Tek Yönlü Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir klinik araştırmada, yeni geliştirilen 4 farklı ağrı kesici ilacın ve bir plasebonun (kontrol grubu) etki süreleri tamamen rastgele tasarım ile incelenmektedir. Toplam 5 grubun bulunduğu bu araştırmaya ilişkin elde edilen veriler üzerinde yapılan ön analizlerde;

I. Hata terimlerinin normal dağılım gösterdiği,
II. Grup varyanslarının homojen olmadığı (Levene testi $p < 0,05$ ),
III. Gruplardaki gözlem (hasta) sayılarının birbirinden farklı olduğu

tespit edilmiştir.

Yapılan Welch varyans analizi sonucunda, genel grup ortalamaları arasındaki fark istatistiksel olarak anlamlı bulunmamıştır ( $p > 0,05$ ). Buna rağmen araştırmacı, Tip I hata oranını kontrol altında tutarak gruplar arasındaki potansiyel farklılıkları keşfetmek amacıyla tüm olası ikili karşılaştırmaları (post-hoc) yapmak istemektedir.

İstatistiksel analiz ilkeleri dikkate alındığında, bu araştırmacının yapması gereken en uygun işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Varyans analizi sonucunda genel F istatistiği anlamsız bulunduğu için hiçbir post-hoc çoklu karşılaştırma testi uygulanmamalı ve analiz sonlandırılmalıdır.

Varyanslar homojen olmadığı ve örneklem büyüklükleri farklı olduğu için tüm ikili karşılaştırmalarda Tip I hatayı kontrol edebilen Games-Howell testi kullanılmalıdır.

Araştırmada bir kontrol grubu bulunduğu için tüm olası ikili karşılaştırmalar yerine yalnızca Dunnett testi uygulanmalıdır.

Varyanslar heterojen olsa bile istatistiksel gücü yüksek olduğu için tüm ikili karşılaştırmalarda Tukey HSD testi kullanılmalıdır.

Çoklu karşılaştırma testleri yerine, her bir ikili grup kombinasyonu için alfa anlamlılık düzeyinde herhangi bir düzeltme (Bonferroni vb.) yapılmadan standart bağımsız iki örneklem t-testleri uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyans analizi sonucunda genel F istatistiği anlamsız bulunduğu için hiçbir post-hoc çoklu karşılaştırma testi uygulanmamalı ve analiz sonlandırılmalıdır.

Cevap

Varyans analizi sonucunda genel F istatistiği anlamsız bulunduğu için hiçbir post-hoc çoklu karşılaştırma testi uygulanmamalı ve analiz sonlandırılmalıdır.

Çoklu karşılaştırma (Post-Hoc) testleri, doğası gereği yalnızca tek yönlü varyans analizinde (omnibus F-testi) gruplar arasında genel olarak istatistiksel bir fark bulunduğunda (

p < 0,05

), bu farkın hangi gruplardan kaynaklandığını bulmak için uygulanır. Varyans analizi sonucu anlamsız bulunduğunda, grupların ortalamalarının istatistiksel olarak birbirine eşit olduğu kabul edilir. Bu aşamadan sonra zorlama bir şekilde çoklu karşılaştırma veya t-testleri yapmak, family-wise Tip I hata oranını büyük ölçüde artıracaktır. Dolayısıyla araştırmanın bu noktasında hiçbir post-hoc test uygulanmamalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın hipotez testi sonuçlarını incele.

Welch varyans analizi sonucunda p değeri 0,05'ten büyük bulunmuş, yani gruplar arası ortalamaların eşit olduğu sıfır hipotezi (H0) reddedilememiştir.

Post-hoc testlere geçilebilmesi için önkoşul, en az iki grup arasında anlamlı bir farkın tespit edilmiş olmasıdır.

2

Anlamsız F testi durumunda post-hoc test kuralını uygula.

Herhangi bir çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi yapmaktan vazgeçilir ve analiz gruplar arası fark olmadığı kararıyla sonlandırılır.

Genel F testi anlamsızken ikili karşılaştırmalar yapmak, 'family-wise' Tip I hata (gerçekte fark yokken fark var deme) riskini kontrolsüz bir şekilde artırır.

3

Çeldirici senaryo detaylarını (varyans heterojenliği vb.) değerlendir.

Veriler varyans heterojenliğine ve farklı örneklem büyüklüklerine sahip olsa da, bu durum sadece F testi anlamlı çıksaydı Games-Howell testinin seçilmesini gerektirirdi.

Ön koşul (anlamlı F) sağlanmadığı için, verinin diğer özellikleri hangi post-hoc testin yapılacağını değil, analizin bittiğini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Korunmuş F Testi Kuralı (Protected Fisher Rule) ve Post-Hoc Varsayımları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir tarım araştırmacısı, 4 farklı gübre türünün buğday verimi (kg/dekar) üzerindeki etkisini incelemek üzere tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney yürütmüştür. Her bir gübre türü 12 farklı tarlaya uygulanmıştır (Toplam gözlem sayısı $N=48$ ). Veriler üzerinde yapılan ön analizlerde, buğday verimi değerlerinin aşırı sağa çarpık olduğu ve grup varyanslarının homojen olmadığı ( $p < 0.05$ ) tespit edilmiştir. Ölçüm hassasiyetinden kaynaklanan nedenlerle veri setinde birbirinin aynısı olan (bağlı/tied) çok sayıda gözlem bulunmaktadır.

Bu varsayım ihlallerini dikkate alan araştırmacı, parametrik Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) yerine bunun nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis testini uygulamaya karar vermiştir.

Bu testin özellikleri, varsayımları ve uygulanışı dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Grup varyansları heterojen olduğu ve dağılım şekilleri aynı varsayılamayacağı için sıfır hipotezi (

H_0

) "medyanlar eşittir" yerine "dağılımlar farksızdır" (stokastik eşitlik) biçiminde kurulmalıdır; ayrıca bağlı gözlem düzeltmesi hesaplanan

H

test istatistiğinin değerini büyütecektir.

Grupların varyansları heterojen olduğu için Kruskal-Wallis testi yerine parametrik bir yönteme dönülmeli ve anlamlılık durumunda çoklu karşılaştırmalar varyans homojenliği varsayan Tukey HSD testi ile yapılmalıdır.

Araştırmacı,

H

test istatistiğinin istatistiksel anlamlılığını değerlendirirken, bu değeri gruplar içi hata serbestlik derecesi olan

N-k = 44

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) teorik tablo değeriyle karşılaştırmalıdır.

Hataların normal dağılımı ve varyansların homojenliği varsayımlarının ihlal edilmesi parametrik testlerin gücünü etkilemeyeceğinden, Kruskal-Wallis yerine Tek Yönlü ANOVA uygulanmalı ve analiz sonucuna doğrudan güvenilmelidir.

Kruskal-Wallis testi sonucunda hesaplanan test istatistiği istatistiksel olarak anlamsız bulunsa dahi, gruplar arasında gözden kaçan potansiyel farklılıkları bulmak için mutlaka çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri uygulanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Grup varyansları heterojen olduğu ve dağılım şekilleri aynı varsayılamayacağı için sıfır hipotezi ( $H_0$ ) "medyanlar eşittir" yerine "dağılımlar farksızdır" (stokastik eşitlik) biçiminde kurulmalıdır; ayrıca bağlı gözlem düzeltmesi hesaplanan $H$ test istatistiğinin değerini büyütecektir.

Cevap

Sıfır hipotezinin 'dağılımlar farksızdır' (stokastik eşitlik) şeklinde kurulması gerektiğini ve bağlı gözlem düzeltmesinin

H

test istatistiğinin değerini büyüteceğini belirten ifade doğrudur.

Kruskal-Wallis testi teknik olarak 'medyanların eşitliği' testi değil, 'dağılımların farksızlığı' (stokastik eşitlik) testidir. Ancak grup dağılımlarının şekli ve varyansı aynı olduğunda bu hipotez medyanların eşitliği olarak sadeleşir. Soru bağlamında varyanslar heterojen olduğu için araştırmacı hipotezini medyanlar üzerinden değil, genel dağılım farksızlığı üzerinden kurmalıdır. Ayrıca veri setinde aynı değeri alan (bağlı/tied) gözlemlerin bulunması, hesaplanan düzeltilmemiş

H

değerinin 1'den küçük bir düzeltme faktörüne (

C

) bölünmesini gerektirir. Bir sayının 1'den küçük pozitif bir sayıya bölünmesi o sayıyı büyüteceğinden, düzeltilmiş

H

test istatistiğinin değeri artar ve bu durum testin daha güçlü olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Kruskal-Wallis testinin sıfır hipotezinin (

H_0

) temel doğasını değerlendirmek.

Grupların dağılım şekilleri ve varyansları tamamen aynı olduğunda

H_0

'medyanlar eşittir' şeklindedir; ancak şekiller farklılaştığında (varyans heterojenliği gibi durumlarda)

H_0

genel 'dağılımlar farksızdır' (stokastik eşitlik) biçimini alır.

Kruskal-Wallis aslında doğrudan bir medyan testi değil, genel bir dağılım farksızlığı testidir. Medyan testi olabilmesi için dağılım şekillerinin özdeş olma varsayımı gerekir.

2

Bağlı (tied) gözlemler için test istatistiğine uygulanan düzeltme işleminin etkisini belirlemek.

Düzeltme faktörü (

C

) formül gereği her zaman 1'den küçük pozitif bir değer alır (

C < 1

).

H

istatistiği bu faktöre bölündüğü için (

H_c = H / C

), nihai düzeltilmiş test istatistiği düzeltilmemiş halinden daha büyük çıkar.

Sıralama (rank) işlemi sırasında aynı değerlerin ortalama sıra alması, verideki sıralı toplam varyansı düşürür; düzeltme faktörü bu kayıp varyansı telafi etmek için test istatistiğini matematiksel olarak yukarı yönlü günceller.

3

Diğer seçeneklerdeki kavramsal hataları tespit etmek.

Serbestlik derecesinin hatalı hesaplanması (

N-k

), varsayım ihlallerinin reddedilmesi, anlamsız sonuca post-hoc yapılması ve heterojen varyansta yanlış post-hoc (Tukey) seçilmesi istatistiksel olarak elenir.

İleri düzey istatistiksel analiz yöntemlerinin teorik kısıtlarına ve kurallarına harfiyen uyulması gerekir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Varsayımları, Hipotez Kurulumu ve Bağlı Gözlem Düzeltmesi

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumu, $k=6$ farklı hizmet biriminde çalışan personelin haftalık mesai dışı çalışma sürelerini (saat) karşılaştırmak amacıyla her birimden rastgele 15'er personel (toplam $N=90$ ) seçmiştir. Verilerin analizi öncesinde yapılan normallik ve varyans homojenliği testlerinde, mesai dışı çalışma sürelerinin dağılımının normale uygun olmadığı ve grup varyanslarının heterojen olduğu belirlenmiştir.

Bu durum dikkate alındığında; araştırmacının gruplar arası farklılığı test etmek için kullanması gereken en uygun analiz yöntemi, kurması gereken sıfır hipotezi ( $H_0$ ) ve test istatistiğinin teorik dağılımı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yöntem olarak Kruskal-Wallis

H

testi kullanılmalı,

H_0

hipotezi "Birimlerin dağılımları aynıdır" şeklinde kurulmalı ve karar için 5 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı dikkate alınmalıdır.

Yöntem olarak Tek Yönlü ANOVA kullanılmalı,

H_0

hipotezi "Birimlerin ortalamaları eşittir" şeklinde kurulmalı ve karar için 5 ve 84 serbestlik dereceli

F

dağılımı dikkate alınmalıdır.

Yöntem olarak Kruskal-Wallis

H

testi kullanılmalı,

H_0

hipotezi "Birimlerin ortalamaları eşittir" şeklinde kurulmalı ve karar için 89 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı dikkate alınmalıdır.

Yöntem olarak Tek Yönlü ANOVA kullanılmalı,

H_0

hipotezi "En az bir birimin ortalaması diğerlerinden farklıdır" şeklinde kurulmalı ve karar için 5 ve 84 serbestlik dereceli

F

dağılımı dikkate alınmalıdır.

Yöntem olarak Tek Yönlü ANOVA kullanılmalı,

H_0

hipotezi "Birimlerin ortalamaları eşittir" şeklinde kurulmalı ve varyans heterojenliğinden dolayı çoklu karşılaştırmada Tukey HSD testi tercih edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yöntem olarak Kruskal-Wallis $H$ testi kullanılmalı, $H_0$ hipotezi "Birimlerin dağılımları aynıdır" şeklinde kurulmalı ve karar için 5 serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımı dikkate alınmalıdır.

Cevap

Doğru yaklaşım, varsayımlar sağlanmadığı için nonparametrik Kruskal-Wallis

H

testini kullanmak, sıfır hipotezini 'Birimlerin dağılımları aynıdır' olarak kurmak ve karar aşamasında 5 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımından yararlanmaktır.

Verilerde normallik ve varyans homojenliği sağlanmadığından parametrik Tek Yönlü ANOVA yerine Kruskal-Wallis

H

testi kullanılmalıdır. Bu testte

H_0

hipotezi grupların dağılımlarının (veya medyanlarının) aynı olduğunu ifade eder. Test istatistiği (

H

) ise büyük örneklemlerde grup sayısının bir eksiği (

k-1 = 6-1 = 5

) serbestlik derecesine sahip Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının ve varsayımların incelenmesi.

Bağımsız

k=6

grup (birim) vardır. Normallik ve varyans homojenliği varsayımları analiz öncesinde ihlal edilmiştir.

Uygun analiz yönteminin belirlenmesi için öncelikle verinin parametrik test koşullarını sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.

2

Uygun hipotez testinin seçilmesi.

Tek Yönlü ANOVA'nın nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis

H

testi seçilmelidir.

Gruplar bağımsızdır, grup sayısı ikiden fazladır ve ANOVA'nın temel varsayımları olan normallik ile varyans homojenliği sağlanmamaktadır.

3

Sıfır hipotezinin (

H_0

) kurulması.

H_0

: Altı birimin mesai dışı çalışma sürelerinin dağılımları (veya medyanları) aynıdır.

Kruskal-Wallis testi parametrik ortalamaları değil, verilerin sıralarını (rank) dikkate alarak konum (medyan/dağılım) karşılaştırması yapar.

4

Test istatistiğinin teorik dağılımının ve serbestlik derecesinin belirlenmesi.

H

istatistiği büyük örneklemlerde Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar. Serbestlik derecesi

sd = k - 1 = 6 - 1 = 5

olarak hesaplanır.

Grup sayısının (

k

) bir eksiği serbestlik derecesini verir; kritik değer ve anlamlılık kararı bu dağılım üzerinden verilir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testinde varsayım ihlali durumunda test seçimi, hipotez kurulumu ve test istatistiğinin dağılımı

Soru 4Soru →

Bir tarım araştırmacısı, dört farklı gübre tipinin buğday verimi üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamaktadır. Analiz öncesi yapılan varsayım kontrollerinde, verilerin normal dağılımı Shapiro-Wilk testi ile, grup varyanslarının homojenliği ise Levene testi ile incelenmiştir. Levene testi sonucunda $p < 0.05$ bulunmuş ve varyansların homojenliği varsayımının ihlal edildiği saptanmıştır.

Buna göre, araştırmacının varyans heterojenliğini göz ardı ederek standart ANOVA F testini uygulaması ve ardından grup farklarını belirlemek için Tukey HSD testini kullanması istatistiksel açıdan aşağıdakilerden hangisine yol açar?

F testi sonucunda sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda, bu sonucun daima 'tüm grup ortalamalarının birbirinden tamamen farklı olduğu' şeklinde hatalı genellenmesine neden olur.

Gruplar arası farkların tespiti için Tukey HSD yerine, yine varyans homojenliği varsayan Fisher'ın LSD testinin kullanılmasını istatistiksel açıdan zorunlu kılar.

Tip I hata oranını etkilemez ancak testin gücünü düşürür; varyansların eşit olmaması ANOVA analizinin genel güvenilirliğini ihlal etmeyeceğinden işleme devam edilebilir.

Tip I hata oranının nominal anlamlılık düzeyinin üzerine çıkmasına (enflasyona) neden olur; bu nedenle analizde Games-Howell gibi varyans homojenliği varsaymayan testler kullanılmalıdır.

Deneme birimlerinin muamelelere tarafsız atanmadığını gösterir; bu durum deneydeki rastgeleleştirme ve bağımsızlık varsayımlarının da kesin olarak ihlal edildiğini kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tip I hata oranının nominal anlamlılık düzeyinin üzerine çıkmasına (enflasyona) neden olur; bu nedenle analizde Games-Howell gibi varyans homojenliği varsaymayan testler kullanılmalıdır.

Cevap

Tip I hata oranının enflasyonuna yol açacağı için analizin Games-Howell gibi varyans homojenliği gerektirmeyen testlerle sürdürülmesi gerektiğini belirten ifade doğrudur.

Varyans analizinde standart F testi ve Tukey HSD gibi çoklu karşılaştırma testleri, hataların (veya grupların) varyanslarının homojen olduğu varsayımı üzerine kuruludur. Levene testi ile varyansların heterojen olduğu saptandığında bu testlerin kullanılmasına devam edilmesi, ortak hata varyansı havuzunun yanıltıcı olmasına neden olur. Bunun en temel istatistiksel sonucu Tip I hata oranının (

\alpha

) istenen nominal değerin üzerine çıkmasıdır (enflasyon). Bunu önlemek için varyans eşitliği varsaymayan Games-Howell gibi sağlam (robust) alternatif testler kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Levene testi sonucunun yorumlanması

Test sonucunda

p < 0.05

bulunması, grupların varyanslarının eşit olmadığı (heterojenlik) anlamına gelir.

Varyans analizinin (ANOVA) en kritik varsayımlarından biri grup varyanslarının eşit olmasıdır.

2

Varsayım ihlalinin etkisinin değerlendirilmesi

Varyans eşitliği varsayımı ihlal edildiğinde standart ANOVA F testi ve Tukey HSD gibi post-hoc testler kullanıldığında Tip I hata oranı (gerçekte fark yokken reddetme olasılığı) belirlenen

\alpha

düzeyinin üzerine çıkar.

Bu testlerin matematiksel altyapısı ortak bir hata varyansı (havuzlanmış varyans) hesaplamasına dayanır.

3

Alternatif çözüm yönteminin belirlenmesi

Heterojen varyans durumunda, Welch veya Brown-Forsythe ANOVA gibi dayanıklı testler ile Games-Howell, Tamhane T2 veya Dunnett T3 gibi post-hoc testleri tercih edilmelidir.

Bu testler varyans eşitliği varsayımına ihtiyaç duymadan, her grubun kendi varyansını kullanarak gruplar arası farkları güvenilir şekilde hesaplar.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Varyansların Homojenliği Varsayımının İhlali ve Sonuçları

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumu, personelinin motivasyon düzeyini artırmak amacıyla özel olarak tasarlanmış 4 farklı hizmet içi eğitim programının (A, B, C ve D) etkinliklerini karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla, personeller tamamen rastgele tasarıma uygun olarak bu 4 programa atanmış ve eğitim sonrasında motivasyon puanları ölçülerek tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmasına karar verilmiştir.

Araştırmacı, programların kitle ortalamaları ( $\mu_A, \mu_B, \mu_C, \mu_D$ ) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını test edecektir.

Buna göre, bu araştırma için kurulması gereken alternatif hipotez ( $H_1$ ) ve bu hipotezin istatistiksel anlamı aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde verilmiştir?

H_1

: En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

(Eğitim programlarından en az birinin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.)

H_1: \mu_A \neq \mu_B \neq \mu_C \neq \mu_D

(Dört eğitim programının kitle ortalamalarının tümü birbirinden farklıdır.)

H_1

: En az iki eğitim programının kitle ortalaması birbirine eşittir. (Programların sadece belirli bir kısmı kitle üzerinde farklı etkilere sahiptir.)

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

(Eğitim programları geniş bir yığından rastgele seçildiği için programlar arası varyans sıfırdan büyüktür.)

H_1: \mu_{\text{Faktör}} \neq \mu_{\text{Düzey}}

(Hizmet içi eğitim faktörünün genel ortalaması ile motivasyon düzeylerinin ortalamaları birbirinden farklıdır.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_1$ : En az bir $i \neq j$ için $\mu_i \neq \mu_j$ (Eğitim programlarından en az birinin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.)

Cevap

Doğru cevap, en az bir grubun kitle ortalamasının diğerlerinden farklı olduğunu belirten seçenektir.

Tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) sıfır hipotezi (

H_0

), tüm grup kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu (

\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

) iddia eder. Bu iddiayı reddeden alternatif hipotez (

H_1

) ise tüm ortalamaların tek tek birbirinden farklı olmasını gerektirmez; en az bir grubun ortalamasının diğerlerinden farklı olması

H_0

'ı reddetmek için yeterlidir. Matematiksel olarak bu, 'en az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

' şeklinde ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma probleminin doğasını ve istatistiksel model türünü belirleme.

Araştırmacı özel olarak tasarladığı belirli 4 programı karşılaştırdığı için Sabit Etkili Model (Model I) kullanılmaktadır.

Model türü, hipotezlerin ortalamalar (

\mu

) üzerinden mi yoksa varyans unsurları (

\sigma^2

) üzerinden mi kurulacağını belirler.

2

Tek yönlü ANOVA için sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlama.

H_0

, tüm muamele (program) ortalamalarının birbirine eşit olduğunu savunur:

\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D

.

Varyans analizinin temel amacı, gruplar arasında anlamlı bir fark olmadığını varsayarak işe başlamaktır.

3

Sıfır hipotezinin mantıksal değili olarak alternatif hipotezi (

H_1

) oluşturma.

H_1

, 'tüm ortalamalar birbirinden farklıdır' demek değildir.

H_0

'ın reddedilmesi için en az bir programın ortalamasının diğerlerinden farklı olması yeterlidir (En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

).

Eğer üç program birbirine eşit fakat dördüncü program bunlardan farklı bir etki yaratıyorsa,

H_0

yine reddedilir.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Sabit Etkili Model Hipotezleri

Soru 6Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir otomotiv fabrikasındaki makine operatörlerinin ürettikleri hatalı parça sayısı üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Fabrikada aynı makineyi kullanan toplam 150 operatör bulunmaktadır. Mühendis, bu operatörler arasından rastgele 6 operatör seçmiş ve her birinin rastgele seçilen 5 farklı vardiyadaki hatalı parça üretim sayılarını kaydetmiştir. Elde edilen verilere tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmış ve hesaplanan $F$ istatistiğinin $\alpha = 0.05$ anlamlılık düzeyinde tablo kritik değerini aştığı görülmüştür.

Bu deneysel tasarımın yapısı, kurulan hipotezler ve elde edilen sonucun istatistiksel yorumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Araştırmada operatörler rastgele seçildiği için şansa bağlı (Model II) etkili model kullanılır; sıfır hipotezi kitle varyans bileşeni üzerinden

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

şeklinde kurulur ve analiz sonucu fabrikanın tüm operatör kitlesine genellenebilir.

Araştırmacı analizi spesifik 6 operatör üzerinden yürüttüğü için bu durum sabit (Model I) etkili bir tasarımdır; sıfır hipotezi

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_6

olup, elde edilen anlamlılık diğer 144 operatöre genellenemez.

Tasarım şansa bağlı (Model II) etkili bir model olmasına rağmen, genel varyans analizi kuralları gereği sıfır hipotezi

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_6

şeklinde kurulur ve yalnızca seçilen 6 operatörün ortalamaları karşılaştırılır.

Bu deneysel tasarımda faktör 150 operatörlük kitle, faktör düzeyleri ise analiz edilen 6 operatördür; analizin anlamlı çıkması faktör düzeyleri arasındaki etkileşimin hata varyansından büyük olduğunu gösterir.

Model şansa bağlı etkili bir tasarım olup, muamele kareler ortalamasının beklenen değeri yalnızca hata varyansına (

E(MS_{Tr}) = \sigma^2

) eşit kabul edildiğinden,

F

testinin anlamlılığı modelde sistematik hata bulunmadığını kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Araştırmada operatörler rastgele seçildiği için şansa bağlı (Model II) etkili model kullanılır; sıfır hipotezi kitle varyans bileşeni üzerinden $H_0: \sigma^2_{\tau} = 0$ şeklinde kurulur ve analiz sonucu fabrikanın tüm operatör kitlesine genellenebilir.

Cevap

Model şansa bağlı (Model II) etkili bir modeldir; hipotez kitle varyans bileşeni (

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

) üzerinden kurulur ve anlamlı analiz sonucu tüm operatör kitlesine genellenir.

Araştırmada kullanılan 6 operatör, 150 kişilik daha büyük bir operatör kitlesinden rastgele seçilmiştir. Faktör düzeylerinin bu şekilde kitleyi temsil etmek üzere rastgele seçildiği tasarımlara şansa bağlı (Model II veya tesadüfi) etkili modeller denir. Bu modellerde araştırmacının asıl amacı, seçilen spesifik 6 operatörün ortalamalarını karşılaştırmak değil, 'operatör' faktörünün genel kitlenin hatalı parça üretimi üzerinde bir varyans yaratıp yaratmadığını bulmaktır. Bu nedenle sıfır hipotezi grup ortalamaları üzerinden (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k

) değil, faktör varyans bileşeni üzerinden (

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

) kurulur.

F

testinin anlamlı çıkması

H_0

'ın reddedildiği, yani operatörler arası kitle varyans bileşeninin sıfırdan büyük olduğu anlamına gelir. Sonuçlar rastgele örneklem mantığıyla tüm kitleye (150 operatöre) genellenir.

Adım Adım Çözüm

1

Deneysel tasarımın sabit (Model I) mi yoksa şansa bağlı (Model II) mi olduğunu belirlemek.

Operatörler 150 kişilik bir kitleden rastgele seçildiği için model şansa bağlı (Model II) etkili modeldir.

Eğer faktör düzeyleri araştırmacı tarafından kasıtlı olarak belirlenseydi sabit etkili olurdu; rastgele seçildiğinde kitlenin geneli hakkında çıkarım yapmak hedeflenir.

2

Şansa bağlı modeller için sıfır hipotezini (

H_0

) formüle etmek.

Hipotez

H_0: \sigma^2_{\tau} = 0

(faktörün kitle varyans bileşeni sıfırdır) şeklinde kurulur.

Model II'de amaç spesifik düzeylerin ortalamalarını karşılaştırmak değil, faktörün genel popülasyonda bir varyans yaratıp yaratmadığını test etmektir.

3

F istatistiğinin anlamlı çıkmasının (

H_0

'ın reddedilmesinin) sonucunu yorumlamak.

Varyans bileşeninin sıfırdan farklı olduğu (

\sigma^2_{\tau} > 0

) sonucuna varılır ve bu durum seçilmeyenler dahil tüm 150 operatör (kitle) için genellenir.

Örneklem evrenden rastgele seçildiği için elde edilen istatistiksel bulgular tüm kitleyi temsil eder.

Anahtar Kavram

Sabit (Model I) ve Şansa Bağlı (Model II) Etkili Modellerin Varsayım ve Hipotez Farklılıkları

Soru 7Soru →

Bir kent içi ulaşım planlamacısı, $k=4$ farklı otobüs güzergâhındaki duraklarda yolcuların bekleme sürelerini (dakika) karşılaştırmak istemektedir. Çalışma kapsamında her bir güzergâhtan birbirinden bağımsız olarak rastgele seçilen 15'er seferin bekleme süresi kaydedilmiştir. Veriler üzerinde yapılan ön incelemelerde, gruplardaki bekleme sürelerinin normal dağılım göstermediği tespit edilmiştir.

Buna göre; tüm güzergâhlar arasında bekleme süreleri açısından anlamlı bir farklılık olup olmadığını sınamak için kullanılması gereken en uygun istatistiksel test, bu teste ait sıfır hipotezi ( $H_0$ ) ve hesaplanan test istatistiğinin (örneklem çapı yeterince büyük olduğunda) yakınsadığı teorik dağılım aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Tüm güzergâhların bekleme süresi medyanları eşittir. / 3 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı

Tek Yönlü ANOVA /

H_0

: Tüm güzergâhların bekleme süresi ortalamaları eşittir. / 3 ve 56 serbestlik dereceli

F

dağılımı

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Tüm güzergâhların bekleme süresi medyanları eşittir. / 4 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı

Kruskal-Wallis Testi /

H_0

: Tüm güzergâhların bekleme süresi ortalamaları eşittir. / 3 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı

Tukey HSD Testi /

H_0

: Tüm güzergâhların bekleme süresi ortalamaları eşittir. / 3 ve 56 serbestlik dereceli

F

dağılımı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kruskal-Wallis Testi / $H_0$ : Tüm güzergâhların bekleme süresi medyanları eşittir. / 3 serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımı

Cevap

En uygun test Kruskal-Wallis Testi, hipotez "Tüm güzergâhların bekleme süresi medyanları eşittir" ve dağılım 3 serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımıdır.

Veriler normal dağılmadığı için bağımsız k grubun karşılaştırılmasında Tek Yönlü ANOVA'nın parametrik olmayan alternatifi olan Kruskal-Wallis testi seçilmelidir. Bu test sıra puanlarına dayanır ve

H_0

hipotezi popülasyon dağılımlarının (veya medyanlarının) eşit olduğunu ileri sürer. Testin

H

istatistiği,

k-1

(bu örnekte

4-1=3

) serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve varsayımları değerlendirerek uygun istatistiksel testi belirleme.

Bağımsız 4 grup (güzergâh) karşılaştırılmaktadır. Normal dağılım varsayımı sağlanmadığı için parametrik "Tek Yönlü ANOVA" yerine parametrik olmayan "Kruskal-Wallis Testi" kullanılmalıdır.

Kruskal-Wallis testi, bağımsız k örneklem için Tek Yönlü Varyans Analizinin (ANOVA) nonparametrik karşılığıdır.

2

Seçilen testin sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlama.

Kruskal-Wallis testinin sıfır hipotezi, k bağımsız örneğin aynı veya özdeş popülasyonlardan geldiğini (medyanların eşit olduğunu) ifade eder.

Parametrik testler ortalamaları karşılaştırırken, sıra puanlarına dayalı nonparametrik testler dağılımların konumlarını (medyanları) karşılaştırır.

3

Test istatistiğinin teorik dağılımını ve serbestlik derecesini hesaplama.

Kruskal-Wallis

H

test istatistiği, büyük örneklemlerde (her grupta genellikle n > 5) Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar. Serbestlik derecesi ise grup sayısı eksi birdir (

k-1 = 4-1 = 3

).

Testin matematiksel temeli, grupların sıra toplamlarının beklenen değerlerinden sapmalarının Ki-kare dağılımı ile modellenmesine dayanır.

Anahtar Kavram

Bağımsız K Örneklem İçin Kruskal-Wallis Testi (Varsayımlar, Hipotez ve Dağılım)

Soru 8Soru →

Bir üretim işletmesinde üretilen belirli bir malzemenin dayanıklılığı üzerindeki 'parti (batch)' etkisini incelemek amacıyla şansa bağlı (tesadüfi) etkili tek yönlü varyans analizi (Model II) uygulanmıştır. Üretim sürecinden rastgele seçilen $6$ farklı partinin her birinden $4$ 'er adet örneklem alınarak test edilmiştir.

Yapılan varyans analizi sonucunda İşlem Kareler Ortalaması ( $MSTr$ ) $150$ ve Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) $30$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, partiler arası varyans unsurunun ( $\hat{\sigma}_\tau^2$ ) tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

20

24

30

37,5

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Partiler arası varyans unsurunun tahmini değeri

30

'dur.

Şansa bağlı (tesadüfi) etkili tek yönlü varyans analizinde, işlem (parti) kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

ve hata kareler ortalamasının beklenen değeri

E(MSE) = \sigma^2

şeklindedir. Partiler arası varyans unsurunu (

\sigma_\tau^2

) tahmin etmek için işlem kareler ortalamasından hata kareler ortalaması çıkarılır ve her bir gruptaki gözlem sayısına (

n

) bölünür:

\hat{\sigma}_\tau^2 = (MSTr - MSE) / n

. Verilen değerler yerine konulduğunda

(150 - 30) / 4 = 30

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri ve şansa bağlı tek yönlü varyans analizi (Model II) için Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) denklemlerini yazın.

a = 6

(parti sayısı),

n = 4

(her partideki örneklem sayısı),

MSTr = 150

,

MSE = 30

. Denklemler:

E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

ve

E(MSE) = \sigma^2

.

Varyans unsurlarını tahmin edebilmek için kareler ortalamalarının beklenen değerlerini bilmek gerekir.

2

Partiler arası varyans unsuru (

\hat{\sigma}_\tau^2

) için tahmin edici formülünü oluşturun.

E(MSTr) - E(MSE) = (\sigma^2 + n\sigma_\tau^2) - \sigma^2 = n\sigma_\tau^2

. Buradan

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MSTr - MSE}{n}

formülü elde edilir.

İşlem kareler ortalamasının içinde hem rastgele hata varyansı hem de işlem (parti) varyansının etkisi vardır. Hata varyansının etkisini arındırmak için bu fark alınır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak tahmini hesaplayın.

\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{150 - 30}{4} = \frac{120}{4} = 30

.

Tahmin edici formülü aracılığıyla partiler arası varyansın büyüklüğü sayısal olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Şansa Bağlı Etkili (Tesadüfi) Tek Yönlü ANOVA Modelinde Varyans Unsurlarının Tahmini

Soru 9Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, belirli bir buğday türüne ait piyasada üretilen çok sayıdaki tohum partisinden tamamen rastgele seçtiği 5 partiyi verim (kg/dekar) açısından incelemektedir. Araştırmacının temel amacı, sadece seçilen bu 5 partinin verimlerini kendi aralarında karşılaştırmak değil; ilgili tohum partisinin tüm kütlesindeki genel verim değişkenliğini tahmin etmektir.

Bu deney tasarımında kullanılacak tek yönlü varyans analizi (ANOVA) modeli, sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) kurulumu ve sonuçların kitleye genelleme durumu bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Araştırma şansa bağlı etkili model (Model II) yapısındadır. İlgili sıfır hipotezi faktör düzeylerinin varyansının sıfır olduğu (

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

) şeklinde kurulur, analiz ile varyans bileşenleri tahmin edilir ve sonuçlar tüm tohum partileri kitlesine genellenir.

Araştırma sabit etkili model (Model I) yapısındadır. Sıfır hipotezi ilgili beş partinin verim etkilerinin sıfır olduğu (

H_0: \tau_1 = \dots = \tau_5 = 0

) şeklinde kurulur ve elde edilen varyans bileşenleri üzerinden kitleye genelleme yapılır.

Tasarım şansa bağlı etkili model (Model II) yapısında olup, sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda kabul edilecek alternatif hipotez (

H_1

), çalışılan beş partinin ortalama verimlerinin tümünün birbirinden farklı olduğunu iddia eder.

Bu araştırmada "verim" faktör düzeyleri, rastgele seçilen "tohum partileri" ise bağımlı değişkeni temsil eder. Model sabit etkili olup, hipotezler doğrudan bu partilerin hata varyanslarının homojenliği üzerine kurulur.

Model şansa bağlı etkili (Model II) olarak tanımlanmasına rağmen, test edilecek sıfır hipotezi sadece seçilen partilerin ortalama verimlerinin eşitliği (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_5

) üzerinden kurulur ve analiz sonuçları yalnızca bu beş parti için geçerli kabul edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Araştırma şansa bağlı etkili model (Model II) yapısındadır. İlgili sıfır hipotezi faktör düzeylerinin varyansının sıfır olduğu ( $H_0: \sigma_\tau^2 = 0$ ) şeklinde kurulur, analiz ile varyans bileşenleri tahmin edilir ve sonuçlar tüm tohum partileri kitlesine genellenir.

Cevap

Modelin şansa bağlı etkili yapıda olduğunu, varyansın sıfır olup olmadığını test ettiğini ve sonuçların tüm kitleye genellenebilir olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Araştırmada faktör düzeyleri rastgele seçilmiştir, bu sebeple analiz Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) yapısındadır. Bu modelde ilgilenilen parametre grup ortalamalarından ziyade faktörün genel popülasyondaki varyans bileşenleridir. Dolayısıyla sıfır hipotezi

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

şeklinde tanımlanır ve analiz sonucunda ulaşılan bulgular deneyde yer almayan diğer partileri de kapsayacak biçimde tüm kitleye genellenebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini belirleme

Araştırmacı tohum partilerini özel olarak seçmemiş, kitleyi temsil etmesi için rastgele seçmiştir.

Bu durum, çalışmanın Sabit Etkili Model (Model I) değil, Şansa Bağlı Etkili Model (Model II) olduğunu gösterir.

2

Hipotezleri kurma

Model II için sıfır hipotezi

H_0: \sigma_\tau^2 = 0

olarak belirlenir.

Şansa bağlı modellerde amaç belirli düzeylerin ortalamalarını (

H_0: \tau_i = 0

) karşılaştırmak değil, faktörün kitle içindeki genel varyans bileşenini (

\sigma_\tau^2

) tahmin etmektir.

3

Sonuçların genellenebilirliğini değerlendirme

Elde edilen sonuçlar seçilen 5 tohum partisiyle sınırlı kalmaz, tüm tohum partileri kütlesine genellenir.

Rastgele seçim yapıldığı için (Model II), istatistiksel çıkarımlar düzeylerin çekildiği daha büyük yığın (kitle) için geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sabit (Model I) ve Şansa Bağlı (Model II) Modellerin Hipotez ve Genelleme Farkı

Soru 10Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı, vergi denetimlerinde kullanılan dört spesifik yöntemin (Tam İnceleme, Sınırlı İnceleme, Çapraz Denetim, Sektörel Analiz) tahsil edilen ek vergi tutarı üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla, her bir denetim yöntemi için rastgele seçilen eşit sayıdaki mükellef dosyası incelenerek tek yönlü varyans analizi (ANOVA) yapılması planlanmaktadır. Araştırmacı, elde edeceği sonuçları evrendeki tüm olası denetim yöntemlerine değil, özel olarak belirlediği sadece bu dört spesifik yönteme genellemek istemektedir.

Bu araştırma tasarımı dikkate alındığında, test edilecek sıfır ( $H_0$ ) ve alternatif ( $H_1$ ) hipotezlerinin istatistiksel gösterimi ve kavramsal açıklaması aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde verilmiştir?

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

(Tüm denetim yöntemlerinin kitle ortalamaları eşittir)

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

(En az bir yöntemin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır)

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

(Tüm denetim yöntemlerinin kitle ortalamaları eşittir)

H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \neq \mu_3 \neq \mu_4

(Tüm denetim yöntemlerinin kitle ortalamaları birbirinden farklıdır)

H_0: \sigma_{\tau}^2 = 0

(Yöntemlerin varyans unsuru sıfırdır)

H_1: \sigma_{\tau}^2 > 0

(Yöntemlerin varyans unsuru sıfırdan büyüktür)

H_0: \mu_{\text{faktör 1}} = \mu_{\text{faktör 2}} = \mu_{\text{faktör 3}} = \mu_{\text{faktör 4}}

(Dört farklı faktörün kitle ortalamaları eşittir)

H_1:

En az bir faktörün kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

(Tüm denetim yöntemlerinin kitle ortalamaları eşittir)

H_1:

En az iki denetim yönteminin kitle ortalaması birbirine eşittir

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$ (Tüm denetim yöntemlerinin kitle ortalamaları eşittir)
$H_1:$ En az bir $i \neq j$ için $\mu_i \neq \mu_j$ (En az bir yöntemin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır)

Cevap

Sıfır hipotezinin tüm kitle ortalamalarının eşit olduğunu (

\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

), alternatif hipotezin ise en az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

(en az iki ortalamanın farklı olduğunu) belirttiği ifadedir.

Araştırmacı sonuçları sadece incelediği 4 yönteme genellemek istediğinden Sabit Etkili Model (Model I) kullanılmalıdır. Bu modelde sıfır hipotezi, tüm grup (düzey) ortalamalarının eşitliğini (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

) savunur. Alternatif hipotez ise sıfır hipotezinin tam tersidir; yani tüm grupların eşit olmadığı durumdur. Bu da istatistiksel olarak 'en az iki grubun ortalaması birbirinden farklıdır' (

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

) şeklinde ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma modelinin türünü (Sabit mi, Tesadüfi mi?) belirle.

Araştırmacı sonuçları sadece belirlediği dört spesifik yönteme genellemek istediği için bu bir Sabit Etkili Modeldir (Model I).

Modelin türü, hipotezlerin kitle ortalamaları (

\mu_i

) veya varyans unsurları (

\sigma_{\tau}^2

) üzerinden kurulacağını belirler.

2

Sabit etkili model için sıfır hipotezini (

H_0

) formüle et.

H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4

veya

H_0: \tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = \tau_4 = 0

ANOVA'da sıfır hipotezi her zaman deneydeki tüm düzeylerin (grupların) kitle ortalamalarının birbirine eşit olduğunu varsayar.

3

Sıfır hipotezinin mantıksal zıddı olan alternatif hipotezi (

H_1

) formüle et.

H_1:

En az bir

i \neq j

için

\mu_i \neq \mu_j

. Sözel olarak: En az bir denetim yönteminin kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır.

'Tümü eşittir' önermesinin mantıksal değili 'tümü farklıdır' değil, 'en az biri farklıdır' (veya 'en az iki tanesi birbirinden farklıdır') önermesidir.

4

Faktör ve düzey kavramlarının kullanımını kontrol et.

Denetim yöntemi 'faktör', dört farklı yöntem ise 'düzey'dir. Hipotezler faktörlerin değil, tek bir faktörün düzeylerinin karşılaştırılmasıdır.

Kavramsal terminolojinin doğru kullanıldığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü ANOVA'da Sabit Etkili Model Hipotez Kurulumu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Bir bakanlık müfettişi, vatandaş başvurularının sonuçlandırılma sürelerini (gün) incelemek üzere $k=5$ farklı bölge müdürlüğünden sırasıyla $n_1=12$ , $n_2=15$ , $n_3=14$ , $n_4=16$ ve $n_5=13$ hacimli (toplam $N=70$ ) bağımsız rastgele örneklemler çekmiştir. Yapılan ön incelemelerde verilerin normal dağılım göstermediği ve bölge müdürlüklerine ait varyansların homojenlik varsayımını sağlamadığı tespit edilmiştir.

Buna göre, müfettişin kullanması gereken en uygun istatistiksel analiz yöntemi ve bu yöntemin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Analizde Kruskal-Wallis testi kullanılmalıdır ve yeterli örneklem hacimlerinde hesaplanan

H

test istatistiği

4

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

Analizde Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) kullanılmalı, varsayım ihlalleri göz ardı edilerek gruplar arası farklılıkların tespiti için Tukey HSD testi uygulanmalıdır.

Varyansların heterojen olmasından dolayı Kruskal-Wallis testi yerine parametrik ANOVA uygulanmalı ve ikili karşılaştırmalar için varyansların eşitliğini varsayan Duncan çoklu aralık testi tercih edilmelidir.

Analizde Kruskal-Wallis testi kullanılmalı ve bu testin yokluk hipotezi (

H_0

), "En az iki bölge müdürlüğünün başvuru sonuçlandırma süreleri birbirinden farklıdır" şeklinde kurulmalıdır.

Analizde Kruskal-Wallis testi seçilmeli ve elde edilen test istatistiği tablo değeri ile karşılaştırılırken serbestlik derecesi

N-k = 65

olarak alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Analizde Kruskal-Wallis testi kullanılmalıdır ve yeterli örneklem hacimlerinde hesaplanan $H$ test istatistiği $4$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımına yakınsar.

Cevap

Analizde Kruskal-Wallis testi kullanılmalıdır ve yeterli örneklem hacimlerinde hesaplanan H test istatistiği 4 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına yakınsar.

Araştırmada

k=5

farklı bölge bulunduğundan ve normallik/varyans homojenliği varsayımları ihlal edildiğinden, Tek Yönlü ANOVA'nın nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis testi uygulanmalıdır. Her gruptaki örneklem hacmi yeterince büyük olduğu için testin

H

istatistiği, serbestlik derecesi

k-1 = 5-1=4

olan Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı ile değerlendirilir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma modelini ve verilerin sağladığı varsayımları değerlendir.

k=5

bağımsız grup karşılaştırılmaktadır. Veriler normal dağılmamakta ve varyanslar heterojendir.

Varsayımlar sağlanmadığı için parametrik olan Tek Yönlü ANOVA yerine parametrik olmayan karşılığı seçilmelidir.

2

Uygun istatistiksel testi belirle.

Tek Yönlü ANOVA'nın nonparametrik karşılığı olan Kruskal-Wallis

H

testi seçilir.

Üç veya daha fazla bağımsız grubun karşılaştırmasında dağılım serbest bir yöntem gereklidir.

3

Seçilen testin örneklem dağılımını ve serbestlik derecesini (sd) hesapla.

Grup büyüklükleri yeterli (

n_i > 5

) olduğundan

H

istatistiği Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar.

sd = k - 1 = 5 - 1 = 4

olarak bulunur.

Kruskal-Wallis testinde asimptotik dağılım, grup sayısının bir eksiği kadar serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımıdır.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis testinin kullanım şartları, test istatistiği dağılımı ve hipotez yapısı

Soru 12Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri analisti, platformda satış yapan on binlerce farklı satıcının teslimat performansının müşteri memnuniyet puanı üzerindeki etkisini incelemek istemektedir. Satıcıların genel davranış örüntüsünü ve puanlardaki değişkenliğin ne kadarının satıcı farklılıklarından kaynaklandığını belirlemek amacıyla, sisteme kayıtlı tüm satıcılar arasından rastgele 12 satıcı seçmiş ve her birinin rastgele 10'ar siparişine ait memnuniyet puanlarını kaydederek tek yönlü varyans analizi yapmıştır. Buna göre, araştırmacının kurduğu istatistiksel model ve özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Kurulan model şansa bağlı etkili modeldir (Model II) ve sınanan sıfır hipotezi, satıcı faktör düzeylerinin kitleye ait varyans bileşeninin sıfır olduğu (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) şeklindedir.

Tasarım sabit etkili modeldir (Model I); çünkü analizde her bir satıcının memnuniyet üzerindeki spesifik etkisi (

\tau_i

) ve bu etkilerin sıfıra eşit olup olmadığı (

H_0: \tau_i = 0

) test edilmektedir.

Model şansa bağlı etkili yapıda (Model II) kurulmuş olsa da, varyans analizinde test edilen sıfır hipotezi istisnasız olarak seçilen 12 satıcının grup ortalamalarının eşitliğidir (

H_0: \mu_1 = \dots = \mu_{12}

).

Bu tasarımdan elde edilen istatistiksel bulgular kitleye genellenemez; varyans analizi sonuçları yalnızca gözlemlenen 12 faktör düzeyi (satıcı) için geçerlidir.

Modele ait temel analitik amaç, tüm satıcı kitlesinin varyans bileşenini tahmin etmekten ziyade, deneydeki 12 satıcının genel ortalamadan sapma miktarlarını tek tek tahmin etmektir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kurulan model şansa bağlı etkili modeldir (Model II) ve sınanan sıfır hipotezi, satıcı faktör düzeylerinin kitleye ait varyans bileşeninin sıfır olduğu ( $H_0: \sigma^2_\tau = 0$ ) şeklindedir.

Cevap

Araştırmanın şansa bağlı etkili model (Model II) yapısında olduğu ve sıfır hipotezinin kitle varyans bileşeninin sıfıra eşitliğini (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) sınadığını belirten seçenek doğrudur.

Deney tasarımında, faktör düzeyleri (satıcılar) daha büyük bir popülasyondan rastgele seçildiği için bu bir şansa bağlı etkili modeldir (Model II). Sabit etkili modellerin (Model I) aksine, şansa bağlı etkili modellerde amaç seçilen spesifik faktör düzeylerinin ortalamalarını karşılaştırmak değil, düzeylerin çekildiği kitlenin varyans bileşenini tahmin etmek ve anlamlılığını test etmektir. Dolayısıyla test edilen sıfır hipotezi

H_0: \sigma^2_\tau = 0

olarak kurulur.

Adım Adım Çözüm

1

Metindeki deneyin yapısını ve faktör düzeylerinin nasıl seçildiğini analiz et.

Araştırmacı, on binlerce satıcı arasından sadece ilgilendiği özel 12 satıcıyı seçmemiş, 'rastgele 12 satıcı' seçmiştir.

Faktör düzeylerinin araştırmacı tarafından özel olarak belirlenmesi (Sabit Model) ile rastgele seçilmesi (Şansa Bağlı Model) ayrımını yapabilmek için.

2

Belirlenen model türüne göre (Şansa Bağlı Etkili Model / Model II) doğru istatistiksel hipotezi ve genellenebilirlik durumunu tanımla.

Model II'de amaç spesifik düzeyleri (12 satıcı) karşılaştırmak değil, bu satıcıların temsil ettiği kitlenin (on binlerce satıcı) değişkenliğini ölçmektir. Bu yüzden hipotez varyans üzerinden (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) kurulur ve sonuçlar kitleye genellenir.

Modellerin istatistiksel varsayımları ve test ettikleri parametrelerin farklı olması.

3

Seçenekleri bu kurallara göre değerlendir.

Yalnızca modelin adını, amacını (kitle varyans bileşeni) ve hipotezini (

H_0: \sigma^2_\tau = 0

) doğru eşleştiren ifade belirlenir.

Çeldiriciler genellikle modelin adını doğru verip hipotezini yanlış vererek veya tam tersi hatalarla oluşturulur.

Anahtar Kavram

Sabit ve Şansa Bağlı Etkili Modellerin Varsayım ve Hipotez Farklılıkları

Soru 13Soru →

Bir üretim sürecinde farklı makinelerin ürettiği parçaların dayanıklılıkları tek yönlü varyans analizi (ANOVA) ile incelenmektedir. Yapılan analiz sonucunda aşağıdaki verilere ulaşılmıştır:

- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) = 2000
- İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamı ( $SSTr$ ) = 800
- Hesaplanan $F$ test istatistiği değeri = 4
- Hata serbestlik derecesi ( $df_E$ ) ile işlem serbestlik derecesi ( $df_{Tr}$ ) arasındaki fark 10'dur ( $df_E - df_{Tr} = 10$ ).

Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) kaçtır?

400

120

100

50

1600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) 100'dür.

Hata kareler ortalaması (

MSE

), hata kareler toplamının (

SSE

) hata serbestlik derecesine (

df_E

) bölünmesiyle elde edilir. İşlem kareler toplamı 800 ve genel kareler toplamı 2000 olduğundan,

SSE = 2000 - 800 = 1200

'dür.

F

formülünden yola çıkarak serbestlik dereceleri arasındaki oran

F = (800/df_{Tr}) / (1200/df_E) = 4

eşitliğinden

df_E = 6 \cdot df_{Tr}

olarak bulunur. Verilen

df_E - df_{Tr} = 10

bilgisiyle denklem çözüldüğünde

df_{Tr} = 2

ve

df_E = 12

değerlerine ulaşılır. Sonuç olarak

MSE = 1200 / 12 = 100

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (

SSE

) hesaplama

SSE = SST - SSTr = 2000 - 800 = 1200

Varyans analizinde genel kareler toplamı, işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

2

F

istatistiği formülünü kullanarak serbestlik dereceleri arasındaki oranı bulma

F = \frac{SSTr / df_{Tr}}{SSE / df_E} \implies 4 = \frac{800 / df_{Tr}}{1200 / df_E} \implies 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{df_E}{df_{Tr}} \implies \frac{df_E}{df_{Tr}} = 6 \implies df_E = 6 \cdot df_{Tr}

F

test istatistiği, İşlem Kareler Ortalamasının (

MSTr

) Hata Kareler Ortalamasına (

MSE

) oranlanmasıyla elde edilir.

3

Hata serbestlik derecesini (

df_E

) hesaplama

df_E - df_{Tr} = 10 \implies 6 \cdot df_{Tr} - df_{Tr} = 10 \implies 5 \cdot df_{Tr} = 10 \implies df_{Tr} = 2

. Buradan

df_E = 6 \cdot 2 = 12

bulunur.

Soru metninde verilen fark eşitliği ile bir önceki adımda bulduğumuz oran birleştirilerek iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.

4

Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesaplama

MSE = \frac{SSE}{df_E} = \frac{1200}{12} = 100

Hata kareler ortalaması, hata kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunda Değerler Arası İlişkiler ve Geriye Doğru Hesaplama

Soru 14Soru →

Sağlık Bakanlığına bağlı bir laboratuvarda, belirli bir ilacın etken madde miktarındaki değişkenlik incelenmektedir. Araştırmacı, günlük olarak üretilen çok sayıdaki üretim partisi arasından tesadüfi (rastgele) olarak $a = 5$ farklı partiyi seçmiş ve her bir partiden $n = 4$ adet hap örneği alarak etken madde miktarını ölçmüştür.

İstatistiksel analizde partilerin (grupların) şansa bağlı (tesadüfi) bir faktör olduğu (Model II) dikkate alındığında, tek yönlü varyans analizinde partiler arası beklenen kareler ortalaması $E(MS_{Parti})$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

*(Not: Deney hatasının varyansı $\sigma^2$ , tesadüfi parti etkisinin varyans unsuru $\sigma_{\tau}^2$ ve sabit modeldeki muamele etkisi $\tau_i$ ile gösterilmektedir.)*

\sigma^2 + 4\sigma_{\tau}^2

\sigma^2 + \frac{4 \sum_{i=1}^{5} \tau_i^2}{4}

\sigma^2 + 5\sigma_{\tau}^2

\sigma^2 + 20\sigma_{\tau}^2

\sigma^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sigma^2 + 4\sigma_{\tau}^2$

Cevap

\sigma^2 + 4\sigma_{\tau}^2

seçeneği doğru cevaptır.

Şansa bağlı (tesadüfi) etkili tek yönlü varyans analizi modelinde, ilgilenilen faktör düzeyleri yığından rastgele seçilmiştir. Bu modelde gruplar (partiler) arası beklenen kareler ortalaması, hata varyansı ile parti varyans unsurunun grup içi gözlem sayısıyla çarpımının toplamına eşittir (

E(MS) = \sigma^2 + n\sigma_{\tau}^2

). Soruda grup içi gözlem sayısı (her partiden alınan örneklem)

n=4

olarak verildiğinden doğru eşitlik

\sigma^2 + 4\sigma_{\tau}^2

olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının ve kullanılacak istatistiksel modelin türünü belirleme.

Çok sayıda parti arasından rastgele a=5 parti seçildiği için bu bir Şansa Bağlı (Tesadüfi) Etkili Tek Yönlü ANOVA (Model II) tasarımıdır.

Modelin türü (sabit veya tesadüfi), beklenen kareler ortalaması (E(MS)) denklemlerinin yapısını doğrudan belirler.

2

Model II için gruplar arası beklenen kareler ortalaması E(MSTr) formülünü hatırlama.

Tesadüfi etkili modelde E(MSTr) = \sigma^2 + n\sigma_{\tau}^2 formülü ile elde edilir.

Tesadüfi modelde faktör düzeyleri bir yığından çekildiği için, grup ortalamalarındaki farklılıklar sabit bir \tau_i etkisi yerine bir varyans unsuru (\sigma_{\tau}^2) ile ifade edilir.

3

Soruda verilen n (grup başına düşen gözlem sayısı) değerini formülde yerine koyma.

Her bir partiden n = 4 adet hap alındığı için formül E(MS_{Parti}) = \sigma^2 + 4\sigma_{\tau}^2 halini alır.

Beklenen kareler ortalamasında varyans unsurunun (\sigma_{\tau}^2) katsayısı, grup içi tekrar (n) sayısına eşittir.

Anahtar Kavram

Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları ve Tesadüfi Model Yapısı

Soru 15Soru →

Bir Karayolları Bölge Müdürlüğü araştırmacısı, $5$ farklı asfalt kaplama türünün aşınma dirençlerini (yıl) karşılaştırmak amacıyla tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamış ve kaplama türleri arasında $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı bir fark tespit etmiştir. Araştırmacı, hangi kaplama türlerinin birbirinden farklı olduğunu spesifik olarak belirleyebilmek amacıyla bu $5$ kaplama türünün tüm olası ikili karşılaştırmalarını (pairwise comparisons) yapmayı planlamaktadır.

Çoklu karşılaştırmalar sonucunda artma eğiliminde olan deney geneli hata oranını (family-wise error rate) maksimum $0,05$ seviyesinde kontrol altında tutmayı hedefleyen araştırmacı, bu amaçla Bonferroni düzeltmesi yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, araştırmacının yapacağı her bir bağımsız ikili karşılaştırma testinde istatistiksel kararı verirken kullanması gereken güncellenmiş anlamlılık düzeyi ( $\alpha'$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,050

0,025

0,0125

0,010

0,005

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,005$

Cevap

Araştırmacının her bir ikili karşılaştırma için kullanması gereken güncellenmiş anlamlılık düzeyi

0,005

'tir.

Doğru yanıt olan

0,005

değeri, Bonferroni düzeltmesinin temel matematiksel prensibine dayanmaktadır.

5

farklı kaplama türü için yapılabilecek tüm ikili karşılaştırmaların sayısı kombinasyon hesabı ile

\binom{5}{2} = 10

olarak bulunur. Deney geneli Tip I hata oranını

0,05

seviyesinde güvenle tutabilmek için, başlangıç anlamlılık düzeyi toplam karşılaştırma test sayısına eşit olarak paylaştırılır:

\alpha' = \frac{0,05}{10} = 0,005

.

Adım Adım Çözüm

1

Gruplar arası yapılabilecek tüm olası ikili karşılaştırma sayısını (

m

) hesaplamak.

k=5

düzey için kombinasyon formülü ile:

m = \frac{k(k-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10

bağımsız karşılaştırma bulunur.

Bonferroni düzeltmesi, hata payını korumak için plana dahil edilen toplam test sayısına ihtiyaç duyar.

2

Bonferroni düzeltmesi formülünü uygulayarak yeni anlamlılık düzeyini (

\alpha'

) hesaplamak.

\alpha' = \frac{\alpha}{m} = \frac{0,05}{10} = 0,005

olarak hesaplanır.

Deney geneli hata oranının (

\alpha

) test sayısına (

m

) bölünmesi, her bir testin maksimum Tip I hata riskini katı bir şekilde sınırlandırır.

Anahtar Kavram

Bonferroni Düzeltmesi ve Deney Geneli Hata Oranı (Family-Wise Error Rate)

Soru 16Soru →

Bir ziraat mühendisi, 4 farklı buğday çeşidinin verimlerini karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Her bir buğday çeşidi 5 farklı deney parseline tesadüfi olarak ekilmiştir. Deney sonucunda elde edilen verilere ilişkin bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

- Genel toplam ( $Y_{..}$ ): $160$
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı ( $\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{5} Y_{ij}^2$ ): $1450$
- Çeşitlerin grup toplamları sırasıyla ( $Y_{1.}, Y_{2.}, Y_{3.}, Y_{4.}$ ): $30, 40, 50, 40$

Buna göre, bu deney için hata kareler toplamı ( $SSE$ ) kaçtır?

40

130

170

210

1120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

130

Varyans analizinde hata kareler toplamını (

SSE

) bulmak için genel kareler toplamından (

SST

) işlem kareler toplamının (

SSTr

) çıkarılması gerekir. Öncelikle toplam 20 gözlem için düzeltme terimi

CT = 160^2 / 20 = 1280

olarak bulunur.

SST = 1450 - 1280 = 170

olarak elde edilir.

SSTr

için grup toplamlarının kareleri

n=5

'e bölünerek toplanır:

(900 + 1600 + 2500 + 1600) / 5 = 1320

. Ardından düzeltme terimi çıkarılarak

SSTr = 1320 - 1280 = 40

bulunur. Son olarak,

SSE = 170 - 40 = 130

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını (

N

) ve düzeltme terimini (

CT

) hesaplayın.

N = 4 \times 5 = 20

gözlem.

CT = \frac{Y_{..}^2}{N} = \frac{160^2}{20} = \frac{25600}{20} = 1280

Kareler toplamı formüllerinde sapmaları pratik yoldan hesaplayabilmek için düzeltme terimine ihtiyaç vardır.

2

Genel kareler toplamını (

SST

) hesaplayın.

SST = \sum \sum Y_{ij}^2 - CT = 1450 - 1280 = 170

Verilerdeki toplam varyasyonu ifade eden genel kareler toplamı, tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme teriminin çıkarılmasıyla bulunur.

3

İşlem (muamele) kareler toplamını (

SSTr

) hesaplayın.

SSTr = \frac{\sum Y_{i.}^2}{n} - CT = \frac{30^2 + 40^2 + 50^2 + 40^2}{5} - 1280 = \frac{900 + 1600 + 2500 + 1600}{5} - 1280 = \frac{6600}{5} - 1280 = 1320 - 1280 = 40

Gruplar arası varyasyonu ifade eden işlem kareler toplamı, grup toplamlarının karelerinin gruptaki gözlem sayısına bölünüp toplanması ve düzeltme teriminden çıkarılmasıyla bulunur.

4

Hata kareler toplamını (

SSE

) hesaplayın.

SSE = SST - SSTr = 170 - 40 = 130

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralı gereği, genel kareler toplamı işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir (

SST = SSTr + SSE

). Buradan hareketle

SSE

çekilerek bulunur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Hesaplanması ve Ayrıştırılması (Genel, İşlem, Hata)

Alternatif Yöntem

Düzeltme terimini (

CT

) hiç hesaba katmadan doğrudan şu kısayol formülüyle

SSE

bulunabilir:

SSE = \sum \sum Y_{ij}^2 - \sum \frac{Y_{i.}^2}{n} = 1450 - \frac{6600}{5} = 1450 - 1320 = 130

. Bu yöntem, sınavda

CT

hesaplama adımını atlayarak zaman kazandırır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir araştırmacı, 5 farklı diyet programının kilo kaybı üzerindeki etkisini incelemek için her gruba rastgele 9'ar kişi atayarak tamamen rastgele bir deney tasarımı kurmuştur. Araştırmacı, elde ettiği tüm gözlemler üzerinden hesapladığı genel örneklem varyansını (toplam varyans) $15,00$ olarak bulmuştur. Yapılan tek yönlü varyans analizi sonucunda, diyet programları arasındaki temel etkinin $F$ istatistik değeri $3,75$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Ortalaması ( $HKO$ ) ve İşlem Kareler Ortalaması ( $İKO$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

HKO = 12,00

;

İKO = 45,00

HKO = 15,00

;

İKO = 56,25

HKO = 45,00

;

İKO = 12,00

HKO = 3,47

;

İKO = 130,26

HKO = 12,27

;

İKO = 46,02

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $HKO = 12,00$ ; $İKO = 45,00$

Cevap

Hata Kareler Ortalamasının 12,00 ve İşlem Kareler Ortalamasının 45,00 olduğu seçenektir.

Verilen problemde eksik parçaları bulmak için tersten gidilmelidir. Öncelikle N=45 olduğu için Genel sd = 44'tür. Toplam varyans (15) ile Genel sd (44) çarpılarak Genel Kareler Toplamı (GKT) = 660 bulunur. Kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralına göre GKT = İKT + HKT'dir. İKT yerine

4 \times İKO

, HKT yerine

40 \times HKO

yazılır. F oranından dolayı

İKO = 3,75 \times HKO

eşitliği bu denkleme yerleştirildiğinde

4 \times (3,75 \times HKO) + 40 \times HKO = 660

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde HKO = 12 ve İKO = 45 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenlerden serbestlik derecelerini (sd) belirleme

Grup sayısı

k = 5

, her gruptaki gözlem sayısı

n = 9

, toplam gözlem sayısı

N = 45

. Buna göre; Genel

sd = N-1 = 44

, İşlem

sd = k-1 = 4

, Hata

sd = N-k = 40

bulunur.

Varyans analizinde kareler toplamları ile kareler ortalamaları arasındaki geçişi sağlamak için serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Genel Kareler Toplamını (GKT) hesaplama

GKT = (N-1) \times S^2_{genel} = 44 \times 15,00 = 660,00

Genel örneklem varyansı, Genel Kareler Toplamının Genel Serbestlik Derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

Kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralını formüle etme

GKT = İKT + HKT \implies 660 = (İKO \times 4) + (HKO \times 40)

Genel Kareler Toplamı, İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplamına eşittir ve her bir KT, kendi KO'su ile sd'sinin çarpımıdır.

4

F

istatistiğini kullanarak değişkenleri tek cinse indirme

F = İKO / HKO = 3,75 \implies İKO = 3,75 \times HKO

. Bunu denkleme yazarsak:

660 = (3,75 \times HKO \times 4) + 40 \times HKO

Denklemde iki bilinmeyen (İKO ve HKO) vardır, F oranını kullanarak bilinmeyen sayısını bire düşürürüz.

5

Denklemi çözerek

HKO

ve

İKO

değerlerini bulma

660 = 15 \times HKO + 40 \times HKO \implies 660 = 55 \times HKO \implies HKO = 12,00

. Buradan

İKO = 3,75 \times 12 = 45,00

bulunur.

Basit cebirsel işlemlerle aranan hata ve işlem varyansları (kareler ortalamaları) kesin olarak hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

ANOVA'da Kareler Toplamlarının Toplanabilirliği ve Varyans Bileşenleri

Soru 18Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı araştırmacıları, ülke genelindeki çok sayıdaki buğday tarlasının verim değişkenliğini incelemektedir. Tarlaların tamamını incelemek maliyetli olacağından, popülasyondan tesadüfi olarak $a = 4$ tarla seçilmiş ve her tarladan rastgele $n = 8$ farklı parselin verim değerleri kaydedilmiştir.

Araştırmacılar verileri, $y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}$ denklemine sahip tek yönlü tesadüfi etkili model (Model II) ile analiz etmektedir. Burada $\tau_i$ , seçilen tarlaların rastgele etkilerini ( $\tau_i \sim N(0, \sigma_\tau^2)$ ); $\varepsilon_{ij}$ ise şansa bağlı hataları ( $\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$ ) göstermektedir.

Buna göre, tarlalar arası değişkenliği yansıtan muamele (tarla) beklenen kareler ortalaması $E(MS_{\text{Tarla}})$ aşağıdakilerden hangisidir?

\sigma^2 + \frac{8 \sum_{i=1}^{4} \tau_i^2}{3}

\sigma^2 + 4\sigma_\tau^2

\sigma^2 + 32\sigma_\tau^2

\sigma^2 + 8\sigma_\tau^2

\sigma^2 + \frac{4 \sum_{i=1}^{4} \tau_i^2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sigma^2 + 8\sigma_\tau^2$

Cevap

\sigma^2 + 8\sigma_\tau^2

Tek yönlü tesadüfi etkili modelde (Model II), popülasyondan rastgele seçilen düzeylerin etkileri şansa bağlı olduğundan muamele (gruplar arası) beklenen kareler ortalaması

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

kuralı ile ifade edilir. Soruda tarlalar rastgele seçilmiş ve her bir tarladan

n=8

ölçüm alınmıştır. Bu durumda beklenen kareler ortalaması doğrudan

\sigma^2 + 8\sigma_\tau^2

yapısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen analiz türünü ve deneyin yapısal modelini belirlemek.

Tarlalar geniş bir yığından rastgele seçildiği ve modeli temsil eden rastgele bileşen belirtildiği için analiz, tek yönlü tesadüfi etkili modeldir (Model II).

Uygulanacak matematiksel kuralı tespit edebilmek için sabit ve tesadüfi model ayrımı zorunludur.

2

Tesadüfi etkili modelde muamele (faktör) beklenen kareler ortalamasının genel formülünü yazmak.

Genel teorik formül:

E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2

Model II'de, verilerdeki grup (muamele) ortalamaları arasındaki değişim, temel hata varyansı ile faktör varyans bileşeninin

n

katının birleşiminden oluşur.

3

Araştırmada verilen deney birimi sayılarını formüle uyarlamak.

Tarla sayısı (düzey)

a=4

, her tarladan alınan parsel sayısı (tekrar)

n=8

'dir. Formülde

n

yerine 8 konulduğunda

\sigma^2 + 8\sigma_\tau^2

bulunur.

Beklenen kareler kuralında faktör varyansının katsayısı daima her düzeydeki tekrar sayısıdır.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Tesadüfi Etkili Modelde Beklenen Kareler Ortalaması

Soru 19Soru →

Aşağıdaki tabloda bir tarım araştırmasının tek yönlü varyans analizi (ANOVA) özet tablosunun bir kısmı verilmiştir. Araştırmada 4 farklı gübre türünün verime etkisi toplam 24 deneme birimi kullanılarak incelenmiştir.

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)
İşlem (Gübre)	?	$450$	İKO
Hata	?	?	HKO
Genel	?	$1250$

Buna göre, tablodaki İşlem Kareler Ortalaması (İKO) ve Hata Kareler Ortalaması (HKO) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\text{İKO} = 112,5

;

\text{HKO} = 40,0

\text{İKO} = 150,0

;

\text{HKO} = 62,5

\text{İKO} = 150,0

;

\text{HKO} = 40,0

\text{İKO} = 150,0

;

\text{HKO} = 85,0

\text{İKO} = 112,5

;

\text{HKO} = 62,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{İKO} = 150,0$ ; $\text{HKO} = 40,0$

Cevap

Doğru yanıt, İşlem Kareler Ortalamasının 150,0 ve Hata Kareler Ortalamasının 40,0 olduğu seçenektir.

Varyans analizinde İşlem Kareler Ortalaması (İKO), İşlem Kareler Toplamının işlem serbestlik derecesine (

k-1

) bölünmesiyle elde edilir. Deneyde

k=4

grup olduğu için

\text{İKO} = 450 / (4-1) = 150

olarak bulunur. Hata Kareler Ortalaması (HKO) ise Hata Kareler Toplamının hata serbestlik derecesine (

N-k

) bölünmesiyle bulunur. Hata KT, Genel KT'den İşlem KT'nin çıkarılmasıyla elde edilir (

1250 - 450 = 800

). Toplam gözlem sayısı

N=24

olduğundan hata serbestlik derecesi

24-4=20

'dir. Buradan

\text{HKO} = 800 / 20 = 40

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem (Gübre) ve Hata serbestlik derecelerini (sd) hesaplayın.

İşlem sd =

k - 1 = 4 - 1 = 3

. Hata sd =

N - k = 24 - 4 = 20

.

Kareler ortalamalarını bulmak için öncelikle ilgili kareler toplamlarının bölüneceği serbestlik derecelerinin belirlenmesi gerekir.

2

Toplanabilirlik ilkesini kullanarak Hata Kareler Toplamını (HKT) bulun.

HKT = Genel KT - İşlem KT =

1250 - 450 = 800

.

Genel Kareler Toplamı, İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplamına eşittir. HKO hesaplaması için Hata KT değerine ihtiyaç vardır.

3

Kareler Toplamlarını ilgili Serbestlik Derecelerine bölerek Kareler Ortalamalarını (KO) hesaplayın.

\text{İKO} = 450 / 3 = 150

.

\text{HKO} = 800 / 20 = 40

.

Varyans analizinde ortalama kareler (varyans tahminleri), kareler toplamlarının kendi serbestlik derecelerine bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA tablosunda kareler toplamlarının toplanabilirliği ve kareler ortalamalarının serbestlik dereceleri kullanılarak hesaplanması

Soru 20Soru →

Sağlık Bakanlığı, Türkiye'nin $k=7$ farklı coğrafi bölgesindeki devlet hastanelerinde hastaların yoğun bakım ünitelerinde ortalama kalış süreleri (gün) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık olup olmadığını araştırmak istemektedir. Her bölgeden rastgele seçilen 18'er hastaya ait veriler incelendiğinde, verilerin sağa aşırı çarpık bir dağılım gösterdiği (Shapiro-Wilk testi $p < 0,05$ ) ve bölgeler arası varyansların homojen olmadığı (Levene testi $p < 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Bu araştırma koşulları dikkate alındığında; araştırmada kullanılması gereken en uygun istatistiksel analiz yöntemi, bu yöntemin sınadığı sıfır hipotezi ( $H_0$ ) ve hesaplanacak test istatistiğinin (örneklem büyüklüğü yeterli olduğunda) yakınsadığı teorik dağılım ile serbestlik derecesi ( $sd$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Kruskal-Wallis Testi / Yedi bölgenin yoğun bakımda kalış süreleri dağılımları (medyanları) eşittir /

\chi^2

dağılımı,

sd=6

Tek Yönlü ANOVA / Yedi bölgenin yoğun bakımda kalış süreleri popülasyon ortalamaları eşittir /

F

dağılımı,

sd_1=6, sd_2=119

Kruskal-Wallis Testi / Bölgelerden en az birinin yoğun bakımda kalış süresi medyanı diğerlerinden farklıdır /

\chi^2

dağılımı,

sd=6

Kruskal-Wallis Testi / Yedi bölgenin yoğun bakımda kalış süreleri dağılımları (medyanları) eşittir /

\chi^2

dağılımı,

sd=7

Tukey HSD Testi / Yedi bölgenin yoğun bakımda kalış süreleri popülasyon ortalamaları eşittir /

F

dağılımı,

sd_1=6, sd_2=119

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kruskal-Wallis Testi / Yedi bölgenin yoğun bakımda kalış süreleri dağılımları (medyanları) eşittir / $\chi^2$ dağılımı, $sd=6$

Cevap

Doğru seçenek, Kruskal-Wallis Testini, hipotez olarak dağılımların (medyanların) eşitliğini ve

sd=6

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımını içeren seçenektir.

Verilen senaryoda 7 bağımsız bölgenin verileri karşılaştırılmaktadır. Verilerin normal dağılmaması ve varyansların heterojen olması sebebiyle Tek Yönlü ANOVA'nın temel varsayımları ağır bir şekilde ihlal edilmiştir. Bu tür veri yapılarında

k>2

bağımsız grup karşılaştırması için en güçlü ve uygun nonparametrik test Kruskal-Wallis testidir. Kruskal-Wallis testinde sıfır hipotezi (

H_0

), karşılaştırılan grupların aynı yığından geldiğini, diğer bir deyişle grupların dağılımlarının ve medyanlarının eşit olduğunu belirtir. Gruplardaki gözlem sayısı (

n_i=18

) 5'ten büyük olduğu için, Kruskal-Wallis

H

test istatistiği büyük örneklem özelliği göstererek Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar. Bu dağılımın serbestlik derecesi grup sayısının bir eksiğidir (

sd = k - 1

). Senaryoda 7 bölge olduğuna göre serbestlik derecesi

7-1=6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen senaryodaki istatistiksel varsayım testlerinin sonuçlarını değerlendirmek.

Araştırmada normallik (Shapiro-Wilk) ve varyans homojenliği (Levene) varsayımlarının her ikisi de ciddi şekilde ihlal edilmiştir.

Uygulanacak testin parametrik mi yoksa parametrik olmayan bir test mi olacağına karar vermek için varsayım kontrolleri şarttır.

2

Varsayım ihlalleri ışığında veri analizine uygun istatistiksel yöntemi belirlemek.

Grup sayısı

k>2

(7 bölge) olduğu için parametrik Tek Yönlü ANOVA yerine parametrik olmayan Kruskal-Wallis testi seçilmelidir.

Sürekli ancak aşırı çarpık ve varyansı heterojen olan verilerde parametrik ANOVA kullanımı yanıltıcı (Tip 1 hatayı artırıcı) sonuçlar üretir.

3

Kruskal-Wallis testinin sınadığı sıfır hipotezini (

H_0

) tanımlamak.

Testin sıfır hipotezi, tüm bağımsız grupların (yedi bölgenin) aynı dağılımdan geldiği ve dolayısıyla dağılımların/medyanların eşit olduğudur.

Parametrik olmayan testler popülasyon ortalamaları yerine gözlemlerin sıraları (rank) ve medyanları üzerinden eşitlik hipotezi kurar.

4

Kruskal-Wallis testi için hesaplanacak istatistiğin teorik dağılımını ve serbestlik derecesini hesaplamak.

Her gruptaki gözlem sayısı yeterli büyüklükte (

n_i=18 > 5

) olduğunda,

H

test istatistiği

k-1

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımına yakınsar. Serbestlik derecesi

sd = 7 - 1 = 6

'dır.

Hipotez testinin anlamlılık düzeyini (p-değeri) bulabilmek için istatistiğin izlediği matematiksel dağılımın ve kritik değerin net olması gerekir.

Anahtar Kavram

Kruskal-Wallis Testi Varsayımları ve Teorik Dağılım Özellikleri

Tek Yönlü Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm