Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2041Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=12x2−4xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.
f′(x)=x−4  ⟹  f′(x2−3x)=x2−3x−4f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4 ve g′(x)=(x2−3x−4)(2x−3)g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)
Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.
g′(x)=(x−4)(x+1)(2x−3)=0  ⟹  x1=−1,x2=1.5,x3=4g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4
İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
4
g′(x)≤0g'(x) \leq 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.
Azalan olduğu aralıklar: (−∞,−1](-\infty, -1] ve [1.5,4][1.5, 4]
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.
5
Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4 ve toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
(−∞,−1](-\infty, -1] aralığında pozitif tam sayı yoktur. [1.5,4][1.5, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 2,32, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2042Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu veriliyor. [0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı U¨Ü hesaplanıyor.

Buna göre, U¨−AÜ - A farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. [0,3][0, 3] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonu bu aralıkta artan olduğundan, Riemann alt toplamı alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerlerle A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 8 olarak hesaplanır. Riemann üst toplamı ise sağ uç noktalardaki değerlerle U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 17 olarak elde edilir. Bu iki toplamın farkı U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini (Δx \Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 elde edilir. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarında her bir dikdörtgenin taban genişliğini belirlemek gerekir.
2
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun verilen aralıktaki artanlık durumunu inceleyerek alt ve üst toplam için fonksiyon değerlerini belirleyin.
f′(x)=2x>0f'(x) = 2x > 0 olduğundan fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artandır. Bu nedenle Riemann alt toplamı için aralıkların sol uç değerleri (x=0,1,2x = 0, 1, 2), Riemann üst toplamı için ise sağ uç değerleri (x=1,2,3x = 1, 2, 3) kullanılır.
Artan fonksiyonlarda alt toplam sol uç noktalarla, üst toplam ise sağ uç noktalarla hesaplanır.
3
Riemann alt toplamını (AA) ve Riemann üst toplamını (U¨Ü) hesaplayıp aralarındaki farkı bulun.
A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=1⋅(1+2+5)=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 \cdot (1 + 2 + 5) = 8 ve U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=1⋅(2+5+10)=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (2 + 5 + 10) = 17 bulunur. Buradan U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 elde edilir.
Soruda istenen üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulmak için elde edilen değerler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması ve artan/azalan fonksiyonlarla ilişkisi.
Soru 2043Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.
Verilen [1,4][1, 4] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı 3+5+7=153+5+7=15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme
Genişlik Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4]
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme
Sol uç noktalar seçilir: x=1,2,3x = 1, 2, 3
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.
3
Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3, f(2)=5f(2) = 5, f(3)=7f(3) = 7
Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.
4
Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
1⋅3+1⋅5+1⋅7=151 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15
Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.
Soru 2044Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x3−g(2x))=3x2−4x+1f(x^3 - g(2x)) = 3x^2 - 4x + 1
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3
f′(−2)=2f'(-2) = 2
olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 1 değeridir.
Verilen fonksiyon eşitliğinde her iki tarafın türevi zincir kuralına uygun şekilde alındığında f′(x3−g(2x))⋅(3x2−2g′(2x))=6x−4f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4 denklemi elde edilir. Burada x=1x = 1 yazılıp bilinen değerler yerine konulduğunda g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır. Sol tarafta bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı uygulanır.
f′(x3−g(2x))⋅(3x2−2g′(2x))=6x−4f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre [f(u(x))]′=f′(u(x))⋅u′(x)[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) ve zincir kuralına göre [g(2x)]′=2g′(2x)[g(2x)]' = 2g'(2x) olur.
2
Verilen g(2)=3g(2) = 3 ve f′(−2)=2f'(-2) = 2 değerlerini denklemde yerine koyabilmek amacıyla türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılır.
f′(1−g(2))⋅(3⋅12−2g′(2))=6⋅1−4  ⟹  f′(−2)⋅(3−2g′(2))=2f'(1 - g(2)) \cdot (3 \cdot 1^2 - 2g'(2)) = 6 \cdot 1 - 4 \implies f'(-2) \cdot (3 - 2g'(2)) = 2
x=1x = 1 seçildiğinde türevlenebilir fonksiyonların içindeki ifadeler bilinen değerlerle eşleşir.
3
Verilen f′(−2)=2f'(-2) = 2 değeri yerine yazılarak denklem g′(2)g'(2) için çözülür.
2⋅(3−2g′(2))=2  ⟹  3−2g′(2)=1  ⟹  2g′(2)=2  ⟹  g′(2)=12 \cdot (3 - 2g'(2)) = 2 \implies 3 - 2g'(2) = 1 \implies 2g'(2) = 2 \implies g'(2) = 1
Ende edilen birinci dereceden denklem çözülerek aranan türev değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2045Soru →
f(x)=x33−9x2+45x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.
Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.
f′(x)=x2−18x+45=(x−3)(x−15)f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)
Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.
2
Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.
3
f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.
g′(x)=2(x−1)(x2−2x−3)(x2−2x−15)=2(x−1)(x−3)(x+1)(x−5)(x+3)g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)
Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.
4
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.
Kökler: −3,−1,1,3,5-3, -1, 1, 3, 5
İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.
5
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) aralıklarını belirleyin.
Azalan aralıklar: (−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,5](-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]
Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.
6
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.
1+3+4+5=131 + 3 + 4 + 5 = 13
Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.
Soru 2046Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b)
eşitliği sağlanmaktadır.

aa ve bb birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları arasındaki uzaklık 20\sqrt{20} birimdir.

Buna göre, ∣a−b∣|a-b| değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22 değeri doğrudur.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olup, fonksiyonun ordinat değerleri arasındaki farkın mutlak değeri ∣f(a)−f(b)∣=∣a−b∣32|f(a)-f(b)| = \frac{|a-b|^3}{2} şeklinde elde edilir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d2+d64=20d^2 + \frac{d^6}{4} = 20 denklemi yazılır ve buradan d=2d = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleme
Türev fonksiyonu olan f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b) ifadesinin kökleri x=ax = a ve x=bx = b'dir. a≠ba \neq b olduğundan, türev bu noktalarda işaret değiştirir ve dolayısıyla ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olur.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği kökleridir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatları arasındaki farkı cebirsel olarak ifade etme
f′(x)=3x2−3(a+b)x+3abf'(x) = 3x^2 - 3(a+b)x + 3ab integral alınarak fonksiyon f(x)=x3−32(a+b)x2+3abx+Cf(x) = x^3 - \frac{3}{2}(a+b)x^2 + 3abx + C şeklinde elde edilir. Buradan f(a)−f(b)=−12(a−b)3f(a) - f(b) = -\frac{1}{2}(a-b)^3 bulunur.
Noktalar arasındaki uzaklığı hesaplamak için ekstremum noktalarının koordinatları belirlenmelidir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
A(a,f(a))A(a, f(a)) ve B(b,f(b))B(b, f(b)) noktaları arasındaki uzaklık d=(a−b)2+(f(a)−f(b))2d = \sqrt{(a-b)^2 + (f(a)-f(b))^2} formülüyle hesaplanır. Buradan (a−b)2+(a−b)64=20(a-b)^2 + \frac{(a-b)^6}{4} = 20 elde edilir.
İki noktanın koordinatları bilindiğinde aralarındaki uzaklık Pisagor teoremi yardımıyla bulunur.
4
Elde edilen denklemi çözerek ∣a−b∣|a-b| değerini bulma
u=(a−b)2u = (a-b)^2 dönüşümü yapılırsa, u+u34=20  ⟹  u3+4u−80=0u + \frac{u^3}{4} = 20 \implies u^3 + 4u - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin tek gerçel kökü u=4u = 4'tür. Buradan ∣a−b∣=4=2|a-b| = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Cebirsel dereceyi düşürerek ∣a−b∣|a-b| değerini elde etmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri türevinin tek katlı kökleridir ve bu noktalar arasındaki geometrik uzaklık iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.
Soru 2047Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(2x−g(x))=x2−3x+4f(2x - g(x)) = x^2 - 3x + 4
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4
olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

−12-\frac{1}{2}
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı uyarınca sol tarafta f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) ifadesi oluşur. Denklemde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak amacıyla x=2x = 2 yazılır. Soruda verilen g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=4g'(2) = 4 değerleri yerine konduğunda f′(1)⋅(2−4)=4−3f'(1) \cdot (2 - 4) = 4 - 3 denklemi elde edilir. Buradan f′(1)⋅(−2)=1f'(1) \cdot (-2) = 1 olup doğru sonuç −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevini alın.
f′(2x−g(x))⋅(2−g′(x))=2x−3f'(2x - g(x)) \cdot (2 - g'(x)) = 2x - 3
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Elde edilen türev denkleminde f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için 2x−g(x)=12x - g(x) = 1 eşitliğini sağlayan xx değerini belirleyin.
x=2x = 2 için 2(2)−g(2)=4−3=12(2) - g(2) = 4 - 3 = 1 elde edilir.
Soruda g(2)=3g(2) = 3 bilgisi verildiği için x=2x = 2 yazıldığında bileşke fonksiyonun içinin 11 olduğu görülür.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak bilinen g′(2)=4g'(2) = 4 değerini yerine yerleştirin ve f′(1)f'(1) değerini yalnız bırakın.
f′(1)⋅(2−g′(2))=2(2)−3⇒f′(1)⋅(2−4)=1⇒f′(1)⋅(−2)=1⇒f′(1)=−12f'(1) \cdot (2 - g'(2)) = 2(2) - 3 \Rightarrow f'(1) \cdot (2 - 4) = 1 \Rightarrow f'(1) \cdot (-2) = 1 \Rightarrow f'(1) = -\frac{1}{2}
Verilen türev değerleri denklemde yerine konularak basit bir birinci dereceden denklem çözümüyle bilinmeyen türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.

Alternatif Yöntem

Zincir kuralı formülü doğrudan uygulanmak yerine, diferansiyel gösterimi kullanılarak u=2x−g(x)u = 2x - g(x) dönüşümüyle dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx) bağıntısı üzerinden de çözüm gerçekleştirilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2048Soru →
∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegral tanımı kullanılarak elde edilen 2 değeri
Belirsiz integralin tanımı gereği, bir fonksiyonun integralinin türevi kendisine eşittir. ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C ise F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) olur. Verilen ∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C eşitliğinde her iki tarafın türevi alınırsa sol tarafta integral işareti kalkar ve f(x)f(x) kalır, sağ tarafın türevi ise 2x−42x - 4 olur. Böylece f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=2⋅3−4=2f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alarak integral işaretini kaldırın.
ddx(∫f(x) dx)=ddx(x2−4x+C)\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + C)

f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak sonucu hesaplayın.
f(3)=2(3)−4=2f(3) = 2(3) - 4 = 2
Soruda bizden f(3)f(3) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki
Soru 2049Soru →
Doğrusal bir yol boyunca hareket eden bir hareketlinin zamana (tt, saniye) bağlı konum fonksiyonu
s(t)=t2+ts(t) = t^2 + t
metre olarak verilmiştir.

Buna göre,
I. Hareketlinin [1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hızı 5 m/s5\text{ m/s}'dir.
II. Hareketlinin t=2t = 2. saniyedeki anlık hızı 6 m/s6\text{ m/s}'dir.
III. Hareketlinin t=3t = 3. saniyedeki anlık hızı 7 m/s7\text{ m/s}'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III öncülleri doğrudur.
I ve III öncüllerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü [1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hız s(3)−s(1)3−1=5 m/s\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = 5\text{ m/s} ve t=3t=3 anındaki anlık hız s′(3)=7 m/ss'(3) = 7\text{ m/s} olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalama hızın hesaplanması
[1,3][1, 3] saniye aralığındaki ortalama hız s(3)−s(1)3−1=12−22=5 m/s\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5\text{ m/s} olarak bulunur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Bir fonksiyonun belli bir aralıktaki ortalama değişim oranı (ortalama hızı), fonksiyon değerlerinin farkının bağımsız değişkenlerin farkına oranına eşittir.
2
Konum fonksiyonunun türevinin (hız fonksiyonunun) bulunması
s′(t)=2t+1s'(t) = 2t + 1 hız fonksiyonu elde edilir.
Bir hareketlinin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre anlık değişim oranıdır ve bu da konum fonksiyonunun türevi ile bulunur.
3
t=2t = 2 noktasındaki anlık hızın hesaplanması
s′(2)=2(2)+1=5 m/ss'(2) = 2(2) + 1 = 5\text{ m/s} olarak bulunur. Öncüldeki 6 m/s6\text{ m/s} ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
t=2t=2 noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda t=2t=2 yazılarak hesaplanır.
4
t=3t = 3 noktasındaki anlık hızın hesaplanması
s′(3)=2(3)+1=7 m/ss'(3) = 2(3) + 1 = 7\text{ m/s} olarak bulunur. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
t=3t=3 noktasındaki anlık hız, hız fonksiyonunda t=3t=3 yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Anlık değişim oranı türeve eşittir. Ortalama değişim oranı ise fonksiyon değerlerinin değişiminin zaman aralığına oranıdır.
Soru 2050Soru →

f:[2,8]→Rf: [2, 8] \rightarrow \mathbb{R} sürekli ve artan bir fonksiyondur. [2,8][2, 8] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

Bu bölüntüye göre; ff fonksiyonunun [2,8][2, 8] aralığındaki Riemann alt toplamı AA, Riemann üst toplamı UU ve belirli integral değeri I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. A<I<UA < I < U
II. U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)
III. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için U−A=40U - A = 40 olur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonda Riemann alt toplamı belirli integralden küçük, Riemann üst toplamı ise büyüktür. Bu nedenle A<I<UA < I < U ifadesi her zaman doğrudur. Riemann üst ve alt toplamlarının farkı ise U−A=(f(8)−f(2))⋅ΔxU - A = (f(8) - f(2)) \cdot \Delta x formülüyle bulunur. Eşit aralıklı bölüntüde Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olduğundan U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot (f(8) - f(2)) elde edilir ve bu ifade de her zaman doğrudur. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için fark (f(8)−f(2))⋅63=(64−4)⋅2=120(f(8) - f(2)) \cdot \frac{6}{3} = (64 - 4) \cdot 2 = 120 olur, dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır. Bu yüzden doğru cevap 'I ve II' öncüllerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık özelliğine göre Riemann toplamları ile integral değerinin büyüklük ilişkisini belirlemek.
A<I<UA < I < U eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu bulunur.
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun minimum de��eri sol uçta, maksimum değeri ise sağ uçta alınır. Bu durum alt toplamın integralden küçük, üst toplamın ise integralden büyük olmasını gerektirir.
2
Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki farkın genel formülünü türetmek.
U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big) elde edilir.
Eş alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8 - 2}{n} = \frac{6}{n} dir. Alt toplam sol uç değerleriyle, üst toplam ise sağ uç değerleriyle hesaplanır. Fark alındığında aradaki tüm terimler sadeleşir ve geriye yalnızca sınır değerleri kalır: (f(8)−f(2))⋅Δx(f(8) - f(2)) \cdot \Delta x.
3
Üçüncü öncülde verilen özel durumu formül yardımıyla hesaplamak.
U−A=120U - A = 120 bulunur.
n=3n = 3 için Δx=2\Delta x = 2 olur. f(x)=x2f(x) = x^2 için f(8)=64f(8) = 64 ve f(2)=4f(2) = 4 olduğundan fark (64−4)⋅2=120(64 - 4) \cdot 2 = 120 olur. Öncüldeki 40 değeri yanlıştır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve aralarındaki farkın hesaplanması
Soru 2051Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

lim⁡x→0a+xsin⁡(3x)−a−xsin⁡(3x)cos⁡(2x)−1=b\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x \sin(3x)} - \sqrt{a - x \sin(3x)}}{\cos(2x) - 1} = b

eşitliği veriliyor.

b<0b < 0 olduğuna göre, a⋅b2a \cdot b^2 çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 94\frac{9}{4}

Cevap

9/4 değeri
Limit hesaplandığında b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} bulunur. Buradan a=−32b\sqrt{a} = -\frac{3}{2b} ve her iki tarafın karesi alınarak a⋅b2=94a \cdot b^2 = \frac{9}{4} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunu tespit etme
x→0x \to 0 için pay a−a=0\sqrt{a} - \sqrt{a} = 0 ve payda cos⁡(0)−1=0\cos(0) - 1 = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü belirlemek gerekir.
2
Payın eşleniği ile çarpma işlemi
İfadenin pay ve paydası a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x)\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)} ile çarpıldığında pay kısmı (a+xsin⁡(3x))−(a−xsin⁡(3x))=2xsin⁡(3x)(a + x\sin(3x)) - (a - x\sin(3x)) = 2x\sin(3x) olur.
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır.
3
Paydadaki trigonometrik ifadeyi yarım açı formülü ile yazma
Paydadaki cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesi yerine −2sin⁡2(x)-2\sin^2(x) yazılır.
Limit sadeleştirmesi yapabilmek için paydadaki ifadeyi sin⁡(x)\sin(x) cinsinden ifade etmek gerekir.
4
Limiti çarpanlarına ayırarak hesaplama
Limit lim⁡x→0[xsin⁡(x)⋅sin⁡(3x)sin⁡(x)⋅2−2(a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x))]\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \frac{2}{-2(\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)})} \right] şeklinde yazılır. x→0x \to 0 için limit değerleri sırasıyla 11, 33 ve −12a-\frac{1}{2\sqrt{a}} olup çarpımları b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} olur.
Bilinen lim⁡u→0sin⁡(u)u=1\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 limit özelliğini kullanabilmek için ifade düzenlenir.
5
İstenen çarpım değerini bulma
b=−32a  ⟹  a=−32b  ⟹  a=94b2  ⟹  a⋅b2=94b = -\frac{3}{2\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = -\frac{3}{2b} \implies a = \frac{9}{4b^2} \implies a \cdot b^2 = \frac{9}{4} bulunur.
Elde edilen limit eşitliğinden yararlanılarak a⋅b2a \cdot b^2 değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak limit hesabı
Soru 2052Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

II. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında sürekli ve ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

III. ff fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilir ise ∣f∣|f| fonksiyonu x=ax = a noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesi her zaman doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri bir noktada türevlenebiliyorsa, o noktada fonksiyonun kendisi भी türevlenebilirdir. Eğer fonksiyonun o noktadaki değeri sıfırdan farklıysa fonksiyon işaret değiştirmediği için türevlenebilirlik korunur; eğer sıfıra eşitse mutlak değer fonksiyonu orada bir yerel minimuma sahip olur ve bu da türev değerinin sıfır olmasını gerektirerek orijinal fonksiyonun da türevini sıfır yapar.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek geliştirmek.
f(x)=1f(x) = 1 (x≥ax \geq a için) ve f(x)=−1f(x) = -1 (x<ax < a için) olarak tanımlanan parçalı fonksiyon ele alındığında, ∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Sabit fonksiyon olan ∣f∣|f| her yerde (ve dolayısıyla x=ax = a noktasında) türevlenebilirdir. Ancak ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sağdan limiti 11, soldan limiti −1-1 olduğundan bu noktada sürekli değildir.
Bir ��nermenin genel geçerliliğini çürütmek için en az bir karşıt örnek göstermek yeterlidir.
2
II. ifadenin ispatını iki ayrı durum (f(a)≠0f(a) \neq 0 ve f(a)=0f(a) = 0) altında gerçekleştirmek.
Durum 1: f(a)≠0f(a) \neq 0 olsun. Süreklilik nedeniyle aa noktasının küçük bir komşuluğunda ff işaret değiştirmez. Bu komşulukta ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) veya ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur. ∣f∣|f| türevlenebildiğinden ff de türevlenebilirdir. Durum 2: f(a)=0f(a) = 0 olsun. ∣f(x)∣≥0=∣f(a)∣|f(x)| \geq 0 = |f(a)| olduğundan x=ax=a noktası ∣f∣|f| için bir yerel minimumdur. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumundaki türevi 00 olacağından (∣f∣)′(a)=0(|f|)'(a) = 0 olur. Buradan \lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = 0 \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0 olur. olur. f(a)=0 oldug˘undanbulimit olduğundan bu limit f'(a) = 0$ olduğunu gösterir.
Sürekli bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasının, fonksiyonun kendi türevlenebilirliğini gerektirdiğini matematiksel olarak doğrulamak.
3
III. ifadenin doğruluğunu incelemek için bir karşıt örnek bulmak.
f(x)=x−af(x) = x - a doğrusal fonksiyonu her yerde ve dolayısıyla x=ax = a noktasında türevlenebilirdir (f′(a)=1f'(a) = 1). Ancak ∣f(x)∣=∣x−a∣|f(x)| = |x - a| fonksiyonunun x=ax = a noktasında grafiğinde bir sivri uç (kırılma) oluşur. Bu noktada sağdan türev 11, soldan türev −1-1 olduğundan ∣f∣|f| fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevi yoktur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun mutlak değerinin, fonksiyonun sıfır değerini aldığı noktalarda türevini kaybedebileceğini göstermek.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki mantıksal ilişki ve mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilme koşulları.
Soru 2053Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(x)=x2−2x+2g(x) = x^2 - 2x + 2

eşitliği verilmektedir.
f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=3f'(2) = 3

olduğuna göre, h(x)=(f∘f)(x)+(f∘g)(x)h(x) = (f \circ f)(x) + (f \circ g)(x) biçiminde tanımlanan hh fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Soruda istenen türev değeri 15'tir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı zincir kuralına dayanır. h′(x)=f′(f(x))⋅f′(x)+f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x) ifadesinde verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)h(x) fonksiyonunun türev ifadesini bileşke fonksiyonun türev kuralını kullanarak yazmak
h′(x)=f′(f(x))⋅f′(x)+f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki değerini ve türevini bulmak
g(2)=2g(2) = 2 ve g′(2)=2g'(2) = 2
Türev ifadesinde g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
3
Elde edilen değerleri h′(2)h'(2) ifadesinde yerine yazıp sonucu hesaplamak
h′(2)=3⋅3+3⋅2=15h'(2) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15
Verilen f(2)=2f(2) = 2, f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri ve hesaplanan g(2)=2g(2) = 2, g′(2)=2g'(2) = 2 değerleri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2054Soru →
f(x)=∣x2−9∣−axf(x) = |x^2 - 9| - ax fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tam olarak 3 tane yerel ekstremum noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Fonksiyonun 3 yerel ekstremum noktasına sahip olmasını sağlayan 11 farklı tam sayı değeri vardır.
Fonksiyonun tam olarak 3 adet yerel ekstremum noktasına sahip olabilmesi için −6<a<6-6 < a < 6 koşulunun sağlanması gerekir. Bu aralıkta yer alan tam sayıların sayısı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktalarını belirleyip fonksiyonu parçalı biçimde yazın.
x<−3x < -3 veya x>3x > 3 için f(x)=x2−ax−9f(x) = x^2 - ax - 9; −3<x<3-3 < x < 3 için f(x)=9−x2−axf(x) = 9 - x^2 - ax elde edilir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi, fonksiyonun farklı aralıklardaki cebirsel ifadesini belirlemek için gereklidir.
2
Aralıklara göre fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyin.
∣x∣>3|x| > 3 için f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a ve buradan kritik nokta x=a/2x = a/2 bulunur. ∣x∣<3|x| < 3 için f′(x)=−2x−af'(x) = -2x - a ve buradan kritik nokta x=−a/2x = -a/2 bulunur.
Ekstremum noktalarının bulunabilmesi için türevin işaret değiştirdiği yerel noktalar veya köşeler aranmalıdır.
3
Ekstremum noktası sayısının tam olarak 3 olması için gereken parametre sınırını analiz edin.
−6<a<6-6 < a < 6 olduğunda x=−a/2x = -a/2 noktası (−3,3)(-3, 3) aralığına düşer ve yerel maksimum olur. Aynı zamanda türevin bu aralıktaki sınırlarında (x=−3x = -3 ve x=3x = 3) işaret değişimi gerçekleşerek iki adet yerel minimum noktası oluşur. Toplamda 3 ekstremum noktası elde edilir.
Parametrenin sınır değerleri aşıldığında türevin kökleri ilgili aralıkların dışına çıkmakta ve köşe noktalarında yön değişimi engellendiği için ekstremum sayısı 1'e düşmektedir.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
−6<a<6-6 < a < 6 aralığındaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olup 11 adettir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısını belirleyerek sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Fonksiyonun türevlenemediği köşe noktalarında da (sağ ve sol türev işaretleri zıt olmak koşuluyla) ekstremum noktaları bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2055Soru →

aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−ax∣x−a∣,x<a2x−a2,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax}{|x - a|}, & x < a \\ 2x - a^2, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşitliğinden elde edilen pozitif gerçel sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması için sol limit (-a) ile sağ limit (2a - a^2) eşit olmalıdır. Buradan a^2 - 3a = 0 elde edilir. a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limitin varlık koşulunu hatırlayarak sol limiti belirlemek için yaklaşım yönünü incelemek.
x, a'ya soldan yaklaşırken (x < a) x - a < 0 olur.
Sol limit hesaplanırken kritik noktanın solundaki değerler temel alınır.
2
Mutlak değerli ifadenin işaretini belirleyip belirsizliği gidermek.
|x - a| = -(x - a) olduğundan, sol limit değeri \lim_{x \to a^-} \frac{x(x-a)}{-(x-a)} = \lim_{x \to a^-} (-x) = -a olarak bulunur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için mutlak değer işareti dışına çıkarma kuralları uygulanır.
3
Sağ limiti hesaplamak.
\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (2x - a^2) = 2a - a^2 olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken x >= a aralığındaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitleri eşitlemek ve oluşan denklemi çözmek.
-a = 2a - a^2 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin olması için sağ ve sol limitler birbirine eşit olmalıdır.
5
Soruda verilen a'nın pozitif gerçel sayı olması koşulunu uygulamak.
a > 0 olduğundan a = 3 olarak bulunur.
a = 0 değeri pozitiflik koşulunu sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin eşitliği ve mutlak değerin işaret analizi.
Soru 2056Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum değeri 0'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kritik noktalardan x=2x = 2 noktasında türev işaret değiştirerek negatiften pozitife geçmektedir. Bu yüzden x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır ve bu noktadaki fonksiyon değeri f(2)=0f(2) = 0 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
Ekstremum noktalarının apsislerini (kritik noktaları) bulmak için fonksiyonun türevi alınmalıdır.
2
Türevin kökleri (kritik noktalar) bulunur.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x1=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosu yapılarak yerel minimum noktası belirlenir.
x<0x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Bu durumda x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır.
Türevin işareti negatiften pozitife döndüğü nokta yerel minimum noktasıdır.
4
Yerel minimum noktasının ordinatı (yerel minimum değeri) hesaplanır.
f(2)=23−3(2)2+4=8−12+4=0f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
Yerel minimum değeri, bu noktanın fonksiyondaki görüntüsüdür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri bulunur ve işaret tablosu yardımıyla ekstremum noktalarının türü belirlenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2057Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
F(x)=∫x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxF(x) = \int \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx
eşitliği veriliyor.
f(1)=2f(1) = 2, F(1)=4F(1) = 4 ve f(3)=6f(3) = 6 olduğuna göre, F(3)F(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 33 olarak bulunur.
İntegrali alınacak ifade, bölümün türevi kuralına göre −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} fonksiyonunun türevidir. Bu sayede belirsiz integral F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C şeklinde elde edilir. Verilen başlangıç değerleri kullanılarak integral sabiti C=92C = \frac{9}{2} olarak bulunur. Sonrasında x=3x=3 yazılarak doğru sonuca (33) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadenin yapısını inceleme
İntegral içindeki x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2\frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} ifadesinin, bölümün türevi kuralı olan (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} formülü ile ilişkili olduğu görülür.
Karmaşık görünümlü integrallerde ifadenin hangi bilinen fonksiyonun türevi veya diferansiyeli olduğunu bulmak temel yöntemdir.
2
Bölüm türevi kuralını uygulama
d(−x2f(x))=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxd\left(-\frac{x^2}{f(x)}\right) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx olduğu doğrulanır.
x2f(x)\frac{x^2}{f(x)} ifadesinin türevi alındığında pay kısmında 2x⋅f(x)−x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) oluşur. Verilen integral bunun tam eksilisidir. Bu yüzden −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} ifadesi kullanılır.
3
İntegrali hesaplama ve integral sabitini (CC) bulma
F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C olur. x=1x=1 yazılarak F(1)=−1f(1)+C  ⟹  4=−12+C  ⟹  C=92F(1) = -\frac{1}{f(1)} + C \implies 4 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{9}{2} bulunur.
Belirsiz integral hesaplandıktan sonra ortaya çıkan integral sabitini (CC) bulabilmek için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
F(3)F(3) değerini hesaplama
F(3)=−32f(3)+92=−96+92=−32+92=3F(3) = -\frac{3^2}{f(3)} + \frac{9}{2} = -\frac{9}{6} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3 elde edilir.
Elde edilen genel F(x)F(x) fonksiyonunda istenen x=3x=3 değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı yardımıyla belirsiz integral alma ve integral sabiti hesabı

Alternatif Yöntem

Türevin tanımı kullanılarak eşitliğin her iki tarafının türevi alınabilir: F′(x)=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2F'(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}. Bu ifadenin F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C biçiminde bir fonksiyonun türevi olduğu görülerek aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2058Soru →
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığı eş alt aralıklara bölünerek elde edilen her Riemann üst toplamı, ∫153x dx\int_1^5 3^x \, dx belirli integralinin değerinden büyüktür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Verilen fonksiyon sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun alacağı en büyük değer sağ uç noktada gerçekleşir. Bu sağ uç noktalarla oluşturulan Riemann üst toplamı, integralin temsil ettiği alanın her zaman üstünde kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun belirlenmesi.
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡(3)>0f'(x) = 3^x \ln(3) > 0 olduğundan, fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır.
Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi belirlemek için fonksiyonun yönü tespit edilmelidir.
2
Riemann üst toplamı tanımının artan fonksiyonlar için incelenmesi.
Artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değeri o aralığın sağ ucunda gerçekleşir. Riemann üst toplamı da sağ uç değerlerle hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamı olduğundan, bu toplam integral eğrisinin üzerinde kalan alanları da kapsar.
Üst toplamın integral ile olan geometrik ilişkisini kurmak için.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisinin yazılması.
Her PP bölüntüsü için Riemann üst toplamı U¨(f,P)>∫153x dxÜ(f, P) > \int_1^5 3^x \, dx eşitsizliğini sağlar. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
İfadenin doğruluk değerini kesin olarak tayin etmek için.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonların Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki ilişki
Soru 2059Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=14x2+6f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6
g(x)=−14x2+4g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

ff fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir AA noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir BB noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları yy ekseni üzerindeki bir PP noktasında kesi��tiğine göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.
Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı −1-1'e eşitlendiğinde ab=4ab=4 elde edilir. Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse a2+b2=8a^2+b^2=8 denklemine ulaşılır. Buradan a2=4a^2=4 bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma
A(a,14a2+6)A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right) ve B(b,−14b2+4)B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)
Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.
2
Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama
m1=a2m_1 = \frac{a}{2} ve m2=−b2m_2 = -\frac{b}{2}
Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.
3
Doğruların diklik şartını uygulama
ab=4ab = 4
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
4
Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma
a2+b2=8a^2 + b^2 = 8
Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma
a2=4a^2 = 4 ve b2=4b^2 = 4
a2+b2=8a^2+b^2=8 ve a2b2=16a^2b^2=16 eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.
6
Kesişim noktasının ordinatını bulma
5
a2=4a^2=4 değeri teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.
Soru 2060Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığında 44 eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (2727), belirli integralin değerinden (803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67) daha büyüktür.
Verilen f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığındaki Riemann orta toplamı 2727 olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise 803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67 olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme
Aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 ve orta noktalar: m1=05m_1 = 0{}5, m2=15m_2 = 1{}5, m3=25m_3 = 2{}5, m4=35m_4 = 3{}5
Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.
2
Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama
f(05)=1175f(0{}5) = 11{}75, f(15)=975f(1{}5) = 9{}75, f(25)=575f(2{}5) = 5{}75, f(35)=−025f(3{}5) = -0{}25
Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.
3
Riemann orta toplamını (SortaS_{orta}) hesaplama
Sorta=[f(05)+f(15)+f(25)+f(35)]⋅Δx=(1175+975+575−025)⋅1=27S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27
Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.
4
Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma
∫04(12−x2) dx=[12x−x33]04=48−643=803≈2667\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67 ve 27>266727 > 26{}67 olduğu görülür.
İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
ÖncekiSayfa 103 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin