Examkin

Tüm alıştırma soruları

1797 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 281Soru →

Yumuşama (Detente) Dönemi'nde, Doğu ve Batı blokları arasındaki ilişkilerin seyrini belirleyen küresel krizler, bölgesel çatışmaları sonlandıran diplomatik antlaşmalar ve bloklar arası gerginliği azaltmaya yönelik silahsızlanma girişimleri yaşanmıştır. Aşağıda verilen Yumuşama Dönemi diplomatik ve siyasi gelişmeleri ile bu gelişmelerin temel niteliklerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

SALT-II Antlaşması
Camp David Antlaşmaları
Helsinki Nihai Senedi
Küba Füze Buhranı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

SALT-II Antlaşması - Sovyetler Birliği'nin Afganistan'ı işgal etmesiyle onaylanmayan belge; Camp David Antlaşmaları - Mısır ve İsrail arasında imzalanan ve İsrail'in ilk kez bir Arap devleti tarafından tanınmasını sağlayan anlaşma; Helsinki Nihai Senedi - Bloklar arası sınırların değişmezliğini ve insan haklarını güvenceye alan belge; Küba Füze Buhranı - Kırmızı Telefon Hattı'nın kurulmasına yol açan kriz.
SALT-II Antlaşması'nın SSCB'nin Afganistan'ı işgaliyle onaylanmadığı; Camp David Antlaşmaları'nın Mısır ve İsrail arasında yapılıp İsrail'i tanıyan ilk Arap devletini ortaya çıkardığı; Helsinki Nihai Senedi'nin sınırların değişmezliği ve insan haklarını güvenceye aldığı; Küba Füze Buhranı'nın ise Kırmızı Telefon Hattı'nın kurulmasını sağladığı bilgileri tarihsel açıdan kesinlikle doğrudur ve birbiriyle eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşleştirilecek Yumuşama Dönemi kavramları analiz edilir.
Gelişmelerin (SALT-II, Camp David, Helsinki, Küba Füze Buhranı) diplomatik ve siyasi doğası belirlenir.
Her bir kavramın soğuk savaş diplomasi tarihindeki yerini tespit etmek için.
2
SALT-II Antlaşması'nın özelliğini belirlemek için silahsızlanma adımları ve SSCB'nin 1979 Afganistan işgalinin etkileri göz önünde bulundurulur.
SALT-II Antlaşması, Sovyetler Birliği'nin Afganistan'ı işgal etmesi nedeniyle ABD Senatosu tarafından onaylanmayan belgeyle eşleştirilir.
SALT-II'nin fiilen yürürlüğe girmemesinin doğrudan sebebi SSCB'nin Afganistan askeri müdahalesidir.
3
Orta Doğu barış süreçleri değerlendirilerek Camp David'in tarafları ve önemi hatırlanır.
Camp David Antlaşmaları, Sina Yarımadası'nın iadesini ve Mısır'ın İsrail'i resmen tanımasını içeren belgeyle eşleştirilir.
Camp David, İsrail'in bir Arap ülkesi tarafından resmen tanındığı ilk resmi diplomatik belgedir.
4
Avrupa Güvenlik ve İşbirliği Konferansı kapsamındaki Helsinki ilkeleri ve bloklar arası yumuşama çabaları incelenir.
Helsinki Nihai Senedi, sınırların değişmezliği ve insan haklarının güvenceye alınması maddesiyle eşleştirilir.
AGİK süreci, yumuşama döneminin sınır güvenliği ve insan hakları alanındaki en önemli ortak diplomatik zeminidir.
5
İki süper gücü nükleer savaşa en çok yaklaştıran kriz ve sonrasındaki acil durum iletişim kanalı aranır.
Küba Füze Buhranı, Kırmızı Telefon Hattı'nın kurulmasına yol açan krizle eşleştirilir.
1962 Küba krizi, nükleer gerilimin zirvesidir ve sonrasında Washington-Moskova arası doğrudan acil iletişim hattı kurulmuştur.

Anahtar Kavram

Yumuşama Dönemi diplomatik girişimleri ve kriz çözme mekanizmaları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 282Soru →

Sanat felsefesinde (estetikte) nesnelerin alımlayıcı tarafından algılanması ve değerlendirilmesi sürecinde farklı estetik değer kategorileri kullanılır. Buna göre, sol sütunda verilen açıklama ve örnek durumlar ile sağ sütunda yer alan estetik değer kategorilerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Fırtınada dalgalanan coşkun bir denizin ya da göğe uzanan sarp dağların azameti karşısında insanın kendi fiziksel sınırlılığını hissetmesine rağmen, aklıyla bu sınırsızlığı kavrayabilmesinden kaynaklanan, hayranlıkla karışık korku ve saygı hissi.
Bir sanat eserinin sunduğu biçimsel düzeni ve uyumu, hiçbir pratik yarar, ahlaki gaye veya duyusal doyum amacı gütmeksizin, yalnızca kendi varlığı için seyretmekten doğan çıkarsız ve zihinsel memnuniyet.
Bir çiçeğin kokusundan veya sıcak bir kış çorbasından alınan duyusal lezzetin, alımlayıcının doğrudan bedensel gereksinimlerine ya da hazza yönelik faydacı bir doyum vermesi durumu.
Bireyin, aşamayacağı toplumsal normlar ya da kozmik bir yazgı karşısında ahlaki bir kararlılıkla mücadele ederken uğradığı mutlak yıkımın, izleyicide uyandırdığı sarsıcı acıma ve ruhsal arınma duygusu.

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk ifade Yüce kavramıyla, ikinci ifade Güzel kavramıyla, üçüncü ifade Hoş kavramıyla ve dördüncü ifade Trajik kavramıyla eşleşmektedir.
Sol sütundaki durumlar, estetik değerlerin temel tanımlarıyla örtüşmektedir: Doğadaki sınırsızlık ve hayranlık hissi Yüce ile; çıkarsız zihinsel haz Güzel ile; bedensel ve duyusal tatmin Hoş ile; soylu mücadele ve yıkım ise Trajik ile doğru bir şekilde eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ifadedeki sınırsızlık, büyüklük, doğanın azameti ve ürperti ile hayranlık karışımı duyguyu analiz et.
Bu özelliklerin estetik literatürde (özellikle Kant estetiğinde) 'Yüce' (sublime) kavramına karşılık geldiğini tespit et.
Yüce, insanın kavrayış sınırlarını aşan büyüklükteki doğa olayları karşısında hissedilen estetik duyguyu betimler.
2
İkinci ifadedeki çıkarsızlık (yarar gütmeme) ve saf zihinsel hoşnutluk vurgusunu incele.
Pratik faydadan uzak, salt biçimsel düzenin seyredilmesinden alınan bu hazzın 'Güzel' kavramına ait olduğunu belirle.
Güzellik yargısı pratik bir çıkar veya duyusal tatmin beklentisi içermeyen, nesnesine yönelik çıkarsız bir yönelimdir.
3
Üçüncü ifadedeki bedensel lezzet, fayda ve doğrudan duyusal tatmin unsurlarını değerlendir.
Bu duyusal tatminin estetik bir yargıdan ziyade 'Hoş' kavramına karşılık geldiğini saptap.
Hoş kavramı nesnenin biçimiyle değil, alımlayıcıda yarattığı duyusal doyum ve fiziksel yararla ilgilidir.
4
Dördüncü ifadedeki aşılmaz engeller, ahlaki mücadele, kaçınılmaz yıkım ve ruhsal arınma (katarsis) öğelerini analiz et.
Bu durumun doğrudan 'Trajik' kavramıyla eşleştiğini gör.
Trajik kavramı, soylu bir kahramanın kaçınılmaz ve acıklı bir sonla karşılaşmasını ve izleyicide acıma/korku yoluyla arınma yaratmasını ifade eder.

Anahtar Kavram

Estetik Değer Kategorileri ve Aralarındaki Farklar
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 283Soru →

Toplumsal kurumların işlevleri ve tabakalaşma dinamikleri çerçevesinde, sol tarafta yer alan sosyolojik terimleri sağ taraftaki kurumsal veya yapısal pratiklerle en uygun şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Meritokrasi
Eğitimin Gizli İşlevi
Dikey Hareketlilik
Eğitimde Fırsat Eşitliği

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol taraftaki 'Meritokrasi' kavramı liyakate dayalı atamaları açıklayan tanım ile; 'Eğitimin Gizli İşlevi' resmi olmayan kuralların öğretilmesini içeren durum ile; 'Dikey Hareketlilik' dar gelirli bir bireyin eğitimle doktor olması örneği ile; 'Eğitimde Fırsat Eşitliği' ise devletin dezavantajlı bölgelere ücretsiz yatılı okullar açması uygulaması ile eşleşmelidir.
Doğru eşleştirmede Meritokrasi liyakat ve başarı belgelerine göre statü kazanımıyla; Eğitimin Gizli İşlevi müfredat dışı yazılı olmayan kuralların edinilmesiyle; Dikey Hareketlilik eğitim yoluyla sınıf atlanmasıyla; Eğitimde Fırsat Eşitliği ise devletin sunduğu telafi edici eğitim olanaklarıyla ilişkilendirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Meritokrasi kavramının tanımını ve liyakat ilişkisini analiz etme.
Meritokrasi, kişisel yetenek ve çabanın (liyakat) toplumsal statüleri belirlemesidir. Bu durum, soya dayalı ayrıcalıklar yerine liyakate göre kadroların doldurulmasını ifade eden açıklama ile eşleşir.
Toplumsal statünün edinilmesinde bireysel çaba ve başarının önemini vurgulamak için.
2
Eğitimin açık ve gizli işlevleri arasındaki ayrımı kurma.
Okullarda ders programları dışındaki gizli müfredatın kazandırdığı zaman yönetimi ve hiyerarşiye uyum gibi davranışlar eğitimin gizli işlevleridir. Bu nedenle resmi ders programlarının ötesindeki yazılı olmayan kuralları içeren açıklama ile eşleşir.
Eğitimin toplumsallaştırma sürecindeki örtük işlevlerini tanımlamak amacıyla.
3
Toplumsal hareketlilik türlerini ve eğitim ilişkisini değerlendirme.
Bireyin eğitim sayesinde prestij ve gelir artışı yaşayarak tıp doktoru olması, toplumsal tabakalar arasında yukarı yönlü bir yer değiştirmedir. Dolayısıyla dikey hareketlilik kavramı bu örnekle eşleşir.
Eğitimin toplumsal tabakalaşma üzerindeki dinamik etkisini ortaya koymak için.
4
Fırsat eşitliği kavramının sosyal devlet ilkesindeki uygulamalarını inceleme.
Devletin yatılı bölge okulları kurması, dezavantajlı gruplara yönelik eğitim hakkını korumayı amaçlar. Bu durum, eğitimde fırsat eşitliği kavramı ile doğrudan örtüşür.
Eğitim hakkının sosyoekonomik engelleri aşmadaki rolünü göstermek için.

Anahtar Kavram

Eğitim Kurumu ve Toplumsal Yapı İlişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 284Soru →

Aşağıdaki sol sütunda dik koordinat düzleminde sınırları belirtilen kapalı bölgelerin alanları, sağ sütunda ise bu alanları hesaplamak için kullanılabilecek belirli integral ifadeleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir alanı sağ sütundaki uygun integral ifadesiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde y=x2y = x^2 parabolü, y=2xy = 2x doğrusu ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x3−xy = x^3 - x eğrisi, y=3xy = 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=6−xy = 6 - x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Her iki sütundaki sınır tanımları ve integral alma yönleri eşleştirilerek; birinci alan birinci integral ifadesiyle, ikinci alan ikinci integral ifadesiyle, üçüncü alan üçüncü integral ifadesiyle ve dördüncü alan dördüncü integral ifadesiyle eşleşmektedir.
Verilen her kapalı bölgenin sınırları geometrik olarak incelendiğinde ve kesişim noktaları cebirsel olarak çözüldüğünde; integral sınırlarının ve integrali alınan fonksiyonların farklarının eşleşen integral ifadeleri ile tam olarak örtüştüğü görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin sınırlarını belirlemek ve kesişim noktalarını hesaplamak.
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 eğrilerinin kesişim noktası x=4x = 4 (y=2y = 2) olarak bulunur. yy-ekseni ile olan sınırlar göz önüne alındığında, bölge yy-eksenine göre integre edilerek ∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak ifade edilir.
Bölgeyi xx-eksenine göre integre etmek yerine yy-eksenine göre integre etmek iki ayrı fonksiyonun sınırlarını daha kolay tanımlamayı sağlar.
2
İkinci bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=2xy = 2x ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrularının kesişim noktası x=3/4x = 3/4 olarak bulunur. Parabol ile bu doğruların kesişimleri ise [0,1][0, 1] aralığındadır. Bölge [0,3/4][0, 3/4] ve [3/4,1][3/4, 1] aralıklarında ikiye bölünerek ∫03/4(2x−x2) dx+∫3/41(3−2x−x2) dx\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
Kesişim noktasında üstteki fonksiyon değiştiği için integralin sınırlarını iki parçaya ayırmak gerekir.
3
Üçüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x3−xy = x^3 - x eğrisi ile y=3xy = 3x doğrusunun kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 (pozitif tarafta) olarak bulunur. Birinci bölgede xx-ekseni de sınır olduğundan [0,1][0, 1] aralığında y=3xy = 3x ile y=0y=0 arası, [1,2][1, 2] aralığında ise y=3xy=3x ile y=x3−xy=x^3-x arası taranır. Bu durum ∫013x dx+∫12(4x−x3) dx\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx toplamı ile gösterilir.
Eğrinin negatif değer aldığı aralıkta alanın birinci bölgede kalması için alt sınır olarak xx-ekseni (y=0y=0) kullanılmalıdır.
4
Dördüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x2y = x^2 parabolü ile y=6−xy = 6 - x doğrusunun kesişim noktası x=2x = 2 olarak bulunur. Doğrunun xx-eksenini kestiği nokta ise x=6x = 6'dır. [0,2][0, 2] aralığında üst sınır y=x2y = x^2, [2,6][2, 6] aralığında ise üst sınır y=6−xy = 6-x olup alan ∫02x2 dx+∫26(6−x) dx\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx integraline karşılık gelir.
Alan xx-eksenine göre iki ayrı geometrik/eğrisel bölgenin toplamı olarak yazılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 285Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı 1/6 birimkare ile, ikinci bölge tanımı 1/4 birimkare ile, üçüncü bölge tanımı ise 4/3 birimkare ile eşleşir.
Verilen her üç bölgenin alan hesabı, eğrilerin kesişim noktaları sınır kabul edilerek yapılan integral hesaplamalarıyla tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri için x2=x  ⟹  x(x−1)=0x^2 = x \implies x(x-1) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olarak belirlenir. Belirli integral ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları integralin sınırlarını tanımlar; üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak alan bulunur.
2
İkinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri için x3=x  ⟹  x(x−1)(x+1)=0x^3 = x \implies x(x-1)(x+1) = 0 denklemi kurulur. Birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olur. Belirli integral ∫01(x−x3) dx=[x22−x44]01=12−14=14\int_0^1 (x - x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} birimkaredir.
Pozitif bölgedeki alan sınırları belirlendikten sonra integrasyon kuralları uygulanarak alan değeri hesaplanır.
3
Üçüncü bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=2xy = 2x eğrileri için x2=2x  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olur. Belirli integral ∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02=4−83=43\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkaredir.
Doğru ve parabol sınırları belirlendikten sonra integral alma kuralları kullanılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları sınır olmak üzere, üstteki fonksiyonun grafiğinden alttaki fonksiyonun grafiğinin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
Soru 286Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2−4xy = x^2 - 4x parabolü ile y=2x−x2y = 2x - x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusunun sınırladığı alan ∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx integrali ile; y=x2−4xy = x^2 - 4x ve y=2x−x2y = 2x - x^2 parabollerinin sınırladığı alan ∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx integrali ile; y=x3y = x^3 eğrisi ve y=4xy = 4x doğrusunun sınırladığı alan ise 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her üç sınırlı bölge için kesişim noktaları doğru şekilde bulunmuş ve ilgili aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğu tespit edilerek doğru belirli integral formülleriyle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
2−x2=−x  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=−12 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=2x = 2
İntegral sınırlarını tespit etmek için eğrilerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
Birinci bölgenin alan integralini yazma
[−1,2][-1, 2] aralığında üstteki eğri y=2−x2y = 2 - x^2, alttaki eğri y=−xy = -x olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(2−x2−(−x)) dx=∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 - x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx olur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyonun denklemi ile alttaki fonksiyonun denkleminin farkının sınır değerleri arasında entegre edilmesiyle bulunur.
3
İkinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3
İkinci alanın sınır değerlerini bulmak için iki parabolün kesişim noktaları hesaplanır.
4
İkinci bölgenin alan integralini yazma
[0,3][0, 3] aralığında üstteki parabol y=2x−x2y = 2x - x^2, alttaki parabol y=x2−4xy = x^2 - 4x olduğundan alan integral ifadesi ∫03((2x−x2)−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx olur.
Üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak integral kurulur.
5
Üçüncü bölge için kesişim noktalarını belirleme
x3=4x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0  ⟹  x=−2x^3 = 4x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2
Eğri ve doğrunun kesiştiği tüm noktalar bulunarak sınır değerler tespit edilir.
6
Üçüncü bölgenin simetri özelliğini kullanarak alan integralini yazma
[−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar simetriden dolayı eşittir. [0,2][0, 2] aralığında üstteki doğru y=4xy = 4x ve alttaki eğri y=x3y = x^3 olduğundan toplam alan integral ifadesi 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Tek fonksiyonların simetrik sınırlardaki mutlak alanları eşit olduğundan, toplam alan tek bir bölgenin alanının iki katı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın hesabı, eğrilerin kesişim noktaları belirlendikten sonra, üstte kalan eğrinin denkleminden altta kalan eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin bu kesişim noktaları sınırlarında integralinin alınmasıyla yapılır.
Soru 287Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanmış olan bazı kapalı bölgelerin sözel ifadeleri soldaki sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral gösterimleri ise sağdaki sütunda verilmiştir. Buna göre, sol sütunda verilen her bir bölgeyi sağ sütundaki doğru integral gösterimiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

I. bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=8−x2y = 8 - x^2 parabolü ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
I. bölgede y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile y=x−2y = x - 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2y = 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki bölgelerin doğru belirli integral gösterimleriyle eşleşmesi şu şekildedir: Birinci bölge integral gösterimlerinin üçüncüsüyle, ikinci bölge birincisiyle, üçüncü bölge ikincisiyle ve dördüncü bölge dördüncüsüyle eşleşir.
Her bir sınırlı bölgenin sınırları ortak çözüm yöntemiyle bulunmuş, üstteki (veya sağdaki) fonksiyondan alttaki (veya soldaki) fonksiyon çıkarılarak elde edilen integrandlar doğru integral sınırları ile eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x2=8−x2  ⟹  2x2=8  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = 2 (I. bölge için x≥0x \ge 0 alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Üstteki eğri y=8−x2y = 8 - x^2, alttaki eğri y=x2y = x^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur.
Eğrilerin kesim noktaları integralin sınırlarını, üstte ve altta kalma durumları ise integrandı belirler.
2
İkinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x3=4x  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x=2x^3 = 4x \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 2 (I. bölge için pozitif kök alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Bu aralıkta y=4xy = 4x doğrusu y=x3y = x^3 eğrisinin üstünde yer aldığından alan integral ifadesi ∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Kesişim noktaları ve fonksiyonların birbirine göre konumları belirlenerek alan integral ifadesi oluşturulur.
3
Üçüncü bölge için y değişkenine göre kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y + 2 denklemlerinin ortak çözümünden y2−y−2=0  ⟹  y=−1y^2 - y - 2 = 0 \implies y = -1 ve y=2y = 2 sınırları bulunur. Sağdaki doğru x=y+2x = y + 2, soldaki parabol ise x=y2x = y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olur.
Eğrilerin y eksenine göre konumları analiz edilerek integral değişkeni y olarak seçilmiştir.
4
Dördüncü bölge için y değişkenine göre sınırları belirleyip integral ifadesini yazma
y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 parabolü, y ekseni (x=0x=0) ve y=2y=2 doğrusu ile sınırlanan bölgenin y sınırları 00 ile 22 arasındadır. Sağdaki sınır x=y2x=y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy olur.
y ekseni boyunca dilimleme yapılarak alan doğrudan y cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla x veya y değişkenine göre hesaplanması.
Soru 288Soru →

Aşağıda sınırları verilen sınırlı bölgelerin alanlarını, bu alanları veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde y=x2−2xy = x^2 - 2x ve y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında x≥0x \geq 0 için kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminde x=y2−1x = y^2 - 1 parabolü ile x=y+1x = y + 1 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge integral olan 8x - 2x^2 fonksiyonunun 0'dan 4'e integraliyle; ikinci bölge 4x - x^3 fonksiyonunun 0'dan 2'ye integraliyle; üçüncü bölge ise 2 + y - y^2 fonksiyonunun -1'den 2'ye y'ye göre integraliyle eşleşir.
Verilen her üç durumda da integral sınırları, eğrilerin kesişim noktalarının çözülmesiyle doğru bir şekilde elde edilmiştir. x eksenine göre integral alınan ilk iki durumda üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılmış; y eksenine göre integral alınan üçüncü durumda ise sağdaki doğrudan soldaki parabol çıkarılarak doğru integraller eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşleşme için parabollerin kesim noktalarını bulmak üzere denklemleri eşitleyin.
x2−2x=6x−x2⇒2x2−8x=0⇒x(2x−8)=0x^2 - 2x = 6x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(2x - 8) = 0 denkleminden sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
İlk aralıkta hangi parabolün üstte olduğunu belirleyip alan integralini kurun.
[0,4][0, 4] aralığında y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolü üstte, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü alttadır. Buradan alan ∫04((6x−x2)−(x2−2x)) dx=∫04(8x−2x2) dx\int_{0}^{4} ((6x - x^2) - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (8x - 2x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın sınır değerleri arasındaki integraline eşittir.
3
İkinci eşle��me için x≥0x \geq 0 koşulunda kübik eğri ile doğrunun kesim noktalarını bulun ve integralini oluşturun.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 denkleminden x≥0x \geq 0 için sınırlar x=0x = 0 ve x=2x = 2 bulunur. Bu aralıkta y=xy = x doğrusu üstte olduğundan alan ∫02(x−(x3−3x)) dx=∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (x - (x^3 - 3x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Bölgenin sağlandığı aralıkta üstteki doğrunun denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak alan integrali kurulur.
4
Üçüncü eşleşme için y değişkenine göre entegrasyon yapmak üzere kesim noktalarının ordinatlarını bulun.
y2−1=y+1⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 1 = y + 1 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0 denkleminden sınırlar y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olarak bulunur. Aralıkta sağdaki doğru (x=y+1x = y + 1), soldaki parabolden (x=y2−1x = y^2 - 1) büyük olduğundan alan ∫−12((y+1)−(y2−1)) dy=∫−12(2+y−y2) dy\int_{-1}^{2} ((y + 1) - (y^2 - 1)) \, dy = \int_{-1}^{2} (2 + y - y^2) \, dy şeklinde yazılır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları kesim noktalarının ordinatlarıdır ve sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla x veya y değişkenlerine göre ifade etme.
Soru 289Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I)
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II)
y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü ile y=x+2y = x + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bölge I için integral ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, Bölge II için integral ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx, Bölge III için integral ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx olmalıdır.
Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=2x  ⟹  x=0,2x^2 = 2x \implies x = 0, 2; x=x2  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1 ve 4−x2=x+2  ⟹  x=−2,14-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1 kesişim sınırları elde edilir.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.
Bölge I'de y=2xy = 2x üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge II'de y=xy = \sqrt{x} üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge III'de y=4−x2y = 4-x^2 üstte, y=x+2y = x+2 alttadır.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.
3
Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.
Bölge I alanı ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx; Bölge II alanı ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx; Bölge III alanı ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx integralleri ile eşleşir.
Belirli integral tanımı gereği ∫ab[f(x)−g(x)] dx\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ifadesi alanı verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 290Soru →

Aşağıda verilen sayma durumlar��nı, bu durumların gerçekleşebileceği farklı yolların sayılarını veren matematiksel ifadelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

44 farklı matematik kitabı ve 55 farklı fizik kitabı arasından yalnızca 11 kitap seçmek
44 farklı matematik kitabı ve 55 farklı fizik kitabı arasından 11 matematik ve 11 fizik kitabı seçmek
44 farklı meze, 55 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı arasından her birinden birer tane seçmek

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci durum toplama yoluyla sayma kuralı gereği 4+5=94 + 5 = 9 ifadesiyle, ikinci durum çarpma yoluyla sayma kuralı gereği 4×5=204 \times 5 = 20 ifadesiyle, üçüncü durum ise yine çarpma yoluyla sayma kuralı gereği 4×5×2=404 \times 5 \times 2 = 40 ifadesiyle eşleşir.
Doğru eşleştirmede; tek bir nesne seçilen ayrık durumlarda toplama yoluyla sayma, birden fazla nesnenin birlikte seçildiği bağımlı durumlarda ise çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Yalnız bir kitap seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
Seçim ya matematik ya da fizik kitabından yapılacağından ve bu olaylar ayrık olduğundan toplama yoluyla sayma yapılır: 4+5=94 + 5 = 9.
Ayrık iki olaydan birinin veya diğerinin gerçekleşme sayısı toplanarak bulunur.
2
Bir matematik ve bir fizik kitabının birlikte seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
İki seçim birlikte ve art arda yapıldığından çarpma yoluyla sayma yapılır: 4×5=204 \times 5 = 20.
Birbirine bağlı veya art arda gerçekleşen olayların toplam seçim sayısı çarpılarak bulunur.
3
Üç farklı yemek grubundan birer tane seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
Meze, ana yemek ve tatlı seçimleri art arda yapılan bağımlı olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma yapılır: 4×5×2=404 \times 5 \times 2 = 40.
Çarpma kuralı ikiden fazla bağımlı olay için de geçerlidir ve seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin farkını anlamak ve uygun duruma göre uygulamak.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 291Soru →

Aşağıda dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölge tanımları ile bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadelerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=x2y = x^2 eğrisi, y=4−3xy = 4 - 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=8x2y = \frac{8}{x^2} eğrisi, y=xy = x doğrusu ve y=8y = 8 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle, ikinci bölge tanımı ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy integraliyle, üçüncü bölge tanımı ise ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy integraliyle eşleşir.
Bölge sınırları ve kesişim noktaları y-eksenine göre ifade edilip sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak doğru integral ifadelerine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olup alan integrali ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak elde edilir.
Kesişim noktalarını bulmak için iki ifadenin x değerleri eşitlenir: y2=y+2y^2 = y + 2. Buradan sınırlar [−1,2][-1, 2] bulunur. Doğru (x=y+2x = y+2), parabolün (x=y2x = y^2) sağında yer aldığı için fark fonksiyonu (y+2)−y2(y+2) - y^2 olur.
2
İkinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=1y=1 olup alan integrali ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=x2y = x^2 ve y=4−3xy = 4-3x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=1x=1 (yani y=1y=1) noktasındadır. Bölge x-ekseniyle de sınırlandığı için y sınırları [0,1][0, 1] olur. x değerleri y cinsinden çekildiğinde sağda x=4−y3x = \frac{4-y}{3} doğrusu, solda x=yx = \sqrt{y} parabolü bulunur.
3
Üçüncü bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=2y=2 olup alan integrali ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=8x2y = \frac{8}{x^2} ve y=xy = x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=2x=2 (yani y=2y=2) noktasındadır. Üst sınır y=8y=8 doğrusu olduğundan y sınırları [2,8][2, 8] olur. x değerleri y cinsinden yazıldığında sağda x=yx = y doğrusu, solda ise x=8yx = \sqrt{\frac{8}{y}} eğrisi bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y-eksenine göre dilimleme (yatay dilimleme) yöntemiyle belirli integral kullanarak ifade etme.
Soru 292Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat düzleminde sınırları belirtilen bölgeler, sağ sütunda ise bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integraller verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Birinci bölgede; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 parabolü, bu parabole x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=exy = e^x eğrisi, y=e−xy = e^{-x} eğrisi ve y=ey = e doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölgedeki y=xy = \sqrt{x}, y=x−2y = x-2 ve yy ekseni arasındaki alan ∫−22(y+2) dy−∫02y2 dy\int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy integrali ile; y=x2y = x^2, bu eğriye x=2x=2'de teğet olan doğru ve yy ekseni arasındaki alan ∫02(x−2)2 dx\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx integrali ile; y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} ve y=ey = e arasındaki alan ise ∫1e2ln⁡y dy\int_{1}^{e} 2\ln y \, dy integrali ile eşleşir.
Verilen her bir geometrik ve cebirsel tanım, alanın integralle ifadesi kuralları (üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılması veya yy ekseni boyunca sağdakinden soldakinin çıkarılması) kullanılarak integral ifadeleriyle birebir eşleşir. Özellikle birinci bölgede iki farklı integralin birleştirilmesiyle elde edilen integral, bölgenin toplam alanına tam olarak karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları ve kesişim noktalarını belirleme
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 doğrularının kesişim noktası x=4x = 4, y=2y = 2'dir. yy ekseni sınır olduğundan yy değişkenine göre entegre edildiğinde, y∈[−2,0]y \in [-2, 0] için x=0x = 0 ve x=y+2x = y+2; y∈[0,2]y \in [0, 2] için x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y+2 sınırları kullanılır.
Alan integralini tek bir değişkene bağlı olarak daha basit biçimde ifade edebilmek için.
2
Birinci bölgenin integral ifadesini oluşturma
A1=∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy=∫−22(y+2) dy−∫02y2 dyA_1 = \int_{-2}^{0} (y+2) \, dy + \int_{0}^{2} (y+2 - y^2) \, dy = \int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy
İntegral sınırlarının birleştirilmesiyle sade bir gösterim elde etmek için.
3
İkinci bölge için teğet doğrusunu ve sınırları bulma
x=2x = 2 noktasında y=x2y = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−4y = 4x - 4 olarak bulunur. Kesişim noktası teğet noktası olan x=2x=2 ve sol sınır x=0x=0'dır.
Sınırlı bölgenin alt sınırını oluşturan doğrunun denklemini elde etmek için.
4
İkinci bölgenin integral ifadesini yazma
A2=∫02(x2−(4x−4)) dx=∫02(x−2)2 dxA_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - (4x-4)) \, dx = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx
İki eğri arasında kalan alanın üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılmasıyla bulunması kuralını uygulamak için.
5
Üçüncü bölge için eğrileri yy cinsinden yazıp kesişim sınırlarını bulma
y=ex  ⟹  x=ln⁡yy = e^x \implies x = \ln y ve y=e−x  ⟹  x=−ln⁡yy = e^{-x} \implies x = -\ln y. Bu eğriler y=1y = 1 düzeyinde kesişirler ve üstten y=ey = e doğrusu ile sınırlıdırlar.
Alan integralini yy ekseni boyunca dilimleyerek kurmak için.
6
Üçüncü bölgenin integral ifadesini yazma
A3=∫1e(ln⁡y−(−ln⁡y)) dy=∫1e2ln⁡y dyA_3 = \int_{1}^{e} (\ln y - (-\ln y)) \, dy = \int_{1}^{e} 2\ln y \, dy
Sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılarak yy değişkenine göre belirli integralinin alınmasıyla alanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının, uygun değişken (x veya y) seçilerek belirli integral yardımıyla ifade edilmesi ve hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Birinci bölge için alanı xx ekseni boyunca iki parçaya ayırarak hesaplayabiliriz: x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında ∫02x dx\int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx ve x∈[2,4]x \in [2, 4] aralığında ∫24(x−(x−2)) dx\int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx integrallerinin toplamı da aynı alanı verir. Ancak bu biçim, sağ sütundaki tekil integral biçimlerinden daha karmaşık görünür.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 293Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen doğru matematiksel hesaplama ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Bir AA kentinden BB kentine 3 farklı yol, BB kentinden CC kentine 4 farklı yol vardır. Ayrıca AA kentinden CC kentine BB'ye uğramadan giden 2 farklı doğrudan yol bulunmaktadır. AA'dan CC'ye gidip tekrar AA'ya dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı hiçbir yol parçasını dönerken tekrar kullanmamak koşuluyla bu gidiş-dönüşü kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?
{0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı, 3 basamaklı ve en az iki basamağındaki rakamın toplamı çift sayı olan kaç farklı doğal sayı vardır?
Birer adet kırmızı, mavi, yeşil ve sarı kart arasından seçilen 3 kart, yan yana duran 3 boş kutuya her kutuda en fazla bir kart olacak şekilde yerleştirilecektir. Yeşil ve sarı kartların her ikisinin de seçilip kutulara yerleştirildiği durumlarda bu iki kartın yan yana olmaması koşuluyla bu yerleştirme kaç farklı şekilde yapılabilir?
Bir menüde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Her bir gruptan en fazla birer adet seçmek ve en az iki farklı gruptan sipariş vermek koşuluyla bir müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleştirmeler sırasıyla: Birinci problem için 2×13+12×82 \times 13 + 12 \times 8, ikinci problem için 5×5×45 \times 5 \times 4, üçüncü problem için 4×3×2−234 \times 3 \times 2 - 2^3 ve dördüncü problem için 3×4×3+3×4+3×3+4×33 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 şeklindedir.
Verilen problemlerın her biri toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerinin doğru uygulanmasıyla çözülür. Eşleştirmelerde her bir probleme ait doğru matematiksel ifade verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci problemde gidiş yolları doğrudan (22 yol) ve BB üzerinden (1212 yol) olmak üzere ikiye ayrılır. Dönüşte kullanılan yol parçalarının tekrar kullanılamaması koşulundan hareketle, doğrudan gidiş durumunda dönüş için 1313 yol; dolaylı gidiş durumunda dönüş için 88 yol kaldığı hesaplanır.
Gidiş-dönüş yolları 2×13+12×8=1222 \times 13 + 12 \times 8 = 122 farklı şekilde seçilir.
Toplama ve çarpma yoluyla sayma kuralları ayrık durumlar için toplanarak, ardışık adımlar için çarpılarak uygulanır.
2
İkinci problemde en az iki basamaktaki rakamın toplamının çift olması için en az iki rakamın aynı paritede olması gerektiği saptanır. 3 basamaklı bir sayıda iki parite türü (tek/çift) bulunduğünden, her durumda en az iki rakam aynı paritededir ve toplamları çifttir.
Koşulu sağlayan sayıların sayısı, kümedeki rakamlarla yazılabilecek tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayıların sayısına eşittir ve miktarı 5×5×4=1005 \times 5 \times 4 = 100 adettir.
Koşulun tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayılar için daima sağlandığı gösterilir.
3
Üçüncü problemde tüm olası yerleşimlerin sayısından, istenmeyen durumların (yeşil ve sarı kartın yan yana geldiği durumlar) sayısı çıkarılır.
Yerleşim sayısı 4×3×2−23=164 \times 3 \times 2 - 2^3 = 16 olarak hesaplanır.
İstenen durumları bulmak için tüm durumlardan tüm istenmeyen durumları çıkarmak daha kolay ve hatasız bir yöntemdir.
4
Dördüncü problemde en az iki yemek grubundan sipariş verme koşulu; tüm grupların seçilmesi (Çorba-Yemek-Tatlı) ile ikili grup seçimlerinin (Çorba-Yemek, Çorba-Tatlı, Yemek-Tatlı) durum sayılarının toplanmasıyla elde edilir.
Toplam sipariş seçeneği sayısı 3×4×3+3×4+3×3+4×3=693 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 = 69 olur.
Birbirinden bağımsız durumlar toplanarak genel toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri ve Koşullu Sayma Problemleri

Alternatif Yöntem

İkinci problemde parite mantığını kullanmak yerine, tüm basamakların farklı paritede olma durumunu (yani bir basamağın çift, diğerlerinin tek veya tam tersi) inceleyerek de hiçbir durumun bu şartı bozmadığını doğrudan görebiliriz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 294Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde tanımlanan A⃗=(3,−2)\vec{A} = (3, -2), B⃗=(−1,4)\vec{B} = (-1, 4) ve C⃗=(2,3)\vec{C} = (2, 3) vektörleri verilmiştir. Sol sütunda verilen vektör işlemlerini, sağ sütundaki bu işlemlerin sonucunda elde edilen bileşke vektörlerin kartezyen koordinatları ile doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B}
B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C}
2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C}
C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki işlemler sırasıyla sağ sütundaki (2,2)(2, 2), (−3,1)(-3, 1), (8,−1)(8, -1) ve (−1,5)(-1, 5) koordinatlarıyla eşleşir.
Vektörlerin kartezyen koordinatlarındaki toplama ve çıkarma işlemleri bileşenler bazında yapılır. A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B} işlemi (2,2)(2, 2) vektörünü; B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C} işlemi (−3,1)(-3, 1) vektörünü; 2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C} işlemi (8,−1)(8, -1) vektörünü; C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A} işlemi ise (−1,5)(-1, 5) vektörünü verir.

Adım Adım Çözüm

1
A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B} işlemini gerçekleştirmek için vektörlerin x ve y bileşenlerini kendi aralarında toplayın.
A⃗+B⃗=(3+(−1),−2+4)=(2,2)\vec{A} + \vec{B} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)
İki vektörün toplamı, karşılık gelen bileşenlerinin toplamına eşittir.
2
B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C} işlemini gerçekleştirmek için B⃗\vec{B} vektörünün bileşenlerinden C⃗\vec{C} vektörünün bileşenlerini çıkarın.
B⃗−C⃗=(−1−2,4−3)=(−3,1)\vec{B} - \vec{C} = (-1 - 2, 4 - 3) = (-3, 1)
Vektör çıkarmada, çıkarılan vektörün bileşenleri ters işaretli olarak toplanır.
3
2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C} işlemini gerçekleştirmek için önce A⃗\vec{A} vektörünü 22 ile çarpın, ardından C⃗\vec{C} vektörünü ekleyin.
2A⃗+C⃗=(2×3+2,2×(−2)+3)=(8,−1)2\vec{A} + \vec{C} = (2 \times 3 + 2, 2 \times (-2) + 3) = (8, -1)
Bir vektörün skalerle çarpımı tüm bileşenlerinin o skalerle çarpılması anlamına gelir.
4
C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A} işlemini gerçekleştirmek için C⃗\vec{C} vektörünün bileşenlerinden A⃗\vec{A} vektörünün bileşenlerini çıkarın.
C⃗−A⃗=(2−3,3−(−2))=(−1,5)\vec{C} - \vec{A} = (2 - 3, 3 - (-2)) = (-1, 5)
Çıkarma işlemi yapılırken y bileşenindeki eksi işaretlerinin çarpımına (3−(−2)=53 - (-2) = 5) dikkat edilmelidir.

Anahtar Kavram

İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde vektörlerin bileşenlerine ayrılması, toplanması, çıkarılması ve skalerle çarpımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 295Soru →

Aynı düzlemde bulunan ve birim vektörler cinsinden tanımlanan u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} ve w⃗\vec{w} vektörleri ile yapılan bazı işlemler sol sütunda, bu işlemler sonucunda elde edilen bileşke vektörlerin büyüklükleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Sol sütundaki işlemler ile sağ sütundaki büyüklükleri doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}
u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}
u⃗+2v⃗+w⃗\vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w}
w⃗−2u⃗−2v⃗\vec{w} - 2\vec{u} - 2\vec{v}
2w⃗−3u⃗2\vec{w} - 3\vec{u}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} işlemi 55 birim ile, u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} işlemi 1313 birim ile, u⃗+2v⃗+w⃗\vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w} işlemi 1717 birim ile, w⃗−2u⃗−2v⃗\vec{w} - 2\vec{u} - 2\vec{v} işlemi 77 birim ile ve 2w⃗−3u⃗2\vec{w} - 3\vec{u} işlemi 66 birim ile eşleşir.
Verilen vektörlerin analitik bileşenleri işlem yönergelerine göre toplanıp çıkarıldıktan sonra elde edilen sonuçların büyüklükleri Pisagor bağıntısı yardımıyla doğru olarak hesaplanmış ve eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Vektörlerin koordinat bileşenlerini belirleme
Tanımlanan birim vektörlere göre u⃗=(4,8)\vec{u} = (4, 8), v⃗=(−1,−4)\vec{v} = (-1, -4) ve w⃗=(6,15)\vec{w} = (6, 15) vektör bileşenleri elde edilir.
Vektörel toplama ve çıkarma işlemlerini analitik yöntem kullanarak daha kolay ve hatasız gerçekleştirmek.
2
Vektörel işlemlerin sonucunda oluşan yeni vektörleri hesaplama
Birinci işlem: (3,4)(3, 4), İkinci işlem: (5,12)(5, 12), Üçüncü işlem: (8,15)(8, 15), Dördüncü işlem: (0,7)(0, 7) ve Beşinci işlem: (0,6)(0, 6) bileşke vektörleri bulunur.
İşlem sonucu elde edilen bileşke vektörlerin xx ve yy eksenlerindeki iz düşümlerini bulmak.
3
Sonuç vektörlerinin büyüklüklerini hesaplama
Hesaplanan bileşenler yardımıyla sırasıyla 55, 1313, 1717, 77 ve 66 birim büyüklükleri elde edilir.
Bileşenleri bilinen bir vektörün büyüklüğünü hesaplamak için Pisagor bağıntısını (R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}) uygulamak.

Anahtar Kavram

İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde vektörlerin analitik yöntemle toplanması, çıkarılması, skaler sayı ile çarpılması ve bileşke vektörün büyüklüğünün hesaplanması.
Soru 296Soru →

Yatay düzlemde hareket etmekte olan KK, LL ve MM araçlarının hız vektörleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* KK aracının LL aracına göre hız vektörü Kuzey yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗KL=vj^\vec{v}_{KL} = v\hat{j}).
* LL aracının MM aracına göre hız vektörü Doğu yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗LM=vi^\vec{v}_{LM} = v\hat{i}).
* MM aracının yere göre hız vektörü Güney yönünde vv büyüklüğündedir (v⃗M=−vj^\vec{v}_{M} = -v\hat{j}).

Buna göre, sol sütunda verilen bağıl ve yere göre hız durumlarını sağ sütundaki doğru büyüklük ve yön ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

MM aracındaki gözlemciye göre KK aracının hız vektörü
KK aracındaki gözlemciye göre LL aracının hız vektörü
LL aracının yere göre hız vektörü
Yere göre Kuzey yönünde vv hızıyla uçan bir kuşun KK aracındaki gözlemciye göre hız vektörü

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

M aracındaki gözlemciye göre K aracının hız vektörü Kuzeydoğu yönünde v2v\sqrt{2}'dir; K aracındaki gözlemciye göre L aracının hız vektörü Güney yönünde vv'dir; L aracının yere göre hız vektörü Güneydoğu yönünde v2v\sqrt{2}'dir; Yere göre Kuzey yönünde vv hızıyla uçan kuşun K aracındaki gözlemciye göre hız vektörü Kuzeybatı yönünde v2v\sqrt{2}'dir.
Verilen bağıl hız bağıntılarından yararlanılarak tüm araçların yere göre hız vektörleri doğru bir şekilde tanımlanmıştır. Bağıl hız formülü olan v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci} vektörel işlemi uygulandığında bağıl hız vektörlerinin yönleri ve büyüklükleri hatasız olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğu yönünü +x+x ekseni (i^\hat{i}), Kuzey yönünü +y+y ekseni (j^\hat{j}) olarak tanımlayarak araçların bağıl hız denklemlerini yazmak.
MM aracının yere göre hızı: v⃗M=−vj^\vec{v}_M = -v\hat{j} (Güney yönü)
LL aracının MM aracına göre hızı: v⃗LM=v⃗L−v⃗M=vi^\vec{v}_{LM} = \vec{v}_L - \vec{v}_M = v\hat{i} (Doğu yön��)
KK aracının LL aracına göre hızı: v⃗KL=v⃗K−v⃗L=vj^\vec{v}_{KL} = \vec{v}_K - \vec{v}_L = v\hat{j} (Kuzey yönü)
Hız büyüklükleri ve yönleri arasındaki ilişkileri vektörel olarak çözebilmek için ortak bir koordinat sistemi kurmak gerekir.
2
LL aracının yere göre hız vektörünü hesaplamak.
v⃗L=v⃗M+v⃗LM=−vj^+vi^=vi^−vj^\vec{v}_L = \vec{v}_M + \vec{v}_{LM} = -v\hat{j} + v\hat{i} = v\hat{i} - v\hat{j}
Bu vektörün yönü Güneydoğu, büyüklüğü ise v2+(−v)2=v2\sqrt{v^2 + (-v)^2} = v\sqrt{2}'dir.
LL aracının diğer gözlemcilere göre bağıl hızını ve kendi yere göre hızını bulmak için öncelikle bu vektörün elde edilmesi gerekir.
3
KK aracının yere göre hız vektörünü hesaplamak.
v⃗K=v⃗L+v⃗KL=(vi^−vj^)+vj^=vi^\vec{v}_K = \vec{v}_L + \vec{v}_{KL} = (v\hat{i} - v\hat{j}) + v\hat{j} = v\hat{i}
Bu vektörün yönü Doğu, büyüklüğü ise vv'dir.
KK aracındaki gözlemcinin diğer hareketlileri hangi hızla gördüğünü bulmak için KK'nin yere göre hızının bilinmesi gerekir.
4
Eşleştirilmesi istenen bağıl hız durumlarını tek tek hesaplamak.
1. durum: v⃗KM=v⃗K−v⃗M=vi^−(−vj^)=vi^+vj^\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M = v\hat{i} - (-v\hat{j}) = v\hat{i} + v\hat{j} (Kuzeydoğu, v2v\sqrt{2})
2. durum: v⃗LK=v⃗L−v⃗K=(vi^−vj^)−vi^=−vj^\vec{v}_{LK} = \vec{v}_L - \vec{v}_K = (v\hat{i} - v\hat{j}) - v\hat{i} = -v\hat{j} (Güney, vv)
3. durum: v⃗L=vi^−vj^\vec{v}_L = v\hat{i} - v\hat{j} (Güneydoğu, v2v\sqrt{2})
4. durum: v⃗kus\c,K=v⃗kus\c−v⃗K=vj^−vi^\vec{v}_{kuş, K} = \vec{v}_{kuş} - \vec{v}_K = v\hat{j} - v\hat{i} (Kuzeybatı, v2v\sqrt{2})
Her bir gözlemci ve gözlenen çifti için v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci} formülü uygulanarak doğru eşleşmeler elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Vektörel Hız Analizi

Alternatif Yöntem

Bağıl hız vektörlerini bulurken çıkarma işlemi yerine vektör ekleme yöntemi kullanılabilir. Bağıl hız v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen+(−v⃗go¨zlemci)\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} + (-\vec{v}_{gözlemci}) şeklinde yazılabilir. Bu yöntemde gözlemcinin hız vektörü ters çevrilip gözlenenin hız vektörünün başlangıç noktasına eklenir ve başlangıçtan bitişe çizilen vektör bağıl hızı verir. Örneğin, M gözlemcisinin hızı Güney yönünde vv olduğundan tersi Kuzey yönünde vv'dir. Bu vektör, K'nin Doğu yönündeki vv hız vektörü ile uca eklenerek toplandığında doğrudan Kuzeydoğu yönünde v2v\sqrt{2} büyüklüğü elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 297Soru →

Aynı yatay düzlemde sabit hızlarla hareket eden KK, LL ve MM araçlarının yere göre hız vektörleri Kartezyen koordinat sisteminde v⃗K=2i⃗+3j⃗\vec{v}_K = 2\vec{i} + 3\vec{j}, v⃗L=−i⃗+2j⃗\vec{v}_L = -\vec{i} + 2\vec{j} ve v⃗M=3i⃗−j⃗\vec{v}_M = 3\vec{i} - \vec{j} olarak verilmektedir. Buna göre, sol sütunda belirtilen araçlardaki gözlemcilerin diğer araçları hangi bağıl hız vektörleriyle gördüğünü belirleyerek doğru eşleştirmeleri yapınız.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

KK aracındaki gözlemciye göre LL aracının hızı
LL aracındaki gözlemciye göre MM aracının hızı
MM aracındaki gözlemciye göre KK aracının hızı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci öncül −3i⃗−j⃗-3\vec{i} - \vec{j} vektörü ile, ikinci öncül 4i⃗−3j⃗4\vec{i} - 3\vec{j} vektörü ile, üçüncü öncül ise −i⃗+4j⃗-\vec{i} + 4\vec{j} vektörü ile eşleşir.
Bağıl hız, gözlenen cismin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörü çıkarılarak bulunur. KK'ye göre LL'nin hızı v⃗L−v⃗K\vec{v}_L - \vec{v}_K, LL'ye göre MM'nin hızı v⃗M−v⃗L\vec{v}_M - \vec{v}_L, MM'ye göre KK'nin hızı ise v⃗K−v⃗M\vec{v}_K - \vec{v}_M formülleriyle hesaplanıp doğru vektörlerle eşleştirilir.

Adım Adım Çözüm

1
KK aracındaki gözlemciye göre LL aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.
v⃗LK=v⃗L−v⃗K=(−i⃗+2j⃗)−(2i⃗+3j⃗)=−3i⃗−j⃗\vec{v}_{LK} = \vec{v}_L - \vec{v}_K = (-\vec{i} + 2\vec{j}) - (2\vec{i} + 3\vec{j}) = -3\vec{i} - \vec{j}
Bağıl hız, gözlenenin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörünün çıkarılmasıyla bulunur. Burada gözlemci KK aracıdır.
2
LL aracındaki gözlemciye göre MM aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.
v⃗ML=v⃗M−v⃗L=(3i⃗−j⃗)−(−i⃗+2j⃗)=4i⃗−3j⃗\vec{v}_{ML} = \vec{v}_M - \vec{v}_L = (3\vec{i} - \vec{j}) - (-\vec{i} + 2\vec{j}) = 4\vec{i} - 3\vec{j}
Bu durumda gözlemci LL aracı, gözlenen MM aracıdır. v⃗ML=v⃗M−v⃗L\vec{v}_{ML} = \vec{v}_M - \vec{v}_L işlemi yapılır.
3
MM aracındaki gözlemciye göre KK aracının bağıl hızını bulmak için bağıl hız formülünü uygulayınız.
v⃗KM=v⃗K−v⃗M=(2i⃗+3j⃗)−(3i⃗−j⃗)=−i⃗+4j⃗\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M = (2\vec{i} + 3\vec{j}) - (3\vec{i} - \vec{j}) = -\vec{i} + 4\vec{j}
Bu durumda gözlemci MM aracı, gözlenen KK aracıdır. v⃗KM=v⃗K−v⃗M\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki boyutta bağıl hareket ve vektörel fark işlemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 298Soru →

Aşağıda sol sütunda parametrik olarak verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktaların geometrik özellikleri karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki her bir parabolü, koordinat eksenlerini kestiği noktaların sağ sütunda verilen doğru özelliği ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a (a>3a > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar
g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 (b>3b > 3 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar
h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c (c>1c > 1 bir gerçel sayı) parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol, x-eksenini kesti��i noktalardan birinin orijine uzaklığının parametre değerinden bağımsız 3 birim olması özelliğiyle; ikinci parabol, x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığın parametre değerinden bağımsız 6 birim olması özelliğiyle; üçüncü parabol ise y-eksenini kestiği noktanın orijine uzaklığının x-eksenini kestiği pozitif apsisli noktanın orijine uzaklığına eşit olması özelliğiyle eşleşir.
Verilen fonksiyonların her biri sıfıra eşitlenerek xx-eksenini kestikleri noktalar ve x=0x=0 yazılarak yy-eksenini kestikleri noktalar bulunmuştur. Elde edilen noktalar üzerinde yapılan geometrik uzaklık hesaplamaları, verilen özelliklerle birebir ve benzersiz bir şekilde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−(a+3)x+3af(x) = x^2 - (a+3)x + 3a parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,3a)(0, 3a)'dır. xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir: x2−(a+3)x+3a=0  ⟹  (x−a)(x−3)=0  ⟹  x1=3,x2=ax^2 - (a+3)x + 3a = 0 \implies (x-a)(x-3) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = a. Kesim noktaları (3,0)(3, 0) ve (a,0)(a, 0)'dır. (3,0)(3, 0) noktasının orijine uzaklığı ∣3∣=3|3| = 3 birim olup parametreden bağımsızdır. Bu durum ikinci özellik ile eşleşir.
Birinci parabolün eksen kesim noktalarını cebirsel olarak analiz etmek.
2
g(x)=x2−2bx+b2−9g(x) = x^2 - 2bx + b^2 - 9 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve aralarındaki uzaklığı hesaplama.
yy-eksenini kestiği nokta (0,b2−9)(0, b^2-9)'dur. xx-eksenini kestiği noktalar için (x−b)2−9=0  ⟹  (x−b)2=9  ⟹  x−b=±3  ⟹  x1=b−3,x2=b+3(x-b)^2 - 9 = 0 \implies (x-b)^2 = 9 \implies x-b = \pm 3 \implies x_1 = b-3, x_2 = b+3 bulunur. Eksenleri kestiği noktalar (b−3,0)(b-3, 0) ve (b+3,0)(b+3, 0)'dır. İki nokta arasındaki uzaklık ∣(b+3)−(b−3)∣=6|(b+3) - (b-3)| = 6 birimdir. Bu değer sabittir ve üçüncü özellik ile eşleşir.
İkinci parabolün eksen kesim noktalarının birbirine olan uzaklığını parametreden bağımsız olarak belirlemek.
3
h(x)=−x2+(c−1)x+ch(x) = -x^2 + (c-1)x + c parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırma.
yy-eksenini kestiği nokta (0,c)(0, c) olup orijine uzaklığı ∣c∣=c|c| = c birimdir. xx-eksenini kestiği noktalar için −x2+(c−1)x+c=0  ⟹  x2−(c−1)x−c=0  ⟹  (x−c)(x+1)=0  ⟹  x1=−1,x2=c-x^2 + (c-1)x + c = 0 \implies x^2 - (c-1)x - c = 0 \implies (x-c)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = c bulunur. c>1c > 1 olduğundan pozitif apsisli kesim noktası (c,0)(c, 0)'dır ve orijine uzaklığı cc birimdir. Her iki uzaklık da eşit olup birinci özellik ile eşleşir.
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarının ilişkisini belirlemek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların cebirsel ve geometrik analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 299Soru →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci parabol alanı 3 birimkare olan üçgenle, ikinci parabol alanı 24 birimkare olan üçgenle, üçüncü parabol ise eksenleri yalnızca iki noktada kesme özelliğiyle eşleşir.
Verilen parabollerin her biri için eksenleri kestiği noktalar sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 yazarak bulunmuş, bu noktalar kullanılarak alan ve kesim noktası sayısı özellikleri doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 için yy-eksenini kestiği nokta (0,3)(0,3), xx-eksenini kestiği noktalar ise (1,0)(1,0) ve (3,0)(3,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 22 birim, yüksekliği 33 birim olup alanı 2×32=3\frac{2 \times 3}{2} = 3 birimkaredir. Dolayısıyla ilk parabol birinci özellikle eşleşir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
2
İkinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
g(x)=−x2−2x+8g(x) = -x^2 - 2x + 8 için yy-eksenini kestiği nokta (0,8)(0,8), xx-eksenini kestiği noktalar ise (−4,0)(-4,0) ve (2,0)(2,0)'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı 66 birim, yüksekliği 88 birim olup alanı 6×82=24\frac{6 \times 8}{2} = 24 birimkaredir. Dolayısıyla ikinci parabol ikinci özellikle eşleşir.
Eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin alanını hesaplamak için taban ve yükseklik değerleri bulunur.
3
Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
h(x)=x2−6xh(x) = x^2 - 6x için eksenleri kestiği noktalar (0,0)(0,0) ve (6,0)(6,0)'dır. Parabol orijinden geçtiği için yy-eksenini kestiği nokta ile xx-eksenini kestiği noktalardan biri çakışır. Eksenleri yalnızca iki noktada kestiği için bu noktalarla bir üçgen oluşturulamaz. Dolayısıyla üçüncü parabol üçüncü özellikle eşleşir.
Orijinden geçen parabollerin eksenleri kestiği noktaların sayısını ve konumunu analiz etmek.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 300Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat eksenlerini kestikleri noktalarla ilgili bazı geometrik ve cebirsel özellikleri verilen paraboller, sağ sütunda ise bu parabollerdeki bilinmeyen parametrelerin değerleri yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki ifadeler ile sağ sütundaki doğru değerleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−(m−2)x−2mf(x) = x^2 - (m-2)x - 2m parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 24 br224\text{ br}^2 olduğuna göre, mm parametresinin alabileceği pozitif değer
g(x)=2x2−8x+ng(x) = 2x^2 - 8x + n parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0)'dır. 1x1+1x2=43\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{4}{3} olduğuna göre, nn sabitinin değeri
h(x)=x2+(k2−4k−5)x−2k+3h(x) = x^2 + (k^2 - 4k - 5)x - 2k + 3 parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar orijine göre simetrik olduğuna g��re, kk parametresinin değeri

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci ifade 44 değeriyle, ikinci ifade 66 değeriyle, üçüncü ifade ise 55 değeriyle eşleşir.
Verilen geometrik ve cebirsel koşullar çözüldüğünde; f(x)f(x) parabolünün alan koşulunu sağlayan pozitif mm değeri 44, g(x)g(x) parabolünün kök ilişkisini sağlayan nn değeri 66, ve h(x)h(x) parabolünün simetrik reel kök şartını sağlayan kk değeri 55 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları bulup alanı 24 br224\text{ br}^2 olan üçgenin alan bağıntısını oluşturalım.
f(x)=(x−m)(x+2)f(x) = (x-m)(x+2) parabolü xx-eksenini mm ve −2-2 noktalarında keser. yy-eksenini ise (0,−2m)(0, -2m) noktasında keser. Üçgenin alanı 12⋅(m+2)⋅2m=24  ⟹  m(m+2)=24\frac{1}{2} \cdot (m+2) \cdot 2m = 24 \implies m(m+2) = 24 olur. Buradan pozitif mm değeri 44 bulunur.
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı xx-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣m−(−2)∣|m - (-2)|, yüksekliği ise yy-ekseni üzerinde olup uzunluğu ∣−2m∣|-2m|'dir.
2
İkinci parabol için kökler toplamı ve çarpımını bulup verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=n2x_1 x_2 = \frac{n}{2} değerleri x1+x2x1x2=4n/2=8n\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4}{n/2} = \frac{8}{n} olarak bulunur. 8n=43  ⟹  n=6\frac{8}{n} = \frac{4}{3} \implies n = 6 elde edilir.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı, kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.
3
Üçüncü parabolün xx-eksenini kestiği noktaların simetriklik ve gerçeklik şartlarını inceleyelim.
Kökler toplamı sıfır olacağından k2−4k−5=0  ⟹  k=5k^2 - 4k - 5 = 0 \implies k = 5 veya k=−1k = -1 elde edilir. Kökler çarpımı −2k+3<0  ⟹  k>1.5-2k+3 < 0 \implies k > 1.5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek değer k=5k = 5'tir.
Köklerin orijine göre simetrik olabilmesi için kökler toplamı sıfır ve kökler çarpımı negatif olmalıdır (aksi takdirde kökler reel olmaz).

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların cebirsel ve geometrik yorumu ile kök özellikleri
ÖncekiSayfa 15 / 90Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin