Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 241Soru →
f(x)=log⁡x2−3x−3(16−x2)f(x) = \log_{x^2 - 3x - 3}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geni�� tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -5'tir.
Logaritmanın tanım kuralları uygulandığında 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden x∈(−4,4)x \in (-4, 4) bulunur. Taban koşullarından x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 eşitsizliği ve x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1 şartı birlikte değerlendirildiğinde bu aralıkta sağlayan tam sayılar yalnızca −3-3 ve −2-2 olup, toplamları −5-5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Argümanın pozitif olması koşulunu (16−x2>016 - x^2 > 0) çözmek.
x∈(−4,4)x \in (-4, 4) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümesidir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın pozitif olması koşulunu (x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0) incelemek.
İlk adımdaki tam sayılardan bu koşulu sağlayanlar {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} olarak bulunur. x∈{0,1,2,3}x \in \{0, 1, 2, 3\} için taban negatif olur.
Logaritmanın tabanı daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu (x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1) incelemek.
x2−3x−4≠0  ⟹  (x−4)(x+1)≠0  ⟹  x≠4x^2 - 3x - 4 \neq 0 \implies (x-4)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 4 ve x≠−1x \neq -1 elde edilir. Bu durumda {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} kümesinden x=−1x = -1 değeri elenerek {−3,−2}\{-3, -2\} bulunur.
Logaritmanın tabanı 1'e eşit olamaz.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
(−3)+(−2)=−5(-3) + (-2) = -5
Soruda tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın pozitif ve tabanın 1'den farklı olması gerekir.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliklerin ortak çözüm kümesini işaret tablosu oluşturarak bulmak: 16−x2>016-x^2 > 0 için kökler −4-4 ve 44, işaret tablosu +−++ - + şeklinde incelenir ve (−4,4)(-4, 4) aralığı bulunur. x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 için kökler yaklaşık −0.79-0.79 ve 3.793.79'dur. Bu iki aralığın kesişimi (−4,−0.79)∪(3.79,4)(-4, -0.79) \cup (3.79, 4) olur. Bu kümedeki tam sayılar −3-3 ve −2-2 olup toplamları −5-5 yapar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 242Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Sadeleştirme adımları ve yarım açı formülü uygulandığında doğru cevap -0.8 olarak bulunur.
İfadenin payındaki 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimi 2sin⁡2x2\sin^2 x şeklinde, paydasındaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimi ise 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x şeklinde yazıldığında oran tan⁡x=3\tan x = 3 olarak sadeleşir. xx açısının üçüncü bölgede olmasıyla uyumlu olarak tan⁡x\tan x pozitiftir. Bu açı değerine göre cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1 ve sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 bulunur. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x ifadesinden aranan değer −0.8-0.8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeyi yarım açı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
tan⁡x=3\tan x = 3
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülleri yerine yazıldığında pay 2sin⁡2x2\sin^2 x ve payda 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x olur. Oranlandığında tan⁡x=3\tan x = 3 elde edilir.
2
Dik üçgen bağıntısı ve bölge analizini kullanarak trigonometrik değerlerin karelerini belirleyin.
sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 ve cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1
tan⁡x=3\tan x = 3 bağıntısına uygun dik üçgende hipotenüs 12+32=10\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} olur. Buradan sin⁡2x=(310)2=910\sin^2 x = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} ve cos⁡2x=(110)2=110\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=−0.8\cos(2x) = -0.8
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünden 110−910=−0.8\frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -0.8 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonları için yarım açı formüllerinin uygulanması ve sadeleştirme.
Soru 243Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1sin⁡(2x)−1cos⁡(2x)=22\frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{\cos(2x)} = 2\sqrt{2}
olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Doğru cevap 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenerek düzenlendiğinde cos(2x) - sin(2x) = sqrt(2) * sin(4x) eşitliği elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının karesi alındığında sin(4x) değişkenine bağlı 2sin^2(4x) + sin(4x) - 1 = 0 ikinci dereceden denklemi kurulur. Verilen x aralığına göre 4x açısı birinci bölgede olduğundan sin(4x) değeri pozitif olmalıdır ve 0.5 olarak bulunur. cos(8x) ifadesi yarım açı formülüyle 1 - 2sin^2(4x) şeklinde açıldığında doğru değer 0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede paydaları eşitleyerek denklemi düzenleyelim.
cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=22sin⁡(2x)cos⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\sqrt{2}\sin(2x)\cos(2x) ve sağ tarafta yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=2sin⁡(4x)\cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}\sin(4x) elde edilir.
İfadeleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilmek ve yarım açı formüllerinden yararlanmak amacıyla payda eşitlenir.
2
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesini alalım.
(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))2=(2sin⁡(4x))2  ⟹  1−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(4x)  ⟹  1−sin⁡(4x)=2sin⁡2(4x)(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = (\sqrt{2}\sin(4x))^2 \implies 1 - 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin^2(4x) \implies 1 - \sin(4x) = 2\sin^2(4x)
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğini ve sinüs yarım açı formülünü kullanarak denklemi ikinci dereceden tek değişkenli bir denkleme dönü��türmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözelim.
2sin⁡2(4x)+sin⁡(4x)−1=0  ⟹  (2sin⁡(4x)−1)(sin⁡(4x)+1)=02\sin^2(4x) + \sin(4x) - 1 = 0 \implies (2\sin(4x) - 1)(\sin(4x) + 1) = 0 buradan sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(4x)=−1\sin(4x) = -1 elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun alabileceği olası değerleri belirlemek için.
4
Açının tanım aralığına göre uygun kökü seçip yarım açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayalım.
x∈(0,π8)  ⟹  4x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) \implies 4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan sin⁡(4x)>0\sin(4x) > 0 olmalıdır. Bu yüzden sin⁡(4x)=0.5\sin(4x) = 0.5 alınır. Kosinüs yarım açı formülünden cos⁡(8x)=1−2sin⁡2(4x)=1−2(0.25)=0.5\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x) = 1 - 2(0.25) = 0.5 bulunur.
Tanım aralığı birinci bölgeye karşılık geldiğinden sinüs değeri pozitif seçilir ve çift kat açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 244Soru →

Bir dağcı grubu A noktasındaki kamp alanından doğrusal bir rota boyunca kuzey yönünde 5 km5\text{ km} yürüyerek B noktasına ulaşmıştır. Bu noktada yönünü değiştirerek kuzey doğrultusuyla saat yönünde 120∘120^\circ lik açı yapan yeni bir doğrusal rota üzerinde 8 km8\text{ km} daha yürümüş ve C noktasına varmıştır.

Buna göre, dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı (A noktası) arasındaki en kısa mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı arasındaki en kısa mesafe 7 km7\text{ km}'dir.
Kuzey doğrultusundan saat yönünde 120∘120^\circ sapıldığında hareket doğrultuları arasında oluşan dış açı 120∘120^\circ derecedir. Bu doğrultuların oluşturduğu üçgenin iç açısı ise bütünler açı kuralı gereği 60∘60^\circ olur. Kenar uzunlukları 5 km5\text{ km} ve 8 km8\text{ km}, aralarındaki açı 60∘60^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) işleminden en kısa mesafe 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hareket rotalarını analiz ederek ABC üçgeninin iç açısını belirlemek
Üçgenin B köşesindeki iç açısının 60∘60^\circ olduğunu tespit etmek
Kuzey yönünde ilerleyen dağcının saat yönünde 120∘120^\circ sapması, iki hareket doğrultusu arasındaki dış açının 120∘120^\circ olması anlamına gelir. Bir doğru açı 180∘180^\circ olduğundan iç açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur.
2
Kosinüs Teoremi formülünü kurmak ve değerleri yerine yazmak
∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) denklemini elde etmek
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, karşılarındaki kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak
∣AC∣=7 km|AC| = 7\text{ km}
∣AC∣2=25+64−2⋅40⋅0.5=89−40=49|AC|^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49 olur. 4949 sayısının karekökü alındığında uzunluk 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 245Soru →
log⁡2(9x−3)=xlog⁡23+1\log_2(9^x - 3) = x\log_2 3 + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 11 olarak bulunur.
Denklemin sağ tarafı \log_2(2 \cdot 3^x) olarak yazıldıktan sonra tabanların eşitliğinden 9^x - 3 = 2 \cdot 3^x elde edilir. Bu denklemde 3^x = t dönüşümü yapıldığında t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi bulunur. Çarpanlarına ayrıldığında kökler t = 3 ve t = -1 gelir. Üstel ifade pozitif olmak zorunda olduğundan 3^x = 3 eşitliğinden tek geçerli gerçel kök x = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifade logaritma özellikleri kullanılarak düzenlenir.
xlog⁡23+1=log⁡2(3x)+log⁡22=log⁡2(2⋅3x)x\log_2 3 + 1 = \log_2(3^x) + \log_2 2 = \log_2(2 \cdot 3^x)
Eşitliğin her iki tarafını aynı tabanda logaritma içeren ifadelere dönüştürmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma tabanları aynı (2) olduğundan, logaritması alınan ifadeler (argümanlar) birbirine eşitlenir.
9x−3=2⋅3x9^x - 3 = 2 \cdot 3^x
Logaritmik fonksiyonun birebir olmasından dolayı tabanlar eşitse argümanların da eşit olması gerekir.
3
Elde edilen denklemde 3x=t3^x = t değişken değiştirmesi uygulanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur ve çözülür.
t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0⇒t=3t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3 veya t=−1t = -1
9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 yazarak denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem formuna getirmek için.
4
3x=t3^x = t eşitliği ve logaritmanın tanımlı olma koşulları kontrol edilerek xx değeri bulunur.
3x=3⇒x=13^x = 3 \Rightarrow x = 1 (çünkü 3x>03^x > 0 olmalıdır, bu yüzden t=−1t = -1 kökü alınmaz). x=1x = 1 için 91−3=6>09^1 - 3 = 6 > 0 olup logaritma tanımlıdır.
Üstel fonksiyonların görüntü kümesinin pozitif gerçel sayılar olması ve orijinal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları gereği elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma ve üstel denklemlerin çözümünde taban eşitleme, değişken değiştirme yöntemi ve logaritma tanım kümesi kontrollerinin uygulanması.
Soru 246Soru →
kk bir tam sayı olmak üzere,
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0
eşitsizliği en az bir negatif gerçel sayı için sağlanırken, x≤−3x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir gerçel sayı için sağlanmamaktadır.

Buna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin köklerinin x_1 ve x_2 olduğu durumda, çözüm kümesi (x_1, x_2) aralığıdır. En az bir negatif sayı için sağlanması x_1 < 0 olmasını, x <= -3 için sağlanmaması ise x_1 >= -3 olmasını gerektirir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde -3 <= x_1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik sistemi çözüldüğünde k tam sayı değerlerinin 1, 2 ve 3 olduğu görülür. Toplamları ise 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yöntemiyle k parametresine bağlı olarak bulun.
Diskriminant Δ=4(k+5)\Delta = 4(k+5) ve kökler x1=k−1−k+5x_1 = k-1 - \sqrt{k+5}, x2=k−1+k+5x_2 = k-1 + \sqrt{k+5} olarak elde edilir. Reel köklerin varlığı için k>−5k > -5 olmalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için sınır noktaları olan köklerin k cinsinden ifadesine ihtiyaç vardır.
2
İlk koşul olan 'en az bir negatif gerçel sayı için sağlanması' durumunu analiz edin.
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (x1,x2)(x_1, x_2) açık aralığıdır. Bu aralıkta negatif sayıların bulunması için en küçük sınır olan x1x_1'in sıfırdan küçük olması (x1<0x_1 < 0) gerekir. Buradan k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Baş katsayı pozitif olduğundan, ifadenin negatif olduğu bölge kökler arasıdır. Bu bölgenin negatif sayıları içermesi için sol ucun sıfırdan küçük olması gerekir.
3
İkinci koşul olan 'x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir değer için sağlanmama' durumunu analiz edin.
(x1,x2)(x_1, x_2) aralığının (−∞,−3](-\infty, -3] aralığıyla kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum x1≥−3x_1 \ge -3 olmasını gerektirir. Buradan k−1−k+5≥−3  ⟹  k+2≥k+5k-1 - \sqrt{k+5} \ge -3 \implies k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Eğer x1<−3x_1 < -3 olsaydı, aralıkta −3-3'ten küçük sayılar bulunurdu ve eşitsizlik bu sayılar için sağlanmış olurdu.
4
Elde edilen −3≤x1<0-3 \le x_1 < 0 eşitsizlik sistemini k değişkeni için çözün ve k tam sayı değerlerini belirleyin.
k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliğinden −5<k<4-5 < k < 4 elde edilir. k+2≥k+5k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliğinden ise k≥−3+132≈0.3k \ge \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \approx 0.3 elde edilir. İki aralığın kesişimi olan [1,4)[1, 4) aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup, toplamları 1+2+3=61+2+3=6 olarak bulunur.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan k parametresinin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 247Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası işaretlenmiştir.

[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC], m(ACD^)=30∘m(\widehat{ACD}) = 30^\circ ve ∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD|

olduğuna göre, ∣AC∣∣BC∣\frac{|AC|}{|BC|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen oran 4 olarak bulunur.
Ortak kenara sahip üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulanıp verilen oranlar yerine yazıldığında, büyük üçgendeki kenar oranının sinüs oranına eşit olduğu görülür ve sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BCDBCD dik üçgeninde sinüs tanımı yazılır.
BD=CDsin⁡(B)BD = \frac{CD}{\sin(B)}
[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC] olduğundan m(BCD^)=90∘m(\widehat{BCD}) = 90^\circ dir. BCDBCD dik üçgeninde sin⁡(B)=CDBD\sin(B) = \frac{CD}{BD} olur.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
ADsin⁡(30∘)=CDsin⁡(A)  ⟹  AD=CD2sin⁡(A)\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{CD}{\sin(A)} \implies AD = \frac{CD}{2\sin(A)}
ACDACD üçgeninin AA ve CC açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla CDCD ve ADAD olduğundan Sinüs Teoremi doğrudan uygulanabilir.
3
∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD| eşitliğinde elde edilen ifadeler yerine yazılır.
sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
CD2sin⁡(A)=2⋅CDsin⁡(B)  ⟹  12sin⁡(A)=2sin⁡(B)\frac{CD}{2\sin(A)} = 2 \cdot \frac{CD}{\sin(B)} \implies \frac{1}{2\sin(A)} = \frac{2}{\sin(B)} eşitliğinden oran elde edilir.
4
ABCABC üçgeninin tamamında Sinüs Teoremi kullanılarak istenen oran hesaplanır.
∣AC∣∣BC∣=sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi gereği ∣AC∣sin⁡(B)=∣BC∣sin⁡(A)\frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|BC|}{\sin(A)} bağ��ntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoreminin ortak kenar içeren alt üçgenlerde uygulanarak oran bulma amacıyla kullanılması.
Soru 248Soru →
x2−2x−3x+1≤0\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \le 0
x2−x−12<0x^2 - x - 12 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, x = -1 tanımsızlık noktası hariç tutularak x <= 3 olur. İkinci eşitsizlikten ise -3 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan (-3, 3] aralığından -1 çıkarıldığında sağlayan tam sayılar -2, 0, 1, 2, 3 olur ve toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_1 = (-\infty, 3] \setminus \{-1\}
İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki (x+1) terimleri sadeleşebilir fakat paydayı sıfır yapan x = -1 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
2
İkinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_2 = (-3, 4)
x^2 - x - 12 < 0 ifadesinin kökleri -3 ve 4'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan bu kökler arasında ifade negatif değerler alır.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişiminin alınması
C = (-3, 3] \setminus \{-1\}
Sistemin ortak çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
-2 + 0 + 1 + 2 + 3 = 4
Aralıktaki tam sayılar belirlenip toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 249Soru →
24sin⁡(π24)cos⁡3(π24)−24sin⁡3(π24)cos⁡(π24)24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos^3\left(\frac{\pi}{24}\right) - 24 \sin^3\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3'tür.
Verilen ifade ardışık olarak sinüs ve kosinüs yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde 6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) haline gelir. Buradan sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri kullanılarak doğru sonuç 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alma
24sin⁡(π24)cos⁡(π24)[cos⁡2(π24)−sin⁡2(π24)]24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{24}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{24}\right) \right]
İfadeyi yarım a��ı formüllerine uygun çarpanlara ayırmak.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini uygulama
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2 \sin x \cos x = \sin(2x) ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) formüllerini uygulamak.
3
Elde edilen ifadeye tekrar sinüs yarım açı formülünü uygulama
6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)=6⋅[2sin⁡(π12)cos⁡(π12)]=6sin⁡(π6)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = 6 \cdot \left[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right] = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) özdeşliğini kullanmak.
4
Bilinen trigonometrik açının değerini yerine yazma
33
sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değerini yerine yazarak işlemi tamamlamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri
Soru 250Soru →
f(x)=log⁡x+42x−2(x2−2x−8100−x2)f(x) = \log_{\frac{x+4}{2x-2}}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{100 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -6'dır.
Logaritma tanım kurallarına göre taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Bu koşullardan elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi olan (−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)(-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10) aralığındaki tam sayıların toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)
Logaritmanın tabanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu incele
x≠6x \neq 6
Logaritmanın tabanı 1 olamaz.
3
Argümanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−10,−2)∪(4,10)x \in (-10, -2) \cup (4, 10)
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Bulunan koşulların kesişimini al
x∈(−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)x \in (-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirle ve topla
Tam sayılar: −9,−8,−7,−6,−5,5,7,8,9-9, -8, -7, -6, -5, 5, 7, 8, 9; Toplam: −6-6
Tanım kümesi aralıklarındaki tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olması şartları rasyonel eşitsizlik sistemleri yardımıyla çözülür.
Soru 251Soru →
2log⁡49+5log⁡25162^{\log_{4} 9} + 5^{\log_{25} 16}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemin sonucu 7'dir.
Verilen ifadede logaritma taban değiştirme ve üs özellikleri kullanılarak 2log⁡492^{\log_4 9} ifadesi 3'e, 5log⁡25165^{\log_{25} 16} ifadesi ise 4'e eşitlenir. Bu iki değerin toplamı 7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡492^{\log_{4} 9} terimini sadeleştirme
33
log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b özelliği kullanılarak log⁡49=log⁡23\log_{4} 9 = \log_{2} 3 yazılır, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralı ile 2log⁡23=32^{\log_{2} 3} = 3 bulunur.
2
5log⁡25165^{\log_{25} 16} terimini sadeleştirme
44
log⁡2516=log⁡54\log_{25} 16 = \log_{5} 4 eşitliği kullanılarak 5log⁡54=45^{\log_{5} 4} = 4 elde edilir.
3
Terimleri toplama
77
Bulunan sadeleşmiş değerler toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b ve log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b
Soru 252Soru →
f(x)=log⁡x−2(16x−x2−15x2−15x+44)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{16x - x^2 - 15}{x^2 - 15x + 44}\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 39'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşullardan x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15) elde edilir. Kesişim kümesi olan (11,15)(11, 15) aralığındaki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 olup toplamları 39'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban ifadesinin tanım koşullarını belirleme
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın argümanının köklerini bulma
Payın kökleri x=1x = 1 ve x=15x = 15, paydanın kökleri x=4x = 4 ve x=11x = 11
Argümanın işaret tablosunu oluşturmak için pay ve paydanın sıfır yapan değerlerini belirlememiz gerekir.
3
Argümanın pozitif olduğu aralıkları bulmak için işaret tablosu yapma
x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15)
Logaritmanın içi (argümanı) daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
Tanım kümesindeki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 ve toplamları 3939
En geniş tanım kümesi her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Soru 253Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile y=2x+ky = 2x + k doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir.

[AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı 1111 olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k değeri 2'dir.
Ortak çözüm denklemi olan x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0 denkleminin kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olarak bulunur. Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi x0=x1+x22=3x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 3 olur. Bu nokta y=2x+ky = 2x + k doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı y0=6+ky_0 = 6 + k şeklindedir. Koordinatlar toplamı 3+6+k=113 + 6 + k = 11 eşitliğinden k=2k = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0
Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi elde etmek için iki fonksiyon birbirine eşitlenmelidir.
2
Kökler toplamı formülünü kullanarak orta noktanın apsisini hesaplayın.
x0=3x_0 = 3
Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
3
Orta noktanın ordinatını doğru denklemini kullanarak ifade edin.
y0=6+ky_0 = 6 + k
Orta nokta kesim doğrusunun üzerinde olduğundan, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 11'e eşitleyerek bilinmeyen sabit değeri bulun.
k=2k = 2
Elde edilen apsis ve ordinat değerlerinin toplamı, soruda verilen koordinatlar toplamına eşitlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları, ortak çözüm denkleminin kökleri ve kesim doğrusunun denklemi yardımıyla bulunur.
Soru 254Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir.

[AD][AD], BCBC kenarına ait kenarortay olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 3.5 birimdir.
Kosinüs Teoremi yardımıyla paralelkenarın köşegeni hesaplanıp ikiye bölünerek kenarortay uzunluğu doğru şekilde 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AD kenarortayını kendi uzunlu��u kadar uzatarak bir E noktası seçilmesi ve ABEC paralelkenarının oluşturulması.
ABEC bir paralelkenardır, bu nedenle BE kenarı AC kenarına paralel ve eşit uzunluktadır (|BE| = 5 birim).
Kenarortay uzunluğunu paralelkenar özellikleri ve Kosinüs Teoremi yardımıyla doğrudan hesaplayabilmek için geometrik bir ek çizim yapılır.
2
Paralelkenarın ardışık açılarının toplamı 180 derece olduğundan B açısının bulunması.
m(ABE) = 180° - 120° = 60°
Kosinüs Teoremi uygulayacağımız üçgenin iç açısını belirlemek.
3
ABE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AE uzunluğunun bulunması.
|AE|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * cos(60°) = 64 + 25 - 40 = 49, buradan |AE| = 7 birim.
Paralelkenarın köşegen uzunluğunu elde etmek.
4
AE uzunluğunun yarısı alınarak AD kenarortay uzunluğunun hesaplanması.
|AD| = 7 / 2 = 3.5 birim.
E noktasını AD = DE olacak şekilde seçtiğimiz için AE köşegeninin uzunluğu, AD kenarortayının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için paralelkenara tamamlama yöntemi veya kenarortay teoremi ile Kosinüs Teoremi'nin birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 255Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen [AD][AD] doğru parçası [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ
m(DAC^)=60∘m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

ABDABD ve ADCADC üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla R1R_1 ve R2R_2 birimdir.

R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

olduğuna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
Sinüs Teoremi gereği, her iki üçgende de taban uzunlukları karşısındaki açıların sinüsleri ve çevrel çember yarıçapları ile ifade edilir: ∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ ve ∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ. Bu ifadeler oranlandığında ∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} elde edilir. Verilen R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} oranı ile sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ve sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında aranan oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ
Bir üçgende bir kenar uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.
2
ADC üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ
Aynı Sinüs Teoremi bağıntısını ADC üçgeni için de kurarak [CD][CD] kenarı ile karşısındaki açıyı ilişkilendirmek.
3
Elde edilen denklemleri oranlayarak ∣BD∣/∣CD∣|BD|/|CD| oranını oluşturma
∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}
Ortak terimleri sadeleştirmek ve verilen R1/R2R_1/R_2 yarıçap oranını kullanabilmek amacıyla denklemleri birbirine oranlamak.
4
Değerleri yerine yerleştirip sonucu hesaplama
∣BD∣∣CD∣=2\frac{|BD|}{|CD|} = 2
sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 ve R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} değerlerini yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve çevrel çember yarıçapı (RR) ilişkisi: asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R
Soru 256Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−3)2(x+1)x−5≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 5} \le 0
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0
eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 10'dur.
Sistemi oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) ve ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralıklarıdır. Bu iki aralığın kesişimi [1,5)[1, 5) olup, bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) aralığıdır.
Payın köklerinden x=3x = 3 çift katlı köktür ve paydanın kökü olan x=5x = 5 tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralığıdır.
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0 ifadesi (x−6)(x−1)≤0(x - 6)(x - 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökler yardımıyla çözüm aralığı elde edilir.
3
Çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [1,5)[1, 5) aralığıdır.
Sistemin her iki eşitsizliği de sağlaması için iki çözüm kümesinin kesişimi ([−1,5)∩[1,6][-1, 5) \cap [1, 6]) alınmalıdır.
4
Ortak aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
Tam sayıların toplamı 10'dur.
[1,5)[1, 5) aralığındaki tam sayılar 1,2,3,41, 2, 3, 4 olup, bu sayıların toplamı 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesini bulma, çift katlı kök ve payda köklerinin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 257Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2
olduğuna göre, sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İfadenin değeri 0,8 olarak bulunur.
İstenen sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesi, (sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x şeklinde yazılıp düzenlendiğinde 1−12sin⁡2(2x)1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) ifadesine eşit olur. Diğer taraftan, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) yarım açı formülünden yararlanarak cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 değeri yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 elde edilir. Bu değer ilk eşitlikte yerine yazıldığında sonuç 1−0,2=0,81 - 0,2 = 0,8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesini, bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek amacıyla sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden ifade edin.
sin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡2(2x)\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x özdeşliğinde sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} eşitliklerini yerine yazmak için.
2
Verilen cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 eşitliğini, cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta yarım açı formülünü kullanarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden açın ve çözün.
sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4
0,2=1−2sin⁡2(2x)  ⟹  2sin⁡2(2x)=0,8  ⟹  sin⁡2(2x)=0,40,2 = 1 - 2\sin^2(2x) \implies 2\sin^2(2x) = 0,8 \implies \sin^2(2x) = 0,4 elde edilerek ilk adımda ihtiyaç duyulan terimi bulmak için.
3
Elde edilen sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 değerini, birinci adımda basitleştirdiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu hesaplayın.
0,80,8
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Trigonometrik Özdeşlikler
Soru 258Soru →
log⁡550−1log⁡25\log_{5} 50 - \frac{1}{\log_{2} 5} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşleminin sonucu 2'dir.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği uygulanarak 1log⁡25\frac{1}{\log_{2} 5} ifadesi log⁡52\log_{5} 2 olarak yazılır. Ardından, tabanları aynı olan logaritmik ifadelerin farkı bölme kuralı yardımıyla log⁡5(502)=log⁡525\log_{5}\left(\frac{50}{2}\right) = \log_{5} 25 haline getirilir. Son olarak, 25=5225 = 5^2 olduğundan log⁡552=2\log_{5} 5^2 = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci terim üzerinde taban değiştirme kuralını uygulayın.
1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2
log⁡ab=1log⁡ba\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} taban değiştirme özelliği gereğidir.
2
Elde edilen fark işlemini logaritma bölme özelliğine dönüştürün.
log⁡550−log⁡52=log⁡5(502)\log_{5} 50 - \log_{5} 2 = \log_{5}\left(\frac{50}{2}\right)
Aynı tabandaki logaritmaların farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)
3
Argümanı sadeleştirip logaritma değerini hesaplayın.
log⁡525=log⁡5(52)=2\log_{5} 25 = \log_{5}(5^2) = 2
log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve logaritmik ifadelerin farkını bölme şeklinde yazma özelliği.
Tahmini Süre:45s
Soru 259Soru →

Bir ABCDABCD karesinde EE noktası [AB][AB] kenarı üzerinde, FF noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AE∣=∣EB∣|AE| = |EB|
∣BF∣=2∣FC∣|BF| = 2|FC|

eşitlikleri sağlandığına ve DEDE ve AFAF doğruları kare içinde bir PP noktasında kesiştiğine göre, DEDE ve AFAF doğruları arasında kalan dar açının tanjant değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğrular arasında kalan dar açının tanjant değeri 8'dir.
Doğrular arasındaki dar açıyı α=90∘−(x−y)\alpha = 90^\circ - (x - y) olarak modelledikten sonra tanjant fark formülü yardımıyla tan⁡(x−y)=−1/8\tan(x-y) = -1/8 bulunur. Buradan tan⁡α=∣cot⁡(x−y)∣=8\tan\alpha = |\cot(x-y)| = 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluklarını ve üzerindeki noktaların konumlarını belirleme.
Karenin bir kenarı 6 birim seçilirse, ∣AE∣=3|AE| = 3, ∣EB∣=3|EB| = 3, ∣BF∣=4|BF| = 4 ve ∣FC∣=2|FC| = 2 olur.
Trigonometrik oranları hesaplamak için uygun kenar uzunlukları tanımlanmalıdır.
2
ADEADE ve ABFABF dik üçgenlerini kullanarak ilgili açıların tanjant değerlerini bulma.
tan⁡(∠ADE)=12\tan(\angle ADE) = \frac{1}{2} ve tan⁡(∠BAF)=23\tan(\angle BAF) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Toplam-fark formüllerinde kullanılacak temel açıların oranlarını elde etmek gerekir.
3
Doğrular arasındaki açıyı dik üçgenlerdeki açılar cinsinden ifade etme.
α=90∘−(x−y)\alpha = 90^\circ - (x - y) olduğundan tan⁡α=cot⁡(x−y)=1tan⁡(x−y)\tan\alpha = \cot(x - y) = \frac{1}{\tan(x - y)} elde edilir.
Kesişen doğruların oluşturduğu dar açıyı bilinen açılarla ilişkilendirmek için.
4
Tanjant fark formülü yardımıyla sonucu hesaplama.
tan⁡(x−y)=−18\tan(x-y) = -\frac{1}{8} ve buradan tan⁡α=8\tan\alpha = 8 bulunur.
Fark formülü uygulanarak aranan dar açının tanjant değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün kullanılması.
Soru 260Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡12−x(x2−4x−12x−3)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3}\right)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 36'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için iki temel şart sağlanmalıdır: Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı (12−x>0  ⟹  x<1212 - x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112 - x \neq 1 \implies x \neq 11), logaritması alınan rasyonel ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−4x−12x−3>0\frac{x^2-4x-12}{x-3} > 0). Bu rasyonel ifadenin kökleri −2,3,6-2, 3, 6 olup yapılan işaret tablosunda ifadenin (−2,3)∪(6,∞)(-2, 3) \cup (6, \infty) aralığında pozitif olduğu görülür. İki şartın kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının pozitif olma ve 1'e eşit olmama şartlarını belirlemek.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11).
2
Logaritmanın içinin pozitif olması koşulu için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerini bulmak.
Payın kökleri: x=−2,6x = -2, 6 ve paydanın kökü: x=3x = 3
Rasyonel ifadenin işaretini incelemek için tüm çarpanların köklerini bulmamız gerekir.
3
İşaret tablosu oluşturarak x2−4x−12x−3>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3} > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini belirlemek.
x∈(−2,3)∪(6,∞)x \in (-2, 3) \cup (6, \infty)
En sağdaki aralık pozitif işaretle (+) başlar ve her köke gelindiğinde işaret değişir. İfadenin pozitif olduğu bölgeler taranır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini yazmak.
En geniş tanım kümesi: (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
Hem taban hem de iç kısım şartlarının aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları listelemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 ve toplamları: 3636
(−2,3)(-2, 3) aralığındaki tam sayılar −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 iken (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. x=11x = 11 taban şartından ötürü hariç tutulmuştur. Bu sayıların toplamı −1+0+1+2+7+8+9+10=36-1 + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 = 36 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, logaritması alınan ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır.
ÖncekiSayfa 13 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin