Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Aylık olarak kaydedilen bir zaman serisinin analizi sürecinde, seriye uygun görülen model kapalı formda aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\epsilon_t

(Burada $B$ geri kaydırma operatörünü, $Y_t$ zaman serisini ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu modelin SARIMA $(p,d,q)(P,D,Q)_s$ notasyonu ile standart gösterimi ve bu modelde durağanlaştırılmış serinin teorik mevsimsel otokorelasyon (ACF) ile mevsimsel kısmi otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(1,1,0)(2,1,1)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir, Mevsimsel PACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir.

SARIMA

(2,0,1)(1,0,0)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

SARIMA

(2,1,1)(0,1,1)_{12}

modeli; Mevsimsel ACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir, Mevsimsel PACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: SARIMA $(2,1,1)(1,1,0)_{12}$ modeli; Mevsimsel ACF gecikmelerde yavaşça sönümlenir, Mevsimsel PACF ilk mevsimsel gecikmeden (12) sonra kesilir.

Cevap

Doğru eşleştirme, SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

modeli ve Mevsimsel ACF'nin sönümlenip, Mevsimsel PACF'nin 12. gecikmeden sonra kesilmesidir.

Verilen denklem parametrelerine ayrıştırıldığında;

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi

p=2

,

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

,

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

olduğunu gösterirken, mevsimsel MA teriminin olmaması

Q=0

anlamına gelir.

(1 - B)

ve

(1 - B^{12})

çarpanları ise ardışık ve mevsimsel olarak 1'er kez fark alındığını (

d=1, D=1

) kanıtlar. Bu doğrultuda model SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

'dir. Teorik olarak mevsimsel kısım bir AR(1) süreci olduğu için, mevsimsel gecikmeler dikkate alındığında ACF grafiğinin üstel olarak sönümlenmesi ve PACF grafiğinin

P=1

olduğu için 1. mevsimsel gecikmeden (12. gecikme) sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi) beklenir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan ARMA derecelerini (p ve q) belirle.

Denklemdeki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi

p=2

'yi; sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

'i gösterir.

Geri kaydırma operatörü (B) ile yazılan polinomların dereceleri modelin otoregresif ve hareketli ortalama derecelerini verir.

2

Mevsimsel ARMA derecelerini (P ve Q) belirle.

Denklemdeki

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

'i gösterir. Eşitliğin sağ tarafında mevsimsel MA terimi olmadığı için

Q=0

'dır.

Üssü veri periyodunun (s=12) katları olan polinomlar mevsimsel etkileri modeller.

3

Fark alma derecelerini (d ve D) ve periyodu (s) tespit et.

Denklemdeki

(1 - B)

terimi

d=1

'i;

(1 - B^{12})

terimi

D=1

'i gösterir. Aylık veri olduğu için

s=12

'dir.

Durağanlaştırma için alınan fark işlemleri denklemde

(1-B)

çarpanları olarak yer alır.

4

Model notasyonunu oluştur ve mevsimsel ACF/PACF davranışını teorik olarak yorumla.

Notasyon SARIMA

(2,1,1)(1,1,0)_{12}

olarak bulunur. Model saf mevsimsel AR(1) bileşeni içerdiği için, mevsimsel ACF gecikmelerde (12, 24, 36...) yavaşça sönümlenirken, mevsimsel PACF 1. mevsimsel gecikmede (12) anlamlı sivrilik verip sonrasında kesilir.

Otoregresif (AR) süreçlerin temel karakteristiği, otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenmesi ve kısmi otokorelasyon fonksiyonunun p. gecikmeden sonra sıfıra düşmesidir.

Anahtar Kavram

SARIMA Model Notasyonu, Kapalı Form Denklemleri ve Teorik Korelogram Davranışları

Soru 2Soru →

Bir perakende şirketinin çeyreklik (üç aylık) satış gelirleri modellenirken, serinin durağanlaştırılması ve uygun modelin belirlenmesi amacıyla Box-Jenkins yaklaşımı kullanılmıştır. Elde edilen en uygun model, Gecikme (Lag) operatörü ( $L$ ) yardımıyla aşağıdaki kapalı form denklemi ile ifade edilmiştir:

(1 - 0.4L)(1 - 0.6L^4)(1 - L)(1 - L^4)Y_t = (1 + 0.2L - 0.1L^2)(1 + 0.5L^4)\varepsilon_t

Buna göre, tahmin edilen bu mevsimsel zaman serisi modelinin standart $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

SARIMA(1,1,1)(1,1,2)_4

SARIMA(2,1,1)(1,1,1)_4

SARIMA(1,0,2)(1,0,1)_4

SARIMA(1,1,2)(4,1,4)_4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4$

Cevap

Modelin standart gösterimi

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

şeklindedir.

Denklem ele alındığında; sol tarafta yer alan fark alma operatörlerinden

(1-L)

'nin üssü 1 olduğu için mevsimsel olmayan fark alma derecesi

d=1

,

(1-L^4)

operatörünün üssü 1 olduğu için mevsimsel fark alma derecesi

D=1

'dir. Sol taraftaki

(1-0.4L)

polinomu 1. derece olduğu için

p=1

,

(1-0.6L^4)

polinomu mevsimsel olarak 1. derece olduğu için

P=1

'dir. Sağ taraftaki mevsimsel olmayan MA polinomu

(1+0.2L-0.1L^2)

en yüksek ikinci dereceden gecikme içerdiği için

q=2

, mevsimsel MA polinomu

(1+0.5L^4)

ise

Q=1

'i verir. Bu nedenle tüm parametrelerin doğru sırayla yerleştirilmiş hali

SARIMA(1,1,2)(1,1,1)_4

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verinin periyodunu (

s

) belirleme

Çeyreklik (üç aylık) veri olduğu ve mevsimsel gecikmeler

L^4

olarak ifade edildiği için periyot

s=4

'tür.

Mevsimsel modellerde

s

alt indisi, verinin bir yıl içindeki frekansını yansıtır.

2

Fark alma derecelerini (

d

ve

D

) saptama

Eşitliğin sol tarafındaki

(1 - L)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden farkı (

d=1

),

(1 - L^4)

terimi ise mevsimsel birinci dereceden farkı (

D=1

) temsil eder.

Durağanlaştırma işlemleri gecikme operatörünün yalın biçimleriyle gösterilir.

3

Otoregresif (AR) polinom derecelerini (

p

ve

P

) belirleme

Sol taraftaki

(1 - 0.4L)

polinomunun en yüksek gecikmesi 1 olduğu için

p=1

'dir.

(1 - 0.6L^4)

polinomu tek bir mevsimsel gecikme bloğu içerdiğinden

P=1

'dir.

Eşitliğin sol tarafında (

Y_t

ile çarpım durumunda) yer alan katsayılı polinomlar AR süreçlerini tanımlar.

4

Hareketli Ortalama (MA) polinom derecelerini (

q

ve

Q

) belirleme

Sağ taraftaki

(1 + 0.2L - 0.1L^2)

polinomu en yüksek 2. gecikmeye (

L^2

) sahip olduğu için

q=2

'dir.

(1 + 0.5L^4)

polinomu tek mevsimsel gecikme içerdiğinden

Q=1

'dir.

Eşitliğin sağ tarafında (hata terimi

\varepsilon_t

ile çarpım durumunda) yer alan polinomlar MA süreçlerini tanımlar.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinin Kapalı Form Denklemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Aylık frekansta kaydedilen bir zaman serisinin analizinde, durağanlaştırma işlemleri sonrasında belirlenen uygun modelin kapalı form denklemi geri kaydırma (backshift, $B$ ) operatörü kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - \Theta_1 B^{12}) \epsilon_t

Buna göre, bu seriye ait modelin genel $\text{SARIMA} (p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi ve durağanlaştırılmış serinin teorik mevsimsel otokorelasyon (ACF) ile kısmi otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

; ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir, PACF 12. gecikmede kesilir.

Model:

\text{SARIMA}(0, 1, 1)(2, 1, 0)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}

; ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir, PACF 12. gecikmede kesilir.

Model:

\text{SARIMA}(2, 2, 0)(0, 0, 1)_{12}

; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model: $\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}$ ; ACF 12. gecikmede kesilir, PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenir.

Cevap

Doğru cevap, modelin SARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)₁₂ olduğu ve mevsimsel MA(1) bileşeninden dolayı ACF'nin 12. gecikmede kesilip PACF'nin mevsimsel gecikmelerde sönümlendiğini belirten seçenektir.

Verilen denklem incelendiğinde eşitliğin sol tarafında yer alan

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi 2. dereceden mevsimsel olmayan otoregresif (AR) bileşeni (

p=2

),

(1 - B)

terimi 1. dereceden mevsimsel olmayan farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel farkı (

D=1

) ifade eder. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - \Theta_1 B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel hareketli ortalama (MA) bileşenini (

Q=1

) gösterir. Denklemde mevsimsel AR (

P=0

) ve mevsimsel olmayan MA (

q=0

) terimleri bulunmamaktadır. Bu nedenle model

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

şeklindedir. Mevsimsel kısım sadece MA(1) yapısına sahip olduğu için, teorik olarak ACF grafiğinde mevsimsel gecikmelerde (sadece 12. gecikmede) anlamlı bir sivrilik görülüp kesilme yaşanırken, PACF grafiğinde mevsimsel gecikmeler boyunca sönümlenme gözlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan terimlerin incelenmesi

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

teriminden p=2 ve

(1 - B)

teriminden d=1 olduğu belirlenir.

Sol taraftaki B'nin üssü 1 olan polinomlar mevsimsel olmayan AR yapısını,

(1 - B)

operatörü ise mevsimsel olmayan durağanlaştırmayı gösterir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel terimlerin incelenmesi

Mevsimsel AR terimi yoktur (P=0). Ancak

(1 - B^{12})

terimi bulunduğundan mevsimsel fark derecesi D=1'dir.

B'nin 12. üssünü içeren fark operatörü, serinin aylık mevsimsellik barındırdığını (s=12) ve mevsimsel olarak bir kez farkının alındığını gösterir.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki terimlerin incelenmesi

Mevsimsel olmayan MA terimi yoktur (q=0).

(1 - \Theta_1 B^{12})

teriminden dolayı mevsimsel MA derecesi Q=1'dir.

Sağ taraftaki hata terimine (

\epsilon_t

) uygulanan operatörler Hareketli Ortalama (MA) bileşenini ifade eder.

4

Elde edilen derecelerin birleştirilmesi

Modelin genel gösteriminin

\text{SARIMA}(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

olduğu kesinleşir.

p=2, d=1, q=0 (Mevsimsel olmayan kısımlar) ve P=0, D=1, Q=1 (Mevsimsel kısımlar).

5

Mevsimsel yapıya göre teorik ACF ve PACF davranışının belirlenmesi

Mevsimsel kısım yalnızca MA(1) olduğundan, ACF'de mevsimsel gecikmelerde (12'de) kesilme görülürken, PACF'de mevsimsel gecikmeler boyunca sönümlenme gerçekleşir.

Teorik olarak Hareketli Ortalama (MA) modellerinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ilgili gecikmede ani bir kesilme (cut-off) gösterirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) yavaşça sönümlenir (tails off).

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modellerinde (SARIMA) Backshift (Gecikme) Operatörü ile Parametre Tespiti ve Teorik ACF/PACF Davranışlarının Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir ülkenin çeyreklik bazda hesaplanan tarımsal üretim endeksi ( $Y_t$ ) analiz edilmektedir. Serinin durağanlaştırılması amacıyla hem birinci dereceden hem de mevsimsel ( $s=4$ ) fark alma işlemi uygulanmış ve $W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t$ serisi elde edilmiştir.

$W_t$ serisine ait Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) grafikleri incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: ACF grafiğinde ilk iki gecikmede ( $k=1, 2$ ) anlamlı sivrilikler görülmüş ve ardından kesilme olmuştur. PACF grafiğinde ise sönümlenerek azalan bir yapı izlenmiştir.
- Mevsimsel gecikmelerde: PACF grafiğinde sadece birinci mevsimsel gecikmede ( $k=4$ ) anlamlı bir sivrilik varken, diğer mevsimsel gecikmelerde ( $k=8, 12, \dots$ ) kesilme olmuştur. ACF grafiğinde ise mevsimsel gecikmelerde yavaşça sönümlenen bir dalgalanma gözlenmiştir.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi çerçevesinde söz konusu zaman serisi için belirlenen en uygun SARIMA modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ( $B$ , geri kaydırma operatörünü ve $\varepsilon_t$ , beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir.)

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t

(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4 - \Theta_2 B^8)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t$

Cevap

Model, mevsimsel olmayan MA(2) ve mevsimsel AR(1) bileşenlerinden oluşur. Kapalı form denklemi

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

şeklindedir.

Doğru denklem, ACF ve PACF grafiklerindeki davranışlardan elde edilen parametrelerin SARIMA temel denklemine yerleştirilmesiyle oluşturulur. Mevsimsel olmayan kısımdaki ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi

q=2

'yi (MA(2)), mevsimsel PACF'nin ilk mevsimsel gecikmede (

k=4

) kesilmesi ise

P=1

'i (Mevsimsel AR(1)) işaret eder. Durağanlaştırma için soruda verilen birinci ve mevsimsel farklar da

(1-B)(1-B^4)

olarak eşitliğin sol tarafında yer alır. Bu değerler formülde yerine konulduğunda doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel olmayan model, 2. dereceden Hareketli Ortalama yani MA(2)'dir (

q=2

,

p=0

).

ACF grafiğinin mevsimsel olmayan 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi MA(q) sürecinin karakteristik özelliğidir.

2

Mevsimsel model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel model, 1. dereceden Otoregresif yani mevsimsel AR(1)'dir (

P=1

,

Q=0

).

PACF grafiğinin mevsimsel gecikmelerde sadece ilk periyotta (

k=4

) kesilmesi ve mevsimsel ACF'nin sönümlenmesi mevsimsel AR(P) sürecini işaret eder.

3

Durağanlaştırma ve fark alma işlemlerinin denkleme yansıtılması.

Soruda verilen

W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t

eşitliği doğrudan denklemin sol tarafında yer almalıdır.

Uygulanan birinci (

d=1

) ve mevsimsel (

D=1

) fark işlemleri modelin bütünleşik yapısını oluşturur.

4

SARIMA kapalı form denkleminin standart notasyonla oluşturulması.

AR bileşenleri sol tarafa, MA bileşenleri sağ tarafa yazılarak

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

elde edilir.

Genel SARIMA denklemi

\Phi_P(B^s)\phi_p(B)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \Theta_Q(B^s)\theta_q(B)\varepsilon_t

formülüne dayanmaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Grafiksel Yorumlama ve Kapalı Form Denklem Gösterimi

Soru 5Soru →

Bir lojistik firmasının günlük kargo teslimat hacimleri ( $Y_t$ ) analiz edilmektedir. Seride gözlenen güçlü haftalık döngüselliği modellemek amacıyla Box-Jenkins yaklaşımı uygulanmıştır. Yapılan analizler sonucunda, seriyi en iyi temsil eden modelin kapalı form denklemi, geri kaydırma (backshift) operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(1 - 0.45B - 0.25B^2)(1 - 0.80B^7)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - 0.60B)(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})\epsilon_t

Buna göre, tahmin edilen bu zaman serisi modelinin standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

\text{SARIMA}(1,1,2)(2,1,1)_7

\text{SARIMA}(3,0,1)(2,0,2)_7

\text{SARIMA}(2,1,1)(7,1,14)_7

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,0,2)_7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7$

Cevap

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

Verilen denklem standart

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

modelinin kapalı formunu temsil etmektedir. Eşitliğin sol tarafındaki

(1 - 0.45B - 0.25B^2)

ifadesi mevsimsel olmayan AR polinomudur ve en yüksek derecesi 2 olduğu için

p=2

'dir.

(1 - 0.80B^7)

ifadesi mevsimsel AR polinomudur ve

B^7

'nin 1. kuvveti yer aldığı için

P=1

'dir.

(1 - B)

terimi serinin mevsimsel olmayan birinci dereceden farkını (

d=1

),

(1 - B^7)

ise mevsimsel birinci dereceden farkını (

D=1

) göstermektedir. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.60B)

ifadesi mevsimsel olmayan MA polinomudur ve derecesi 1'dir (

q=1

). Son olarak

(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})

ifadesi mevsimsel MA polinomudur,

B^7

'nin karesi olan

B^{14}

denklemde yer aldığı için mevsimsel MA derecesi 2'dir (

Q=2

). Serinin haftalık döngüselliği nedeniyle mevsimsellik periyodu

s=7

'dir. Tüm bileşenler

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

notasyonuyla birleştirildiğinde model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan AR ve fark alma bileşenlerini belirleme

(1 - 0.45B - 0.25B^2)

teriminden

p=2

,

(1 - B)

teriminden

d=1

bulunur.

Mevsimsel olmayan otoregresif polinomun derecesi

p

'yi, mevsimsel olmayan fark alma işleminin derecesi ise

d

'yi ifade eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel AR ve fark alma bileşenlerini belirleme

(1 - 0.80B^7)

teriminden

P=1

,

(1 - B^7)

teriminden

D=1

bulunur.

Mevsimsel otoregresif polinomun

B^s

(

s=7

) cinsinden derecesi

P

'yi, mevsimsel fark alma işleminin derecesi ise

D

'yi verir.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) bileşenlerini belirleme

(1 - 0.60B)

teriminden

q=1

,

(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})

teriminden

Q=2

bulunur.

Mevsimsel olmayan MA polinomunun derecesi

q

'yu, mevsimsel MA polinomunun

B^s

cinsinden derecesi (ikinci kuvvet olan

B^{14}

yer aldığı için)

Q

'yu ifade eder.

4

Tüm parametreleri

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

standart formatında birleştirme

Haftalık veri olduğu için

s=7

'dir. Sonuç olarak model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

şeklinde elde edilir.

Box-Jenkins yaklaşımında denklemin kapalı formu çözümlendikten sonra parametrelerin belirli bir sırada (AR, Fark, MA) yazılması standarttır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Denklem Gösterimi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir araştırmacı, aylık olarak derlenen ve belirgin bir mevsimsellik barındıran turizm gelirleri serisini ( $Y_t$ ) durağanlaştırmak amacıyla seriye ardışık olarak $\nabla \nabla_{12} Y_t = (1-B)(1-B^{12})Y_t$ dönüşümünü uygulamıştır.

Elde edilen durağan serinin örneklem Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- ACF grafiğinde, mevsimsel olmayan ilk iki gecikmede ( $k=1$ ve $k=2$ ) istatistiksel olarak anlamlı katsayılar görülmüş ve sonrasında katsayılar aniden sıfıra düşerek kesilme göstermiştir. Ayrıca mevsimsel gecikmeler incelendiğinde yalnızca 12. gecikmede ( $k=12$ ) anlamlı bir otokorelasyon katsayısı gözlenmiş, ardışık mevsimsel gecikmelerde ( $24, 36, \dots$ ) katsayılar yine aniden sıfıra düşmüştür.
- PACF grafiğinde ise katsayıların hem mevsimsel olmayan ardışık gecikmelerde hem de mevsimsel gecikmelerde ( $12, 24, 36, \dots$ ) yavaş yavaş sönümlendiği tespit edilmiştir.

Box-Jenkins model belirleme (teşhis) aşaması kuralları dikkate alındığında, bu seri için tanımlanabilecek en uygun $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,0)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(0,1,2)_{12}

\text{SARIMA}(0,0,2)(0,0,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,2)(1,1,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}$

Cevap

Doğru model

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

olarak belirlenmelidir.

Verilen problemde modelin bileşenleri adım adım şu şekilde belirlenir: İlk olarak seriye uygulanan

(1-B)(1-B^{12})

dönüşümü, modelde birinci dereceden düzenli fark (

d=1

) ve periyodu 12 olan birinci dereceden mevsimsel fark (

D=1

) alındığını gösterir. İkinci aşamada, ACF grafiğinin düzenli gecikmelerde

k=2

'den sonra kesilmesi düzenli MA derecesinin

q=2

olduğunu, mevsimsel gecikmelerde yalnızca

k=12

'de anlamlı olup sonra kesilmesi ise mevsimsel MA derecesinin

Q=1

olduğunu ifade eder. Son olarak, PACF grafiğinin her iki gecikme türünde de yavaş yavaş sönümlenmesi, modelde AR ve SAR bileşenlerinin bulunmadığını (

p=0, P=0

) teyit eder. Tüm bu parametreler

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

standart gösterimine yerleştirildiğinde doğru modelin

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

olduğu açıkça ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Seriye uygulanan fark alma işlemlerini analiz ederek d ve D parametrelerini belirlemek.

(1-B)

çarpanı birinci dereceden düzenli farkı (

d=1

),

(1-B^{12})

çarpanı ise periyodu 12 olan mevsimsel farkı (

D=1

) verir.

Uygulanan fark alma filtreleri, modelin durağanlaştırma derecelerini doğrudan belirler.

2

ACF grafiğinin davranışını inceleyerek Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerini (q ve Q) tespit etmek.

ACF düzenli gecikmelerde

k=2

'de kesildiği için

q=2

, mevsimsel gecikmelerde ise yalnızca

k=12

'de sivrildiği için

Q=1

bulunur.

ACF grafiğinde anlamlı gecikmelerin aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi), Hareketli Ortalama (MA) süreçlerinin karakteristik özelliğidir.

3

PACF grafiğinin davranışını inceleyerek Otoregresif (AR) bileşenlerin (p ve P) varlığını sorgulamak.

PACF, hem düzenli hem de mevsimsel gecikmelerde sönümlenme davranışı gösterdiği için modelde AR ve SAR bileşeni yoktur (

p=0

ve

P=0

).

Otoregresif modellerde PACF belirli bir gecikmede kesilirken, burada sönümlendiği için modelin saf bir MA süreci olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde ACF ve PACF Yorumlama

Soru 7Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından aylık olarak yayımlanan bir perakende satış hacim endeksi ( $Y_t$ ) verilerini inceleyen bir uzman, serinin temel dinamiklerini açıklamak amacıyla aşağıdaki gecikme (backshift) operatörü ( $B$ ) ile ifade edilen zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - \theta_1 B)(1 - \Theta_1 B^{12}) e_t

Buna göre, uzmanın tahmin ettiği bu modelin standart $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,1)(2,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(2,0,1)(1,0,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,12,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}$

Cevap

Modelin doğru gösterimi

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem incelendiğinde; sol taraftaki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan

AR(2)

bileşenini (

p=2

),

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel

AR(1)

bileşenini (

P=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan 1. sıra farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel 1. sıra farkı (

D=1

) ifade eder. Sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B)

terimi mevsimsel olmayan

MA(1)

bileşenini (

q=1

) ve

(1 - \Theta_1 B^{12})

terimi mevsimsel

MA(1)

bileşenini (

Q=1

) gösterir. Üslerde yer alan 12 değeri ise verinin aylık (

s=12

) olduğunu kanıtlar. Bu doğrultuda gösterim

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Otoregresif (AR) bileşenlerin derecelerini belirleme

Mevsimsel olmayan AR derecesi

p=2

, mevsimsel AR derecesi

P=1

olarak bulunur.

Denklemin sol tarafındaki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

ifadesi en yüksek

B^2

içerdiği için

p=2

'dir.

(1 - \Phi_1 B^{12})

ifadesi ise mevsimsel gecikmeyi gösterdiğinden

P=1

'dir.

2

Fark alma (I) operatörlerini analiz etme

Mevsimsel olmayan fark derecesi

d=1

, mevsimsel fark derecesi

D=1

olarak tespit edilir.

Denklemdeki

(1 - B)

birinci dereceden standart fark almayı (

d=1

),

(1 - B^{12})

ise birinci dereceden mevsimsel fark almayı (

D=1

) ifade eder.

3

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerinin derecelerini belirleme

Mevsimsel olmayan MA derecesi

q=1

, mevsimsel MA derecesi

Q=1

olarak bulunur.

Denklemin sağ tarafında yer alan hata terimi katsayılarından

(1 - \theta_1 B)

ifadesi

q=1

'i,

(1 - \Theta_1 B^{12})

ifadesi ise

Q=1

'i gösterir.

4

Mevsimsellik periyodunu belirleme ve notasyonu oluşturma

Periyot

s=12

olup model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

şeklinde yazılır.

Mevsimsel operatörlerdeki kuvvetin 12 olması, verinin aylık frekansta (

s=12

) olduğunu gösterir. Elde edilen parametreler

(p,d,q)(P,D,Q)_s

sırasıyla yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinin Gecikme Operatörü ile Gösterimi

Soru 8Soru →

Bölgesel bir elektrik dağıtım şirketi, hanehalklarının aylık elektrik tüketim değerlerini ( $Y_t$ ) incelemektedir. Veri bilimi ekibi, serinin davranışını modellemek amacıyla geriye kaydırma operatörü ( $B$ ) kullanarak aşağıdaki tahmin denklemini oluşturmuştur:

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - 0.4B - 0.2B^2)(1 - 0.8B^{12})\varepsilon_t

Buna göre, aylık elektrik tüketim verisine uygulanan mevsimsel zaman serisi modelinin standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

SARIMA(2,1,1)(0,1,2)_{12}

SARIMA(1,1,2)(3,1,1)_{12}

SARIMA(0,2,2)(2,0,1)_{12}

SARIMA(2,1,0)(1,1,2)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}$

Cevap

Doğru model gösterimi

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem incelendiğinde; eşitliğin sol tarafında

(1-B)

ile

d=1

ve

(1-B^{12})

ile

D=1

fark alma işlemleri yer almaktadır. Sol taraftaki

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})

polinomu en yüksek 2. dereceden mevsimsel gecikme içerdiğinden

P=2

'dir. Mevsimsel olmayan AR terimi bulunmadığı için

p=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

polinomu mevsimsel olmayan 2. dereceden bir MA süreci (

q=2

) yaratırken,

(1 - 0.8B^{12})

polinomu 1. dereceden mevsimsel bir MA sürecine (

Q=1

) aittir. Seriler aylık olduğu için s=12'dir. Tüm bileşenler

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s

yapısında birleştirildiğinde model

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri periyodunu belirleyin.

Veriler aylık olduğu için mevsimsellik periyodu

s = 12

olarak alınır.

Mevsimsel zaman serilerinde periyot uzunluğu,

B^s

operatöründeki üs değerinden veya verinin sıklığından anlaşılır.

2

Fark alma derecelerini (d ve D) tespit edin.

Denklemdeki

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan 1. derece farkı (

d=1

),

(1-B^{12})

terimi ise mevsimsel 1. derece farkı (

D=1

) ifade eder.

Durağanlaştırma işlemleri eşitliğin sol tarafında fark alma operatörleriyle gösterilir.

3

Otoregresif (AR) bileşenleri (p ve P) ayrıştırın.

Eşitliğin sol tarafında mevsimsel olmayan AR terimi yoktur (

p=0

).

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})

ifadesi 2. dereceden mevsimsel otoregresif polinomdur (

P=2

).

Bağımlı değişkene (

Y_t

) uygulanan ve

B^{12}

'nin katları şeklinde ilerleyen polinomlar mevsimsel AR terimlerini belirler.

4

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerini (q ve Q) ayrıştırın.

Eşitliğin sağ tarafında hata terimine (

\varepsilon_t

) etki eden

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

ifadesi 2. dereceden mevsimsel olmayan MA (

q=2

),

(1 - 0.8B^{12})

ifadesi ise 1. dereceden mevsimsel MA (

Q=1

) terimidir.

Hata terimi üzerindeki gecikmeler, hareketli ortalama modelinin mertebesini verir.

5

Bulunan parametreleri

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında birleştirin.

p=0, d=1, q=2

ve

P=2, D=1, Q=1

olduğu için model

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

olarak yazılır.

Uluslararası standart gösterimde önce mevsimsel olmayan dereceler, sonra mevsimsel dereceler parantez içinde sırasıyla yazılır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Geriye Kaydırma Operatörü Gösterimi

Soru 9Soru →

Bir enerji piyasası analisti, rüzgar enerjisi santrallerinin aylık elektrik üretim miktarı ( $Y_t$ ) verilerini modellemektedir. Yapılan analizler sonucunda serinin veri yapısının aşağıdaki süreç ile ifade edilebileceği belirlenmiştir:

(1 - 0.4B - 0.2B^2) (1 - B) (1 - B^{12})^2 Y_t = (1 - 0.5B)(1 - 0.8B^{12}) \varepsilon_t

(Burada $B$ gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ sıfır ortalamalı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu zaman serisi modelinin $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ formatındaki gösterimi ve durağanlaştırılmış serinin mevsimsel gecikmelerdeki ( $k=12, 24, 36, \dots$ ) teorik Otokorelasyon (ACF) ile Kısmi Otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

| ACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, PACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(0,2,1)(2,1,1)_{12}

| ACF ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

| PACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, ACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(1,1,2)(1,2,0)_{12}

| PACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, ACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

| ACF ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}$ | ACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, PACF sönümlenerek devam eder.

Cevap

Model

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

yapısındadır ve mevsimsel kısmı MA(1) olduğu için ACF ilk mevsimsel gecikmede kesilirken PACF sönümlenerek devam eder.

Verilen model denklemi incelendiğinde, sol taraftaki

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

terimi

p=2

dereceli mevsimsel olmayan AR sürecini,

(1 - B)

terimi

d=1

dereceli mevsimsel olmayan fark almayı gösterir.

(1 - B^{12})^2

terimi ise aylık veri (

s=12

) için

D=2

dereceli mevsimsel fark almayı belirtir. Sol tarafta

B^{12}

'ye bağlı bir AR polinomu olmadığı için

P=0

'dır. Sağ taraftaki

(1 - 0.5B)

terimi

q=1

dereceli mevsimsel olmayan MA sürecini,

(1 - 0.8B^{12})

ise

Q=1

dereceli mevsimsel MA sürecini ifade eder. Dolayısıyla model

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

olarak tanımlanır. Mevsimsel kısımda sadece

Q=1

olduğu (salt hareketli ortalama süreci) için, teorik ACF grafiği 1. mevsimsel gecikmede (

k=12

) pik yapıp ardından aniden kesilir (sıfıra düşer). PACF grafiği ise mevsimsel gecikmelerde (

k=12, 24, 36\dots

) sönümlenerek devam eder.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin sol tarafındaki mevsimsel olmayan ve mevsimsel AR ile fark alma (d, D) operatörlerinin derecelerini belirlemek.

p=2

(ikinci derece

B

polinomu),

d=1

(birinci derece

1-B

),

D=2

(ikinci derece

1-B^{12}

),

P=0

(mevsimsel AR polinomu yok).

Modelin otoregresif ve bütünleşik (fark) bileşenlerini tanımlamak için.

2

Denklemin sağ tarafındaki mevsimsel olmayan ve mevsimsel MA operatörlerinin derecelerini belirlemek.

q=1

(birinci derece

B

polinomu),

Q=1

(birinci derece

B^{12}

polinomu).

Modelin hareketli ortalama (MA) bileşenlerini tanımlamak için.

3

Tüm parametreleri aylık periyot (

s=12

) ile

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında birleştirmek.

Modelin yapısı

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

olarak elde edilir.

Serinin yapısını standart istatistiksel notasyonla ifade etmek için.

4

Bulunan modelin mevsimsel parametrelerine (

P=0

,

Q=1

) göre durağanlaştırılmış serinin ACF ve PACF teorik davranışını incelemek.

Mevsimsel bileşen salt MA(1) sürecidir. Dolayısıyla ACF 1. mevsimsel gecikmeden (

k=12

) sonra sıfıra düşer (kesilir), PACF ise mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

Teorik çerçevede MA süreçlerinin otokorelasyon karakteristik özelliklerini saptamak için.

Anahtar Kavram

SARIMA Parametre Çıkarımı ve Mevsimsel ACF/PACF Davranışı

Soru 10Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri analitiği birimi, günlük sipariş hacmini ( $Y_t$ ) modellemek amacıyla haftalık periyodu ( $s=7$ ) dikkate alan aşağıdaki mevsimsel zaman serisi (SARIMA) modelini kurmuştur:

(1 - 0.75B)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 + 0.4B + 0.1B^2)(1 - 0.6B^7)\epsilon_t

Burada $B$ geri fark (backshift) operatörünü ve $\epsilon_t$ ise hata terimi serisini (ak gürültü) ifade etmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7

SARIMA(0,1,1)(1,1,2)_7

SARIMA(1,2,2)(0,0,1)_7

SARIMA(1,1,1)(0,1,2)_7

SARIMA(1,0,2)(0,1,1)_7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7$

Cevap

SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7

yapısındaki model doğrudur.

Verilen denklemde

(1-0.75B)

ifadesi mevsimsel olmayan birinci derece otoregresif parametreyi (

p=1

),

(1-B)

ve

(1-B^7)

ifadeleri sırasıyla mevsimsel olmayan (

d=1

) ve mevsimsel (

D=1

) farkları, sağ taraftaki ikinci derece polinom (

q=2

) mevsimsel olmayan hareketli ortalamayı ve

(1-0.6B^7)

ifadesi ise mevsimsel hareketli ortalamayı (

Q=1

) temsil etmektedir. Periyot ise

B^7

operatöründen anlaşılacağı üzere 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki fark alma operatörlerini inceleyin.

d=1

ve

D=1

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan birinci farkı (

d=1

),

(1-B^7)

terimi ise

s=7

periyodundaki mevsimsel birinci farkı (

D=1

) temsil eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki otoregresif (AR) terimleri belirleyin.

p=1

ve

P=0

(1-0.75B)

terimi birinci derece mevsimsel olmayan AR sürecidir (

p=1

). Sol tarafta

B^7

içeren bir çarpan (operatör) bulunmadığı için mevsimsel AR derecesi

P=0

'dır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) terimlerini belirleyin.

q=2

ve

Q=1

(1 + 0.4B + 0.1B^2)

polinomu ikinci derece mevsimsel olmayan MA sürecini (

q=2

),

(1 - 0.6B^7)

terimi ise birinci derece mevsimsel MA sürecini (

Q=1

) gösterir.

Anahtar Kavram

SARIMA model gösterimi, mevsimsel ve mevsimsel olmayan bileşenlerin çarpımsal (multiplicative) olarak bir araya getirilmesiyle oluşur.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki her bir çarpanı ayrı ayrı etiketlemek (Örn:

\phi(B)

,

\Phi(B^7)

,

\nabla^d

,

\nabla_s^D

,

\theta(B)

,

\Theta(B^7)

) hata yapma riskini minimize eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumu tarafından takip edilen aylık konut satış verileri ( $Y_t$ ) üzerinde yapılan analizler sonucunda, serinin durağanlaştırılması ve modellenmesi için aşağıdaki fark denklemi elde edilmiştir:

(1 - 0.75B)(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - 0.40B^{12}) \epsilon_t

Burada $B$ geri kaydırma (backshift) operatörünü ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir. Buna göre, bu modelin SARIMA $(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,1)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,0,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,0,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}$

Cevap

Modelin doğru gösterimi

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen fark denkleminde

(1 - 0.75B)

terimi mevsimsel olmayan AR(1) bileşenini (

p=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel birinci dereceden fark almayı (

D=1

) ve sağ taraftaki

(1 - 0.40B^{12})

terimi mevsimsel MA(1) bileşenini (

Q=1

) temsil etmektedir. Diğer bileşenler (mevsimsel olmayan MA ve mevsimsel AR) denklemde yer almadığı için dereceleri 0'dır. Periyot aylık veri olduğu için

s=12

olarak belirtilir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan otoregresif (

p

) bileşeni belirle.

p = 1

Sol taraftaki

(1 - 0.75B)

terimi, birinci dereceden mevsimsel olmayan otoregresif bileşeni ifade eder.

2

Fark alma (

d

ve

D

) derecelerini belirle.

d = 1

ve

D = 1

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise aylık veriler için mevsimsel farkı (

D=1

) temsil eder.

3

Mevsimsel hareketli ortalama (

Q

) bileşenini belirle.

Q = 1

Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.40B^{12})

terimi, mevsimsel gecikmeye sahip bir hareketli ortalama bileşenidir.

4

Eksik olan parametreleri (0 olanlar) kontrol et.

q = 0

ve

P = 0

Denklemde mevsimsel olmayan MA terimi (

\theta B

) ve mevsimsel AR terimi (

\Phi B^{12}

) bulunmamaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA model parametrelerinin fark denkleminden tanımlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bir tarım ekonomisti, Türkiye'deki aylık çiğ süt üretim miktarını ( $Y_t$ ) analiz etmek amacıyla aşağıdaki gecikme operatörü ( $B$ ) formundaki denklemi elde etmiştir:

(1 - 0,7B)(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - 0,5B^{12})\epsilon_t

Buna göre, araştırmacının tahmin ettiği modelin $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(1,0,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,1)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,0)(1,1,0)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}$

Cevap

Doğru cevap

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

yapısındaki modeldir.

Verilen denklemde

(1 - 0,7B)

terimi mevsimsel olmayan bir AR(1) sürecini (

p=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel birinci farkı (

D=1

) ve eşitliğin sağındaki

(1 - 0,5B^{12})

terimi mevsimsel bir MA(1) sürecini (

Q=1

) temsil eder. Bu bileşenler birleştirildiğinde

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

yapısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Otoregresif (AR) bileşenlerin belirlenmesi

p=1

ve

P=0

Sol taraftaki

(1 - 0,7B)

terimi mevsimsel olmayan birinci derece AR sürecini ifade eder. Mevsimsel bir AR (

B^{12}

içeren çarpım) terimi bulunmamaktadır.

2

Fark alma (Entegrasyon) derecelerinin belirlenmesi

d=1

ve

D=1

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan farkı,

(1-B^{12})

terimi ise aylık veriler için 12 periyotluk mevsimsel farkı temsil eder.

3

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerinin belirlenmesi

q=0

ve

Q=1

Eşitliğin sağ tarafında hata terimi

\epsilon_t

ile çarpım durumunda olan

(1 - 0,5B^{12})

terimi mevsimsel MA sürecidir. Mevsimsel olmayan bir MA terimi yoktur.

4

Mevsimsel periyodun belirlenmesi

s=12

Mevsimsel operatörlerdeki gecikme değeri

12

olduğu için periyot aylık bazdadır.

Anahtar Kavram

SARIMA modellerinde operatör gösterimi ve parametre eşleştirme

Soru 13Soru →

Bir dış ticaret uzmanı, Türkiye'nin aylık ihracat birim değer endeksi ( $Y_t$ ) verilerini analiz etmek amacıyla aşağıdaki gecikme operatörü ( $B$ ) formundaki modeli belirlemiştir:

(1 - 0,4B)(1 - 0,2B^{12})(1 - B^{12})Y_t = \epsilon_t

Bu modelin $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_{12}$ yapısındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1,0,0)(1,1,0)_{12}

SARIMA(0,1,1)(1,1,0)_{12}

SARIMA(1,1,0)(1,1,0)_{12}

SARIMA(1,0,0)(0,1,1)_{12}

SARIMA(1,1,0)(0,1,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1,0,0)(1,1,0)_{12}$

Cevap

Verilen denklemdeki operatörler incelendiğinde modelin

SARIMA(1,0,0)(1,1,0)_{12}

yapısında olduğu görülmektedir.

Verilen modelde denklemin sol tarafında yer alan

(1 - 0,4B)

ifadesi birinci dereceden mevsimsel olmayan otoregresif (AR) bileşeni (

p=1

),

(1 - 0,2B^{12})

ifadesi birinci dereceden mevsimsel otoregresif bileşeni (

P=1

) ve

(1 - B^{12})

ifadesi mevsimsel fark alma işlemini (

D=1

) temsil eder. Denklemde

(1-B)

operatörü olmadığından mevsimsel olmayan fark yoktur (

d=0

) ve sağ tarafta MA operatörü bulunmadığından

q=0

ve

Q=0

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan parametrelerin belirlenmesi

p=1, d=0, q=0

Denklemin sol tarafındaki

(1 - 0,4B)

terimi mevsimsel olmayan AR derecesinin 1 olduğunu (

p=1

) gösterir.

(1-B)

şeklinde bir fark alma operatörü ve sağ tarafta mevsimsel olmayan MA operatörü bulunmadığı için

d=0

ve

q=0

olur.

2

Mevsimsel parametrelerin belirlenmesi

P=1, D=1, Q=0

Denklemin sol tarafındaki

(1 - 0,2B^{12})

terimi mevsimsel AR derecesinin 1 olduğunu (

P=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise mevsimsel fark alma derecesinin 1 olduğunu (

D=1

) gösterir. Sağ tarafta mevsimsel MA operatörü bulunmadığı için

Q=0

olur.

3

Periyot ve genel gösterimin birleştirilmesi

SARIMA(1,0,0)(1,1,0)_{12}

B^{12}

operatörü periyodun 12 olduğunu belirtir. Elde edilen tüm parametreler

(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında yerine yazılır.

Anahtar Kavram

SARIMA model gösteriminde operatörlerin yerleri (denklemin sol tarafı AR, sağ tarafı MA) ve gecikme dereceleri model derecelerini belirler.

İpuçları

1

Denklemin sol tarafındaki

(1 - \phi B)

yapıları AR,

(1 - B)

yapıları fark alma derecelerini gösterir.

2

Gecikme operatöründeki

B

teriminin üzerinde sayı yoksa mevsimsel olmayan,

B^{12}

varsa mevsimsel (12 aylık) parametreye bakıyorsunuz demektir.

Daha Fazla Pratik

Modelin sağ tarafına bir

(1 - \theta B)

terimi eklendiğinde modelin 'q' parametresinin nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, üçer aylık (çeyreklik) dönemler bazında su tüketim miktarını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Mevsimsellik etkisini içeren serinin modellenmesi sonucunda aşağıdaki gecikme operatörü ( $B$ ) denklemi elde edilmiştir:

(1 - B^4) Y_t = (1 - 0.45B) \epsilon_t

Buna göre, belediyenin su tüketim serisi için belirlenen Mevsimsel ARIMA (SARIMA) modelinin açık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 0)_4

SARIMA(0, 1, 0)(0, 0, 1)_4

SARIMA(0, 1, 1)(0, 0, 0)_4

SARIMA(1, 0, 0)(0, 1, 0)_4

SARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)_4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 0)_4$

Cevap

SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 0)_4

modeli, verilen gecikme operatörü denklemindeki tüm parametreleri doğru şekilde temsil etmektedir.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafında yer alan

(1 - B^4)

operatörü, verinin mevsimsel periyoduna (

s=4

) uygun olarak bir kez mevsimsel fark alındığını (

D=1

) gösterir. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.45B)

operatörü ise mevsimsel olmayan birinci dereceden hareketli ortalama (

q=1

) bileşenidir. Diğer parametreler (p, d, P, Q) denklemde yer almadığı için sıfırdır. Bu durum

(0,0,1)(0,1,0)_4

gösterimine tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki fark alma operatörünü analiz etme

(1 - B^4) Y_t

ifadesi,

s=4

periyodunda bir kez mevsimsel fark alındığını gösterir (

D=1

). Mevsimsel olmayan bir fark alma (

1-B

) terimi bulunmadığı için

d=0

olur.

Operatör formunda

(1-B^s)

terimi mevsimsel fark alma derecesini belirler.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki hata terimi bileşenini analiz etme

(1 - 0.45B) \epsilon_t

ifadesi, mevsimsel olmayan 1. dereceden bir hareketli ortalama (MA) sürecini temsil eder (

q=1

). Mevsimsel bir MA terimi (

1-\Theta B^4

) bulunmadığı için

Q=0

olur.

Hata terimi

\epsilon_t

ile çarpım durumundaki operatörler MA bileşenlerini gösterir.

3

Otoregresif (AR) bileşenlerin varlığını kontrol etme

Y_t

terimi ile çarpım durumunda olan

(1-\phi B)

veya

(1-\Phi B^4)

gibi AR operatörleri bulunmadığı için

p=0

ve

P=0

olarak belirlenir.

Eşitliğin solunda sadece fark alma operatörü yer almaktadır.

4

Parametreleri SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s formatında birleştirme

p=0, d=0, q=1

ve

P=0, D=1, Q=0, s=4

değerleri birleştirildiğinde

(0,0,1)(0,1,0)_4

modeli elde edilir.

SARIMA gösterimi standart parametre dizilimine dayanır.

Anahtar Kavram

SARIMA model gösteriminde operatör formundan parametre çıkarımı

Tahmini Süre:45s

Soru 15Soru →

Bir ulaşım planlama kurumu, aylık şehirlerarası otobüs sefer sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Yapılan incelemeler sonucunda serinin modellenmesi için gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki denklem elde edilmiştir:

(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Buna göre, kurulan bu mevsimsel zaman serisi modelinin $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 0, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 1)(1, 12, 0)_{12}

SARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafı

Y_t

'ye uygulanan işlemleri gösterir:

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

'i,

(1 - B)

terimi

d=1

'i ve

(1 - B^{12})

terimi

D=1

'i ifade eder.

(1 - \phi_1 B)

gibi bir terim olmadığı için

p=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafı ise hata terimlerine uygulanan işlemleri gösterir:

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

'i ifade ederken, mevsimsel bir MA terimi olmadığı için

Q=0

'dır. Aylık veriler kullanıldığından

s=12

'dir. Bu nedenle doğru model formülasyonu

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki (LHS) otoregresif ve fark alma terimlerini analiz etme

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR(1) modelini ifade eder (

P=1

).

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı ifade eder (

d=1

).

(1 - B^{12})

terimi ise birinci dereceden mevsimsel fark almayı ifade eder (

D=1

). Mevsimsel olmayan AR terimi

(1 - \phi_1 B)

bulunmadığından

p=0

'dır.

Modelin bağımlı değişkene (

Y_t

) uygulanan gecikme ve fark operatörlerini belirlemek için sol taraf incelenmelidir.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki (RHS) hareketli ortalama (MA) terimlerini analiz etme

(1 - \theta_1 B)

terimi mevsimsel olmayan MA(1) modelini ifade eder (

q=1

). Mevsimsel MA terimi

(1 - \Theta_1 B^{12})

denklikte yer almadığı için

Q=0

'dır.

Hata terimine (

\varepsilon_t

) uygulanan hareketli ortalama etkilerini belirlemek için sağ taraf incelenmelidir.

3

Elde edilen parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formatında birleştirme

Aylık veri olduğu için

s=12

'dir. Bulunan değerler yerine konulduğunda

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

model gösterimi elde edilir.

Standart Box-Jenkins mevsimsel model gösterimini oluşturmak için tüm bileşenlerin doğru sırayla yazılması gerekir.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinin Gecikme Operatörü ile Gösterimi

Soru 16Soru →

Bir turizm araştırmacısı, ülkeye aylık olarak giriş yapan yabancı turist sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Serinin durağanlaştırılması ve modellenmesi aşamalarından sonra, veri üreten sürecin gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki denkleme uygun olduğu belirlenmiştir:

(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Buna göre, araştırmacının tahmin ettiği modelin SARIMA $(p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\varepsilon_t$ beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir.)

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 0, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem genel SARIMA formuyla eşleştirildiğinde;

Y_t

'nin katsayıları olan

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan

d=1

'i,

(1-B^{12})

terimi mevsimsel

D=1

'i,

(1-\Phi_1 B^{12})

terimi ise mevsimsel AR derecesi

P=1

'i gösterir. Mevsimsel olmayan AR çarpanı yoktur (

p=0

). Eşitliğin sağ tarafındaki

(1-\theta_1 B)

çarpanı ise mevsimsel olmayan MA derecesini (

q=1

) ifade eder. Mevsimsel MA çarpanı yoktur (

Q=0

). Bu bulgular birleştirildiğinde model

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Genel SARIMA

(p,d,q)(P,D,Q)_s

denkleminin yapısını hatırlayın.

Genel denklem:

\phi_p(B)\Phi_P(B^s)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \theta_q(B)\Theta_Q(B^s)\varepsilon_t

Verilen denklemdeki her bir çarpanın modelin hangi parametresine karşılık geldiğini eşleştirmek için genel forma ihtiyaç vardır.

2

Eşitliğin sol tarafındaki (otoregresif ve fark alma) terimleri analiz edin.

(1 - \Phi_1 B^{12})

mevsimsel AR terimidir (

P=1

).

(1 - B)

mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı ifade eder (

d=1

).

(1 - B^{12})

ise mevsimsel birinci dereceden fark almayı ifade eder (

D=1

). Mevsimsel olmayan AR terimi

(1 - \phi_1 B)

formunda bir çarpan içermediğinden

p=0

'dır.

AR parametreleri ve fark alma dereceleri denklemin

Y_t

'li (sol) tarafında yer alır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki (hareketli ortalama) terimleri analiz edin.

(1 - \theta_1 B)

mevsimsel olmayan MA terimidir (

q=1

).

(1 - \Theta_1 B^{12})

formunda mevsimsel bir MA çarpanı bulunmadığından

Q=0

'dır.

MA parametreleri denklemin hata terimi olan

\varepsilon_t

'li (sağ) tarafında yer alır.

4

Bulunan parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formatında birleştirin.

Aylık veri olduğu için

s=12

'dir. Değerler yerine konduğunda

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

elde edilir.

Modelin doğru istatistiksel gösterimi bu sıralamaya dayanmaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Gecikme Operatörü (Backshift) ile Parametre Tespiti

Soru 17Soru →

Ulusal bir perakende zinciri, mağazalarının çeyreklik (üçer aylık) toplam satış gelirlerini modellemek ve geleceğe yönelik öngörüler yapmak amacıyla Box-Jenkins metodolojisini kullanmaktadır. Araştırmacılar, seriyi durağanlaştırmak için sırasıyla birinci dereceden olağan fark alma ( $d=1$ ) ve birinci dereceden mevsimsel fark alma ( $D=1$ ) işlemlerini uygulamıştır.

Durağan hale getirilen serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde şu sonuçlara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan (olağan) gecikmelerde: ACF grafiğinde 1. ve 2. gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı kopmalar (sıçramalar) gözlenmiş ve sonraki gecikmelerde güven sınırları içine düşmüştür. PACF grafiği ise dalgalanarak üstel bir şekilde sönümlenmektedir.
- **Mevsimsel gecikmelerde ( $s=4$ ):** PACF grafiğinde sadece 4. gecikmede istatistiksel olarak anlamlı bir kopma bulunurken; ACF grafiğinde 4, 8 ve 12. gecikmelerde azalarak sönümlenme eğilimi izlenmiştir.

Buna göre, analiz edilen satış gelirleri serisini açıklayan en uygun mevsimsel zaman serisi (SARIMA) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

SARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)_4

SARIMA(0, 1, 2)(0, 1, 1)_4

SARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_4

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 2)_4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4$

Cevap

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

modeli en uygun modeldir.

Verilen bilgiler ışığında; olağan kısımdaki ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi

q=2

olduğunu, mevsimsel kısımda PACF'nin 4. gecikmede (ilk mevsimsel dönemde) kesilmesi ise

P=1

olduğunu gösterir. Fark dereceleri (

d=1, D=1

) ve veri periyodu (

s=4

) yerleştirildiğinde doğru model

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin dönemselliğini ve fark alma derecelerini belirleme.

Çeyreklik veri olduğu için

s=4

'tür. Olağan fark alma

d=1

, mevsimsel fark alma

D=1

olarak verilmiştir.

SARIMA modelinin

(d)

ve

(D)

bileşenleri ile

s

periyodunu formüle yerleştirmek için.

2

Mevsimsel olmayan (olağan) model parametrelerini (p, q) tespit etme.

ACF grafiği 2. gecikmede kesilmiş, PACF sönümlenmiştir. Bu davranış Hareketli Ortalama (MA) modeline aittir.

q=2

,

p=0

olarak bulunur.

ACF'nin aniden kesilmesi MA süreçlerinin, PACF'nin kesilmesi ise AR süreçlerinin temel karakteristiğidir.

3

Mevsimsel model parametrelerini (P, Q) tespit etme.

PACF grafiği ilk mevsimsel gecikmede (4'te) kesilmiş, ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenmiştir. Bu davranış Mevsimsel Özbağlanım (SAR) modeline aittir.

P=1

,

Q=0

olarak bulunur.

Mevsimsel gecikmelerdeki kesilme/sönümlenme paternleri, mevsimsel AR (SAR) ve mevsimsel MA (SMA) terimlerini belirler.

4

Parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formunda birleştirme.

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

modeli elde edilir.

Tüm belirlenen bileşenlerin Box-Jenkins gösterimiyle standart olarak ifade edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinde ACF ve PACF Yorumlama

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 18Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, belirli bir bölgedeki aylık grip vakası sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Serinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafikleri incelendiğinde, mevsimsel gecikmelerde (12, 24, 36...) ACF'nin üssel olarak sönümlendiği, PACF'nin ise 1. mevsimsel gecikmede anlamlı bir değer alıp sonrasında hızla sıfıra düştüğü (kesildiği) görülmüştür. Seriyi durağanlaştırmak için hem ardışık hem de mevsimsel fark alma işlemi uygulanmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen modelin gecikme operatörü ( $B$ ) formundaki denklemi aşağıda verilmiştir:

(1 - \phi_1 B)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)e_t

Buna göre, tahmin edilen bu modelin standart $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1, 1, 0)(1, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(2, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 2, 2)(1, 0, 0)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

modelidir.

Verilen denklem incelendiğinde; eşitliğin sol tarafındaki

(1 - \phi_1 B)

terimi mevsimsel olmayan AR(1) sürecini (

p=1

),

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR(1) sürecini (

P=1

),

(1 - B)

terimi 1. dereceden ardışık farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel farkı (

D=1

) ifade eder. Sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan MA(2) sürecini (

q=2

) gösterirken, mevsimsel bir MA terimi (örneğin

1 - \Theta_1 B^{12}

) bulunmamaktadır (

Q=0

). Mevsimsel ACF ve PACF davranışları da bunu doğrulamaktadır. Veri aylık olduğundan periyot

s=12

'dir. Bu veriler ışığında doğru model gösterimi

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsellik Periyodunu (

s

) belirlemek.

Veriler aylık olduğu için

s=12

'dir.

Aylık verilerde mevsimsel döngü yılda bir (12 ayda bir) tekrar eder.

2

Fark Alma Derecelerini (

d

ve

D

) tespit etmek.

Denklemdeki

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan ardışık farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise mevsimsel farkı (

D=1

) temsil eder.

Seriyi durağanlaştırmak için uygulanan işlemlerin modeldeki karşılıklarını bulmak.

3

Mevsimsel Olmayan Parametreleri (

p

ve

q

) okumak.

Eşitliğin solundaki

(1 - \phi_1 B)

terimi otoregresif derecesinin

p=1

olduğunu, sağındaki

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi ise hareketli ortalama derecesinin

q=2

olduğunu gösterir.

Gecikme operatörü denklemindeki mevsimsel olmayan AR ve MA polinomlarının en yüksek derecelerini saptamak.

4

Mevsimsel Parametreleri (

P

ve

Q

) belirlemek.

Eşitliğin solundaki

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR derecesini

P=1

yapar. Eşitliğin sağında

B^{12}

'li bir terim olmadığından

Q=0

'dır.

Mevsimsel ACF'nin üssel sönümlenmesi ve PACF'nin 1. mevsimsel gecikmede kesilmesi durumu da sadece mevsimsel AR(1) yapısını (

P=1

) doğrulamaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Gecikme Operatörü Denklemi ve Parametre Tespiti

Soru 19Soru →

Bir çalışma ekonomisti, ulusal düzeydeki aylık genç işsizlik oranlarını ( $Y_t$ ) modellemek amacıyla aşağıdaki Box-Jenkins denklemini elde etmiştir (burada $B$ gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü serisini ifade etmektedir):

(1 - \phi_1 B) (1 - B) (1 - B^{12}) Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2) (1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24}) \varepsilon_t

Buna göre, analistin tahmin ettiği mevsimsel ARIMA modelinin genel gösterimi, yani $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ formu aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(2, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 2)_{12}

SARIMA(2, 1, 1)(0, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 2, 2)(0, 0, 2)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

şeklindedir.

Genel bir SARIMA modeli

\phi_p(B) \Phi_P(B^s) (1-B)^d (1-B^s)^D Y_t = \theta_q(B) \Theta_Q(B^s) \varepsilon_t

şeklinde yazılır. Eşitliğin sol tarafından sırasıyla;

(1-\phi_1 B)

teriminden

p=1

,

(1-B)

teriminden

d=1

,

(1-B^{12})

teriminden

D=1

(ve

s=12

) elde edilir. Mevsimsel AR bileşeni olmadığı için

P=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafından ise;

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

teriminden

q=2

,

(1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24})

teriminden

Q=2

elde edilir. Sonuç olarak gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan otoregresif (AR) ve fark alma bileşenlerini belirle.

(1 - \phi_1 B)

terimi AR derecesinin

p=1

olduğunu,

(1 - B)

terimi ise fark alma derecesinin

d=1

olduğunu gösterir.

Sol taraftaki gecikme (B) polinomları otoregresif yapıyı ve trend durağanlaştırmasını ifade eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel bileşenleri kontrol et.

(1 - B^{12})

terimi, serinin 12 periyotluk (aylık) mevsimselliğe sahip olduğunu (

s=12

) ve mevsimsel fark alma derecesinin

D=1

olduğunu gösterir. Mevsimsel AR terimi

\Phi_P(B^{12})

bulunmadığı için

P=0

'dır.

Mevsimsel AR terimleri sol tarafta yer alır; modelde olmadığı için parametre 0'dır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) bileşenlerini belirle.

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan MA derecesinin

q=2

olduğunu,

(1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24})

terimi ise mevsimsel MA derecesinin

Q=2

olduğunu gösterir.

Sağ taraftaki hata terimi ile çarpım durumunda olan polinomlar MA süreçlerini ifade eder.

4

Bulunan parametreleri genel SARIMA formatına yerleştir.

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s \implies SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

elde edilir.

Model gösterimini eksiksiz oluşturmak için adım adım bulunan tüm dereceler yerlerine konur.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinin Eşitlik Formundan Parametre Çıkarımı

Soru 20Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin toplu taşıma sistemindeki günlük yolcu sayıları modellenirken, seride güçlü bir haftalık ( $s=7$ ) mevsimsellik tespit edilmiştir. Seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden olağan fark ve birinci dereceden mevsimsel fark işlemleri birlikte uygulanmış ve durağan $W_t$ serisi elde edilmiştir.

Durağan $W_t$ serisine ait korelogram (ACF ve PACF) incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: PACF grafiğinde ilk iki gecikmede (1. ve 2. gecikmeler) istatistiksel olarak anlamlı sivrileşmeler varken, sonraki gecikmelerde hızla sıfıra düşmektedir. ACF grafiği ise üstel olarak sönümlenmektedir.
- Mevsimsel gecikmelerde: ACF grafiğinde sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) anlamlı bir sivrileşme gözlenmiş, sonraki mevsimsel gecikmelerde hızla kesilmiştir. PACF grafiği ise mevsimsel gecikmelerde (7, 14, 21...) yavaşça sönümlenmektedir.

Buna göre, Box-Jenkins yaklaşımı çerçevesinde orijinal zaman serisi ( $Y_t$ ) için belirlenen en uygun $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? (Not: $B$ geri kaydırma operatörünü, $\varepsilon_t$ ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^7)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = \varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^7 - \Phi_2 B^{14})(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t$

Cevap

Doğru kapalı form denklemi, sol tarafta AR(2) ile olağan ve mevsimsel fark operatörlerini, sağ tarafta ise mevsimsel MA(1) bileşenini içeren ifadedir.

Verilen korelogram özellikleri analiz edildiğinde; mevsimsel olmayan kısımda PACF 2. gecikmede kesildiği için AR(2) modeli, mevsimsel kısımda ise ACF 7. (ilk mevsimsel) gecikmede kesildiği için SMA(1) modeli tespit edilir. Ayrıca metinde hem olağan hem de mevsimsel birinci derece fark alındığı açıkça belirtilmiştir. Bu durumları standart Box-Jenkins notasyonunda bir araya getirdiğimizde sol tarafta otoregresif polinom ve fark operatörleri

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)

, sağ tarafta ise hareketli ortalama polinomu

(1 - \Theta_1 B^7)

yer almalıdır. Bu yapıyı tam ve doğru veren tek seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Seriye uygulanan durağanlaştırma işlemlerinden (fark alma) d ve D değerlerini belirleme.

Birinci dereceden olağan fark uygulandığı için

d=1

, birinci dereceden mevsimsel fark uygulandığı için

D=1

ve mevsimsellik periyodu

s=7

'dir. Denklemde sol tarafta

(1-B)

ve

(1-B^7)

çarpanları olmalıdır.

Orijinal

Y_t

serisi ile durağan

W_t

serisi arasındaki ilişki

W_t = (1-B)(1-B^7)Y_t

eşitliği ile kurulur.

2

Mevsimsel olmayan (olağan) gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek p ve q değerlerini bulma.

PACF 2. gecikmede kesiliyor ve ACF üstel sönümleniyorsa, bu durum mevsimsel olmayan kısmın AR(2) süreci olduğunu gösterir (

p=2, q=0

). Denklemde sol tarafa

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi eklenmelidir.

AR(p) süreçlerinde PACF grafiği p. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer (kesilir).

3

Mevsimsel gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek P ve Q değerlerini bulma.

ACF sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) kesiliyor ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümleniyorsa, mevsimsel kısım SMA(1) sürecidir (

P=0, Q=1

). Denklemde sağ tarafa

(1 - \Theta_1 B^7)

terimi eklenmelidir.

MA(q) süreçlerinin karakteristiği olan ACF'nin kesilmesi durumu, mevsimsel modellerde s periyotlu gecikmelerde (burada s=7) gözlenir.

4

Tüm bileşenleri SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s kapalı form denkleminde birleştirme.

Model

SARIMA(2,1,0)(0,1,1)_7

olarak tanımlanır. Denklem:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

şeklindedir.

Box-Jenkins yaklaşımında otoregresif terimler ve fark operatörleri serinin (

Y_t

) katsayısı olarak sol tarafta, hareketli ortalama terimleri ise hata teriminin (

\varepsilon_t

) katsayısı olarak sağ tarafta yazılır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Denklem Gösterimi ve Korelogram Analizi

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar