Tüm alıştırma soruları

Soru 341Soru →

a

,

b

ve

c

dar açılar olmak üzere,

\tan a = \frac{1}{2}

\tan b = \frac{1}{5}

\tan c = \frac{1}{8}

olduğuna göre,

a + b + c

toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

a + b + c

toplamı

45

derecedir.

Tanjant toplam formülü ardışık olarak iki kez uygulandığında

\tan(a+b+c) = 1

elde edilir. Açılar dar açı olduğundan, toplamları

135^\circ

değerinden küçük olmalıdır. Tanjantı

1

olan ve bu sınırı aşmayan tek pozitif açı

45^\circ

olduğundan doğru yanıt

45

derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ve

b

açılarının toplamının tanjant değerini hesaplamak

\tan(a+b) = \frac{7}{9}

Toplam formülü olan

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

ifadesinde verilen değerleri yerine yazmak

2

a + b + c

toplamının tanjant değerini hesaplamak

\tan(a+b+c) = 1

(a+b)

ve

c

açılarının toplamına tanjant toplam formülünü uygulamak

3

Dar açı sınırlarını kullanarak toplam açının değerini derece cinsinden belirlemek

a + b + c = 45^\circ

0 < a+b+c < 135^\circ

aralığında tanjantı

1

olan açıyı bulmak

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve dar açılarda trigonometrik oranların yorumlanması

Soru 342Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f(f(x)) = x^3 + x - 1

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $h(x) = f(x^3 \cdot f(x))$ olarak tanımlanan $h$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Verilen f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılarak f(1) = 1 değeri elde edilir. Ardından eşitliğin her iki tarafının türevi alınıp x = 1 konulduğunda f'(f(1)) * f'(1) = 4 denklemiyle (f'(1))^2 = 4 bulunur. Fonksiyonun artan olmasından ötürü f'(1) = 2 olarak seçilir. h(x) = f(x^3 * f(x)) ifadesinin türevi zincir ve çarpım kurallarıyla alınarak x = 1 için h'(1) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) = 2 * (3 * 1 + 2) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

x = 1 yazarak f(1) değerini elde ediniz.

f(1) = 1

f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılırsa f(f(1)) = 1 elde edilir. f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde artan (ve dolayısıyla bire bir) olduğundan f(1) = 1 olmalıdır. Aksi halde f(1) = k > 1 için f(k) > f(1) yani 1 > k çelişkisi, f(1) = k < 1 için f(k) < f(1) yani 1 < k çelişkisi doğardı.

2

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak f'(1) değerini bulunuz.

f'(1) = 2

f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinin iki tarafının türevi zincir kuralı ile alınırsa f'(f(x)) * f'(x) = 3x^2 + 1 olur. x = 1 için f'(f(1)) * f'(1) = 4 elde edilir. f(1) = 1 olduğundan (f'(1))^2 = 4 bulunur. f fonksiyonu artan olduğu için türevi negatif olamaz. Bu nedenle f'(1) = 2 olarak elde edilir.

3

h(x) = f(x^3 * f(x)) fonksiyonunun türevini bulunuz.

h'(x) = f'(x^3 * f(x)) * (3x^2 * f(x) + x^3 * f'(x))

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve içteki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.

4

Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazarak sonucu hesaplayınız.

h'(1) = 10

h'(1) = f'(1^3 * f(1)) * (3 * 1^2 * f(1) + 1^3 * f'(1)) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) yazılır. f(1) = 1 ve f'(1) = 2 değerleri yerlerine yazıldığında h'(1) = f'(1) * (3 * 1 + 2) = 2 * 5 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpım unutulmamalıdır.

Soru 343Soru →

f(x) = x^3 - 12x + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 4 birimdir.

Fonksiyonun türevi olan

f'(x) = 3x^2 - 12

ifadesinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık

[-2, 2]

aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu ise

2 - (-2) = 4

birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun birinci türevi alınır.

f'(x) = 3x^2 - 12

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için fonksiyonun birinci türevinin i��aretinin incelenmesi gerekir.

2

Türev fonksiyonunun sıfır veya sıfırdan küçük olduğu aralık (

f'(x) \le 0

) belirlenir.

[-2, 2]

aralığı

Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu aralıkları verir.

3

Azalan olunan en geniş aralığın uzunluğu hesaplanır.

4

[-2, 2]

aralığının uzunluğunu bulmak için sağ uç noktadan sol uç nokta çıkarılır:

2 - (-2) = 4

.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda o fonksiyon azalandır.

Soru 344Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x - 8)

olarak verilmektedir.
Buna göre,

g(x) = f(2x - x^2)

fonksiyonunun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşaret tablosu analizi sonucunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 3'tür.

Fonksiyonun türevi alınıp zincir kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir. Pozitif olduğu aralıklar belirlenerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(2x - x^2)

fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alınız.

g'(x) = (2 - 2x) \cdot f'(2x - x^2) = 2(1-x) \cdot f'(2x - x^2)

Bileşke fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türev fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.

2

f'(x)

fonksiyonunda

x

yerine

2x - x^2

yazarak

f'(2x - x^2)

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

f'(u) = (u-1)(u-3)(u-4)(u+2)

ifadesinde

u = 2x - x^2

yazıldığında;

f'(2x-x^2) = -(x-1)^2 \cdot [-(x^2 - 2x + 3)] \cdot [-(x^2 - 2x + 4)] \cdot [-(x^2 - 2x - 2)]

elde edilir.

g'(x)

ifadesinin işaretini belirleyebilmek için

f'(2x - x^2)

bileşeninin tüm çarpanlarını analiz etmeliyiz.

3

Tüm çarpanlar�� birleştirerek

g'(x)

türev fonksiyonunun işaretini belirleyen sadeleşmiş ifadeyi yazınız.

g'(x) = -2 (x-1)^3 (x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x + 4) (x^2 - 2x - 2)

olur. Burada

x^2 - 2x + 3 > 0

ve

x^2 - 2x + 4 > 0

daima pozitif olduğundan, işaret yalnızca

-2(x-1)^3(x^2-2x-2)

ifadesine bağlıdır.

Daima pozitif olan çarpanlar işaret tablosundaki işaret değişimini etkilemezler, bu nedenle kökleri ve işaret değişimini belirleyen kritik çarpanlara odaklanılır.

4

g'(x) = 0

denkleminin köklerini bulunuz ve işaret tablosunu oluşturunuz.

Kökler

x = 1

(tek katlı),

x = 1 - \sqrt{3}

(tek katlı) ve

x = 1 + \sqrt{3}

(tek katlı) şeklindedir. İşaret tablosunda

g'(x)

'in işareti sağdan sola sırasıyla

-

,

+

,

-

,

+

şeklinde değişir. Böylece artan olduğu aralıklar

(-\infty, 1 - \sqrt{3}]

ve

[1, 1 + \sqrt{3}]

olarak bulunur.

Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklara karşılık gelir.

5

Artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyip toplamını bulunuz.

1 - \sqrt{3} \approx -0.73

olduğundan birinci aralıkta pozitif tam sayı yoktur. İkinci aralık olan

[1, 1 + \sqrt{3}]

aralığında

1 + \sqrt{3} \approx 2.73

olduğundan bu aralıktaki pozitif tam sayılar

1

ve

2

'dir. Toplamları ise

1 + 2 = 3

olur.

Soru bizden artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.

Soru 345Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax + 7

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu

6

birim olduğuna göre,

a

gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Pozitif a değeri 7'dir.

Verilen fonksiyonun türevi f'(x) = x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) şeklindedir. Türevin işaret tablosunda negatif olduğu bölge azalanlığı belirler ve bu bölge 1 ile a kökleri arasındadır. Kökler arası mesafe aralığın uzunluğuna eşit olup |a-1| = 6 denkleminden a'nın pozitif değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Türev fonksiyonunun bulunması

f'(x) = x^2 - (a+1)x + a

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.

2

Türevin köklerinin bulunması

x_1 = 1 ve x_2 = a

Türevin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.

3

Azalanlık aralığı ve uzunluğunun ifadesi

Aralık uzunluğu = |a - 1|

Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir türev fonksiyonu kökler arasında negatif değer alır. Bu nedenle azalan olduğu en geniş aralığın sınırları türevin kökleridir.

4

a parametresinin alabileceği değerlerin hesabı

a = 7 veya a = -5

|a - 1| = 6 mutlak değer eşitliği çözülerek a'nın olası değerleri bulunur.

5

Pozitif değerin seçilmesi

a = 7

Soruda a gerçel sayısının pozitif değeri istendiği için negatif olan -5 değeri elenerek 7 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f'(x) <= 0) olduğu aralıktır. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu aralığın uzunluğu kökler arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.

Soru 346Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin $\%40$ 'ı erkek, $\%60$ 'ı kızdır. Erkek öğrencilerin yarısı, kız öğrencilerin ise üçte biri gözlük kullanmaktadır. Buna göre, bu sın��ftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 0.4'tür.

Sınıftaki toplam öğrenci mevcudu 100 kabul edildiğinde, 40 erkek öğrenciden 20'si ve 60 kız öğrenciden 20'si gözlüklüdür. Toplamda 40 gözlüklü öğrenci bulunur. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı ise 40/100 = 0.4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sınıftaki toplam öğrenci sayısını 100 olarak varsayalım.

Sınıfta 40 erkek ve 60 kız öğrenci bulunur.

Yüzde hesaplamalarını tam sayılarla daha rahat yapabilmek için sınıf mevcudunu 100 seçmek kolaylık sağlar.

2

Gözlüklü erkek ve kız öğrencilerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım.

Gözlüklü erkek sayısı:

40 \times \frac{1}{2} = 20

, Gözlüklü kız sayısı:

60 \times \frac{1}{3} = 20

.

Soruda verilen oranları erkek ve kız gruplarının sayılarına uygulayarak gözlüklü birey sayılarını bulmak için.

3

Sınıftaki toplam gözlüklü öğrenci sayısını belirleyelim.

Toplam gözlüklü öğrenci sayısı:

20 + 20 = 40

.

İstenen olayın (gözlüklü öğrenci seçilmesi) eleman sayısını bulmak için.

4

Gözlüklü bir öğrenci seçilme olasılığını hesaplayalım.

Olasılık =

\frac{40}{100} = 0.4

.

Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı

Soru 347Soru →

a

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 5x, & x < a \\ x + 8, & x \ge a \end{cases}

fonksiyonunun

x = a

noktasında limiti vardır.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a = 4

Fonksiyonun

x = a

noktasında limitinin olması, bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olmasını gerektirir. Soldan yaklaşıldığında

x < a

olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme sonrası soldan limit

3a

olarak bulunur. Sağdan limit ise doğrudan

a+8

değerini alır. Bu iki değer eşitlendiğinde

3a = a + 8

denklemi çözülerek

a = 4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x \to a^-

için soldan limiti inceleyelim.

\lim_{x \to a^-} f(x) = 3a

x \to a^-

yaklaşımında

x < a

ve

a > 0

olduğu için

x^2 < a^2

olur. Buradan

x^2 - a^2 < 0

elde edilir. Dolayısıyla mutlak değerli terim

|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2)

olarak dışarı çıkar. İfade sadeleştirildiğinde:

\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x-a} + 5x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + 5x) = -2a + 5a = 3a

olur.

2

x \to a^+

için sağdan limiti inceleyelim.

\lim_{x \to a^+} f(x) = a + 8

x \to a^+

yaklaşımında

x \ge a

kuralı geçerlidir. Fonksiyonun bu aralıktaki tanımı

f(x) = x + 8

olduğundan limit değeri doğrudan

a + 8

olur.

3

Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyerek

a

parametresini bulalım.

a = 4

Fonksiyonun

x = a

noktasında limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerinin eşit olması gerekir. Buradan:

3a = a + 8 \implies 2a = 8 \implies a = 4

bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit incelenirken sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilir. Mutlak değerli ifadelerin sınır değerdeki işareti belirlenerek çarpanlara ayırma ve sadeleştirme adımları uygulanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 348Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

y

,

u

ve

t

değişkenleri arasında

y = u^3 - 4u^2 + 6u

u = 4t^3 - 2t

t = x^2 - 3

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x = 2$ için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80

Zincir kuralı kullanılarak dy/dx = (dy/du) * (du/dt) * (dt/dx) eşitliği elde edilir. x = 2 değeri için t = 1 ve u = 2 bulunur. Bu noktalardaki türevler sırasıyla 4, 10 ve 2 olarak hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı olan 80 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin verilen

x = 2

noktasındaki karşılık gelen değerlerini hesaplamak

x = 2 \implies t = 1

ve

t = 1 \implies u = 2

Zincir kuralında türevlerin hangi noktalarda değerlendirileceğini belirlemek için aracı değişkenlerin değerlerini bilmemiz gerekir.

2

Her bir değişkenin bir sonrakine göre türev fonksiyonunu bulmak ve ilgili noktadaki değerini hesaplamak

\frac{dt}{dx}\Big|_{x=2} = 4

,

\frac{du}{dt}\Big|_{t=1} = 10

,

\frac{dy}{du}\Big|_{u=2} = 2

Zincir kuralı bileşenlerini elde etmek için her katmanın türevini alırız.

3

Zincir kuralı formülünü uygulamak ve değerleri çarpmak

\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80

Zincir kuralı gereği, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevi, aradaki türevlerin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı ile türev hesaplama

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 349Soru →

f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 12

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkta bulunan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = 3(x-5)(x+1)

olup, türevin negatif veya sıfır olduğu

[-1, 5]

aralığı fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevi olan

f'(x)

ifadesini hesaplayın.

f'(x) = 3x^2 - 12x - 15

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, birinci türevinin işareti incelenerek bulunur.

2

f'(x) \leq 0

eşitsizliğini çözmek için türev fonksiyonunun köklerini bulun.

x_1 = -1

ve

x_2 = 5

Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar türevin kökleridir.

3

Türevin işaret tablosunu oluşturarak azalan olduğu en geniş aralığı belirleyin.

[-1, 5]

aralığı

[-1, 5]

aralığında

f'(x) \leq 0

olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

4

Belirlenen aralıktaki

x

tam sayılarını toplayın.

-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14

[-1, 5]

aralığındaki tam sayılar sırasıyla

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, fonksiyonun birinci türevinin sıfırdan küçük veya eşit (

f'(x) \leq 0

) olduğu aralıktır.

Soru 350Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

fonksiyonu

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

ve

x > -\frac{1}{3}

için tanımlı

g

fonksiyonu

g(x) = \sqrt{3x + 1}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, $h(x) = (f \circ g)(x)$ olarak tanımlanan $h$ fonksiyonunun $x = 8$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre

h'(8) = 16,5

olarak elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında

h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8)

eşitliği yazılır.

g(8) = 5

ve

g'(8) = 0,3

değerleri ile

f'(5) = 55

değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan

16,5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olup

x = 8

için

h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8)

olur.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

g(8)

ve

g'(8)

değerlerini hesaplama

g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5

ve

g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

olduğundan

g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3

bulunur.

Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun

x=8

noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.

3

f'(x)

fonksiyonunu bulma ve

f'(g(8))

değerini hesaplama

f'(x) = 3x^2 - 4x

olduğundan,

f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55

bulunur.

Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan

5

değeri yerine yazılır.

4

Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma

h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5

bulunur.

Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.

Soru 351Soru →

Gerçek sayılar kümesinde

x \neq 2

için tanımlanan

f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}

fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,

\lim_{x \to 2} f(x)

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Limit değeri 5'tir.

x \to 2

için limit hesaplanırken pay ve paydada sıfır elde edilir. Bu durum

\frac{0}{0}

belirsizliğidir. Paydaki ifade

(x-2)(x+3)

şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki

(x-2)

ile sadeleştirildiğinde belirsizlik ortadan kalkar ve limit değeri

2+3=5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit ifadesinde x yerine 2 yazarak belirsizlik durumunu belirlemek.

Pay ve payda sıfır çıktığı için 0/0 belirsizliği elde edilir.

Limitte hangi yöntemin uygulanacağını belirlemek için öncelikle belirsizlik türünü saptamamız gerekir.

2

Payda bulunan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak.

x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)

elde edilir.

Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanını (

x-2

) sadeleştirebilmek için payı çarpanlarına ayırmalıyız.

3

Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı sadeleştirmek ve limiti hesaplamak.

\lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5

bulunur.

x \to 2

iken

x \neq 2

olduğundan pay ve paydadaki

(x-2)

terimleri sadeleşebilir ve belirsizlik ortadan kalkar.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 352Soru →

$f(x) = x^3 + 2x$ ve $g(x) = 3x - 1$ fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, $(f \circ g)'(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevinin

x = 1

noktasındaki değeri 42'dir.

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki fonksiyonun türevi olan

g'(1) = 3

çarpanı ile dıştaki türev değeri olan

f'(g(1)) = 14

çarpılır ve sonuç 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı formülünü belirleme

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

İki fonksiyonun bileşkesinin türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

2

g(x)

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki değerini ve türevini hesaplama

g(1) = 2

ve

g'(1) = 3

g(x) = 3x - 1

lineer fonksiyonunda

x = 1

yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türev değeri bulunur.

3

f'(x)

fonksiyonunu bulma ve

x = g(1) = 2

noktasındaki değerini hesaplama

f'(2) = 14

f(x) = x^3 + 2x

türevi

f'(x) = 3x^2 + 2

olup,

x = 2

için bu değer

14

'tür.

4

Elde edilen değerleri zincir kuralında yerine koyarak sonuca ula��ma

(f \circ g)'(1) = 14 \cdot 3 = 42

Zincir kuralı gereği dıştaki türev değeri ile içteki türev değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

.

Soru 353Soru →

Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir

f(x)

fonksiyonunun grafiği

(1, -4)

noktasından geçmektedir.

\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{\sqrt{x+1} - 2} = 16

olduğuna göre,

\lim_{x \to -1} \frac{f(x^2 - 2)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Limit değeri 8 olarak bulunur.

Verilen ilk limit denkleminden

f(3) = 0

olduğu tespit edilip limitin eşlenik yardımıyla çözülmesiyle

3a+b=4

denklemine ulaşılır. Parabolün geçtiği nokta kullanılarak

a+b=2

bulunur ve

f(x) = (x-3)(x+1)

fonksiyonu elde edilir. İkinci limit ifadesinde pay ve payda çarpanlarına ayrılıp belirsizlik oluşturan

x+1

terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Paydanın limitini kontrol ederek

f(3)

değerini belirlemek.

\lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} - 2) = 0

olduğundan, limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için payın limiti de sıfır olmalıdır, yani

f(3) = 0

bulunur. Bu durumda

f(x)

fonksiyonu

f(x) = (x-3)(ax+b)

formunda yazılabilir.

Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayı çıkması ancak payın da sıfıra yaklaşarak

0/0

belirsizliği oluşturması ile mümkündür.

2

Limit ifadesinde

f(x)

yerine yazılıp belirsizlik giderilerek ilk denklemi elde etmek.

\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)}{\sqrt{x+1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)(\sqrt{x+1} + 2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (ax+b)(\sqrt{x+1} + 2) = 4(3a+b)

olur. Buradan

4(3a+b) = 16 \implies 3a+b = 4

elde edilir.

Paydadaki köklü ifadenin eşleniğiyle pay ve paydayı çarparak belirsizliğe neden olan

x-3

çarpanını sadeleştirmek gerekir.

3

f(x)

parabolünün

(1, -4)

noktasından geçmesi özelliğini kullanarak ikinci denklemi oluşturmak.

f(1) = (1-3)(a+b) = -4 \implies -2(a+b) = -4 \implies a+b = 2

elde edilir.

Fonksiyonun geçtiği nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.

4

Elde edilen denklem sistemini çözerek

f(x)

fonksiyonunu bulmak.

3a+b = 4

ve

a+b = 2

denklemleri ortak çözüldüğünde

a = 1

ve

b = 1

bulunur. Buradan

f(x) = (x-3)(x+1)

olarak elde edilir.

İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak bilinmeyen katsayıları hesaplamak mümkündür.

5

f(x^2 - 2)

ifadesini ve limit paydasını çarpanlarına ayırmak.

f(x^2 - 2) = (x^2 - 2 - 3)(x^2 - 2 + 1) = (x^2 - 5)(x^2 - 1) = (x^2 - 5)(x-1)(x+1)

elde edilir. Payda ise

x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1)

olarak çarpanlarına ayrılır.

x \to -1

iken limit ifadesinde oluşan

0/0

belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve payda ortak çarpanlarına ayrılır.

6

Ortak çarpanları sadeleştirerek limiti hesaplamak.

\lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)}{x^2 + x + 1} = \frac{((-1)^2 - 5)(-1-1)}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{(-4)(-2)}{1} = 8

bulunur.

Pay ve paydadaki sıfır yapan

x+1

terimleri sadeleşince belirsizlik giderilir ve doğrudan limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi

Soru 354Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $g$ fonksiyonu

g(x) = x^2 - 4x + 1

biçiminde tanımlanıyor. Her $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ için $f$ fonksiyonu

f(x) = \lim_{t \to x} \frac{t^3 g(x) - x^3 g(t)}{t^2 - x^2}

olarak veriliyor. Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h^2 + 2h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -17

Cevap

İstenen limit değeri -17 olarak bulunur.

Türevin limit tanımı kullanılarak f(x) fonksiyonu g(x) ve g'(x) cinsinden elde edilmiş, ardından istenen limit ifadesi f'(2) cinsinden yazılarak doğru sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun tanımındaki limiti t -> x yaklaşımı altında düzenlemek.

f(x) = 1.5*x*g(x) - 0.5*x^2*g'(x)

Limit tanımındaki belirsizliği gidermek ve ifadeyi g(x) ile g'(x) cinsinden yazabilmek için.

2

g(x) ve g'(x) fonksiyonlarını yerine yazarak f(x) ve f'(x) fonksiyonlarını elde etmek.

f'(2) = -8.5

f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türev değerine ulaşmak için.

3

İstenen limit ifadesini f'(2) türev değeri cinsinden ifade etmek.

Limit = 2*f'(2)

h -> 0 limitindeki belirsizliği türevin limit tanımı yardımıyla çözmek için.

4

Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplamak.

-17

Soruda istenen limitin nihai nümerik değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 355Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi, her

x \in \mathbb{R}

için

f'(x) = (x-8)(x-3)^2

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,

g(x) = f(x^2 - 2x)

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş sınırlı aralık

[a, b]

olduğuna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5

Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile alınıp çarpanlarına ayrıldığında

g'(x) = 2(x-1)(x-4)(x+2)(x-3)^2(x+1)^2

fonksiyonu elde edilir. Bu ifadenin kökleri küçükten büyüğe sıralanıp işaret tablosu yapıldığında çift katlı kökler olan

-1

ve

3

noktalarında işaret değişimi yaşanmaz. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler incelendiğinde azalanlığın geçerli olduğu sınırlı en geniş aralığın

[1, 4]

olduğu görülür. Buradan sınır değerlerin toplamı

1+4=5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralı) uygulama

g'(x) = f'(x^2 - 2x) \cdot (x^2 - 2x)' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)

g(x) = f(u(x))

biçimindeki bir bileşke fonksiyonun türevi

g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)

kuralı ile hesaplanır.

2

f'(x)

ifadesinde değişken dönüşümü yaparak

g'(x)

fonksiyonunu açıkça yazma

g'(x) = 2(x - 1) \cdot (x^2 - 2x - 8) \cdot (x^2 - 2x - 3)^2

f'(x) = (x-8)(x-3)^2

olarak verildiği için, girdiyi

x^2-2x

yaparak türev çarpanlarına ulaşılır.

3

g'(x) = 0

denkleminin tüm gerçel köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını bulma

Kökler:

x = 1

(tek katlı),

x = 4

(tek katlı),

x = -2

(tek katlı),

x = 3

(çift katlı),

x = -1

(çift katlı)

x-1=0 \Rightarrow x=1

,

x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, -2

ve

(x^2-2x-3)^2 = ((x-3)(x+1))^2=0 \Rightarrow x=3, -1

(çift katlı) elde edilir.

4

Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturma ve fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri belirleme

İşaret tablosu:

(-\infty, -2)

için

-

,

(-2, -1)

için

+

,

(-1, 1)

için

+

,

(1, 3)

için

-

,

(3, 4)

için

-

,

(4, \infty)

için

+

. Azalan aralıklar:

(-\infty, -2]

ve

[1, 4]

En sağdaki aralıkta (

x > 4

) türev pozitif işaretlidir. Çift katlı köklerde (

x = 3

ve

x = -1

) işaret yön değiştirmezken tek katlı köklerde yön değiştirir. Süreklilikten dolayı

[1, 3]

ve

[3, 4]

aralıkları birleştirilerek

[1, 4]

elde edilir.

5

Bulunan azalan aralıklardan sınırlı olan en geniş aralığı seçip aralığın uç değerlerinin toplamın�� hesaplama

[a, b] = [1, 4]

olup buradan

a = 1

,

b = 4

ve

a + b = 5

bulunur.

(-\infty, -2]

aralığı sınırsız bir aralık olduğundan, soruda istenen en geniş sınırlı aralık koşulunu yalnızca

[1, 4]

aralığı sağlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artanlık ve azalanlık incelemesi yapılması, türevin köklerinin katlılık durumlarına göre işaret tablosunun oluşturulması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 356Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

f(g(x)) = x^2 + 2x + 1

g(f(x)) = 2x^2 + 1

eşitlikleri sağlanmaktadır.

$f(2) = 2$ ve $f'(2) = 4$ olduğuna göre, $f'(9)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.

Bileşke fonksiyonların türevleri zincir kuralı uyarınca alınmalıdır. İkinci denklemin türevi olan g'(f(x)) * f'(x) = 4x eşitliğinde verilen f'(2) = 4 değeri yerine koyulduğunda g'(2) = 2 bulunur. İlk denklemin türevi olan f'(g(x)) * g'(x) = 2x + 2 eşitliğinde g(2) = 9 ve g'(2) = 2 değerleri kullanıldığında f'(9) * 2 = 6 elde edilir ve buradan f'(9) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinde x = 2 yazarak g(2) değerini bulmak.

g(2) = 9

İlk eşitlikte f'(g(2)) terimini elde etmek ve g(2) değerinin neye eşit olduğunu saptamak.

2

f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.

f'(9) * g'(2) = 6

İstenen f'(9) terimini içeren bir türev denklemi oluşturmak.

3

g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.

g'(2) * f'(2) = 8

Bilinmeyen g'(2) değerini bulmamızı sağlayacak ikinci bir türev denklemi elde etmek.

4

f'(2) = 4 değerini g'(2) * f'(2) = 8 denkleminde yerine yazıp g'(2) değerini çözmek.

g'(2) = 2

f'(9) değerine ulaşmak için zincir kuralından gelen içteki fonksiyonun türev değerini hesaplamak.

5

g'(2) = 2 değerini f'(9) * g'(2) = 6 denkleminde yerine yazıp f'(9) değerini bulmak.

f'(9) = 3

Soruda bizden istenen nihai türev değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve fonksiyon değerlerinin yerine yazılması.

Soru 357Soru →

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

2\sin^2(x) - \sin(2x) - \cos(2x) = 0

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin verilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.

Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen

3\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0

denkleminin kökleri

\tan(x) = 1

ve

\tan(x) = -1/3

şeklindedir.

[0, \pi]

aralığında

\tan(x) = 1

için bir kök,

\tan(x) = -1/3

için ikinci bölgede bir kök olmak üzere tam 2 adet kök mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik denklemdeki çift katlı açıl�� terimleri yarım açı formülleri kullanarak tek açı cinsinden yazın.

2\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0

elde edilir. Düzenlendiğinde denklem

4\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0

biçimini alır.

Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri ortak bir açıya indirgemek denklemin çözümünü mümkün kılar.

2

Denklemdeki sabit terim olan

1

yerine

\sin^2(x) + \cos^2(x)

temel özdeşliğini yazın.

4\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \Rightarrow 3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0

elde edilir.

Denklemi ikinci dereceden homojen bir forma getirerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak.

3

Elde edilen homojen denklemin her iki tarafını da

\cos^2(x)

ile bölerek denklemi tanjant cinsinden yazın (burada

\cos(x) = 0

denklemi sağlamadığı için bölme işlemi tanımlıdır).

3\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(3\tan(x) + 1)(\tan(x) - 1) = 0

olur.

Homojen denklemleri çözmek için en standart yöntem tanjant fonksiyonuna dönüştürmektir.

4

Elde edilen

\tan(x) = 1

ve

\tan(x) = -\frac{1}{3}

denklemlerinin

[0, \pi]

aralığındaki köklerini bulun.

\tan(x) = 1

için birinci bölgedeki kök

x = \frac{\pi}{4}

olur.

\tan(x) = -\frac{1}{3}

için ikinci bölgedeki kök

x = \pi - \arctan\left(\frac{1}{3}\right)

olur. Toplam kök sayısı 2'dir.

Verilen kapalı aralıkta tanjant fonksiyonunun işaretlerine göre köklerin bulunması ve sayılması.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve homojen trigonometrik denklemlerin çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem

3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0

olarak elde edildikten sonra doğrudan

(3\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan her bir parantez sıfıra eşitlenerek kök sayılarına ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 358Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

g(x) = f(x^3 - 12x)

eşitliği sağlanmaktadır.

$f$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = x^2 - 256$ olduğuna göre, $g$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

g(x) fonksiyonunun türevi alındığında

g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3

elde edilir. Kökler

-4, -2, 2, 4

olup tamamı tek katlı köktür. İşaret tablosu yapıldığında fonksiyonun azalan olduğu (

g'(x) \le 0

) en geniş aralıklar

[-4, -2]

ve

[2, 4]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama.

g'(x) = f'(x^3 - 12x) \cdot (3x^2 - 12)

g(x) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.

2

f'(x)

fonksiyonunda

x

yerine

x^3 - 12x

yazarak bileşke ifadenin değerini bulma.

f'(x^3 - 12x) = (x^3 - 12x)^2 - 256

Zincir kuralında yerine koyarak

g'(x)

'in çarpanlarını elde etmek.

3

g'(x)

türev fonksiyonunu çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.

g'(x) = 3(x^2 - 4)[(x^3 - 12x)^2 - 16^2] = 3(x-2)(x+2)(x^3 - 12x - 16)(x^3 - 12x + 16)

İşaret tablosu oluşturabilmek i��in fonksiyonun tüm köklerini ve katlılık derecelerini bulmamız gerekir.

4

Kübik ifadeleri çarpanlarına ayırma.

x^3 - 12x - 16 = (x-4)(x+2)^2

ve

x^3 - 12x + 16 = (x+4)(x-2)^2

Kübik polinomların köklerini bulmak için rasyonel kök testini uygulayarak çarpanlarına ayırırız.

5

Tüm çarpanları birleştirerek köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleme.

g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3

x = 2

ve

x = -2

kökleri hem kübik ifadelerden hem de zincir kuralından geldiği için toplamda 3'er adet (tek katlı) kök olurlar.

6

g'(x)

için işaret tablosu oluşturma ve

g'(x) \le 0

olan azalanlık aralıklarını belirleme.

Azalanlık aralıkları:

[-4, -2] \cup [2, 4]

g'(x)

'in kökleri

-4, -2, 2, 4

olup hepsi tek katlı köktür. En sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulur.

7

Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları bulup toplama.

Pozitif tam sayılar:

2, 3, 4

. Toplamları:

2 + 3 + 4 = 9

.

Soru bizden azalanlık aralığındaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu (

f'(x) \le 0

) aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalı ve köklerin katlılık dereceleri işaret tablosunda doğru incelenmelidir.

Soru 359Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları her

x

gerçel sayısı için

f(g(2x - 1) + x^2) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 1

eşitliğini sağlamaktadır.

$g(1) = 5$ ve $g'(1) = \frac{3}{2}$ olduğuna göre, $f'(6)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f'(6) değeri 2'dir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) doğru bir şekilde uygulanıp içteki fonksiyonların türevleri (özellikle g(2x-1) türevi alınırken gelen 2 çarpanı) hesaba katıldığında ve verilen değerler x = 1 için yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

f'(g(2x - 1) + x^2) * (2 * g'(2x - 1) + 2x) = 9x^2 - 4x + 5

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralını uygulamak ve türev ilişkisini kurmak için.

2

f' ifadesinin parantez içini 6 yapmak için x = 1 seçilir.

x = 1 için g(2x - 1) + x^2 = g(1) + 1 = 5 + 1 = 6 elde edilir.

Soruda g(1) = 5 değeri verildiğinden, ifadenin içini 6 yapan uygun x değerini bulmak için.

3

x = 1, g(1) = 5 ve g'(1) = 3/2 değerleri türev denklemine yazılarak f'(6) hesaplanır.

f'(6) * 5 = 10 ise f'(6) = 2 bulunur.

Türev denklemindeki tüm bilinenleri yerine yazarak bilinmeyen f'(6) değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır. f(u(x)) türevi f'(u(x)) * u'(x) şeklindedir.

Soru 360Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 2x^2 + 5x$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Limit ifadesinin değeri 9'dur.

Verilen limit ifadesi,

f

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki anlık değişim oranı olan

f'(1)

değerinin tanımıdır.

f(x) = 2x^2 + 5x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 4x + 5

olduğundan,

x = 1

için türev değeri

4 \cdot 1 + 5 = 9

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisini belirleme

Limit ifadesi

f'(1)

değerine eşittir.

Türevin limit tanımına göre

\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)

eşitliği sağlanır. Burada

a = 1

alınmıştır.

2

f(x) = 2x^2 + 5x

fonksiyonunun türevini bulma

f'(x) = 4x + 5

Polinom fonksiyonların türev kuralı (

d/dx(x^n) = n x^{n-1}

) kullanılmıştır.

3

Türev fonksiyonunda

x = 1

yazarak limit değerini hesaplama

9

f'(1) = 4(1) + 5 = 9

işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktadaki anlık değişim oranının (türevinin) hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesinde fonksiyon değerlerini doğrudan yerine yazarak da sonuca ulaşabiliriz:

f(1) = 7

olduğundan limit

\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x - 7}{x - 1}

olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda

\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 7)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 7) = 9

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm