Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2561Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+kx+12f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar AA ve BB, yy-eksenini kestiği nokta ise CC'dir.

AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları arasında ∣OB∣=3∣OA∣|OB| = 3|OA| bağıntısı vardır.

DD noktası, bu parabol üzerinde bulunan, ordinatı CC noktasının ordinatına eşit ve apsisi sıfırdan farklı olan bir noktadır.

Buna göre, köşeleri AA, BB, DD ve CC noktaları olan ACDBACDB yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Yamuğun alanı 72 birimkaredir.
Yamuğun alt taban uzunluğu |AB| = 8 birim, üst taban uzunluğu |CD| = 4 birim ve yüksekliği h = 12 birimdir. Alan formülü uygulandığında ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0) ve B(6, 0) noktaları elde edilir.
f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün y-eksenini kestiği nokta C(0, 12) olup, x-eksenini kestiği noktaların çarpımı x_1 * x_2 = -12'dir. Kökler zıt işaretlidir. Uzaklık ilişkisi |OB| = 3|OA| olduğundan pozitif kök, negatif kökün mutlak değerinin 3 katıdır. Buradan x_1 = -2 ve x_2 = 6 bulunur.
2
Parabolün k katsayısını ve D noktasını bulma
k = 4 ve D(4, 12) elde edilir.
Kökler toplamı x_1 + x_2 = -2 + 6 = 4'tür. Denklemden kökler toplamı k olduğundan k = 4 bulunur. D noktasının ordinatı C(0,12) ile aynı ve apsisi sıfırdan farklıdır. -x^2 + 4x + 12 = 12 denklemi çözüldüğünde x = 0 veya x = 4 bulunur. Apsisi sıfırdan farklı olduğu için D(4, 12) noktası elde edilir.
3
ACDB yamuğunun alanını hesaplama
Yamuğun alanı 72 birimkare olarak bulunur.
Yamuğun alt tabanı x-ekseni üzerinde olup [AB] segmentinin uzunluğu 6 - (-2) = 8 birimdir. Üst tabanı y = 12 doğrusu üzerinde olup [CD] segmentinin uzunluğu 4 - 0 = 4 birimdir. Yamuğun yüksekliği, iki paralel doğru arasındaki mesafe olan 12 birimdir. Yamuk alanı formülünden Alan = ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkaredir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün simetri özelliği kullanılarak koordinat düzleminde geometrik alan hesabı.
Soru 2562Soru →

Bir çemberin üzerine sırasıyla AA, BB, CC ve DD noktaları işaretlenerek bir ABCDABCD kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}
* ∣CD∣=8 cm|CD| = 8\text{ cm}
* m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha
* m(CAD^)=βm(\widehat{CAD}) = \beta

α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Çemberin yar��çapı 55 cm'dir.
Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde ABCABC ve ACDACD üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla sin⁡α=3R\sin \alpha = \frac{3}{R} ve sin⁡β=4R\sin \beta = \frac{4}{R} bağıntıları kurulur. α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğundan sin⁡β=cos⁡α=4R\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R} yazılabilir. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel özdeşliği kullanıldığında 9R2+16R2=1  ⟹  R=5\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin yarıçapını RR kabul ederek, ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.
ABCABC ��çgeninde ABAB kenarı için: ∣AB∣sin⁡α=2R  ⟹  sin⁡α=62R=3R\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}
ACDACD üçgeninde CDCD kenarı için: ∣CD∣sin⁡β=2R  ⟹  sin⁡β=82R=4R\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R} elde edilir.
Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
2
α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ bilgisini kullanarak sin⁡β\sin \beta ifadesini α\alpha açısının kosinüsü cinsinden yazalım.
sin⁡β=sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha olur. Buradan cos⁡α=4R\cos \alpha = \frac{4}{R} elde edilir.
Toplamları 90∘90^\circ olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
3
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak RR değerini bulalım.
(3R)2+(4R)2=1  ⟹  9R2+16R2=1  ⟹  25R2=1  ⟹  R2=25  ⟹  R=5\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5 cm bulunur.
Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Soru 2563Soru →

Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından itibaren geçen tt (gün) süresine bağlı olarak

P(t)=L−(L−P0)e−k⋅tP(t) = L - (L - P_0)e^{-k \cdot t}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu modelde;
* LL, işçinin ulaşabileceği maksimum günlük ürün sayısını,
* P0P_0, işçinin işe başladığı andaki (başlangıçtaki) günlük ürün sayısını,
* kk ise öğrenme katsayısı olan pozitif bir sabiti

temsil etmektedir. Bu fabrikada işe yeni başlayan bir işçinin maksimum kapasitesi günlük 80 ürün, başlangıçtaki günlük ürün sayısı ise 20 üründür.

İşe başladıktan 5 gün sonra günlük 50 ürün üretebilen bu işçinin, günlük 70 ürün üretebilecek duruma gelmesi için işe başlamasından itibaren toplam kaç gün geçmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5log⁡265 \log_2 6

Cevap

İşçinin günlük 70 ürün üretebilmesi için işe başlamasından itibaren geçmesi gereken toplam süre 5log⁡265 \log_2 6 gündür.
Model denklemleri adım adım uygulandığında, işçinin üretim kapasitesinin 70'e ulaşması için geçen sürenin üstel denklemi 2t/5=62^{t/5} = 6 olarak bulunur. Bu denklemin çözümü logaritma tanımı gereği t=5log⁡26t = 5 \log_2 6 gün değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen başlangıç ve maksimum kapasite değerlerini modele yerleştirmek.
L=80L = 80 ve P0=20P_0 = 20 değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında model P(t)=80−(80−20)e−k⋅t=80−60e−k⋅tP(t) = 80 - (80 - 20)e^{-k \cdot t} = 80 - 60e^{-k \cdot t} halini alır.
Problemin sayısal verilerini modele uygulayarak fonksiyonu sadeleştirmek.
2
İşe başladıktan 5 gün sonraki kapasite değerini kullanarak modelin taban sabitini bulmak.
P(5)=50  ⟹  80−60e−5k=50  ⟹  60e−5k=30  ⟹  e−5k=12  ⟹  e−k=2−1/5P(5) = 50 \implies 80 - 60e^{-5k} = 50 \implies 60e^{-5k} = 30 \implies e^{-5k} = \frac{1}{2} \implies e^{-k} = 2^{-1/5} elde edilir.
Zamana bağlı üstel değişimi sağlayan temel sabiti belirlemek.
3
İşçinin günlük 70 ürün üreteceği hedef süreyi veren denklemi kurmak.
P(t)=70  ⟹  80−60e−k⋅t=70  ⟹  60e−k⋅t=10  ⟹  e−k⋅t=16P(t) = 70 \implies 80 - 60e^{-k \cdot t} = 70 \implies 60e^{-k \cdot t} = 10 \implies e^{-k \cdot t} = \frac{1}{6} bulunur.
İstenen hedef durumu matematiksel eşitliğe dökmek.
4
İkinci adımda bulunan e−ke^{-k} değerini yerine yazarak üstel denklemi logaritma yardımıyla çözmek.
(2−1/5)t=6−1  ⟹  2−t/5=6−1  ⟹  2t/5=6  ⟹  t5=log⁡26  ⟹  t=5log⁡26(2^{-1/5})^t = 6^{-1} \implies 2^{-t/5} = 6^{-1} \implies 2^{t/5} = 6 \implies \frac{t}{5} = \log_2 6 \implies t = 5 \log_2 6 olarak hesaplanır.
Bilinmeyen süre değişkenini logaritma kurallarıyla yalnız bırakıp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme ve azalış modellerinde bilinmeyen süreyi logaritma kullanarak çözme
Soru 2564Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a3⋅a7=36a_3 \cdot a_7 = 36
a1+a9=15a_1 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a32+a72a_3^2 + a_7^2 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90
Dizinin artan olma özelliği ve geometrik dizi kuralları doğru uygulandığında a1=3a_1=3, a9=12a_9=12 ve r2=2r^2=\sqrt{2} bulunur. Buradan a32+a72=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin simetri özelliğini kullanarak ortanca terimi bulma.
a5=6a_5 = 6 ve a1⋅a9=36a_1 \cdot a_9 = 36
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir. 3+7=1+9=103+7 = 1+9 = 10 olduğundan a3⋅a7=a1⋅a9=a52=36a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 36 olur.
2
İlk ve dokuzuncu terimleri bulmak için denklem sistemini çözme.
a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Çarpımları 36 ve toplamları 15 olan pozitif sayılar 3 ve 12'dir. Dizi artan olduğu için a1<a9a_1 < a_9 olmalıdır. Dolayısıyla a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12 bulunur.
3
Dizinin ortak çarpanının karesini (r2r^2) elde etme.
r2=2r^2 = \sqrt{2}
a9=a1⋅r8a_9 = a_1 \cdot r^8 bağıntısından 12=3⋅r8⇒r8=4⇒r2=212 = 3 \cdot r^8 \Rightarrow r^8 = 4 \Rightarrow r^2 = \sqrt{2} elde edilir.
4
İstenen üçüncü ve yedinci terimlerin değerlerini hesaplama.
a3=32a_3 = 3\sqrt{2} ve a7=62a_7 = 6\sqrt{2}
a3=a1⋅r2=32a_3 = a_1 \cdot r^2 = 3\sqrt{2} ve a7=a9/r2=12/2=62a_7 = a_9 / r^2 = 12 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2} olarak bulunur.
5
Kareler toplamını hesaplama.
a32+a72=90a_3^2 + a_7^2 = 90
a32+a72=(32)2+(62)2=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası çarpım simetrisi ve indis ilişkileri.
Soru 2565Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için dik koordinat düzleminde Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktaları tanımlanıyor. Bu noktaların tamamı aynı doğru üzerinde olup P2P_2 ve P5P_5 noktalarından geçen doğrunun eğimi 22'dir. a1⋅a3=64a_1 \cdot a_3 = 64 olduğuna göre, aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi olan a6a_6 değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 4, altıncı terimi ise 2048'dir.
Koordinat düzlemindeki noktaların doğrusallığı ve eğim formülü kullanılarak log⁡2(r)=2\log_2(r) = 2 elde edilir ve ortak çarpan r=4r=4 bulunur. Geometrik dizinin ardışık terim özelliği gereği a22=a1⋅a3=64a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 64 bağıntısından a2=8a_2 = 8 ve dolayısıyla a1=2a_1 = 2 bulunur. Genel terim formülüyle a6=a1⋅r5=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2048 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimi ile ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurma
m=log⁡2(r)=2m = \log_2(r) = 2 olup buradan dizinin ortak çarpanı r=4r = 4 olarak bulunur.
Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktalarının doğrusal olması, yn=log⁡2(an)y_n = \log_2(a_n) dizisinin bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki doğrunun eğimi, bu aritmetik dizinin ortak farkına eşittir: m=log⁡2(a5)−log⁡2(a2)5−2=log⁡2(a5/a2)3=log⁡2(r3)3=log⁡2(r)m = \frac{\log_2(a_5) - \log_2(a_2)}{5 - 2} = \frac{\log_2(a_5 / a_2)}{3} = \frac{\log_2(r^3)}{3} = \log_2(r).
2
Dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini kullanma
a2=8a_2 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizilerde birbirine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı özelliğinden dolayı a1⋅a3=a22a_1 \cdot a_3 = a_2^2 olur. a22=64a_2^2 = 64 ve dizi pozitif terimli olduğundan a2=8a_2 = 8 elde edilir.
3
Dizinin ilk terimini bulma
a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r bağıntısı kullanılarak 8=a1⋅4⇒a1=28 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
4
Altıncı terimi (a6a_6) hesaplama
a6=2048a_6 = 2048 olarak bulunur.
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak a6=a1⋅r5=2⋅45=2⋅1024=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin tanımı, terimleri arasındaki oran ve logaritma ile ilişkisi
Soru 2566Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan a6a_6 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 724

Cevap

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.
Ardışık terimlerin farkları olan an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n! bağıntısı n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5 için taraf tarafa toplandığında a6−a1=719a_6 - a_1 = 719 elde edilir. Buradan a1=5a_1 = 5 değeri eklenerek a6=724a_6 = 724 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını n=1n = 1 ile n=5n = 5 arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.
a2−a1=1⋅1!a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!, a3−a2=2⋅2!a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!, a4−a3=3⋅3!a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!, a5−a4=4⋅4!a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!, a6−a5=5⋅5!a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!
a6a_6 değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta a6a_6 teriminin oluşması gerekir.
2
Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.
a6−a1=1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+4⋅4!+5⋅5!a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!
Taraf tarafa toplama yapıldığında a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.
1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 2⋅2=42 \cdot 2 = 4, 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, 4⋅24=964 \cdot 24 = 96, 5⋅120=6005 \cdot 120 = 600 olup toplam 1+4+18+96+600=7191 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719 bulunur.
Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.
4
a1=5a_1 = 5 başlangıç koşulunu kullanarak a6a_6 değerini hesaplayın.
a6−5=719  ⟹  a6=724a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724
Teleskopik toplam denkleminde bilinen a1a_1 değerini yerine yazarak bilinmeyen a6a_6 terimini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi
Soru 2567Soru →
π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

a=cos⁡xb=cot⁡xc=csc⁡x\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir. 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında olduğundan, kosekant değeri olan 1/sin⁡x1/\sin x daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.
x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır.
Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
2
Kosekant (cc) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.
c=csc⁡x=1sin⁡xc = \csc x = \frac{1}{\sin x} olarak tanımlıdır. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri c>1c > 1 olur. Pozitif olan tek terim cc olduğundan en büyük değerdir.
Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.
3
Kosinüs (aa) ve kotanjant (bb) değerlerini karşılaştırma.
b=cot⁡x=cos⁡xsin⁡xb = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} şeklindedir. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan, 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan cos⁡x\cos x ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: cos⁡xsin⁡x<cos⁡x  ⟹  b<a\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a elde edilir. Sonuç olarak b<a<cb < a < c sıralaması bulunur.
Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.
Soru 2568Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1⋅a7−a42=−36a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36
a2⋅a4=45a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.
Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark r=2r = 2 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim a1=3a_1 = 3 elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi a8=a1+7r=17a_8 = a_1 + 7r = 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden ifade etmek.
−9r2=−36-9r^2 = -36 eşitliği elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.
2
Elde edilen denklemden ortak farkı (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden r>0r > 0 olmalıdır (r=−2r = -2 elenir).
3
İkinci denklemde terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp r=2r = 2 değerini yerine koymak.
(a1+2)(a1+6)=45(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45 denklemi elde edilir.
İlk terim olan a1a_1 değerini belirlemek için.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.
a1=3a_1 = 3 bulunur.
Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan a1=−11a_1 = -11 elenir.
5
Bulunan a1a_1 ve rr değerleriyle sekizinci terimi (a8a_8) hesaplamak.
a8=3+7⋅2=17a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terim formülü olan a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r bağıntısını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde a1=a4−3ra_1 = a_4 - 3r ve a7=a4+3ra_7 = a_4 + 3r yazılarak (a4−3r)(a4+3r)−a42=−36  ⟹  a42−9r2−a42=−36  ⟹  9r2=36  ⟹  r=2(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2 şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde a2=a3−2a_2 = a_3 - 2 ve a4=a3+2a_4 = a_3 + 2 yazılarak a32−4=45  ⟹  a3=7a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7 bulunur. Buradan da a8=a3+5r=7+10=17a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2569Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,

a+bsin⁡A+sin⁡B=R2−3\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç π\pi birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çevrel çemberin alanı 9π9\pi birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.
Sinüs Teoremi gereği asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (2R2R) eşit olacaktır. Buradan denklem 2R=R2−32R = R^2 - 3 biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü R=3R = 3 olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı πR2\pi R^2 formülünden 9π9\pi bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek
asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R
Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Orantı toplama özelliğini uygulamak
a+bsin⁡A+sin⁡B=2R\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R
Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.
3
Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek
2R=R2−3  ⟹  R2−2R−3=0  ⟹  (R−3)(R+1)=0  ⟹  R=32R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3
Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).
4
Dairenin alan formülünü uygulamak
Alan = πR2=π⋅32=9π\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi
Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.
Soru 2570Soru →
log⁡12(x2−2x−3)≥−5+log⁡12(x−3) \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3) \geq -5 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 28 farklı x tam sayı değeri vardır.
Logaritmanın tanım kümesi olan x > 3 koşulu ile azalan fonksiyondan kaynaklanan yön değiştirme sonucu elde edilen 3 <= x <= 31 eşitsizliğinin kesişimi 3 < x <= 31 aralığını verir. Bu aralıkta 28 adet tam sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki logaritma ifadelerinin tanım kümelerini belirlemek.
x > 3
Logaritması alınan ifadelerin (x^2 - 2x - 3 ve x - 3) sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu iki koşulun kesişimi x > 3 aralığını verir.
2
Eşitsizliğin sağ tarafını tek bir logaritma altında birleştirmek.
−5+log⁡12(x−3)=log⁡12(32(x−3))-5 + \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{\frac{1}{2}}(32(x-3))
-5 sayısı \log_{\frac{1}{2}}(32) olarak yazılabileceğinden logaritma toplama özelliği kullanılarak birleştirme yapılır.
3
Logaritma tabanının 1/2 olmasını dikkate alarak eşitsizliği çözmek.
3≤x≤313 \leq x \leq 31
Taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmalar kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x^2 - 2x - 3 \leq 32(x-3). Bu eşitsizlik düzenlendiğinde (x-3)(x-31) \leq 0 elde edilir.
4
Tan��m kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
3 < x \leq 31 aralığındaki tam sayılar (28 tane)
Tanım kümesi olan x > 3 ile elde edilen 3 \leq x \leq 31 aralığının kesişimi 3 < x \leq 31 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların adedi 31 - 4 + 1 = 28 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 2571Soru →

Bir video paylaşım platformuna aynı anda yüklenen A ve B videolarının tt saat sonraki toplam izlenme sayıları sırasıyla VA(t)V_A(t) ve VB(t)V_B(t) fonksiyonları ile modellenmiştir:

VA(t)=400001+3⋅2−0.1⋅tV_A(t) = \frac{40000}{1 + 3 \cdot 2^{-0.1 \cdot t}}
VB(t)=140001+5⋅3−0.1⋅tV_B(t) = \frac{14000}{1 + 5 \cdot 3^{-0.1 \cdot t}}

A videosunun izlenme sayısı 16000 olduğunda geçen süre t1t_1 saat, B videosunun izlenme sayısı 9000 olduğunda geçen süre t2t_2 saattir.

Buna göre, t1+t2t_1 + t_2 toplamı kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A videosunun izlenme sayısının 16000'e ulaştığı süre olan 10 saat ile B videosunun izlenme sayısının 9000'e ulaştığı süre olan 20 saatin toplamı 30'dur.
Verilen fonksiyonlarda izlenme sayıları sırasıyla 16000 ve 9000 değerlerine eşitlenerek t1t_1 ve t2t_2 süreleri sırasıyla 10 ve 20 olarak bulunur. Bu iki sürenin toplamı olan 30 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
A videosunun izlenme sayısını veren denklemde VA(t1)=16000V_A(t_1) = 16000 yazarak t1t_1 süresini hesaplamak.
t1=10t_1 = 10 saat
A videosunun 16000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
2
B videosunun izlenme sayısını veren denklemde VB(t2)=9000V_B(t_2) = 9000 yazarak t2t_2 süresini hesaplamak.
t2=20t_2 = 20 saat
B videosunun 9000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
3
t1t_1 ve t2t_2 sürelerini toplamak.
t1+t2=30t_1 + t_2 = 30 saat
İstenen toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Lojistik büyüme modelleri ve üstel/logaritmik denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2572Soru →

Dünya'nın homojen özkütleli ve kusursuz bir küre olduğu kabul edildiğinde; yüzeyden yerin merkezine doğru radyal doğrultuda açılmış çok derin düşey bir tünelin içine yerleştirilen, homojen ve düzgün yapılı çok uzun bir direğin ağırlık merkezi, kütle merkezine göre Dünya'nın merkezine daha yakın bir konumda yer alır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Ağırlık merkezinin, kütle merkezine göre Dünya'nın merkezinden daha uzak bir konumda (yüzeye daha yakın) olması nedeniyle bu önerme yanlıştır.
Dünya'nın iç kısımlarında yer çekimi ivmesi merkezden olan uzaklıkla doğru orantılı olarak arttığı için tüneldeki direğin üst kısımları daha güçlü bir kütle çekim alanındadır. Bu nedenle ağırlık merkezi, kütle merkezinin üzerinde (yani Dünya yüzeyine daha yakın, merkezden daha uzak) bulunur. Dolayısıyla önermede belirtilen ağırlık merkezinin kütle merkezine göre Dünya merkezine daha yakın olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dünya'nın iç kısımlarındaki yer çekimi ivmesinin merkezden olan uzaklığa göre değişim karakterini tespit etmek.
Homojen bir kürenin içinde, merkezden rr kadar uzaklıktaki çekim ivmesi g(r)=43πGρrg(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho r bağıntısıyla doğrusal olarak değişir. Yani yüzeyden merkeze gidildikçe yer çekimi ivmesi azalır.
Küre içerisindeki bir noktada yer çekimi ivmesi, sadece o noktanın merkezle arasında kalan kütlenin çekim etkisiyle belirlenir.
2
Tünel içindeki direğin farklı kısımlarına etki eden yer çekimi kuvvetlerini karşılaştırmak.
Direğin üst kısımları (yüzeye yakın taraf) daha büyük yer çekimi ivmesine (gg) maruz kalırken, alt kısımları (merkeze yakın taraf) daha küçük bir yer çekimi ivmesinin etkisindedir.
Yer çekimi ivmesi yüzeye doğru artarken merkeze doğru sıfıra yaklaşmaktadır.
3
Kütle ve ağırlık merkezlerinin konumlarını belirleyip karşılaştırmak.
Direğin kütle merkezi homojenlikten dolayı tam geometrik orta noktadadır. Ağırlık merkezi ise yer çekimi kuvvetinin daha büyük olduğu üst tarafa (yüzeye yakın kısma) doğru kayar. Dolayısıyla ağırlık merkezi kütle merkezinin üzerindedir.
Ağırlık merkezi, sisteme etki eden kütle çekim kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktasıdır ve yer çekimi ivmesinin daha şiddetli olduğu tarafta yer alır.
4
Bulguları sorudaki önermeyle karşılaştırıp doğruluk değerini saptamak.
Ağırlık merkezi kütle merkezinin üzerinde (yani Dünya merkezine daha uzak) olduğu için, ağırlık merkezinin kütle merkezine göre Dünya merkezine daha yakın olduğunu iddia eden önerme yanlıştır.
Fiziksel çıkarımlar, önermede sunulan durumun tam tersi bir dağılımı doğrulamaktadır.

Anahtar Kavram

Kütle merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki farkın homojen olmayan çekim alanlarındaki tezahürü
Soru 2573Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı 121512^{15}'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 518\frac{5}{18} olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.
Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşit olup a8=12a_8 = 12 bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden a1⋅a15=a82=144a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144 elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında a1+a15144=518\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18} eşitliğinden a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40 bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla a1=4a_1 = 4, a15=36a_{15} = 36 olur. a15=a1⋅r14  ⟹  r14=9  ⟹  r7=3a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3 elde edilir. Buradan a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak a8a_8 ve a1⋅a15a_1 \cdot a_{15} değerlerini hesaplamak.
a8=12a_8 = 12 ve a1⋅a15=144a_1 \cdot a_{15} = 144
Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşittir.
2
Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.
a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40
1a1+1a15=a1+a15a1⋅a15=518\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18} eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.
3
Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.
a1=4a_1 = 4 ve a15=36a_{15} = 36
Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar (x−4)(x−36)=0(x-4)(x-36) = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.
4
Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.
a22=108a_{22} = 108
a15=a1⋅r14  ⟹  36=4⋅r14  ⟹  r14=9a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 olur. Buradan r7=3r^7 = 3 bulunur. İstenen terim a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.
Soru 2574Soru →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc=92\log_a b + \log_b c = \frac{9}{2}
log⁡ba+4log⁡cb=3\log_b a + 4\log_c b = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡b(a3⋅c)\log_b(a^3 \cdot c)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

52\frac{5}{2} değeri doğrudur.
Verilen denklem sisteminde a<b<ca < b < c sıralama koşulunu sağlayan tek çözüm x=log⁡ab=3x = \log_a b = 3 ve y=log⁡bc=32y = \log_b c = \frac{3}{2}'dir. Bu değerler yardımıyla log⁡b(a3⋅c)=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = 3\log_b a + \log_b c ifadesi hesaplandığında 3(1/3)+3/2=5/23(1/3) + 3/2 = 5/2 elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliklerini kullanarak değişken dönüşümü yapılması
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y dönüşümleri yapıldığında, taban değiştirme kuralı gereği log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur. Böylece verilen denklemler x+y=92x + y = \frac{9}{2} ve 1x+4y=3\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3 şeklinde iki bilinmeyenli bir sisteme dönüşür.
Logaritmik ifadeleri cebirsel olarak daha kolay çözebilmek için.
2
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
y=92−xy = \frac{9}{2} - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında 1x+89−2x=3\frac{1}{x} + \frac{8}{9-2x} = 3 elde edilir. Paydalar eşlenip düzenlenirse 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0 ikinci dereceden denklemi bulunur. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2x−1)(x−3)=0(2x - 1)(x - 3) = 0 olup kökleri x=3x = 3 veya x=12x = \frac{1}{2}'dir.
xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak için.
3
Sıralama koşuluna göre geçerli durumun belirlenmesi
x=3x = 3 için log⁡ab=3  ⟹  b=a3\log_a b = 3 \implies b = a^3 ve y=32  ⟹  c=b3/2=a9/2y = \frac{3}{2} \implies c = b^{3/2} = a^{9/2} olur. a>1a > 1 olduğundan a<a3<a9/2a < a^3 < a^{9/2} yani a<b<ca < b < c sıralaması sağlanır. x=12x = \frac{1}{2} için ise b=ab = \sqrt{a} olur ve a>1a > 1 iken b<ab < a olacağından verilen a<b<ca < b < c koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla x=3x = 3 ve y=32y = \frac{3}{2} olmalıdır.
Soruda verilen sıralama kısıtının hangi kök için geçerli olduğunu saptamak için.
4
İstenen logaritmik ifadenin hesaplanması
log⁡b(a3⋅c)=log⁡b(a3)+log⁡bc=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = \log_b(a^3) + \log_b c = 3\log_b a + \log_b c şeklinde ayrıştırılır. log⁡ab=3  ⟹  log⁡ba=13\log_a b = 3 \implies \log_b a = \frac{1}{3} ve log⁡bc=32\log_b c = \frac{3}{2} değerleri yerine yazıldığında, 3⋅(13)+32=1+32=523 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} bulunur.
Bizden istenen nihai ifadeye ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2575Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=2a_1 = 2 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1−an=(−1)n(2n+1)a_{n+1} - a_n = (-1)^n (2n + 1)
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −19-19

Cevap

-19
Verilen indirgeme bağıntısı n = 1'den n = 19'a kadar yazılıp taraf tarafa toplandığında teleskopik toplam elde edilir. Bu toplamda terimler ikişerli gruplandırılarak toplamın değeri -21 olarak bulunur. Başlangıç terimi olan 2 eklendiğinde dizinin 20. terimi -19 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., 19 yazılır.
a2−a1=−3a_2 - a_1 = -3, a3−a2=5a_3 - a_2 = 5, a4−a3=−7a_4 - a_3 = -7, ..., a20−a19=−39a_{20} - a_{19} = -39 eşitlikleri elde edilir.
a_{20} terimine ulaşmak için ardışık terimlerin farklarını listeleyip toplamak gerekir.
2
Elde edilen 19 adet eşitlik taraf tarafa toplanır.
a20−a1=−3+5−7+9−11+13−⋯−39a_{20} - a_1 = -3 + 5 - 7 + 9 - 11 + 13 - \dots - 39 eşitliği elde edilir.
Sol taraftaki terimler teleskopik olarak birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki ardışık toplama işlemini kolaylaştırmak için terimler ikişerli gruplandırılır.
(−3+5)+(−7+9)+⋯+(−35+37)−39=9×2−39=18−39=−21(-3 + 5) + (-7 + 9) + \dots + (-35 + 37) - 39 = 9 \times 2 - 39 = 18 - 39 = -21 bulunur.
Her ardışık çiftin toplamı sabit 2 değerini verir ve toplamda 9 adet çift ile bir adet tek terim (-39) kalır.
4
Bulunan fark toplamına dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 eklenir.
a20−2=−21  ⟹  a20=−19a_{20} - 2 = -21 \implies a_{20} = -19 olarak bulunur.
İndirgemeli dizinin 20. teriminin gerçek değerini elde etmek için başlangıç koşulu uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin bulunması.
Soru 2576Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=cos⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}
ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 olur.
Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.
2
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadesinin işaretini belirleyin.
tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x>−1\cot x > -1 olduğundan tan⁡x<cot⁡x\tan x < \cot x yazılır. Dolayısıyla b=tan⁡x−cot⁡x<0b = \tan x - \cot x < 0 bulunur.
Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.
3
c=cos⁡x−cot⁡xc = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.
c=cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=cos⁡x(1−1sin⁡x)c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right) olarak yazılır. sin⁡x∈(22,1)\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 ve 1−1sin⁡x<01 - \frac{1}{\sin x} < 0 olur. Negatif olan cos⁡x\cos x ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir: c>0c > 0. Çarpanların sınırlarından c<2−22≈0.293c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293 olduğu görülür.
cc değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.
4
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesini analiz edip cc değeriyle karşılaştırın.
a=sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) şeklinde yazılabilir. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) için (x−π4)∈(π4,π2)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur. Bu aralıkta sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2}'den büyük olduğundan a>1a > 1 elde edilir. Bu durumda b<0<c<1<ab < 0 < c < 1 < a sıralaması kesinleşir.
Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2577Soru →
Tüm terimleri pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a5−a3=12a4+a3=6\begin{aligned} a_5 - a_3 &= 12 \\ a_4 + a_3 &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Dizinin terimleri üçüncü terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında ortak çarpan 3 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında üçüncü terim 3/2 elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi 1/6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini üçüncü terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade etmek.
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 ve a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler verilen denklemlerde yerine yazıldığında a3(r2−1)=12a_3(r^2 - 1) = 12 ve a3(r+1)=6a_3(r + 1) = 6 denklemleri elde edilir.
Denklemleri ortak terimler cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa oranlamak.
a3(r2−1)a3(r+1)=126⇒r−1=2⇒r=3\frac{a_3(r^2 - 1)}{a_3(r + 1)} = \frac{12}{6} \Rightarrow r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanını (rr) elde etmek için.
3
Bulunan rr değerini ikinci denklemde yerine yazarak a3a_3 değerini hesaplamak.
a3(3+1)=6⇒4a3=6⇒a3=32a_3(3 + 1) = 6 \Rightarrow 4a_3 = 6 \Rightarrow a_3 = \frac{3}{2} bulunur.
Dizinin üçüncü terimine ulaşıp ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak için.
4
Geometrik dizinin genel terim ilişkisini kullanarak birinci terimi (a1a_1) bulmak.
a1=a3r2⇒a1=3/29=16a_1 = \frac{a_3}{r^2} \Rightarrow a_1 = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} olarak hesaplanır.
Soruda istenen birinci terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizilerde Terimler Arasındaki İlişki ve Ortak Çarpan Bulma

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerini doğrudan birinci terim ve ortak çarpan cinsinden yazarak denklemleri taraf tarafa oranlayıp ortak çarpana ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2578Soru →
xx bir gerçel sayı ve mm bir parametre olmak üzere,
x2−2x−8x2−mx+m+3≤0\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - mx + m + 3} \leq 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,6)(-2, 6)

Cevap

(−2,6)(-2, 6) açık aralığı
Doğru cevap olan (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır. Payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin reel kökü olmaması (yani \Delta < 0 olması) durumunda payda daima pozitif olur. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti sadece pay kısmındaki x2−2x−8x^2 - 2x - 8 ifadesine bağlı kalır ve çözüm kümesi tam olarak [−2,4][-2, 4] olur. \Delta < 0 koşulundan m2−4m−12<0m^2 - 4m - 12 < 0 elde edilir, bu eşitsizliğin çözümü de (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadenin köklerini bulmak ve işaretini incelemek.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 denkleminden kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olarak bulunur. Bu ifade [−2,4][-2, 4] aralığında sıfırdan küçük veya eşittir, bu aralığın dışındaki gerçel sayılar için ise pozitiftir.
Rasyonel ifadenin tamamının \leq 0 olabilmesi için pay ve paydanın işaret durumlarını belirlememiz gerekir.
2
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin [−2,4][-2, 4] kapalı aralığı olması koşulunu değerlendirmek.
Çözüm kümesinin tam olarak [−2,4][-2, 4] olabilmesi için, payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin her xx gerçel sayısı için daima pozitif (> 0) olması gerekir.
Eğer payda herhangi bir noktada sıfır veya negatif değer alsaydı, bu nokta çözüm kümesini daraltır (payda sıfır ise tanımsızlık) ya da [−2,4][-2, 4] aralığı dışındaki bazı noktaların da çözüm kümesine dahil olmasına yol açardı.
3
Paydanın daima pozitif olma koşulunu matematiksel olarak uygulamak.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 ifadesinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir: \Delta < 0.
Δ=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta = (-m)^2 - 4(1)(m + 3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0
İkinci dereceden bir ifadenin her x gerçel sayısı için daima pozitif olması, grafiğinin (parabolün) x eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir. Bu da reel kök olmaması (\Delta < 0) ile sağlanır.
4
Elde edilen m'ye bağlı ikinci dereceden eşitsizliği çözmek.
m2−4m−12<0  ⟹  (m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 < 0 \implies (m - 6)(m + 2) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler m=−2m = -2 ve m=6m = 6 olup, işaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan en geniş aralık (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesinde tanımsızlık yaratacak herhangi bir reel kök bulunmaması için sınır değerleri olan -2 ve 6 aralığa dahil edilmemelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde paydanın daima pozitif olma (reel kökünün olmama) koşulunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2579Soru →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol alanı 3 birimkare olan üçgenle, ikinci parabol alanı 24 birimkare olan üçgenle, üçüncü parabol ise eksenleri yalnızca iki noktada kesme özelliğiyle eşleşir.
Verilen parabollerin her biri için eksenleri kestiği noktalar sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 yazarak bulunmuş, bu noktalar kullanılarak alan ve kesim noktası sayısı özellikleri doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 için yy-eksenini kestiği nokta (0,3)(0,3), xx-eksenini kestiği noktalar ise (1,0)(1,0) ve (3,0)(3,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 22 birim, yüksekliği 33 birim olup alanı 2×32=3\frac{2 \times 3}{2} = 3 birimkaredir. Dolayısıyla ilk parabol birinci özellikle eşleşir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
2
İkinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8 için yy-eksenini kestiği nokta (0,8)(0,8), xx-eksenini kestiği noktalar ise (−4,0)(-4,0) ve (2,0)(2,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 66 birim, yüksekliği 88 birim olup alanı 6×82=24\frac{6 \times 8}{2} = 24 birimkaredir. Dolayısıyla ikinci parabol ikinci özellikle eşleşir.
Eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin alanını hesaplamak için taban ve yükseklik değerleri bulunur.
3
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x için eksenleri kestiği noktalar (0,0)(0,0) ve (6,0)(6,0)'dır. Parabol orijinden geçtiği için yy-eksenini kestiği nokta ile xx-eksenini kestiği noktalardan biri çakışır. Eksenleri yalnızca iki noktada kestiği için bu noktalarla bir üçgen oluşturulamaz. Dolayısıyla üçüncü parabol üçüncü özellikle eşleşir.
Orijinden geçen parabollerin eksenleri kestiği noktaların sayısını ve konumunu analiz etmek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2580Soru →
f(x)=x2−4x2+3x+2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, lim⁡x→−2f(x)\lim_{x \to -2} f(x)

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Limit değeri 44 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadede x=−2x = -2 yazıldığında pay ve payda sıfır olmaktadır. Bu durumda 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Belirsizliği gidermek için pay x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) ve payda x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak olan (x+2)(x+2) terimleri sadeleştirildikten sonra geriye kalan x−2x+1\frac{x-2}{x+1} ifadesinde xx yerine −2-2 yazıldığında limit değeri −4−1=4\frac{-4}{-1} = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonda x=−2x = -2 değeri yerine yazılarak limitin durumu incelenir.
(−2)2−4(−2)2+3(−2)+2=00\frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limit hesaplamasında belirsizlik durumunun varlığını tespit etmek için.
2
Pay ve payda ifadeleri çarpanlarına ayrılır.
Pay için iki kare farkından x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) ve payda için x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) elde edilir.
Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı belirlemek için.
3
x→−2x \to -2 iken x≠−2x \neq -2 olduğundan ortak olan x+2x+2 çarpanı sadeleştirilir.
f(x)=x−2x+1f(x) = \frac{x-2}{x+1} ifadesi elde edilir.
Belirsizliği ortadan kaldırmak için.
4
Sadeleşmiş ifadede x=−2x = -2 yazarak limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→−2x−2x+1=−2−2−2+1=−4−1=4\lim_{x \to -2} \frac{x-2}{x+1} = \frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yöntemiyle limit hesaplama.
ÖncekiSayfa 129 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin