iki negatif ifadenin bölümü her zaman pozitif olur.
İfadelerin her zaman pozitif olma durumunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri, Sıfırın Nötr Olma Durumu ve Kuvvet İşaret Kuralları
Soru 142Soru →

Bir kış günü Erzurum'da hava sıcaklığı −2∘C-2^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerini temsil eden sayı xx olmak üzere;

I. −x2-x^2
II. x⋅0x \cdot 0
III. (−x)3(-x)^3

ifadelerinden hangileri pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Sadece üçüncü ifade pozitif bir sayı belirtir. Sıcaklık değeri olan −2-2 sayısı xx yerine yazıldığında, (−x)3=(−(−2))3=23=8(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
−x2=−(−2)2=−4-x^2 = -(-2)^2 = -4 olur. Bu sayı sıfırdan küçük olduğu için negatiftir.
Parantez dışındaki eksi işareti, karesi alınan sayının önünde kalmaya devam eder.
2
İkinci ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
x⋅0=−2⋅0=0x \cdot 0 = -2 \cdot 0 = 0 olur. Bu sayı ne pozitif ne de negatiftir.
Sıfır sayısı nötr bir sayıdır.
3
Üçüncü ifadeyi x=−2x = -2 için değerlendirin.
(−x)3=(−(−2))3=23=8(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8 olur. Bu sayı sıfırdan büyük olduğu için pozitiftir.
Negatif bir sayının önündeki eksi işareti onu pozitife dönüştürür ve pozitif sayının kuvvetleri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların İşaret Kuralları ve Sıfırın Nötr Olması
Soru 143Soru →

Bir tiyatro salonunda yan yana bulunan aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk boş kalmış, diğer cc tane sıranın her birinde ise aa adet koltuk boş kalmıştır.

Bu salondaki toplam boş koltuk sayısı tek bir sayı olduğuna göre,

I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. b⋅c+ab \cdot c + a
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Verilen ifadelerden I, II ve III her zaman bir tek sayıdır.
Toplam boş koltuk sayısı olan a(b+c)a(b + c) ifadesi tek sayı olduğuna göre, aa tek sayı ve b+cb + c toplamı tek sayı olmalıdır. b+cb + c tek sayı olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Buna göre: I. öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi, bb ve cc sayılarının her iki durumunda da tek sayı verir. II. öncüldeki b⋅cb \cdot c ifadesi, çarpanlardan biri çift olduğundan daima çift olup tek sayı olan aa ile toplandığında sonuç daima tek sayıdır. III. öncüldeki bab^a ifadesinin üssü olan aa pozitif bir tam sayı olduğundan bab^a tabanla aynı teklik-çiftliktedir. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynıdır ve daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam boş koltuk sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Toplam boş koltuk sayısı a⋅b+c⋅a=a(b+c)a \cdot b + c \cdot a = a(b + c) şeklindedir.
Salonda aa tane sıranın her birinde bb koltuk ve cc tane sıranın her birinde aa koltuk boş olduğundan toplam boş koltuk sayısı bu iki grubun toplamına eşittir.
2
Toplam boş koltuk sayısının tek sayı olmasını kullanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.
aa tek sayıdır ve b+cb + c tek sayıdır. Buradan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
İki tam sayının çarpımı tek ise çarpanların her ikisi de tek olmak zorundadır. İki tam sayının toplamı tek ise bu sayılardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncülü (a⋅b+ca \cdot b + c) inceleyelim.
bb tek ve cc çift ise Tek⋅Tek+C¸ift=Tek\text{Tek} \cdot \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olur. bb çift ve cc tek ise Tek⋅C¸ift+Tek=Tek\text{Tek} \cdot \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} olur. Dolayısıyla a⋅b+ca \cdot b + c daima tektir.
aa tek olduğundan a⋅ba \cdot b ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile aynıdır; bu ifadeye farklı teklik-çiftlik durumundaki cc eklendiğinde sonuç her iki durumda da tek olur.
4
İkinci öncülü (b⋅c+ab \cdot c + a) inceleyelim.
bb ve cc sayılarından biri kesinlikle çift olduğundan, b⋅cb \cdot c çarpımı daima çifttir. aa tek olduğundan, b⋅c+ab \cdot c + a toplamı daima tektir.
Çarpanlardan en az biri çift olan bir çarpımın sonucu çift sayıdır. Çift bir sayıya tek bir sayı eklendiğinde sonuç tek sayı olur.
5
Üçüncü öncülü (ba+cb^a + c) inceleyelim.
aa pozitif tek sayı olduğundan, bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu taban olan bb ile aynıdır. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynı olup daima tektir.
Taban tam sayı ve üs pozitif tam sayı olduğunda, taban çift ise sonuç çift (b=0b=0 için 0a=00^a=0 çift), taban tek ise sonuç tektir. Bu durumda bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile tamamen aynı kalır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri
Soru 144Soru →

Ardışık üç tam sayının toplamı bir çift sayıya eşittir.

Bu sayılardan en küçüğü xx olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+3x^2 + 3

Cevap

x2+3x^2 + 3
Ardışık üç tam sayının toplamı 3x+33x+3 ifadesidir. Bu toplamın çift sayı olması, 3x3x ifadesinin tek ve dolayısıyla en küçük sayı olan xx'in tek bir tam sayı olduğunu gösterir. xx tek bir tam sayı ise, karesi olan x2x^2 de tektir. Tek bir tam sayıya tek bir sayı olan 3 eklendiğinde elde edilen x2+3x^2+3 ifadesi her zaman çift bir tam sayı olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç tam sayının toplamını veren cebirsel ifadeyi yazmak.
En küçük tam sayı xx olduğuna göre, diğer ardışık tam sayılar x+1x+1 ve x+2x+2 olur. Bu sayıların toplamı x+(x+1)+(x+2)=3x+3x + (x+1) + (x+2) = 3x+3 ifadesine eşittir.
Sayıların ardışık olma özelliğini kullanarak toplamı tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
2
Toplamın çift sayı olması bilgisinden yararlanarak xx tam sayısının karakterini belirlemek.
3x+33x+3 ifadesi çift bir sayı ise, çift sayıdan tek sayı çıkarıldığında tek sayı elde edileceğinden 3x3x ifadesi tek bir sayı olmak zorundadır. Çarpımları tek olan iki tam sayıdan her biri tek olmalıdır; dolayısıyla 33 tek sayı olduğundan xx de tek bir tam sayı olmak zorundadır.
xx tam sayısının tek sayı olduğunu tespit etmek.
3
xx sayısının tek tam sayı olma durumuna göre seçenekleri analiz etmek.
xx tek bir tam sayı ise, tekin karesi tek olacağından x2x^2 tektir. Tek bir sayı ile tek bir sayı olan 3'ün toplamı (x2+3x^2+3) her zaman bir çift tam sayı belirtir. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise xx'in negatif olması durumunda tam sayı belirtmeyebilir veya her zaman tek sayı sonuçları üretir.
Her zaman çift sayı belirten doğru seçeneği netleştirmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma ve kuvvet işlemlerinin kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 145Soru →

Elemanları gerçel sayılardan oluşan AA kümesi,

A={−82,  0,  9,  154,  −5}A = \left\{ -\frac{8}{2}, \,\, 0, \,\, \sqrt{9}, \,\, \frac{15}{4}, \,\, -\sqrt{5} \right\}

olarak veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi birer tam sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Kümedeki tam sayılar −82=−4-\frac{8}{2} = -4, 00 ve 9=3\sqrt{9} = 3 olmak üzere 3 tanedir.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; −82=−4-\frac{8}{2} = -4 olup bir tam sayıdır. 00 bir tam sayıdır. 9=3\sqrt{9} = 3 olup bir tam sayıdır. Buna karşın, 154\frac{15}{4} tam bölünmediği için tam sayı değildir. −5-\sqrt{5} ise kök dışına tam çıkamadığı için irrasyonel sayıdır ve tam sayı değildir. Dolayısıyla kümede tam sayı olan 3 eleman bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerindeki yerini belirlemek için ifadeleri sadeleştirelim.
−82=−4-\frac{8}{2} = -4, 00, 9=3\sqrt{9} = 3, 154\frac{15}{4} ve −5-\sqrt{5}.
İfadelerin tam sayı olup olmadığını belirlemek için en sade hallerini bulmamız gerekir.
2
Elde edilen sadeleşmiş değerlerden tam sayılar kümesine (Z\mathbb{Z}) ait olanları belirleyelim.
−4-4, 00 ve 33 sayıları tam sayıdır.
Tam sayılar kümesi Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} şeklindedir; hem negatif hem pozitif tam sayıları ve sıfırı kapsar.
3
Geriye kalan elemanların neden tam sayı olmadığını açıklayalım.
154\frac{15}{4} rasyonel sayısı bir tam sayı değildir, −5-\sqrt{5} ise irrasyonel bir sayıdır.
Payı paydasına tam bölünmeyen kesirler ve tam kare olmayan köklü sayılar tam sayı belirtmez.

Anahtar Kavram

Bir sayının tam sayılar kümesine ait olup olmadığını belirleme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 146Soru →

AA, BB ve CC sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için,

* A>B>CA > B > C
* ABC−CBA=594ABC - CBA = 594

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Koşulları sağlayan 15 farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Çözümleme yapıldığında ABC−CBA=99(A−C)=594ABC - CBA = 99(A-C) = 594 elde edilir. Buradan A−C=6A-C = 6 bulunur. A,B,CA, B, C sıfırdan farklı rakamlar olduğundan ve A>B>CA > B > C koşulu bulunduğundan, C=1C=1 için BB 5 değer, C=2C=2 için BB 5 değer ve C=3C=3 için BB 5 değer alabilir. Toplamda 15 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve CBA=100C+10B+ACBA = 100C + 10B + A elde edilir.
Sayıların basamak değerlerini belirleyerek aralarındaki farkı basitleştirmek için.
2
Verilen çıkarma işlemini çözümleme sonuçlarını kullanarak yazalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=594ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 594 olur.
Çıkarma işlemindeki ortak 10B10B teriminin sadeleşmesini görmek ve AA ile CC arasındaki bağıntıyı bulmak için.
3
99(A−C)=59499(A-C) = 594 eşitliğinden A−CA-C farkını bulalım.
A−C=6A - C = 6 elde edilir.
AA ve CC rakamları arasındaki sayısal farkı netleştirmek için.
4
A,B,CA, B, C rakamlarının sıfırdan farklı olduğu ve A>B>CA > B > C koşulunu sağladığı durumları inceleyelim.
A−C=6A-C=6 için sıfırdan farklı rakam çiftleri:

* C=1  ⟹  A=7C = 1 \implies A = 7 olur. Bu durumda 7>B>17 > B > 1 olmalıdır. BB rakamı 2,3,4,5,62, 3, 4, 5, 6 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
* C=2  ⟹  A=8C = 2 \implies A = 8 olur. Bu durumda 8>B>28 > B > 2 olmalıdır. BB rakamı 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
* C=3  ⟹  A=9C = 3 \implies A = 9 olur. Bu durumda 9>B>39 > B > 3 olmalıdır. BB rakamı 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir (5 farklı sayı).
Koşulları sağlayan tüm olası basamak değerlerini tek tek belirlemek için.
5
Bulunan tüm durumların sayısını toplayalım.
5+5+5=155 + 5 + 5 = 15 farklı ABCABC sayısı yazılabilir.
Soruda istenen toplam farklı sayı adedine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 147Soru →
Birer gerçel sayı olan aa ve bb için
(−a)2⋅(−b)3≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 \geq 0
eşitsizliği sağlandığına göre, bb sayısının pozitif bir sayı olamayacağı iddiası her zaman doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen iddia her zaman doğru değildir (yanlıştır), çünkü a=0a = 0 durumunda bb sayısı pozitif bir değer alabilir.
İddia yanlıştır. Eşitsizliği sağlayan aa ve bb gerçel sayıları için a=0a=0 seçildiğinde, (−a)2=0(-a)^2 = 0 olur ve çarpımın sonucu bb'nin tüm değerleri için sıfıra eşit olur. Bu durumda bb sayısı pozitif bir değer (örneğin b=1b=1) alabilmektedir. Dolayısıyla, bb sayısının pozitif olamayacağı iddiası her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadelerin işaret durumlarını incelemek için parantezli üslü ifadelerin özelliklerini belirlemek.
(−a)2(-a)^2 ifadesi her aa gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ((−a)2≥0(-a)^2 \geq 0). Benzer şekilde (−b)3(-b)^3 ifadesi, −b-b sayısının işareti ile aynı işarete sahiptir.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması durumunu analiz edebilmek için çarpanların alabileceği değer aralıklarını bilmemiz gerekir.
2
a=0a = 0 olma durumunu (sıfırın nötr olma özelliğini) kontrol etmek.
Eğer a=0a = 0 ise (−a)2=(−0)2=0(-a)^2 = (-0)^2 = 0 olur. Bu durumda (−a)2⋅(−b)3=0⋅(−b)3=0≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 = 0 \cdot (-b)^3 = 0 \geq 0 eşitsizliği, bb sayısının değeri ne olursa olsun her zaman sağlanır.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpma işleminde yutan elemandır; bu özel durumun eşitsizliğin çözüm kümesini nasıl etkilediğini görmemiz gerekir.
3
bb sayısının pozitif bir değer alıp alamayacağını bir karşı örnekle test etmek.
a=0a = 0 ve b=1b = 1 (pozitif bir sayı) seçildiğinde, (−0)2⋅(−1)3=0⋅(−1)=0≥0(-0)^2 \cdot (-1)^3 = 0 \cdot (-1) = 0 \geq 0 eşitsizliği doğru olur. Dolayısıyla bb sayısı pozitif bir sayı olabilir.
İddianın doğruluğunu çürütmek için eşitsizliği sağlayan en az bir pozitif bb değerinin var olduğunu göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu ve çift kuvvetlerin sıfıra eşit olabilme özelliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 148Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamları toplamının 44 katına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABAB sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

48
İki basamaklı ABAB sayısı çözümlenip verilen eşitlikte yerine yazıldığında 2A=B2A = B bağıntısı elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 olduğundan, bu koşulu sağlayan en büyük sayı A=4A = 4 ve B=8B = 8 değerleri ile elde edilen 4848 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B
Basamak analizi kurallarına göre onlar basamağındaki rakam 1010 ile, birler basamağındaki rakam ise 11 ile çarpılarak çözümlenir.
2
Soruda verilen eşitliği kuralım ve düzenleyelim.
10A+B=4(A+B)⇒10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B
ABAB sayısının rakamları toplamının 44 katına eşit olduğu belirtilmiştir. Bu denklemde benzer terimler bir araya getirilerek sadeleştirme yapılır.
3
2A=B2A = B koşulunu sağlayan AA ve BB rakamlarını belirleyelim.
AA ve BB birer rakam olmak üzere, AA sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda yazabileceğimiz (A,B)(A, B) ikilileri:
- A=1A = 1 için B=2⇒AB=12B = 2 \Rightarrow AB = 12
- A=2A = 2 için B=4⇒AB=24B = 4 \Rightarrow AB = 24
- A=3A = 3 için B=6⇒AB=36B = 6 \Rightarrow AB = 36
- A=4A = 4 için B=8⇒AB=48B = 8 \Rightarrow AB = 48
ABAB iki basamaklı sayı olduğundan onlar basamağındaki AA rakamı sıfır olamaz. Ayrıca BB bir rakam olduğundan en fazla 99 değerini alabilir, dolayısıyla AA en fazla 44 olabilir.
4
Elde edilen sayılar arasından en büyük olanı seçelim.
En büyük ABAB sayısı 4848 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan sayılar 12,24,36,4812, 24, 36, 48 olup, bunlar arasından en büyüğü 4848'dir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve rakam kısıtlamaları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 149Soru →

Her biri birer tam sayı olan aa, bb ve cc değişkenleri için,
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin bir tek sayıya,
* (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin bir çift sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a * (b + 1) + c
Belirlenen teklik-çiftlik durumlarına göre aa tek, bb çift ve cc tek sayıdır. Çarpma ve toplama işlemlerinden oluşan a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinde b+1b+1 tek, a⋅(b+1)a \cdot (b+1) tek ve tek bir sayıya tek olan cc eklendiğinde sonuç her zaman çift tam sayı olur. Bölme veya değişken üssü barındırmadığı için her zaman tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen ifadenin çarpanlarını analiz edelim.
aa tek sayı ve (b+c)(b + c) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı tek sayı ise bu çarpanların her ikisi de tek sayı olmak zorundadır. a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek olduğundan aa tektir ve b+cb+c toplamı da tektir.
2
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek için ikinci ifadeyi inceleyelim.
bb çift sayı ve cc tek sayı olmalıdır.
b+cb + c toplamı tek sayı olduğuna göre bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. E��er bb tek sayı olsaydı, cc çift sayı olurdu. Bu durumda a+ca+c toplamı tek + çift = tek olurdu ve (a+c)⋅b(a+c) \cdot b ifadesi tek ⋅\cdot tek = tek çıkardı. Ancak bu ifadenin çift olduğu bilinmektedir. Çelişkiyi önlemek için bb çift, cc tek sayı olmak zorundadır.
3
Elde edilen verileri kullanarak seçenekleri değerlendirelim.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
bb çift sayı olduğundan b+1b + 1 tek sayıdır. aa tek sayı olduğundan a⋅(b+1)a \cdot (b + 1) çarpımı tek ⋅\cdot tek = tek olur. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde tek + tek = çift tam sayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel toplama ve çarpma kuralları ile üslü ifadelerde tam sayı/negatiflik koşulları.
Soru 150Soru →

Bir dağcılık kulübü, deniz seviyesinden yükseklikleri metre cinsinden birer tam sayı olan üç farklı kamp noktası belirlemiştir. Bu kamp noktalarının yükseklikleri olan aa, bb ve cc değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa ve bb noktalarının yükseklikleri negatif tam sayılardır.
* cc noktasının yüksekliği pozitif bir tam sayıdır.
* Kamp noktalarının yükseklikleri arasında a<b<ca < b < c sıralaması vardır.
* Bu üç yüksekliğin çarpımı a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 dir.

Buna göre, bu üç kamp noktasının yükseklikleri toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Kamp noktalarının yükseklikleri toplamının alabileceği en büyük değer 33 metredir.
Verilen koşullarda toplamı en büyük yapmak için pozitif olan cc sayısı olabildiğince büyük seçilmelidir. c=36c = 36 seçildiğinde, çarpımları 2 olan ve a<b<0a < b < 0 koşulunu sağlayan negatif tam sayılar a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu durumda toplam −2+(−1)+36=33-2 + (-1) + 36 = 33 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı kümelerini ve işaretlerini tanımlama
a,b∈Z−a, b \in \mathbb{Z}^- ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ ve a<b<ca < b < c
Soruda verilen negatif tam sayı ve pozitif tam sayı tanımlarını matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Çarpım denklemini analiz etme
a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 ve a⋅b>0a \cdot b > 0
İki negatif tam sayının çarpımının pozitif olduğunu belirleyerek cc sayısının çarpanlarını sınırlandırmak için.
3
cc için en büyük değeri arama ve a,ba, b değerlerini belirleme
c=36c = 36 iken a⋅b=2a \cdot b = 2 olur, buradan a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 bulunur.
Toplamı maksimize etmek için pozitif olan cc terimini en büyük seçip, a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine uyan farklı negatif tam sayıları bulmak için.
4
En büyük toplam değerini hesaplama
a+b+c=−2+(−1)+36=33a + b + c = -2 + (-1) + 36 = 33
Elde edilen en büyük değerler ile toplam sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılar kümesinde pozitiflik, negatiflik, sıralama ve çarpan analizi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 151Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizlikleri sağlandığına göre, cc sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olamaz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Eşitsizlik sisteminde eşitlik durumu da geçerli olduğu için c sayısı 0 (işaretsiz/nötr) değerini alabilir.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olmasını gerektirirken, a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 olmasını gerektirir. Burada eşitlik durumu sağlandığı için c=0c = 0 seçilebilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğundan, cc sayısı işaretsiz bir sayı olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği analiz edilir.
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu belirlenir.
Çift kuvvetli olan b2b^2 ifadesi sıfırdan farklı her gerçel sayı için pozitiftir. Çarpımın pozitif olabilmesi için hem b2>0b^2 > 0 (yani b≠0b \neq 0) hem de a3>0a^3 > 0 olmalıdır. Buradan a>0a > 0 sonucuna ulaşılır.
2
a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği sadeleştirilir.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği elde edilir.
a>0a > 0 olduğu için çift kuvveti olan a4a^4 da daima pozitiftir. Pozitif bir çarpan eşitsizliğin yönünü veya sıfıra göre durumunu etkilemeyeceği için eşitsizlik sadeleştirilebilir.
3
cc sayısının sıfır (nötr) olma durumu test edilir.
c=0c = 0 değerinin sistemi sağladığı görülür.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b3⋅0=0≤0b^3 \cdot 0 = 0 \leq 0 ifadesi elde edilir ve bu ifade her b≠0b \neq 0 gerçel sayısı için doğrudur. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğu için cc sayısı işaretsiz olabilir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaret durumları ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 152Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc tam sayıları için,
- a(b+c)a(b + c) çarpımının bir çift sayı,
- a+b⋅ca + b \cdot c toplamının bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi, aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği her iki olası parite durumunda da tek sayı sonucunu vermektedir. Dört işlem sonucu tam sayı olduğundan tanımsızlık veya rasyonellik sorunu yaşanmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki koşulu analiz etmek için durumları belirleme.
a(b+c)a(b + c) çift ve a+b⋅ca + b \cdot c tek sayı olmalıdır.
Değişkenlerin teklik ve çiftlik durumların�� inceleyerek tutarlı senaryoları bulmak.
2
aa sayısının tek olduğu durumu inceleme.
aa tek ise, a(b+c)a(b + c) çift olduğundan b+cb + c çift olmalıdır. Yani bb ve cc aynı paritede olmalıdır. Eğer bb ve cc tek olursa, b⋅cb \cdot c tek olur ve a+b⋅ca + b \cdot c toplamı tek + tek = çift olur; bu durum ikinci koşulla çelişir. Dolayısıyla, bb ve cc çift olmalıdır. Bu durumda aa tek, bb çift, cc çift olur ve koşullar sağlanır.
Birinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
3
aa sayısının çift olduğu durumu inceleme.
aa çift ise, a(b+c)a(b + c) her zaman çifttir. a+b⋅ca + b \cdot c toplamının tek olması için b⋅cb \cdot c çarpımı tek olmalıdır. Bu durumda hem bb hem de cc tek sayı olmak zorundadır. Bu durumda aa çift, bb tek, cc tek olur ve tüm koşullar sağlanır.
İkinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
4
Elde edilen iki durumu seçeneklerdeki ifadeler üzerinde deneme.
Durum 1: aa tek, bb çift, cc çift. Durum 2: aa çift, bb tek, cc tek. Her iki durumda da a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin sonucunu kontrol ederiz. Durum 1 için: tek ⋅\cdot (çift + 1) + çift = tek ⋅\cdot tek + çift = tek + çift = tek. Durum 2 için: çift ⋅\cdot (tek + 1) + tek = çift ⋅\cdot çift + tek = çift + tek = tek.
Her zaman tek sayı olan ifadeyi doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayı kuvvetlerinde negatif üs durumu.
Soru 153Soru →

Karesi kendisinden küçük olan bir xx gerçel sayısı veriliyor.

Buna göre, xx sayısı aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinin kesinlikle bir elemanı olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tam sayılar kümesi

Cevap

Tam sayılar kümesi
Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0<x<10 < x < 1 aralığındadır. Bu açık aralıkta hiçbir tam sayı bulunmadığından, xx sayısı tam sayılar kümesinin bir elemanı olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Karesi kendisinden küçük olan gerçel sayıların aralığı belirlenir.
x2<xx^2 < x eşitsizliğinin çözüm kümesi 0<x<10 < x < 1 açık aralığıdır.
Bir gerçel sayının karesinin kendisinden küçük olması, o sayının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
Elde edilen aralığın tam sayılar kümesiyle olan ilişkisi incelenir.
0 ile 1 açık aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz.
Ardışık iki tam sayı (0 ve 1) arasında başka bir tam sayı yer alamaz. Dolayısıyla bu aralıktaki bir sayı tam sayı olamaz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Aralık İlişkisi
Tahmini Süre:45s
Soru 154Soru →

Üç basamaklı A2BA2B doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 200200 fazladır. Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A + B toplamının alabileceği en büyük değer 11'dir.
Verilen sayıların basamak çözümlenmesi yapıldığında A2B−AB=90A+20A2B - AB = 90A + 20 ifadesi elde edilir. Bu ifade 200200 değerine eşitlendiğinde A=2A = 2 olarak bulunur. Toplamın en büyük olması için serbest kalan BB rakamı 99 seçilir ve doğru sonuca 2+9=112 + 9 = 11 olarak ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleme
A2B=100A+20+BA2B = 100A + 20 + B ve AB=10A+BAB = 10A + B
Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisini cebirsel denkleme dönüştürmek amacıyla çözümleme yöntemi kullanılır.
2
Fark denklemini kurma ve sadeleştirme
90A+20=200⇒A=290A + 20 = 200 \Rightarrow A = 2
İki sayının farkının 200 olduğu bilgisi kullanılarak denklemin her iki tarafındaki birler basamağı olan B rakamları sadeleştirilir ve A değeri elde edilir.
3
A + B toplamının alabileceği en büyük değeri belirleme
A+B=2+9=11A + B = 2 + 9 = 11
A değeri 2 olarak sabitlendiğinden, toplamı en büyük yapmak amacıyla B rakamı seçilebilecek en büyük rakam olan 9 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi yardımıyla çok basamaklı sayıları çözümleme ve sadeleşen basamaklar yardımıyla bilinmeyenleri sınırlandırma.
Soru 155Soru →
x=(−5)2x = (-5)^2
y=−52y = -5^2
ve zz sayısı negatif olmayan en küçük tam sayıdır.

Buna göre, x−y+zx - y + z işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Verilen işlemin sonucu 50'dir.
Verilen ifadeler incelendiğinde, negatif bir sayının parantezli karesi pozitif olduğundan x=25x = 25, parantezsiz kare işleminde işaret etkilenmediğinden y=−25y = -25 ve nötr olan sıfır sayısı negatif olmadığından z=0z = 0 olur. Bu değerlerle yapılan x−y+zx - y + z işlemi 25−(−25)+0=5025 - (-25) + 0 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının değerini hesaplama
x=25x = 25
Negatif bir sayının çift kuvveti parantez dışındaysa tabandaki eksi işaretini de etkiler ve sonuç pozitif olur: (−5)2=(−5)⋅(−5)=25(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25.
2
yy sayısının değerini hesaplama
y=−25y = -25
Parantez bulunmayan durumlarda üs alma işlemi sadece sayıya aittir, sayının önündeki işarete etki etmez: −52=−(52)=−25-5^2 = -(5^2) = -25.
3
zz sayısının değerini belirleme
z=0z = 0
Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla negatif olmayan tam sayılar kümesi 0'dan başlar: {0,1,2,3,… }\{0, 1, 2, 3, \dots\}. Bu kümenin en küçük elemanı da 0'dır.
4
x−y+zx - y + z ifadesinin değerini bulma
50
Elde edilen değerler ifadede yerine yazıldığında 25−(−25)+0=25+25+0=5025 - (-25) + 0 = 25 + 25 + 0 = 50 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kuvvetleri alınırken parantez kullanımının önemi ile sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Tahmini Süre:50s
Soru 156Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅cb(a + b) \cdot c^b
ifadesinin bir tek tam sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. (a+1)⋅(b+c)(a + 1) \cdot (b + c)
II. a⋅b⋅(c+1)a \cdot b \cdot (c + 1)
III. a+b⋅ca + b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Verilen (a+b)⋅cb(a+b) \cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olması koşulunda, bb sayısının negatif tam sayı veya sıfır olabileceği unutulmamalıdır. Tüm olası durumlar analiz edildiğinde, (a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c) ifadesinin her durumda çift sayı sonuç verdiği görülür. Bu nedenle yalnızca birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (a+b)⋅cb(a+b)\cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olma koşullarını analiz etmek.
cbc^b ve a+ba+b çarpanlarının tek tam sayı olması gerektiği belirlenir ancak bb tam sayısının negatif ve sıfır değerleri dikkate alınır.
bb sayısının işareti ve değeri, taban cc ve üs bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini doğrudan etkiler.
2
bb tam sayısının pozitif, sıfır ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemek.
1) b>0b > 0 ise cc tek, aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
2) b=0b = 0 ise c0=1c^0 = 1 olup aa tek, bb çift (sıfır), cc ise herhangi bir tam sayıdır.
3) b<0b < 0 ise (b=−k,k>0b = -k, k > 0) ifadesi (a−k)/ck(a-k)/c^k şeklinde bir tek sayı belirtir. Eğer cc çift ise a−ka-k çift olmalıdır, yani aa ve bb aynı tekliğe/çiftliğe sahiptir. Eğer cc tek ise aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
Değişkenlerin işaret ve değer sınırı belirtilmediği için tüm olası tam sayı senaryolarının belirlenmesi gerekir.
3
Birinci öncülü ((a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c)) her senaryo için değerlendirmek.
Tüm senaryolar analiz edildiğinde; cc tek ise aa ile bb farklı paritede olduğundan b+cb+c veya a+1a+1 ifadelerinden en az biri kesinlikle çifttir. cc çift ise, b=0b=0 durumunda aa tek olduğundan a+1a+1 çifttir; b<0b < 0 durumunda ise aa ve bb aynı paritede olacağından aa ve bb çift ise b+cb+c çift, aa ve bb tek ise a+1a+1 çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumundaki bir ifadenin her durumda çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak.
4
İkinci ve üçüncü öncüller için aksi örnekler (tek sayı çıkaran durumlar) bulmak.
a=7a = 7, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 tam sayıları için (7−1)⋅2−1=3(7-1) \cdot 2^{-1} = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için ikinci öncül 7⋅(−1)⋅3=−217 \cdot (-1) \cdot 3 = -21 (tek sayı) olur. a=3a = 3, b=0b = 0 ve c=2c = 2 tam sayıları için (3+0)⋅20=3(3+0) \cdot 2^0 = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için üçüncü öncül 3+0⋅2=33 + 0 \cdot 2 = 3 (tek sayı) olur.
Diğer öncüllerin her zaman çift sayı olmadığını karşıt örneklerle kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayı özellikleri ile negatif ve sıfır üs durumlarının incelenmesi
Soru 157Soru →

Aşağıda üç farklı sayı kümesi tanımlanmıştır:

* AA: Pozitif olmayan tam sayılar kümesi
* BB: Pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesi
* CC: İrrasyonel sayılar kümesi

Bu kümelerden sırasıyla aa, bb ve cc elemanları seçiliyor.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman pozitif bir rasyonel sayıdır.

II. b⋅cb \cdot c çarpımı sıfır olabilir.

III. a+ca + c toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüllerin doğru, birinci öncülün ise yanlış olduğu seçenektir.
Doğru olan seçenekte II ve III numaralı öncüller yer almaktadır. Çünkü pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesinde bulunan 0 elemanı, bir irrasyonel sayı ile çarpıldığında sonucu 0 (rasyonel sayı) yapar, bu da çarpımın sıfır olabileceğini doğrular. Ayrıca, her tam sayı aynı zamanda rasyonel olduğundan, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı daima irrasyoneldir. Birinci öncül ise elemanlardan birinin 0 seçilmesi durumunda çarpımı 0 yapacağından ve 0 pozitif olmadığından her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman yapılarını analiz etmek ve sınır koşullarını belirlemek.
AA kümesi {0,−1,−2,… }\{0, -1, -2, \dots\} tam sayılarından; BB kümesi negatif rasyonel sayılar ile 00 sayısından oluşur. CC kümesi ise 2,π\sqrt{2}, \pi gibi irrasyonel sayılardan oluşur.
Soruda verilen öncülleri test etmek için kümelerin hangi sayıları barındırdığını netleştirmeliyiz.
2
Birinci öncülü test etmek.
a⋅ba \cdot b ifadesinde a=0∈Aa = 0 \in A veya b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse çarpım 00 olur. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için öncül her zaman doğru değildir.
Çarpımın daima pozitif rasyonel sayı olup olmadığını belirlemek için nötr eleman olan sıfırın etkisini inceleriz.
3
İkinci öncülü test etmek.
b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse, irrasyonel herhangi bir c∈Cc \in C sayısı için b⋅c=0⋅c=0b \cdot c = 0 \cdot c = 0 olur. Sıfır bir rasyonel sayıdır ve çarpım sıfır olabilir. Öncül doğrudur.
Rasyonel sayı kümesindeki sıfır elemanının irrasyonel sayıyla çarpımının sonucunu değerlendirmek.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
aa tam sayısı bir rasyonel sayıdır (A⊂Z⊂QA \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}). Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Öncül doğrudur.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin toplama işlemine göre kapalılık/ilişki özelliklerini kullanmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin özellikleri, rasyonel ve irrasyonel sayılarda toplama ve çarpma işlemleri ile sıfırın nötr karakteri.
Soru 158Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0
a+b<0a + b < 0
b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0
eşitsizlikleri sağlandığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−ba - b

Cevap

a−ba - b ifadesi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.
a−ba - b ifadesinde aa pozitif ve bb negatif bir sayı olduğundan, −b-b pozitif olur. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olduğundan, bu ifade kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarının özelliklerini belirleme
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0 eşitsizliğinde b4b^4 çift kuvvet olduğundan b≠0b \neq 0 için her zaman pozitiftir. Çarpımın pozitif olması için a3>0a^3 > 0 olmalıdır, bu da a>0a > 0 anlamına gelir.
2
bb sayısının işaretini belirleme
b<0b < 0
a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde a>0a > 0 olduğu için toplamın negatif olabilmesi ancak bb sayısının negatif olması (b<0b < 0) ve mutlak değerce aa'dan büyük olmasıyla mümkündür.
3
cc sayısının işaret aralığını belirleme
c≤0c \leq 0
b<0b < 0 olduğundan tek kuvveti olan b5<0b^5 < 0 olur. b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf negatif olan b5b^5 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve c≤0c \leq 0 elde edilir. Burada cc sayısı sıfır da olabilir.
4
Seçenekleri analiz etme
a−b>0a - b > 0
a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğu bilindiğine göre, −b>0-b > 0 olur. Dolayısıyla a−b=a+(−b)a - b = a + (-b) ifadesi iki pozitif sayının toplamı olup kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpma, bölme ve toplama işlemleri altındaki işaret değişimleri ile sıfır sayısının nötr karakteri.
Soru 159Soru →

Bir laboratuvardaki hassas termometre, bir deney kabının sıcaklığını günün üç farklı saatinde sırasıyla aa, bb ve cc °C olarak ölçmüştür.

Sıcaklık değerleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* aa bir negatif tam sayıdır (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-).
* bb bir rasyonel sayı olup tam sayı değildir (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}).
* cc bir pozitif tam sayıdır (c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+).

Bu sıcaklık değerleri arasında
a⋅b=6a \cdot b = 6
b+c=55b + c = 5{}5

bağıntıları olduğuna göre, a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Sıcaklık değerlerinin toplamı olan -3
Doğru yanıt olan -3 değeri, denklem sistemini sağlayan tüm koşulların (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-, b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+) doğru analiz edilmesiyle elde edilir. Bu koşullara uygun olarak bb sayısının ondalık kısmı 050{}5 olmak zorundadır. a⋅b=6a \cdot b = 6 eşitliği kullanıldığında aa negatif tam sayısının alabileceği değerler −12-12 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen cc değerleri sırasıyla 66 ve 77 olup, a+ca+c toplamları −6-6 ve 33 bulunur. Bu değerlerin toplamı −3-3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
b sayısının biçimini belirleme
b+c=55b + c = 5{}5 ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ olduğundan b=55−cb = 5{}5 - c olur. cc bir tam sayı olduğundan bb rasyonel sayısının ondalık kısmı mutlaka 050{}5 olmalıdır. Yani b=p2b = \frac{p}{2} formundadır (burada pp tek bir tam sayıdır).
cc tam sayı olduğu için bb sayısı yarı-tam (ondalık kısmı 0,5 olan) bir sayı olmak zorundadır.
2
a ve b bağıntısını kullanarak olası değerleri bulma
a⋅b=6  ⟹  a⋅p2=6  ⟹  a⋅p=12a \cdot b = 6 \implies a \cdot \frac{p}{2} = 6 \implies a \cdot p = 12 elde edilir. a∈Z−a \in \mathbb{Z}^- olduğundan hem aa hem de pp negatif olmalıdır. pp tek sayı olduğundan, 1212 sayısının negatif tek bölenleri p=−1p = -1 veya p=−3p = -3 olabilir.
aa tam sayısı negatif olduğu için çarpımı 1212 yapan negatif tek tam sayı bölenlerini ararız.
3
Her iki durum için a, b ve c değerlerini hesaplayıp a + c toplamını bulma
1. Durum: p=−1p = -1 ise a=−12a = -12 olur. b=−05b = -0{}5 olur. Bu durumda c=55−(−05)=6c = 5{}5 - (-0{}5) = 6 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−12+6=−6a + c = -12 + 6 = -6 elde edilir.
2. Durum: p=−3p = -3 ise a=−4a = -4 olur. b=−15b = -1{}5 olur. Bu durumda c=55−(−15)=7c = 5{}5 - (-1{}5) = 7 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−4+7=3a + c = -4 + 7 = 3 elde edilir.
Olası pp değerlerine göre denklem sisteminin tüm değişkenlerini bulmak ve istenen toplamı hesaplamak için.
4
Bulunan toplamların genel toplamını alma
a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerler −6-6 ve 33 olup, bunların toplamı −6+3=−3-6 + 3 = -3 bulunur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları ve elemanlarının özelliklerinin denklem çözümlerinde sınırlandırıcı olarak kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 160Soru →
Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} olmak üzere,
A={−4,  0,  52,  3,  8,  −153}A = \left\{-4, \,\, 0, \,\, \frac{5}{2}, \,\, \sqrt{3}, \,\, 8, \,\, -\frac{15}{3}\right\}
kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi Z\mathbb{Z} kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A kümesinin elemanlarından tam sayı olanlar -4, 0, 8 ve -15/3 (yani -5) sayılarıdır. Dolayısıyla bu kümenin 4 elemanı tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; -4, 0, 8 ve -15/3 (yani -5) sayılarının tam sayı olduğu görülür. Toplamda 4 eleman tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarının tam sayı olup olmadığını belirlemek amacıyla her bir elemanı sadeleştirerek analiz etme
−4,0,8-4, 0, 8 ve −153-\frac{15}{3} (yani −5-5) sayılarının tam sayı; 52\frac{5}{2} ve 3\sqrt{3} sayılarının ise tam sayı olmadığı belirlenmiştir.
Her bir elemanın tam sayılar kümesine ait olup olmadığını netleştirmek için.
2
Belirlenen tam sayı elemanlarının sayısını bulma
4
Soruda bizden istenen toplam tam sayı elemanı sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki ilişkiler ve elemanların kümelere aitliği.
ÖncekiSayfa 8 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 8 | Examkin