Aralık Tahmini Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Türk Standartları Enstitüsü (TSE), bir yapı denetim firması tarafından üretilen beton numunelerinin basınç dayanımlarındaki değişkenliği (varyans) incelemektedir. Rastgele seçilen $15$ beton numunesinin basınç dayanımları ölçülmüş ve örneklem varyansı $s^2 = 3,6 \text{ (MPa)}^2$ olarak hesaplanmıştır. Basınç dayanımlarının normal dağılım gösterdiği varsayıldığında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,025; 14} = 26,12$ ve $\chi^2_{0,975; 14} = 5,63$ )

[1,93 \, ; \, 8,95]

[2,07 \, ; \, 9,59]

[5,63 \, ; \, 26,12]

[1,39 \, ; \, 2,99]

[0,14 \, ; \, 0,64]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[1,93 \, ; \, 8,95]$

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı

[1,93 ; 8,95]

olarak belirlenmiştir.

Verilen

n=15

ve

s^2=3,6

değerleri ile

14

serbestlik derecesindeki Ki-kare değerleri (26,12 ve 5,63) formüle yerleştirildiğinde; alt sınır

50,4 / 26,12 = 1,93

ve üst sınır

50,4 / 5,63 = 8,95

olarak bulunur. Bu durum

[1,93 ; 8,95]

aralığını doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin belirlenmesi

sd = n - 1 = 15 - 1 = 14

Varyans için güven aralığı hesaplanırken kullanılan Ki-kare dağılımının parametresi serbestlik derecesidir.

2

Pivot fonksiyonunun ve güven sınırları formülünün yazılması

P\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right) = 1 - \alpha

Normal dağılımdan gelen bir kitlede varyans tahmini için

\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

pivotu kullanılır.

3

Verilen değerlerin formülde yerine konulması

Alt sınır:

\frac{14 \times 3,6}{26,12} \approx 1,93

; Üst sınır:

\frac{14 \times 3,6}{5,63} \approx 8,95

Daha büyük olan Ki-kare değeri paydaya yazıldığında alt sınırı, daha küçük olan değer paydaya yazıldığında üst sınırı verir.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken Ki-kare dağılımı kullanılır ve alt/üst sınırlar belirlenirken kritik değerlerin paydadaki yerlerine dikkat edilmelidir.

Daha Fazla Pratik

İki kitle varyansının oranına ilişkin güven aralıklarını F-dağılımı kullanarak inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 62Soru →

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı, iki farklı organize sanayi bölgesindeki (OSB) işletmelerin dijitalleşme düzeylerini karşılaştırmak amacıyla bağımsız rastgele örneklemler seçerek bir araştırma yapmıştır. Yapılan inceleme sonucunda Kurumsal Kaynak Planlaması (ERP) yazılımı kullanan işletmelere dair şu veriler elde edilmiştir:

OSB Grubu	Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	ERP Kullanan İşletme Sayısı ( $x$ )
I. OSB	500	350
II. OSB	500	300

Buna göre, iki OSB arasındaki ERP kullanım oranları farkı ( $p_1 - p_2$ ) için %95 düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $z_{0,025} = 1,96$ olarak alınız.)

(0,0412 \,;\, 0,1588)

(0,0409 \,;\, 0,1591)

(0,0507 \,;\, 0,1493)

(0,0216 \,;\, 0,1784)

(0,1412 \,;\, 0,2588)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,0412 \,;\, 0,1588)$

Cevap

İki kitle oranı farkı için %95 güven aralığı (0,0412 ; 0,1588) olarak hesaplanır.

Oranlar farkı için güven aralığı

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}

formülüyle hesaplanır. Hesaplamalar sonucunda nokta tahmini

0,10

ve standart hata

0,03

olarak bulunduğundan,

0,10 \pm 1,96(0,03)

işlemi

(0,0412 \,;\, 0,1588)

aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını hesaplayınız.

\hat{p}_1 = \frac{350}{500} = 0,70

ve

\hat{p}_2 = \frac{300}{500} = 0,60

Güven aralığı oluşturmak için öncelikle kitle oranlarının nokta tahmin edicilerine ihtiyaç duyulur.

2

Oranlar farkının nokta tahminini bulunuz.

\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,70 - 0,60 = 0,10

Güven aralığı, bu farkın etrafında simetrik bir yapı oluşturacaktır.

3

Farkın standart hatasını hesaplayınız.

SE = \sqrt{\frac{0,7 \times 0,3}{500} + \frac{0,6 \times 0,4}{500}} = \sqrt{0,00042 + 0,00048} = \sqrt{0,0009} = 0,03

İki bağımsız örneklem oranı farkının varyansı, tekil varyansların toplamına eşittir.

4

Hata payını (Margin of Error) belirleyiniz.

ME = z_{0,025} \times SE = 1,96 \times 0,03 = 0,0588

%95 güven düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri kullanılır.

5

Güven sınırlarını oluşturunuz.

(0,10 - 0,0588) < p_1 - p_2 < (0,10 + 0,0588) \Rightarrow (0,0412 \,;\, 0,1588)

Alt ve üst sınırlar, nokta tahminine hata payının eklenip çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İki kitle oranı farkı (

p_1 - p_2

) için aralık tahmini yapılırken, örneklem hacmi büyük olduğunda (

n_1, n_2 > 30

) standart normal dağılım (

Z

) yaklaşımı kullanılır ve standart hata örneklem oranları üzerinden tahmin edilir.

Soru 63Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğü (KGM) tarafından yürütülen bir yol yapım çalışmasında, serilen asfaltın kalınlığındaki değişkenlik incelenmektedir. Kalınlığın normal dağıldığı varsayımı altında, otoyolun farklı kesimlerinden rastgele seçilen $13$ noktada yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı $s^2 = 9 \, \text{cm}^2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, otoyol genelindeki asfalt kalınlığı varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,025; 12} = 23,337$ ve $\chi^2_{0,975; 12} = 4,404$ ; $\chi^2_{0,025; 13} = 24,736$ ve $\chi^2_{0,975; 13} = 5,009$ )

[4,63 \, ; \, 24,52]

house

[5,01 \, ; \, 26,57]

house

[4,37 \, ; \, 21,56]

house

[2,15 \, ; \, 4,95]

house

[24,52 \, ; \, 4,63]

house

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[4,63 \, ; \, 24,52]$ house

Cevap

Asfalt kalınlığı varyansı için

\%95

güven aralığı

[4,63 \, ; \, 24,52]

olarak bulunur.

Verilen örneklem varyansı

9

, örneklem hacmi

13

ve

\%95

güven düzeyi için serbestlik derecesi

12

olarak alınır. Formülde

(n-1)s^2 = 108

değeri, tablodaki

\chi^2_{0,025; 12} = 23,337

değerine bölündüğünde alt sınır

4,63

;

\chi^2_{0,975; 12} = 4,404

değerine bölündüğünde ise üst sınır

24,52

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini ve güven düzeyine uygun kritik değerleri belirle.

n=13 \Rightarrow sd = 12

.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0,05

ve

\alpha/2 = 0,025

olur. Tablo değerleri:

\chi^2_{0,025; 12} = 23,337

ve

\chi^2_{0,975; 12} = 4,404

.

Varyans için güven aralığı pivot fonksiyonu olan

\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

dağılımına dayanır.

2

Güven aralığı formülünü kur ve değerleri yerine yaz.

Alt Sınır:

\frac{(13-1) \times 9}{23,337} = \frac{108}{23,337} \approx 4,6278

; Üst Sınır:

\frac{(13-1) \times 9}{4,404} = \frac{108}{4,404} \approx 24,5231

.

Varyans aralığında küçük kritik değer büyük paydaya, büyük kritik değer ise küçük paydaya gelerek aralık sınırlarını belirler.

3

Sonuçları yuvarlayarak aralık şeklinde ifade et.

[4,63 \, ; \, 24,52]

house

Standart gösterim olarak virgülden sonra iki basamak hassasiyetle aralık sunulur.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Varyans bilinmediğinde kitle ortalaması için T-dağılımı kullanılarak oluşturulan güven aralıklarını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 64Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) tarafından tedarik edilen bir kâğıt türünün ağırlığındaki (gramaj) değişkenliğin belirli sınırlar içinde olup olmadığı denetlenmektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $11$ numunenin gramaj değerleri ölçülmüş ve örneklem varyansı $S^2 = 2,5$ $gr^2$ olarak hesaplanmıştır. Gramaj değerlerinin normal dağılım gösterdiği varsayımı altında, kitle varyansı $\sigma^2$ için $\%90$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $\chi^2_{0,05; 10} = 18,31$ ve $\chi^2_{0,95; 10} = 3,94$ )

[1,365 \ ; \ 6,345]

[1,502 \ ; \ 6,980]

[0,136 \ ; \ 0,634]

[6,345 \ ; \ 1,365]

[0,634 \ ; \ 2,940]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[1,365 \ ; \ 6,345]$

Cevap

[1,365 \ ; \ 6,345]

aralığı doğrudur.

Doğru aralık,

(n-1)S^2

değerinin (yani

10 \times 2,5 = 25

) Ki-kare dağılımının

\%90

güven düzeyine karşılık gelen kritik değerlerine bölünmesiyle elde edilir. Alt sınır için büyük olan kritik değer (

18,31

), üst sınır için ise küçük olan kritik değer (

3,94

) payda olarak kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri belirleyin.

n = 11

,

S^2 = 2,5

, Güven Düzeyi

= 1 - \alpha = 0,90

.

Hesaplama için gerekli parametreleri saptamak.

2

Serbestlik derecesini ve kritik değerleri tespit edin.

sd = n - 1 = 10

. Kritik değerler:

\chi^2_{0,05; 10} = 18,31

ve

\chi^2_{0,95; 10} = 3,94

.

Ki-kare dağılımında güven sınırlarını belirleyen değerleri bulmak.

3

Güven aralığı formülünü uygulayın.

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}

Kitle varyansı için teorik pivot fonksiyonu üzerinden aralığı kurmak.

4

Değerleri yerine koyarak hesaplayın.

Alt Sınır:

25 / 18,31 \approx 1,365

; Üst Sınır:

25 / 3,94 \approx 6,345

.

Nümerik sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Ki-Kare Dağılımı Kullanılarak Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı Oluşturma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-(x-1)/\theta}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

şeklinde verilen bir kitleden alınan rasgele bir örneklemi temsil etmektedir. Bu kitle parametresi $\theta$ için güven aralığı oluşturulurken kullanılacak olan ve $\chi^2$ (Ki-kare) dağılımı sergileyen pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta}

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta^2}

\frac{\bar{X} - 1}{n\theta}

\frac{\sum_{i=1}^n X_i - 1}{\theta}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta}$

Cevap

Kitlenin kaydırılmış üstel dağılımına uygunluğu nedeniyle, her bir gözlemden 1 çıkarılıp parametreye oranlanarak elde edilen toplamın 2 katı, yani

2 \sum (X_i - 1) / \theta

ifadesi

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 birim sağa kaydırılmış bir üstel dağılımdır. Bu nedenle

X_i - 1

dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişkenler standart

\theta

parametreli üstel dağılıma uyar. Üstel dağılımda

\sum 2Y_i / \theta

ifadesinin

2n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verdiği bilindiğinden, doğru cevap bu dönüşümü içeren ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken dönüşümü yaparak yeni bir

Y

değişkeni tanımlayın.

Y_i = X_i - 1

olsun. Buradan

x > 1

için

y > 0

elde edilir.

Pivot fonksiyonu elde etmek için öncelikle kitlenin standart bir dağılıma (üstel dağılım) dönüştürülmesi gerekir.

2

Y_i

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulun.

f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}, \quad y > 0

(Üstel Dağılım).

Kaydırma parametresi arındırıldığında

Y_i

değişkenleri

\theta

parametreli üstel dağılıma sahip olur.

3

Üstel dağılım ile Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi uygulayın.

Y \sim \text{Üstel}(\theta) \Rightarrow \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2)}

.

Standart bir istatistiksel özellik olarak, ortalaması

\theta

olan üstel dağılımın

2/\theta

katı 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına eşittir.

4

Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı özelliğini kullanarak örneklem geneline yayın.

\sum_{i=1}^n \frac{2(X_i - 1)}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta} \sim \chi^2_{(2n)}

.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit olan yeni bir Ki-kare değişkeni oluşturur.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu ve Dağılım Dönüşümleri

Daha Fazla Pratik

Farklı dağılımlar (Örneğin Uniform veya Gamma) için pivot fonksiyonu seçiminde parametrenin konum (location) veya ölçek (scale) parametresi olmasına dikkat ederek pratik yapın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 66Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından yürütülen bir çalışmada, kentsel ve kırsal bölgelerdeki hastaların dijital sağlık platformlarını kullanım oranları karşılaştırılmıştır. Araştırma kapsamında elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Bölge	Örneklem Çapı ( $n$ )	Hizmet Kullanan Sayısı ( $x$ )
Kentsel ( $1$ )	400	240
Kırsal ( $2$ )	400	200

Buna göre, kentsel ve kırsal bölgelerdeki kullanım oranları arasındaki fark ( $p_1 - p_2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,0314 \,;\, 0,1686)

(0,0424 \,;\, 0,1576)

(0,0311 \,;\, 0,1689)

(0,0218 \,;\, 0,1782)

(0,0350 \,;\, 0,1650)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,0314 \,;\, 0,1686)$

Cevap

Kentsel ve kırsal bölgeler arasındaki dijital sağlık hizmeti kullanım oranları farkı için %95 güven aralığı (0,0314 ; 0,1686) olarak hesaplanır.

Doğru aralık, örneklem oranları farkı olan

0,10

değerine, hesaplanan

0,035

standart hatanın

1,96

kritik değeri ile çarpılmasıyla bulunan

0,0686

hata payının uygulanmasıyla elde edilen

(0,0314 \,;\, 0,1686)

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını ve farkını hesaplayınız.

\hat{p}_1 = 240/400 = 0,60

;

\hat{p}_2 = 200/400 = 0,50

; Fark:

0,60 - 0,50 = 0,10

.

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için örneklem istatistikleri gereklidir.

2

Oranlar farkının standart hatasını hesaplayınız.

SE = \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{400} + \frac{0,5 \cdot 0,5}{400}} = \sqrt{0,0006 + 0,000625} = \sqrt{0,001225} = 0,035

.

Aralık tahmini için örnekleme dağılımının yayılım ölçüsü olan standart hata bulunmalıdır.

3

Hata payını (margin of error) bulunuz ve güven sınırlarını hesaplayınız.

Hata \, Payı = 1,96 \times 0,035 = 0,0686

. Alt sınır:

0,10 - 0,0686 = 0,0314

; Üst sınır:

0,10 + 0,0686 = 0,1686

.

Belirlenen güven düzeyine karşılık gelen kritik değer kullanılarak parametrenin içinde bulunabileceği aralık belirlenir.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı, örneklem oranları ve bunların standart hataları kullanılarak normal dağılım yaklaşımı ile oluşturulur.

Daha Fazla Pratik

Farklı örneklem çapları (

n_1 \neq n_2

) durumunda standart hatanın nasıl değiştiğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 67Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı tarafından yürütülen bir sürdürülebilirlik projesi kapsamında, iki farklı konut projesindeki (A ve B projeleri) binaların "Enerji Kimlik Belgesi"ne sahip olma oranları karşılaştırılmaktadır. Yapılan incelemeler sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Konut Projesi	İncelenen Bina Sayısı ( $n$ )	Belgeye Sahip Bina Sayısı ( $x$ )
A Projesi	250	100
B Projesi	250	50

Buna göre, A ve B projelerindeki binaların belgeye sahip olma oranları arasındaki fark ( $p_A - p_B$ ) için $\%99$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
( $z_{0,005} = 2,58$ ; $z_{0,025} = 1,96$ )

(0,0968 \,;\, 0,3032)

(0,1216 \,;\, 0,2784)

(0,0550 \,;\, 0,3450)

(0,1068 \,;\, 0,2932)

(0,0943 \,;\, 0,3057)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,0968 \,;\, 0,3032)$

Cevap

İki kitle oranı farkı için %99 güven aralığı

(0,0968 \,;\, 0,3032)

olarak hesaplanır.

Verilen örneklem büyüklükleri ve başarı sayıları ile hesaplanan oranlar farkı

0,2

, bu farkın standart hatası ise

0,04

olarak bulunmuştur. %99 güven düzeyi için tablo değeri olan

2,58

ile standart hatanın çarpımı sonucunda hata payı

0,1032

olarak elde edilir. Bu değerin farktan çıkarılıp eklenmesiyle elde edilen

(0,0968 \,;\, 0,3032)

aralığı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını hesaplayınız.

\hat{p}_A = \frac{100}{250} = 0,4

ve

\hat{p}_B = \frac{50}{250} = 0,2

Güven aralığı oluşturmak için öncelikle nokta tahmin edicilere ihtiyaç duyulur.

2

Oranlar arasındaki farkı ve standart hatayı hesaplayınız.

Fark:

0,4 - 0,2 = 0,2

; Standart Hata:

SE = \sqrt{\frac{0,4 \times 0,6}{250} + \frac{0,2 \times 0,8}{250}} = \sqrt{0,0016} = 0,04

İki bağımsız kitle oranının farkının varyansı, ayrı ayrı varyansların toplamına eşittir.

3

Hata payını ve güven aralığı sınırlarını belirleyiniz.

Hata Payı:

2,58 \times 0,04 = 0,1032

. Alt Sınır:

0,2 - 0,1032 = 0,0968

; Üst Sınır:

0,2 + 0,1032 = 0,3032

.

%99 güven düzeyi için

z_{0,005}

kritik değeri kullanılır.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle oranı farkı (

p_1 - p_2

) için büyük örneklem güven aralığı, standart normal dağılım yaklaşımı ile

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}

formülü kullanılarak hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Farklı örneklem büyüklüklerinde standart hatanın nasıl değiştiğini ve bunun aralık genişliğine etkisini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 68Soru →

Ticaret Bakanlığı, bir bölgedeki tüketicilerin internet üzerinden yaptıkları alışverişlerde "güvenli ödeme sistemlerini" kullanma oranını belirlemek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Rastgele seçilen $400$ tüketiciden $160$ 'ının bu sistemleri düzenli olarak kullandığı saptanmıştır. Buna göre, bölgedeki tüm tüketiciler için güvenli ödeme sistemi kullanma oranına ilişkin $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ )

[0,352, \ 0,448]

[0,360, \ 0,440]

[0,338, \ 0,462]

[0,376, \ 0,424]

[0,337, \ 0,463]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,352, \ 0,448]$

Cevap

Güvenli ödeme sistemi kullanma oranına ilişkin %95 güven aralığı [0,352, 0,448] olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan aralık, örneklem oranının (

0,40

) standart hata (

0,0245

) ve

\%95

güven düzeyi için geçerli olan

1,96

kritik değeriyle çarpılmasıyla elde edilen hata payının (

0,048

) eklenip çıkarılmasıyla bulunur.

[0,352, \ 0,448]

sonucu tam matematiksel karşılıktır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplayınız.

\hat{p} = \frac{160}{400} = 0,40

Kitle oranının nokta tahmin edicisi örneklem oranıdır.

2

Tahmin edicinin standart hatasını (

SE

) belirleyiniz.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,4 \times 0,6}{400}} = \sqrt{0,0006} \approx 0,0245

Oran tahminleri için örnekleme dağılımının yayılımını ölçmek gerekir.

3

Güven sınırlarını oluşturunuz.

0,40 \pm (1,96 \times 0,0245) = 0,40 \pm 0,048

Güven aralığı, nokta tahmini artı/eksi hata payı (

Z_{\alpha/2} \times SE

) formülü ile bulunur.

4

Alt ve üst sınırları hesaplayınız.

Alt Sınır:

0,40 - 0,048 = 0,352

; Üst Sınır:

0,40 + 0,048 = 0,448

İstenen güven aralığı aralığın uç noktalarını belirleyerek tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tek kitle oranı için büyük örneklem güven aralığı formülü:

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

İpuçları

1

Öncelikle örneklem oranını (

n

içinde

x

) hesaplayarak işe başlayın.

2

Güven aralığı genişliğini belirlemek için

\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}

formülünü kullanın.

3

%95 güven düzeyi için formüldeki

Z

değerinin

1,96

olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Güven düzeyini %99'a çıkardığınızda aralığın nasıl genişlediğini hesaplayarak karşılaştırın.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 69Soru →

Ankara Su ve Kanalizasyon İdaresi (ASKİ) tarafından şehir şebeke suyundaki klor düzeyinin kararlılığını ölçmek amacıyla yapılan bir çalışmada, rastgele seçilen 21 farklı noktadan su numuneleri alınmıştır. Yapılan ölçümler sonucunda örneklem varyansı $s^2 = 0,09 \text{ (mg/L)}^2$ olarak hesaplanmıştır. Klor miktarının normal dağılım gösterdiği varsayıldığında, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için \%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	$\chi^2_{0,975}$	$\chi^2_{0,025}$
$20$	$9,59$	$34,17$
$21$	$10,28$	$35,48$

[0,053 \ ; \ 0,188]

house

[0,188 \ ; \ 0,053]

house

[0,055 \ ; \ 0,197]

house

[0,230 \ ; \ 0,433]

house

[0,051 \ ; \ 0,175]

house

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,053 \ ; \ 0,188]$ house

Cevap

Kitle varyansı için %95 güven aralığı

[0,053 \ ; \ 0,188]

olarak belirlenmiştir.

Varyansın güven aralığı hesaplanırken

(n-1)s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}

pivot değişkeninden yararlanılır.

n=21

için serbestlik derecesi 20'dir. Formülde veriler yerine konulduğunda

[0,053 \ ; \ 0,188]

sınırlarına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

n = 21

,

s^2 = 0,09

,

sd = n - 1 = 20

,

\alpha = 0,05

Varyans güven aralığı için gerekli olan örneklem büyüklüğü, varyans ve serbestlik derecesi tespit edilir.

2

Ki-kare tablo değerlerinin seçilmesi

\chi^2_{0,025; 20} = 34,17

ve

\chi^2_{0,975; 20} = 9,59

1 - \alpha = 0,95

güven düzeyi için

sd = 20

altındaki kritik değerler tablodan alınır.

3

Güven aralığı sınırlarının hesaplanması

Alt Sınır:

1,8 / 34,17 \approx 0,053

; Üst Sınır:

1,8 / 9,59 \approx 0,188

\left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right]

formülü uygulanır. Pay kısmı

(20)(0,09) = 1,8

olur.

Anahtar Kavram

Tek kitle varyansı için güven aralığı, Ki-kare (

\chi^2

) dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Soru 70Soru →

Bir kamu strateji merkezi, bir bölgedeki hanelerin aylık ortalama kitap okuma sayısını ( $\theta$ ) belirlemek amacıyla $n=400$ hanelik geniş bir rastgele örneklem seçmiştir. Kitap okuma sayısının $\theta$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Yapılan incelemede örneklem ortalaması $\bar{x} = 4$ olarak hesaplandığına göre, $\theta$ parametresi için %95 güven düzeyindeki asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız).

[3,804; 4,196]

[3,608; 4,392]

[3,980; 4,020]

[3,836; 4,164]

[3,792; 4,208]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [3,804; 4,196]

Cevap

Kitap okuma sayısı parametresi için asimptotik güven aralığı [3,804; 4,196] olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan aralık, Poisson dağılımının parametresi

\theta

için MLE olan

\bar{x}=4

değerine, %95 güven düzeyi için

z=1,96

kritik değeri ve

\sqrt{4/400}=0,1

standart hatasının uygulanmasıyla elde edilen [3,804; 4,196] değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta tahmin edicisini ve asimptotik varyansı belirleyin.

\hat{\theta} = \bar{X} = 4

ve

Var(\bar{X}) = \frac{\theta}{n} \approx \frac{\bar{x}}{n}

Poisson dağılımında en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasıdır ve varyansı

\theta/n

'dir.

2

Tahmini standart hatayı hesaplayın.

S.H. = \sqrt{\frac{4}{400}} = \sqrt{0,01} = 0,1

Büyük örneklemlerde asimptotik güven aralığı için parametre yerine tahmini kullanılarak standart hata elde edilir.

3

Güven aralığı sınırlarını oluşturun.

4 \pm 1,96 \times 0,1 = 4 \pm 0,196

Asimptotik normallik varsayımı altında güven aralığı

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot S.H.

formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımına sahip büyük örneklemlerde,

\theta

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) asimptotik olarak normal dağılım gösterir ve güven aralığı

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\bar{x}/n}

ile hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 71Soru →

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı müfettişleri, bir fabrikada üretilen paketli gıdaların ağırlıklarını denetlemektedir. Fabrika kayıtlarına göre paket ağırlıklarının varyansının $400$ $\text{gram}^2$ olduğu ve normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Rastgele seçilen $16$ paketin ortalama ağırlığı $500$ gram olarak hesaplandığına göre, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ ; $t_{15; 0,025} = 2,131$ )

(490,20; 509,80)

(489,35; 510,65)

(460,80; 539,20)

(491,78; 508,23)

(497,55; 502,45)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(490,20; 509,80)$

Cevap

Kitlenin varyansı (

σ^2

) bilindiği durumlarda, kitle ortalaması (

\mu

) için güven aralığı

\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

formülü ile hesaplanır. Yapılan hesaplamalar sonucunda güven aralığı

(490,20; 509,80)

olarak bulunur.

Verilen problemde kitlenin varyansı (

σ^2 = 400

) kesin olarak bilinmektedir. İstatistiksel teoride, kitle varyansı biliniyorsa ve kitle normal dağılıyorsa, örneklem hacminden bağımsız olarak standart normal dağılım (Z) kullanılır.

500 \pm 1,96 \times (20/\sqrt{16})

işlemi bizi

(490,20; 509,80)

sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri belirlemek

\bar{x} = 500

,

\sigma^2 = 400 \Rightarrow \sigma = 20

,

n = 16

,

1-\alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{0,025} = 1,96

Hesaplama için gerekli olan örneklem ortalaması, kitle standart sapması ve kritik tablo değerini saptamak gerekir.

2

Standart hatayı (

SE

) hesaplamak

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{16}} = \frac{20}{4} = 5

Örneklem ortalamasının yayılımını ölçmek için kitle standart sapması örneklem hacminin kareköküne bölünür.

3

Hata payını (Margin of Error) bulmak

ME = Z_{\alpha/2} \times SE = 1,96 \times 5 = 9,8

Güven sınırlarını belirlemek için kritik değer ile standart hata çarpılır.

4

Güven aralığı sınırlarını oluşturmak

Alt Sınır = 500 - 9,8 = 490,20

;

Üst Sınır = 500 + 9,8 = 509,80

Hesaplanan hata payı örneklem ortalamasından çıkarılıp eklenerek güven aralığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı biliniyorsa, örneklem hacmi ne olursa olsun ortalama için güven aralığı Z-dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Daha Fazla Pratik

Kitle varyansı bilinmeseydi ve örneklem varyansı aynı değerde kalsaydı hangi dağılımı kullanmanız gerekirdi? (Cevap: t-dağılımı)

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, bir şehir merkezindeki hava kalitesini değerlendirmek amacıyla rastgele $16$ farklı noktadan ölçüm almıştır. Yapılan ölçümler sonucunda ortalama partikül madde miktarı ( $\bar{x}$ ) $75$ $\mu g/m^3$ olarak hesaplanmıştır. Ölçümlerin yapıldığı bölgede kitle standart sapmasının ( $\sigma$ ) $8$ $\mu g/m^3$ olduğu ve ölçümlerin normal dağılım gösterdiği bilinmektedir.

Buna göre, bölgedeki ortalama partikül madde miktarı ( $\mu$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $z_{0,025} = 1,96$ ; $t_{15, 0,025} = 2,131$ alınız.)

(71,08; 78,92)

(70,74; 79,26)

(59,32; 90,68)

(73,04; 76,96)

(73,00; 77,00)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(71,08; 78,92)$

Cevap

Ortalama hava kirliliği için %95 güven aralığı

(71,08; 78,92)

olarak bulunur.

Verilen soruda kitle standart sapması (

σ

) bilindiği için

z

dağılımı temel alınır. Ortalama

75

ve standart hata

2

(

8/4

) olduğunda,

\%95

güven düzeyi için

1,96

kritik değeriyle çarpılan hata payı

3,92

olur. Bu değerin ortalamaya uygulanmasıyla

(71,08; 78,92)

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri ve uygun dağılımı belirle.

n=16

,

\bar{x}=75

,

\sigma=8

,

\alpha=0,05

.

\sigma

bilindiği için

z

dağılımı kullanılır.

Kitle standart sapması (

σ

) biliniyorsa, örneklem büyüklüğüne bakılmaksızın

z

istatistiği tercih edilir.

2

Standart hatayı (

SH

) hesapla.

SH = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2

.

Güven aralığının genişliğini belirleyen temel değişkenlerden biri örnekleme dağılımının standart sapmasıdır.

3

Hata payını (

HP

) ve güven sınırlarını hesapla.

HP = z_{\alpha/2} \times SH = 1,96 \times 2 = 3,92

. Alt sınır:

75 - 3,92 = 71,08

; Üst sınır:

75 + 3,92 = 78,92

.

Güven aralığı, örneklem ortalamasına hata payının eklenip çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kitle Standart Sapması Bilindiğinde Ortalama İçin Güven Aralığı

Soru 73Soru →

Bir standart enstitüsünde üretilen çelik vidaların boyları (cm), varyansı $\sigma^2 = 0,25$ olan normal dağılıma uygundur. Bu vidalardan rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ ile gösterilmektedir. Buna göre, kitlenin bilinmeyen ortalaması $\mu$ parametresi için güven aralığı oluşturulurken kullanılan pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{0,25 / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{\bar{X}}{\mu}

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}$

Cevap

Bilinmeyen kitle ortalaması için pivot fonksiyonu

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

ifadesidir.

Pivot fonksiyonunun en temel özelliği, dağılımının tahmin edilecek parametreden bağımsız olmasıdır. Kitle varyansı bilinen normal dağılımda, örneklem ortalaması

\bar{X}

'ın standartlaştırılmış hali olan

Z

istatistiği (

N(0,1)

dağılımına sahip) bu şartı sağlar.

\sigma^2 = 0,25

ise

\sigma = 0,5

olur ve doğru pivot fonksiyonu

\frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle dağılımını ve parametreleri belirleyin.

X \sim N(\mu, \sigma^2 = 0,25)

olduğu verilmiştir.

Pivot fonksiyonu seçimi kitle dağılımına ve varyansın bilinip bilinmediğine bağlıdır.

2

Kitle standart sapmasını hesaplayın.

\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5

cm.

Normal dağılımda ortalama için standart pivot fonksiyonu paydada varyansı değil, standart sapmayı kullanır.

3

Standart normal dağılıma sahip pivot fonksiyonunu oluşturun.

Q(X, \mu) = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{0,5 / \sqrt{n}}

Bu fonksiyonun dağılımı

N(0,1)

olup bilinmeyen

\mu

parametresinden bağımsızdır, bu da onu geçerli bir pivot fonksiyonu yapar.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonu, dağılımı tahmin edilmek istenen bilinmeyen parametreden bağımsız olan fonksiyondur.

Soru 74Soru →

Bir kamu bankasının iki farklı bölge müdürlüğünde (Bölge A ve Bölge B) personelin günlük dosya inceleme sürelerinin varyansı araştırılmaktadır. Bu inceleme kapsamında elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Parametre	Bölge A	Bölge B
Örneklem Çapı ( $n$ )	11	16
Örneklem Varyansı ( $s^2$ )	36	18

Kitlelerin normal dağılıma sahip ve birbirinden bağımsız olduğu bilindiğine göre, iki kitle varyansları oranı $(\sigma_A^2 / \sigma_B^2)$ için %90 güven aralığının üst sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

(Kritik değerler: $F_{0,05; 10, 15} = 2,54$ ; $F_{0,05; 15, 10} = 2,85$ )

5,70

5,08

2,85

0,79

0,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,70

Cevap

İki kitle varyansları oranı için %90 güven aralığının üst sınırı 5,70 olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan 5,70 değeri, örneklem varyansları oranı olan 2 ile doğru serbestlik derecelerine (

15

ve

10

) sahip

F

kritik değerinin (

2,85

) çarpılmasıyla elde edilmiştir. Bu, istatistiksel olarak

\sigma_A^2 / \sigma_B^2

oranı için tanımlanan güven aralığı üst sınır formülüne tam uyum sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem varyansları oranının hesaplanması

s_A^2 / s_B^2 = 36 / 18 = 2

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için nokta tahmin edicilerin oranı gereklidir.

2

Serbestlik derecelerinin belirlenmesi

\nu_A = 11 - 1 = 10

ve

\nu_B = 16 - 1 = 15

F

dağılımı iki farklı serbestlik derecesine (pay ve payda) dayanır.

3

Uygun F kritik değerinin seçilmesi

F_{0,05; 15, 10} = 2,85

\sigma_A^2 / \sigma_B^2

oranı için üst sınır hesaplanırken

F_{\alpha/2; \nu_B, \nu_A}

değeri kullanılır.

4

Üst sınırın hesaplanması

2 \times 2,85 = 5,70

Üst sınır formülü olan

(s_A^2 / s_B^2) \times F_{\alpha/2; \nu_B, \nu_A}

uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

İki kitle varyansları oranının güven aralığı,

F

dağılımı kullanılarak oluşturulur ve pay/payda serbestlik derecelerinin sırası kritik öneme sahiptir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda güven aralığının alt sınırını hesaplayarak oranın 1 değerini içerip içermediğini (varyansların eşitliği hipotezi) kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 75Soru →

Aile ve Sosyal Hizmetler Bakanlığı, yaşlı vatandaşlara yönelik yeni bir dijital hizmet portalının kullanım oranlarını araştırmak amacıyla iki farklı pilot bölgede çalışma yapmıştır. Yapılan incelemede aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Bölge	Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	Aktif Kullanıcı Sayısı ( $x$ )
1. Bölge	$100$	$20$
2. Bölge	$100$	$10$

Buna göre, bu iki bölge arasındaki aktif kullanım oranları farkı ( $p_1 - p_2$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,002 \,;\, 0,198)

(0,018 \,;\, 0,182)

(-0,037 \,;\, 0,237)

(0,033 \,;\, 0,167)

(0,050 \,;\, 0,150)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0,002 \,;\, 0,198)$

Cevap

İki kitle oranı farkı için

\%95

güven aralığı

(0,002 \,;\, 0,198)

olarak hesaplanır.

Verilen örneklem değerlerine göre fark

0,10

ve bu farkın standart hatası

0,05

olarak hesaplanmıştır.

\%95

güven düzeyi için kritik

z

değeri

1,96

olduğunda, hata payı

0,098

olur ve bu da bizi

(0,002 \,;\, 0,198)

aralığına götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranlarını (

\hat{p}_1

ve

\hat{p}_2

) hesaplayınız.

\hat{p}_1 = \frac{20}{100} = 0,20

ve

\hat{p}_2 = \frac{10}{100} = 0,10

Güven aralığı formülünde kullanılacak nokta tahmin edicileri belirlemek için gereklidir.

2

Oranlar arasındaki farkı (

\hat{p}_1 - \hat{p}_2

) bulunuz.

0,20 - 0,10 = 0,10

Güven aralığının merkez noktasını belirler.

3

Tahmin edicinin standart hatasını (

SE

) hesaplayınız.

SE = \sqrt{\frac{0,2 \times 0,8}{100} + \frac{0,1 \times 0,9}{100}} = \sqrt{\frac{0,16}{100} + \frac{0,09}{100}} = \sqrt{0,0025} = 0,05

İstatistiksel yayılımı ve hata payını belirlemek için kullanılır.

4

Hata payını (

ME

) hesaplayarak güven aralığını oluşturunuz.

ME = 1,96 \times 0,05 = 0,098

. Aralık:

0,10 \pm 0,098 \Rightarrow (0,002 \,;\, 0,198)

Nokta tahminine belirlenen güven düzeyindeki hata payını ekleyip çıkararak alt ve üst sınırlara ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle oranı farkı için büyük örneklem güven aralığı, standart normal dağılım (

Z

) tablosu kullanılarak oluşturulur.

İpuçları

1

Önce her iki bölge için örneklem oranlarını (

x/n

) hesaplayarak başlayın.

2

Standart hata formülünün

\sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}

olduğunu hatırlayın.

3

Standart hatayı

0,05

bulduktan sonra bunu

\%95

güven düzeyi için verilen

1,96

değeriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Güven düzeyini

\%99

yaparak sonucun nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 76Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım daire başkanlığı, toplu taşıma araçlarında kullanılan yeni bir temassız ödeme sisteminin başarı oranını ( $p$ ) tahmin etmek amacıyla bir çalışma yapmıştır. Rastgele seçilen $n=400$ işlemden 320 tanesinin sorunsuz bir şekilde gerçekleştiği gözlenmiştir. Buna göre, bu ödeme sisteminin başarı oranı ( $p$ ) için $\%95$ düzeyinde asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ )

[0,7608 \ ; \ 0,8392]

[0,7671 \ ; \ 0,8329]

[0,0160 \ ; \ 1,5840]

[0,7980 \ ; \ 0,8020]

[0,7510 \ ; \ 0,8490]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,7608 \ ; \ 0,8392]$

Cevap

Sistemin başarı oranı için %95 asimptotik güven aralığı [0,7608 ; 0,8392] olarak hesaplanır.

Verilen büyük örneklemde başarı oranı

\hat{p} = 0,80

ve örneklem çapı

n=400

olarak belirlenmiştir.

\%95

güven düzeyi için kritik değer

z_{0,025} = 1,96

'dır. Standart hata

\sqrt{(0,8 \times 0,2) / 400} = 0,02

olarak bulunur. Hata payı

1,96 \times 0,02 = 0,0392

olduğundan,

[0,80 - 0,0392 \ ; \ 0,80 + 0,0392]

işlemi sonucunda

[0,7608 \ ; \ 0,8392]

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplayın.

\hat{p} = \frac{320}{400} = 0,80

Asimptotik güven aralığı hesaplamasında nokta tahmin edicisi olarak örneklem oranı kullanılır.

2

Asimptotik standart hatayı (

SE

) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,8 \times 0,2}{400}} = \sqrt{\frac{0,16}{400}} = \frac{0,4}{20} = 0,02

Büyük örneklemlerde Bernoulli parametresi için asimptotik varyans tahmini

\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}

şeklindediz.

3

Güven sınırlarını belirleyin.

0,80 \pm 1,96 \times 0,02 = 0,80 \pm 0,0392

Güven aralığı, nokta tahminine hata payının (

z_{\alpha/2} \times SE

) eklenip çıkarılmasıyla oluşturulur.

4

Alt ve üst sınır değerlerini hesaplayın.

Alt Sınır:

0,80 - 0,0392 = 0,7608

; Üst Sınır:

0,80 + 0,0392 = 0,8392

Güven aralığının nihai sayısal sınırlarına ulaşmak için toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde oran tahmini için asimptotik normallik varsayımı (Merkezi Limit Teoremi) altında standart normal dağılım (

Z

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem çapı n arttıkça güven aralığının daraldığını gözlemlemek için aynı soruyu n=1600 için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 77Soru →

İki farklı şehirde (X ve Y) görev yapan memurların aylık ortalama kitap okuma sürelerini karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yapılmaktadır. Araştırma kapsamında her iki şehirden rastgele 100'er memur seçilmiş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Şehir	Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	Ortalama Süre ( $\bar{x}$ )	Kitle Varyansı ( $\sigma^2$ )
X Şehri	100	40 dk	120
Y Şehri	100	32 dk	105

Buna göre, iki şehirdeki memurların ortalama kitap okuma süreleri arasındaki fark ( $\mu_X - \mu_Y$ ) için %95'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ )

[5,06; 10,94]

[5,53; 10,47]

[-21,40; 37,40]

[3,59; 12,41]

[3,85; 12,15]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[5,06; 10,94]$

Cevap

İki kitle ortalaması farkı için %95'lik güven aralığı

[5,06; 10,94]

olarak hesaplanır.

Nokta tahmini olan 8 değerine, 1,5 olarak hesaplanan standart hata ile 1,96 kritik değerinin çarpımı olan 2,94 hata payının eklenmesi ve çıkarılması sonucunda

[5,06; 10,94]

aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta tahminini hesaplayın.

\bar{x}_X - \bar{x}_Y = 40 - 32 = 8

Güven aralığının merkezini belirlemek için örneklem ortalamaları farkı kullanılır.

2

Farkın standart hatasını (

SE

) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X} + \frac{\sigma_Y^2}{n_Y}} = \sqrt{\frac{120}{100} + \frac{105}{100}} = \sqrt{1,2 + 1,05} = \sqrt{2,25} = 1,5

İki bağımsız kitle ortalaması farkının yayılımını ölçmek için standart hata formülü uygulanır.

3

Hata payını (

ME

) belirleyin.

ME = z_{0,025} \times SE = 1,96 \times 1,5 = 2,94

%95 güven düzeyi için kritik tablo değeri ile standart hata çarpılır.

4

Güven sınırlarını hesaplayın.

Alt Sınır:

8 - 2,94 = 5,06

| Üst Sınır:

8 + 2,94 = 10,94

Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak aralık oluşturulur.

Anahtar Kavram

İki bağımsız kitle ortalaması farkı için güven aralığı, kitle varyansları biliniyorsa standart normal (

Z

) dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 78Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından bir ilçede yapılan taramada, yetişkin bireylerin hipertansiyon tanısı alma oranını belirlemek amacıyla rastgele $2500$ kişi seçilmiştir. Yapılan incelemeler sonucunda bu kişilerden $500$ 'ünde hipertansiyon tespit edilmiştir. Buna göre, bu ilçedeki yetişkinlerin hipertansiyon tanısı alma oranı ( $\pi$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ )

[0,18432; \ 0,21568]

[0,18684; \ 0,21316]

[0,18247; \ 0,21753]

[0,19200; \ 0,20800]

[0,16000; \ 0,24000]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,18432; \ 0,21568]$

Cevap

[0,18432; \ 0,21568]

aralığı doğrudur.

Örneklem oranı

0,2

ve standart hata

0,008

olarak hesaplanmıştır.

\%95

güven düzeyi için tablo değeri

1,96

alındığında hata payı

0,01568

olmaktadır. Bu değerin örneklem oranına eklenip çıkarılmasıyla elde edilen

[0,18432; \ 0,21568]

aralığı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplayın.

\hat{p} = \frac{500}{2500} = 0,2

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için örneklem istatistiği gereklidir.

2

Standart hatayı (

SE

) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,2 \times 0,8}{2500}} = \sqrt{\frac{0,16}{2500}} = \frac{0,4}{50} = 0,008

Tahmin edicinin değişkenliğini (yayılımını) ölçmek için standart hata kullanılır.

3

Hata payını (

ME

) hesaplayın.

ME = Z_{0,025} \times SE = 1,96 \times 0,008 = 0,01568

Güven düzeyine bağlı olarak örneklem oranından ne kadar sapma yapılabileceğini bulmak içindir.

4

Güven aralığı sınırlarını oluşturun.

Alt Sınır:

0,2 - 0,01568 = 0,18432

| Üst Sınır:

0,2 + 0,01568 = 0,21568

Hesaplanan hata payı örneklem oranına eklenip çıkarılarak kitle parametresinin muhtemel aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için güven aralığı oluşturulurken normal dağılım yaklaşımı kullanılır ve standart hata

\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}

formülüyle hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi (

n

) artırıldığında güven aralığının genişliğinin nasıl değişeceğini yorumlamaya çalışın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 79Soru →

Bir belediye, yeni açtığı spor tesisinden yararlanan vatandaşların memnuniyet oranını belirlemek amacıyla $400$ kişi ile bir anket yapmıştır. Ankete katılanlardan $320$ kişi tesisten memnun olduğunu belirtmiştir. Buna göre, tesisten duyulan memnuniyet oranı için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

[0,7608; \ 0,8392]

[0,7671; \ 0,8329]

[0,7485; \ 0,8515]

[0,7216; \ 0,8784]

[0,7992; \ 0,8008]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,7608; \ 0,8392]$

Cevap

Memnuniyet oranı için %95 güven aralığı

[0,7608; \ 0,8392]

olarak hesaplanır.

Verilen örneklemde memnuniyet oranı

0,8

ve örneklem çapı

400

olarak belirlenmiştir.

\%95

güven düzeyi için kullanılan

1,96

kritik değeri ile

0,02

olarak hesaplanan standart hata çarpıldığında hata payı

0,0392

bulunur. Bu değerin örneklem oranından çıkarılmasıyla alt sınır

0,7608

, eklenmesiyle üst sınır

0,8392

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem oranını (

̂{p}

) hesapla.

\hat{p} = \frac{320}{400} = 0,8

Güven aralığının merkezini belirlemek için örneklem başarı oranına ihtiyaç vardır.

2

Tahmin edicinin standart hatasını hesapla.

S_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,8 \times 0,2}{400}} = \sqrt{\frac{0,16}{400}} = \sqrt{0,0004} = 0,02

Örneklem oranının yayılımını ölçmek için standart hata hesaplanmalıdır.

3

Hata payını (

ME

) hesapla.

ME = Z_{0,025} \times S_{\hat{p}} = 1,96 \times 0,02 = 0,0392

Belirlenen güven düzeyindeki sapma miktarını bulmak için kritik değer ile standart hata çarpılır.

4

Güven aralığı sınırlarını oluştur.

0,8 \pm 0,0392 \rightarrow [0,7608; \ 0,8392]

Örneklem oranına hata payı eklenip çıkarılarak parametrenin tahmin edilen aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için güven aralığı oluşturulurken standart normal dağılım (

Z

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Güven düzeyinin artırılmasının (örneğin %99'a çıkarılması) güven aralığının genişliği üzerindeki etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:50s

Soru 80Soru →

Bir tarım araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün verimliliğini ölçmek amacıyla $n=100$ parselde deneme ekimi yapmıştır. Araştırma sonucunda elde edilen veriler şu şekildedir:

Parametre	Değer
Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	$100$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}$ )	$500$ kg/dekar
Örneklem Standart Sapması ( $s$ )	$50$ kg/dekar

Buna göre, kitlenin ortalama verimi ( $\mu$ ) için %95 güven düzeyinde ( $z_{0,025} = 1,96$ ) oluşturulacak asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[490,2 \ ; \ 509,8]

house

[402,0 \ ; \ 598,0]

house

[491,8 \ ; \ 508,2]

house

[495,1 \ ; \ 504,9]

house

[490,1 \ ; \ 509,9]

house

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[490,2 \ ; \ 509,8]$ house

Cevap

[490,2 \ ; \ 509,8]

aralığı kitlenin ortalama verimi için %95 asimptotik güven aralığını ifade eder.

Doğru cevap, asimptotik normal dağılım varsayımı altında standart hatanın

5

(

50/10

) ve hata payının

9,8

(

1,96 \times 5

) olarak hesaplanmasıyla elde edilen

[490,2 \ ; \ 509,8]

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreleri ve asimptotik dağılım varsayımını belirle.

n=100

,

\bar{x}=500

,

s=50

,

z_{0,025}=1,96

.

n \geq 30

olduğu için Merkezi Limit Teoremi gereği örneklem ortalaması asimptotik olarak normal dağılım gösterir.

Büyük örneklemlerde kitle dağılımı bilinmese bile ortalamanın tahmini için standart normal dağılım (

Z

) kullanılır.

2

Tahmin edicinin standart hatasını hesapla.

SH(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{100}} = \frac{50}{10} = 5

.

Güven aralığının genişliğini belirleyen temel bileşen, örneklem ortalamasının standart sapması olan standart hatadır.

3

Hata payını (Margin of Error) hesapla.

Hata \ Payı = z_{\alpha/2} \times SH = 1,96 \times 5 = 9,8

.

Güven düzeyi ve standart hatanın çarpımı, ortalamadan ne kadar sapılabileceğini belirler.

4

Güven aralığı sınırlarını oluştur.

Alt \ Sınır = 500 - 9,8 = 490,2

ve

Üst \ Sınır = 500 + 9,8 = 509,8

.

Güven aralığı, örneklem ortalamasına hata payının eklenip çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde (n >= 30) kitle varyansı bilinmese bile örneklem varyansı kullanılarak standart normal dağılım üzerinden asimptotik güven aralığı oluşturulabilir.

İpuçları

1

Örneklem büyüklüğü

100

olduğu için asimptotik olarak standart normal dağılım (

Z

) tablosunu kullanmalısınız.

2

Standart hatayı hesaplamak için örneklem standart sapmasını (

50

), örneklem büyüklüğünün kareköküne (

\sqrt{100}

) bölmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Örneklem büyüklüğünün güven aralığının genişliği üzerindeki etkisini anlamak için

n=400

olsaydı aralığın nasıl değişeceğini hesaplayın.

Tahmini Süre:45s

Aralık Tahmini

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram