Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2581Soru →

Eksenleri kestiği noktalar sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) olan bir y=f(x)y = f(x) parabolü için x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğu bilinmektedir.

Bu parabolle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
* x2=−3x1x_2 = -3x_1
* ∣y0∣=−4x1|y_0| = -4x_1
* f(1)=−10f(1) = -10

Buna göre, köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı 3232 birimkaredir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar kökleridir. x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve x2=−3x1x_2 = -3x_1 ilişkisinden kökler −r-r ve 3r3r (r>0r>0) olarak belirlenir. Bu durumda parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x+r)(x-3r) olur. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 olur. Orijine olan uzaklıklar kullanılarak ∣y0∣=−4x1  ⟹  3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=4/3|y_0| = -4x_1 \implies 3|a|r^2 = 4r \implies |a|r = 4/3 bulunur. f(1)=−10f(1) = -10 bilgisiyle a>0a > 0 ve r=2r = 2 elde edilir. Buradan a=2/3a = 2/3 bulunur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) olarak bulunur. Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı ise 8⋅82=32\frac{8 \cdot 8}{2} = 32 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları ve kök ilişkilerini belirleme.
x1=−rx_1 = -r (r>0r > 0) ve x2=3rx_2 = 3r olmak üzere parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x + r)(x - 3r) olur.
Köklerin işaretleri x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve oranları x2=−3x1x_2 = -3x_1 olarak verildiği için kökleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp denklemi kurmak kolaylık sağlar.
2
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını kökler cinsinden yazma ve uzaklık eşitli��ini kullanma.
y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 ve ∣y0∣=4r|y_0| = 4r olduğundan, 3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=433|a|r^2 = 4r \implies |a|r = \frac{4}{3} elde edilir.
y-eksenini kestiği nokta olan C(0,y0)C(0, y_0) noktasının orijine olan uzaklığı ile AA noktasının orijine olan uzaklığı arasındaki ilişkiyi kullanarak aa ile rr arasında bir bağıntı kurmak gerekir.
3
f(1)=−10f(1) = -10 bilgisini kullanarak parabolün katsayısı aa ve parametre rr değerlerini bulma.
a>0a > 0 durumu için ar=43  ⟹  a=43rar = \frac{4}{3} \implies a = \frac{4}{3r} olur. f(1)=a(1+r)(1−3r)=−10  ⟹  6r2−11r−2=0  ⟹  r=2f(1) = a(1+r)(1-3r) = -10 \implies 6r^2 - 11r - 2 = 0 \implies r = 2 ve a=23a = \frac{2}{3} bulunur.
Verilen fonksiyon değeri sayesinde aa ve rr bilinmeyenlerinin sayısal değerlerine ulaşılır. Temiz tam sayı veya rasyonel sonuçlar veren tek geçerli durum a>0a > 0 ve r=2r = 2 durumudur.
4
Köşe koordinatlarını belirleme ve üçgenin alanını hesaplama.
A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) noktaları elde edilir. Üçgenin alanı: Alan(ABC)=12⋅∣6−(−2)∣⋅∣−8∣=32\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |6 - (-2)| \cdot |-8| = 32 birimkaredir.
Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait y��ksekliğin çarpımının yarısı formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile parabolün cebirsel denklemi arasındaki ilişkinin kurulması ve bunun geometrik uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2582Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)
olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama c, a, b şeklindedir.
Verilen aralıkta terimlerin değer aralıkları sırasıyla c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olarak belirlenir. Bu aralıkların karşılaştırılması sonucunda doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla cc, aa ve bb şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
cc ifadesinin değer aralığını bulmak için yarım açı formülü kullanılır.
c=sin⁡2x2c = \frac{\sin 2x}{2} olur. x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) ise 2x∈(π2,π)2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olur. İkinci bölgede sinüs pozitif olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığındadır. Buradan 0<c<0,50 < c < 0,5 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek sınır analizini kolaylaştırır.
2
aa ifadesinin sınırlarını belirlemek için ifadenin karesi alınır.
a2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+sin⁡2xa^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x elde edilir. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığında olduğundan 1<a2<21 < a^2 < 2 olur. Karekök alındığında ise 1<a<21 < a < \sqrt{2} aralığı bulunur.
Toplam şeklindeki sinüs ve kosinüs ifadelerinin değer aralığı kare alma yöntemiyle tespit edilebilir.
3
bb ifadesi temel özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilir.
b=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} bulunur. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2 elde edilir.
Tanjant ve kotanjant toplamını sinüs cinsinden tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek sınır değerini bulmayı sağlar.
4
Elde edilen üç değer aralığı karşılaştırılarak sıralama tamamlanır.
c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olduğundan sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Değer aralıkları ayrık kümeler oluşturduğu için kesin bir sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2583Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
log⁡2(a1)+log⁡2(a15)=12\log_2(a_1) + \log_2(a_{15}) = 12
log⁡2(a5)⋅log⁡2(a11)=32\log_2(a_5) \cdot \log_2(a_{11}) = 32
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ikinci terimi (a2a_2) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin terimlerinin 2 tabanındaki logaritması alındığında ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olan bir aritmetik dizi elde edilir. Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşit olduğundan x1+x15=x5+x11=12x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} = 12 olur. Çarpımları da 32 olarak verildiğinden, bu iki terim t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur. Buradan ortak fark d=2/3d = 2/3 ve dizinin ikinci teriminin logaritması x2=x5−3d=2x_2 = x_5 - 3d = 2 elde edilir. Sonuç olarak a2=22=4a_2 = 2^2 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma dönüşümü ile geometrik diziyi aritmetik diziye dönüştürme
xn=log⁡2(an)x_n = \log_2(a_n) tanımlanırsa, (xn)(x_n) dizisi bir aritmetik dizi belirtir. Dizinin ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olur. (an)(a_n) dizisi pozitif terimli ve artan olduğundan r>1r > 1 ve dolayısıyla d>0d > 0'dır.
Geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir. Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında log⁡2(an)=log⁡2(a1)+(n−1)log⁡2(r)\log_2(a_n) = \log_2(a_1) + (n-1)\log_2(r) elde edilir. Bu da aritmetik dizi formülüdür.
2
Aritmetik dizi özelliklerini kullanarak terimler arası ilişkileri belirleme
x1+x15=12x_1 + x_{15} = 12 eşitliği kullanılarak x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 elde edilir.
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+15=5+11=161 + 15 = 5 + 11 = 16 olduğundan x1+x15=x5+x11x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} olur).
3
İkinci dereceden denklem kurup çözerek x5x_5 ve x11x_{11} terimlerini bulma
x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 ve x5⋅x11=32x_5 \cdot x_{11} = 32 denklemlerinden x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur.
Toplamları 12 ve çarpımları 32 olan sayılar, t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Dizi artan olduğundan x5<x11x_5 < x_{11} olmalıdır.
4
Aritmetik dizinin ortak farkını (dd) ve hedef terim x2x_2'yi bulma
d=23d = \frac{2}{3} ve x2=2x_2 = 2 bulunur.
x11=x5+6d  ⟹  8=4+6d  ⟹  6d=4  ⟹  d=23x_{11} = x_5 + 6d \implies 8 = 4 + 6d \implies 6d = 4 \implies d = \frac{2}{3} olur. Buradan x2=x5−3d=4−3(23)=2x_2 = x_5 - 3d = 4 - 3\left(\frac{2}{3}\right) = 2 elde edilir.
5
Bulunan değeri geometrik dizi terimine geri dönüştürme
a2=4a_2 = 4 olarak bulunur.
x2=log⁡2(a2)=2  ⟹  a2=22=4x_2 = \log_2(a_2) = 2 \implies a_2 = 2^2 = 4 olur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin logaritmasının aritmetik dizi oluşturması ve aritmetik dizi terimlerinin simetri özelliği
Soru 2584Soru →

Ortak [AC][AC] kenarına sahip olan ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde;
* ∣AB∣=∣AD∣=6 birim|AB| = |AD| = 6\text{ birim},
* m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ,
* m(ACD^)=45∘m(\widehat{ACD}) = 45^\circ,
* m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve
* m(ADC^)=90∘+αm(\widehat{ADC}) = 90^\circ + \alpha
olarak veriliyor.

Buna göre, cot⁡α\cot \alpha değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

2\sqrt{2} olan seçenektir.
Sinüs Teoremi adımları doğru takip edilerek ortak olan [AC][AC] kenarı her iki üçgen için ayrı ayrı ifade edilmiş ve ikinci bölgede sinüsün işareti pozitif (+) olduğu için sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha indirgemesi kullanılarak cot⁡α=2\cot \alpha = \sqrt{2} değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡α=∣AB∣sin⁡30∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡α=61/2=12  ⟹  ∣AC∣=12sin⁡α\frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{6}{1/2} = 12 \implies |AC| = 12 \sin \alpha
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu sin⁡α\sin \alpha cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡(90∘+α)=∣AD∣sin⁡45∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡(90∘+α)=62/2=62  ⟹  ∣AC∣=62sin⁡(90∘+α)\frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{|AD|}{\sin 45^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2} \implies |AC| = 6\sqrt{2} \sin(90^\circ + \alpha)
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu ikinci üçgendeki açılar cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
3
Trigonometrik indirgeme formülü kullanılarak ikinci adımdaki ifade sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha olduğundan, ∣AC∣=62cos⁡α|AC| = 6\sqrt{2} \cos \alpha elde edilir.
İkinci bölgedeki sinüs değerinin pozitif olduğu bilgisi kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Her iki üçgenden elde edilen ∣AC∣|AC| ifadeleri birbirine eşitlenerek cot⁡α\cot \alpha hesaplanır.
12sin⁡α=62cos⁡α  ⟹  cos⁡αsin⁡α=1262  ⟹  cot⁡α=22=212 \sin \alpha = 6\sqrt{2} \cos \alpha \implies \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
Aynı ortak kenara ait iki farklı ifadenin eşitliğinden yararlanılarak trigonometrik oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme formüllerinin birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2585Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri doğru değerlerle doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−2x - 2, x+1x + 1 ve 2x+22x + 2 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı ve xx değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2, x değeri ise 5'tir.
Dizinin terimlerinin pozitif gerçel sayılar olabilmesi için x değerinin 5 olması gerekir. Bu durumda ardışık terimler 3, 6, 12 olup ortak çarpan 2'ye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç terim arasındaki geometrik dizi özelliğini kurma
(x+1)2=(x−2)(2x+2)(x + 1)^2 = (x - 2)(2x + 2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadakinin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşittir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi sadeleştirip çözme
(x+1)2=2(x−2)(x+1)  ⟹  x+1=0(x + 1)^2 = 2(x - 2)(x + 1) \implies x + 1 = 0 veya x+1=2(x−2)x + 1 = 2(x - 2) olur. Buradan x=−1x = -1 veya x=5x = 5 değerleri bulunur.
Denklemin her iki tarafında bulunan (x+1)(x + 1) ��arpanını sadeleştirmeden önce sıfıra eşitleyerek köklerden birini buluruz, ardından sadeleştirme yaparak diğer köke ulaşırız.
3
Dizi terimlerinin pozitif olma koşulunu kontrol etme ve ortak çarpanı hesaplama
x=5x = 5 için terimler 3,6,123, 6, 12 olur. Ortak çarpan ise r=63=2r = \frac{6}{3} = 2 olarak bulunur.
x=−1x = -1 değeri için dizi terimleri pozitif olamayacağından bu değer elenir. x=5x = 5 değeriyle ardışık terimlerin oranı alınarak ortak çarpan bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabiti ve terimler arası ilişki formülü
Soru 2586Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=mx+nf(x) = mx + n doğrusal fonksiyonu için, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı olmak üzere bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri ile ff fonksiyonu arasında
f(a2)=26f(a_2) = 26
f(a5)=53f(a_5) = 53
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, ortak farkı pozitif olan bu (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

