Tüm alıştırma soruları

Aşağıda verilen geometrik dizi özelliklerine göre boş bırak��lan yeri uygun sayı ile doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

geometrik dizisinin ilk

n

teriminin çarpımı

P_n

olmak üzere,

P_5 = 243^2

ve

P_9 = 27^{12}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 3'tür.

Geometrik dizideki indis simetrisi gereği tek sayıda terimin çarpımı, ortadaki terimin terim sayısı kadar kuvvetine eşittir. Buradan

P_5 = a_3^5

ve

P_9 = a_5^9

yazılır. Verilen değerler 3'ün kuvveti cinsinden düzenlendiğinde

a_3 = 9

ve

a_5 = 81

bulunur. İki terim arasındaki oran

a_5 / a_3 = r^2 = 9

olduğundan ve terimler pozitif tanımlandığından ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk

n

terim çarpımı formülünü geometrik dizinin indis simetrisi özelliğini kullanarak ifade edelim.

P_5 = a_3^5

ve

P_9 = a_5^9

eşitlikleri elde edilir.

Geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir (terim sayısı tek ise). Bu durumda 5 terim için ortadaki terim

a_3

, 9 terim için ise

a_5

olur.

2

Verilen

P_5 = 243^2

ve

P_9 = 27^{12}

değerlerini 3 tabanında yazarak

a_3

ve

a_5

terimlerini bulalım.

a_3 = 9

ve

a_5 = 81

bulunur.

P_5 = (3^5)^2 = 3^{10} = (3^2)^5 = 9^5

olduğundan

a_3 = 9

olur.

P_9 = (3^3)^{12} = 3^{36} = (3^4)^9 = 81^9

olduğundan

a_5 = 81

olur.

3

Geometrik dizinin terimleri arasındaki genel ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (

r

) hesaplayalım.

r = 3

elde edilir.

a_5 = a_3 \cdot r^2 \implies 81 = 9 \cdot r^2 \implies r^2 = 9

olur. Dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalı, dolayısıyla

r = 3

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin çarpım özellikleri ve indis ilişkileri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2542Soru →

Bir kimya deneyinde, bir çözeltinin sıcaklığı ( $T$ , °C) zamana ( $t$ , dakika) bağlı olarak değişmektedir. Çözeltinin zamana göre s��caklık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$t$ (dakika)	$1$	$3$	$5$	$8$
$T(t)$ (°C)	$12$	$24$	$40$	$a$

Bu çözeltinin $[1, 5]$ zaman aralı��ındaki ortalama sıcaklık değişim hızı, $[5, 8]$ zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızına eşittir.

Buna göre, çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı ( $a$ ) kaç °C'dir?

54

58

61

68

82

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 61

Cevap

Çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı 61 °C'dir.

Çözeltinin

[1, 5]

zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızı

\frac{40-12}{5-1}=7

°C/dakika olarak hesaplanır. Bu hız

[5, 8]

aralığındaki hıza eşit olduğundan,

\frac{a-40}{8-5}=7

eşitliği yazılır. Buradan

a-40=21

ve

a=61

°C bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak

Değişim hızı

\frac{T(5) - T(1)}{5 - 1} = \frac{40 - 12}{4} = \frac{28}{4} = 7

°C/dakika olarak bulunur.

İlk aralıktaki ortalama sıcaklık artış hızın�� belirlemek için.

2

[5, 8]

aralığındaki ortalama değişim hızını

a

cinsinden ifade etmek

Değişim hızı

\frac{T(8) - T(5)}{8 - 5} = \frac{a - 40}{3}

°C/dakika olur.

Bilinmeyen sıcaklık değerini içeren aralıktaki ortalama değişim hızını modellemek için.

3

İki aralıktaki değişim hızlarını eşitleyerek

a

değerini çözmek

\frac{a - 40}{3} = 7 \implies a - 40 = 21 \implies a = 61

°C elde edilir.

Soruda verilen değişim hızlarının eşitliği bilgisini kullanarak bilinmeyen sıcaklığı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[x_1, x_2]

aralığındaki ortalama değişim hızı, fonksiyon değerlerindeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı olan

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

formülü ile hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2543Soru →

Bir gölün suyunun berraklığını ve ışık geçirgenliğini inceleyen bir grup araştırmacı, göl yüzeyindeki ışık şiddeti $I_0$ lüks (lux) iken, yüzeyden $d$ metre derinlikteki ışık şiddetini $I(d)$ lüks olarak ölçmektedir. Bu göl için derinliğe bağlı ışık şiddeti

I(d) = I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d}

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık ��iddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik kaç metredir? ( $\ln 5 \approx 1.6$ alınız. )

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik 20 metredir.

Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olan

0.20 \cdot I_0

değerine ulaştığı derinliği bulmak amacıyla

I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0

denklemi kurulur. Buradan

e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = 5^{-1}

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında

-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) = -\ln 5

olur. Buradan

0.08 \cdot d = \ln 5

elde edilir. Soruda verilen

\ln 5 \approx 1.6

değeri yerine yazıldığında

0.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20

metre bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olması koşulunu matematiksel olarak ifade etme.

I(d) = 0.20 \cdot I_0

elde edilir.

Yüzeydeki ışık şiddeti

I_0

olarak tanımlandığı için, bu değerin %20'si

0.20 \cdot I_0

değerine karşılık gelir.

2

Elde edilen bu koşulu verilen model fonksiyonunda yerine yazma.

I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0

denklemi kurulur.

Belirli bir

d

derinliğindeki ışık şiddeti formülü ile hedeflenen ışık şiddeti değeri eşitlenir.

3

Denklemdeki ortak terimleri sadeleştirerek üstel ifadeyi yalnız bırakma.

e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = \frac{1}{5}

bulunur.

Her iki taraftaki

I_0

çarpanları sadeleştirilerek bilinmeyen derinlik

d

değişkeninin çözümü kolayla��tırılır.

4

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak üstel denklemi logaritmik denkleme dönüştürme.

-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) \implies 0.08 \cdot d = \ln 5

elde edilir.

e

tabanındaki üstel ifadenin üssünü aşağı indirmek amacıyla doğal logaritma tanımı ve

\ln(x^{-1}) = -\ln x

özelliği kullanılır.

5

Soruda verilen yaklaşık logaritma değerini kullanarak derinliği hesaplama.

d = 20

bulunur.

\ln 5 \approx 1.6

değeri denklemde yerine yerleştirilerek

0.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar içeren gerçek hayat modellerinde denklem kurma, logaritma özelliklerini kullanarak üstel denklemleri çözme.

Soru 2544Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla $A$ ve $B$ , üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise $R$ birimdir.

Bu üçgende,

a^2 - b^2 = 12

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı $R$ kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.

Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (

2R

) ile orantılıdir.

2

Elde ettiğimiz eşitlikleri

\sin A

ve

\sin B

ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.

\sin A = \frac{a}{2R}

ve

\sin B = \frac{b}{2R}

Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.

3

Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak

\sin^2 A - \sin^2 B

denkleminde yerine yazalım.

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}

Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak

R

değerini bulabilmek için.

4

a^2 - b^2 = 12

bilgisini denklemde yerine koyup

R

değerini hesaplayalım.

\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4

Bilinmeyen

R

değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2545Soru →

a > 6

olmak üzere,

x

gerçel sayısı için

\frac{(x - 2)^2 (x - a)}{x - 6} \leq 0

eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların kümesinde tam 7 tane pozitif tam sayı bulunduğuna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[11, 12)

[12, 13)

[13, 14)

(12, 13]

[10, 11)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[12, 13)$

Cevap

a sayısı [12, 13) aralığında yer almalıdır.

Eşitsizliğin çözüm kümesi

\{2\} \cup (6, a]

olarak bulunur. Bu kümedeki pozitif tam sayılardan biri

2

'dir. Kalan 6 tanesi ise

6

'dan büyük olan

7, 8, 9, 10, 11, 12

sayılarıdır. Bu durumun gerçekleşmesi için

a

değerinin

12

'ye eşit veya büyük, ancak

13

'ten küçük olması gerekir. Dolayısıyla en geniş aralık

[12, 13)

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği oluşturan ifadelerin köklerini belirleyelim.

Payın kökleri:

(x-2)^2 = 0 \implies x = 2

(çift katlı kök) ve

x-a = 0 \implies x = a

(tek katlı kök).
Paydanın kökü:

x-6 = 0 \implies x = 6

(tek katlı kök).

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaları bulmamız gerekir.

2

a > 6

koşuluna göre kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.

Köklerin sıralaması:

2 < 6 < a

.
İşaret tablosu en sağdan (

x > a

) pozitif (

+

) işaretle başlar,

x = a

kökünde eksi (

-

) olur,

x = 6

kökünde artı (

+

) olur ve

x = 2

çift katlı kökünde işaret değişmeyerek artı (

+

) olarak kalır.

Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun sağ ucu pozitif değer alır. Tek katlı köklerde işaret değişirken, çift katlı köklerde işaret korunur.

3

Eşitsizlik

\leq 0

olduğu için ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesini yazalım.

Çözüm kümesi:

\{2\} \cup (6, a]

İfadenin negatif olduğu tek aralık

(6, a)

aralığıdır. Payı sıfır yapan

2

ve

a

değerleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan

6

değeri tanımsızlık nedeniyle dahil edilmez.

4

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları inceleyerek

a

parametresinin aralığını belirleyelim.

Çözüm kümesindeki ilk pozitif tam sayı

2

sayısıdır (1 adet).
Toplam 7 tane pozitif tam sayı çözümü olması için

(6, a]

aralığından tam 6 tane pozitif tam sayı gelmelidir. Bu sayılar

7, 8, 9, 10, 11, 12

olmak zorundadır.
Buradan

12 \leq a < 13

elde edilir.

12

sayısının çözüm kümesinde bulunması için

a \geq 12

olmalı,

13

sayısının kümede yer almaması için ise

a < 13

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde çift katlı kök, payda kökü (tanımsızlık) durumları ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesi sınırlarının analizi.

Soru 2546Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ 2x + 1, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1)) + \lim_{x \to 2^-} f(f(3-x))

limitinin değeri kaçtır?

7

14

16

18

Limit yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doğru cevap 16'dır.

Doğru yanıt olan 16 değeri, bileşke fonksiyon limitlerinde içten dışa doğru yönlü yaklaşım kuralları uygulanarak elde edilir. İlk terimde

x \to 2^-

yaklaşımı

t = x-1 \to 1^-

durumunu üretir.

t < 1

bölgesinden

1

'e yaklaşırken

f(t) = 5-t^2

değerleri

4

'e üstten (

4^+

) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit

\lim_{u \to 4^+} f(u) = 9

olur. İkinci terimde

x \to 2^-

yaklaşımı

s = 3-x \to 1^+

durumunu üretir.

s > 1

bölgesinden

1

'e yaklaşırken

f(s) = 2s+1

değerleri

3

'e üstten (

3^+

) yaklaşır. Dolayısıyla dış limit

\lim_{v \to 3^+} f(v) = 7

olur. Bu iki limitin toplamı

9 + 7 = 16

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk terim olan

\lim_{x \to 2^-} f(f(x-1))

limitini hesaplamak için

t = x - 1

değişken değiştirmesi yapalım.

x \to 2^-

iken

x < 2

olduğundan

x - 1 < 1

olur, yani

t \to 1^-

elde edilir. Limit

\lim_{t \to 1^-} f(f(t))

haline gelir.

Bileşke fonksiyonun limitini bulmak için öncelikle içteki fonksiyonun yaklaşma yönünü belirlemeliyiz.

2

t \to 1^-

iken

f(t)

değerlerinin hangi değere ve hangi yönden yaklaştığını belirleyelim.

t < 1

için

f(t) = 5 - t^2

fonksiyonunu kullanırız.

t \to 1^-

iken

5 - t^2 \to 4

olur.

t < 1

iken

t^2 < 1 \implies -t^2 > -1 \implies 5 - t^2 > 4

olduğundan,

f(t)

değerleri

4

değerine büyük değerlerden (sağdan) yaklaşır. Dolayısıyla

f(t) \to 4^+

olur.

Dıştaki fonksiyonun limitini hesaplarken içteki fonksiyonun limit değerine hangi yönden yaklaştığı önemlidir.

3

u = f(t)

dersek limit

\lim_{u \to 4^+} f(u)

olur. Bu limit değerini hesaplayalım.

u > 1

için

f(u) = 2u + 1

tanımı geçerlidir. Buradan

\lim_{u \to 4^+} (2u + 1) = 2(4) + 1 = 9

bulunur.

Dıştaki limit olan

4

noktasındaki sağdan limiti uygun fonksiyon parçasıyla hesaplamak için.

4

İkinci terim olan

\lim_{x \to 2^-} f(f(3-x))

limitini hesaplamak için

s = 3 - x

değişken değiştirmesi yapalım.

x \to 2^-

iken

x < 2 \implies -x > -2 \implies 3 - x > 1

olur, yani

s \to 1^+

elde edilir. Limit

\lim_{s \to 1^+} f(f(s))

haline gelir.

İkinci bileşke limitin iç kısmını analiz etmek için.

5

s \to 1^+

iken

f(s)

değerlerinin yaklaşma yönünü belirleyelim.

s > 1

için

f(s) = 2s + 1

tanımı geçerlidir.

s \to 1^+

iken

2s + 1 \to 3

olur.

s > 1 \implies 2s > 2 \implies 2s + 1 > 3

olduğundan

f(s) \to 3^+

elde edilir.

v = f(s)

dersek limit

\lim_{v \to 3^+} f(v)

olur.

İkinci terimin dış fonksiyonunun limit yönünü belirlemek için.

6

\lim_{v \to 3^+} f(v)

limit değerini hesaplayalım.

v > 1

için

f(v) = 2v + 1

olduğundan,

\lim_{v \to 3^+} (2v + 1) = 2(3) + 1 = 7

bulunur.

İkinci terimin limit değerini bulmak için.

7

Bulunan iki limit değerini toplayalım.

9 + 7 = 16

elde edilir.

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Soru 2547Soru →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşmaktadır.

\begin{aligned} a_3 \cdot a_7 &= 16 \\ a_4 + a_6 &= 10 \end{aligned}

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

4

2

\sqrt{2}

1

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

2

Verilen soruda

a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16

bağıntısından dizinin 5. terimi

a_5 = 4

olarak bulunur. Aynı özellik yardımıyla

a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16

elde edilir. Toplamları

10

, çarpımları

16

olan

a_4

ve

a_6

terimleri

2

ve

8

sayılarıdır. Eğer

a_4 = 2

ve

a_6 = 8

ise

a_6 = a_4 \cdot r^2

eşitliğinden

8 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2

bulunur. Dolayısıyla ortak çarpan

2

olabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin indis özellikleri kullanılarak

a_3 \cdot a_7

ifadesinin eşitini bulun.

a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16

elde edilir. Terimler pozitif gerçel sayı olduğundan

a_5 = 4

bulunur.

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

3 + 7 = 5 + 5

).

2

a_4

ve

a_6

terimlerinin çarpımını

a_5

cinsinden yazın.

a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16

bulunur.

Yine aynı indis özelliğinden dolayı

4 + 6 = 5 + 5

olduğundan

a_4 \cdot a_6 = a_5^2

eşitliği geçerlidir.

3

a_4

ve

a_6

terimlerini bulmak için denklem sistemini kurun ve çözün.

a_4 + a_6 = 10

ve

a_4 \cdot a_6 = 16

denklemlerini sağlayan değerler

2

ve

8

'dir. Dolayısıyla,

(a_4, a_6) = (2, 8)

veya

(a_4, a_6) = (8, 2)

olur.

Toplamları

10

, çarpımları

16

olan iki sayı

x^2 - 10x + 16 = 0

denkleminin kökleridir.

4

Dizinin ortak çarpanını (

r

) hesaplayın.

a_6 = a_4 \cdot r^2

formülünden:
- Birinci durumda:

8 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2

(terimler pozitif olduğundan

r > 0

).
- İkinci durumda:

2 = 8 \cdot r^2 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2}

elde edilir.

Ardışık olmayan iki terim arasındaki oran, ortak çarpanın indis farkı kadar kuvvetine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide

a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

özelliği ve terimler arasındaki geometrik ilişki.

Soru 2548Soru →

Aşağıda sol sütunda parametrik olarak verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktaların geometrik özellikleri karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki her bir parabolü, koordinat eksenlerini kestiği noktaların sağ sütunda verilen doğru özelliği ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol, x-eksenini kesti��i noktalardan birinin orijine uzaklığının parametre değerinden bağımsız 3 birim olması özelliğiyle; ikinci parabol, x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın parametre değerinden bağımsız 6 birim olması özelliğiyle; üçüncü parabol ise y-eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığının x-eksenini kestiği pozitif apsisli noktanın orijine uzaklığına eşit olması özelliğiyle eşleşir.

Verilen fonksiyonların her biri sıfıra eşitlenerek

x

-eksenini kestikleri noktalar ve

x=0

yazılarak

y

-eksenini kestikleri noktalar bulunmuştur. Elde edilen noktalar üzerinde yapılan geometrik uzaklık hesaplamaları, verilen özelliklerle birebir ve benzersiz bir şekilde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - (a+3)x + 3a

parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma.

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 3a)

'dır.

x

-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir:

x^2 - (a+3)x + 3a = 0 \implies (x-a)(x-3) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = a

. Kesim noktaları

(3, 0)

ve

(a, 0)

'dır.

(3, 0)

noktasının orijine uzaklığı

|3| = 3

birim olup parametreden bağımsızdır. Bu durum ikinci özellik ile eşleşir.

Birinci parabolün eksen kesim noktalarını cebirsel olarak analiz etmek.

2

g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9

parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve aralarındaki uzaklığı hesaplama.

y

-eksenini kestiği nokta

(0, b^2-9)

'dur.

x

-eksenini kestiği noktalar için

(x-b)^2 - 9 = 0 \implies (x-b)^2 = 9 \implies x-b = \pm 3 \implies x_1 = b-3, x_2 = b+3

bulunur. Eksenleri kestiği noktalar

(b-3, 0)

ve

(b+3, 0)

'dır. İki nokta arasındaki uzaklık

|(b+3) - (b-3)| = 6

birimdir. Bu değer sabittir ve üçüncü özellik ile eşleşir.

İkinci parabolün eksen kesim noktalarının birbirine olan uzaklığını parametreden bağımsız olarak belirlemek.

3

h(x) = -x^2 + (c-1)x + c

parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırma.

y

-eksenini kestiği nokta

(0, c)

olup orijine uzaklığı

|c| = c

birimdir.

x

-eksenini kestiği noktalar için

-x^2 + (c-1)x + c = 0 \implies x^2 - (c-1)x - c = 0 \implies (x-c)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = c

bulunur.

c > 1

olduğundan pozitif apsisli kesim noktası

(c, 0)

'dır ve orijine uzaklığı

c

birimdir. Her iki uzaklık da eşit olup birinci özellik ile eşleşir.

Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarının ilişkisini belirlemek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların cebirsel ve geometrik analizi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2549Soru →

1'den büyük $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $\log_a b$ bir tam sayıdır.

\log_a(a^2 \cdot b^3) \cdot \log_b(a^4 \cdot b) = 24

olduğuna göre,

\log_{\sqrt{a}}(b) + \log_b(a^3 \cdot \sqrt{b})

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin doğru değeri 6'dır.

Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanılarak

\log_a b = 2

elde edilir. Bu değer istenen ifadede yerine konulduğunda

\log_{\sqrt{a}}(b) = 4

ve

\log_b(a^3 \cdot \sqrt{b}) = 2

değerleri bulunur ve bu iki değerin toplamı 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken değiştirme yapılması

\log_a b = x

denilerek ifadeler basitleştirilir.

Çoklu terim içeren logaritmik denklemi çözülebilir bir cebirsel denkleme dönüştürmek için.

2

Denklem terimlerinin

x

cinsinden yazılması

\log_a(a^2 b^3) = 2 + 3x

ve

\log_b(a^4 b) = \frac{4}{x} + 1

ifadeleri bulunur.

Logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak tabanları ve argümanları ayrıştırmak için.

3

Denklemin çözülmesi

3x^2 - 10x + 8 = 0

denkleminin kökleri

x = 2

ve

x = \frac{4}{3}

olarak elde edilir.

İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini uygulamak için.

4

Kökün elenmesi

x = 2

seçilir.

x

'in bir tam sayı olması gerektiği soruda belirtildiği için.

5

İstenen ifadenin hesaplanması

Değer 6 olarak bulunur.

x = 2

değerini hedef ifadede yerine yazıp logaritma özelliklerini uygulamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda çarpım, üs ve taban değiştirme özelliklerinin bir arada kullanılarak denklemlerin çözülmesi.

Soru 2550Soru →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ terim toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

Bu dizinin terimleri sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanının alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

-4

-2

2

4

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ortak çarpanın alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı 4'tür.

Verilen

S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2)

denkleminde terimler geometrik dizi cinsinden açıldığında

a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r)

eşitliğine ulaşılır. Burada

a_1 \neq 0

ve

r \neq 0

olduğundan sadeleştirme sonrası denklem

r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2-4) = 0

şeklini alır. Bu denklemi sağlayan

r

gerçel sayı değerleri

-1

,

2

ve

-2

'dir. Bu değerlerin çarpımı

(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade edelim.

S_6 - S_4 = a_5 + a_6

ve

S_4 - S_2 = a_3 + a_4

olur.

İlk n terim toplamının tanımı gereği, ilk 6 terim toplamından ilk 4 terim toplamı çıkarıldığında geriye 5. ve 6. terimler kalır.

2

Terimleri dizinin ilk terimi (

a_1

) ve ortak çarpanı (

r

) cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.

a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1+r)

a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1+r)

Geometrik dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 r^{n-1}

ilişkisini kullanmak için.

3

Elde ettiğimiz ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım ve sadeleştirelim.

a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r)

denklemi elde edilir. Dizinin terimleri sıfırdan farklı olduğundan

a_1 \neq 0

ve

r \neq 0

'dır. Eşitliğin her iki tarafını

a_1 r^2

ile bölersek

r^2(1+r) = 4(1+r)

kalır.

Denklemi sadeleştirerek ortak çarpan

r

için çözülebilir bir polinom haline getirmek için.

4

Olası kökleri kaybetmemek için denklemi tek bir tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.

r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2 - 4) = 0 \implies (1+r)(r-2)(r+2) = 0

denklemi bulunur.

1+r

ifadesini doğrudan sadeleştirmek yerine paranteze almak,

1+r=0

kökünün (kök kaybının) önüne geçer.

5

Çarpanları sıfıra eşitleyerek

r

değerlerini bulalım ve bu değerleri çarpalım.

r = -1

,

r = 2

ve

r = -2

değerleri elde edilir. Bu değerlerin çarpımı

(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4

olarak hesaplanır.

Ortak çarpanın alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin çarpımını bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin terim toplamları arasındaki fark ilişkileri ve cebirsel denklemlerin kök kaybı yaşanmadan çözülmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2551Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = px + q$ doğrusal fonksiyonu veriliyor.

(a_n)

ve

(b_n)

dizileri her

n \ge 1

pozitif tam sayısı için

a_n = f(n)

b_n = f(2n - 1)

biçiminde tanımlanıyor.

(a_n)

ve

(b_n)

birer aritmetik dizi olmak üzere,

a_3 + b_4 = 28

a_7 - b_2 = 8

eşitlikleri sağlanmaktad��r.

Buna göre, $a_{10} + b_5$ toplamının değeri kaçtır?

42

46

48

64

38

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Dizilerin doğrusal fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen terimler yerine yazıldığında toplamın sonucu 46 bulunur.

Doğrusal fonksiyonun tanımından

a_n = f(n)

ve

b_n = f(2n-1) = a_{2n-1}

olduğu görülür. Buna göre

b_4 = a_7

ve

b_2 = a_3

olur. Verilen eşitliklerden

a_3 + a_7 = 28

ve

a_7 - a_3 = 8

elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde

a_7 = 18

ve

a_3 = 10

bulunur. Dizinin ortak farkı

r

olmak üzere

a_7 - a_3 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2

olur. Bizden istenen

a_{10} + b_5

ifadesi,

b_5 = a_9

olduğundan

a_{10} + a_9

toplamına eşittir.

a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22

ve

a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24

olup, bu iki terimin toplamı

24 + 22 = 46

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dizilerin terimleri arasındaki ilişkiyi doğrusal fonksiyon yardımıyla belirleme.

b_n = a_{2n-1}

ilişkisi elde edilir. Buradan

b_4 = a_7

ve

b_2 = a_3

olur.

b_n

dizisi

f(2n-1)

olarak tanımlandığından ve

a_n = f(n)

olduğundan,

b_n

dizisinin her bir terimi

(a_n)

dizisinin tek indisli terimlerine karşılık gelir.

2

Verilen denklem sistemini

(a_n)

dizisinin terimleri cinsinden yazıp çözme.

a_3 + a_7 = 28

ve

a_7 - a_3 = 8

denklemleri elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa toplandığında

2a_7 = 36 \implies a_7 = 18

ve buradan

a_3 = 10

bulunur.

Elde edilen

b_4 = a_7

ve

b_2 = a_3

değerleri soruda verilen eşitliklerde yerine yazılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturulur.

3

(a_n)

aritmetik dizisinin ortak farkını (

r

) bulma.

a_7 - a_3 = 4r \implies 18 - 10 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2

bulunur.

Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve indisler farkı ortak farkın katını verir (

a_p - a_q = (p-q)r

).

4

İstenen

a_{10} + b_5

toplamını hesaplama.

b_5 = a_9

olduğundan istenen ifade

a_{10} + a_9

toplamıdır.

a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22

ve

a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24

olup,

24 + 22 = 46

bulunur.

b_5

teriminin

(a_n)

cinsinden karşılığı bulunur ve ortak fark yardımıyla bilinmeyen terimler hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve indis özellikleri ile doğrusal fonksiyonlar arasındaki ilişki.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2552Soru →

\begin{aligned} a &= \sin 160^\circ \\ b &= \cos 250^\circ \\ c &= \tan 310^\circ \\ d &= \cot 70^\circ \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a < d

b < a < d < c

c < a < b < d

c < b < d < a

b < c < a < d

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < b < a < d$

Cevap

c < b < a < d

Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde

a = \sin 20^\circ

,

b = -\sin 20^\circ

,

c = -\tan 50^\circ

ve

d = \tan 20^\circ

değerleri elde edilir. Negatif değerlerden

-\tan 50^\circ

değeri

-1

'den küçükken,

-\sin 20^\circ

değeri

-1

ile

0

arasındadır; bu nedenle en küçük değer

-\tan 50^\circ

(

c

), ardından

-\sin 20^\circ

(

b

) gelir. Pozitif değerlerden ise birinci bölgede aynı açının tanjantı sinüsünden büyük olduğu için

\sin 20^\circ

(

a

) değeri

\tan 20^\circ

(

d

) değerinden küçüktür. Bu analiz birleştirildiğinde doğru sıralamanın

c < b < a < d

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik ifadeleri dar açılar cinsinden ve uygun işaretlerle ifade etmek.

a = \sin 20^\circ

,

b = -\sin 20^\circ

,

c = -\tan 50^\circ

ve

d = \tan 20^\circ

İfadeleri kolayca karşılaştırabilmek amacıyla hepsini birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazmak gerekir.

2

Elde edilen değerleri pozitif ve negatif olarak gruplandırıp kendi aralarında sıralamak.

Pozitifler:

d > a > 0

, Negatifler:

c < b < 0

Birinci bölgede

0 < \alpha < 90^\circ

için

\tan \alpha > \sin \alpha

olduğundan

\tan 20^\circ > \sin 20^\circ

olur. Ayrıca

\tan 50^\circ > 1

olduğundan

-\tan 50^\circ < -1

ve

-1 < -\sin 20^\circ < 0

olur.

3

Grupları birleştirerek nihai sıralamayı yazmak.

c < b < a < d

Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olduğundan iki grubun sıralaması birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2553Soru →

f(x) = \frac{x^2 - kx + 12}{x - 4}

fonksiyonunun $x = 4$ noktasındaki limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

1

3

5

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limitin değeri 1'dir.

Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan k = 7 olarak bulunur. Fonksiyon f(x) = (x - 4)(x - 3) / (x - 4) şeklinde yazılıp x - 4 terimleri sadeleştirildiğinde, limit x -> 4 için x - 3 ifadesinin değeri 4 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Paydanın sıfır olduğu durumda limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerektiği belirlenir.

x = 4 için x^2 - kx + 12 = 0 olmalıdır.

Eğer pay sıfırdan farklı bir sayı olsaydı, payda sıfır olduğundan limit tanımsız veya sonsuz olurdu. Limit değerinin gerçel sayı olabilmesi için 0/0 belirsizliği oluşmalıdır.

2

x = 4 değeri pay ifadesinde yerine yazılarak k parametresi hesaplanır.

4^2 - 4k + 12 = 0 => 16 - 4k + 12 = 0 => 28 - 4k = 0 => k = 7 olarak bulunur.

Fonksiyonun payındaki bilinmeyen k parametresini bularak belirsizliği gidermek üzere çarpanlara ayırma aşamasına geçebilmek için.

3

Bulunan k değeri fonksiyonda yerine yazılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılır.

f(x) = (x^2 - 7x + 12) / (x - 4) = ((x - 4)(x - 3)) / (x - 4) = x - 3 (x != 4 için)

0/0 belirsizliğine neden olan x - 4 ortak çarpanını sadeleştirmek için.

4

Sadeleştirilmiş ifadede x yerine limit değeri olan 4 yazılarak limit hesaplanır.

limit x -> 4 (x - 3) = 4 - 3 = 1 olarak bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda payın sıfıra eşit olması ilkesinden yararlanarak bilinmeyen parametreyi bulma ve çarpanlara ayırma yöntemiyle belirsizliği giderme.

Tahmini Süre:50s

Soru 2554Soru →

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x^2 - 2ax + a + 6 > 0$ eşitsizliği her $x$ gerçel sayısı için sağlandığına göre, $a$ parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı $2$ 'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Çünkü verilen eşitsizliğin her

x

gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın negatif olması gerekir. Buradan elde edilen

a^2 - a - 6 < 0

eşitsizliğinin ç��züm kümesi

(-2, 3)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı

2

'dir.

Verilen ifade doğrudur çünkü

x^2 - 2ax + a + 6 > 0

eşitsizliğinin her gerçel sayı için sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluna bağlıdır. Bu koşuldan elde edilen

(-2, 3)

aralığındaki tam sayıların toplamı gerçekten

2

değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Daima pozitiflik şartını belirleme

İkinci dereceden bir ifadenin her

x

gerçel sayısı için daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif (

1 > 0

) ve diskriminantının negatif (

\Delta < 0

) olması gerekir.

Fonksiyonun grafiğinin

x

ekseninin tamamen üstünde kalması ve ekseni kesmemesi için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.

2

Diskriminantı hesaplama ve eşitsizliği oluşturma

\Delta = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 6) < 0 \Rightarrow 4a^2 - 4a - 24 < 0

a

,

b

,

c

katsayıları kullanılarak

b^2 - 4ac < 0

formülü uygulanır.

3

Eşitsizliği sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma

a^2 - a - 6 < 0 \Rightarrow (a - 3)(a + 2) < 0

Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak için çarpanlarına ayrılır.

4

İşaret tablosu yard��mıyla çözüm aralığını bulma ve tam sayıları toplama

Kökler

a = -2

ve

a = 3

'tür. Eşitsizliğin çözüm kümesi

(-2, 3)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 0, 1, 2

olup toplamları

2

'dir.

Aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak ifadenin doğruluğu test edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı ve diskriminant analizi

İpuçları

1

Bir ikinci dereceden ifadenin daima pozitif olması için

x^2

'li terimin katsayısının işareti ile diskriminantın (

\Delta

) işaretini düşünün.

2

\Delta < 0

eşitsizliğini kurun ve bu eşitsizliği

a

değişkenine bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik olarak çözün.

3

a^2 - a - 6 < 0

eşitsizliğinin köklerini bulup işaret tablosu oluşturarak

a

'nın değer aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, ifadenin daima negatif olması veya daima sıfırdan büyük ya da eşit olması durumlarında diskriminantın nasıl inceleneceğini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Grafiksel olarak,

y = x^2 - 2ax + a + 6

parabolünün daima

x

ekseninin üzerinde kalması için tepe noktasının koordinatlarından

k > 0

olmalıdır.

r = -\frac{-2a}{2} = a

ve

k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a + 6 = -a^2 + a + 6 > 0 \Rightarrow a^2 - a - 6 < 0

eşitsizliği elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2555Soru →

Yüksekliği $5\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı $2\text{ cm}$ 'den $r\text{ cm}$ 'ye ( $r > 2$ ) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı $45\pi\text{ cm}^3/\text{cm}$ olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı ( $r$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Son durumdaki taban yarıçapı

7\text{ cm}

olarak bulunur.

Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak

V(r) = 5\pi r^2

fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2)

olur. Bu ifadenin

45\pi

değerine eşitlenmesiyle

5\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma

V(r) = 5\pi r^2

Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (

V = \pi r^2 h

).

2

Ortalama değişim hızı denklemini kurma

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.

3

Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma

5\pi(r + 2) = 45\pi

V(r) = 5\pi r^2

ve

V(2) = 20\pi

değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla

(r-2)

ifadeleri birbirini sadeleştirir.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi

r

için çözme

r = 7

Denklemin her iki tarafı

5\pi

ile sadeleştirilerek

r + 2 = 9

eşitliği elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

oranı ile hesaplanır.

Soru 2556Soru →

\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x-1}{x-5} \right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(5, 9]

[9, \infty)

(-\infty, 1) \cup [9, \infty)

(-\infty, 5) \cup [9, \infty)

(-\infty, 5] \cup [9, \infty)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-\infty, 1) \cup [9, \infty)$

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en geniş çözüm kümesi (-\infty, 1) \cup [9, \infty) aralığıdır.

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için hem logaritmanın tanım kümesi kuralı (içinin pozitif olması) hem de taban basit kesir olduğundan yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözümü birlikte ele alınmalıdır. Bu iki kümenin kesişimi alındığında doğru aralık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın tanım kümesi belirlenir.

Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır: \frac{x-1}{x-5} > 0. Kökler 1 ve 5'tir. İşaret tablosundan tanım kümesi T = (-\infty, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin pozitif olması zorunludur.

2

Tabanın basit kesir olması dikkate alınarak eşitsizlik çözülür.

Taban 1/2 (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: \frac{x-1}{x-5} \leq (1/2)^{-1} \implies \frac{x-1}{x-5} \leq 2 olur.

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken yön değiştirilir.

3

Cebirsel eşitsizlik düzenlenerek kökler bulunur.

\frac{x-1}{x-5} - 2 \leq 0 \implies \frac{9-x}{x-5} \leq 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri x = 9 (payın kökü, eşitlikten dolayı dahil) ve x = 5 (paydanın kökü, tanımsızlıktan dolayı dahil değil) şeklindedir. İşaret tablosundan cebirsel çözüm kümesi A = (-\infty, 5) \cup [9, \infty) olarak bulunur.

Rasyonel eşitsizliklerde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılarak işaret tablosuna geçilmelidir.

4

Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirilir.

T \cap A = ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cap ((-\infty, 5) \cup [9, \infty)) = (-\infty, 1) \cup [9, \infty) bulunur.

En geniş çözüm kümesi, hem fonksiyonun tanımlı olduğu hem de eşitsizliği sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2557Soru →

Bir

(a_n)

dizisinin ilk terimi

a_1 = 5

olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, her

n \in \mathbb{Z}^+

için

(n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, bu dizinin onuncu terimi olan $a_{10}$ değeri kaçtır?

\frac{23}{2}

\frac{77}{9}

\frac{19}{2}

5

95

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{19}{2}$

Cevap

Dizinin onuncu terimi olan

\frac{19}{2}

Dizinin genel terimini bulmak için

b_n = n \cdot a_n

dönüşümü yapılır. Bu durumda verilen indirgeme bağıntısı

b_{n+1} - b_n = 2n

şekline dönüşür. İlk terim

b_1 = 1 \cdot a_1 = 5

olarak bulunur. Bağıntı

n=1

ile

n=9

arasındaki değerler için taraf tarafa toplandığında

b_{10} = b_1 + \sum_{k=1}^{9} 2k = 5 + 90 = 95

elde edilir. Buradan

10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{95}{10} = \frac{19}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

b_n = n \cdot a_n

değişken dönüşümünün tanımlanması ve başlangıç koşulunun belirlenmesi

b_{n+1} - b_n = 2n

ve

b_1 = 5

elde edilir.

Katsayısı değişken olan terimleri sadeleştirmek ve indirgeme bağıntısını daha basit bir forma getirmek için bu dönüşüm uygulanır.

2

n

değerlerine 1'den 9'a kadar değerler verilerek elde edilen eşitliklerin taraf tarafa toplanması

b_{10} - b_1 = \sum_{k=1}^{9} 2k = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90

olur.

Teleskobik toplam (birbirini götüren terimler) yöntemiyle doğrudan

b_{10}

terimine ulaşmak hedeflenir.

3

b_{10}

değerinin hesaplanması ve orijinal dizi terimi

a_{10}

'a geri dönülmesi

b_{10} = 95 \implies 10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{19}{2}

olarak bulunur.

b_{10} = 10 \cdot a_{10}

eşitliği kullanılarak aranan

a_{10}

terimi elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (

b_n = n \cdot a_n

) yardımıyla bağıntının basitleştirilmesi ve teleskobik toplam yöntemiyle terim hesabı.

Soru 2558Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir

(a_n)

geometrik dizisi için

\begin{aligned} a_2 \cdot a_6 &= 36 \\ a_1 + a_7 &= 15 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

a_{10}

teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Artan geometrik dizinin özellikleri kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda onuncu terim olan

a_{10}

değeri 24 olarak bulunur.

Dizinin artan özelliğinden yola çıkılarak birinci terim 3, yedinci terim 12 olarak bulunur. Ortak çarpanın küpü

r^3 = 2

elde edilir ve buradan onuncu terim

a_7 \cdot r^3 = 12 \cdot 2 = 24

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

a_2 \cdot a_6 = 36

eşitliğini kullanarak

a_4

terimini bulma.

a_4 = 6

Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir:

a_2 \cdot a_6 = a_4 \cdot a_4 = a_4^2

.

2

a_1 \cdot a_7

çarpımını bulma.

a_1 \cdot a_7 = 36

Aynı indis özelliği gereği

a_1 \cdot a_7 = a_4^2

eşitliği geçerlidir.

3

a_1 + a_7 = 15

ve

a_1 \cdot a_7 = 36

denklem sistemini çözme.

\{a_1, a_7\} = \{3, 12\}

Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar kök bulma yöntemi veya çarpanlara ayırma ile 3 ve 12 olarak elde edilir.

4

Artan dizi şartına göre

a_1

ve

a_7

değerlerini atama.

a_1 = 3

ve

a_7 = 12

Dizi artan olduğundan ilk terim yedinci terimden küçük olmalıdır.

5

Dizinin ortak çarpanının küpünü (

r^3

) hesaplama.

r^3 = 2

a_7 = a_1 \cdot r^6 \implies 12 = 3 \cdot r^6 \implies r^6 = 4 \implies r^3 = 2

olur.

6

a_{10}

teriminin değerini hesaplama.

a_{10} = 24

a_{10} = a_7 \cdot r^3

eşitliği kullanılarak

12 \cdot 2 = 24

elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin indis özellikleri (

a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s

burada

p+q = r+s

) ve genel terim formülü.

Soru 2559Soru →

\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

a < b < d < c

şeklindedir.

Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar

a = -\cos(15^\circ)

ve

b = -\cos(18^\circ)

olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında

a < b

sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise

d = \tan(40^\circ)

ve

c = \tan(80^\circ)

şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve

\tan(45^\circ) = 1

referans alındığında

d < 1 < c

bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama

a < b < d < c

olarak netleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.

\frac{19\pi}{12}

açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (

a < 0

).

\frac{11\pi}{10}

açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (

b < 0

).

\frac{13\pi}{9}

açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (

c > 0

).

\frac{23\pi}{18}

açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (

d > 0

).

Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.

a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ)

,

b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ)

,

c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ)

,

d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ)

.

Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.

3

Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.

Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Eksi ile çarptığımızda

-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ)

elde edilir, yani

a < b

'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar.

\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ)

olduğundan

d < 1 < c

elde edilir.

Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması

Soru 2560Soru →

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}

limitinin değeri kaçtır?

4

2

6

0

Yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit değeri 4'tür.

Limit ifadesinde x = 3 yazıldığında oluşan 0/0 belirsizliğini gidermek için pay kısmındaki ifade (x - 3)(x + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (x - 3) terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Limit değerini hesaplamak için x yerine 3 yazarak belirsizlik kontrolü yapmak.

Pay için: 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0. Payda için: 3 - 3 = 0. Bu durumda 0/0 belirsizliği vardır.

Belirsizlik türünü tespit edip uygun hesaplama yöntemini seçmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Payda bulunan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak.

x^2 - 2x - 3 ifadesi (x - 3)(x + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Payda sıfır değerini veren (x - 3) çarpanı ile paydaki ortak çarpanı sadeleştirebilmek için çarpanlara ayırma yapılır.

3

Ortak olan (x - 3) terimlerini sadeleştirmek ve kalan ifadede x yerine 3 yazmak.

lim (x -> 3) [(x - 3)(x + 1) / (x - 3)] = lim (x -> 3) (x + 1) = 3 + 1 = 4 bulunur.

Belirsizlik yaratan çarpan sadeleştiği için kalan fonksiyonda doğrudan yerine yazma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar