Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 181Soru →
(x2−x−6)⋅(5−x)x2−6x+9≥0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (5 - x)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirildiğinde (x+2)(5−x)x−3≥0\frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin işaret tablosuna göre pozitif tam sayı çözümleri sadece 3<x≤53 < x \leq 5 aralığındadır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırma
Paydaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) ve paydadaki x2−6x+9x^2 - 6x + 9 ifadesi (x−3)2(x - 3)^2 olarak yazılır. Eşitsizlik: \frac{(x - 3)(x + 2)(5 - x)}{(x - 3)^2} \geq 0 halini alır.
İfadenin köklerini daha kolay belirlemek ve sadeleştirme yapabilmek için çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Tanım kümesini kısıtlama ve sadeleştirme yapma
Paydanın kökü x=3x = 3 olduğundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Bu kısıtlama altında pay ve paydadaki (x−3)(x - 3) terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 şekline dönüştürülür.
Payda sıfır olamayacağı için x=3x = 3 değeri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
3
Kökleri bulma ve işaret tablosu hazırlama
Kökler küçükten büyüğe: x=−2x = -2 (payın kökü), x=3x = 3 (paydanın kökü) ve x=5x = 5 (payın kökü). En sağ aralıktaki işaret, en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılarak (+\cdot-/+ = -) eksi (-) olarak belirlenir. İşaret tablosu sağdan sola: x > 5 için (-), 3 < x \leq 5 için (+), -2 \leq x < 3 için (-), x < -2 için (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin hangi aralıklarda pozitif veya negatif olduğunu belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.
4
Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıları belirleme
Sağlanan aralıklardan pozitif olan tek bölge 3 < x \leq 5 aralığıdır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. (x≤−2x \leq -2 aralığında pozitif tam sayı yoktur ve x = 3 payda kökü olduğundan dahil edilemez.)
Soru bizden sadece pozitif tam sayı çözümlerini istediği için bu kısıtlamaya uygun kökler seçilir.
5
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplama
4 + 5 = 9
Bulunan pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 182Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde dördüncü bölgede bulunan bir PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı, yy-eksenine olan uzaklığının 33 katıdır.

OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ\theta olduğuna göre, tan⁡θ\tan\theta değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Tanjant değeri -3 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları koordinatların mutlak değerleridir. Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Buradan xx-eksenine uzaklık −y0-y_0, yy-eksenine uzaklık x0x_0 olur. Soruda verilen bilgiye göre −y0=3x0-y_0 = 3x_0 eşitliği kurulur. Birim çember tanımı gereği tan⁡θ=y0x0\tan\theta = \frac{y_0}{x_0} olduğundan, bu oran −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dördüncü bölgedeki noktanın koordinat işaretlerini belirleme.
x0>0x_0 > 0 ve y0<0y_0 < 0
Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat ise negatiftir.
2
Noktanın eksenlere olan uzaklıklarını ifade etme.
xx-eksenine uzaklık: −y0-y_0, yy-eksenine uzaklık: x0x_0
Uzaklık her zaman pozitif veya sıfır olmalıdır, bu nedenle koordinatların mutlak değerleri alınır.
3
Verilen uzaklık ilişkisini denklem haline getirme.
−y0=3x0-y_0 = 3x_0
xx-eksenine uzaklığın, yy-eksenine uzaklığın 3 katı olduğu belirtilmiştir.
4
Trigonometrik fonksiyon tanımları ile koordinatları ilişkilendirme.
cos⁡θ=x0\cos\theta = x_0 ve sin⁡θ=y0\sin\theta = y_0
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
5
Tanjant değerini hesaplama.
tan⁡θ=−3\tan\theta = -3
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=y0x0\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y_0}{x_0} oranında y0y_0 yerine −3x0-3x_0 yazılarak sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 183Soru →
arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3)\arctan(x) + \arctan(x + 1) = \arctan(3)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı için 3x3x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 13\frac{1}{3} olup, bu değerin 33 katı 11'dir.
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıp toplam formülü uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Bu denklemin düzenlenmesiyle oluşan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde x = 1/3 ve x = -2 değerleri bulunur. Ancak arctan fonksiyonunun değer kümesi (-\pi/2, \pi/2) olduğundan, iki negatif terimin toplamı pozitif olan \arctan(3) değerine eşit olamaz. Bu sebeple x = -2 kökü elenir ve geriye yalnızca x = 1/3 kalır. Bu değerin 3 katı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanjantını almak
tan⁡(arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1))=tan⁡(arctan⁡(3))=3\tan(\arctan(x) + \arctan(x+1)) = \tan(\arctan(3)) = 3
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürmek amacıyla eşitliğin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanır.
2
Tanjant toplam formülünü uygulamak
x+(x+1)1−x(x+1)=3\frac{x + (x+1)}{1 - x(x+1)} = 3
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} toplam formülü ve tan⁡(arctan⁡(u))=u\tan(\arctan(u)) = u özdeşliği kullanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden denkleme dönüştürmek
3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak payda sıfırdan farklı kabulüyle cebirsel ifade sadeleştirilir.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak ve kökleri bulmak
(3x−1)(x+2)=0  ⟹  x=13 veya x=−2(3x-1)(x+2) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ veya } x = -2
Denklemin sıfır noktalarını (köklerini) belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan köklerin ters tanjant fonksiyonunun tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek
x=13x = \frac{1}{3} denklemi sağlar, x=−2x = -2 denklemi sağlamaz.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) olduğundan, x=−2x = -2 için sol taraftaki her iki terim de negatif açılar üretir ve toplamları negatif olur. Ancak sağ taraftaki arctan⁡(3)\arctan(3) değeri pozitiftir. Bu nedenle x=−2x = -2 kökü elenir.
6
İstenen 3x3x değerini hesaplamak
3x=13x = 1
Bulunan geçerli x=1/3x = 1/3 kökünün 33 katı alınır.

Anahtar Kavram

Ters tanjant fonksiyonunun değer kümeleri ile tanjant toplam formülünün uygulanması
Soru 184Soru →
θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Tanjant yarım açı formülü kullanılarak elde edilen değer 0,75'tir.
Verilen açının tanjant değeri yarım açı formülünde yerine yazıldığında, elde edilen rasyonel ifadenin sadeleştirilmesiyle sonuç 3/4 yani ondalık olarak 0,75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant yarım açı formülü yazılır.
tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
İki kat açının tanjant değerini tek kat açı cinsinden hesaplamak için bu formül gereklidir.
2
Verilen tanjant değeri formülde yerine konur.
tan⁡(2θ)=2⋅131−(13)2\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
Verilen bilginin sayısal karşılığını kullanarak sonuca ulaşmak hedeflenir.
3
Rasyonel sayılarda işlemler ve sadeleştirmeler tamamlanır.
tan⁡(2θ)=2389=0,75\tan(2\theta) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = 0,75
Pay ve payda kısımlarındaki işlemler yapılarak nihai oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunda yarım açı (iki kat açı) formülünün doğrudan uygulanması.
Soru 185Soru →
A=cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘A = \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ olduğuna göre, 64⋅A64 \cdot A ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen sonuç 4'tür.
Verilen ifade sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpılıp bölündüğünde ve cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ dönüşümü yapıldığında, sinüsün yarım açı formülü ardışık olarak uygulanarak pay kısmında 116sin⁡24∘\frac{1}{16}\sin 24^\circ elde edilir. Paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleşen ifade A=116A = \frac{1}{16} değerini verir. Buradan 64⋅A=464 \cdot A = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpıp bölerek yarım açı formülü uygulanabilir hale getirmek.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ}{\sin 24^\circ}
Zincirleme yarım açı formülü uygulaması için ilk terimi oluşturmak.
2
cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ özdeşliğini kullanarak açı dizilimini iki katı olacak şekilde tamamlamak.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡192∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 192^\circ}{\sin 24^\circ}
cos⁡192∘\cos 192^\circ ve cos⁡168∘\cos 168^\circ değerlerinin her ikisi de −cos⁡12∘-\cos 12^\circ değerine eşit olduğundan zinciri bozmadan iki katı kuralını sürdürmek.
3
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x yarım açı formülünü pay kısmına sırayla uygulamak.
sin⁡24∘cos⁡24∘=12sin⁡48∘\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{2}\sin 48^\circ
12sin⁡48∘cos⁡48∘=14sin⁡96∘\frac{1}{2}\sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{4}\sin 96^\circ
14sin⁡96∘cos⁡96∘=18sin⁡192∘\frac{1}{4}\sin 96^\circ \cos 96^\circ = \frac{1}{8}\sin 192^\circ
18sin⁡192∘cos⁡192∘=116sin⁡384∘\frac{1}{8}\sin 192^\circ \cos 192^\circ = \frac{1}{16}\sin 384^\circ
Pay kısmındaki kosinüs çarpımlarını tek bir sinüs terimine indirgemek.
4
sin⁡384∘\sin 384^\circ açısının esas ölçüsünü bularak paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleştirmek.
sin⁡384∘=sin⁡(360∘+24∘)=sin⁡24∘\sin 384^\circ = \sin(360^\circ + 24^\circ) = \sin 24^\circ
A=116sin⁡24∘sin⁡24∘=116A = \frac{\frac{1}{16}\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \frac{1}{16}
AA değerini rasyonel bir sayıya dönüştürmek.
5
64⋅A64 \cdot A ifadesini hesaplamak.
64⋅A=64⋅116=464 \cdot A = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4
Soruda istenen nihai çarpım değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs yarım açı formülünün (sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x) ardışık kosinüs çarpımlarında zincirleme kullanımı ve indirgeme formülleri.
Soru 186Soru →
arcsin⁡(x)−arccos⁡(x)=arcsin⁡(3x−2)\arcsin(x) - \arccos(x) = \arcsin(3x - 2) olduğuna göre, bu denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan gerçel sayı kökü 0.5'tir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen kökler x = 1 ve x = 0.5 olup, tam sayı olmayan kök 0.5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik özdeşliğin uygulanması
\arccos(x) yerine \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) yazılması
Denklemi tek bir ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek amacıyla \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} özdeşliği kullanılır.
2
Denklemin düzenlenmesi
2\arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = \arcsin(3x - 2)
Denklemi sadeleştirip her iki tarafın sinüsünü alabilmek için düzenleme yapılır.
3
Değişken dönüşümü ve sinüs fonksiyonunun uygulanması
−cos⁡(2α)=3x−2-\cos(2\alpha) = 3x - 2
\arcsin(x) = \alpha dönüşümüyle \sin(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2 elde edilir ve \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) indirgemesi uygulanır.
4
Yarım açı formülü ile cebirsel denklemin elde edilmesi
2x^2 - 3x + 1 = 0
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) = 1 - 2x^2 yarım açı formülü yerine yazılıp denklem düzenlenir.
5
Denkleminin çözülmesi ve uygun kökün seçilmesi
x = 0.5
İkinci dereceden denklemin kökleri x = 1 ve x = 0.5'tir. Soruda tam sayı olmayan gerçel kök istendiği için x = 0.5 alınır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ve Denklemleri
Soru 187Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1−sin⁡(2x)=3\frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3

olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

Doğru cevap −0.28-0.28 (veya −725-\frac{7}{25}) olmalıdır.
Verilen rasyonel trigonometrik denklem sadeleştirildiğinde tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 eşitliği elde edilir. Bu değer yardımıyla iki kez yarım açı formülü uygulanarak sırasıyla cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 ve cos⁡(4x)=−0.28\cos(4x) = -0.28 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleriyle düzenleyin.
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) ve 1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Denklemi sadeleştirmek ve sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki ilişkiyi bulmak için bu özdeşliklerin kullanılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak sadeleştirin ve tan⁡x\tan x değerini bulun.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)2=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡x=3cos⁡x−3sin⁡x  ⟹  4sin⁡x=2cos⁡x  ⟹  tan⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} = 3 \implies \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = 3 \implies \cos x + \sin x = 3\cos x - 3\sin x \implies 4\sin x = 2\cos x \implies \tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında ve denklemin sonucu pozitif olduğundan cos⁡x−sin⁡x>0\cos x - \sin x > 0 olup sadeleştirme yapılması uygundur.
3
tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/41+1/4=35=0.6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3}{5} = 0.6 elde edilir.
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yapabilmek için öncelikle cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin bulunması gerekmektedir.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak kosinüsün yarım açı formülüyle cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayın.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(0.6)2−1=0.72−1=−0.28\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(0.6)^2 - 1 = 0.72 - 1 = -0.28 bulunur.
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 çift kat açı formülüyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formülleri ve özdeşliklerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →
f(x)=log⁡6(12−x−x2)f(x) = \log_{6}(12 - x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesinde 6 farklı tam sayı değeri vardır.
Logaritma tanımı gereği 12−x−x2>012 - x - x^2 > 0 eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesinin (−4,3)(-4, 3) açık aralığı olduğu görülür. Bu aralıktaki tam sayılar −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 6 farklı değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması koşulunu belirleme
12−x−x2>012 - x - x^2 > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması şarttır.
2
Eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma
(x+4)(3−x)>0  ⟹  x1=−4,x2=3(x + 4)(3 - x) > 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için sınır noktalarını belirleyen kökler hesaplanır.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme
−4<x<3-4 < x < 3
x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için ifade kökler arasında pozitif değerler alır.
4
Belirlenen aralıktaki tam sayıları listeleme ve adetlerini bulma
6 farklı tam sayı değeri
−4-4 ile 33 açık aralığındaki tam sayılar sırasıyla −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olup toplamda 6 tanedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 189Soru →
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x)

eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel sayı 1/2 (veya 0,5) değeridir.
Denklem düzenlenip her iki tarafın tanjantı alındığında 2x/(2−x2)=2x/(1+3x2)2x/(2-x^2) = 2x/(1+3x^2) eşitliği elde edilir. Buradan 2x=02x = 0 veya 2−x2=1+3x22-x^2 = 1+3x^2 olmalıdır. Pozitif kök arandığından x2=1/4x^2 = 1/4 eşitliğinden x=1/2x = 1/2 (veya 0,5) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri gruplandırma ve düzenleme
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)−arctan⁡(x)\arctan(x-1) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) - \arctan(x)
Tanjant toplam ve fark formüllerini her iki tarafa uygulayarak sade bir cebirsel denklem elde etmek hedeflenmiştir.
2
Tanjant toplam-fark formüllerini uygulama
(x−1)+(x+1)1−(x−1)(x+1)=3x−x1+3x2\frac{(x-1) + (x+1)}{1 - (x-1)(x+1)} = \frac{3x - x}{1 + 3x^2}
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınarak ters trigonometrik fonksiyonlardan cebirsel ifadelere geçiş yapılmıştır.
3
Cebirsel eşitliği sadeleştirme ve çözme
2x2−x2=2x1+3x2  ⟹  2x(1+3x2)=2x(2−x2)\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2} \implies 2x(1+3x^2) = 2x(2-x^2)
İçler dışlar çarpımı yapılarak denklemin tüm olası köklerini veren ortak çarpan parantezine alınabilir duruma getirilmiştir.
4
Kökleri bulma ve pozitiflik şartını kontrol etme
2x(4x2−1)=0  ⟹  x=0, x=−12, x=122x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0,\ x = -\frac{1}{2},\ x = \frac{1}{2}
Bulunan kökler arasından sadece pozitif olan gerçel sayı değeri seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyon denklemlerinin tanjant toplam-fark formülleri yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.
Soru 190Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a\cos(bx) + c
fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının yy koordinatları sırasıyla 55 ve −1-1'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark π4\frac{\pi}{4} birim olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklemleri kurulur; buradan a=3a = 3 ve c=2c = 2 bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b} birimdir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden b=4b = 4 elde edilir. Sonuç olarak a+b+c=3+4+2=9a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak aa ve cc değerlerini bulunuz.
c=2c = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğundan, cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun maksimum değeri olan 11 için f(x)f(x) en büyük değerini (a+ca + c), minimum değeri olan −1-1 için ise en küçük değerini (−a+c-a + c) alır. a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.
2
Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak bb değerini bulunuz.
b=4b = 4 elde edilir.
cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun periyodu T=2πbT = \frac{2\pi}{b}'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b}'ye eşittir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} olduğundan b=4b = 4 bulunur.
3
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayınız.
3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 bulunur.
Bulunan a=3a = 3, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.
Soru 191Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff'nin grafiği yy-eksenine göre, gg'nin grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
x2⋅f(x)+x⋅g(x)+f(−x)−g(−x)=x4+4x2+3xx^2 \cdot f(x) + x \cdot g(x) + f(-x) - g(-x) = x^4 + 4x^2 + 3x

eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri 1010'dur.
f(2)=4f(2) = 4 ve g(2)=6g(2) = 6 olarak elde edilir, bu değerlerin toplamı 1010'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerinden fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını belirleme
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitlikleri elde edilir.
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Verilen denklemde x=2x = 2 yazarak birinci denklemi oluşturma
5f(2)+3g(2)=385f(2) + 3g(2) = 38 denklemi elde edilir.
x=2x=2 için denklem 4f(2)+2g(2)+f(−2)−g(−2)=16+16+64f(2) + 2g(2) + f(-2) - g(-2) = 16 + 16 + 6 olur. Simetri kuralları (f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) ve g(−2)=−g(2)g(-2)=-g(2)) uygulandığında bu denklem elde edilir.
3
Verilen denklemde x=−2x = -2 yazarak ikinci denklemi oluşturma
5f(2)+g(2)=265f(2) + g(2) = 26 denklemi elde edilir.
x=−2x=-2 için denklem 4f(−2)−2g(−2)+f(2)−g(2)=16+16−64f(-2) - 2g(-2) + f(2) - g(2) = 16 + 16 - 6 olur. Simetri kuralları uygulandığında 4f(2)+2g(2)+f(2)−g(2)=26  ⟹  5f(2)+g(2)=264f(2) + 2g(2) + f(2) - g(2) = 26 \implies 5f(2) + g(2) = 26 elde edilir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
g(2)=6g(2) = 6 ve f(2)=4f(2) = 4 bulunur.
5f(2)+3g(2)=385f(2) + 3g(2) = 38 denkleminden 5f(2)+g(2)=265f(2) + g(2) = 26 denklemi ��ıkarılarak 2g(2)=12  ⟹  g(2)=62g(2) = 12 \implies g(2) = 6 bulunur. Bulunan değer yerine yazılarak f(2)=4f(2) = 4 elde edilir.
5
f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamını hesaplama
f(2)+g(2)=10f(2) + g(2) = 10
İstenen değer iki fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve grafik simetrileri
Soru 192Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x−cot⁡x=−4\tan x - \cot x = -4
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

0.8
Verilen denklemde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) ve payda kısmında sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} elde edilir. Buradan denklem −2cot⁡(2x)=−4-2\cot(2x) = -4 halini alır ve cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2 bulunur. Çarpmaya göre tersi alınarak tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5 değerine ulaşılır. Son adımda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} formülü uygulandığında sonuç 0.80.8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlenir.
sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=−4\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = -4
İfadeyi yarım açı formülleriyle sadeleştirebilmek için temel trigonometrik fonksiyonlara dönüşt��rmek gerekir.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri yerlerine yazılır.
cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2
Elde edilen kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik oran cinsinden yazıp sadeleştirmek hedeflenir.
3
Kotanjant oranından yararlanarak tanjant oranı belirlenir.
tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5
Sonraki adımda sinüs iki kat açı formülünü tanjant cinsinden daha hızlı uygulayabilmek için bu değer hesaplanır.
4
Tanjant değeri bilinen 2x2x açısının iki katı olan 4x4x açısının sinüs değeri formül yardımıyla bulunur.
sin⁡(4x)=0.8\sin(4x) = 0.8
İstenen sin⁡(4x)\sin(4x) değerine doğrudan ulaşmak için yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant farkının yarım açı formülleri ile sadeleştirilmesi ve iki kat açının sinüs değerinin bulunması.
Soru 193Soru →

Bir ABCABC dar açılı üçgeninde tan⁡(A^)\tan(\widehat{A}), tan⁡(B^)\tan(\widehat{B}) ve tan⁡(C^)\tan(\widehat{C}) değerleri sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır. Buna göre, cot⁡(C^−A^)\cot(\widehat{C} - \widehat{A}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ardışık pozitif tam sayı tanjant değerlerine sahip dar açılı üçgenin açıları için tan⁡A=1\tan A = 1, tan⁡B=2\tan B = 2 ve tan⁡C=3\tan C = 3 bulunur. Buradan fark formülüyle hesaplanan tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 değerinin çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.
Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğundan tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C bağıntısı sağlanır. Bu bağıntıyı sağlayan ardışık pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olarak belirlenir. Buradan fark formülü yardımıyla tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 hesaplanır ve çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının tanjantları arasındaki bağıntıyı kurma
tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C
A+B+C=πA+B+C = \pi olduğundan tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A+B) = -\tan C eşitliği açıldığında bu temel özdeşlik elde edilir.
2
Ardışık pozitif tam sayı kabulüyle denklem oluşturma
3(x+1)=x(x+1)(x+2)3(x+1) = x(x+1)(x+2)
tan⁡A=x\tan A = x, tan⁡B=x+1\tan B = x+1 ve tan⁡C=x+2\tan C = x+2 değerleri toplam ve çarpım bağıntısında yerine yazılır.
3
Denklemi çözerek tanjant değerlerini belirleme
tan⁡A=1\tan A = 1 ve tan⁡C=3\tan C = 3
x+1x+1 terimleri sadeleştirildiğinde x2+2x−3=0x^2+2x-3=0 elde edilir; pozitif kök x=1x=1 olup sırasıyla tanjant değerleri 1,2,31, 2, 3 bulunur.
4
Tanjant fark formülünü uygulama
tan⁡(C−A)=12\tan(C-A) = \frac{1}{2}
tan⁡(C−A)=tan⁡C−tan⁡A1+tan⁡C⋅tan⁡A=3−11+3⋅1\tan(C-A) = \frac{\tan C - \tan A}{1 + \tan C \cdot \tan A} = \frac{3-1}{1+3 \cdot 1} formülüyle fark açısının tanjantı hesaplanır.
5
Kotanjant değerine geçiş yapma
cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2
cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ilişkisi kullanılarak tanjant değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Üçgenin iç açılarının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiler ve toplam-fark formülleri
Soru 194Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y=2x+ky = 2x + k doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir.

[AB][AB] kirişinin uzunluğu 656\sqrt{5} birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyen kk parametresinin değeri 5 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olmak üzere, kesişim noktaları arasındaki uzaklık ∣AB∣=1+m2∣x1−x2∣|AB| = \sqrt{1 + m^2} |x_1 - x_2| formülüyle pratikçe bulunur. Burada eğim m=2m = 2 ve ∣x1−x2∣=16+4k|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}'dir. Uzaklık 656\sqrt{5} olarak eşitlendiğinde k=5k = 5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini bulunuz.
x2−6x+(5−k)=0x^2 - 6x + (5 - k) = 0
Kesişim noktalarının apsislerini belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için.
2
Ortak çözüm denkleminin kökler farkının mutlak değerini diskriminant yardımıyla ifade ediniz.
∣x1−x2∣=16+4k|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}
Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki mesafeyi kk parametresine bağlı olarak yazmak için.
3
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı apsisler farkı cinsinden yazınız.
∣y1−y2∣=2∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = 2|x_1 - x_2|
Noktalar doğru üzerinde olduğundan, ordinatlar farkı apsisler farkı ile doğrunun eğiminin çarpımına eşittir.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak [AB][AB] kirişinin uzunluğunu kk cinsinden ifade ediniz.
∣AB∣=5∣x1−x2∣=516+4k|AB| = \sqrt{5}|x_1 - x_2| = \sqrt{5}\sqrt{16 + 4k}
Kiriş uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi oluşturmak için.
5
Elde edilen kiriş uzunluğu ifadesini verilen 656\sqrt{5} değerine eşitleyerek kk'yi bulunuz.
k=5k = 5
Kiriş uzunluğu şartını sağlayan tek kk gerçek sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki uzaklık (kiriş uzunluğu), ortak çözüm denkleminin kökleri ve doğrunun eğimi kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 195Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde birinci bölgede bir AA noktası ve ikinci bölgede bir BB noktası yer almaktadır. [OA][OA] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta ve [OB][OB] doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı 90∘+θ90^\circ + \theta'dır. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) olmak üzere, AA ve BB noktalarının yy-eksenine olan uzaklıkları toplamı 75\frac{7}{5} birimdir. Buna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

0.6 (veya 3/5)
Birim çember üzerindeki A ve B noktalarının y-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla |cos θ| ve |-sin θ| değerleridir. Birinci ve ikinci bölgelerde bu değerler cos θ ve sin θ olup toplamları 7/5'tir. Bu toplamın karesi alınarak sin θ - cos θ farkı 1/5 bulunur ve buradan taraf tarafa işlemle cos θ = 0.6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktalarının koordinatlarını birim çember üzerindeki açılarına göre belirleme.
A(cos⁡θ,sin⁡θ)A(\cos\theta, \sin\theta) ve B(−sin⁡θ,cos⁡θ)B(-\sin\theta, \cos\theta)
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, orijinle birleştiren doğrunun pozitif x-ekseniyle yaptığı açının kosinüsü ve sinüsüdür. B noktası için cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta ve sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta dönüşümleri kullanılır.
2
Noktaların y-eksenine olan uzaklıklarını mutlak değer cinsinden yazma ve toplama.
dA+dB=cos⁡θ+sin⁡θ=75d_A + d_B = \cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı apsisinin mutlak değeridir. Birinci bölgede cos⁡θ>0\cos\theta > 0 ve θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) için ikinci bölgedeki apsis negatif (−sin⁡θ<0-\sin\theta < 0) olduğundan mutlak değeri sin⁡θ\sin\theta olur.
3
Toplam ifadesinin karesini alarak çarpım terimini elde etme.
2sin⁡θcos⁡θ=24252\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25}
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta özdeşliği kullanılır.
4
Fark ifadesinin karesini yazarak fark değerini bulma.
sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5}
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−2425=125(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} olur. θ∈(45∘,90∘)\theta \in (45^\circ, 90^\circ) aralığında sin⁡θ>cos⁡θ\sin\theta > \cos\theta olduğundan fark pozitiftir.
5
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kosinüs değerine ulaşma.
cos⁡θ=35=0.6\cos\theta = \frac{3}{5} = 0.6
sin⁡θ+cos⁡θ=75\sin\theta + \cos\theta = \frac{7}{5} ve sin⁡θ−cos⁡θ=15\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{5} denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında 2cos⁡θ=652\cos\theta = \frac{6}{5} elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve trigonometrik oranların indirgeme formülleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 196Soru →

sin⁡(2x)=cos⁡(x)\sin(2x) = \cos(x) denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kök sayısı 3'tür.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığında cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 eşitliğini sağlayan x=π2x = \frac{\pi}{2} olmak üzere 1 kökü ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} eşitliğini sağlayan x=π6x = \frac{\pi}{6} ile x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 2 kökü vardır. Bu köklerin hepsi birbirinden farklı olup toplam kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü uygulanır.
2sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)
Sinüs yarım açı özdeşliği olan sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) eşitliği kullanılarak denklem düzenlenir.
2
İfade çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0
Sadeleştirme nedeniyle kök kaybetmemek için tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak paranteze alınır.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek basit denklemler kurulur.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya 2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=122\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
[0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=12  ⟹  x=π6,5π6\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
Fonksiyonların [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri incelenerek uygun açı değerleri belirlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
Soru 197Soru →
(x−1)2(x+3)(x−2)x−2≥0\frac{(x - 1)^2 (x + 3)(x - 2)}{x - 2} \geq 0
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin çözüm kümeleri sırasıyla [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ve [−1,3][-1, 3] olarak bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\} aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup, toplamları 33 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm kümesini bulma.
x≠2x \neq 2 olmak üzere, çözüm kümesi [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\}'dir.
Payda sıfır olamayacağı için x≠2x \neq 2 olmalıdır. x−2x-2 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan (x−1)2(x+3)≥0(x-1)^2(x+3) \geq 0 eşitsizliğinde x=1x=1 çift katlı kök olup eşitsizliği sağlar, geriye kalan terimden ise x≥−3x \geq -3 elde edilir.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm k��mesini bulma.
Çözüm kümesi [−1,3][-1, 3]'tür.
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0 ifadesi (x−3)(x+1)≤0(x-3)(x+1) \leq 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Başkatsayı pozitif olduğundan köklerin iç bölgesi [−1,3][-1, 3] çözüm kümesidir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerini kesiştirme ve tam sayı değerlerini toplama.
Tam sayıların toplamı 33 olarak bulunur.
[−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ile [−1,3][-1, 3] kümelerinin kesişim kümesi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\}'dir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup toplamları 33'tür.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 198Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣BC∣=12 birim|BC| = 12\text{ birim} ve ∣AC∣=14 birim|AC| = 14\text{ birim} olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=7 birim|CD| = 7\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerinde ∣CE∣=10 birim|CE| = 10\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası işaretleniyor. Buna göre, DD ve EE noktaları arasındaki uzaklık (∣DE∣|DE|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi yardımıyla cos⁡C=57\cos C = \frac{5}{7} olarak elde edilir. Ardından CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57=49|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7} = 49 bulunur. Buradan karekök alınarak ∣DE∣=7 birim|DE| = 7\text{ birim} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C
102=142+122−2⋅14⋅12⋅cos⁡C10^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos C
100=196+144−336⋅cos⁡C100 = 196 + 144 - 336 \cdot \cos C
336⋅cos⁡C=240  ⟹  cos⁡C=240336=57336 \cdot \cos C = 240 \implies \cos C = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanabilmek için ortak olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
CDECDE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣DE∣|DE| hesaplanır.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡C|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos C
∣DE∣2=72+102−2⋅7⋅10⋅57|DE|^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{5}{7}
∣DE∣2=49+100−100|DE|^2 = 49 + 100 - 100
∣DE∣2=49  ⟹  ∣DE∣=7 birim|DE|^2 = 49 \implies |DE| = 7\text{ birim}
CDCD ve CECE kenar uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüs değeri bilindiği için doğrudan karşılarındaki DEDE kenar uzunluğu bulunabilir.

Anahtar Kavram

İki farklı üçgende ortak açıyı kullanarak Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 199Soru →
sin⁡3(x)cos⁡(3x)+cos⁡3(x)sin⁡(3x)=38\sin^3(x)\cos(3x) + \cos^3(x)\sin(3x) = \frac{3}{8} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel köklerinin toplamı en sade biçimde aπb\frac{a\pi}{b} radyan olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki köklerinin toplamı olan en sade rasyonel çarpanlı ifade 3π2\frac{3\pi}{2} olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+ba + b değeri 5'tir.
Verilen denklem, cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) açılımları yerine yazılarak düzenlendiğinde sin⁡(4x)=1/2\sin(4x) = 1/2 denklemine indirgenir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] kısıtlaması altında 4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında bu denklemi sağlayan 4 farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. En sade biçimde yazıldığında a=3a=3 ve b=2b=2 olup toplamları 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kat açı formüllerini kullanarak cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) terimlerini açmak
Denklemin sol tarafı: sin⁡3(x)(4cos⁡3(x)−3cos⁡(x))+cos⁡3(x)(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))\sin^3(x)(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + \cos^3(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için temel açı ilişkilerini kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmek
3sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))3\sin(x)\cos(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))
Parantezler dağıtıldığında 4sin⁡3(x)cos⁡3(x)4\sin^3(x)\cos^3(x) terimleri birbirini götürür.
3
Yarım açı formülleriyle ifadeyi sin⁡(4x)\sin(4x) cinsinden yazmak
Sol taraf 34sin⁡(4x)\frac{3}{4}\sin(4x) ifadesine eşitlenir.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) bağıntıları ile ifade basitleştirilir.
4
34sin⁡(4x)=38\frac{3}{4}\sin(4x) = \frac{3}{8} temel trigonometrik denklemini çözmek
sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2}
Denklemin her iki tarafı 43\frac{4}{3} ile çarpılarak basit trigonometrik denklem elde edilir.
5
x∈[0,π]x \in [0, \pi] tanım aralığı için 4x4x açısının sınırlarını belirleyip kökleri bulmak
4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında kökler x1=π24x_1 = \frac{\pi}{24}, x2=5π24x_2 = \frac{5\pi}{24}, x3=13π24x_3 = \frac{13\pi}{24}, x4=17π24x_4 = \frac{17\pi}{24} olarak bulunur.
Tanım aralığına uygun tüm köklerin eksiksiz belirlenmesi şarttır.
6
Bulunan tüm kökleri toplayıp aπb\frac{a\pi}{b} formuna getirmek ve a+ba+b değerini hesaplamak
Kökler toplamı =3π2  ⟹  a=3,b=2  ⟹  a+b=5= \frac{3\pi}{2} \implies a=3, b=2 \implies a+b=5
Toplamın en sade rasyonel biçimi elde edilerek istenen katsayılar toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üç kat açı, yarım açı özdeşlikleri ve değişken değiştirme yöntemleriyle trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki köklerinin analizi.
Soru 200Soru →

Koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile bu parabolü kesmeyen y=2x+ky = 2x + k doğrusu arasındaki en kısa uzaklık 5\sqrt{5} birimdir. Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Parabolü kesmeyen doğrunun denklemindeki sabit terim olan k gerçek sayısı -7 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabole teğet ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak.
Teğet doğrusunun denklemi y=2x+my = 2x + m şeklindedir.
Parabol ile doğru arasındaki en kısa uzaklık, parabolün verilen doğruya paralel olan teğet doğrusu üzerinden hesaplanır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturmak ve teğetlik şartını (diskriminantın sıfıra eşitliğini) uygulamak.
x2−4x+7=2x+m  ⟹  x2−6x+(7−m)=0x^2 - 4x + 7 = 2x + m \implies x^2 - 6x + (7 - m) = 0 elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ=36−4(7−m)=0  ⟹  8+4m=0  ⟹  m=−2\Delta = 36 - 4(7 - m) = 0 \implies 8 + 4m = 0 \implies m = -2 bulunur. Teğet doğrusu y=2x−2y = 2x - 2 yani 2x−y−2=02x - y - 2 = 0 olur.
Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
d=∣k−(−2)∣22+(−1)2=∣k+2∣5=5  ⟹  ∣k+2∣=5d = \frac{|k - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |k + 2| = 5. Buradan k=3k = 3 veya k=−7k = -7 bulunur.
Paralel iki doğru ax+by+c1=0ax + by + c_1 = 0 ve ax+by+c2=0ax + by + c_2 = 0 arasındaki uzaklık d=∣c1−c2∣a2+b2d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Bulunan k değerlerinin kesişmeme şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
k=3k = 3 için doğru ile parabol kesişirken (x2−6x+4=0  ⟹  Δ=20>0x^2 - 6x + 4 = 0 \implies \Delta = 20 > 0), k=−7k = -7 için kesişmezler (x2−6x+14=0  ⟹  Δ=−20<0x^2 - 6x + 14 = 0 \implies \Delta = -20 < 0).
Soruda doğrunun parabolü kesmediği belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve paralel doğrular arasındaki uzaklık yardımıyla en yakın noktanın analizi.
ÖncekiSayfa 10 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin