Problemler

Soru 281Soru →

Bir tekstil atölyesinde üretim yapan A ve B makineleri bulunmaktadır. A makinesinin çalışma kapasitesi, B makinesinin çalışma kapasitesinin %60'ı kadardır. Bu iki makine bir siparişi yetiştirmek için aynı anda çalışmaya başlıyor. 5 saat sonra A makinesi arızalanıyor ve kapasitesi yarıya düşüyor. B makinesi ise normal kapasitesiyle çalışmaya devam ediyor. Siparişin tamamı toplam 15 saatte bittiğine göre, B makinesi bu siparişi tek başına, aralıksız ve sabit hızla çalışarak kaç saatte bitirebilirdi?

16

21

24

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

B makinesi işi tek başına 21 saatte bitirirdi.

Toplam iş miktarı, iki farklı çalışma dönemindeki (arıza öncesi ve sonrası) üretimlerin toplamıdır. İlk 5 saatte

8v

hızla

40v

iş, sonraki 10 saatte

6.5v

hızla

65v

iş yapılmıştır. Toplam

105v

işi, hızı

5v

olan B makinesi tek başına

105/5 = 21

saatte bitirir.

Adım Adım Çözüm

1

Makinelerin çalışma kapasitelerini (hızlarını) tanımla.

V_B = 100v

dersek,

V_A = 60v

olur. İşlem kolaylığı için sadeleştirirsek:

V_B = 5v

,

V_A = 3v

.

Yüzdelik ilişkiyi matematiksel orana dökerek işlem yapılabilir hale getirmek için.

2

İlk 5 saatlik (arıza öncesi) dönemde yapılan iş miktarını hesapla.

Toplam Hız =

3v + 5v = 8v

. Yapılan İş (

W_1

) =

8v \times 5 = 40v

.

İşin, kapasite değişikliği olmadan önceki kısmını bulmak için.

3

İkinci dönemdeki (arıza sonrası) yeni hızları ve süreyi belirle.

A'nın yeni hızı

3v / 2 = 1.5v

. B'nin hızı değişmez (

5v

). Yeni Toplam Hız =

6.5v

. Kalan süre =

15 - 5 = 10

saat.

Değişen koşullar altındaki çalışma hızını ve süresini netleştirmek için.

4

İkinci dönemde yapılan iş miktarını hesapla.

Yapılan İş (

W_2

) =

6.5v \times 10 = 65v

.

İşin kalan kısmının büyüklüğünü bulmak için.

5

Toplam iş miktarını bul ve B makinesinin hızına böl.

Toplam İş (

W

) =

40v + 65v = 105v

. B'nin süresi =

105v / 5v = 21

saat.

B makinesinin bu toplam işi tek başına ne kadar sürede yapacağını bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişken Kapasiteli İşçi Problemleri

Soru 282Soru →

Bir mülki idare amiri, denetleme yapacağı ilçeye gitmek üzere makam aracıyla yola çıkmıştır. Bu araç saatte $90$ km sabit hızla giderse planlanan varış saatinden $20$ dakika önce, saatte $60$ km sabit hızla giderse planlanan varış saatinden $10$ dakika sonra ilçeye varmaktadır.

Buna göre, il merkezi ile ilçe arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

60

75

90

100

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

İl merkezi ile ilçe arasındaki uzaklık 90 kilometredir.

Doğru yanıt olan 90 değeri, planlanan süreden 20 dakika erken ve 10 dakika geç varış durumları arasındaki 30 dakikalık (1/2 saat) farkın, hızların yol üzerindeki etkisine oranlanmasıyla bulunur.

x/60 - x/90 = 1/2

denklemi bizi doğrudan bu sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman birimlerini saate çeviriniz.

20

dakika

= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}

saat ve

10

dakika

= \frac{10}{60} = \frac{1}{6}

saat.

Hız birimi km/saat olduğu için zamanın da saat cinsinden olması gerekir.

2

Planlanan varış süresi

T

ve yol

x

olacak şekilde denklemleri kurunuz.

x = 90 \cdot (T - \frac{1}{3})

ve

x = 60 \cdot (T + \frac{1}{6})

.

Yol = Hız × Zaman formülü uyarınca, erken varış süreyi kısaltırken geç varış süreyi uzatır.

3

İki denklemde yolu eşitleyerek süreyi veya doğrudan yolu bulunuz.

\frac{x}{90} + \frac{1}{3} = \frac{x}{60} - \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{x}{60} - \frac{x}{90} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{x}{180} = \frac{1}{2}

Zamanlar arasındaki fark, varış süreleri arasındaki farka (30 dakika) eşittir.

4

Denklemi çözerek yolu hesaplayınız.

x = \frac{180}{2} = 90

km.

İçler dışlar çarpımı yapılarak mesafe elde edilir.

Anahtar Kavram

Hareket problemlerinde süre farkı yöntemiyle denklem kurma.

İpuçları

1

Aracın iki farklı hızıyla varış süreleri arasındaki toplam farkın kaç dakika olduğunu belirleyin.

2

Dakika cinsinden bulduğunuz 30 dakikalık farkı mutlaka saate (1/2 saat) çevirerek işlem yapın.

3

Aynı yolu farklı hızlarla giden araçlar için (Yol / Küçük Hız) - (Yol / Büyük Hız) = Zaman Farkı formülünü kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Farklı hızlarla gidildiğinde varış süreleri arasındaki farkın verildiği benzer soruları çözerek denklem kurma becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Zaman farkı üzerinden gitmek yerine, hızlar oranı üzerinden süre oranı kurulabilir. Hızlar oranı 90/60 = 3/2'dir. Zamanlar ters orantılı olacağı için süreler oranı 2t / 3t olur. Aradaki 1t fark 30 dakikaya (1/2 saat) karşılık gelir. Buradan 2t = 1 saat olur. 90 km/sa hızla 1 saat gidilirse yol 90 km bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 283Soru →

Bir halk kütüphanesindeki toplam $1080$ kitabın türlerine göre dağılımı aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Grafikte her bir dilim, o kitap türünün toplam kitap sayısı içindeki payını temsil etmektedir. Buna göre, bu kütüphanede bulunan "Bilim" türündeki kitap sayısı kaçtır?

180

60

270

360

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Kütüphanedeki bilim türü kitap sayısı 180 adettir.

Daire grafiğinin tamamı

360^\circ

olduğu için toplam

1080

kitap bu açıya yayılmıştır. Dolayısıyla her

1^\circ

’lik dilim

1080 / 360 = 3

kitaba karşılık gelir. Grafikte Bilim kitaplarının açısı

60^\circ

verildiğine göre,

60 \times 3 = 180

adet bilim kitabı bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitap sayısını dairenin toplam merkez açısına oranlayarak

1^\circ

’ye düşen kitap sayısını bulun.

1080 / 360 = 3

kitap.

Daire grafiğinin tamamı

360^\circ

’dir ve bu tamamı kütüphanedeki tüm kitapları temsil eder.

2

Bulunan birim değeri Bilim kitaplarının merkez açısı ile çarpın.

60 \times 3 = 180

.

Bilim kitaplarını temsil eden dilimin merkez açısı

60^\circ

olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde veri dağılımını merkez açılarla orantı kurarak hesaplama.

İpuçları

1

Daire grafiğinin tamamının

360^\circ

olduğunu ve bu tamamının

1080

kitabı temsil ettiğini unutmayın.

2

360

derece

1080

kitaba eşitse,

1

derecenin kaç kitaba denk geldiğini bulun.

3

Bilim kitaplarının açısı

60^\circ

olduğuna göre, bulduğunuz değeri

60

ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Daire grafiğindeki verileri sütun grafiğine dönüştürerek kitap türlerinin sayılarını karşılaştırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bilim kitaplarının açısı (

60^\circ

), toplam açının (

360^\circ

) tam olarak

6/1

'idir. Bu durumda toplam kitap sayısını direkt

6

'ya bölerek de sonucu bulabilirsiniz:

1080 / 6 = 180

.

Tahmini Süre:45s

Soru 284Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde A, B ve C olmak üzere üç farklı evrak deposu bulunmaktadır. Bu depolardaki dosyaların dağılımı ve yapılan düzenleme çalışmalarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Başlangıçta A deposundaki dosya sayısı, B deposundaki dosya sayısının $2$ katıdır.
* Düzenleme kapsamında A deposundan $12$ , B deposundan $8$ dosya alınıp C deposuna taşındığında; C deposundaki toplam dosya sayısı, A ve B depolarında kalan toplam dosya sayısına eşit olmaktadır.
* Başlangıçta bu üç depoda toplam $200$ adet dosya bulunmaktadır.

Buna göre, başlangıçta C deposunda kaç adet dosya vardır?

40

60

80

100

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Başlangıçta C deposunda 80 adet dosya vardır.

Soruda verilen ilişkiler kullanılarak kurulan denklem sisteminde; A ve B depolarındaki değişimler

(2x-12)

ve

(x-8)

olarak, C deposundaki değişim ise

(y+20)

olarak ifade edilir. 'C deposunun son hali, diğerlerinin kalan toplamına eşittir' ifadesinden

y = 3x - 40

bağıntısı elde edilir. Toplam dosya sayısı

3x + y = 200

denkleminde bu bağıntı yerine yazıldığında

x=40

(B deposu) ve buradan

y=80

(C deposu) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve ilk durumu matematiksel olarak ifade et.

B deposu =

x

olsun. A deposu =

2x

olur. C deposu =

y

olsun. Toplam dosya:

3x + y = 200

.

Soruda verilen kat ve toplam ilişkisini denkleme dökmek için.

2

Dosya transferi sonrası oluşan yeni durumları yaz.

A'dan 12 azaldı:

2x - 12

. B'den 8 azaldı:

x - 8

. C'ye toplam 20 eklendi:

y + 12 + 8 = y + 20

.

Transfer işleminin her bir depo üzerindeki etkisini belirlemek için.

3

Transfer sonrası eşitlik durumunu denkleme dök.

Son durumda C = (Kalan A) + (Kalan B)

\Rightarrow y + 20 = (2x - 12) + (x - 8)

.

Sorudaki temel eşitlik şartını sağlamak için.

4

Elde edilen denklemi düzenle.

y + 20 = 3x - 20 \Rightarrow y = 3x - 40

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözülebilir hale getirmek için.

5

İlk adımdaki toplam denkleminde

y

yerine

3x - 40

yazarak

x

'i bul.

3x + (3x - 40) = 200 \Rightarrow 6x = 240 \Rightarrow x = 40

.

Bilinmeyenlerden birini (B deposu) bulmak için.

6

x

değerini yerine koyarak

C

deposunu (

y

) hesapla.

y = 3(40) - 40 = 120 - 40 = 80

.

Sorunun istediği nihai cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Denklem Kurma Problemleri

Soru 285Soru →

Bir müteahhit, yapımını üstlendiği bir karayolu projesini üç aşamada tamamlamayı planlamıştır. Proje planına göre:

* Birinci aşamada yolun tamamının $\frac{1}{5}$ 'i,
* İkinci aşamada geriye kalan yolun $\frac{3}{8}$ 'i,
* Üçüncü aşamada ise son kalan kısmın $\frac{5}{9}$ 'u asfaltlanacaktır.

İkinci aşamada asfaltlanan yol uzunluğunun, üçüncü aşamada asfaltlanan yol uzunluğundan 24 km daha fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, planlanan üç aşama tamamlandığında geriye asfaltlanmamış kaç kilometre yol kalır?

216

240

300

324

1080

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Proje sonunda asfaltlanmamış 240 km yol kalır.

Yolun tamamına

x

diyerek veya EKOK yöntemiyle (360k) adım adım ilerlendiğinde; 2. aşamada yapılan yolun

108k

, 3. aşamada yapılan yolun

100k

olduğu bulunur. Aradaki fark (

8k

) 24 km'ye eşitlendiğinde

k=3

çıkar. En son kalan kısım

80k

olduğundan, sonuç

80 \times 3 = 240

km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına işlem kolaylığı sağlaması için paydaların (5, 8, 9) katı olan bir değer verelim veya

x

diyelim.

Yolun tamamı =

360k

olsun.

Kesirlerle uğraşmamak için bütün seçimi yapmak (EKOK kullanımı) işlemleri hızlandırır.

2

Birinci aşamada yapılan yolu ve kalanı hesaplayalım.

1. Aşama:

360k \times \frac{1}{5} = 72k

. Kalan:

360k - 72k = 288k

.

Kalanın kesri hesaplanacağı için her adımda kalan miktar bulunmalıdır.

3

İkinci aşamada yapılan yolu (kalanın 3/8'i) hesaplayalım.

2. Aşama:

288k \times \frac{3}{8} = 108k

. Yeni Kalan:

288k - 108k = 180k

.

Soru metnindeki 'geriye kalan' ifadesine dikkat edilmelidir.

4

Üçüncü aşamada yapılan yolu (son kalanın 5/9'u) hesaplayalım.

3. Aşama:

180k \times \frac{5}{9} = 100k

. En Son Kalan:

180k - 100k = 80k

.

Üçüncü aşama, ikinci aşamadan sonra eldeki kalan üzerinden hesaplanır.

5

Verilen fark bilgisini (2. aşama - 3. aşama = 24) kullanarak

k

değerini bulalım.

108k - 100k = 8k

. Denklem:

8k = 24 \Rightarrow k = 3

.

Birim değeri (

k

) bulmak için gerçek sayısal veri ile oransal veri eşitlenir.

6

Sorulan 'geriye kalan yol' miktarını hesaplayalım.

En son kalan

80k

idi.

80 \times 3 = 240

km.

Bulunan birim değer (

k=3

) hedef denklemde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Kesir Problemleri (Kalanlı İşlemler)

İpuçları

1

Sorudaki kesirlerin paydaları olan 5, 8 ve 9 sayılarına tam bölünebilen büyük bir sayı (EKOK) seçerek yolun tamamına bu değeri verirseniz (örneğin 360k), kesirli işlemlerle uğraşmadan sonuca daha kolay ulaşırsınız.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 286Soru →

Bir kamu kurumundaki çalışanlar, emekliye ayrılan bir arkadaşları için veda yemeği düzenlemek istemektedir. Yemeğe katılacak herkes $350$ TL öderse toplanan para yemek masrafını karşılamamakta ve $1800$ TL eksik kalmaktadır. Eğer herkes $450$ TL öderse yemek masrafı ödendikten sonra $1200$ TL para artmaktadır.

Buna göre, bu veda yemeğine katılacak kişi sayısı kaçtır?

6

15

24

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Veda yemeğine katılacak kişi sayısı 30'dur.

Soruda kişi sayısı istenmektedir. Kişi sayısına

x

dersek, yemek masrafı sabit olduğu için iki farklı durum üzerinden eşitlik kurabiliriz. İlk durumda

350x

TL toplanmış ancak

1800

TL eksik kalmıştır, yani masraf

350x + 1800

'dir. İkinci durumda

450x

TL toplanmış ve

1200

TL artmıştır, yani masraf

450x - 1200

'dür. Bu iki ifade eşitlendiğinde (

350x + 1800 = 450x - 1200

) aradaki farkın (

3000

TL), kişi başı ödeme farkına (

100

TL) bölünmesiyle

30

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlanır.

Katılacak kişi sayısına

x

diyelim.

Bilinmeyen değer üzerinden denklem kurmak için gereklidir.

2

Birinci duruma göre toplam yemek masrafı denklemi yazılır.

Masraf =

350x + 1800

Herkes 350 TL verince 1800 TL eksik kaldığına göre, masraf toplanan paradan 1800 TL fazladır.

3

İkinci duruma göre toplam yemek masrafı denklemi yazılır.

Masraf =

450x - 1200

Herkes 450 TL verince 1200 TL arttığına göre, masraf toplanan paradan 1200 TL eksiktir.

4

İki denklem birbirine eşitlenerek çözülür.

350x + 1800 = 450x - 1200 \Rightarrow 100x = 3000 \Rightarrow x = 30

Yemek masrafı her iki durumda da sabittir, bu yüzden ifadeler eşittir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sabit bir büyüklüğü (burada yemek masrafı) iki farklı durum üzerinden ifade ederek denklem kurma.

Soru 287Soru →

Bir tekstil fabrikasında kullanılan otomatik boyama makinesi, kumaşın renk tonunu ( $T$ ) her bir işlem döngüsünde aşağıdaki kurallara göre değiştirmektedir:

* Eğer renk tonu ( $T$ ) çift sayı ise; bir sonraki işlemdeki renk tonu $\frac{T}{2} + 4$ olmaktadır.
* Eğer renk tonu ( $T$ ) tek sayı ise; bir sonraki işlemdeki renk tonu $T + 3$ olmaktadır.

Başlangıçtaki renk tonu $60$ olan bir kumaşa toplam $85$ işlem uygulandığında, kumaşın son renk tonu kaç olur?

8

9

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Renk tonu 9 olur.

İşlem adımları tek tek uygulandığında

T_5=12

,

T_6=10

ve

T_7=9

değerlerine ulaşılır. Bir sonraki adımda

T_8=9+3=12

olduğu için sistem bu üç sayı arasında döngüye girer. 5. adımdan sonraki her 3 adımda bir aynı değerlere ulaşıldığı için

(85-5) \pmod 3

işlemi yapıldığında kalan

2

olur. Bu da döngünün üçüncü elemanı olan 9'a karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk birkaç işlem adımını hesaplayarak bir örüntü arayalım.

T_0 = 60

T_1 = \frac{60}{2} + 4 = 34

(Çift)

T_2 = \frac{34}{2} + 4 = 21

(Çift)

T_3 = 21 + 3 = 24

(Tek)

T_4 = \frac{24}{2} + 4 = 16

(Çift)

T_5 = \frac{16}{2} + 4 = 12

(Çift)

Dizinin gidişatını ve olası bir döngüyü tespit etmek için ilk terimleri bulmamız gerekir.

2

Hesaplamaya devam ederek döngüyü netleştirelim.

T_6 = \frac{12}{2} + 4 = 10

T_7 = \frac{10}{2} + 4 = 9

T_8 = 9 + 3 = 12

T_9 = \frac{12}{2} + 4 = 10

T_{10} = \frac{10}{2} + 4 = 9

T_8

değerinin

T_5

ile aynı çıktığı görülür, bu da bir periyodun başladığını kanıtlar.

3

Döngü periyodunu ve periyodik değerleri tanımlayalım.

Döngü

T_5, T_6, T_7

terimlerinden oluşur ve periyot uzunluğu

3

'tür. Değerler sırasıyla

(12, 10, 9)

şeklindedir.

85. adıma tek tek gitmek yerine periyodik tekrardan faydalanmak işlemi kolaylaştırır.

4

85. adımın periyot içindeki yerini hesaplayalım.

Döngü 5. adımda başladığı için

(85 - 5) = 80

adım döngü içinde ilerlemiş oluruz.

80 \div 3

işleminden kalan

2

'dir. Kalan

0

ise

12

, kalan

1

ise

10

, kalan

2

ise

9

değeri elde edilir.

Modüler aritmetik kullanarak büyük adım sayılarını döngü içine indirgeriz.

Anahtar Kavram

Sayısal mantık ve rutin olmayan problemlerde periyodik tekrar eden dizilerin analizi.

Soru 288Soru →

Aşağıdaki sütun grafiğinde bir belediyenin bir ay boyunca geri dönüşüm merkezinde topladığı atık türlerinin miktarları (ton cinsinden) gösterilmiştir.

Grafikteki verilere göre, toplanan plastik atık miktarı toplanan tüm atık miktarının yüzde kaçıdır?

%10

%20

%30

%40

%50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %30

Cevap

Toplanun plastik atık miktarı tüm atık miktarının %30'udur.

Grafikteki veriler toplandığında toplam atık miktarının

40 + 30 + 20 + 10 = 100

ton olduğu görülür. Plastik atık miktarı ise grafikte

30

ton olarak belirtilmiştir. Toplam miktar

100

olduğu için,

30

tonluk plastik atık doğrudan

\%30

oranına karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Grafikteki tüm atık miktarlarını toplayarak toplam miktarı bulunuz.

40 + 30 + 20 + 10 = 100

ton

Yüzde hesaplaması yapabilmek için öncelikle bütünün (paydanın) değerini bilmemiz gerekir.

2

Plastik atık miktarını grafikten okuyunuz.

30

ton

İstenen verinin sayısal değerini belirlemek için ilgili sütunun yüksekliğine bakılır.

3

Plastik atık miktarını toplam miktara oranlayarak yüzde değerini hesaplayınız.

\frac{30}{100} = \%30

Bir değerin bütün içindeki yüzdesini bulmak için

\frac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \times 100

formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Sütun Grafiği ve Yüzde Hesaplama

İpuçları

1

Önce grafikteki tüm sütunların değerlerini toplayarak belediyenin topladığı toplam atık miktarını hesaplayın.

2

Toplam miktar

100

ton çıkacaktır. Şimdi plastik sütununa bakın ve değerini görün.

3

Eğer toplam

100

ise, plastik miktarı olan

30

ton doğrudan yüzde kaçı ifade eder?

Daha Fazla Pratik

Farklı toplam değerleri olan grafiklerde yüzde hesaplama pratiği yapmak için kağıt atık miktarının metal atık miktarından yüzde kaç fazla olduğunu hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 289Soru →

Bir bakanlığın personel alım komisyonu, değerlendirilmesi gereken başvuru dosyalarının birinci hafta $\frac{3}{8}$ 'ünü, ikinci hafta ise kalan dosyaların $\frac{2}{5}$ 'sini incelemiştir. İkinci hafta sonunda incelenmeyi bekleyen 450 dosya kaldığına göre, başlangıçtaki toplam başvuru dosyası sayısı kaçtır?

960

1200

1600

1800

2000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Başlangıçtaki toplam başvuru dosyası sayısı 1200'dür.

Toplam dosya sayısına

x

diyelim. İlk hafta

3/8

'i incelendiğinde geriye

5/8

'i kalır. İkinci hafta, bu kalanın

2/5

'i incelenmiştir.

\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{8}

bulunur. Toplam incelenen kısım

\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}

'dir. Geriye kalan kısım

1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

olur. Bu miktar 450 dosya olduğuna göre,

\frac{3}{8}x = 450

denkleminden

x = 1200

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam dosya sayısını değişkenle ifade et.

Toplam dosya sayısı =

x

olsun.

Bilinmeyen değeri bulmak için denklem kurmalıyız.

2

Birinci hafta incelenen ve kalan dosya sayısını hesapla.

İncelenen:

\frac{3}{8}x

. Kalan:

x - \frac{3}{8}x = \frac{5}{8}x

.

İkinci hafta işlemleri kalan dosya üzerinden yapılacağı için kalanı bulmalıyız.

3

İkinci hafta incelenen miktarı hesapla (Kalanın 2/5'i).

\frac{5}{8}x \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{8}x = \frac{1}{4}x

.

Soruda 'kalan dosyaların 2/5'i' ifadesi geçtiği için çarpma işlemi uygulanır.

4

Son durumda kalan dosya miktarını kesir olarak bul.

Birinci kalan (

\frac{5}{8}x

) üzerinden

\frac{2}{5}

'si gidince, geriye kalanın

\frac{3}{5}

'i kalır:

\frac{5}{8}x \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{8}x

.

Alternatif olarak toplam incelenenleri (

3/8 + 2/8 = 5/8

) bütünden çıkararak da bulunabilir (

1 - 5/8 = 3/8

).

5

Denklemi kur ve çöz.

\frac{3}{8}x = 450 \Rightarrow 3x = 3600 \Rightarrow x = 1200

.

Kalan kesir değeri (3/8) verilen sayısal değere (450) eşitlenerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Bütünden Parçaya Gitme ve Kalan Üzerinden İşlem

İpuçları

1

Soruda 'kalan dosyaların' ifadesine dikkat edin. İkinci kesri doğrudan bütüne uygulamayın.

2

Birinci hafta 3/8 incelendiyse, geriye 5/8 kalır. İkinci hafta bu 5/8'lik kısmın 2/5'i alınacaktır.

3

İkinci hafta yapılan işlem:

\frac{5}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{8}

'dir. Yani toplamın 2/8'i daha incelenmiştir. Kalan miktarı buna göre hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'tersten gitme' yöntemiyle çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ters İşlem Yöntemi: En sondan başa doğru gidilebilir. Kalan 450 dosya, ikinci adımdaki kalan kısmın (1 - 2/5 = 3/5) karşılığıdır. İkinci adımdan önceki dosya sayısı:

450 \cdot \frac{5}{3} = 750

. Bu 750 dosya, ilk adımdan sonra kalan (1 - 3/8 = 5/8) kısımdır. Başlangıç:

750 \cdot \frac{8}{5} = 1200

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 290Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesini $160$ TL'den aldığı kalemlikleri $\%25$ kârla satmayı planlamaktadır. Buna göre, bir kalemliğin satış fiyatı kaç TL olur?

200

120

180

40

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Kalemliğin satış fiyatı 200 TL'dir.

Doğru cevap olan seçenekteki değer,

160

TL olan alış fiyatına bu fiyatın dörtte biri (

\%25

) olan

40

TL kârın eklenmesiyle elde edilen

200

TL sonucunu göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kâr miktarını hesapla.

160 \times \frac{25}{100} = 40

TL

Kâr, maliyet (alış) fiyatı üzerinden belirlenen oranla hesaplanır.

2

Satış fiyatını bulmak için kârı alış fiyatına ekle.

160 + 40 = 200

TL

Satış fiyatı = Alış Fiyatı + Kâr formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Temel kâr hesabı ve satış fiyatı formülü

İpuçları

1

Kâr miktarı her zaman alış (maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır.

2

\%25

bir sayının dörtte biri (

1/4

) demektir; önce

160

sayısının dörtte birini bulun.

3

Bulduğunuz kâr miktarını, başlangıçtaki

160

TL alış fiyatına ekleyerek satış fiyatına ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Aynı alış fiyatı ile

\%10

veya

\%20

gibi farklı kâr oranlarını hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Satış fiyatını doğrudan

\%125

üzerinden hesaplayabilirsiniz:

160 \times 1,25 = 200

TL.

Tahmini Süre:45s

Soru 291Soru →

Bir toptancının deposunda bulunan limon sandıklarının önce $\frac{2}{5}$ 'i satılmıştır. Daha sonra, geriye kalan sandıkların $\frac{1}{3}$ 'ü pazarcılara dağıtılmıştır. Son durumda depoda $120$ sandık limon kaldığına göre, başlangıçta depoda toplam kaç sandık limon vardı?

200

300

360

400

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Başlangıçta depoda toplam 300 sandık limon vardır.

Soruda 'kalan sandıkların' ifadesi geçtiği için işlem zincirleme yapılmalıdır. İlk satıştan sonra kalan miktar bütünü temsil eden kesrin

\frac{3}{5}

'idir. İkinci işlem bu kalanın

\frac{1}{3}

'ü alındığı için, aslında bütünün

\frac{1}{5}

'i kullanılmış olur. Toplamda bütünün

\frac{3}{5}

'i harcanmış, geriye

\frac{2}{5}

'i kalmıştır.

\frac{2}{5}

'i 120 olan sayının tamamı 300'dür.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki toplam sandık sayısına

x

diyelim. İlk satış miktarını ve kalanı hesaplayalım.

Satılan:

\frac{2}{5}x

, Kalan:

x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x

Problemi çözmek için bilinmeyen verip adım adım ilerlemek gerekir.

2

İkinci adımda dağıtılan miktarı (kalanın

\frac{1}{3}

'ü) hesaplayalım.

Dağıtılan:

\frac{3}{5}x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}x

İkinci işlem ilk baştaki miktar üzerinden değil, kalan miktar üzerinden yapılmalıdır.

3

Toplam harcanan miktarı bulup, en son kalan miktarı denkleme eşitleyelim.

Toplam Harcanan:

\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{3}{5}x

. Son Kalan:

x - \frac{3}{5}x = \frac{2}{5}x

. Denklem:

\frac{2}{5}x = 120

Sonuçta elimizde kalan miktarın kesir karşılığını bulup gerçek değere eşitlememiz gerekir.

4

Denklemi çözerek

x

değerini bulalım.

2x = 600 \Rightarrow x = 300

Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir bütünün kesri alındıktan sonra, işlemin kalan parça üzerinden devam ettirilmesi (Ardışık Kesir Problemleri).

Soru 292Soru →

Bugünkü yaşları toplamı $42$ olan iki kardeşin $4$ yıl önceki yaşları farkı $6$ 'dır. Buna göre, büyük kardeşin bugünkü yaşı kaçtır?

18

20

21

24

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24$

Cevap

Büyük kardeşin bugünkü yaşı

24

'tür.

Doğru cevap olan seçenekteki yaş, yaş farkının sabitliği ilkesi kullanılarak bulunmuştur. İki kardeşin bugünkü yaşları toplamı

42

, yaşları farkı ise (zamanla değişmediği için)

6

'dır. Bu iki veriyle kurulan sistemde büyük kardeşin yaşı

24

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yaş farkının sabitliği ilkesini hatırla.

Yaş farkı

= 6

İki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de asla değişmez.

4

yıl önce fark

6

ise bugün de

6

'dır.

2

Verilen bilgileri denkleme dök.

x + y = 42

ve

x - y = 6

Büyük kardeş

x

, küçük kardeş

y

olsun. Toplamları

42

, farkları

6

olarak ifade edilir.

3

Denklem sistemini çözerek büyük kardeşi bul.

2x = 48 \Rightarrow x = 24

İki denklem taraf tarafa toplandığında

y

terimleri birbirini yok eder,

2x = 48

bulunur. Buradan

x = 24

elde edilir.

Anahtar Kavram

İki kişi arasındaki yaş farkı her zaman sabittir ve yıllar geçse de değişmez.

İpuçları

1

İki insan arasındaki yaş farkının zaman geçtikçe değişip değişmediğini düşünün.

2

4

yıl önceki yaş farkı

6

ise, bugün de yaşları farkı

6

'dır.

3

Büyük kardeş ile küçük kardeşin yaşları toplamı

42

, farkı ise

6

'dır. Büyük olanı bulmak için

(Toplam + Fark) / 2

formülünü kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Yaşları farkının zamanla değişmediği daha karmaşık senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Küçük kardeşin yaşına

k

dersek, büyük kardeşin yaşı

k + 6

olur.

k + (k + 6) = 42 \Rightarrow 2k = 36 \Rightarrow k = 18

(küçük kardeş). Büyük kardeş ise

18 + 6 = 24

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 293Soru →

Bir teknoloji mağazası sahibi, tanesi aynı fiyattan olan $5$ adet yazıcıyı toplam $2000$ TL'ye satın almıştır. Mağaza sahibi bu yazıcıların her birinin satışından $\%10$ kâr elde etmeyi hedeflediğine göre, bir adet yazıcının satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

40

360

400

440

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $440$

Cevap

Bir adet yazıcının satış fiyatı

440

TL olmalıdır.

Yazıcıların tanesi

400

TL'ye alınmış olup, bu tutarın

\%10

'u olan

40

TL kâr payı eklendiğinde toplam satış fiyatı

440

TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bir adet yazıcının maliyetini (alış fiyatını) hesaplayınız.

2000 \div 5 = 400

TL

Toplam ödenen tutarı ürün adedine bölerek birim maliyete ulaşırız.

2

Bir adet yazıcıdan elde edilecek kâr miktarını bulunuz.

400 \times \frac{10}{100} = 40

TL

Kâr, maliyet fiyatı üzerinden hedeflenen yüzde ile hesaplanır.

3

Satış fiyatını belirlemek için kâr miktarını maliyete ekleyiniz.

400 + 40 = 440

TL

Satış fiyatı, maliyet ile kârın toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Birim maliyet üzerinden kâr hesaplama ve satış fiyatı formülü (Satış = Maliyet + Kâr).

İpuçları

1

Önce bir adet yazıcının kaça geldiğini (birim maliyet) bulunuz.

2

Birim maliyet olan

400

TL'nin

\%10

'unu hesaplayıp maliyete eklemeyi unutmayın.

3

Doğrudan maliyeti

1,10

ile çarparak da

(\%110)

sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

\%20

kâr oranı kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Satış fiyatını bulmak için maliyetin

\%110

'u hesaplanabilir:

400 \times 1,1 = 440

TL.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 294Soru →

Bir kahve işletmesi, kilogramını $320$ TL'den satın aldığı çiğ kahve çekirdeklerini işlemden geçirip kavurarak satmaktadır. Kavurma işlemi sırasında çekirdeklerin, içerdikleri nemin buharlaşması nedeniyle ağırlıklarının $\%20$ 'sini kaybettiği belirlenmiştir. İşletme sahibi, kavrulmuş kahvenin kilogram satış fiyatını, satış fiyatı üzerinden $\%20$ kâr elde edecek şekilde belirlemek istemektedir.

Buna göre, kavrulmuş kahvenin kilogram satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

400

450

480

500

540

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

Kavrulmuş kahvenin kilogram satış fiyatı 500 TL olmalıdır.

Doğru hesaplamada iki kritik aşama vardır: Önce ağırlık kaybı nedeniyle birim maliyetin artışı, sonra da satış fiyatı üzerinden hedeflenen kârın eklenmesi. 100 kg ürün 32.000 TL'ye alınır ama 80 kg ürün satılır. Yani 80 kg ürünün maliyeti 32.000 TL'dir. Satış fiyatı

S

olsun. Toplam satış geliri

80S

olur. Kârın, bu gelirin %20'si olması istenir (

0,20 \times 80S = 16S

). Maliyet = Gelir - Kâr olduğundan,

32.000 = 80S - 16S = 64S

denklemi elde edilir. Buradan

S = 500

TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç için 100 kg çiğ kahve baz alınarak toplam maliyeti hesapla.

100 \text{ kg} \times 320 \text{ TL} = 32.000 \text{ TL}

toplam maliyet.

Yüzde problemlerinde işlem kolaylığı sağlamak için başlangıç miktarı genellikle 100 birim seçilir.

2

Kavurma işlemi sonrası kalan kahve miktarını (fire düşüldükten sonra) bul.

100 \text{ kg} - (100 \times \%20) = 80 \text{ kg}

kavrulmuş kahve kalır.

Maliyet artık bu azalan miktar (80 kg) üzerine yüklenmelidir.

3

Kavrulmuş kahvenin kilogram satış fiyatına

S

diyerek, toplam geliri ve kâr denklemini kur.

Toplam Gelir =

80 \times S

. İstenen durum: Kâr = Satış Fiyatı

\times \%20

.

Soruda kârın maliyet üzerinden değil, satış fiyatı üzerinden hesaplanması istendiği için denklem buna göre kurulmalıdır.

4

Maliyet = Satış Fiyatı - Kâr bağıntısını kullanarak denklemi çöz.

Maliyet = Gelir - Kâr

\rightarrow 32.000 = (80S) - 0,20(80S)

.

Toplam maliyet sabittir, gelir ve kâr arasındaki fark maliyeti vermelidir.

5

Denklemdeki işlemleri tamamlayarak

S

değerini bul.

32.000 = 80S \times (1 - 0,20) \rightarrow 32.000 = 80S \times 0,80 \rightarrow 32.000 = 64S \rightarrow S = 500

.

Sonuç, birim satış fiyatını verir.

Anahtar Kavram

Maliyet Artışı ve Kâr Marjı Hesabı

İpuçları

1

Başlangıçta 100 kg kahve aldığınızı varsayın ve toplam ödeyeceğiniz parayı hesaplayın.

2

Kavurma işleminden sonra elinizde kaç kg kahve kaldığını bulun. Toplam maliyeti bu yeni miktara bölerek 'kavrulmuş kahvenin birim maliyetini' bulun.

3

Yeni birim maliyete

M

deyin. Satış fiyatı

S

olsun. Soru, kârın

S

'nin %20'si olmasını istiyor. Yani

S - M = 0,20 \cdot S

denklemini kurun.

Alternatif Yöntem

Orantı Yöntemi: 100 kg yaş kahve = 80 kg kuru kahve. Maliyet sabit. Birim maliyet oranı:

320 \times \frac{100}{80} = 400

TL (Kavrulmuş kahvenin maliyeti). Satış fiyatı

S

ise, maliyet satışın %80'i olmalıdır (Çünkü %20'si kâr).

S \times 0,80 = 400 \Rightarrow S = 500

TL.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 295Soru →

Bir İl Özel İdaresi şantiyesindeki asfalt plentinde sezon başında bulunan bitüm stoğunun önce $\%30$ 'u, daha sonra kalan miktarın $\%20$ 'si, son olarak da geriye kalan miktarın $\%25$ 'i kullanılmıştır.

Son kullanımın ardından depoda $126$ ton bitüm kaldığı tespit edildiğine göre, sezon başındaki toplam bitüm stoğu kaç tondur?

250

300

336

420

504

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Sezon başındaki toplam stoğun 300 ton olduğu bulunur.

Problemi çözmek için başlangıç stoğuna

100x

diyerek adım adım ilerlenir. İlk kullanımda

30x

gider,

70x

kalır. İkinci kullanımda

70x

'in

\%20

'si olan

14x

gider,

56x

kalır. Üçüncü kullanımda

56x

'in

\%25

'i olan

14x

gider ve geriye

42x

kalır. Soruda verilen

126

ton bilgisi

42x

'e eşitlenerek (

42x=126

),

x=3

bulunur. Toplam stok

100x=300

tondur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki toplam stok miktarını

100x

olarak belirleyelim.

Başlangıç =

100x

Yüzde problemlerinde bütüne 100x demek işlem kolaylığı sağlar.

2

İlk kullanım (

%30

) sonrası kalan miktarı hesaplayalım.

Kullanılan:

30x

, Kalan:

100x - 30x = 70x

İlk adımda ana stoğun yüzdesi alınır.

3

İkinci kullanım (kalanın

%20

'si) miktarını ve yeni kalanı bulalım.

Kullanılan:

70x \cdot \frac{20}{100} = 14x

, Kalan:

70x - 14x = 56x

'Kalanın yüzdesi' ifadesi gereği işlem 70x üzerinden yapılır.

4

Son kullanım (yeni kalanın

%25

'i) miktarını ve en son kalanı bulalım.

Kullanılan:

56x \cdot \frac{25}{100} = 14x

, Son Kalan:

56x - 14x = 42x

Zincirleme yüzde işlemlerinde her adım bir önceki adımdan kalan bakiye üzerinden ilerler.

5

Elde edilen son miktarı verilen değere eşitleyip başlangıç stoğunu bulalım.

42x = 126 \Rightarrow x = 3

. Başlangıç

100x = 100 \cdot 3 = 300

ton.

Denklemin çözümüyle asıl değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Zincirleme Yüzde Hesapları (Kalanın Yüzdesi)

İpuçları

1

Başlangıçtaki bitüm miktarına işlem kolaylığı sağlaması için

100x

diyerek başlayabilirsiniz.

2

Her adımda kullanılan miktarı değil, geriye 'kalan' miktarı hesaplayarak ilerlemek işlemi kısaltabilir. Örneğin

\%30

kullanıldıysa

\%70

kalmıştır.

3

Sırasıyla: Kalan

70x

. Sonra bunun

\%80

'i kalır (

56x

). En son bunun

\%75

'i kalır (

42x

).

42x = 126

denklemini çözün.

Alternatif Yöntem

Ters işlem yöntemi: Sondan başa doğru gidilebilir. En son kalan

126

ton, bir önceki miktarın

\%75

'idir (25'i kullanıldığı için).

126 / 0.75 = 168

. Bu miktar, ondan önceki miktarın

\%80

'idir.

168 / 0.80 = 210

. Bu da başlangıçtaki miktarın

\%70

'idir.

210 / 0.70 = 300

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 296Soru →

Bir bakanlıkta görev yapan uzmanlar için düzenlenen hizmet içi eğitim programı kapsamında "Dijital Dönüşüm" ve "Proje Yönetimi" başlıklı iki farklı eğitim verilmektedir. Bu eğitimlere dair bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Eğitim Başlığı	Süre (Gün)	Katılım Ücreti (TL)
Dijital Dönüşüm	$3$	$150$
Proje Yönetimi	$5$	$200$

Bu uzmanlardan biri yıl boyunca toplam $15$ eğitime katılmış ve bu eğitimlerin toplam süresi $57$ gün olmuştur.

Buna göre, bu uzman için ödenen toplam katılım ücreti kaç TL'dir?

2400

2550

2700

2850

3000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2550

Cevap

Uzman için ödenen toplam katılım ücreti 2550 TL'dir.

Toplam eğitim sayısı 15 ve toplam gün sayısı 57 olduğuna göre, denklemler çözüldüğünde 9 adet Dijital Dönüşüm ve 6 adet Proje Yönetimi eğitimi alındığı görülür. Birim fiyatlarla çarpıldığında (9 x 150 + 6 x 200) sonuç 2550 TL çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama

Dijital Dönüşüm eğitimi sayısı

x

, Proje Yönetimi eğitimi sayısı

y

olsun.

Problemdeki bilinmeyenleri matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

Denklem sistemini kurma

x + y = 15

(Toplam eğitim sayısı) ve

3x + 5y = 57

(Toplam süre) denklemleri elde edilir.

Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek gerekir.

3

Denklem sistemini çözme

Birinci denklemden

x = 15 - y

ifadesini ikinci denklemde yerine koyarsak:

3(15 - y) + 5y = 57 \Rightarrow 45 - 3y + 5y = 57 \Rightarrow 2y = 12 \Rightarrow y = 6

(Proje Yönetimi) ve

x = 9

(Dijital Dönüşüm) bulunur.

Eğitimlerin her birinden kaçar kez alındığını belirlemek için denklemler çözülür.

4

Toplam ücreti hesaplama

Toplam Ücret

= (9 \times 150) + (6 \times 200) = 1350 + 1200 = 2550

TL.

Eğitim sayıları ile birim ücretler çarpılarak toplam maliyete ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sözel bir problemi iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

İpuçları

1

Önce her bir eğitimden kaçar tane alındığını bulmak için bir denklem kurmayı deneyin.

2

Toplam eğitim sayısı 15 olduğu için, birine x derseniz diğeri 15-x olur.

3

3x + 5(15-x) = 57 denklemini çözerek eğitim sayılarına ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, eğitim sayıları yerine toplam maliyetin verildiği ve gün sayısının sorulduğu şekilde kurarak çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer tüm eğitimler 3 günlük Dijital Dönüşüm eğitimi olsaydı toplam süre 15 x 3 = 45 gün olurdu. Toplam süre 57 gün olduğuna göre, 57 - 45 = 12 günlük bir fark vardır. Her bir Proje Yönetimi eğitimi, Dijital Dönüşüm eğitiminden 2 gün daha uzun olduğu için (5-3=2), 12 / 2 = 6 tanesi Proje Yönetimi eğitimidir. Geriye kalan 9 tanesi ise Dijital Dönüşüm eğitimidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 297Soru →

Bir su deposunun içinde başlangıçta belli bir miktar su bulunmaktadır. Depoya, içindeki suyun $\frac{1}{3}$ 'ü kadar daha su ilave edildiğinde deponun tamamen dolması için $x$ litre suya ihtiyaç duyulmaktadır. Eğer depodan, içindeki suyun $\frac{2}{5}$ 'i boşaltılırsa deponun tamamen dolması için $3x$ litre suya ihtiyaç duyulmaktadır. Buna göre, başlangıçta deponun doluluk oranı kaçtır?

\frac{5}{17}

\frac{7}{17}

\frac{9}{17}

\frac{10}{17}

\frac{12}{17}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{10}{17}$

Cevap

Başlangıçta deponun doluluk oranı

\frac{10}{17}

'dir.

Verilen iki senaryodaki boşluk miktarları (

x

ve

3x

) arasında kurulan denklem sistemi çözüldüğünde, başlangıçtaki su miktarının depo kapasitesine oranı

\frac{10}{17}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deponun tamamının hacmine

K

, başlangıçtaki su miktarına

S

diyelim. Soruda verilen iki durumu matematiksel denkleme dökelim.

Durum 1: Su miktarı

S + \frac{S}{3} = \frac{4S}{3}

olur. Boş kısım

K - \frac{4S}{3} = x

. Durum 2: Su miktarı

S - \frac{2S}{5} = \frac{3S}{5}

olur. Boş kısım

K - \frac{3S}{5} = 3x

.

'İhtiyaç duyulan su miktarı' ifadesi deponun boş hacmini temsil eder.

2

İkinci denklemdeki boş kısım (

3x

), birinci denklemdeki boş kısmın (

x

) 3 katıdır. Bu ilişkiyi kullanarak

x

'i yok edelim.

3 \cdot (K - \frac{4S}{3}) = K - \frac{3S}{5}

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodu uygulanır.

3

Parantezi açarak denklemi düzenleyelim.

3K - 4S = K - \frac{3S}{5}

Çarpma işlemi dağıtılarak denklem basitleştirilir.

4

Bilinenleri ve bilinmeyenleri eşitliğin farklı taraflarında toplayalım (

K

'ları sol tarafa,

S

'leri sağ tarafa).

3K - K = 4S - \frac{3S}{5} \Rightarrow 2K = \frac{20S - 3S}{5} \Rightarrow 2K = \frac{17S}{5}

Terimler gruplandırılarak

K

ve

S

arasındaki ilişki bulunur.

5

İçler dışlar çarpımı yaparak

S/K

oranını bulalım.

10K = 17S \Rightarrow \frac{S}{K} = \frac{10}{17}

Soruda istenen 'doluluk oranı' başlangıçtaki suyun (

S

) depo hacmine (

K

) oranıdır.

Anahtar Kavram

Denklem Kurma ve Kesir Problemleri

İpuçları

1

Soruda 'ihtiyaç duyulan su' ifadesi, deponun *boş kalan hacmini* temsil etmektedir. İki durum için boş hacim denklemlerini yazın.

2

Depo kapasitesine

K

, içindeki suya

S

deyin. Birinci durumda boşluk

K - (S + S/3) = x

. İkinci durumda boşluk

K - (S - 2S/5) = 3x

. Bu iki denklemden

x

'i yok edin.

3

Birinci denklemden bulduğunuz boşluğun 3 katı, ikinci denklemdeki boşluğa eşittir:

3 \cdot (K - 4S/3) = K - 3S/5

. Bu eşitlikten

S

ile

K

arasındaki oranı çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış 'mum yanma hızı' sorularını çözerek oran-orantı ve denklem kurma becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: Seçeneklerin paydası 17 olduğu için depo hacmine

170

birim diyelim. Doğru cevap

10/17

ise su

100

birimdir. Durum 1:

100 + 100/3 = 133.3

, boşluk

36.6

. Durum 2:

100 - 40 = 60

, boşluk

110

.

110

yaklaşık

36.6

'nın 3 katıdır (tam sayılarla:

K=17k, S=10k

üzerinden gidilirse tam çıkar).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 298Soru →

Bir kamu binasının güvenlik kamera sisteminin kurulumu için bir usta teknisyen ve bir yardımcı teknisyen görevlendirilmiştir. Usta teknisyen bu işin tamamını tek başına $12$ günde, yardımcı teknisyen ise aynı işi tek başına $18$ günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başladıktan $4$ gün sonra usta teknisyen başka bir binada görevlendirildiği için işten ayrılmıştır.

Buna göre, kalan işi yardımcı teknisyen tek başına kaç günde tamamlar?

6

8

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kalan işi yardımcı teknisyen tek başına 8 günde tamamlar.

Doğru çözümde önce işçilerin günlük kapasiteleri belirlenmiş, 4 gün birlikte çalışma sonunda işin

5/9

'unun bittiği görülmüştür. Kalan

4/9

'luk iş, yardımcı teknisyenin günlük

1/18

'lik çalışma hızıyla

8

günde tamamlanır.

Adım Adım Çözüm

1

İşçilerin bir günde işin kaçta kaçını bitirdiklerini (birim iş miktarlarını) belirleyin.

Usta teknisyen günde

\frac{1}{12}

, yardımcı teknisyen ise

\frac{1}{18}

oranında iş yapar.

İşçi problemlerinde toplam süreden birim zamandaki hıza geçmek temel çözüm yöntemidir.

2

4 gün boyunca birlikte yapılan toplam iş miktarını hesaplayın.

4 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{18}) = 4 \times (\frac{3+2}{36}) = 4 \times \frac{5}{36} = \frac{5}{9}

.

İşçilerin kapasiteleri toplanarak geçen süreyle çarpıldığında toplam yapılan iş bulunur.

3

Geriye kalan iş miktarını bulun.

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

.

İşin tamamı 1 tam olarak kabul edilir; yapılan kısım çıkarıldığında kalan kısım bulunur.

4

Kalan işin yardımcı teknisyen tarafından bitirilme süresini hesaplayın.

Süre

= \frac{4}{9} \div \frac{1}{18} = \frac{4}{9} \times 18 = 8

gün.

Kalan iş miktarı, işçinin birim zamandaki hızına bölünerek gereken süre elde edilir.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş üzerinden denklem kurma ve kalan iş miktarını hesaplama.

İpuçları

1

Önce teknisyenlerin 1 günde işin ne kadarını yaptıklarını rasyonel sayı olarak yazın.

2

4 gün beraber çalıştıklarında işin hangi oranda bittiğini bulun ve bunu 1'den çıkararak kalan işi belirleyin.

3

Kalan

4/9

oranındaki işi, yardımcı teknisyenin günlük

\frac{1}{18}

hızıyla oranlayarak süreyi bulun.

Daha Fazla Pratik

İşçilerin kapasitelerinin (hızlarının) değiştiği veya işin belirli bir kısmından sonra yeni bir işçinin katıldığı senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşin tamamını 12 ve 18'in en küçük ortak katı olan 36 birim kabul edin. Usta günde 3 birim, yardımcı 2 birim iş yapar. 4 günde toplam

4 \times (3+2) = 20

birim iş yapılır. Kalan

36 - 20 = 16

birim işi, yardımcı teknisyen günde 2 birim yaparak

16 / 2 = 8

günde bitirir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 299Soru →

Bir devlet kurumunda uzman yardımcısı olarak görev yapan Selin, Tarık ve Umut'un yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Selin'in yaşı, Tarık'ın yaşının $2$ katıdır.
* Umut'un yaşı, Selin'in yaşından $6$ eksiktir.

Bu üç kişinin $4$ yıl sonraki yaşları toplamı $66$ olacağına göre, Umut'un bugünkü yaşı kaçtır?

12

15

18

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Umut'un bugünkü yaşı 18'dir.

Tarık'ın yaşı

x

olarak kabul edildiğinde Selin

2x

ve Umut

2x-6

yaşındadır. Bugün yaşları toplamı

5x-6

eder.

4

yıl sonra her biri

4

yaş büyüyeceği için toplam

(5x-6) + 12 = 66

olur. Buradan

5x = 60

ve

x = 12

bulunur. Umut'un yaşı

2x-6

olduğu için

2(12)-6 = 18

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kişilerin yaşlarını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade ediniz.

Tarık'ın yaşı

x

olsun. Bu durumda Selin'in yaşı

2x

, Umut'un yaşı ise

2x - 6

olur.

Problemdeki ilişkileri matematiksel dile dökmek için.

2

Üç kişinin bugünkü yaşları toplamını bulunuz.

x + 2x + (2x - 6) = 5x - 6

Gelecekteki yaş toplamına ulaşmak için temel toplamı belirlemek.

3

4 yıl sonraki yaş toplamını veren denklemi kurunuz.

(5x - 6) + (3 \times 4) = 66 \Rightarrow 5x - 6 + 12 = 66 \Rightarrow 5x + 6 = 66

4

yıl sonra her bir kişi

4

yaş yaşlanacağı için toplama

3 \times 4

eklenir.

4

Denklemi çözerek bilinmeyeni bulunuz.

5x = 60 \Rightarrow x = 12

Tarık'ın yaşını belirlemek için.

5

Soru kökünde istenen Umut'un yaşını hesaplayınız.

Umut'un yaşı:

2x - 6 \Rightarrow 2(12) - 6 = 24 - 6 = 18

Umut'un yaşının Selin üzerinden tanımlanmış olması nedeniyle bulunan değer yerine konur.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde 'zaman geçişi' tüm bireyler için aynı miktarda eklenir ve kişilerin birbirine göre yaş bağıntıları doğru kurgulanmalıdır.

İpuçları

1

Herkesin yaşını Tarık'ın yaşına (

x

) bağlı olarak ifade etmeye çalışın.

2

4

yıl sonraki yaşlar toplamını hesaplarken

3

kişi olduğu için toplama

12

eklemeyi unutmayın.

3

Denklem sonucunda bulduğunuz

x

değeri Tarık'ındır; Umut'un yaşını bulmak için Selin'in yaşından

6

çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Yaş farkının yıllar geçse de değişmediği soruları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 300Soru →

Bir belediyenin geliştirdiği akıllı ulaşım kartı sisteminde, kart bakiyesi her kullanımdan sonra aşağıdaki algoritma kurallarına göre otomatik olarak güncellenmektedir:

1. Eğer bakiye 4'ün tam katı ise, bakiyenin yarısı alınır.
2. Eğer bakiye 4'ün tam katı değil ancak çift sayı ise, bakiyeye 6 eklenir.
3. Eğer bakiye tek sayı ise, bakiyeden 3 çıkarılır.

Sisteme giriş yapan bir kullanıcının kartı, peş peşe 2 kez işlem gördükten sonra son bakiyesi 10 TL olmuştur.

Buna göre, kullanıcının başlangıç bakiyesinin alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır?

63

77

92

103

117

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Başlangıç bakiyesinin alabileceği değerler 40, 14 ve 23 olup toplamları 77'dir.

Sondan başa doğru gidildiğinde, 2. işlem sonunda 10 elde etmek için 1. işlem sonundaki sayı 20 veya 13 olmalıdır (4 sayısı elenir). 20 sayısına ulaşmak için başlangıç sayısı 40, 14 veya 23 olabilir. 13 sayısına ulaşmak için ise hiçbir başlangıç sayısı kurallara uymaz. Bu nedenle geçerli değerler toplamı 40+14+23 = 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi sondan başa doğru çözmek için son bakiyeyi (10) veren bir önceki adım değerlerini (1. işlem sonu) belirle.

Olası değerler: 20 ve 13

1. Kural (x/2=10 → x=20, 20 mod 4 = 0 ✓), 2. Kural (x+6=10 → x=4, 4 mod 4 = 0 olduğu için kurala uymaz X), 3. Kural (x-3=10 → x=13, 13 tek ✓).

2

Bulunan 20 değeri için olası başlangıç değerlerini hesapla.

40, 14 ve 23

1. Kural: x/2=20 → x=40 (40 mod 4 = 0 ✓). 2. Kural: x+6=20 → x=14 (14 çift ve 4'ün katı değil ✓). 3. Kural: x-3=20 → x=23 (23 tek ✓).

3

Bulunan 13 değeri için olası başlangıç değerlerini hesapla.

Hiçbir değer sağlamıyor.

1. Kural: x/2=13 → x=26 (26 mod 4 ≠ 0 X). 2. Kural: x+6=13 → x=7 (7 çift değil X). 3. Kural: x-3=13 → x=16 (16 tek değil X).

4

Geçerli tüm başlangıç değerlerini topla.

40 + 14 + 23 = 77

Bulunan tüm geçerli kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Tersine İşlem Algoritması ve Koşullu Mantık

İpuçları

1

Soruyu sondan başa doğru (tersine işlem yaparak) çözmeyi deneyin. Sonuç 10 ise, bir önceki adımda sayı kaç olabilir?

2

Tersine işlem yaparken bulduğunuz her 'aday' sayının, o kuralın şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmelisiniz. Örneğin: 'Yarısı 10 eden sayı 20'dir. Peki 20 gerçekten 4'ün katı mıdır?'

3

İkinci adımda 10 sonucunu veren adaylar: 20 (uygun), 4 (uygun değil çünkü 4'ün katı) ve 13 (uygun). Şimdi sadece 20 ve 13 sayıları için bir adım daha geriye gidin.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı (Tree Diagram) çizerek 10 sayısından geriye doğru dallanma oluşturulabilir. Her dalda kuralın geçerliliği (Valid/Invalid) kontrol edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem