Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 501Soru →

Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulama için kullanıcılardan aşağıdaki kurallara uygun 4 basamaklı şifreler oluşturmalarını istemektedir:

* Şifrenin tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan rakamlar soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
* Şifrede kullanılacak rakamlar {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları arasından seçilmelidir.

Bu şifrede yer alan rakamlardan en az iki tanesinin çift sayı olması istendiğine göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bu kurallara uygun 22 farklı şifre oluşturulabilir.
Kümedeki tek rakamlar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet) ve çift rakamlar {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 adet) olarak ayrılır. Rakamlar soldan sağa doğru artan sırada yazılacağı için her 4 elemanlı seçim tek bir şifre üretir. En az 2 çift sayı koşulu için; 2 çift ve 2 tek rakam seçimi (32)⋅(42)=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 18 şekilde, veya 3 çift ve 1 tek rakam seçimi (33)⋅(41)=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 4 şekilde yapılabilir. Toplam şifre sayısı 18+4=2218 + 4 = 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 tane), Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 tane)
Şartlardaki tek ve çift sayı seçimlerini ayrı gruplardan yapabilmek için küme elemanlarını sınıflandırmamız gerekir.
2
Sıralama kısıtını analiz etme
Seçilen her 4 elemanlı küme için tek bir şifre yazılabilir.
��ifrenin basamaklarındaki rakamların soldan sağa doğru artan sırada olması istenmektedir. Seçilen her farklı 4 rakam grubu yalnızca tek bir şekilde (küçükten büyüğe) sıralanabileceğinden, sıralama hesabı (permütasyon) yapmaya gerek yoktur; sadece seçim (kombinasyon) yapmak yeterlidir.
3
En az iki çift sayı içerme durumlarını hesaplama
Toplam 22 farklı seçim yapılır.
En az 2 çift sayı seçilmesi koşulu iki alt durumda incelenir:
1) Tam 2 çift sayı ve 2 tek sayı seçilmesi: (32)⋅(42)=3⋅6=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 3 \cdot 6 = 18 durum.
2) Tam 3 çift sayı ve 1 tek sayı seçilmesi: (33)⋅(41)=1⋅4=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 durum. Bu iki durumun toplamı 18+4=2218 + 4 = 22 olur.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Sıralama Bağımsız Seçimler

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Seçilebilecek tüm 4 elemanlı grupların sayısı (74)=35\binom{7}{4} = 35'tir. İstenmeyen durumlar, şifrede 2'den az çift sayı bulunmasıdır:
1) Hiç çift sayı bulunmaması (4 tek sayı seçilmesi): (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum.
2) Sadece 1 çift sayı bulunması (1 çift, 3 tek sayı seçilmesi): (31)⋅(43)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12 durum.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 35−(1+12)=2235 - (1 + 12) = 22 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 502Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x+1x3)n\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^n
ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin (yani xx değişkeninin üssü tam sayı olan terimlerin) sayısı 4'tür.
Buna göre, nn sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

n sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı 43'tür.
Genel terim formülü ile xx'in üssü 3n−5r6\frac{3n-5r}{6} olarak bulunur. Bu üssün tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir. nn çift ise rr değerleri 0,6,12,180, 6, 12, 18 olup en küçük nn değeri 18'dir. nn tek ise rr değerleri 3,9,15,213, 9, 15, 21 olup en büyük nn değeri 25'tir. Bu iki değerin toplamı 18+25=4318 + 25 = 43 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim form��lünü yazıp xx değişkeninin üssünü bulunuz.
Genel terim Tr+1=(nr)(x1/2)n−r(x−1/3)r=(nr)x3n−5r6T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{1/2})^{n-r} (x^{-1/3})^r = \binom{n}{r} x^{\frac{3n-5r}{6}} şeklindedir.
Binom açılımındaki terimlerin kuvvetlerini bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
xx değişkeninin üssünün tam sayı olma koşulunu belirleyiniz.
3n−5r6\frac{3n-5r}{6} ifadesinin tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir.
Terimin rasyonel olması için xx'in kuvvetinin bir tam sayı olması gerekir.
3
nn sayısının tek ve çift olma durumlarına göre rr'nin alabileceği değerleri analiz ediniz.
Eğer nn çift ise r≡0(mod6)r \equiv 0 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{0,6,12,18}r \in \{0, 6, 12, 18\} olmalıdır, buradan 18≤n<2418 \le n < 24 elde edilir. Çift nn değerleri {18,20,22}\{18, 20, 22\} olur. Eğer nn tek ise r≡3(mod6)r \equiv 3 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{3,9,15,21}r \in \{3, 9, 15, 21\} olmalıdır, buradan 21≤n<2721 \le n < 27 elde edilir. Tek nn değerleri {21,23,25}\{21, 23, 25\} olur.
Terim sayısının tam olarak 4 olması koşulunu sağlayan sınırları tespit etmek için modüler analiz yapılır.
4
nn değerlerinin en büyüğünü ve en küçüğünü tespit edip toplayınız.
nn'nin alabileceği en küçük değer 18, en büyük değer ise 25'tir. Toplamları 18+25=4318 + 25 = 43 olur.
İstenen sonucu bulmak için belirlenen değer kümesindeki uç elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve terimlerin rasyonellik şartı
Soru 503Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b parabolü ile g(x)=cxg(x) = \frac{c}{x} eğrisi x=1x = 1 apsisli ortak noktasında birbirine teğettir. Bu ortak teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 88 olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

a + b + c toplamının doğru değeri 7'dir.
Ortak teğet noktasında fonksiyonların değerleri ve türevleri eşittir. Buradan elde edilen denklemler ve teğet doğrusunun y-eksenini kestiği nokta kullanılarak a, b ve c değerleri sırasıyla -6, 9 ve 4 olarak bulunur. Toplamları ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin x=1x = 1 apsisli ortak noktadaki değerlerini eşitleyin.
f(1)=g(1)  ⟹  1+a+b=c  ⟹  a+b−c=−1f(1) = g(1) \implies 1 + a + b = c \implies a + b - c = -1
Teğet noktasında her iki fonksiyonun da y-değerleri birbirine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonların türevlerini alıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimlerini eşitleyin.
f′(x)=2x+a  ⟹  f′(1)=2+af'(x) = 2x + a \implies f'(1) = 2 + a ve g′(x)=−cx2  ⟹  g′(1)=−cg'(x) = -\frac{c}{x^2} \implies g'(1) = -c olur. Eğimler eşit olduğundan 2+a=−c  ⟹  a+c=−22 + a = -c \implies a + c = -2 elde edilir.
Eğriler teğet noktasında ortak teğet doğrusuna sahip olduklarından türev değerleri aynı olmalıdır.
3
Ortak teğet doğrusunun denklemini yazın ve yy eksenini kestiği noktayı bulun.
Teğet noktası (1,c)(1, c) ve eğim m=−cm = -c olduğundan teğet doğrusunun denklemi y−c=−c(x−1)  ⟹  y=−cx+2cy - c = -c(x - 1) \implies y = -cx + 2c olur. x=0x = 0 için y=2c=8  ⟹  c=4y = 2c = 8 \implies c = 4 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği nokta olan ordinat değerini (8) kullanarak c sabitini elde etmek için.
4
aa, bb ve istenen toplamı hesaplayın.
c=4c = 4 ise a+4=−2  ⟹  a=−6a + 4 = -2 \implies a = -6 olur. a+b−c=−1  ⟹  −6+b−4=−1  ⟹  b=9a + b - c = -1 \implies -6 + b - 4 = -1 \implies b = 9 bulunur. Buradan a+b+c=−6+9+4=7a + b + c = -6 + 9 + 4 = 7 elde edilir.
Bulunan parametreleri yerine koyarak nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, iki eğrinin birbirine teğet olma koşulları ve teğet doğrusu denklemi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 504Soru →
Tanımlı olduğu kümede türevlenebilen bir gg fonksiyonu yardımıyla
f(x)=g(x)−x2x+1f(x) = \frac{g(x) - x^2}{x + 1}
fonksiyonu tanımlanıyor.

g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f'(1) değeri 3'tür.
Bölüm türevi kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunda verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını kullanarak f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=(g′(x)−2x)(x+1)−(g(x)−x2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{(g'(x) - 2x)(x + 1) - (g(x) - x^2) \cdot 1}{(x + 1)^2}
f(x)f(x) fonksiyonu iki fonksiyonun bölümü biçiminde tanımlandığı için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazarak f′(1)f'(1) ifadesini elde ediniz.
f′(1)=(g′(1)−2)(2)−(g(1)−1)4f'(1) = \frac{(g'(1) - 2)(2) - (g(1) - 1)}{4}
Bizden istenen değer x=1x = 1 noktasındaki türev de��eridir.
3
Soruda verilen g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 değerlerini yerlerine yazarak işlemi sonuçlandırınız.
f′(1)=3f'(1) = 3
Gerekli dört işlem yapıldığında f′(1)=(9−2)⋅2−(3−1)4=14−24=3f'(1) = \frac{(9 - 2) \cdot 2 - (3 - 1)}{4} = \frac{14 - 2}{4} = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi ve temel türev alma kuralları
Soru 505Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x+2y = x + 2 doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Doğru ve parabolün kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur. Bu aralıkta doğru parabolün üzerinde kaldığı için alan ∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx belirli integraliyle hesaplanır. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 276=4,5\frac{27}{6} = 4,5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim Noktalarının Belirlenmesi
x=−1x = -1 ve x=2x = 2
İntegralin sınırlarını oluşturacak olan kesişim noktalarını bulmak için doğru ve parabol denklemleri ortak çözülür.
2
İntegral Sınırları İçinde Üstteki Eğrinin Belirlenmesi
[−1,2][-1, 2] aralığında y=x+2y = x + 2 doğrusu üstte yer alır.
Pozitif alan değerine ulaşmak amacıyla hangi fonksiyondan hangisinin çıkarılacağını tespit etmek gerekir.
3
Belirli İntegralin Hesaplanması
4,5 birimkare
Belirlenen sınırlar dahilinde fark fonksiyonunun integrali alınarak alan değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan, kesişim noktalarının apsisleri arasında, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integrale eşittir.
Soru 506Soru →

Bir torbada 22 kırmızı ve 33 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakıldıktan sonra torbaya geri atılıyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen ilk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.24

Cevap

İlk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 0,24'tür.
İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı 2/5 (0,4) ve çekilen bilye torbaya geri atıldığı için ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 3/5 (0,6) olur. Olaylar bağımsız olduğundan bu iki olasılık çarpılarak doğru sonuç 0,24 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama
P(K_1) = 2/5 = 0,4
Torbada toplam 5 bilye olup bunlardan 2'si kırmızıdır.
2
İkinci çekilen bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(M_2) = 3/5 = 0,6
İlk çekilen bilye geri atıldığı için torbadaki bilye sayısı ve renk dağılımı değişmemiştir, bu yüzden olaylar bağımsızdır.
3
İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulma
P(K_1 ve M_2) = 0,4 * 0,6 = 0,24
Bağımsız olayların kesişim olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olayların Çarpım Kuralı
Soru 507Soru →
(x3−2x)8\left(x^3 - \frac{2}{x}\right)^8

ifadesi açılıp düzenlendiğinde x12x^{12}'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -448

Cevap

İfadenin açılımındaki x^12'li terimin katsayısı -448'dir.
Genel terim formülü kullanılarak x'in üssü 12'ye eşitlendiğinde r = 3 bulunur. r = 3 için katsayı hesaplandığında -448 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazmak
Genelterim:(8r)(x3)8−r(−2x)rGenel terim: \binom{8}{r} (x^3)^{8-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r
Açılımdaki herhangi bir terimi belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Değişkenin üssünü düzenlemek
\binom{8}{r} (-2)^r x^{24-4r}
x'in kuvvetini tek bir üs olarak ifade etmek için üslü sayılar kuralları uygulanır.
3
x'in üssünü 12'ye eşitleyerek r değerini bulmak
24 - 4r = 12 \implies r = 3
İstenen terimin derecesi 12 olduğu için üs 12'ye eşitlenir.
4
Katsayıyı hesaplamak
\binom{8}{3} (-2)^3 = 56 \times (-8) = -448
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak katsayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.
Soru 508Soru →
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n

ifadesinin açılımında x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5}'li bir terim bulunduğuna göre, nn kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Aranan n sayısı 8'dir.
Verilen binom açılımının genel terimi yazıldığında y'nin üssünün -r olduğu görülür. Açılımdaki terimde y−5y^{-5} bulunduğundan r = 5 olmalıdır. x'in üssü ise 2n−2r=2n−102n-2r = 2n-10 olur. Terimdeki x6x^6 çarpanından ötürü 2n−10=62n-10 = 6 denklemi çözüldüğünde n = 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(x2+2y)n\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n ifadesinin açılımındaki genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(2y)r=(nr)2rx2n−2ry−rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{2}{y}\right)^r = \binom{n}{r} 2^r x^{2n-2r} y^{-r} şeklindedir.
Binom açılımında belirli bir terimin değişkenlerinin üslerini belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
y değişkeninin üssü eşitlenerek r değeri bulunur.
y−r=y−5  ⟹  r=5y^{-r} = y^{-5} \implies r = 5 olarak bulunur.
Açılımdaki terimin x6⋅y−5x^6 \cdot y^{-5} biçiminde olduğu belirtildiğinden, y'nin üssü -5 olmalıdır.
3
x değişkeninin üssü eşitlenerek n değeri bulunur.
x2n−2r=x6  ⟹  2n−2r=6x^{2n-2r} = x^6 \implies 2n - 2r = 6 elde edilir. Bulunan r=5r = 5 değeri yerine yazıldığında: 2n−2(5)=6  ⟹  2n−10=6  ⟹  2n=16  ⟹  n=82n - 2(5) = 6 \implies 2n - 10 = 6 \implies 2n = 16 \implies n = 8 elde edilir.
Terimdeki x'in üssü 6 olduğundan, genel terimdeki x'in üssü 6'ya eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 509Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir ff fonksiyonu
f(x)=x2+ax−1f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
f′(2)=−3f'(2) = -3 olduğuna göre, aa ger��el sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a sayıs�� 3'tür.
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2} olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=−af'(2) = -a elde edilir. Soruda f′(2)=−3f'(2) = -3 verildiğinden −a=−3-a = -3 eşitliğinden a=3a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=2x(x−1)−(x2+a)(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + a)}{(x - 1)^2}
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f′(x)f'(x) ifadesini sadeleştiriniz.
f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x - 1)^2}
Hesaplamaları kolaylaştırmak için türev ifadesini düzenlemek yararlıdır.
3
x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak verilen değere eşitleyiniz.
−a=−3  ⟹  a=3-a = -3 \implies a = 3
Verilen f′(2)=−3f'(2) = -3 bilgisi kullanılarak bilinmeyen aa parametresi bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin hesaplanması.
Soru 510Soru →
f(x)+f(−x)=3x2+4f(x) + f(-x) = 3x^2 + 4 eşitliğini sağlayan sürekli bir ff fonksiyonu için ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Belirli integralin değeri 16'dır.
Verilen eşitliğin integralini alıp sol tarafta değişken değiştirme kullanarak her iki terimin de aynı integral değerini verdiğini gösteririz. Bu da bizi doğru cevap olan 16 değerine ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [−2,2][-2, 2] aralığında belirli integralini alırız.
∫−22(f(x)+f(−x)) dx=∫−22(3x2+4) dx\int_{-2}^{2} (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx
Eşit iki ifadenin aynı sınırlar altındaki belirli integralleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki belirli integrali hesaplarız.
∫−22(3x2+4) dx=[x3+4x]−22=(8+8)−(−8−8)=16−(−16)=32\int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} = (8 + 8) - (-8 - 8) = 16 - (-16) = 32
Belirli integralin temel teoremini kullanarak sınır değerlerini fonksiyonda yerine yazarız.
3
∫−22f(−x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx integralinde u=−xu = -x değişken değiştirmesi uygularız.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar için; x=−2x = -2 iken u=2u = 2 ve x=2x = 2 iken u=−2u = -2 olur. Buradan ∫−22f(−x) dx=∫2−2f(u) (−du)=∫−22f(u) du=∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = \int_{2}^{-2} f(u) \, (-du) = \int_{-2}^{2} f(u) \, du = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini uu cinsinden yazıp integralin yönünü değiştirerek eksiyi yok ederiz.
4
Eşitliğin sol tarafındaki iki integralin birbirine eşit olduğunu kullanarak sonucu buluruz.
∫−22f(x) dx+∫−22f(−x) dx=2∫−22f(x) dx=32  ⟹  ∫−22f(x) dx=16\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = 2 \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 32 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 16
Elde edilen sonuçları birleştirerek aranan integralin değerini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri
Soru 511Soru →

Bir torbada 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele ve geri bırakılmaksızın art arda 33 top çekiliyor. Çekilen birinci, ikinci ve üçüncü topların üzerindeki sayılar sırasıyla aa, bb ve cc olarak kaydediliyor. Buna göre, (a+b)⋅c(a+b) \cdot c çarpımının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.7

Cevap

Çekilen topların üzerindeki sayılarla oluşturulan (a+b)⋅c(a+b) \cdot c ifadesinin çift sayı olma olasılığı 0,7'dir.
Çarpımın tek sayı olma olasılığı hesaplanıp 1'den çıkarıldığında, (a+b)c(a+b)c çarpımının çift sayı olma olasılığı 0,7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesaplama
Tüm olası durumların sayısı P(6,3)=6×5×4=120P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120'dir.
Torbada 6 top olduğundan ve geri bırakılmaksızın sırasıyla 3 top çekildiğinden sıralı üçlü sayısı bulunmalıdır.
2
Çarpımın tek sayı olması (tümleyen durum) koşulunu belirleme
(a+b)⋅c(a+b) \cdot c çarpımının tek olması için hem a+ba+b toplamının hem de cc sayısının tek sayı olması gerekir.
İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması zorunludur.
3
cc sayısının tek olduğu durumları belirleme
c∈{1,3,5}c \in \{1, 3, 5\} olmak üzere 3 farklı seçim yapılabilir.
Torbadaki tek sayılar 1, 3 ve 5'tir.
4
a+ba+b toplamının tek olması için uygun (a,b)(a, b) çiftlerini sayma
cc seçildikten sonra kalan 5 sayıdan 1 tek ve 1 çift sayı sırasıyla 2×3×2!=122 \times 3 \times 2! = 12 farklı şekilde seçilebilir.
İki sayının toplamının tek olması için biri tek, diğeri çift olmalıdır. Başlangıçta 3 tek ve 3 çift sayı varken cc tek seçildiği için geriye 2 tek ve 3 çift sayı kalmıştır.
5
Tümleyen olayın olasılığını hesaplama
Çarpımın tek sayı olma olasılığı 3×12120=36120=0,3\frac{3 \times 12}{120} = \frac{36}{120} = 0,3'tür.
İstenmeyen durum sayısı olan 36, toplam durum sayısı olan 120'ye bölünür.
6
İstenen olayın (çarpımın çift sayı olması) olasılığını bulma
Çarpımın çift sayı olma olasılığı 1−0,3=0,71 - 0,3 = 0,7'dir.
Bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Tümleyen Olayın Olasılığı
Soru 512Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=2x−1x+1f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}
eğrisine eğimi 33 olan teğet doğruları çiziliyor.
Buna göre, bu teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı 10'dur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x+1)2f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} olarak hesaplanır. Türev fonksiyonu 3'e eşitlendiğinde teğet noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=−2x = -2 bulunur. Bu apsis değerlerine karşılık gelen teğet noktaları sırasıyla (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olur. Bu noktalardan çizilen ve eğimleri 3 olan teğet doğrularının denklemleri y=3x−1y = 3x - 1 ve y=3x+11y = 3x + 11 olarak elde edilir. Bu doğruların y eksenini kestiği noktaların ordinatları −1-1 ve 1111 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı kullanılarak hesaplanır.
f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(1)(x+1)2=3(x+1)2f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}
Bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonu, verilen teğet eğimi olan 3'e eşitlenerek teğet noktalarının apsisleri (xx değerleri) bulunur.
3(x+1)2=3⇒(x+1)2=1⇒x+1=1\frac{3}{(x+1)^2} = 3 \Rightarrow (x+1)^2 = 1 \Rightarrow x+1 = 1 veya x+1=−1x+1 = -1 olup buradan x1=0x_1 = 0 ve x2=−2x_2 = -2 elde edilir.
Teğet doğrusunun eğiminin 3 olduğu noktaları tespit etmek için.
3
Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak teğet noktalarının ordinatları bulunur.
y1=f(0)=2(0)−10+1=−1y_1 = f(0) = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1 ve y2=f(−2)=2(−2)−1−2+1=5y_2 = f(-2) = \frac{2(-2)-1}{-2+1} = 5. Böylece teğet noktaları (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olarak bulunur.
Teğet doğrularının denklemlerini yazabilmek için temas noktalarının koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
4
Eğimi 3 olan ve teğet noktalarından geçen doğruların denklemleri yazılır.
Birinci teğet doğrusu: y−(−1)=3(x−0)⇒y=3x−1y - (-1) = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x - 1. İkinci teğet doğrusu: y−5=3(x−(−2))⇒y=3x+11y - 5 = 3(x - (-2)) \Rightarrow y = 3x + 11.
Doğruların y eksenini kestiği noktaları belirlemek için.
5
Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları belirlenir ve toplanır.
y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu y eksenini −1-1 noktasında, y=3x+11y = 3x + 11 doğrusu ise 1111 noktasında keser. Toplamları: −1+11=10-1 + 11 = 10.
Soruda teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereği, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Eğim ve teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemi y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle yazılır.
Soru 513Soru →

Bir teknoloji firması, A ve B markaları altında eşit miktarda mikroçip üretmektedir. A marka çiplerin %2,5\%2,5'i, B marka çiplerin ise %10\%10'u üretim hatasından dolayı arızalıdır.

Üretilen tüm çipler, birbirlerinden bağımsız olarak çalışan iki farklı kalite kontrol testinden geçirilmektedir. Her iki test için de geçerli olan teknik özellikler şu şekildedir:
- Arızalı bir çip, test edildiğinde %90\%90 olasılıkla 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.
- Sağlam bir çip, test edildiğinde %10\%10 olasılıkla hatalı bir şekilde 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.

Depodan rastgele seçilen bir çip bu iki teste tabi tutulmuş ve her iki testten de 'arızalı' raporu almıştır.

Buna göre, bu çipin A marka bir çip olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.25

Cevap

Çipin A marka olma olasılığı 1/4'tür (veya ondalık olarak 0,25).
Çipin iki testten de arızalı raporu alması olayının toplam olasılığı hesaplandığında bu olasılık 0,06 bulunurken, bu çipin hem A marka olup hem de bu raporları alma olasılığı 0,015 olarak bulunur. Koşullu olasılık formülüyle bu iki değer birbirine oranlandığında sonuç 0,25 yani 1/4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları tanımlayalım ve temel olasılıkları belirleyelim.
A ve B markalarının seçilme olasılıkları: P(A)=0,5P(A) = 0,5 ve P(B)=0,5P(B) = 0,5.
Çiplerin arızalı olma (DD) ve sağlam olma (D′D') olasılıkları:
- A markası için: P(D∣A)=0,025P(D|A) = 0,025 ve P(D′∣A)=0,975P(D'|A) = 0,975
- B markası için: P(D∣B)=0,10P(D|B) = 0,10 ve P(D′∣B)=0,90P(D'|B) = 0,90
Koşullu olasılıkları hesaplamak için önce örnek uzaydaki tüm alt grupların olasılıklarını belirlemeliyiz.
2
Çipin her iki testten de 'arızalı' raporu alması (RR) durumunun, çipin gerçekte arızalı (DD) ya da sağlam (D′D') olması durumuna göre koşullu olasılıklarını hesaplayalım.
Testler bağımsız olduğundan:
- Arızalı çip için çift 'arızalı' raporu olasılığı: P(R∣D)=0,90×0,90=0,81P(R|D) = 0,90 \times 0,90 = 0,81
- Sağlam çip için çift 'arızalı' raporu olasıl��ğı: P(R∣D′)=0,10×0,10=0,01P(R|D') = 0,10 \times 0,10 = 0,01
Test sonuçları çipin gerçek durumuna bağlı olarak bağımsız olduğundan çarpım kuralı uygulanır.
3
Seçilen çipin A marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(A∩R)P(A \cap R)) hesaplayalım.
P(A∩R)=P(A∩D∩R)+P(A∩D′∩R)P(A \cap R) = P(A \cap D \cap R) + P(A \cap D' \cap R)
=P(A)⋅P(D∣A)⋅P(R∣D)+P(A)⋅P(D′∣A)⋅P(R∣D′)= P(A) \cdot P(D|A) \cdot P(R|D) + P(A) \cdot P(D'|A) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,025⋅0,81+0,5⋅0,975⋅0,01= 0,5 \cdot 0,025 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,975 \cdot 0,01
=0,010125+0,004875=0,0150= 0,010125 + 0,004875 = 0,0150
A markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
4
Seçilen çipin B marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(B∩R)P(B \cap R)) hesaplayalım.
P(B∩R)=P(B∩D∩R)+P(B∩D′∩R)P(B \cap R) = P(B \cap D \cap R) + P(B \cap D' \cap R)
=P(B)⋅P(D∣B)⋅P(R∣D)+P(B)⋅P(D′∣B)⋅P(R∣D′)= P(B) \cdot P(D|B) \cdot P(R|D) + P(B) \cdot P(D'|B) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,10⋅0,81+0,5⋅0,90⋅0,01= 0,5 \cdot 0,10 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,90 \cdot 0,01
=0,0405+0,0045=0,0450= 0,0405 + 0,0045 = 0,0450
B markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
5
Toplam olasılık formülünü kullanarak herhangi bir çipin çift 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(R)P(R)) ve ardından Bayes Teoremi ile istenen koşullu olasılığı (P(A∣R)P(A|R)) hesaplayalım.
P(R)=P(A∩R)+P(B∩R)=0,0150+0,0450=0,0600P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) = 0,0150 + 0,0450 = 0,0600
P(A∣R)=P(A∩R)P(R)=0,01500,0600=1560=14=0,25P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{0,0150}{0,0600} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25
Koşullu olasılık tanımı gereği, istenen durumun olasılığı, kısıtlanmış örnek uzayın (tüm çift arızalı raporu alanların) olasılığına bölünür.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık
Soru 514Soru →
(x−2x)5\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İfadenin açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı 40'tır.
İfadenin genel terimi Tr+1=(5r)x5−r(−2x)r=(5r)(−2)rx5−3r2T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{5-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r = \binom{5}{r} (-2)^r x^{5 - \frac{3r}{2}} şeklindedir. x2x^2'li terim için 5−3r2=25 - \frac{3r}{2} = 2 denkleminden r=2r=2 bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında katsayı (52)(−2)2=10⋅4=40\binom{5}{2} (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü oluşturulur.
Tr+1=(5r)⋅x5−r⋅(−2x)rT_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot x^{5-r} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r
Binom açılımındaki terimlerin katsayı ve derecelerini belirlemek için genel formül kullanılır.
2
xx değişkeninin kuvvetleri sadeleştirilir.
Tr+1=(5r)⋅(−2)r⋅x5−3r2T_{r+1} = \binom{5}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{5 - \frac{3r}{2}}
1x=x−1/2\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} olduğundan, tabanları aynı olan üslü ifadelerin üsleri toplanır.
3
xx'in kuvveti aranan terimin kuvveti olan 2'ye eşitlenerek rr bulunur.
5−3r2=2  ⟹  3=3r2  ⟹  r=25 - \frac{3r}{2} = 2 \implies 3 = \frac{3r}{2} \implies r = 2
x2x^2'li terimi elde etmek için genel terimdeki xx'in üssü 2 olmalıdır.
4
r=2r = 2 değeri katsayı formülünde yerine yazılır.
Katsayı = (52)⋅(−2)2=10⋅4=40\binom{5}{2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40
Genel terimdeki katsayı kısmı olan (5r)⋅(−2)r\binom{5}{r} \cdot (-2)^r ifadesinde rr yerine 2 yazılıp hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir kuvvete sahip terimin katsayısını genel terim formülü kullanarak hesaplama.
Soru 515Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax−3,x<32x+b,3≤x<62x+12x−c,x≥6f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x < 3 \\ 2x + b, & 3 \le x < 6 \\ \frac{2x + 12}{x - c}, & x \ge 6 \end{cases}

fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Fonksiyonun her noktada sürekli olması için x = 3 ve x = 6 sınır noktalarında sağ ve sol limitlerin fonksiyonun o noktalardaki değerlerine eşit olması gerekir. x = 3 noktasındaki sol limitin varlığı için a = 9 olmalıdır. Buradan sol limit 6 çıkar ve süreklilik için f(3) = 6 olmalıdır, bu da b = 0 sonucunu verir. x = 6 noktasında ise sol limit 12'dir ve sağ limitin de 12 olması için c = 4 olmalıdır. c = 4 değeri x >= 6 aralığı dışında kaldığı için başka bir süreksizlik noktası oluşturmaz. Bu nedenle a + b + c = 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
x = 3 noktasında sol limitin varlığ��nı inceleyerek a parametresini bulunuz.
a = 9
Sol limit olan lim_{x -> 3^-} (x^2 - a)/(x - 3) ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayı çıkması için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla 3^2 - a = 0 olmalıdır.
2
a = 9 değerini yerine koyarak x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayınız ve sürekli olması için b parametresini bulunuz.
b = 0
lim_{x -> 3^-} (x^2 - 9)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x + 3) = 6 olur. x = 3 noktasında süreklilik için sağ limit ve fonksiyon değeri de 6 olmalıdır. f(3) = 2(3) + b = 6 bağıntısından b = 0 elde edilir.
3
x = 6 sınır noktasındaki sürekliliği inceleyerek c parametresini bulunuz ve fonksiyonun diğer aralıklarda da sürekli olduğunu doğrulayınız.
c = 4
x = 6 noktasındaki sol limit lim_{x -> 6^-} (2x) = 12'dir. Sağ limit ise f(6) = (2(6) + 12)/(6 - c) = 24/(6 - c) olur. 24/(6 - c) = 12 eşitliğinden c = 4 bulunur. c = 4 değeri x >= 6 aralığının dışında kaldığından bu aralıkta herhangi bir tanımsızlık veya süreksizlik oluşturmaz.
4
Bulunan a, b ve c değerlerini toplayınız.
a + b + c = 9 + 0 + 4 = 13
İstenen a + b + c toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda (sınır değerlerinde) sağdan limit, soldan limit ve o noktadaki fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerin paydayı sıfır yapan köklerinin, ilgili tanım aralığının dışında kalması veya sadeleşerek limiti bozmaması gerekir.
Soru 516Soru →

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yerden 20 m20\text{ m} yükseklikteki bir uçurumun kenarından yatay doğrultuda 15 m/s15\text{ m/s} büyüklüğündeki hızla fırlatılan bir cisim yere çarpana kadar yatayda kaç metre yol alır? (Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Cismin yere çarpana kadar yatayda aldığı yol 30 m30\text{ m} olarak bulunur.
Cismin düşeydeki hareketi serbest düşme olduğundan h=12gt2h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısından 20=5t2⇒t=2 s20 = 5t^2 \Rightarrow t = 2\text{ s} bulunur. Yatayda ise cisim sabit hızlı hareket yapmaktadır. Buradan yatay menzil x=v0⋅t=15⋅2=30 mx = v_0 \cdot t = 15 \cdot 2 = 30\text{ m} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Havada kalma süresinin hesaplanması
Cismin havada kalma süresi t=2 st = 2\text{ s} olarak bulunur.
Sürtünmesiz ortamda yatay olarak fırlatılan cisimlerin düşeydeki hareketi serbest düşmedir. Bu nedenle düşeydeki yükseklik kullanılarak havada kalma süresi hesaplanır.
2
Yatayda alınan yolun hesaplanması
Yatayda alınan yol x=30 mx = 30\text{ m} olarak bulunur.
Yatay doğrultuda cisme etki eden net bir kuvvet olmadığından, cisim yatayda sabit hızlı hareket yapar. Yatay hız bileşeni ile uçuş süresi çarpılarak menzil mesafesi elde edilir.

Anahtar Kavram

Yatay atış hareketinde yatay ve düşey hareket bileşenlerinin bağımsızlığı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 517Soru →

Türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(1)=6g(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 eşitlikleri verilmiştir.

f(x)=x⋅g(x)x2+1f(x) = \frac{x \cdot g(x)}{x^2 + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi olan f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

f fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında fonksiyonun türevi 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi formül��nün oluşturulması
f′(x)=[x⋅g(x)]′⋅(x2+1)−(x2+1)′⋅x⋅g(x)(x2+1)2f'(x) = \frac{[x \cdot g(x)]' \cdot (x^2 + 1) - (x^2 + 1)' \cdot x \cdot g(x)}{(x^2 + 1)^2}
Bölüm biçimindeki bir fonksiyonun türevi alınırken bölüm türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
Çarpım türevi kuralının paya uygulanması
[x⋅g(x)]′=g(x)+x⋅g′(x)[x \cdot g(x)]' = g(x) + x \cdot g'(x)
Pay kısmındaki ifade iki fonksiyonun çarpımından oluştuğu için çarpım türevi kuralı uygulanmalıdır.
3
Türev değerlerinin yerine yazılması ve hesaplanması
f′(1)=1f'(1) = 1
x=1x = 1 değeri için bilinen g(1)=6g(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 değerleri yerlerine konularak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım türevi kuralları
Soru 518Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫06f(x) dx=18\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 18
e��itlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen belirli integrallerin toplam değeri 9'dur.
Verilen ilk integralde 2x=u2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında sınırların [0,4][0, 4] aralığına güncellendiği ve integralin değerinin 12 olduğu görülür. Toplam integral tanım aralığı [0,6][0, 6] olduğundan, aralık bölme özelliğiyle [4,6][4, 6] aralığındaki integral değeri 6 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki 2x=t2x = t değişken değiştirmesiyle ilk terimin [4,6][4, 6] aralığındaki integralin yarısı (yani 3) olduğu elde edilir. Bu değer ile [4,6][4, 6] aralığındaki integralin kendisinin (yani 6) toplamı 9 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=4u = 4 olarak güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 eşitliğinden ∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
2
∫06f(x) dx=∫04f(x) dx+∫46f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx özelli��inin kullanılması
∫46f(x) dx=6\int_{4}^{6} f(x) \, dx = 6
[0,6][0, 6] aralığındaki integral, bilinen [0,4][0, 4] aralığı ve bilinmeyen [4,6][4, 6] aralığı olarak ikiye bölünür. 18=12+∫46f(x) dx18 = 12 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx eşitliğinden aranan kısım 66 bulunur.
3
∫23f(2x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx integralinde t=2xt = 2x dönüşümü yapılarak ifadenin hesaplanması
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx=9\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 9
t=2x  ⟹  dx=dt2t = 2x \implies dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar x=2x = 2 için t=4t = 4 ve x=3x = 3 için t=6t = 6 olur. İntegral 12∫46f(t) dt=12⋅6=3\frac{1}{2} \int_{4}^{6} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 değerini alır. Toplam ise 3+6=93 + 6 = 9 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri
Soru 519Soru →

Düşey bir duvara dayalı 4 kg4\text{ kg} kütleli bir cisme, yatayla 53∘53^\circ lik açı yapacak şekilde yukarı ve duvara doğru 100 N100\text{ N} büyüklüğünde sabit bir FF kuvveti şekildeki gibi uygulanmaktadır. Cisim ile duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı μs=0,5\mu_s = 0,5, kinetik sürtünme katsayısı ise μk=0,4\mu_k = 0,4 tür.

Buna göre, cismin ivmesi kaç m/s2\text{m/s}^2 büyüklüğündedir?

(sin⁡(53∘)=0,8;  cos⁡(53∘)=0,6;  g=10 m/s2)(\sin(53^\circ) = 0,8;\; \cos(53^\circ) = 0,6;\; g = 10\text{ m/s}^2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Cismin ivmesi 4 m/s24\text{ m/s}^2 büyüklüğündedir.
Cisme uygulanan kuvvetin yatay bileşeni (60 N60\text{ N}) normal kuvveti belirler. Yukarı yönlü düşey bileşen (80 N80\text{ N}) ile cismin ağırlığı (40 N40\text{ N}) arasındaki fark (40 N40\text{ N}), maksimum statik sürtünme kuvveti olan 30 N30\text{ N} değerini aştığı için cisim yukarı doğru harekete geçer. Hareket esnasında etki eden kinetik sürtünme kuvveti 24 N24\text{ N} olup net kuvvet 16 N16\text{ N}'dur. Buradan ivme 4 m/s24\text{ m/s}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kuvvet bileşenlerinin belirlenmesi
Fx=60 NF_x = 60\text{ N} (duvara dik tepki kuvvetini oluşturan bileşen) ve Fy=80 NF_y = 80\text{ N} (yukarı yönlü hareket ettirici bileşen).
Kuvvetin cismi duvara sıkıştıran ve düşey doğrultuda hareket ettirmek isteyen etkilerini ayrı ayrı analiz etmek için.
2
Cismin ağırlığının ve sürtünmesiz durumdaki net düşey eğilim kuvvetinin hesaplanması
G=m⋅g=40 NG = m \cdot g = 40\text{ N} (aşağı yönlü). Düşey doğrultudaki net kuvvet eğilimi: Fy−G=40 NF_y - G = 40\text{ N} (yukarı yönlü).
Cismin düşey doğrultuda hangi yöne hareket etme eğiliminde olduğunu ve bu eğilimin büyüklüğünü bulmak için.
3
Maksimum statik sürtünme kuvvetinin bulunması ve hareket kontrolünün yapılması
fs,max=μs⋅N=0,5⋅60=30 Nf_{s,\text{max}} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot 60 = 30\text{ N}. Harekete zorlayıcı kuvvet olan 40 N40\text{ N}, maksimum statik sürtünme değerinden büyük olduğundan cisim yukarı yönlü ivmeli hareket yapar.
Cismin statik sürtünmeyi aşarak harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için.
4
Kinetik sürtünme kuvvetinin ve düşey doğrultudaki net kuvvetin hesaplanması
fk=μk⋅N=24 Nf_k = \mu_k \cdot N = 24\text{ N}. Düşey net kuvvet: Fnet=Fy−G−fk=80−40−24=16 NF_{\text{net}} = F_y - G - f_k = 80 - 40 - 24 = 16\text{ N}.
Hareket başladıktan sonra cismin ivmesini belirleyecek net kuvveti bulmak için.
5
Newton'ın İkinci Hareket Yasası ile ivmenin bulunması
a=Fnetm=16 N4 kg=4 m/s2a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{16\text{ N}}{4\text{ kg}} = 4\text{ m/s}^2.
Net kuvvet ve kütle bilindiği için ivmeyi temel hareket bağıntısından çekmek için.

Anahtar Kavram

Düşey duvarda hareket eden cisimler için normal kuvvetin uygulanan kuvvetin yatay bileşeni tarafından belirlenmesi, statik ve kinetik sürtünme durumlarının ayırt edilmesi ve Newton'ın ikinci yasası.
Soru 520Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2−5x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 2
eğrisinin teğet doğrularından biri y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer 7'dir.
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi m=4m = 4'tür. f′(x)=3x2−6x−5=4  ⟹  3x2−6x−9=0  ⟹  x2−2x−3=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 5 = 4 \implies 3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. Bu noktalardaki teğet doğruları sırasıyla y=4x−25y = 4x - 25 ve y=4x+7y = 4x + 7 olup, yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları −25-25 ve 77'dir. Pozitif ordinat değeri sorulduğu için doğru cevap 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun eğimini belirleme
m=4m = 4
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alma
f′(x)=3x2−6x−5f'(x) = 3x^2 - 6x - 5
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet noktalarının apsislerini bulma
x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1
Türev ifadesi teğet eğimi olan 4 değerine eşitlenerek oluşan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Teğet noktalarının koordinatlarını hesaplama
(3,−13)(3, -13) ve (−1,3)(-1, 3)
Bulunan apsis değerleri orijinal f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak teğet noktalarının koordinatları belirlenir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini elde edip y eksenini kestikleri noktaları bulma
y=4x−25y = 4x - 25 doğrusu için ordinat −25-25; y=4x+7y = 4x + 7 doğrusu için ordinat 77 bulunur. Pozitif değer 77 olarak seçilir.
Teğet doğrularının denklemleri yazıldıktan sonra x=0x = 0 verilerek doğruların yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları bulunur.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet doğrusunun eğimi ve denklemi
ÖncekiSayfa 26 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin