Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2061Soru →
Tanımlı olduğu kümede f(x)=3x+1f(x) = \sqrt{3x+1} fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
lim⁡h→0f(5+4h)−f(5−4h)h \lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3 olarak bulunur.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımına göre düzenlendiğinde 8f′(5)8f'(5) değerine karşılık gelir. f(x)=3x+1f(x) = \sqrt{3x+1} fonksiyonunun türevi alınıp x=5x = 5 yazıldığında elde edilen f′(5)=38f'(5) = \frac{3}{8} değeri limit ifadesinde yerine yazılırsa limitin değeri 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türev tanımına benzetmek.
lim⁡h→0f(5+4h)−f(5−4h)h=8f′(5)\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h} = 8f'(5)
Türevin limit tanımı gereği lim⁡h→0f(x+ah)−f(x−bh)h=(a+b)f′(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(x+ah) - f(x-bh)}{h} = (a+b)f'(x) eşitliği geçerlidir. Burada a=4a=4 ve b=4b=4 olduğundan limit 8f′(5)8f'(5) değerine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini hesaplamak.
f′(x)=323x+1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}
g(x)=u(x)g(x) = \sqrt{u(x)} ise g′(x)=u′(x)2u(x)g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} kuralı uygulanır.
3
x=5x = 5 noktasındaki türev değerini bulmak.
f′(5)=38f'(5) = \frac{3}{8}
Türev fonksiyonunda xx yerine 55 yazıldığında f′(5)=323⋅5+1=3216=38f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3\cdot 5+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{8} elde edilir.
4
Limit değerini hesaplamak.
8⋅38=38 \cdot \frac{3}{8} = 3
İlk adımda elde edilen 8f′(5)8f'(5) ifadesinde f′(5)f'(5) değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktalı değişim oranının türev değeriyle ilişkilendirilmesi
Soru 2062Soru →

f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=−1x = -1 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türev değerine eşit olduğundan doğru cevap 3'tür.
Verilen f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun türevi alındığında f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi, eğrinin teğet noktasındaki türevine eşit olduğundan, x=−1x = -1 apsisli noktadaki teğetin eğimi m=f′(−1)m = f'(-1) olur. Buradan m=2(−1)+5=3m = 2(-1) + 5 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5
Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için öncelikle fonksiyonun türev kuralı elde edilmelidir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine −1-1 yazılır.
f′(−1)=2(−1)+5=3f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasının apsisindeki türev değeridir. Bu nedenle türevde x=−1x = -1 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2063Soru →

mm bir gerçel sayı ve m≠−1m \neq -1 olmak üzere,

f(x)=x2−mx+1x2+x+1f(x) = \frac{x^2 - mx + 1}{x^2 + x + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 44 olduğuna göre, ff fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Yerel minimum değeri -2 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi alınıp sadeleştirildiğinde kritik noktalar -1 ve 1 olarak bulunur. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerinin ortalaması olan y-kesim noktası formülü kullanılarak m değeri 8 olarak elde edilir. m = 8 için türev tablosu yapıldığında, fonksiyonun x = 1 noktasında yerel minimuma sahip olduğu görülür. Fonksiyonda x = 1 yazılarak yerel minimum değeri -2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak f(x) fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=(2x−m)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−mx+1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(2x - m)(x^2 + x + 1) - (2x + 1)(x^2 - mx + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevi bulunmalıdır.
2
Türev ifadesinin pay kısmı düzenlenerek sadeleştirilir.
f′(x)=(m+1)(x2−1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(m + 1)(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Kritik noktaları daha rahat görebilmek için türevi çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (apsisler) bulunur.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=1x_2 = 1
x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin gerçel kökü olmadı��ından, türevin kökleri yalnızca payı sıfır yapan değerlerdir.
4
Yerel ekstremum noktalarının koordinatları belirlenir.
A(−1,m+2)A(-1, m + 2) ve B(1,2−m3)B\left(1, \frac{2 - m}{3}\right)
Kritik noktaların apsisleri orijinal fonksiyonda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
5
A ve B noktalarının orta noktası bulunur. Bu noktaların apsislerinin toplamının yarısı 0 olduğundan, orta nokta doğrudan y-ekseni üzerindedir ve doğrunun y-kesim noktasıdır.
Orta Nokta=(0,(m+2)+2−m32)=(0,m+43)Orta\ Nokta = \left(0, \frac{(m + 2) + \frac{2 - m}{3}}{2}\right) = \left(0, \frac{m + 4}{3}\right)
Simetrik apsislere (-1 ve 1) sahip iki noktadan geçen doğrunun y-eksenini kestiği nokta, bu noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
6
y-kesim noktasının ordinatı 4'e eşitlenerek m değeri bulunur.
m+43=4  ⟹  m=8\frac{m + 4}{3} = 4 \implies m = 8
Soruda doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 olarak verilmiştir.
7
m = 8 değeri için türevin işareti incelenerek yerel minimum noktası saptanır ve değeri hesaplanır.
m=8>−1m = 8 > -1 olduğundan türevin işareti x=1x = 1 noktasında negatiften pozitife geçer. Dolayısıyla x=1x = 1 yerel minimum noktasıdır. Yerel minimum değeri: f(1)=2−83=−2f(1) = \frac{2 - 8}{3} = -2
Türevin işaret değiştirdiği yön analiz edilerek yerel minimum noktasının ordinat değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun bu noktalardaki teğetlerinin eğimi sıfırdır.
Soru 2064Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için türevi negatiftir.

Buna göre,
g(x)=f(x2−8x+12)g(x) = f(x^2 - 8x + 12)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,4](-\infty, 4]

Cevap

(−∞,4](-\infty, 4] aralığı
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı gereğince g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) şeklindedir. Soruda ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu belirtildiğinden f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0 olur. Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) gerekir. Negatif bir çarpanla çarpıldığında sonucun sıfırdan büyük veya eşit olması için diğer çarpanın sıfırdan küçük veya eşit olması (2x−8≤02x - 8 \leq 0) şarttır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≤4x \leq 4 elde edilir ve en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Soruda verilen ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu bilgisini kullanarak türev çarpanlarının işaretini belirleyin.
f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0
Her xx gerçel sayısı için f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan, bileşke fonksiyon türevindeki f′f' terimi daima negatiftir.
3
Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği koşulunu (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) çözün.
(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)≥0  ⟹  2x−8≤0  ⟹  x≤4(2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) \geq 0 \implies 2x - 8 \leq 0 \implies x \leq 4
Çarpanlardan biri daima negatif (f′<0f' < 0) olduğundan, çarpımın sonucunun pozitif veya sıfır olması için diğer çarpan olan (2x−8)(2x - 8) ifadesinin negatif veya sıfır olması şarttır. Buradan en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık analizi ve bileşke fonksiyonların türevi.
Soru 2065Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+bx+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx + 1
eğrisinin x=1x = 1 ve x=3x = 3 apsisli noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.

Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 455\frac{4\sqrt{5}}{5} birim olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

b gerçel sayısının alabileceği en küçük değer 7'dir.
Teğetlerin paralel olması eğimlerinin (türevlerinin) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten a=2a = 2 bulunur. Daha sonra teğet noktaları belirlenerek iki teğet doğrusunun denklemleri genel formda yazılır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak elde edilen denklem çözüldüğünde bb için 77 ve 1111 değerleri bulunur. En küçük değer sorulduğundan doğru yanıt 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır ve teğetlerin paralel olma koşulu kurulur.
f′(x)=3x2−6ax+bf'(x) = 3x^2 - 6ax + b elde edilir. Teğetler paralel olduğundan eğimleri eşittir, yani f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) olur.
Bir eğrinin üzerindeki noktalardan çizilen teğetlerin eğimleri, o noktalardaki türev değerlerine eşittir.
2
f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) eşitli��i çözülerek aa parametresi bulunur.
3(1)2−6a(1)+b=3(3)2−6a(3)+b  ⟹  3−6a=27−18a  ⟹  12a=24  ⟹  a=23(1)^2 - 6a(1) + b = 3(3)^2 - 6a(3) + b \implies 3 - 6a = 27 - 18a \implies 12a = 24 \implies a = 2 bulunur.
Teğetlerin eğim eşitliğinden bilinmeyen parametrelerden biri belirlenir.
3
a=2a = 2 değeri yerine yazılarak teğet doğrularının denklemleri oluşturulur.
Eğim m=f′(1)=b−9m = f'(1) = b - 9 olur. x=1x = 1 için teğet noktası (1,f(1))=(1,b−4)(1, f(1)) = (1, b-4)'tür. Teğet denklemi: y−(b−4)=(b−9)(x−1)  ⟹  (b−9)x−y+5=0y - (b-4) = (b-9)(x-1) \implies (b-9)x - y + 5 = 0 olur. x=3x = 3 için teğet noktası (3,f(3))=(3,3b−26)(3, f(3)) = (3, 3b-26)'dır. Teğet denklemi: y−(3b−26)=(b−9)(x−3)  ⟹  (b−9)x−y+1=0y - (3b-26) = (b-9)(x-3) \implies (b-9)x - y + 1 = 0 olur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için her iki doğrunun genel denklemi yazılır.
4
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak bb değerleri bulunur ve en küçüğü seçilir.
d=∣5−1∣(b−9)2+(−1)2=4(b−9)2+1=45  ⟹  (b−9)2+1=5  ⟹  (b−9)2=4  ⟹  b−9=±2d = \frac{|5 - 1|}{\sqrt{(b-9)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{(b-9)^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \implies (b-9)^2 + 1 = 5 \implies (b-9)^2 = 4 \implies b - 9 = \pm 2 olur. Buradan b=11b = 11 veya b=7b = 7 bulunur. En küçük değer 77 olur.
Verilen uzaklık değeri kullanılarak bb parametresinin alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak teğet doğrularının eğimlerinin bulunması ve analitik geometrideki paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülüyle ilişkilendirilmesi.
Soru 2066Soru →
Bir ff fonksiyonu, x≠0x \neq 0 olmak üzere,
f(x)=∫2x2−2xx dxf(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.
f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen değer olan 4 sayısıdır.
İntegral içerisindeki ifade sadeleştirilip 2x−22x - 2 biçimine getirildikten sonra belirsiz integrali alınarak f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C kuralı bulunur. Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=5C = 5 olarak elde edilir. Bu kuralda x=1x = 1 yazıldığında fonksiyon değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.
x≠0x \neq 0 için 2x2−2xx=2x(x−1)x=2x−2\frac{2x^2 - 2x}{x} = \frac{2x(x - 1)}{x} = 2x - 2 olur.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştiririz.
2
Elde edilen ifadenin belirsiz integralini hesaplayalım.
f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C (burada CC integral sabitidir)
Polinom fonksiyonların integral alma kurallarını uygularız.
3
f(2)=5f(2) = 5 eşitliğini kullanarak CC integral sabitini belirleyelim.
f(2)=22−2(2)+C=5  ⟹  4−4+C=5  ⟹  C=5f(2) = 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 4 - 4 + C = 5 \implies C = 5 bulunur. Buradan f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 kuralına ulaşılır.
Fonksiyonun tek bir kural belirtmesi için verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini buluruz.
4
f(x)f(x) fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak istenen değeri hesaplayalım.
f(1)=12−2(1)+5=1−2+5=4f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 elde edilir.
Soruda bizden istenen f(1)f(1) değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygularız.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin bulunması
Soru 2067Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=∫(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxg(x) = \int \left(x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)\right) dx
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f′(1)=−1g(1)=82⋅f′(2)+3⋅f(2)=9\begin{aligned} f(1) &= 2 \\ f'(1) &= -1 \\ g(1) &= 8 \\ 2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2) &= 9 \end{aligned}

olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

İntegral işlemleri ve verilen sınır koşulları doğru uygulandı��ında sonuç otuz dokuz olarak bulunur.
İntegral altındaki ifadenin, x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen fonksiyona sabit sayı eklenir. Verilen başlangıç koşullarıyla sabit sayı üç olarak bulunur. İkinci noktadaki fonksiyon değeri hesaplanırken katsayı ilişkisi düzenlenerek otuz dokuz sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içerisindeki ifadeyi çarpım türevi kuralına göre analiz etme.
d(x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x))=(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxd(x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x)) = (x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)) dx olduğu görülür.
İntegrali alınacak karmaşık ifadenin temel türev kuralları cinsinden eşiti belirlenmelidir.
2
Belirsiz integrali hesaplama ve integral sabitini ekleme.
g(x)=x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)+Cg(x) = x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) + C elde edilir.
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integrali, integral sabiti eklenerek yazılır.
3
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabiti CC'yi bulma.
8=13⋅(−1)+3⋅12⋅2+C  ⟹  8=5+C  ⟹  C=38 = 1^3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1^2 \cdot 2 + C \implies 8 = 5 + C \implies C = 3 bulunur.
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri sayesinde belirsiz integraldeki sabit sayı hesaplanır.
4
x=2x = 2 noktasındaki değeri verilen bağıntı cinsinden düzenleme ve hesaplama.
g(2)=8⋅f′(2)+12⋅f(2)+3=4(2⋅f′(2)+3⋅f(2))+3g(2) = 8 \cdot f'(2) + 12 \cdot f(2) + 3 = 4(2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2)) + 3 şeklinde yazılır. Buradan g(2)=4⋅9+3=39g(2) = 4 \cdot 9 + 3 = 39 elde edilir.
Ortak çarpan parantezi kullanılarak bilinmeyen ifadeler verilen eşitliğe benzetilir ve sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve çarpım kuralının tersten uygulanması.
Soru 2068Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
parabolüne dışındaki bir P(a,b)P(a, b) noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir.
PP noktası
g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k
parabolünün tepe noktası olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −94-\frac{9}{4}

Cevap

k sayısının de��eri -9/4 olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin dik kesişme şartı olan eğimler çarpımının −1-1 olması kuralı ve parabolün tepe noktası koordinatları eksiksiz uygulanarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2
Parabol üzerindeki herhangi bir teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimini veren fonksiyonu bulmak için türev alınır.
2
Parabol üzerindeki genel bir T(t,t2−2t+3)T(t, t^2 - 2t + 3) teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(t2−2t+3)=(2t−2)(x−t)⇒y=(2t−2)x−t2+3y - (t^2 - 2t + 3) = (2t - 2)(x - t) \Rightarrow y = (2t - 2)x - t^2 + 3
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanarak teğet doğrusunun genel denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun dışındaki P(a,b)P(a, b) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
b=(2t−2)a−t2+3⇒t2−2at+2a+b−3=0b = (2t - 2)a - t^2 + 3 \Rightarrow t^2 - 2at + 2a + b - 3 = 0
P(a,b)P(a, b) noktası teğet doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Çizilen teğet doğrularının birbirine dik olması koşulu kökler cinsinden ifade edilir.
m1⋅m2=−1⇒(2t1−2)(2t2−2)=−1⇒4(t1t2−(t1+t2)+1)=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (2t_1 - 2)(2t_2 - 2) = -1 \Rightarrow 4(t_1 t_2 - (t_1 + t_2) + 1) = -1
Teğet noktalarının apsisleri t1t_1 ve t2t_2, teğetlerin eğimleri ise m1=2t1−2m_1 = 2t_1 - 2 ve m2=2t2−2m_2 = 2t_2 - 2 olup, dik doğruların eğimler çarpımı −1-1'dir.
5
Elde edilen tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemden kökler toplamı ve kökler çarpımı çekilerek diklik bağıntısında yerine yazılır ve bb değeri bulunur.
t1+t2=2at_1 + t_2 = 2a ve t1t2=2a+b−3t_1 t_2 = 2a + b - 3 değerleri yerine yazıldığında: 4(2a+b−3−2a+1)=−1⇒4(b−2)=−1⇒b=744(2a + b - 3 - 2a + 1) = -1 \Rightarrow 4(b - 2) = -1 \Rightarrow b = \frac{7}{4}
İkinci dereceden denklemin kök-katsayı ilişkileri kullanılarak teğetlerin geçtiği noktanın ordinatı bb doğrudan hesaplanır.
6
P(a,b)P(a, b) noktasının g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k parabolünün tepe noktası olduğu bilgisi kullanılarak kk değeri hesaplanır.
r=−42(−1)=2⇒Pr = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \Rightarrow P noktasının apsisi a=2a = 2'dir. Tepe noktasının ordinatı g(2)=b=74⇒−(2)2+4(2)+k=74⇒4+k=74⇒k=−94g(2) = b = \frac{7}{4} \Rightarrow -(2)^2 + 4(2) + k = \frac{7}{4} \Rightarrow 4 + k = \frac{7}{4} \Rightarrow k = -\frac{9}{4}
PP noktasının koordinatları, tepe noktasının koordinat formülleri kullanılarak g(x)g(x) parabolüyle eşleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemleri, teğetlerin dik kesişmesi koşulu ve parabolün tepe noktası ilişkisi.
Soru 2069Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere, R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−1∣x−1+3x,x<1x2−3x+2x−1+k,x>1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + 3x, & x < 1 \\ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} + k, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limiti var olduğuna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k = 2
Limitin varlığı için kritik nokta olan x=1x = 1 civarında sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ilkesi kullanılmış, mutlak değer ve çarpanlara ayırma işlemleriyle belirsizlikler giderilerek kk parametresi 22 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1
x<1x < 1 için x2<1x^2 < 1 olup x2−1<0x^2 - 1 < 0 elde edilir. Bu nedenle ∣x2−1∣=−(x2−1)=−(x−1)(x+1)|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1) olarak dışarı çıkar. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye −(x+1)+3x-(x + 1) + 3x kalır. x→1−x \to 1^- için limit değeri −(1+1)+3(1)=1-(1 + 1) + 3(1) = 1 olur.
2
Sağ limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^+} f(x) = k - 1
x>1x > 1 için rasyonel ifadedeki pay kısmı x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye x−2+kx - 2 + k kalır. x→1+x \to 1^+ için limit değeri 1−2+k=k−11 - 2 + k = k - 1 olur.
3
Limitin varlık şartının uygulanması
k = 2
x=1x = 1 noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Buradan 1=k−11 = k - 1 eşitliği kurularak k=2k = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasının civarındaki işaret analizi kritik önem taşır.
Soru 2070Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
[0,3][0, 3] kapalı aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.
- AA, bu bölüntüye ait sol uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- BB, bu bölüntüye ait sağ uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri
olduğuna göre; AA, BB ve II değerleri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B<I<AB < I < A

Cevap

Sol uç noktalarla hesaplanan toplamın integralden büyük, sağ uç noktalarla hesaplanan toplamın ise integralden küçük olduğunu gösteren sıralama doğrudur.
Doğru sıralama olan B<I<AB < I < A ifadesi, f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında azalan olmasından kaynaklanır. Azalan fonksiyonlarda sol uç noktalar yardımıyla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (AA) eğrinin üzerinde kalarak üst toplamı oluştururken, sağ uç noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (BB) eğrinin altında kalarak alt toplamı oluşturur. Belirli integralin değeri (II) ise bu iki toplam arasında yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun incelenmesi
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, (0,3](0, 3] aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır.
Riemann toplamlarının integral değeriyle olan ilişkisini belirlemek amacıyla fonksiyonun karakteri tespit edilir.
2
Riemann toplamları ile belirli integral ilişkisinin teorik olarak kurulması
Azalan bir fonksiyonda, her alt aralıkta maksimum değer sol uç noktada, minimum değer ise sağ uç noktada alınır. Dolayısıyla sol uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (AA) Riemann üst toplamını (A=U¨st ToplamA = \text{Üst Toplam}); sağ uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (BB) ise Riemann alt toplamını (B=Alt ToplamB = \text{Alt Toplam}) oluşturur. Sürekli ve azalan fonksiyonlar için bu değerler arasında B<∫03f(x) dx<AB < \int_0^3 f(x) \, dx < A ilişkisi mevcuttur.
Azalan fonksiyonlarda sol uç değerlerin daima sağ uç değerlerden büyük olması eşitsizliğin yönünü belirler.
3
Sayısal hesaplama ile sonucun teyit edilmesi
Aralık genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1'dir. Alt aralıklar: [0,1][0,1], [1,2][1,2], [2,3][2,3]'tür.
- A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=12+11+8=31A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 12 + 11 + 8 = 31
- B=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=11+8+3=22B = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 11 + 8 + 3 = 22
- I=∫03(12−x2) dx=[12x−x33]03=36−9=27I = \int_0^3 (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 36 - 9 = 27
Sayısal değerler karşılaştırıldığında 22<27<3122 < 27 < 31 yani B<I<AB < I < A sıralaması doğrulanır.
Teorik analizin doğruluğu sayısal hesaplama adımlarıyla kesinleştirilir.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2071Soru →
Bir teknoloji mağazasında satılan bir ürünün adet satış fiyatı xx TL olmak üzere, bu üründen elde edilen günlük kâr fonksiyonu
K(x)=−x2+100x−1600K(x) = -x^2 + 100x - 1600
olarak modellenmiştir.
Buna göre, bu teknoloji mağazasının bu üründen elde edebileceği günlük maksimum kâr kaç TL'dir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 900

Cevap

Günlük maksimum kâr 900 TL'dir.
Maksimum kârı bulmak amacıyla kâr fonksiyonunun birinci türevi alınarak sıfıra eşitlenir: K′(x)=−2x+100=0K'(x) = -2x + 100 = 0 denkleminden x=50x = 50 elde edilir. Bu değer en yüksek kârı veren ürün satış fiyatıdır. Maksimum kâr miktarını bulmak için bu fiyat değeri fonksiyonda yerine yazılır: K(50)=−2500+5000−1600=900K(50) = -2500 + 5000 - 1600 = 900 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunun türevini alınız.
K′(x)=−2x+100K'(x) = -2x + 100
Maksimum veya minimum noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulunuz.
−2x+100=0  ⟹  x=50-2x + 100 = 0 \implies x = 50
Türevin sıfır olduğu nokta, fonksiyonun yerel maksimum (tepe) noktasının apsis değeridir.
3
Bulunan kritik değeri kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı hesaplayınız.
K(50)=−502+100(50)−1600=−2500+5000−1600=900K(50) = -50^2 + 100(50) - 1600 = -2500 + 5000 - 1600 = 900
Maksimum kâr değerini bulmak için fonksiyonun tepe noktasının ordinat değeri (kk) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, tepe noktası koordinatları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2072Soru →

Aşağıdaki tabloda, ff ve gg fonksiyonları ile bu fonksiyonların birinci türevlerinin x=1x = 1 noktasındaki değerleri verilmiştir:

Fonksiyonx=1x=1 noktasındaki değerix=1x=1 noktasındaki türevinin değeri
ff3322
gg−1-155
Buna göre,
h(x)=x2⋅f(x)−g(x)x+1h(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - g(x)}{x + 1}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(1)h'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp tablodaki değerler yerine yazıldığında sonuç yarım olarak bulunur.
Bölüm türevi kuralı ve çarpım türevi kuralı doğru bir şekilde işletilip, verilen değerler yerlerine yerleştirildiğinde sonucun yarım olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)h(x) fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi kuralı kurulur.
h′(x)=[x2⋅f(x)−g(x)]′⋅(x+1)−[x2⋅f(x)−g(x)]⋅(x+1)′(x+1)2h'(x) = \frac{[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' \cdot (x + 1) - [x^2 \cdot f(x) - g(x)] \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay kısmının türevi için çarpım ve fark türevi kuralları uygulanır.
[x2⋅f(x)−g(x)]′=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)−g′(x)[x^2 \cdot f(x) - g(x)]' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) - g'(x)
x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesi çarpım durumunda olduğundan çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.
3
Elde edilen ifadelerde x=1x = 1 yazılarak tablodaki değerler yerleştirilir.
Payın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 2(1)⋅f(1)+12⋅f′(1)−g′(1)=2(3)+2−5=32(1) \cdot f(1) + 1^2 \cdot f'(1) - g'(1) = 2(3) + 2 - 5 = 3 olur. Payın x=1x=1 noktasındaki değeri: 12⋅f(1)−g(1)=3−(−1)=41^2 \cdot f(1) - g(1) = 3 - (-1) = 4 olur. Paydanın türevinin x=1x=1 noktasındaki değeri: 11 olur. Paydanın x=1x=1 noktasındaki değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olur.
Fonksiyonların belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için o noktadaki fonksiyon ve türev değerleri yerine konulur.
4
Bulunan tüm değerler bölüm türevi formülünde birleştirilir.
h′(1)=3⋅2−4⋅122=6−44=24=12h'(1) = \frac{3 \cdot 2 - 4 \cdot 1}{2^2} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Bölüm türevinin sonucunu hesaplamak için tüm adımlardan elde edilen değerler ana formüle yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım türevi kurallarının birlikte uygulanması
Soru 2073Soru →
lim⁡x→π41−tan⁡(x)cos⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan(x)}{\cos(2x)}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Limit değerinin 1 olduğunu belirten seçenek doğrudur.
Limit ifadesinde x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Pay kısmındaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesi cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} şeklinde, payda kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi ise (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılır. İfadeler oranlandığında belirsizliğe yol açan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) terimleri sadeleşir. Kalan ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında limit değeri 1 olarak bulunur. Bu nedenle 1 değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak, x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
x=π4x = \frac{\pi}{4} için tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 ve cos⁡(2⋅π4)=cos⁡(π2)=0\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 olduğundan pay 1−1=01 - 1 = 0, payda ise 00 olur. Bu durumda 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Belirsizlik türünü tespit edip uygun çözüm yöntemini (trigonometrik sadeleştirme) belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
Pay ve paydadaki ifadeler trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilebilir hale getirilir.
Pay kısmında tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} yazılarak payda eşitlenir:
1−tan⁡(x)=1−sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)1 - \tan(x) = 1 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

Payda kısmında ise yarım açı formülü kullanılarak iki kare farkı açılımı yapılır:
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))
Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı (ortak sıfır noktasını) ortaya çıkarmak için ifadeler çarpanlarına ayrılır.
3
Elde edilen ifadeler birbirine oranlanarak ortak olan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) çarpanları sadeleştirilir.
Limit ifadesi şu şekle dönüşür:
lim⁡x→π4cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))=lim⁡x→π41cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}}{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}
Sıfır değerini üreten çarpanların sadeleştirilmesiyle belirsizlik giderilmiş olur.
4
Belirsizlik giderildikten sonra x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri sadeleşmiş ifadede yerine yazılarak limit değeri hesaplanır.
1cos⁡(π4)⋅(cos⁡(π4)+sin⁡(π4))=122⋅(22+22)=122⋅2=122=1\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2}} = 1
Belirsizlik giderildiği için fonksiyonun o noktadaki limiti, doğrudan sadeleşmiş ifadenin fonksiyon değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler ve yarım açı formülleri kullanılarak 00\frac{0}{0} belirsizliğinin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak da bu limit hesaplanabilir. Pay ve paydanın türevi alındığında:
lim⁡x→π4−sec⁡2(x)−2sin⁡(2x)=lim⁡x→π412cos⁡2(x)sin⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2(x)}{-2\sin(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2\cos^2(x)\sin(2x)}
Değerler yerine yazılırsa:
12⋅(22)2⋅sin⁡(π2)=12⋅12⋅1=1\frac{1}{2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1} = 1
bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2074Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=(x2−3x)⋅g(x)+g(x)x2+1f(x) = (x^2 - 3x) \cdot g(x) + \frac{g(x)}{x^2 + 1}
eşitliği sağlanmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev kuralları uygulanıp bilinen değerler yerine yazıldığında f′(0)f'(0) değeri −5-5 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun türevi toplam kuralı gereği iki ayrı parçada hesaplanır. İlk parçada çarpım kuralı, ikinci parçada bölüm kuralı uygulanır. Elde edilen türev ifadesinde x=0x=0 yazılarak verilen g(0)=5g(0)=5 ve g′(0)=10g'(0)=10 değerleri yerine konduğunda sonuç −5-5 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu çarpım ve bölüm kurallarına göre açma
f′(x)=[(2x−3)⋅g(x)+(x2−3x)⋅g′(x)]+g′(x)⋅(x2+1)−g(x)⋅2x(x2+1)2f'(x) = \left[(2x-3) \cdot g(x) + (x^2-3x) \cdot g'(x)\right] + \frac{g'(x) \cdot (x^2+1) - g(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Toplam durumundaki fonksiyonun türevi alınırken ilk terime çarpım kuralı, ikinci terime ise bölüm kuralı uygulanır.
2
Türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazma
f′(0)=[(−3)⋅g(0)+0]+g′(0)⋅1−g(0)⋅012f'(0) = \left[(-3) \cdot g(0) + 0\right] + \frac{g'(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1^2}
Bizden istenen x=0x=0 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 00 yazılır.
3
Verilen değerleri yerine koyarak aritmetik işlemleri tamamlama
f′(0)=−3⋅5+10=−15+10=−5f'(0) = -3 \cdot 5 + 10 = -15 + 10 = -5
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=10g'(0) = 10 değerleri yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kurallarının Uygulanması
Soru 2075Soru →

Bir f(x)=x2+mxf(x) = x^2 + mx fonksiyonu [1,5][1, 5] kapalı aralığında tanımlı ve artandır. Bu aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor. ff fonksiyonunun bu b��lüntüye göre Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olarak hesaplanıyor.

n=8n = 8 için U−A=16U - A = 16 olduğuna göre, ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralinin değeri ile n=4n = 4 eş alt aralık için hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

Belirli integral değeri olan 1963\frac{196}{3} ile Riemann alt toplamı değeri olan 5050 arasındaki fark 463\frac{46}{3}'tür.
Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olup Riemann üst ve alt toplam farkından m=2m = 2 olarak bulunur. Elde edilen f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değeri 1963\frac{196}{3} ve n=4n=4 için Riemann alt toplamı sol uç noktalarla 5050 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark ise 463\frac{46}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliği formülün�� yazıp Riemann üst ve alt toplamlarının farkını veren bağıntıyı belirleyin.
Alt aralık genişliği Δx=5−1n=4n\Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n} olur. Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olduğundan, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark U−A=(f(5)−f(1))⋅Δx=((25+5m)−(1+m))⋅4n=(24+4m)⋅4nU - A = (f(5) - f(1)) \cdot \Delta x = ((25 + 5m) - (1 + m)) \cdot \frac{4}{n} = (24 + 4m) \cdot \frac{4}{n} ��eklinde ifade edilir.
Artan fonksiyonlarda Riemann üst ve alt toplamlarının farkı, uç noktalardaki fonksiyon değerlerinin farkı ile aralık genişliğinin çarpımına eşittir.
2
Verilen n=8n=8 ve U−A=16U-A=16 değerlerini denklemde yerine koyarak mm parametresini hesaplayın.
(24+4m)⋅48=16  ⟹  12+2m=16  ⟹  2m=4  ⟹  m=2(24 + 4m) \cdot \frac{4}{8} = 16 \implies 12 + 2m = 16 \implies 2m = 4 \implies m = 2 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x olarak elde edilir.
Riemann toplamı ve integral işlemlerini gerçekleştirebilmek için öncelikle fonksiyondaki bilinmeyen katsayının bulunması gerekir.
3
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralini hesaplayın.
∫15(x2+2x) dx=[x33+x2]15=(1253+25)−(13+1)=1243+24=1963\int_1^5 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^5 = \left( \frac{125}{3} + 25 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{124}{3} + 24 = \frac{196}{3} elde edilir.
Riemann alt toplamı ile integral arasındaki farkı bulmak için öncelikle eğri altında kalan alanın kesin değerini temsil eden belirli integrali hesaplamamız gerekir.
4
n=4n=4 eş alt aralık için Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt aralık genişliği Δx=5−14=1\Delta x = \frac{5-1}{4} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2],[2,3],[3,4],[4,5][1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5] şeklindedir. Fonksiyon artan olduğu için her aralığın sol uç noktasındaki değerler kullanılır: A4=(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))⋅1=(3+8+15+24)⋅1=50A_4 = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4)) \cdot 1 = (3 + 8 + 15 + 24) \cdot 1 = 50 bulunur.
Artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıktaki minimum değer olan sol uç noktaların görüntülerinin toplamı alınır.
5
Hesaplanan belirli integral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
1963−50=463\frac{196}{3} - 50 = \frac{46}{3} olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai fark değerine ulaşmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile olan ilişkisi, artan fonksiyonlarda alt/üst toplam sınırlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2076Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−x,x≥35x−9,x<3 f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \ge 3 \\ 5x - 9, & x < 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Limitin değeri 10'dur.
Limit ifadesine f(3)f(3) terimi eklenip çıkarılarak limit ikiye ayrıldığında, ifade lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h+lim⁡h→0f(3−h)−f(3)−h\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{-h} şekline dönüşür. Bu limitlerin her ikisi de f′(3)f'(3) değerine eşittir ve toplamda 2f′(3)2f'(3) elde edilir. Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki türevi 5 olduğundan, limitin değeri 2×5=102 \times 5 = 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edelim.
lim⁡x→3+f(x)=32−3=6\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 - 3 = 6, lim⁡x→3−f(x)=5(3)−9=6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5(3) - 9 = 6 ve f(3)=6f(3) = 6 olup, limitler ve fonksiyon değeri eşit olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.
2
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerini limit tanımıyla hesaplayalım.
Sağdan türev: f+′(3)=lim⁡x→3+(x2−x)−6x−3=5f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x^2-x) - 6}{x-3} = 5. Soldan türev: f−′(3)=lim⁡x→3−(5x−9)−6x−3=5f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(5x-9) - 6}{x-3} = 5 bulunur. Sağ ve sol türevler eşit olduğundan f′(3)=5f'(3) = 5 olur.
Sağ ve sol türevlerin eşit olması durumunda fonksiyonun o noktada türevi vardır ve bu ortak değere eşittir.
3
Verilen limit ifadesini türev tanımına benzeterek hesaplayalım.
lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h=2f′(3)\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3-h)}{h} = 2f'(3) olur. f′(3)=5f'(3) = 5 yerine yazıldığında 2×5=102 \times 5 = 10 elde edilir.
Limit tanımındaki iki terimi f(3)f(3) ekleyip çıkararak düzenlediğimizde ifade f′(3)+f′(3)=2f′(3)f'(3) + f'(3) = 2f'(3) halini alır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki türevi
Soru 2077Soru →

Türevi f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 olan bir ff fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde (1,4)(1, 4) noktasından geçmektedir.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Türev fonksiyonunun integrali alındığında f(x)=3x2−2x+Cf(x) = 3x^2 - 2x + C elde edilir. (1,4)(1, 4) noktası denklemde yerine yazıldığında C=3C = 3 olarak bulunur. Buradan f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak doğru sonuç 1111 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 fonksiyonunun belirsiz integralini alalım.
f(x)=∫(6x−2) dx=3x2−2x+Cf(x) = \int (6x - 2) \, dx = 3x^2 - 2x + C elde edilir.
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
2
f(1)=4f(1) = 4 eşitliğini kullanarak 3x2−2x+C3x^2 - 2x + C ifadesinde xx yerine 11 yazalım.
f(1)=3(1)2−2(1)+C=4⇒1+C=4⇒C=3f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + C = 4 \Rightarrow 1 + C = 4 \Rightarrow C = 3 bulunur.
Grafiğin geçtiği nokta fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
3
f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda xx yerine 22 yazalım.
f(2)=3(2)2−2(2)+3=12−4+3=11f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 3 = 12 - 4 + 3 = 11 elde edilir.
Bulunan genel fonksiyon kuralında istenen girdi yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral yardımıyla ve başlangıç koşulu kullanılarak bulunması.
Soru 2078Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
A(x)=∫(x2⋅f′(x)+2x⋅f(x))dxA(x) = \int \left( x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) \right) dx
B(x)=∫(x⋅f′(x)+f(x))dxB(x) = \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.
A(1)=4A(1) = 4, B(1)=2B(1) = 2, A(2)=15A(2) = 15 ve B(2)=7B(2) = 7 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Aranan değer olan 3 sayısı elde edilir.
Doğru cevaba ulaşmak için integrallerin içindeki ifadelerin çarpım türevi kuralları olduğunu fark etmeliyiz. A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 olarak integre edilir. x=1x = 1 için verilenlerden C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı çıkarılır. Ardından x=2x = 2 için 4⋅f(2)+C1=154 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklemleri yazılır. İlk denklemde C1C_1 yerine C2+2C_2 + 2 yazıldığında 4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=62 \cdot f(2) = 6 ve buradan f(2)=3f(2) = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral kurallarını kullanarak A(x)A(x) ve B(x)B(x) ifadelerinin belirsiz integrallerini belirleyelim.
A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 elde edilir.
Çarpım türevi kuralından (x2⋅f(x))′=x2⋅f′(x)+2x⋅f(x)(x^2 \cdot f(x))' = x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ve (x⋅f(x))′=x⋅f′(x)+f(x)(x \cdot f(x))' = x \cdot f'(x) + f(x) olduğunu biliyoruz. Belirsiz integral, türevin tersi olduğundan bu sonuçlara ulaşılır.
2
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabitleri C1C_1 ve C2C_2 arasındaki ilişkiyi bulalım.
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı elde edilir.
A(1)=12⋅f(1)+C1=4A(1) = 1^2 \cdot f(1) + C_1 = 4 ve B(1)=1⋅f(1)+C2=2B(1) = 1 \cdot f(1) + C_2 = 2 eşitlikleri taraf tarafa çıkarılarak f(1)f(1) terimi yok edilir.
3
x=2x = 2 için verilen değerleri ve bulduğumuz sabit ilişkisini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.
A(2)=4⋅f(2)+C1=15A(2) = 4 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve B(2)=2⋅f(2)+C2=7B(2) = 2 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklem sistemi elde edilir.
Belirsiz integral sonuçlarında x=2x = 2 yazılarak bu eşitlikler elde edilir.
4
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 ilişkisini A(2)A(2) denkleminde yerine yazıp denklem sistemini çözelim.
f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
4⋅f(2)+C2+2=15  ⟹  4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 + 2 = 15 \implies 4 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=6  ⟹  f(2)=32 \cdot f(2) = 6 \implies f(2) = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve çarpım türevinin tersini bulma
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2079Soru →

Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan daire şeklindeki bir kartondan bir daire dilimi kesilip kıvrılarak bir dik dairesel koni elde ediliyor. Buna göre, elde edilebilecek en büyük hacimli koninin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 434\sqrt{3}

Cevap

En büyük hacimli koninin yüksekliği 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Oluşturulacak koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olduğunda, Pisagor teoreminden r2=144−h2r^2 = 144 - h^2 elde edilir. Koninin hacim fonksiyonu V(h)=π3(144h−h3)V(h) = \frac{\pi}{3}(144h - h^3) olarak yazılır. Bu fonksiyonun türevi V′(h)=π3(144−3h2)V'(h) = \frac{\pi}{3}(144 - 3h^2) olup, türevin sıfır olduğu pozitif hh değeri h=43h = 4\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer hacmi en büyük yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin geometrik değişkenleri ile kartonun yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak.
Oluşan dik dairesel koninin ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu, kartonun yarıçapı olan L=12 cmL = 12\text{ cm} olur. Koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olmak üzere, dik üçgenden r2+h2=122=144  ⟹  r2=144−h2r^2 + h^2 = 12^2 = 144 \implies r^2 = 144 - h^2 bağıntısı elde edilir.
Koninin hacmini tek bir değişkenler cinsinden ifade edebilmek amacıyla yükseklik ile yarıçap arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.
2
Koninin hacim fonksiyonunu yükseklik (hh) cinsinden yazmak.
V(h)=13πr2h=13π(144−h2)h=π3(144h−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (144 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (144h - h^3)
Maksimum hacmi bulmak için hacim formülünde r2r^2 yerine hh cinsinden eşiti yazılarak tek değişkenli fonksiyona geçiş yapılır.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulmak.
V′(h)=π3(144−3h2)=0  ⟹  144−3h2=0  ⟹  3h2=144  ⟹  h2=48  ⟹  h=43 cmV'(h) = \frac{\pi}{3} (144 - 3h^2) = 0 \implies 144 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = 144 \implies h^2 = 48 \implies h = 4\sqrt{3}\text{ cm}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını (maksimum/minimum noktaları) bulmak için türevin sıfır olduğu değerler incelenir.
4
Bulunan h=43h = 4\sqrt{3} değerinin maksimum hacmi verdi��ini doğrulamak.
h∈(0,12)h \in (0, 12) aralığında V′(h)V'(h) türevinin işaret tablosu incelendiğinde, h=43h = 4\sqrt{3} noktasına kadar fonksiyonun artan, bu noktadan sonra azalan olduğu görülür. Dolayısıyla bu değer maksimum hacmi verir.
Kritik noktanın gerçekten yerel maksimum noktası olduğunu garanti etmek için işaret incelemesi yapılır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde değişkenlerin birbirine bağlanması, tek değişkenli fonksiyon oluşturulması ve bu fonksiyonun türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi.
Soru 2080Soru →

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı toplam 40 metre40\text{ metre} tel örgüyle çevrilecektir. Buna göre, bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanı en çok 200 metrekare200\text{ metrekare} olabilir.
Bahçenin duvara dik kenarları xx metre olarak seçildiğinde, tel ile çevrilecek diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur. Alan fonksiyonu A(x)=40x−2x2A(x) = 40x - 2x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10 elde edilir. Bu değer fonksiyon yerine konulduğunda alan en fazla A(10)=10⋅(40−20)=200 metrekareA(10) = 10 \cdot (40 - 20) = 200\text{ metrekare} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bahçenin kenar uzunluklarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
Bahçenin duvara dik olan kenarları xx metre ise, diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Toplam tel uzunluğu 40 metre40\text{ metre} olduğundan tel ile çevrilen üç kenarın toplamı 2x+y=402x + y = 40 eşitliğini sağlamalıdır.
2
Alan fonksiyonunu yazın.
A(x)=x⋅(40−2x)=40x−2x2A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının çarpımına eşittir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplayın.
A(10)=10⋅20=200A(10) = 10 \cdot 20 = 200
x=10x = 10 değeri için alan fonksiyonu en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Alan fonksiyonu A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Parabollerin en büyük veya en küçük değeri tepe noktasında (r=−b/(2a)r = -b/(2a)) oluşur. Burada r=−40/(2⋅(−2))=10r = -40 / (2 \cdot (-2)) = 10 olur. Maksimum alan ise A(10)=−2(10)2+40(10)=200 m2A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = 200\text{ m}^2 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 104 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin