Tüm alıştırma soruları

Soru 2861Soru →

Fotosentezin ışıktan bağımsız reaksiyonları (Calvin döngüsü) sırasında görev alan moleküller ile bu moleküllerin döngüdeki temel işlevlerini eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleşmeler sırasıyla; Karbondioksit ile karbon kaynağı sağlama, ATP ile enerji sağlama, NADPH ile hidrojen taşıma ve PGAL ile organik madde sentezi şeklindedir.

Karbondioksit döngünün karbon iskeletini oluşturur, ATP bu endotermik tepkimeler için gereken aktivasyon ve bağlanma enerjisini sunar, NADPH ara bileşiklerin yüksek enerjili karbonhidratlara dönüşmesi için elektronlarını verir, PGAL ise tüm bu süreçlerin sonunda elde edilen temel organik yapı taşıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Calvin döngüsü girdilerini belirleme

Döngüye dışarıdan

CO_2

girer; ışığa bağımlı evreden ise

ATP

ve

NADPH

aktarılır.

Bu moleküller ışıktan bağımsız tepkimelerin gerçekleşmesi için zorunlu olan ham madde ve enerji kaynaklarıdır.

2

Moleküllerin kimyasal rollerini analiz etme

CO_2

karbon kaynağıdır;

ATP

bağ enerjisi sağlar;

NADPH

ise indirgeyici güçtür.

Besin sentezi (anabolizma) hem karbon hem enerji hem de elektron (hidrojen) gerektiren bir süreçtir.

3

Döngü çıktısını tanımlama

Döngü sonucunda oluşan temel şeker öncülü

PGAL

molekülüdür.

Döngünün amacı, inorganik maddelerden organik yapılı fosfogliseraldehit üretmektir.

Anahtar Kavram

Calvin Döngüsü Stokiyometrisi ve Moleküler İşlevler

Daha Fazla Pratik

Işığa bağımlı reaksiyonlardan Calvin döngüsüne aktarılan molekülleri ve bu aktarımın durması durumunda döngüde hangi basamakların aksayacağını düşünerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2862Soru →

Yer çekimi ivmesinin her noktada aynı (homojen) kabul edildiği bir ortamda bulunan türdeş bir cismin kütle merkezi ile ağırlık merkezinin çakışık (aynı konumda) olduğu yönündeki önerme doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Yer çekimi ivmesinin homojen olduğu ortamlarda türdeş cisimlerin kütle merkezi ile ağırlık merkezinin çakışık olduğu önermesi doğrudur.

Yer çekimi ivmesinin her noktada sabit olduğu homojen bir alanda, cismin tüm noktalarına etki eden birim kütle başına düşen yer çekimi kuvveti değişmediği için kütle merkezi ile ağırlık merkezi tamamen aynı noktaya denk gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Kütle ve ağırlık merkezlerinin genel matematiksel tanımlarını karşılaştırın.

Kütle merkezi konumu

\vec{r}_{KM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}

ile, ağırlık merkezi konumu ise yer çekimi ivmesi

\vec{g}

dahil edilerek

\vec{r}_{AM} = \frac{\sum m_i \vec{g}_i \vec{r}_i}{\sum m_i \vec{g}_i}

ile ifade edilir.

İki merkezin koordinat formüllerindeki yapısal farkı ve yer çekimi ivmesinin etkisini görmek için.

2

Homojen yer çekimi alanının etkisini ağırlık merkezi formülüne uygulayın.

Yer çekimi ivmesi cismin her noktasında aynı olduğundan (

\vec{g}_i = \vec{g}

), formüldeki

\vec{g}

terimleri ortak paranteze alınarak sadeleşir ve

\vec{r}_{AM} = \frac{\vec{g} \sum m_i \vec{r}_i}{\vec{g} \sum m_i} = \vec{r}_{KM}

eşitliği elde edilir.

Yer çekimi ivmesinin sabit olmasının iki merkez arasındaki koordinat farkını nasıl ortadan kaldırdığını kanıtlamak için.

3

Elde edilen matematiksel eşitliği sorudaki önerme ile kıyaslayın.

Matematiksel olarak

\vec{r}_{AM} = \vec{r}_{KM}

eşitliği sağlandığı için önerme doğrudur.

Çözümü tamamlayıp doğruluğu kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Yer çekimi ivmesinin homojen olduğu ortamlarda kütle merkezi ile ağırlık merkezinin çakışması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2863Soru →

Bir çözeltinin asitlik derecesini belirleyen

pH

değeri ile çözeltideki hidrojen iyonu derişimi

[H^+]

(mol/L cinsinden) arasındaki ilişki

pH = -\log_{10}([H^+])

formülü ile modellenmektedir.

Bir kimyager, laboratuvarda $pH$ değeri $3,2$ olan bir çözeltiye saf su ekleyerek çözeltinin hacmini $10$ katına çıkarmıştır. Çözeltinin hacmi $10$ katına çıktığında hidrojen iyonu derişimi $[H^+]$ ilk derişiminin $\frac{1}{10}$ 'una düşmektedir.

Buna göre, su eklendikten sonra elde edilen yeni çözeltinin $pH$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2,2

3,3

4,2

0,32

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,2$

Cevap

Yeni çözeltinin pH değeri

4,2

'dir.

Başlangıçtaki çözeltinin pH değeri

3,2

olduğundan

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

olur. Hacim 10 katına çıkarıldığında derişim 10 kat azalır ve

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

elde edilir. Yeni pH değeri

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 - 3,2) = 4,2

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru yanıt

4,2

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki pH değerini veren bağıntıyı kullanarak başlangıçtaki hidrojen iyonu derişiminin logaritmasını belirleyin.

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

Başlangıçtaki pH değeri

3,2

olarak verilmiştir.

pH = -\log_{10}([H^+])

formülünden

-\log_{10}([H^+]_{eski}) = 3,2

elde edilir.

2

Su eklendikten sonraki yeni hidrojen iyonu derişimini eski derişim cinsinden ifade edin.

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

Hacim 10 katına çıktığında derişim 10 kat azalır, yani ilk derişimin onda birine eşit olur.

3

Yeni derişimi pH formülünde yerine yazıp logaritma özelliklerini kullanarak yeni pH değerini hesaplayın.

pH_{yeni} = 4,2

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 + (-3,2)) = -(-4,2) = 4,2

bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gerçek hayat durumlarında (pH hesabı ve seyreltme) uygulayabilme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2864Soru →

\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.

İfadedeki tüm terimlerin paydaları uygun tabanlarda yazılıp birleştirildiğinde sırasıyla

\log_2 150

,

\log_3 150

ve

\log_5 150

elde edilir. Taban değiştirme kuralı kullanılarak ifadeler ters çevrildiğinde tabanları eşit olan

\log_{150} 2

,

\log_{150} 3

ve

\log_{150} 25

terimleri elde edilir. Bu terimlerin toplamı

\log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Paydalardaki 1 ve 2 tam sayılarını, yanlarında bulunan logaritma tabanlarına uygun olarak logaritmik biçimde yazalım.

1 = \log_2 2

,

1 = \log_3 3

ve

2 = 2\log_5 5 = \log_5 5^2 = \log_5 25

olur.

Logaritma toplama özelliğini kullanabilmek için tabanların aynı olması gerekir.

2

Paydalarda bulunan logaritmik ifadeleri ortak tabanda toplayarak tek bir logaritma halinde birleştirelim.

1 + \log_2 75 = \log_2 2 + \log_2 75 = \log_2 (2 \cdot 75) = \log_2 150

1 + \log_3 50 = \log_3 3 + \log_3 50 = \log_3 (3 \cdot 50) = \log_3 150

2 + \log_5 6 = \log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150

elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir:

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

.

3

Bulduğumuz birleştirilmiş ifadeleri orijinal denklemdeki paydalara yerleştirelim.

İfade şu şekle dönüşür:

\frac{1}{\log_2 150} + \frac{1}{\log_3 150} + \frac{2}{\log_5 150}

Paydalardaki ifadelerin yerine basitleştirilmiş halleri yazılmıştır.

4

Taban değiştirme kuralın�� (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulayarak terimleri düzenleyelim.

\frac{1}{\log_2 150} = \log_{150} 2

\frac{1}{\log_3 150} = \log_{150} 3

\frac{2}{\log_5 150} = 2\log_{150} 5

olur.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmaları pay kısmına taban ve argüman yer değiştirerek taşıyabiliriz.

5

Son terimdeki 2 katsayısını argümanın üzerine üs olarak taşıyalım ve ardından tüm logaritmaları ortak tabanda toplayalım.

2\log_{150} 5 = \log_{150} 5^2 = \log_{150} 25

olur.
Toplam ifade:

\log_{150} 2 + \log_{150} 3 + \log_{150} 25 = \log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

bulunur.

n\log_a b = \log_a (b^n)

özelliğinden katsayı üsse taşınır ve ortak tabandaki toplam logaritmalar çarpım kuralıyla birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun özellikleri ve taban değiştirme kuralı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2865Soru →

Bir asansörün tavanına asılı olan kütlesi önemsiz ipin ucuna $5\text{ kg}$ kütleli bir cisim bağlanmıştır. Asansör yukar�� yönde $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanırken ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü $T_1$ , aşağı yönde $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanırken ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü $T_2$ olmaktadır. Buna göre, ip gerilmelerinin oranı olan $\frac{T_1}{T_2}$ değeri kaçtır? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

İp gerilmelerinin oranı 1,5 olarak bulunur.

Yukarı yönde hızlanan asansörde ivme yukarı yönlü olduğundan net kuvvet yukarı doğrudur ve

T_1 - mg = ma \implies T_1 = m(g+a) = 60\text{ N}

olur. Aşağı yönde hızlanan asansörde ivme aşağı yönlü olduğundan net kuvvet aşağı doğrudur ve

mg - T_2 = ma \implies T_2 = m(g-a) = 40\text{ N}

olur. Bu iki gerilme kuvvetinin oranı

\frac{60}{40} = 1,5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yukarı doğru hızlanan asans��rdeki cismin dinamik denklemini yazmak ve birinci durumdaki ip gerilmesini hesaplamak.

T_1 = 60\text{ N}

Asansör yukarı doğru hızlandığı için ivme vektörü yukarı yönlüdür. Cisme etki eden net kuvvet Newton'ın ikinci yasasına göre

F_{\text{net}} = T_1 - mg = m \cdot a

şeklinde yazılır. Buradan

T_1 = m(g + a) = 5 \cdot (10 + 2) = 60\text{ N}

elde edilir.

2

Aşağı doğru hızlanan asansördeki cismin dinamik denklemini yazmak ve ikinci durumdaki ip gerilmesini hesaplamak.

T_2 = 40\text{ N}

Asansör aşağı doğru hızlandığı için ivme vektörü aşağı yönlüdür. Cisme etki eden net kuvvet Newton'ın ikinci yasasına göre

F_{\text{net}} = mg - T_2 = m \cdot a

şeklinde yazılır. Buradan

T_2 = m(g - a) = 5 \cdot (10 - 2) = 40\text{ N}

elde edilir.

3

Birinci ve ikinci durumlardaki gerilme kuvvetlerini oranlamak.

\frac{T_1}{T_2} = 1,5

Soruda istenen ip gerilmelerinin oranı, bulunan değerlerin birbirine bölünmesiyle

\frac{60}{40} = 1,5

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

İvmeli hareket eden referans sistemlerindeki cisimlerin hareketinin Newton'ın ikinci yasasıyla incelenmesi.

Soru 2866Soru →

Dik koordinat düzleminde,

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - 4x + a

g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2

parabolleri veriliyor.

$g(x)$ parabolünün simetri ekseni $x = 5$ doğrusudur.

$f(x)$ ve $g(x)$ parabollerinin tepe noktaları sırasıyla $T_1$ ve $T_2$ olmak üzere, bu iki nokta arasındaki uzaklık $5$ birimdir.

Buna göre, $a$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

16

20

22

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24

Doğru cevap 24'tür. g(x) parabolünün simetri ekseninden b = 5 elde edilir. Buradan g(x) parabolünün tepe noktası T_2(5, 8) olur. f(x) parabolünün tepe noktası ise T_1(2, a-4) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı kullanılarak (5-2)^2 + (8 - (a-4))^2 = 5^2 denklemi kurulur. Buradan (12-a)^2 = 16 elde edilerek a'nın alabileceği değerler 8 ve 16 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) parabolünün simetri ekseninden yararlanarak b parametresini bulma

b = 5

Bir parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2 parabolü için simetri ekseni x = -2b / (2 * -1) = b olur. Soruda bu eksen x = 5 olarak verildiğinden b = 5 bulunur.

2

g(x) parabolünün tepe noktası T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplama

T_2(5, 8)

b = 5 değeri fonksiyonda yerine yazılırsa g(x) = -x^2 + 10x - 17 elde edilir. Tepe noktasının apsisi r_2 = 5 olup, ordinatı k_2 = g(5) = -5^2 + 10(5) - 17 = 8 olarak bulunur.

3

f(x) parabolünün tepe noktası T_1(r_1, k_1) koordinatlarını a cinsinden hesaplama

T_1(2, a-4)

f(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri ekseni r_1 = -(-4) / (2 * 1) = 2 olur. Tepe noktasının ordinatı k_1 = f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 bulunur.

4

Tepe noktaları arasındaki uzaklığı 5 birime eşitleyerek a değerlerini bulma

a = 8 ve a = 16

T_1(2, a-4) ve T_2(5, 8) noktaları arasındaki uzaklık formülü: d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (8 - (a - 4))^2} = 5 şeklindedir. Her iki tarafın karesi alınarak 3^2 + (12 - a)^2 = 25 denklemi elde edilir. Buradan (12 - a)^2 = 16 olur. Bu durumda 12 - a = 4 veya 12 - a = -4 olup a = 8 veya a = 16 bulunur.

5

a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamını bulma

24

Bulunan a değerleri 8 ve 16'dır. Bu değerlerin toplamı 8 + 16 = 24 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Soru 2867Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28

ve

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

6

12

14

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.

Doğru cevap 12'dir.

u = \sqrt{2x+7}

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

olur. İntegralin sınırları güncellendiğinde alt sınır 3, üst sınır 5 olur. Bu durumda integral

\int_{3}^{5} f(u) \, du

haline gelir ve bu değer soruda 12 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

İntegrali basitleştirmek amacıyla

u = \sqrt{2x+7}

değişken değiştirmesi uygulanır.

Diferansiyel alındığında

du = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 \, dx \implies du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

elde edilir.

İntegral içindeki ifadeyi yeni değişken

u

cinsinden ifade edebilmek.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \sqrt{2(1)+7} = 3

olur. Üst sınır için

x = 9 \implies u = \sqrt{2(9)+7} = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uygun şekilde değiştirilmesi zorunludur.

3

Dönüşüm ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitliğinden bu integralin değeri 12 olarak bulunur.

Elde edilen yeni integral ifadesinin değeri, soruda verilen belirli integral bilgisi kullanılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının güncellenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2868Soru →

x

ve

y

birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2(x \cdot y) = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_x y + \log_y x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{13}{6}

\frac{17}{4}

\frac{26}{5}

\frac{5}{2}

\frac{25}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{13}{6}$

Cevap

İstenen ifadenin değeri on üç bölü altı olarak bulunur.

Verilen denklemlerde çarpım özelliği ve taban değiştirme kuralları uygulandığında

\log_2 x + \log_2 y = 5

ve

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

elde edilir. Buradan

\log_2 x \cdot \log_2 y = 6

bulunur. Toplamları

5

, çarpımları

6

olan sayılar

2

ve

3

olduğundan, aranılan ifade

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci denklemde çarpımın logaritması özelliğini uygulayalım.

\log_2 x + \log_2 y = 5

Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir:

\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c

.

2

İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanalım.

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

Taban değiştirme kuralına göre

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliğinden faydalanarak ifadeleri ortak tabana getiririz.

3

\log_2 x = u

ve

\log_2 y = v

değişken değiştirmesini uygulayarak denklem sistemini çözelim.

u + v = 5

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} = \frac{5}{6} \implies \frac{5}{uv} = \frac{5}{6} \implies uv = 6

Değişken değiştirme yöntemi, denklem sistemini daha kolay çözülebilir bir hale getirir.

4

Toplamları

5

, çarpımları

6

olan

u

ve

v

değerlerini bulalım.

\{u, v\} = \{2, 3\}

t^2 - 5t + 6 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

3

'tür.

5

İstenen ifadeyi taban değiştirme özelliği yardımıyla

u

ve

v

cinsinden yazıp hesaplayalım.

\log_x y + \log_y x = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} + \frac{\log_2 x}{\log_2 y} = \frac{v}{u} + \frac{u}{v}

u=2

ve

v=3

değerleri için:

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6}

Taban değiştirme kuralı yardımıyla aranılan ifadeyi bilinen değişkenler cinsinden ifade eder ve sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 2869Soru →

Doğrusal bir yolda sabit ivmeyle hızlanan bir araç, yol üzerindeki ardışık $K$ , $L$ ve $M$ noktalarından sırasıyla geçmektedir. Aracın $K$ ve $L$ noktaları arasındaki mesafeyi geçme s��resi $t_1 = 4\text{ s}$ , $L$ ve $M$ noktaları arasındaki mesafeyi geçme süresi ise $t_2 = 2\text{ s}$ 'dir.

$K-L$ ve $L-M$ noktaları arasındaki uzaklıklar birbirine eşit ve $d$ kadar olduğuna göre, aracın ivmesinin büyüklüğü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{d}{16}

\frac{d}{12}

\frac{d}{8}

\frac{d}{6}

\frac{d}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{d}{12}$

Cevap

Aracın ivmesinin büyüklüğü

\frac{d}{12}

'dir.

K-L ve L-M aralıkları için yazılan hareket denklemleri birleştirildiğinde, aracın K noktasındaki ilk hızı yok edilerek ivmesinin büyüklüğü

\frac{d}{12}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

K-L aralığı için hareket denklemini yazmak.

d = 4v_K + 8a

Sabit ivmeli doğrusal harekette alınan yol denklemi

x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2

şeklindedir. Burada ilk hız

v_K

ve süre

t_1 = 4\text{ s}

olduğundan

d = v_K \cdot 4 + \frac{1}{2} a \cdot 4^2 = 4v_K + 8a

elde edilir.

2

L noktasındaki hızı ifade edip L-M aralığı için hareket denklemini yazmak.

v_L = v_K + 4a

ve

d = 2v_K + 10a

Aracın L noktasındaki hızı

v_L = v_K + a \cdot t_1 = v_K + 4a

olur. L-M aralığı için alınan yol

d = v_L \cdot t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2

formülünden,

t_2 = 2\text{ s}

yazıldığında

d = 2(v_K + 4a) + \frac{1}{2} a \cdot 2^2 = 2v_K + 10a

olarak bulunur.

3

Elde edilen iki denklemi ortak çözerek ivmeyi yalnız bırakmak.

a = \frac{d}{12}

Birinci denklemden

v_K = \frac{d}{4} - 2a

çekilir. Bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında

d = 2(\frac{d}{4} - 2a) + 10a \Rightarrow d = \frac{d}{2} - 4a + 10a \Rightarrow \frac{d}{2} = 6a \Rightarrow a = \frac{d}{12}

bulunur.

Anahtar Kavram

Sabit ivmeli doğrusal harekette konum, zaman ve hız ilişkileri kullanılarak denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.

Soru 2870Soru →

Bir torbada 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart seçiliyor. Seçilen kartların üzerindeki sayıların çarpımının 3 ile kalansız bölünebilen bir sayı olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Çarpımın 3 ile kalansız bölünebilme olasılığı en sade biçimde

\frac{13}{28}

olup, pay ile paydanın toplamı 41'dir.

Seçilen iki kartın çarpımının 3 ile kalansız bölünebilmesi için seçilen kartlardan en az birinin 3 veya 6 olması gerekir. Tüm 28 durumdan, 3'ün katı olmayan 6 sayı arasından yapılan 15 farklı seçimi çıkardığımızda istenen durum sayısını 13 buluruz. Olasılık

\frac{13}{28}

olduğundan ve bu kesir sadeleşemediğinden

a=13

,

b=28

ve

a+b=41

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayın (tüm olası seçimlerin) eleman sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.

s(E) = \binom{8}{2} = 28

8 farklı kart arasından sıra gözetmeksizin 2 kartın kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için.

2

Çarpımın 3'ün katı olmadığı (yani seçilen iki kartın da 3 veya 6 olmadığı) durum sayısını hesaplama.

\binom{6}{2} = 15

Torbadaki 3'ün katı olmayan 6 karttan 2 tanesini seçerek çarpımları 3 ile bölünmeyen durumları belirlemek için.

3

Çarpımın 3 ile kalansız bölündüğü durum sayısını tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak bulma.

28 - 15 = 13

Bir olayın gerçekleşme olasılığını tüm durumlar ile tüm durumların dışındaki durumların farkı yöntemiyle daha kolay bulmak için.

4

Olasılık değerini

\frac{a}{b}

biçiminde ifade edip

a + b

değerini bulma.

P(A) = \frac{13}{28}

ve

a+b = 41

Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısını tüm durum sayısına oranlayıp en sade kesir biçiminde pay ve paydayı toplamak için.

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Kombinasyon kullanılarak alt kümeler seçilir ve tüm durumlar farkı yöntemiyle istenen durum sayısı pratik şekilde hesaplanır.

Soru 2871Soru →

Kütleleri $m_K = 3\text{ kg}$ ve $m_L = 2\text{ kg}$ olan $K$ ve $L$ kutuları, yatay bir zeminde yan yana duracak şekilde yerleştirilmiştir. Kutular ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,4$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k = 0,3$ 'tür. $K$ kutusuna yatay doğrultuda $F = 25\text{ N}$ büyüklüğünde bir kuvvet uygulandığına göre;

I. $K$ kutusunun $L$ kutusuna uyguladığı etki kuvveti ile $L$ kutusunun $K$ kutusuna uyguladığı tepki kuvvetinin büyüklüğü $10\text{ N}$ 'dur.
II. Etki ve tepki kuvvetleri farklı cisimler üzerine etki ettiğinden birbirini dengelemez ve bileşkeleri sıfır olarak alınamaz.
III. Cisimler hareket halindeyken sisteme etki eden toplam sürtünme kuvveti $20\text{ N}$ büyüklüğündedir.

yargılarından hangileri doğrudur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ )

Yalnız I

Yaln��z II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci yargılar doğrudur. Kutular arasındaki temas kuvvetinin büyüklüğü 10 N olup, bu kuvvetler birbirinin etki-tepki çiftidir ve farklı cisimlere uygulandıklarından bileşkeleri sıfır değildir. Hareket durumunda kinetik sürtünme etkin olduğundan toplam sürtünme 15 N'dur.

Kutular uygulanan kuvvet etkisiyle harekete geçer çünkü uygulanan kuvvet (25 N) maksimum statik sürtünme sınırını (20 N) aşar. Hareket başladığı için kinetik sürtünme kuvveti (15 N) etki eder, bu nedenle üçüncü yargı yanlıştır. Sistemin ivmesi 2 m/s² olup, kutular arasındaki temas kuvvetinin büyüklüğü 10 N olarak hesaplanır (birinci yargı doğrudur). Etki-tepki kuvvet çiftleri farklı cisimler üzerinde olduğundan bileşkeleri sıfır değildir ve birbirlerini dengelemezler (ikinci yargı doğrudur).

Adım Adım Çözüm

1

Sistemin harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için maksimum statik sürtünme kuvvetini hesaplayın.

f_{s,max} = \mu_s \cdot (m_K + m_L) \cdot g = 0,4 \cdot (3 + 2) \cdot 10 = 20\text{ N}

Uygulanan

25\text{ N}

büyüklüğündeki yatay kuvvet, sistemin maksimum statik sürtünme kuvveti eşiği olan

20\text{ N}

değerini aştığı için sistem harekete geçer.

2

Sistem hareket halinde oldu��undan kinetik sürtünme kuvvetini ve sistemin ivmesini bulun.

f_k = \mu_k \cdot (m_K + m_L) \cdot g = 0,3 \cdot 5 \cdot 10 = 15\text{ N}

ve

a = \frac{F - f_k}{m_K + m_L} = \frac{25 - 15}{5} = 2\text{ m/s}^2

Cisimler hareket ettiğinde kinetik sürtünme kuvveti geçerli olur. Net kuvvet ivmeyi belirler.

3

L kutusuna etki eden kuvvet dengesini yazarak K'nin L'ye uyguladığı kuvveti bulun.

N - f_{k,L} = m_L \cdot a \implies N - \mu_k \cdot m_L \cdot g = m_L \cdot a \implies N - 0,3 \cdot 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \implies N - 6 = 4 \implies N = 10\text{ N}

L kutusuna etki eden yatay kuvvetler, K'nin uyguladığı temas kuvveti (sağa) ve kinetik sürtünme kuvvetidir (sola). Bu fark, L kutusunun net kuvvetine eşittir.

4

Etki-tepki yasasını ve kuvvetlerin uygulama noktalarını analiz edin.

K'nin L'ye uyguladığı etki kuvveti ile L'nin K'ye uyguladığı tepki kuvveti eşit büyüklükte (10 N) ve zıt yönlüdür. Bu kuvvetler farklı cisimlere etki ettiği için birbirini dengelemez.

Newton'ın üçüncü yasasına göre etki-tepki çiftleri aynı cisme uygulanamaz, bu nedenle bileşkeleri sıfır olamaz.

Anahtar Kavram

Sürtünmeli yüzeylerde Newton'ın ikinci ve üçüncü yasalarının uygulanması, statik-kinetik sürtünme ayrımı ve etki-tepki kuvvet çiftlerinin özellikleri.

Soru 2872Soru →

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle $\frac{a}{b}$ kesridir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 197

Cevap

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.

İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı

65 + 132 = 197

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma

P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)

Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.

2

Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama

P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.

3

İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(M_2) = \frac{1}{3}

Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (

P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}

) ve birincinin mavi olmaması (

P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}

) durumlarının toplamıdır.

4

Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}

Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı

\frac{3}{12}

iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı

\frac{4}{11}

olur.

5

Birleşim olasılığını ve

a+b

toplamını hesaplama

P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132}

ve

a+b = 197

Değerler formülde yerine yazıldığında

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132}

elde edilir.

65

ve

132

aralarında asal olduğundan

a=65

,

b=132

ve

a+b=197

bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternatif Yöntem

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık

\frac{4}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık

\frac{5}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı

\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132}

olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda

1 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132}

olasılığını elde ederiz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2873Soru →

Bir kenarı $3$ birim olan bir kare, $9$ adet eş birim kareye bölünmüştür. Bu birim karelerden rastgele $3$ tanesi seçilerek boyanıyor.

Buna göre, boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı kaçtır?

\frac{1}{6}

\frac{11}{42}

\frac{13}{42}

\frac{2}{7}

\frac{5}{14}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11}{42}$

Cevap

Boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı

\frac{11}{42}

'dir.

Toplam 84 farklı seçimden, hiçbir kare çiftinin ortak kenara sahip olmadığı durum sayısı satranç tahtası renklendirme yöntemi ile analiz edilerek 22 olarak bulunur. Bu iki değerin oranı bize

\frac{11}{42}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam olası durum sayısını hesaplamak.

9

birim kareden

3

tanesi

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

farklı şekilde seçilebilir.

Seçim sırası önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır.

2

Birim kareleri satranç tahtası desenine göre iki gruba ayırmak.

9

birim kare, satranç tahtası gibi boyandığında

5

tanesi beyaz (köşeler ve merkez),

4

tanesi gri (kenar ortaları) olur. Aynı renkteki iki karenin ortak bir kenarı olamaz.

Ortak kenara sahip olan karelerin her zaman farklı renklerde olması kuralını kullanarak durum sayımını kolaylaşt��rmak.

3

İstenen durumu sağlayan durum sayısını gruplandırarak hesaplamak.

Uygun seçimler 4 farklı durumda incelenir:
1) Seçilen 3 karenin de beyaz olması:

\binom{5}{3} = 10

durum.
2) Seçilen 3 karenin de gri olması:

\binom{4}{3} = 4

durum.
3) Seçilenlerin 2 beyaz ve 1 gri olması: Seçilen gri karenin komşu olmadığı 2 beyaz kare seçilmelidir. Her bir gri karenin

3

beyaz komşusu olduğundan, geriye kalan

2

beyaz kare tek bir şekilde seçilebilir.

4 \times \binom{2}{2} = 4

durum.
4) Seçilenlerin 1 beyaz ve 2 gri olması: Seçilen beyaz karenin komşu olmadığı 2 gri kare seçilmelidir. Merkez kare seçilirse tüm gri karelerle komşu olduğundan

0

durum gelir. Köşelerdeki

4

beyaz kareden biri seçilirse, komşusu olmayan

2

gri kare tek şekilde seçilebilir.

4 \times \binom{2}{2} = 4

durum.

Toplam uygun durum sayısı:

10 + 4 + 4 + 4 = 22

olur.

Tüm olasılıkları eksiksiz ve çakışmasız şekilde saymak.

4

Olasılık değerini bulmak.

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durum}} = \frac{22}{84} = \frac{11}{42}

bulunur.

Basit olayların olasılık formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma

Soru 2874Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve

x = 2

noktasında sürekli olan

f

ve

g

fonksiyonları için,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - g(x)}{x^2 - 4} = 3

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2}

limitinin değeri kaçtır?

4

8

12

16

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Limit değeri 16'dır.

Verilen fonksiyonların

x = 2

noktasındaki sürekliliği kullanılarak

f(2) = g(2) = 4

olduğu bulunur. Ardından limitin cebirsel özellikleri ve

0/0

belirsizliğini giderme yöntemleri uygulanarak aranan limitin değeri 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların

x = 2

noktasındaki limitlerinin varlığını ve süreklilik özelliğini kullanarak

f(2)

ve

g(2)

değerlerini bulunuz.

f(2) = 4

ve

g(2) = 4

olarak elde edilir.

Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkabilmesi için payın limitinin sıfır olması gerekir. Fonksiyonlar sürekli olduğundan limit değerleri fonksiyon değerlerine eşittir.

2

İtenen

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) - 16}{x - 2}

limit ifadesinde payı, verilen limit bilgilerini kullanabileceğimiz biçimde çarpanlarına ayırınız.

f(x) \cdot g(x) - 16 = f(x)(g(x) - 4) + 4(f(x) - 4)

düzenlemesiyle ifade

\lim_{x \to 2} \left[ f(x) \frac{g(x) - 4}{x - 2} + 4 \frac{f(x) - 4}{x - 2} \right]

haline gelir.

Verilen limitler

f(x) - 4

ve

g(x) - 4

ifadelerinin

x-2

ile bölümünün limitlerine dönüştürülebilir.

3

Süreklilikten gelen

\lim_{x \to 2} f(x) = 4

bilgisini yerine yazarak ve verilen limitleri düzenleyerek sonucu hesaplayınız.

Limit değeri

4 \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4 \cdot 4 = 16

olarak hesaplanır.

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x^2 - 4} = 1

eşitliğinden

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + g(x) - 8}{x - 2} = 4

olduğu bulunur.

Anahtar Kavram

Limit özelliklerinin ve sürekli fonksiyonların limit değerlerinin cebirsel işlemlerle hesaplanması.

Soru 2875Soru →

Toplam uzunluğu $36\text{ cm}$ olan bir telin tamamı bükülerek bir daire dilimi oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu daire diliminin alanı en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabilir?

54

72

80

81

162

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $81$

Cevap

Oluşturulabilecek daire diliminin maksimum alanı

81\text{ cm}^2

olmalıdır.

Doğru seçenekte belirtilen

81

değeri, çevre bağıntısından elde edilen

a = 36 - 2r

ifadesinin alan formülü olan

A = \frac{1}{2}ra

içinde yerine yazılmasıyla elde edilen

A(r) = 18r - r^2

fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek (

r = 9

) hesaplanan maksimum alandır.

Adım Adım Çözüm

1

Daire diliminin geometrik elemanlarını tanımlama ve çevre bağıntısını oluşturma.

Daire diliminin yarıçapı

r

ve yay uzunluğu

a

olmak üzere, çevre

2r + a = 36

olarak yazılır. Buradan yay uzunluğu

a = 36 - 2r

şeklinde elde edilir.

Değişken sayisini bire indirmek için yarıçap ile yay uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Alan fonksiyonunu tek değişkene bağlı olarak yazma.

Alan

A(r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a = \frac{1}{2}r(36-2r) = 18r - r^2

olarak bulunur.

Türev alarak maksimum alanı veren yarıçap değerini bulabilmek için tek değişkenli bir alan fonksiyonu gereklidir.

3

Alan fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.

A'(r) = 18 - 2r

olur.

18 - 2r = 0 \Rightarrow r = 9

bulunur.

Alan fonksiyonunun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır.

4

Maksimum alan değerini hesaplama.

A(9) = 18(9) - 9^2 = 162 - 81 = 81\text{ cm}^2

elde edilir.

Kritik yarıçap değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak alabileceği en büyük değeri hesaplarız.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması (Maksimum-Minimum Problemleri)

Soru 2876Soru →

Sürtünmesiz yatay bir yolda $v_0 = 2\text{ m/s}$ hızla hareket etmekte olan $5\text{ kg}$ kütleli bir koliye, hareketiyle aynı doğrultuda iki yatay kuvvet uygulanmaktadır. Kuvvetlerin yönleri ve büyüklükleri $\vec{F}_1 = 25\text{ N}$ (hareket yönünde) ve $\vec{F}_2 = 9\text{ N}$ (hareket yönüne ters) şeklindedir. Koli bu kuvvetlerin etkisinde $5\text{ m}$ yer değiştirdiğinde son kinetik enerjisi kaç joule olur?

10

70

90

170

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90

İş-enerji teoremine göre net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Cismin başlangıçtaki kinetik enerjisi 10 J'dur. Zıt yönlü kuvvetlerin oluşturduğu net kuvvet 16 N olup, 5 metrelik yer değiştirme boyunca yapılan net iş 80 J'dur. Bu iş ilk kinetik enerjiye eklendiğinde son kinetik enerji 90 J olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Cismin ilk kinetik enerjisini hesaplama

E_{ki} = 10\text{ J}

İş-enerji teoremini uygulamak için başlangıçtaki kinetik enerjinin bilinmesi gerekir. Formül:

E_{ki} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2^2 = 10\text{ J}

2

Cisme etki eden net kuvveti bulma

F_{net} = 16\text{ N}

Zıt yönlü kuvvetlerin bileşkesi alınarak net kuvvet bulunur. Hareket yönü pozitif seçildiğinde:

F_{net} = F_1 - F_2 = 25 - 9 = 16\text{ N}

3

Net kuvvetin yaptığı işi hesaplama

W_{net} = 80\text{ J}

Net kuvvet ile yer değiştirmenin çarpımı net işi verir. Formül:

W_{net} = F_{net} \times \Delta x = 16 \times 5 = 80\text{ J}

4

Son kinetik enerjiyi bulma

E_{kf} = 90\text{ J}

Yapılan net iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Formül:

W_{net} = E_{kf} - E_{ki} \Rightarrow E_{kf} = E_{ki} + W_{net} = 10 + 80 = 90\text{ J}

Anahtar Kavram

İş-Enerji Teoremi ve Net İş

Soru 2877Soru →

Sürtünmeli yatay bir masa üzerinde bulunan $m_1 = 4\text{ kg}$ kütleli bir blok, masanın ucundaki sürtünmesiz ve hafif bir makara üzerinden geçen esnemeyen hafif bir iple $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli asılı bir bloğa bağlanmıştır. Blok ile masa yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k = 0,4$ 'tür. Sistem durgun hâlden serbest bırakıldığına göre, hareket sürecinde cisimlerin ivmesi kaç $\text{m/s}^2$ olur? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; ip ve makaranın kütlesini ihmal ediniz.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sistemin ivmesi

2\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Sistem serbest bırakıldığında, asılı duran bloğun ağırlığı (

30\text{ N}

), masa üzerindeki bloğa etki eden maksimum statik sürtünme kuvvetinden (

20\text{ N}

) büyük olduğu için sistem harekete geçer. Hareket başladıktan sonra masa üzerindeki bloğa kinetik sürtünme kuvveti (

16\text{ N}

) etki eder. Sisteme uygulanan net kuvvet

30\text{ N} - 16\text{ N} = 14\text{ N}

olup, toplam

7\text{ kg}

kütleyi ivmelendirir. Buradan Newton'ın ikinci yasasına göre ivme

2\text{ m/s}^2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

m_1

kütleli cisme etki eden maksimum statik sürtünme kuvvetini bulmak.

f_{s,\max} = 20\text{ N}

Sistemin harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için bu limit değer gereklidir.

2

m_2

kütleli cismin ağırlığını hesaplamak ve maksimum statik sürtünme kuvvetiyle karşılaştırmak.

G_2 = 30\text{ N}

.

30\text{ N} > 20\text{ N}

olduğundan sistem hareket eder.

Harekete geçiş koşulunu doğrulamak.

3

Hareket halindeki

m_1

cismine etki eden kinetik sürtünme kuvvetini hesaplamak.

f_k = 16\text{ N}

Hareket sırasında ivmeyi belirleyen sürtünme kuvveti kinetik sürtünmedir.

4

Net kuvvet ve toplam kütle yardımıyla Newton'ın ikinci yasasını uygulayarak ivmeyi hesaplamak.

a = 2\text{ m/s}^2

F_{\text{net}} = m_{\text{toplam}} \cdot a

formülüyle sistemin ortak ivmesini bulmak.

Anahtar Kavram

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetleri arasındaki fark ile Newton'ın İkinci Hareket Yasası'nın sisteme uygulanması.

Soru 2878Soru →

Deniz seviyesinden yüksekliği $h$ kilometre olan bir yerdeki açık hava basıncı $P(h)$ (mmHg cinsinden)

P(h) = P_0 \cdot e^{-k \cdot h}

formülüyle modellenmektedir. Burada $P_0$ deniz seviyesindeki açık hava basıncını, $k$ ise pozitif bir sabiti göstermektedir.

Deniz seviyesinde açık hava basıncı $760\text{ mmHg}$ olup deniz seviyesinden $4\text{ km}$ yükseklikteki bir dağın zirvesinde açık hava basıncı $380\text{ mmHg}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, açık hava basıncının $190\text{ mmHg}$ olarak ölçüldüğü bir yüksekliğin deniz seviyesinden kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Açık hava basıncının

190\text{ mmHg}

olduğu yükseklik deniz seviyesinden

8\text{ km}

'dir.

Verilen modelde deniz seviyesindeki basınç

P_0 = 760

olarak yerine yazılır. Ardından

P(4) = 380

bilgisiyle

e^{-4k} = \frac{1}{2}

elde edilir. Basıncın

190\text{ mmHg}

olması durumu ise

e^{-kh} = \frac{1}{4}

eşitliğini gerektirir.

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

ilişkisi kurulduğunda

e^{-kh} = e^{-8k}

elde edilir ve buradan aranan yükseklik

8\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerini formülde yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirmek

P(h) = 760 \cdot e^{-k \cdot h}

Deniz seviyesinde (

h = 0

) açık hava basıncı

760\text{ mmHg}

olarak verildiği için

P(0) = P_0 \cdot e^0 = P_0 = 760

olur.

2

4\text{ km}

yükseklikteki basınç değerini kullanarak üstel ifadenin değerini bulmak

e^{-4k} = \frac{1}{2}

P(4) = 380

olarak verildiği için

760 \cdot e^{-4k} = 380 \implies e^{-4k} = \frac{380}{760} = \frac{1}{2}

elde edilir.

3

Basıncın

190\text{ mmHg}

olduğu durum için üstel denklemi kurmak

e^{-k \cdot h} = \frac{1}{4}

P(h) = 190

olması istendiğinden

760 \cdot e^{-k \cdot h} = 190 \implies e^{-k \cdot h} = \frac{190}{760} = \frac{1}{4}

elde edilir.

4

Elde edilen iki üstel ifadeyi ilişkilendirerek bilinmeyen yüksekliği (

h

) hesaplamak

h = 8

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

olduğundan

e^{-k \cdot h} = \left(e^{-4k}\right)^2 = e^{-8k}

yazılır. Tabanlar aynı olduğundan üslerin eşitliğinden

-k \cdot h = -8k \implies h = 8

bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde başlangıç koşullarının kullanılması ve üs kuralları yardımıyla bilinmeyen değişkenin bulunması.

Alternatif Yöntem

Yarılanma mantığı kullanılarak da çözülebilir. Basınç her

4\text{ km}

'de bir yarıya (

760 \rightarrow 380

) inmektedir. Basıncın

190\text{ mmHg}

'ye inmesi için başlangıç değerinin iki kez yarıya inmesi gerekir (

760 \rightarrow 380 \rightarrow 190

). Bu durum iki kez

4\text{ km}

yükselmek anlamına gelir ve toplam yükseklik

4 + 4 = 8\text{ km}

olarak doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2879Soru →

Bir şirketin insan kaynakları departmanında çalışan Esra, 5 farklı mavi klasör ile 3 farklı kırmızı klasörü arşiv rafına yan yana dizecektir.

Dizilimin başında ve sonunda mavi klasörlerin bulunması ve herhangi iki kırmızı klasörün yan yana gelmemesi istenmektedir.

Buna göre, Esra bu klasörleri kaç farklı şekilde dizebilir?

720

1440

2160

2880

4320

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2880

Cevap

Doğru cevap 2880 sayısıdır.

Doğru cevap olan 2880 sayısı, başa ve sona yerleştirilecek mavi klasörlerin sıralama sayısı ile ortada kalan klasörlerin kırmızı klasörler yan yana gelmeyecek şekildeki sıralama sayısının çarpılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk ve son sıraya yerleştirilecek mavi klasörlerin seçimi ve dizilimi.

5 mavi klasörden 2 tanesi seçilip başa ve sona

P(5, 2) = 5 \times 4 = 20

farklı şekilde dizilir.

Soruda dizilimin başında ve sonunda mavi klasör bulunması şart koşulmuştur.

2

Kalan 6 sıraya (ortadaki 6 yer) 3 mavi ve 3 kırmızı klasörün, kırmızı klasörler yan yana gelmeyecek şekilde yerleştirilmesi için uygun şablonların belirlenmesi.

3 mavi klasör (

M

) yan yana dizildiğinde oluşan boşluklara kırmızı klasörler (

K

) yerleştirilmelidir:

\_ \text{ } M \text{ } \_ \text{ } M \text{ } \_ \text{ } M \text{ } \_

. Bu 4 boşluktan 3 tanesi kırmızı klasörler için seçilir. Bu seçim

\binom{4}{3} = 4

farklı şablon oluşturur.

Kırmızı klasörlerin yan yana gelmemesi için her bir kırmızı klasörün farklı bir boşluğa yerleştirilmesi gerekir.

3

Belirlenen şablonlardaki klasörlerin kendi aralarındaki sıralanışlarının hesaplanması.

3 kırmızı klasör kendi arasında

3! = 6

farklı şekilde, ortadaki 3 mavi klasör de kendi arasında

3! = 6

farklı şekilde sıralanır. Ortadaki dizilim sayısı:

4 \times 6 \times 6 = 144

olur.

Klasörlerin hepsi birbirinden farklı olduğundan, kendi aralarındaki yer değişimleri farklı dizilimler üretir.

4

Toplam dizilim sayısının hesaplanması.

20 \times 144 = 2880

farklı dizilim elde edilir.

Çarpma yoluyla sayma kuralı gereği, bağımsız adımların durum sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve çarpma yoluyla sayma kurallarını kullanarak belirli koşullara uygun sıralama yapma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2880Soru →

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlem üzerinde durmakta olan $M = 3\text{ kg}$ kütleli, sürtünmesiz eğik düzlemin (takoz) en üst noktasından $m = 1\text{ kg}$ kütleli bir blok serbest bırakılıyor. Blok eğik düzlem boyunca kayarak en alt noktaya ulaşıyor ve takozu yatay doğrultuda terk ediyor. Bloğun takozu terk ettiği anda, bloğun takoza göre hızının yatay bileşeninin büyüklüğü $8\text{ m/s}$ olarak ölçülüyor. Buna göre, bu süreçte bloğun takoza uyguladığı itmenin yatay bileşeninin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

2

6

8

12

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bloğun takoza uyguladığı itmenin yatay bileşeninin büyüklüğü 6 N·s'dir.

Sisteme yatay doğrultuda etki eden net dış kuvvet sıfır olduğu için yatay çizgisel momentum korunur. Takozun sola doğru hızı

V

ise, bloğun sağa doğru takoza göre bağıl hızı

8\text{ m/s}

olduğundan yere göre hızı

8-V

olur. Yatay momentumun korunumundan (

1 \cdot (8-V) - 3 \cdot V = 0

) takozun son hızı

2\text{ m/s}

bulunur. Takozun momentumundaki değişim yatay itmeye eşit olup, büyüklüğü

3\text{ kg} \times 2\text{ m/s} = 6\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır. Etki-tepki prensibi gereğince bloğun takoza uyguladığı yatay itme de aynı büyüklükte olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay doğrultuda çizgisel momentumun korunumunu belirlemek

Sisteme yatay doğrultuda etki eden net dış kuvvet sıfır olduğundan, yatay doğrultudaki toplam çizgisel momentum korunur (

P_{ilk, x} = P_{son, x} = 0

). Düşey doğrultuda ise yer çekimi ve yerin tepki kuvveti nedeniyle momentum korunmaz.

İtme-momentum ilişkisinde dış kuvvetlerin yönü momentumun korunacağı ekseni belirler.

2

Bağıl hareket bağıntısını kullanarak bloğun yere göre yatay hızını takozun hızı cinsinden yazmak

Takoz sola doğru

V

hızıyla hareket ediyorsa, hız vektörü

\vec{V}_{takoz} = -V \hat{i}

olur. Bloğun takoza göre hızı sağa doğru

8\text{ m/s}

olduğuna göre, bloğun yere göre yatay hızı

\vec{v}_{blok} = (8 - V) \hat{i}

olur.

Momentum korunumunda hızların aynı referans sistemine (yere göre) göre yazılması gerekir.

3

Yatay momentumun korunumunu yazarak takozun son hızını bulmak

m \cdot v_{blok} - M \cdot V = 0 \Rightarrow 1 \cdot (8 - V) - 3 \cdot V = 0 \Rightarrow 8 - 4V = 0 \Rightarrow V = 2\text{ m/s}

bulunur.

Sistemin ilk momentumu sıfır olduğu için son momentum vektörlerinin toplamı da sıfır olmalıdır.

4

Takoza uygulanan yatay itmeyi hesaplamak

I_x = \Delta P_{takoz} = M \cdot V = 3\text{ kg} \cdot 2\text{ m/s} = 6\text{ N}\cdot\text{s}

. Etki-tepki prensibi gereği bloğun takoza uyguladığı yatay itmenin büyüklüğü de buna eşittir ve

6\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Bir cisme uygulanan itme, o cismin momentumundaki değişime eşittir (

I = \Delta P

).

Anahtar Kavram

Yatay doğrultuda net dış kuvvet sıfır olduğu için çizgisel momentumun korunması ve bağıl hareket yardımıyla momentum değişiminin (itmenin) hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kütle merkezi çerçevesinde analiz: Sistemin kütle merkezinin yatay hızı başlangıçta sıfırdır ve dış yatay kuvvet olmadığından sıfır kalmaya devam eder. Kütle merkezine göre bloğun kütlesi

m

ve takozun kütlesi

M

ters yönlerde hızlara sahiptir. Bağıl hız

v_{rel} = v_{blok} - v_{takoz} = 8\text{ m/s}

ise, kütle merkezine göre takozun hızı

v'_{takoz} = -\frac{m}{M+m} v_{rel} = -\frac{1}{4} \times 8 = -2\text{ m/s}

olur. Buradan takozun kütle merkezine göre (ve dolayısıyla yere göre) hız değişimi büyüklüğü

2\text{ m/s}

bulunur. İtme ise

M \cdot \Delta V = 3 \cdot 2 = 6\text{ N}\cdot\text{s}

olarak elde edilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar