Özel Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı'na bağlı TCDD Taşımacılık A.Ş. tarafından işletilen Yüksek Hızlı Tren (YHT) hatlarında yapılan rutin kontrollerde, sinyalizasyon sisteminde meydana gelen anlık arıza sayısının Poisson dağılımına uyduğu tespit edilmiştir. Geçmiş verilere göre, her $40$ kilometrelik hat kesiminde ortalama $1$ adet anlık sinyalizasyon arızası kaydedilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen $120$ kilometrelik bir hat kesiminde meydana gelecek arıza sayısının varyans değeri ( $v$ ) ile bu hatta tam olarak varyans değerine eşit sayıda arıza gözlemlenme olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

v = 1, \quad P = e^{-1}

v = 3, \quad P = \frac{1}{6} e^{-1}

v = 3, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}

v = 3, \quad P = 27 e^{-3}

v = 9, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $v = 3, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}$

Cevap

120 km'lik hat için varyans 3'tür ve tam olarak 3 arıza gözlemlenme olasılığı

9/2 e^{-3}

değerine eşittir.

Soru, Poisson dağılımının iki temel özelliğini ölçmektedir: Parametrenin aralık uzunluğuna göre ölçeklenebilmesi ve varyansın ortalamaya eşit olması.

40

km'de ortalama

1

arıza oluyorsa,

120

km'de beklenen arıza sayısı

\lambda = 3

'tür. Poisson dağılımında varyans

\lambda

'ya eşit olduğundan

v = 3

olur. Bizden istenen olasılık

P(X = 3)

'tür. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen mesafe için yeni Poisson parametresinin (

\lambda

) hesaplanması.

120 \text{ km} / 40 \text{ km} = 3 \implies \lambda = 3 \times 1 = 3

.

Poisson dağılımında ortalama değer (beklenen değer) incelenen aralığın uzunluğu ile orantılı olarak ölçeklenmelidir.

2

120

kilometrelik hat için varyans değerinin (

v

) bulunması.

Poisson dağılımında varyans, beklenen değere eşittir. Dolayısıyla

v = \lambda = 3

.

Soru bizden

120

km'lik hat için varyans değerini istemektedir ve Poisson dağılımının temel bir özelliği

E(X) = Var(X) = \lambda

olmasıdır.

3

Tam olarak varyans değerine eşit sayıda (

x = 3

) arıza gözlemlenme olasılığının (

P

) hesaplanması.

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27 e^{-3}}{6} = \frac{9}{2} e^{-3}

.

Poisson olasılık kütle fonksiyonu formülü

P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

kullanılarak

x = 3

için hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımının Özellikleri ve Ölçeklenmesi

Soru 42Soru →

Bir belediyenin yürüttüğü akıllı şehir projesi kapsamında, sisteme bağlı olan sokak lambalarının arıza durumu takip edilmektedir. Rastgele seçilen bir lambanın 'arızalı' olma olasılığı $p = 0,30$ olarak saptanmıştır. Lambanın arızalı olması durumu $1$ , arızalı olmaması (çalışıyor olması) durumu $0$ değeriyle temsil edildiğine göre, bu durumu modelleyen Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,21

0,09

0,30

0,55

0,39

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı 0,21 olarak hesaplanır.

Bernoulli rastgele değişkeni için varyans hesaplanırken başarı olasılığı (

p

) ile başarısızlık olasılığı (

1-p

) çarpılır. Sorumuzda

p=0,30

olduğu için başarısızlık olasılığı

1-0,30=0,70

olur. Çarpım sonucunda

0,30 \times 0,70 = 0,21

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle

p = 0,30

ve

q = 1 - p = 0,70

Bernoulli dağılımında başarı olasılığı

p

, başarısızlık olasılığı ise

1-p

ile gösterilir.

2

Varyans formülünü uygula

Var(X) = 0,30 \times 0,70 = 0,21

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı

p \times q

çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Varyansı

Tahmini Süre:45s

Soru 43Soru →

Bir vergi dairesinin vezne sisteminde yaşanan teknik aksaklıkların sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Yapılan incelemelerde, her 30 dakikalık zaman diliminde ortalama 2 adet sistem hatası meydana geldiği belirlenmiştir. Buna göre, bu veznede 1 saatlik (60 dakika) süre içerisinde meydana gelen toplam sistem hatası sayısının varyansı kaçtır?

2

4

8

16

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

1 saatlik süre içerisindeki sistem hatalarının varyansı 4'tür.

Doğru yanıt olan seçenek, Poisson dağılımının temel özelliğini yansıtmaktadır. Bir Poisson sürecinde ortalama hata sayısı zamanla doğrusal olarak artar. 30 dakikada 2 hata oluyorsa, 60 dakikada (1 saat) ortalama 4 hata beklenir. Poisson dağılımında varyans ile beklenen değer birbirine eşit olduğu için, bu süre zarfındaki hataların varyansı da 4 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen zaman birimi için Poisson parametresini (

\\lambda

) belirleyin.

30 dakika için

\\lambda_{30} = 2

Soru kökünde 30 dakikada ortalama 2 hata olduğu belirtilmiştir.

2

İstenen zaman aralığı (1 saat) için parametreyi ölçeklendirin.

1 saat = 60 dakika olduğundan,

\\lambda_{60} = 2 \times \\frac{60}{30} = 4

Poisson süreçlerinde beklenen değer, zaman aralığı ile doğru orantılı olarak değişir.

3

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulayın.

Var(X) = \\lambda = 4

Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, dağılımın ortalamasına (

\\lambda

) eşittir.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında ortalama ve varyansın birbirine eşit olması ve zaman aralığına göre orantılı ölçeklendirilmesi.

Tahmini Süre:45s

Soru 44Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem biriminde görevli bir uzman, sistemdeki ağ trafik raporlarını ardışık ve bağımsız olarak incelemektedir. Geçmiş istatistiklere göre, incelenen her bir raporun bir 'güvenlik tehdidi' içerme olasılığı $0,4$ ’tür. Uzman, toplamda $2$ . güvenlik tehdidini tespit ettiği anda inceleme sürecini sonlandıracaktır.

Buna göre, uzmanın inceleme sürecini tam olarak $3$ . raporu incelediğinde sonlandırma olasılığı kaçtır?

0,096

0,138

0,144

0,192

0,288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,192

Cevap

Uzmanın incelemeyi tam olarak 3. raporda tamamlama olasılığı 0,192'dir.

Negatif Binom dağılımında

r

adet başarıya tam olarak

k

denemede ulaşma olasılığı hesaplanırken, sonuncu denemenin (burada 3. rapor) mutlaka bir başarı (güvenlik tehdidi) olması gerektiği varsayılır. Bu durumda ilk 2 denemede tam 1 başarı gelmeli (

\binom{2}{1} \times 0,4 \times 0,6 = 0,48

) ve ardından 3. deneme başarı ile sonuçlanmalıdır (

0,48 \times 0,4 = 0,192

).

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametreleri belirleme

r = 2

(hedeflenen başarı),

k = 3

(toplam deneme),

p = 0,4

(başarı olasılığı)

Belirli bir sayıda başarıya ulaşana kadar devam eden bağımsız denemeler Negatif Binom dağılımı ile modellenir.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu kurma

P(X=3) = \binom{3-1}{2-1} (0,4)^2 (1-0,4)^{3-2}

Negatif Binom dağılımı için olasılık formülü

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

şeklindedir.

3

Matematiksel hesaplamayı tamamlama

\binom{2}{1} \times 0,16 \times 0,6 = 2 \times 0,096 = 0,192

Kombinasyon katsayısı ve olasılık bileşenlerinin çarpımı ile tam olarak 3. denemede durma olasılığı bulunur.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda beklenen değer (ortalama) sorusu çözerek Negatif Binom dağılımının momentlerini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 45Soru →

Bir istatistiksel kalite kontrol sürecinde, bir ürünün 'kusurlu' olma durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = 0,7 + 0,3e^t$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu rastgele değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,21

0,09

0,55

0,39

0,30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,21

Cevap

Varyansın 0,21 olduğu seçenek doğrudur.

Bernoulli rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

olarak tanımlanır. Soruda verilen

0,7 + 0,3e^t

ifadesinden başarı olasılığının

p=0,3

olduğu anlaşılır. Varyans formülü olan

Var(X) = p(1-p)

uygulandığında

0,3 \times (1 - 0,3) = 0,3 \times 0,7 = 0,21

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyondan parametre değerini belirleme

p = 0,3

ve

1-p = 0,7

Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

formundadır. Verilen

M_X(t) = 0,7 + 0,3e^t

ifadesinden

p = 0,3

olduğu görülür.

2

Varyans formülünü uygulama

Var(X) = 0,3 \times 0,7 = 0,21

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişken için varyans

Var(X) = p(1-p)

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında parametre tespiti ve varyans hesaplaması.

Alternatif Yöntem

Varyans,

E[X^2] - (E[X])^2

formülü ile de bulunabilir.

X

sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için

X^2 = X

olur. Bu durumda

E[X^2] = E[X] = p

olur. Varyans ise

p - p^2 = p(1-p)

olarak türetilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 46Soru →

Bir ziraat mühendisi, ıslah edilen yeni bir mısır türüne ait tohumların çimlenme oranını incelemektedir. Tohumların her birinin çimlenme olasılığı $0,25$ olup her bir tohumun çimlenme durumu diğerlerinden bağımsızdır. Mühendis, ilk çimlenen tohumu tespit edene kadar tohumları sırasıyla ekmeye devam etmektedir.

İlk çimlenen tohumun kaçıncı denemede elde edildiğini gösteren rastgele değişken $X$ olduğuna göre, bu değişkenin beklenen değeri $E[X]$ kaçtır?

3

4

12

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İlk çimlenen tohumun kaçıncı denemede elde edildiğini gösteren rastgele değişkenin beklenen değeri 4'tür.

Rastgele değişken

X

, ilk başarının elde edildiği deneme sayısı olarak tanımlandığında, beklenen değer

1/p

formülü ile hesaplanır. Soruda verilen

p=0,25

değeri yerine konulduğunda

1/0,25 = 4

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametresini belirleme

Başarı olasılığı

p = 0,25

olan bağımsız denemeler ilk başarıya kadar sürdüğü için

X

değişkeni Geometrik Dağılım gösterir.

Geometrik dağılım, belirli bir başarı olasılığına sahip bağımsız Bernoulli denemelerinde ilk başarının elde edilmesine kadar geçen süreci modeller.

2

Rastgele değişkenin tanım kümesini ve beklenen değer formülünü tespit etme

X

değişkeni 'deneme sayısı' olarak tanımlandığı için

X \in \{1, 2, 3, ...\}

olur ve

E[X] = \frac{1}{p}

formülü kullanılır.

Eğer değişken 'başarıdan önceki başarısızlık sayısı' olarak tanımlansaydı formül

\frac{1-p}{p}

olurdu; ancak burada deneme sayısı sorulmaktadır.

3

Hesaplama işlemini gerçekleştirme

E[X] = \frac{1}{0,25} = 4

Sayısal değerlerin formülde yerine konulması sonucunda ortalama deneme sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Beklenen Değer

İpuçları

1

Bu problemde her deneme bağımsızdır ve ilk başarıya kadar devam etmektedir; bu durum Geometrik Dağılımı işaret eder.

2

Deneme sayısını (

1, 2, ...

) temel alan Geometrik Dağılımda beklenen değer

1/p

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle varyansın (

Var(X)

) kaç olacağını hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Bir kamu personeli seçme sınavında sorulan bir sorunun aday tarafından doğru cevaplanma olasılığı $p = 0,25$ olarak verilmiştir. Bu başarı durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin Bernoulli dağılımına sahip olduğu bilindiğine göre, bu değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Var(X) = 0,1875

;

M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t

Var(X) = 0,0625

;

M_X(t) = 0,25 + 0,75e^t

Var(X) = 0,5000

;

M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t

Var(X) = 0,3125

;

M_X(t) = 0,75e^t

Var(X) = 0,2500

;

M_X(t) = 0,25 + 0,75e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = 0,1875$ ; $M_X(t) = 0,75 + 0,25e^t$

Cevap

Varyans

0,1875

ve moment çıkaran fonksiyon

0,75 + 0,25e^t

olan seçenek doğrudur.

Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

p=0,25

değeri yerine yazıldığında

0,25 \times (1-0,25) = 0,25 \times 0,75 = 0,1875

elde edilir. Moment çıkaran fonksiyon ise

M_X(t) = q + pe^t

şeklindedir ve bu da

0,75 + 0,25e^t

sonucunu verir. Bu iki değerin aynı anda doğru verildiği tek bir seçenek bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımının parametrelerini belirleyin.

p = 0,25

ve

q = 1 - p = 0,75

olarak bulunur.

Dağılımın tüm karakteristik özellikleri başarı (

p

) ve başarısızlık (

q

) olasılıklarına dayanır.

2

Varyans değerini hesaplayın.

Var(X) = p \times q = 0,25 \times 0,75 = 0,1875

.

Bernoulli dağılımında varyans, başarı olasılığı ile başarısızlık olasılığının çarpımına eşittir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) oluşturun.

M_X(t) = (1-p) + pe^t = 0,75 + 0,25e^t

.

MGF tanımı gereği kesikli bir değişken için

M_X(t) = E[e^{tX}]

üzerinden

q + pe^t

formülüne sahiptir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri ve Moment Çıkaran Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 48Soru →

Bir sigorta şirketi, poliçe başvurularını analiz ederken müşterilerin risk durumunu $M_X(t) = 0,60 + 0,40e^t$ moment çıkaran fonksiyonuna sahip bir $X$ Bernoulli rastgele değişkeni ile modellemektedir. Buna göre, bu rastgele değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) kaçtır?

0,16

0,24

0,40

0,56

0,63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,24

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı 0,24 olarak hesaplanır.

Verilen moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

genel formu ile karşılaştırdığımızda başarı olasılığı

p = 0,40

ve başarısızlık olasılığı

1-p = 0,60

olarak bulunur. Bernoulli dağılımında varyans

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplandığından,

0,40 \times 0,60 = 0,24

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyondan başarı olasılığını (

p

) belirleyin.

p = 0,40

Bernoulli dağılımı için moment çıkaran fonksiyon

M_X(t) = (1-p) + pe^t

formundadır.

2

Bernoulli dağılımının varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = 0,40 \times (1 - 0,40) = 0,40 \times 0,60 = 0,24

Var(X) = p(1-p)

formülü Bernoulli dağılımının temel özelliğidir.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı ve Moment Çıkaran Fonksiyon

Soru 49Soru →

Bir kamu kurumunun teknik laboratuvarında görevli bir uzman, seri üretimden gelen devre kartlarını kalite kontrol testinden geçirmektedir. Geçmiş verilere göre bir kartın arızalı çıkma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Uzman, kartları sırayla ve birbirinden bağımsız olarak incelemekte ve 3. arızalı kartı bulduğunda işlemi sonlandırmaktadır. Buna göre, test işleminin tam olarak 5. kartın incelenmesiyle sonlanma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

10 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

4 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

(0,80)^4 \times 0,20

3 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2$

Cevap

İşlemin 5. kartta sonlanma olasılığı

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

değerine eşittir.

Negatif Binom dağılımı,

r

. başarının

k

. denemede elde edilme olasılığını hesaplar. Bu durumda testin 5. kartta bitmesi için, ilk 4 karttan herhangi 2 tanesinin arızalı çıkması (

\binom{4}{2}

) ve 5. kartın mutlaka arızalı çıkması (

p

) gerekir. Bu mantıkla katsayı

6

olarak bulunur ve olasılıklar

0,20^3

ile

0,80^2

şeklinde düzenlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın türünü ve parametrelerini belirleyin.

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 5

(toplam deneme sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı).

Soruda belirli bir sayıdaki başarının (3. arızalı kart) belirli bir denemede (5. kart) gerçekleşme olasılığı sorulduğu için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu yazın.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

Dağılımın genel formülünü uygulamak için standart model seçilir.

3

Değerleri formülde yerine koyun.

P(X = 5) = \binom{5-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{5-3} = \binom{4}{2} (0,20)^3 (0,80)^2

Belirlenen parametreler formülün değişkenleriyle eşleştirilir.

4

Kombinasyon katsayısını hesaplayın.

\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6

İlk 4 denemede 2 başarının kaç farklı şekilde sıralanabileceği bulunur (son deneme daima başarıdır).

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Daha Fazla Pratik

Aynı senaryoda, testin sonuçlanması için gereken beklenen kart sayısını

E[X] = r/p

formülüyle hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 50Soru →

T.C. Tarım ve Orman Bakanlığında görevli bir ziraat mühendisi, ithal edilen tohum paketlerini kalite standartlarına uygunluk açısından sırasıyla incelemektedir. Her bir paketin kalite standartlarına uygun olma olasılığı $0,80$ olarak bilinmektedir. Buna göre, mühendisin incelediği paketler arasında $3$ . uygun paketi $4$ . incelemede bulma olasılığı kaçtır?

0,1024

0,2048

0,3072

0,4096

0,5120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,3072

Cevap

Mühendisin 3. uygun paketi 4. incelemede bulma olasılığı 0,3072'dir.

Doğru cevap olan 0,3072 değeri, Negatif Binom dağılımı prensibine göre ilk 3 denemede 2 başarı ve 1 başarısızlık gelmesi olasılığı ile 4. denemenin mutlaka başarı gelmesi olasılığının çarpımıyla bulunur. Matematiksel olarak

\binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^1 \times 0,8

işlemi sonucunda bu değere ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleme

p = 0,80

,

r = 3

ve

k = 4

Soruda belirtilen başarı olasılığı, hedef başarı sayısı ve toplam deneme sayısı Negatif Binom dağılımı parametrelerini oluşturur.

2

Negatif Binom (Pascal) dağılımı formülünü kurma

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

r

. başarının

k

. denemede gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu formül kullanılır.

3

Verileri formülde yerine koyarak hesaplama yapma

\binom{4-1}{3-1} (0,8)^3 (0,2)^{4-3} = \binom{3}{2} (0,512) (0,2) = 3 \times 0,1024 = 0,3072

Kombinasyon ve üslü sayılar çarpılarak kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Tahmini Süre:45s

Soru 51Soru →

Bir kamu kurumunun dijital dönüşüm çalışmaları kapsamında, fiziksel arşivdeki belgeler taranarak sisteme aktarılmaktadır. Yapılan kalite kontrolleri sonucunda, her bir belgenin hatalı taranma olasılığının birbirlerinden bağımsız ve sabit olarak $0,1$ olduğu tespit edilmiştir. Bu arşivden rastgele seçilen $4$ belgeden tam olarak $1$ tanesinin hatalı taranmış olma olasılığı kaçtır?

0,0729

0,2916

0,3600

0,4000

0,0036

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2916

Cevap

Rastgele seçilen 4 belgeden tam olarak 1 tanesinin hatalı taranma olasılığı 0,2916'dır.

Verilen problemde

n=4

deneme ve her denemede

p=0,1

başarı (hatalı tarama) olasılığı bulunmaktadır. Binom dağılımı formülüne göre tam olarak 1 başarının gerçekleşme olasılığı

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^3 = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerinin belirlenmesi

n = 4, p = 0,1, q = 1 - 0,1 = 0,9

Binom dağılımı hesaplaması için deneme sayısı (

n

) ve başarı olasılığı (

p

) gereklidir.

2

Binom olasılık kütle fonksiyonunun kurulması

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

Bağımsız denemelerde sabit olasılıkla gerçekleşen başarı sayısının olasılığını veren fonksiyondur.

3

Verilen değerlerin formülde yerine yazılması

P(X = 1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^{4-1}

Tam olarak 1 hatalı belge (

k=1

) durumu incelenmektedir.

4

Matematiksel hesaplamanın tamamlanması

P(X = 1) = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

Kombinasyon ve üslü ifadeler çarpılarak nihai olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında olasılık kütle fonksiyonu kullanımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 52Soru →

Bir ulaşım koordinasyon merkezi tarafından yapılan denetimlerde, rastgele seçilen bir toplu taşıma aracının 'klima arızası yaşama' olasılığı $p = 0,2$ olarak belirlenmiştir. Bu durumu temsil eden (arıza var: 1, arıza yok: 0) $X$ Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Var(X) = 0,16

;

M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t

Var(X) = 0,04

;

M_X(t) = 0,2 + 0,8e^t

Var(X) = 0,24

;

M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t

Var(X) = 0,20

;

M_X(t) = 0,2e^t

Var(X) = 0,16

;

M_X(t) = 0,2 + 0,8e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = 0,16$ ; $M_X(t) = 0,8 + 0,2e^t$

Cevap

Varyansı 0,16 ve moment çıkaran fonksiyonu 0,8 + 0,2e^t olarak verilen seçenek doğrudur.

Verilen

p = 0,2

değeri için başarısızlık olasılığı

q = 0,8

olur. Bernoulli dağılımının temel özellikleri gereği varyans

Var(X) = p \cdot q = 0,16

ve moment çıkaran fonksiyon

M_X(t) = q + p \cdot e^t = 0,8 + 0,2e^t

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

p = 0,2

(başarı) ve

q = 1 - 0,2 = 0,8

(başarısızlık).

Bernoulli dağılımında olasılıklar toplamı 1'e eşittir.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = p \times q = 0,2 \times 0,8 = 0,16

.

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımıdır.

3

Moment çıkaran fonksiyon (MGF) formülünü uygulayın.

M_X(t) = q + pe^t = 0,8 + 0,2e^t

.

Bernoulli dağılımının MGF tanımı gereği başarısızlık olasılığı sabit terim, başarı olasılığı ise

e^t

teriminin katsayısıdır.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımı Parametreleri ve Moment Çıkaran Fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 53Soru →

T.C. Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı tarafından yürütülen bir kalite kontrol sürecinde, üretilen yerli tıbbi cihazların her bir ünitesinde rastlanan mikro düzeydeki kusur sayısının ortalaması $2,4$ olan bir Poisson dağılımına sahip olduğu belirlenmiştir. Buna göre, bu dağılımın varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

1,2

2,4

4,8

5,76

\sqrt{2,4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,4

Cevap

Poisson dağılımının özelliği gereği varyans ortalamaya eşittir ve 2,4 değerine sahiptir.

Poisson dağılımı,

X \sim Poisson(\lambda)

şeklinde ifade edildiğinde, bu dağılımın hem beklenen değeri (ortalaması) hem de varyansı

\lambda

parametresine eşittir. Soruda ortalama

2,4

olarak verildiğinden, varyans da doğrudan

2,4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dağılım parametresini belirleme

\lambda = 2,4

Soruda ortalamanın

2,4

olduğu ve dağılımın Poisson olduğu belirtilmiştir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini uygulama

Var(X) = \lambda = 2,4

Poisson dağılımında beklenen değer (

E[X]

) ve varyans (

Var(X)

) parametre olan

\lambda

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımında Ortalama ve Varyans Eşitliği

Daha Fazla Pratik

Poisson dağılımında ortalama ve varyans eşitliği mülakatlarda ve sınavlarda sıkça sorulan temel bir özelliktir.

Tahmini Süre:30s

Soru 54Soru →

Bir kamu hizmet binasındaki evrak kayıt masaları $1$ ’den $11$ ’e kadar ( $1$ ve $11$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Rastgele seçilen bir masanın numarasını temsil eden $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı ( $Var(X)$ ) kaçtır?

5

6

10

11

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Masa numarasını temsil eden rastgele değişkenin varyansı 10 olarak hesaplanır.

Masa numaraları

1, 2, \dots, 11

kümesinden seçildiği için bu bir kesikli düzgün dağılımdır. Bu tip dağılımlarda varyans

\frac{n^2-1}{12}

formülü ile hesaplanır. Burada

n=11

olduğu için

\frac{121-1}{12} = 10

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın parametrelerini ve terim sayısını belirle

n = 11

Masa numaraları

1

ile

11

arasında olduğu için toplam

11

farklı tam sayı değeri vardır.

2

Kesikli düzgün dağılım için varyans formülünü uygula

Var(X) = \frac{11^2 - 1}{12}

Destek kümesi

\{1, 2, \dots, n\}

olan kesikli düzgün dağılımın varyansı

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

formülü ile bulunur.

3

Matematiksel işlemi sonuçlandır

Var(X) = \frac{121 - 1}{12} = \frac{120}{12} = 10

Karesel farkın paydadaki sabit değere bölünmesiyle varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım Varyansı

Soru 55Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen bir ağaçlandırma projesinde, dikilen belirli bir fidan türünün tutma (hayatta kalma) olasılığı $0,8$ olarak hesaplanmıştır. Bu fidanlardan rastgele seçilen $3$ adet fidanın dikilmesi durumunda, tam olarak $2$ adedinin tutma olasılığı kaçtır?

0,128

0,384

0,096

0,512

0,640

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,384$

Cevap

Binom dağılımı prensiplerine göre tam olarak 2 fidanın tutma olasılığı

0,384

olarak hesaplanır.

Binom dağılımında

n

denemede

k

başarı elde etme olasılığı

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

formülü ile hesaplanır. Soruda verilen

n=3

,

p=0,8

ve

k=2

değerleri yerine yazıldığında;

\binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^1 = 3 \times 0,64 \times 0,2 = 0,384

sonucu doğru cevabı oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle

n = 3

,

p = 0,8

,

q = 1 - 0,8 = 0,2

Soru, sabit deneme sayısında (

n=3

) belirli bir başarı olasılığına (

p=0,8

) sahip olayların sayısını incelediği için Binom dağılımı parametreleri tanımlanmalıdır.

2

Binom olasılık fonksiyonunu kur

P(X = 2) = \binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^{3-2}

Tam olarak

k=2

başarının gerçekleşme olasılığı Binom kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

3

Hesaplamayı tamamla

3 \times 0,64 \times 0,2 = 0,384

Kombinasyon ve üslü ifadelerin çarpılmasıyla kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 56Soru →

Bir bölge müdürlüğünde yürütülen denetim faaliyetleri kapsamında, 1'den 11'e kadar (1 ve 11 dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmış denetim birimleri bulunmaktadır. Bu birimler arasından rastgele seçilen bir birimin numarasını gösteren $X$ rastgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olduğuna göre, bu değişkenin varyansı kaçtır?

6

10

11

60

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

1'den 11'e kadar olan kesikli düzgün dağılımda varyans değeri 10'dur.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni

\{1, 2, ..., 11\}

kümesi üzerinde kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu dağılımda toplam değer sayısı

n=11

olduğundan, varyans formülü olan

\frac{n^2-1}{12}

ifadesi uygulandığında

\frac{121-1}{12}=10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın parametrelerini ve eleman sayısını belirleyin.

n = 11 - 1 + 1 = 11

1'den 11'e kadar olan tam sayıların kümesinde toplam 11 adet değer bulunmaktadır.

2

Kesikli düzgün dağılım için varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}

Tam sayı değerleri alan kesikli düzgün dağılımda varyans bu standart formül ile hesaplanır.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

Var(X) = \frac{11^2 - 1}{12} = \frac{121 - 1}{12} = \frac{120}{12} = 10

Matematiksel işlemler sonucunda varyans değeri 10 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım Varyansı

İpuçları

1

Değişkenin 1'den 11'e kadar kaç farklı değer alabildiğini (n) belirleyerek başlayın.

2

Kesikli düzgün dağılımda varyansın

n

parametresine bağlı olan

\frac{n^2-1}{12}

formülünü hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı aralık için beklenen değeri (

E(X)

) hesaplayıp varyans ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 57Soru →

Bir fabrikada üretilen parçaların her birinin kusurlu olma olasılığı $p = 0,1$ olarak hesaplanmıştır. Üretilen parçalar, ilk kusurlu parça bulunana kadar birbirinden bağımsız olarak sırasıyla kontrol edilmektedir. $X$ rastgele değişkeni, ilk kusurlu parçanın bulunduğu "toplam deneme sayısını" ifade etmektedir. Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E[X]$ aşağıdakilerden hangisidir?

10

9

1

0,1

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Toplam deneme sayısını temsil eden geometrik rastgele değişkenin beklenen değeri 10'dur.

Geometrik dağılımda, ilk başarı (kusurlu ürün) elde edilene kadar yapılan toplam deneme sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri

1/p

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

p = 0,1

değeri formülde yerine konulduğunda

1 / 0,1 = 10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım tipini ve parametreyi belirleyin.

Başarı olasılığı

p = 0,1

olan Geometrik Dağılım.

İlk başarıya kadar yapılan bağımsız denemeler geometrik dağılım modeline uygundur.

2

Rastgele değişkenin tanım kümesini kontrol edin.

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

Soruda

X

değişkeninin 'toplam deneme sayısı' olduğu belirtilmiştir.

3

Beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0,1} = 10

Toplam deneme sayısını temel alan geometrik dağılımın beklenen değeri parametrenin çarpmaya göre tersidir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılım Beklenen Değeri

Soru 58Soru →

Bir kamu kurumunun veri işleme merkezinde görevli bir istatistikçi, sisteme yüklenen dijital formları hatalı olup olmadıkları açısından sırasıyla ve birbirlerinden bağımsız olarak kontrol etmektedir. Yapılan geçmiş incelemelere göre bir formun hatalı çıkma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, istatistikçinin incelediği 5. formun, 3. hatalı form olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

10 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

21 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

4 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

(0,20)^3 \times (0,80)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2$

Cevap

İncelenilen 5. formun 3. hatalı form olma olasılığı

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

ifadesine eşittir.

Negatif Binom dağılımına göre,

r

. başarının

x

. denemede gelme olasılığı

\binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülü ile hesaplanır.

x=5

ve

r=3

için katsayı

\binom{4}{2}=6

olur. Bu katsayının başarı olasılığının küpü (

0,20^3

) ve başarısızlık olasılığının karesi (

0,80^2

) ile çarpımı doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

x = 5

(toplam deneme sayısı),

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı),

q = 1 - 0,20 = 0,80

(başarısızlık olasılığı).

Soruda belirli bir başarı sayısına (

r=3

) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (

x=5

) sorulduğu için Negatif Binom dağılımı parametreleri tanımlanmalıdır.

2

Negatif Binom (Pascal) olasılık kütle fonksiyonunu uygulayın.

P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülünde değerler yerine konulur:

P(X = 5) = \binom{5-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{5-3}

.

Pascal dağılımı,

r

. başarının tam olarak

x

. denemede gerçekleşme olasılığını hesaplamak için kullanılır.

3

Kombinasyon ve üstel ifadeleri düzenleyin.

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

. Buradan sonuç

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

olur.

Kombinasyon çarpanı, ilk 4 denemede gerçekleşen 2 başarının kaç farklı sırada gelebileceğini temsil eder.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı (Pascal Formu)

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Bir tarım işletmesinde yeni geliştirilen bir tohumun çimlenme durumu incelenmektedir. Rastgele seçilen bir tohumun çimlenmesi durumu $X=1$ (başarı), çimlenmemesi durumu ise $X=0$ (başarısızlık) ile gösterilmektedir. Bu Bernoulli sürecinde tohumun çimlenme olasılığı $p = 0,10$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = 0,90 + 0,10e^t$ olarak verildiğine göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı kaçtır?

0,01

0,09

0,10

0,11

0,90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,09$

Cevap

Bernoulli rastgele değişkeninin varyansı

0,09

olarak hesaplanır.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı

Var(X) = p(1-p)

formülüyle hesaplanır. Soruda başarı olasılığı

p = 0,10

olarak verildiği için, başarısızlık olasılığı

1 - p = 0,90

olur. Bu iki değerin çarpımı olan

0,10 \times 0,90 = 0,09

sonucu doğru varyans değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleme

p = 0,10

ve

q = 1 - p = 0,90

Soruda verilen başarı olasılığı

p

, Bernoulli dağılımının temel parametresidir.

2

Varyans formülünü uygulama

Var(X) = p \times q = 0,10 \times 0,90

Bernoulli dağılımı için varyans, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımıdır.

3

Hesaplamayı tamamlama

Var(X) = 0,09

Çarpma işlemi sonucunda varyans değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımında varyans

p(1-p)

değerine eşittir.

Tahmini Süre:45s

Soru 60Soru →

Bir kamu kurumunda istihdam edilen personelin yabancı dil tazminatından yararlanma durumu, başarı olasılığı $p = 0,44$ olan bir Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir. Buna göre, rastgele seçilen bir personelin bu tazminatı alma durumunu temsil eden $X$ rastgele değişkeninin ( $X=1$ : Tazminat alıyor, $X=0$ : Tazminat almıyor) varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

0,1936

0,2464

0,4400

0,6336

0,6633

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2464

Cevap

Bernoulli dağılımının varyansı

0,2464

olarak hesaplanır.

Başarı olasılığı

p=0,44

olan bir Bernoulli dağılımında varyans,

p

ile başarısızlık olasılığı olan

1-p

(

0,56

) değerinin çarpılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda

0,44 \times 0,56 = 0,2464

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımının parametrelerini tanımlayın.

p = 0,44

(başarı) ve

q = 1 - 0,44 = 0,56

(başarısızlık).

Soruda verilen başarı olasılığı

p

parametresidir; başarısızlık olasılığı ise

1-p

ile bulunur.

2

Varyans formülünü belirleyin.

Var(X) = p \times q

veya

Var(X) = p(1-p)

.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamayı gerçekleştirin.

0,44 \times 0,56 = 0,2464

.

Tespit edilen parametreler formülde yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımı, yalnızca iki sonuçlu (başarı/başarısızlık) deneyleri modeller. Temel özellikleri:

E[X] = p

,

Var(X) = p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

şeklindedir.

Tahmini Süre:45s

Özel Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram