Stokastik Süreçler

Bir vergi dairesindeki dijital arşivleme sisteminde kullanılan optik okuyucuların ömürleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenlerdir. Okuyucuların ortalama ömrü $4$ ay olarak hesaplanmıştır. Arızalanan bir okuyucu bekletilmeksizin yenisiyle değiştirildiğine göre, Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) uyarınca uzun dönemde birim zamanda (ay başına) gerçekleşen beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir ilçe nüfus müdürlüğünde tek bir banko hizmet vermektedir ($M/M/1$ kuyruk modeli). Bu bankoya gelen vatandaşların varışları saatte ortalama $12$ kişi ($\lambda = 12$) olacak şekilde Poisson dağılımına, bir vatandaşa verilen hizmet süresi ise ortalama $4$ dakika olacak şekilde Üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu hizmet sisteminde (sırada bekleyenler ve hizmet alan dahil) bulunan ortalama vatandaş sayısı kaçtır?

Bir kamu kütüphanesindeki dijital arşivleme tarayıcısının çalışma durumu, durum uzayı $S = \{0, 1\}$ olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Durum 0 tarayıcının "çalışır" durumda olduğunu, durum 1 ise "arızalı" olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi ($Q$-matrisi) aşağıda verilmiştir:

Buna göre, bu tarayıcının uzun dönemde (kararlı durumda) arızalı olma olasılığı kaçtır?

Bir belediyeye ait su arıtma tesisinde kullanılan dozaj pompalarının kullanım ömürleri, ortalaması $4$ yıl olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Arızalanan bir pompa vakit kaybedilmeden yenisiyle değiştirilmektedir. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde ($t \rightarrow \infty$) birim zaman (yıl) başına beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir finans kurumunda geliştirilen kredi risk takip sisteminde, bir müşterinin risk puanı başlangıçta $100$ olarak belirlenmiştir. Bu puan, her işlem döneminde birbirinden bağımsız olarak $p = 0,7$ olasılıkla $1$ puan artmakta veya $q = 0,3$ olasılıkla $1$ puan azalmaktadır. Bu süreç basit bir rassal yürüyüş olarak modellendiğine göre, $10$ işlem dönemi sonunda müşterinin beklenen risk puanı kaçtır?

Bir baraj gölündeki su seviyesinin günlük değişimi basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Başlangıçta su seviyesi referans noktası olan $0$ ($X_0 = 0$) seviyesinde kabul edilmiştir. Her gün su seviyesinin $1$ birim yükselme olasılığı $p = 0,6$ ve $1$ birim alçalma olasılığı $q = 0,4$ olup, günlük değişimler birbirinden bağımsızdır. Buna göre, $10$ günün sonunda su seviyesinin beklenen değeri ($E[X_{10}]$) kaçtır?

Bir banka şubesinde bulunan tek bir ATM cihazına müşterilerin gelişleri saatte ortalama $6$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Bir müşterinin ATM'deki işlem süresi ise ortalama $6$ dakika sürmekte olup üstel dağılım göstermektedir. Kararlı hal (steady-state) koşulları altında, ATM kuyruğunda bekleyenler ve işlem görenler dahil olmak üzere sistemdeki ortalama müşteri sayısı kaçtır?

$\{X_n, n \geq 0\}$ stokastik süreci, $\{\mathcal{F}_n\}$ filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) teşkil etmektedir. Sürecin başlangıç değeri $X_0 = 12$ olarak verildiğine göre, herhangi bir $n \geq 1$ anı için sürecin koşulsuz beklenen değeri olan $E[X_n]$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\{Y_k\}_{k \ge 1}$ beklenen değerleri $E[Y_k] = 3$ olan bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler dizisi olsun. $S_n = \sum_{k=1}^n Y_k$ ve $S_0 = 0$ olarak tanımlanan toplam süreci için, $\{\mathcal{F}_n\}$ doğal filtrasyonuna göre aşağıdakilerden hangisi bir martingal (martingale) teşkil eder?

Martingal (martingale) teorisi kapsamında, $\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}$ filtrasyonuna uyumlu bir $\{X_n, n \geq 0\}$ süreci için martingal olma koşulu $E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n$ şeklinde verilmektedir. Bu özellikten hareketle, sürecin $n+1$ ve $n$ zamanlarındaki değerleri arasındaki farkın (artışının) koşullu beklenen değeri olan $E[X_{n+1} - X_n \mid \mathcal{F}_n]$ ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

$\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\}$ filtrasyonuna sahip bir olasılık uzayında tanımlı $\{X_n, n \geq 0\}$ stokastik sürecinin bir martingal (martingale) teşkil etmesi için her $n \geq 0$ için sağlanması gereken koşullu beklenti şartı aşağıdakilerden hangisidir?

Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) $\{W(t), t \geq 0\}$ verilmiştir. Buna göre, bu sürecin $t=25$ anındaki değerini temsil eden $W(25)$ rastgele değişkeninin standart sapması kaçtır?

Bir organize sanayi bölgesindeki elektrik trafolarında meydana gelen arızaların sayısı, saatte ortalama $\lambda$ arıza olan bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Buna göre, $t$ saatlik bir zaman diliminde meydana gelen toplam arıza sayısı $N(t)$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve bu dağılıma ait parametre aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üretim tesisinde üretilen parçaların standart boyuttan olan sapmaları basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Her bir üretim adımında parçanın boyutu, standart değerden bağımsız olarak $0,7$ olasılıkla $+1$ birim, $0,3$ olasılıkla ise $-1$ birim sapma göstermektedir. Başlangıçta sapma miktarı $0$ birimdir.

Buna göre, $50$ üretim adımı sonunda toplam sapma miktarının beklenen değeri kaç birimdir?

Bir kamu kurumu arşivine her ayın ilk iş gününde teslim edilen toplam dosya sayısı bir $\{X_t, t \in \{1, 2, 3, \dots\}\}$ stokastik süreci ile takip edilmektedir. Bu süreçte $t$ gözlem yapılan ayları, $X_t$ ise o ay teslim edilen dosya adedini temsil etmektedir.

Buna göre, bu stokastik sürecin zaman parametresi kümesi ($T$) ve durum uzayı ($S$) yapısı bakımından sınıflandırılması aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kütüphanesine gelen okuyucuların varışları, saatte ortalama $\lambda = 6$ kişi olan, bağımsız ve durağan artışlara sahip bir Poisson süreci ile modellenmektedir. Buna göre, kütüphaneye gelen ilk okuyucunun varış süresinin $20$ dakikadan fazla olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumundaki evrak kayıt sisteminde, bekleyen evrak sayısındaki saatlik değişim basit bir rassal yürüyüş süreci olarak modellenmektedir. Sisteme her bir saatlik dilimde $0,60$ olasılıkla yeni bir evrak eklenmekte ($+1$), $0,40$ olasılıkla ise mevcut evraklardan biri işleme alınarak sistemden çıkarılmaktadır ($-1$). Başlangıçta sistemde bekleyen evrak bulunmadığına ($S_0 = 0$) göre, $10$ saat sonunda sistemde bekleyen evrak sayısının beklenen değeri kaçtır?

Bir kamu kütüphanesinin dijital arşiv sisteminde paylaşılan bir belgenin, kullanıcılar arasındaki yayılımı bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ (başlangıçtaki belge sayısı) olmak üzere, her bir belgenin bir sonraki nesilde oluşturacağı yeni kopya sayısı ($Z$) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Buna göre, sistemdeki ikinci nesil belge sayısının beklenen değeri ($E[X_2]$) kaçtır?