İlk 10 terim toplamı olan 185 değeri doğrudur.
Dizinin genel terimi doğrusal bir fonksiyon olduğundan an=mn+na_n = mn + n şeklinde yazılabilir. f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 eşitliklerinden yararlanarak ortak fark m=3m = 3 ve sabit terim n=2n = 2 bulunur. Buradan dizinin genel terimi an=3n+2a_n = 3n + 2 elde edilir. İlk 10 terimin toplamı ise S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini doğrusal fonksiyon cinsinden yazmak
an=f(n)=mn+na_n = f(n) = mn + n elde edilir. Bu aritmetik dizide ortak fark r=mr = m'dir.
Dizinin genel terimini fonksiyonun katsayıları cinsinden tanımlayabilmek için.
2
Verilen f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 değerlerini kullanarak denklem sistemi oluşturmak
a2=2m+na_2 = 2m + n ve a5=5m+na_5 = 5m + n olur. Buradan f(a2)=m(2m+n)+n=2m2+mn+n=26f(a_2) = m(2m + n) + n = 2m^2 + mn + n = 26 ve f(a5)=m(5m+n)+n=5m2+mn+n=53f(a_5) = m(5m + n) + n = 5m^2 + mn + n = 53 denklemleri elde edilir.
Fonksiyonun katsayıları olan mm ve nn değerlerini belirleyebilmek için.
3
Oluşan denklem sistemini çözerek katsayıları bulmak
İki denklemin farkından 3m2=27  ⟹  m2=93m^2 = 27 \implies m^2 = 9 elde edilir. Ortak farkı pozitif dendiği için m=3m = 3 olur. Denklemde yerine yazıldığında 2(9)+4n=26  ⟹  4n=8  ⟹  n=22(9) + 4n = 26 \implies 4n = 8 \implies n = 2 bulunur.
Genel terimin katsayılarını tek bir değere indirgemek için.
4
Dizinin genel terimini yazıp ilk 10 terim toplamını hesaplamak
Genel terim an=3n+2a_n = 3n + 2 olur. İlk terim a1=5a_1 = 5, 10. terim a10=32a_{10} = 32 değerleridir. Toplam formülüyle S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 elde edilir.
Soru kökündeki ilk 10 terim toplamı (S10S_{10}) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve aritmetik dizi toplam formülü
Soru 2587Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1100a_1 = \frac{1}{100} olmak üzere, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri 1'dir.
Rasyonel ifade basit kesirlere ayrıştırıldığında teleskopik sadeleşme gerçekleşir ve a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100} elde edilir. a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değeri yerine yazıldığında a10=1a_{10} = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı biçiminde yazma.
2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Bu dönüşüm, terimlerin ardışık farklar şeklinde yazılarak teleskopik sadeleşme sağlaması için gereklidir.
2
Bağıntıyı düzenleyip n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerleri yazarak taraf tarafa toplama.
a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}
Ardışık terimlerin farklarının toplamı alındığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
3
Verilen a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değerini yerine koyarak a10a_{10} değerini hesaplama.
a10=1a_{10} = 1
Bulunan genel fark denklemine bilinen ilk terim değeri eklenerek aranan terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla terim bulma.
Soru 2588Soru →

Bir kenar uzunluğu xx birim olan bir karenin alanı, bu karenin çevre uzunluğunun 3 katından 16 birimkare daha küçüktür.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bu koşulu sağlayan xx tam sayılarının toplamı 54'tür.
Karenin alanı ile çevresinin 3 katından 16 eksik olan miktar arasındaki ilişki x2−12x+16<0x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliğini verir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (6−25,6+25)(6 - 2\sqrt{5}, 6 + 2\sqrt{5}) aralığıdır. Yaklaşık olarak (1.53,10.47)(1.53, 10.47) aralığında yer alan tam sayılar 2,3,4,5,6,7,8,9,102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 54 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin alan ve çevre formüllerini yazarak eşitsizliği kurmak.
x2<12x−16  ⟹  x2−12x+16<0x^2 < 12x - 16 \implies x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliği elde edilir.
Problemde verilen sözel ilişkiyi cebirsel eşitsizliğe dönüştürmek için.
2
Eşitsizlik sınırlarını belirlemek için kökleri bulmak.
x1=6−25x_1 = 6 - 2\sqrt{5} ve x2=6+25x_2 = 6 + 2\sqrt{5} kökleri hesaplanır.
İkinci dereceden ifadenin işaret değiştirdiği kritik noktaları saptamak için.
3
Köklerin yaklaşık değerlerini bularak aralığı sadeleştirmek.
x1≈1.53x_1 \approx 1.53 ve x2≈10.47x_2 \approx 10.47 sınırları ile çözüm aralığı (1.53,10.47)(1.53, 10.47) olarak bulunur.
Aralığa dahil olan tam sayı değerlerini kesin olarak belirlemek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
2+3+4+5+6+7+8+9+10=542 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54 toplamına ulaşılır.
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin köklerinin bulunması, aralık analizi ve tam sayı çözümlerinin belirlenmesi.
Soru 2589Soru →

Sabit potansiyel farkına sahip bir üretece ba��lı paralel iki iletken levha arasındaki uzaklık artırılırsa, levhalar arasında oluşan düzgün elektrik alanın büyüklüğü artar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Sabit potansiyel farkı altında paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alanın büyüklüğü, levhalar arasındaki uzaklık ile ters orantılıdır.
Sabit potansiyel farkı altında levhalar arası uzaklık artırıldığında, E=VdE = \frac{V}{d} bağıntısı gereği düzgün elektrik alanın büyüklüğü azalmalıdır. Bu durum ifadenin yanlış olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alan formülünü yazınız.
E=VdE = \frac{V}{d} bağıntısı elde edilir.
Elektrik alan (EE), potansiyel farkı (VV) ve uzaklık (dd) arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için.
2
Potansiyelin (VV) sabit kaldığı durumda uzaklık (dd) artışının elektrik alan (EE) üzerindeki etkisini analiz ediniz.
VV sabitken paydadaki dd değeri artarsa, bölümün sonucu olan EE değeri azalır.
Ters orantı ilişkisi gereği payda büyüdükçe ifadenin değeri küçülür.

Anahtar Kavram

Paralel levhalar arasındaki düzgün elektrik alanın bağlı olduğu değişkenler
Soru 2590Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 88 birimkaredir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(2, 0), B(m, 0) ve C(0, 2m) olarak bulunur. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı |m^2 - 2m| formülü ile hesaplanır. Alanın 8 birimkare olması koşulunu sağlayan pozitif m değeri 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
y = 0 için x-eksenini kestiği noktalar x^2 - (m+2)x + 2m = 0 denkleminden (x-2)(x-m) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan x-eksenini kestiği noktalar A(2, 0) ve B(m, 0) olarak bulunur. x = 0 için y-eksenini kestiği nokta C(0, 2m) olarak bulunur.
Eksenleri kesen noktalar üçgenin köşelerini oluşturmaktadır.
2
Oluşan üçgenin alan formülünü kurmak.
Taban uzunluğu |AB| = |m - 2| ve bu tabana ait yükseklik h = |2m|'dir. Üçgenin alanı = (|m - 2| * |2m|) / 2 = |m(m - 2)| = |m^2 - 2m| olarak bulunur.
Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
3
Alanı 8 birimkareye eşitleyip pozitif m değerini çözmek.
|m^2 - 2m| = 8 eşitliğinden m^2 - 2m = 8 veya m^2 - 2m = -8 elde edilir. m^2 - 2m - 8 = 0 denkleminin kökleri m = 4 ve m = -2'dir. m^2 - 2m + 8 = 0 denkleminin diskriminantı negatif olduğundan reel kökü yoktur. Pozitif değer m = 4'tür.
Soruda m gerçel sayısının pozitif değeri sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen değerler sırasıyla m yerine yazılarak denenebilir. Örneğin m = 4 için f(x) = x^2 - 6x + 8 parabolü elde edilir. Eksenleri kestiği noktalar (2,0), (4,0) ve (0,8) olur. Bu noktaların belirttiği üçgenin alanı (2 * 8) / 2 = 8 birimkare olarak doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2591Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−sin⁡x1+sin⁡x−1+sin⁡x1−sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2tan⁡x2\tan x

Cevap

2tan⁡x2\tan x
Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğu için kök dışına çıkarılırken eksi ile çarpılarak çıkar. Paylar ortak paydada sadeleştirildiğinde pay kısmında −2sin⁡x-2\sin x, paydada ise −cos⁡x-\cos x kalır ve oranlandığında 2tan⁡x2\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirlerin paydalarını rasyonel yapmak için her iki köklü ifadeyi paydalarının eşlenikleriyle genişletelim.
(1−sin⁡x)21−sin⁡2x−(1+sin⁡x)21−sin⁡2x\sqrt{\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}
Ortak payda elde etmek ve kök dışına çıkarmayı kolaylaştırmak.
2
1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x = \cos^2 x özdeşliğini yazıp ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
∣1−sin⁡x∣∣cos⁡x∣−∣1+sin⁡x∣∣cos⁡x∣\frac{|1-\sin x|}{|\cos x|} - \frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını uygulamak.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (3. bölgede) trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyelim.
∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x| = -\cos x, ∣1−sin⁡x∣=1−sin⁡x|1-\sin x| = 1-\sin x ve ∣1+sin⁡x∣=1+sin⁡x|1+\sin x| = 1+\sin x olduğundan ifade 1−sin⁡x−cos⁡x−1+sin⁡x−cos⁡x\frac{1-\sin x}{-\cos x} - \frac{1+\sin x}{-\cos x} olur.
3. bölgede kosinüs negatif, sinüs ise −1-1 ile 00 arasında değer aldığından mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeleri ortak paydada birleştirip sadeleştirelim.
1−sin⁡x−(1+sin⁡x)−cos⁡x=−2sin⁡x−cos⁡x=2tan⁡x\frac{1-\sin x - (1+\sin x)}{-\cos x} = \frac{-2\sin x}{-\cos x} = 2\tan x
İşlemleri tamamlayarak en sade biçime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret İncelemesi
Soru 2592Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ,
m(DAC^)=90∘m(\widehat{DAC}) = 90^\circ ve
∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD|

olduğuna göre, sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında ∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC}) elde edilir. ADCADC dik üçgeninde sinüs tanımından ∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB}) bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip ∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD| yazıldığında 2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB}) olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak
∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})
ADAD ortak kenarını BDBD ve BB açısı cinsinden ifade etmek için
2
ADCADC dik üçgeninde sinüs oranını yazmak
∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})
ADAD ortak kenarını CDCD ve CC açısı cinsinden ifade etmek için
3
İki üçgenden elde edilen ADAD uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak
2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})
BDBD ve CDCD arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için
4
∣BD∣|BD| terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak
sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)=2\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2
İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları
Soru 2593Soru →

Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a8+a13+a18=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56
a6⋅a15=115a_6 \cdot a_{15} = 115

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −5-5 olarak bulunur.
Verilen terimlerin indis toplamları eşit olduğundan (3+18=8+13=6+15=213+18 = 8+13 = 6+15 = 21), denklem 2(a6+a15)=56  ⟹  a6+a15=282(a_6+a_{15}) = 56 \implies a_6+a_{15}=28 şeklinde sadeleşir. Çarpımları 115 ve toplamları 28 olan sayılar 5 ile 23'tür. Ortak farkı pozitif (artan dizi) olduğu için a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23 bulunur. Buradan ortak fark r=2r = 2 ve ilk terim a1=a6−5r=−5a_1 = a_6 - 5r = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis özelliklerini kullanarak ilişkilendirme yapılması
a3+a18=a8+a13=a6+a15a_3 + a_{18} = a_8 + a_{13} = a_6 + a_{15}
Aritmetik dizilerde indislerinin toplamı eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir (3+18=8+13=6+15=213 + 18 = 8 + 13 = 6 + 15 = 21 olduğu için).
2
Verilen toplam denkleminden a6+a15a_6 + a_{15} değerinin çekilmesi
a6+a15=28a_6 + a_{15} = 28
a3+a8+a13+a18=2(a6+a15)=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 2(a_6 + a_{15}) = 56 eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
Toplamları 28 ve çarpımları 115 olan terimlerin belirlenmesi
a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23
x2−28x+115=0  ⟹  (x−5)(x−23)=0x^2 - 28x + 115 = 0 \implies (x-5)(x-23) = 0 denkleminin kökleri 5 ve 23'tür. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim daha küçük olmalıdır.
4
Dizinin ortak farkının (rr) hesaplanması
r=2r = 2
a15−a6=9r  ⟹  23−5=9r  ⟹  18=9ra_{15} - a_6 = 9r \implies 23 - 5 = 9r \implies 18 = 9r eşitliği çözülür.
5
İlk terimin (a1a_1) bulunması
a1=−5a_1 = -5
a6=a1+5r  ⟹  5=a1+5(2)  ⟹  a1=5−10a_6 = a_1 + 5r \implies 5 = a_1 + 5(2) \implies a_1 = 5 - 10 işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği ve genel terim formülü
Soru 2594Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu noktaları köşe kabul eden ABCABC üçgeninin CC köşesindeki açısının ölçüsü 90∘90^\circ'dir.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile ilgili;
I. xx-eksenini daima farklı iki noktada keser.
II. yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı ile parabolün başkatsayısının çarpımı −1-1'dir.
III. a>0a > 0 ve b>0b > 0 ise, parabolün tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III ifadesinin yer aldığı seçenektir.
Soruda verilen diklik koşulu analitik düzlemde Öklid bağıntısı ile birleştirildiğinde başkatsayı aa ile y-kesim noktası cc arasında ac=−1ac = -1 ilişkisini verir. Bu ilişkiden yola çıkarak Δ=b2+4>0\Delta = b^2 + 4 > 0 olduğu için x-ekseni daima iki farklı noktada kesilir. Ayrıca a>0a > 0 ve b>0b > 0 durumunda tepe noktası koordinatları r<0r < 0 ve k<0k < 0 olacağından üçüncü bölgede yer alır. Bu nedenle tüm öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kestiği noktaları tanımlama
C(0,c)C(0, c) noktası y-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) noktaları ise x-eksenini kestiği noktalardır (x1x_1 ve x2x_2 denklemin kökleridir).
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve aralarındaki geometrik ilişkiyi kurmak için bu adım gereklidir.
2
Dik üçgen özelliğini ve Öklid bağıntısını uygulama
OC⊥ABOC \perp AB olduğundan Öklid bağıntısı gereği ∣OC∣2=∣OA∣⋅∣OB∣|OC|^2 = |OA| \cdot |OB| elde edilir. Koordinatları yerine yazarsak c2=∣x1⋅x2∣c^2 = |x_1 \cdot x_2| olur. Dik üçgen oluşabilmesi için AA ve BB noktaları orijinin farklı taraflarında olmalıdır, yani x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 olmalıdır. Vieta formülünden x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} olduğundan c2=−cac^2 = -\frac{c}{a} yazılır. c≠0c \neq 0 olduğundan ac=−1ac = -1 bulunur.
CC köşesindeki 90∘90^\circ diklik şartını cebirsel olarak ifade etmek için Öklid bağıntısı kullanılır.
3
Diskriminant analizi ile x-eksenini kestiği noktaları inceleme
Diskriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplanır. ac=−1ac = -1 yazıldığında Δ=b2+4\Delta = b^2 + 4 elde edilir. Her bb gerçel sayısı için b2≥0b^2 \geq 0 olduğundan Δ≥4>0\Delta \geq 4 > 0 olur. Bu durumda parabol x-eksenini daima farklı iki noktada keser (I. öncül doğrudur).
Parabolün x-eksenini kesip kesmediğini belirlemek için diskriminantın işaretini kontrol etmek gerekir.
4
Tepe noktasının koordinatlarını ve bölgesini inceleme
a>0a > 0 ve b>0b > 0 iken tepe noktasının apsisi r=−b2a<0r = -\frac{b}{2a} < 0 olur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(r)=−b24a+ck = f(r) = -\frac{b^2}{4a} + c şeklindedir. ac=−1ac = -1 ve a>0a > 0 olduğundan c=−1a<0c = -\frac{1}{a} < 0 olur. Dolayısıyla k=−b24a−1ak = -\frac{b^2}{4a} - \frac{1}{a} ifadesinin her iki terimi de negatif olup k<0k < 0 bulunur. Apsis ve ordinat negatif (r<0,k<0r < 0, k < 0) olduğundan tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir (III. öncül doğrudur).
Verilen işaret koşulları altında tepe noktasının apsis ve ordinatının işaretlerini belirleyerek hangi bölgede yer aldığını bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2595Soru →
Bütün terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a52−a32=15a_5^2 - a_3^2 = 15
a4−a3=1a_4 - a_3 = 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 ve üçüncü terimi a3=1a_3 = 1 olarak elde edildiğinde, a6=a3⋅r3a_6 = a_3 \cdot r^3 formülünden altıncı terim 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak, a4a_4 ve a5a_5 terimlerini a3a_3 ve ortak çarpan rr cinsinden ifade edelim.
a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ve a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 elde edilir.
Tüm terimleri tek bir terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
2
Bulduğumuz ifadeleri verilen denklemlerde yerine koyalım.
a4−a3=1  ⟹  a3(r−1)=1  ⟹  a3=1r−1a_4 - a_3 = 1 \implies a_3(r-1) = 1 \implies a_3 = \frac{1}{r-1} ve a52−a32=15  ⟹  a32(r4−1)=15a_5^2 - a_3^2 = 15 \implies a_3^2(r^4-1) = 15 elde edilir.
Denklemleri tek bir değişkene bağlı hale getirip ortak çözebilmek için.
3
a3=1r−1a_3 = \frac{1}{r-1} ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yapalım.
(1r−1)2(r2−1)(r2+1)=15  ⟹  (r−1)(r+1)(r2+1)(r−1)2=15  ⟹  (r+1)(r2+1)r−1=15\left(\frac{1}{r-1}\right)^2 (r^2-1)(r^2+1) = 15 \implies \frac{(r-1)(r+1)(r^2+1)}{(r-1)^2} = 15 \implies \frac{(r+1)(r^2+1)}{r-1} = 15 elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirip çözülebilir bir r denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim ve çözelim.
(r+1)(r2+1)=15(r−1)  ⟹  r3+r2+r+1=15r−15  ⟹  r3+r2−14r+16=0(r+1)(r^2+1) = 15(r-1) \implies r^3 + r^2 + r + 1 = 15r - 15 \implies r^3 + r^2 - 14r + 16 = 0 olur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü r=2r = 2 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanı olan r değerini belirlemek için.
5
r=2r = 2 değerini kullanarak dizinin üçüncü terimini (a3a_3) ve ardından bizden istenen altıncı terimini (a6a_6) hesaplayalım.
a3=12−1=1a_3 = \frac{1}{2-1} = 1 olur. Buradan a6=a3⋅r3=1⋅23=8a_6 = a_3 \cdot r^3 = 1 \cdot 2^3 = 8 bulunur.
Dizinin 6. teriminin değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terimi ve ardışık terimleri arasındaki ilişkiler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2596Soru →

Birbirine paralel ve iletken iki levha, bir üretece bağlanarak yüklenmiştir. Levhalar arasında oluşan düzgün elektrik alan içerisindeki KK noktasından serbest bırakılan +q+q yüklü parçacık LL noktasına ulaştığında, elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş WW olmaktadır.

Buna göre, aynı levhalar arasında serbest bırakılan −q-q yüklü bir parçacık LL noktasından KK noktasına ulaştığında elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş kaç WW olur? (Yer çekimi ve sürtünmeler önemsizdir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş 1W1 W olur.
Elektriksel kuvvetin yaptığı iş, cismin yükü ile hareket ettiği noktalar arasındaki potansiyel farkın çarpımıyla bulunur (W=qΔVW = q \Delta V). K noktasından L noktasına hareket eden +q+q yükü için yapılan iş W=q(VK−VL)W = q(V_K - V_L)'dir. −q-q yükü L noktasından K noktasına hareket ettiğinde yapılan iş W′=(−q)(VL−VK)=q(VK−VL)=WW' = (-q)(V_L - V_K) = q(V_K - V_L) = W olur. Hem kuvvetin yönü hem de yer değiştirme yönü aynı anda tersine döndüğü için yapılan iş pozitif ve aynı büyüklükte kalır.

Adım Adım Çözüm

1
+q yüklü cisim için elektriksel kuvvetin yönünü ve yapılan işi belirleme
Elektrik alan yönü K'den L'ye doğrudur. +q yüklü cisme etki eden kuvvet elektrik alanla aynı yönde, yani K'den L'ye doğrudur. Yer değiştirme de K'den L'ye doğru olduğundan yapılan iş W=F⋅x=(+qE)⋅x>0W = F \cdot x = (+qE) \cdot x > 0 olur.
Elektriksel kuvvetin yaptığı iş, kuvvet ile yer değiştirme vektörlerinin skaler çarpımıdır.
2
-q yüklü cisim için elektriksel kuvvetin yönünü ve yapılan işi belirleme
-q yüklü cisme etki eden kuvvet elektrik alanla zıt yönde, yani L'den K'ye doğrudur. Cismin hareketi de L'den K'ye doğru olduğu için kuvvet ve yer değiştirme aynı yönlüdür. Yapılan iş W′=F′⋅x′=(−q)(−E)⋅x=qEx=WW' = F' \cdot x' = (-q)(-E) \cdot x = qEx = W olur.
Zıt işaretli yüke etki eden kuvvetin yönü ve hareket yönü aynı anda tersine döndüğü için yapılan iş pozitif kalır.

Anahtar Kavram

Düzgün elektrik alanda yüklü parçacıklar üzerine etki eden elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, yükün işareti ile potansiyel farkın çarpımına eşittir (W=qΔVW = q \Delta V). Kuvvet ile hareket yönü aynı olduğunda iş pozitif, zıt olduğunda ise negatiftir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2597Soru →

Tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olan f(x)=x2−mx+nf(x) = x^2 - mx + n parabolü, y-eksenini (0,−8)(0, -8) noktasında kesmektedir. Bu parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede yer aldığından tepe noktasının apsisi pozitif olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve kökler arasındaki uzaklığı 6 birim yapan m değeri 2 olarak bulunur.
Parabolün y-eksenini kestiği koordinattan n = -8 değeri saptanır. Kökler arasındaki uzaklık bağıntısından m^2 = 4 denklemine ulaşılır. Tepe noktasının dördüncü bölgede bulunması koşulu tepe noktasının apsisi olan r = m/2 değerinin pozitif olmasını gerektirdiğinden m sayısının pozitif değeri olan 2 alınmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kesti��i nokta yardımıyla n değerini bulun.
n=−8n = -8
Grafiğin y-eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır. Bu durumda f(0)=−8f(0) = -8 olmalıdır. Fonksiyonda x=0x = 0 yazılırsa 02−m(0)+n=−80^2 - m(0) + n = -8 eşitliğinden n=−8n = -8 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m^2 de��erini bulun.
m2=4m^2 = 4
Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Bu noktalar x2−mx−8=0x^2 - mx - 8 = 0 denkleminin kökleridir. İki kök arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=m2−4(1)(−8)=m2+32|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{m^2 - 4(1)(-8)} = \sqrt{m^2 + 32} şeklinde ifade edilir. Bu uzaklık 6 birim olarak verildiğinden m2+32=6⇒m2+32=36⇒m2=4\sqrt{m^2 + 32} = 6 \Rightarrow m^2 + 32 = 36 \Rightarrow m^2 = 4 bulunur.
3
Tepe noktasının koordinat bölgesini inceleyerek m değerini netleştirin.
m=2m = 2
m2=4m^2 = 4 eşitliğinden m=2m = 2 veya m=−2m = -2 değerleri elde edilir. Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m2r = -\frac{b}{2a} = \frac{m}{2} formülü ile hesaplanır. Tepe noktasının dördüncü bölgede olması için apsisinin pozitif (r>0r > 0) olması gerekir. Buradan m2>0⇒m>0\frac{m}{2} > 0 \Rightarrow m > 0 olmalıdır. Dolayısıyla m=2m = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik hesabı ve tepe noktası özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2598Soru →

Şekildeki üç farklı basit makine düzeneğinde özdeş GG ağırlıklı yükler, sürtünmelerin ve makara ağırlıklarının önemsenmediği ortamlarda sırasıyla F1F_1, F2F_2 ve F3F_3 büyüklüğündeki kuvvetlerle dengelenmiştir.

* Sistem I: Eğik düzlem üzerindeki GG ağırlıklı yüke bağlı hareketli makarayı çeken ip, eğik düzleme paralel F1F_1 kuvvetiyle dengelenmiştir. Eğik düzlemin yatayla yaptığı açı 30∘30^\circ’dir.
* Sistem II: Bir ucu etrafında serbestçe dönebilen ağırlıksız, homojen kaldıracın desteğe uzaklığı dd olan noktasına GG ağırlıklı yük asılmıştır. Kaldıracın desteğe uzaklığı 3d3d olan diğer ucuna bağlı ip, silindir yarıçapı rr olan çıkrık sistemine sarılmıştır. Çıkrık kolunun uzunluğu 2r2r olup, kola dik olarak uygulanan F2F_2 kuvvetiyle sistem dengededir.
* Sistem III: Vida adımı aa olan bir vidaya bağlı kolun uzunluğu R=43aR = \frac{4}{3}a’dır. Kola dik olarak uygulanan F3F_3 kuvvetiyle, vidanın ilerlemesine karşı koyan GG büyüklüğündeki direnç kuvveti dengelenmiştir.

Buna göre; bu sistemlerde yükleri dengede tutan F1F_1, F2F_2 ve F3F_3 kuvvetlerinin büyüklüklerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız. (sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0,5 ve π=3\pi = 3 alınız.)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sistemlerdeki denge koşulları incelendiğinde kuvvetlerin büyüklükleri sırasıyla F1=0,25GF_1 = 0,25G, F2≈0,167GF_2 \approx 0,167G ve F3=0,125GF_3 = 0,125G olarak bulunur. Bu değerlerin büyükten küçüğe doğru sıralanışı F1>F2>F3F_1 > F_2 > F_3 şeklindedir.
Sistem I'de eğik düzlem ve hareketli makara analiz edildiğinde F1=0,25GF_1 = 0,25G bulunur. Sistem II'de kaldıraçtan gelen T=G/3T = G/3 gerilmesi çıkrık sisteminde dengelendiğinde F2=G/6≈0,167GF_2 = G/6 \approx 0,167G olur. Sistem III'te ise vida prensibi gereği F3=G/8=0,125GF_3 = G/8 = 0,125G elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en büyük kuvvetin Sistem I'de, en küçük kuvvetin ise Sistem III'te olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem I için kuvvet dengesini yazarak F1F_1 kuvvetini bulunuz.
F1=0,25GF_1 = 0,25G
Eğik düzlem üzerindeki GG ağırlıklı yükün eğik düzleme paralel aşağı doğru bileşeni Gsin⁡30∘=0,5GG \sin 30^\circ = 0,5G olur. Bu kuvveti dengeleyen hareketli makaradaki iki ip koludur. Dolayısıyla 2F1=0,5G⇒F1=0,25G2F_1 = 0,5G \Rightarrow F_1 = 0,25G elde edilir.
2
Sistem II'de önce kaldıraçtaki ip gerilmesini (TT), ardından çıkrık dengesinden F2F_2 kuvvetini bulunuz.
F2=G6F_2 = \frac{G}{6}
Kaldıraçta desteğe göre tork alınırsa: T⋅3d=G⋅d⇒T=G3T \cdot 3d = G \cdot d \Rightarrow T = \frac{G}{3} olur. Çıkrıkta ise dönme eksenine göre tork dengesinden: F2⋅2r=T⋅r⇒F2⋅2r=G3⋅r⇒F2=G6F_2 \cdot 2r = T \cdot r \Rightarrow F_2 \cdot 2r = \frac{G}{3} \cdot r \Rightarrow F_2 = \frac{G}{6} elde edilir.
3
Sistem III'te vida için iş prensibini uygulayarak F3F_3 kuvvetini bulunuz.
F3=0,125GF_3 = 0,125G
Vida adımı aa, kol uzunluğu R=43aR = \frac{4}{3}a ve π=3\pi = 3 değerleri kullanılarak vida denklemi yazılır: F3⋅2πR=G⋅a⇒F3⋅2⋅3⋅43a=G⋅a⇒F3⋅8a=G⋅a⇒F3=G8=0,125GF_3 \cdot 2\pi R = G \cdot a \Rightarrow F_3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{4}{3}a = G \cdot a \Rightarrow F_3 \cdot 8a = G \cdot a \Rightarrow F_3 = \frac{G}{8} = 0,125G bulunur.
4
Elde edilen kuvvet değerlerini karşılaştırarak büyükten küçüğe sıralayınız.
F1>F2>F3F_1 > F_2 > F_3
0,25G>0,167G>0,125G0,25G > 0,167G > 0,125G olduğundan kuvvetlerin sıralaması F1>F2>F3F_1 > F_2 > F_3 şeklindedir.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde kuvvet kazancı, tork ve iş prensiplerinin bileşke sistemlere uygulanması
Soru 2599Soru →
xx birden farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3(x2)⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3(x^2) \cdot \log_5 x + \log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemin çözümünden elde edilen xx değeri 60'tır.
Verilen denklemin her iki tarafı log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölündüğünde ve taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) uygulandığında denklem ortak xx tabanında basit bir logaritmik toplama denklemine dönüşür. Logaritmaların toplama kuralı kullanılarak tek terim haline getirilen denklemden x=60x = 60 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirmek.
log⁡3(x2)=2log⁡3x\log_3(x^2) = 2\log_3 x ve log⁡5x⋅log⁡2(x2)=12log⁡5x⋅2log⁡2x=log⁡5x⋅log⁡2x\log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2) = \frac{1}{2}\log_5 x \cdot 2\log_2 x = \log_5 x \cdot \log_2 x eşitlikleri elde edilir.
Logaritmanın log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n\log_a b özelliğini kullanarak ifadeleri en yalın biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
2
Elde edilen sadeleşmiş terimleri orijinal denklemde yerine koymak.
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+2log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + 2\log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x denklemi elde edilir.
Tüm terimleri ortak çarpanlar halinde görebilmek amacıyla yapılmıştır.
3
Denklemin her iki tarafını log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölmek.
1=1log⁡5x+2log⁡2x+1log⁡3x1 = \frac{1}{\log_5 x} + \frac{2}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} eşitliği elde edilir.
Her bir terimi taban değiştirme özelliğine uygun kesirli biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
4
Taban değiştirme kuralını uygulamak.
1=log⁡x5+2log⁡x2+log⁡x31 = \log_x 5 + 2\log_x 2 + \log_x 3 eşitliği elde edilir.
Farklı tabanlardaki ifadeleri ortak xx tabanında birle��tirebilmek amacıyla yapılmıştır.
5
Logaritma toplama özelliğini ve kat sayı kuralını uygulayarak sağ tarafı tek bir logaritma altında birleştirmek.
1=log⁡x5+log⁡x(22)+log⁡x3  ⟹  1=log⁡x(5⋅4⋅3)  ⟹  1=log⁡x601 = \log_x 5 + \log_x(2^2) + \log_x 3 \implies 1 = \log_x(5 \cdot 4 \cdot 3) \implies 1 = \log_x 60 eşitliği elde edilir.
Aynı tabandaki logaritmaların toplamının, argümanların çarpımına eşit olması kuralını uygulamak amacıyla yapılmıştır.
6
Logaritma tanımını kullanarak bilinmeyeni çekmek.
x1=60  ⟹  x=60x^1 = 60 \implies x = 60 elde edilir.
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımından yararlanarak denklem çözülmüştür.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2600Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−2)2(x2−2x−24)x2−4x−5≤0\frac{(x-2)^2(x^2-2x-24)}{x^2-4x-5} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı −1-1 de��erine eşittir.
Doğru yanıt −1-1 değeridir. Eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,−1)∪(5,6]∪{2}[-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar −4,−3,−2,2-4, -3, -2, 2 ve 66 olup, bu sayıların toplamı −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin kökleri bulunur ve köklerin tek/çift katlı olma durumları belirlenir.
Payın kökleri: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök) ve x2−2x−24=(x−6)(x+4)=0⇒x=6,x=−4x^2-2x-24 = (x-6)(x+4) = 0 \Rightarrow x = 6, x = -4 (tek katlı kökler). Paydanın kökleri: x2−4x−5=(x−5)(x+1)=0⇒x=5,x=−1x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 5, x = -1 (tek katlı kökler).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturulurken tüm sınır değerlerin (köklerin) doğru belirlenmesi gerekir.
2
Kökler küçükten büyüğe doğru sıralanarak işaret inceleme tablosu hazırlanır.
Köklerin sıralaması: −4<−1<2<5<6-4 < -1 < 2 < 5 < 6 şeklindedir.
İşaret tablosunda aralıkların sayı doğrusuna uygun sırada yer alması zorunludur.
3
Eşitsizliğin en sağ bölgesindeki başlangıç işareti belirlenir.
Paydaki (x−2)2(x-2)^2 teriminin başkatsayısı pozitif (+), x2−2x−24x^2-2x-24 teriminin başkatsayısı pozitif (+), paydadaki x2−4x−5x^2-4x-5 teriminin başkatsayısı pozitiftir (+). Bu işaretlerin çarpım ve bölümü pozitif (+) olduğundan, tablonun en sağından (6'dan büyük değerler için) (+) işareti ile başlanır.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları tablonun başlangıç işaretini tayin eder.
4
Sağdan sola doğru kök geçişlerinde işaretler belirlenir ve payda kökleri ile eşitlik durumu incelenir.
Kök geçişleri şu şekildedir: (6,∞)(6, \infty) aralığında (+); tek katlı kök x=6x=6 geçildiğinde [5,6][5, 6] aralığında (-); tek katlı payda kökü x=5x=5 geçildiğinde (2,5)(2, 5) aralığında (+); çift katlı kök x=2x=2 geçildiğinde işaret değişmez ve (−1,2](-1, 2] aralığında (+); tek katlı payda kökü x=−1x=-1 geçildiğinde [−4,−1)[-4, -1) aralığında (-); tek katlı kök x=−4x=-4 geçildiğinde (−∞,−4)(-\infty, -4) aralığında (+) olur.
Çift katlı köklerde işaret değişmezken, tek katlı köklerde işaret yön değiştirir. Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
5
Küçük veya eşit sıfır (≤0\leq 0) koşulunu sağlayan en geniş çözüm kümesi yazılır.
Çözüm kümesi: S=[−4,−1)∪(5,6]∪{2}S = [-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak bulunur.
Sıfıra eşit veya negatif olan aralıklar ile payı sıfır yapan ancak paydayı sıfır yapmayan köklerin birleşimi alınır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenerek toplanır.
[−4,−1)[-4, -1) aralığındaki tam sayılar: −4,−3,−2-4, -3, -2.
(5,6](5, 6] aralığındaki tam sayı: 66.
Tekil çözüm noktası: 22.
Bu değerlerin toplamı: (−4)+(−3)+(−2)+2+6=−1(-4) + (-3) + (-2) + 2 + 6 = -1 bulunur.
Soru kökünde istenen farklı tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için bu işlemler gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerin çözümünde kök analizi, çift katlı kök davranışı, payda köklerinin tanımsızlık durumu ve işaret tablosunun oluşturulması.
ÖncekiSayfa 130 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin