Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 541Soru →
log⁡12(x2−2x−3)≥−5+log⁡12(x−3) \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3) \geq -5 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 28 farklı x tam sayı değeri vardır.
Logaritmanın tanım kümesi olan x > 3 koşulu ile azalan fonksiyondan kaynaklanan yön değiştirme sonucu elde edilen 3 <= x <= 31 eşitsizliğinin kesişimi 3 < x <= 31 aralığını verir. Bu aralıkta 28 adet tam sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki logaritma ifadelerinin tanım kümelerini belirlemek.
x > 3
Logaritması alınan ifadelerin (x^2 - 2x - 3 ve x - 3) sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu iki koşulun kesişimi x > 3 aralığını verir.
2
Eşitsizliğin sağ tarafını tek bir logaritma altında birleştirmek.
−5+log⁡12(x−3)=log⁡12(32(x−3))-5 + \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{\frac{1}{2}}(32(x-3))
-5 sayısı \log_{\frac{1}{2}}(32) olarak yazılabileceğinden logaritma toplama özelliği kullanılarak birleştirme yapılır.
3
Logaritma tabanının 1/2 olmasını dikkate alarak eşitsizliği çözmek.
3≤x≤313 \leq x \leq 31
Taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmalar kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x^2 - 2x - 3 \leq 32(x-3). Bu eşitsizlik düzenlendiğinde (x-3)(x-31) \leq 0 elde edilir.
4
Tan��m kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
3 < x \leq 31 aralığındaki tam sayılar (28 tane)
Tanım kümesi olan x > 3 ile elde edilen 3 \leq x \leq 31 aralığının kesişimi 3 < x \leq 31 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların adedi 31 - 4 + 1 = 28 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 542Soru →

Bir video paylaşım platformuna aynı anda yüklenen A ve B videolarının tt saat sonraki toplam izlenme sayıları sırasıyla VA(t)V_A(t) ve VB(t)V_B(t) fonksiyonları ile modellenmiştir:

VA(t)=400001+3⋅2−0.1⋅tV_A(t) = \frac{40000}{1 + 3 \cdot 2^{-0.1 \cdot t}}
VB(t)=140001+5⋅3−0.1⋅tV_B(t) = \frac{14000}{1 + 5 \cdot 3^{-0.1 \cdot t}}

A videosunun izlenme sayısı 16000 olduğunda geçen süre t1t_1 saat, B videosunun izlenme sayısı 9000 olduğunda geçen süre t2t_2 saattir.

Buna göre, t1+t2t_1 + t_2 toplamı kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A videosunun izlenme sayısının 16000'e ulaştığı süre olan 10 saat ile B videosunun izlenme sayısının 9000'e ulaştığı süre olan 20 saatin toplamı 30'dur.
Verilen fonksiyonlarda izlenme sayıları sırasıyla 16000 ve 9000 değerlerine eşitlenerek t1t_1 ve t2t_2 süreleri sırasıyla 10 ve 20 olarak bulunur. Bu iki sürenin toplamı olan 30 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
A videosunun izlenme sayısını veren denklemde VA(t1)=16000V_A(t_1) = 16000 yazarak t1t_1 süresini hesaplamak.
t1=10t_1 = 10 saat
A videosunun 16000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
2
B videosunun izlenme sayısını veren denklemde VB(t2)=9000V_B(t_2) = 9000 yazarak t2t_2 süresini hesaplamak.
t2=20t_2 = 20 saat
B videosunun 9000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.
3
t1t_1 ve t2t_2 sürelerini toplamak.
t1+t2=30t_1 + t_2 = 30 saat
İstenen toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Lojistik büyüme modelleri ve üstel/logaritmik denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 543Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı 121512^{15}'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 518\frac{5}{18} olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.
Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşit olup a8=12a_8 = 12 bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden a1⋅a15=a82=144a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144 elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında a1+a15144=518\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18} eşitliğinden a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40 bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla a1=4a_1 = 4, a15=36a_{15} = 36 olur. a15=a1⋅r14  ⟹  r14=9  ⟹  r7=3a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3 elde edilir. Buradan a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak a8a_8 ve a1⋅a15a_1 \cdot a_{15} değerlerini hesaplamak.
a8=12a_8 = 12 ve a1⋅a15=144a_1 \cdot a_{15} = 144
Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşittir.
2
Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.
a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40
1a1+1a15=a1+a15a1⋅a15=518\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18} eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.
3
Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.
a1=4a_1 = 4 ve a15=36a_{15} = 36
Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar (x−4)(x−36)=0(x-4)(x-36) = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.
4
Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.
a22=108a_{22} = 108
a15=a1⋅r14  ⟹  36=4⋅r14  ⟹  r14=9a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 olur. Buradan r7=3r^7 = 3 bulunur. İstenen terim a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.
Soru 544Soru →

Eksenleri kestiği noktalar sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) olan bir y=f(x)y = f(x) parabolü için x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğu bilinmektedir.

Bu parabolle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
* x2=−3x1x_2 = -3x_1
* ∣y0∣=−4x1|y_0| = -4x_1
* f(1)=−10f(1) = -10

Buna göre, köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Köşeleri AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin alanı 3232 birimkaredir.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar kökleridir. x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve x2=−3x1x_2 = -3x_1 ilişkisinden kökler −r-r ve 3r3r (r>0r>0) olarak belirlenir. Bu durumda parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x+r)(x-3r) olur. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 olur. Orijine olan uzaklıklar kullanılarak ∣y0∣=−4x1  ⟹  3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=4/3|y_0| = -4x_1 \implies 3|a|r^2 = 4r \implies |a|r = 4/3 bulunur. f(1)=−10f(1) = -10 bilgisiyle a>0a > 0 ve r=2r = 2 elde edilir. Buradan a=2/3a = 2/3 bulunur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) olarak bulunur. Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı ise 8⋅82=32\frac{8 \cdot 8}{2} = 32 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları ve kök ilişkilerini belirleme.
x1=−rx_1 = -r (r>0r > 0) ve x2=3rx_2 = 3r olmak üzere parabol denklemi f(x)=a(x+r)(x−3r)f(x) = a(x + r)(x - 3r) olur.
Köklerin işaretleri x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve oranları x2=−3x1x_2 = -3x_1 olarak verildiği için kökleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp denklemi kurmak kolaylık sağlar.
2
y-eksenini kestiği noktanın ordinatını kökler cinsinden yazma ve uzaklık eşitli��ini kullanma.
y0=f(0)=−3ar2y_0 = f(0) = -3ar^2 ve ∣y0∣=4r|y_0| = 4r olduğundan, 3∣a∣r2=4r  ⟹  ∣a∣r=433|a|r^2 = 4r \implies |a|r = \frac{4}{3} elde edilir.
y-eksenini kestiği nokta olan C(0,y0)C(0, y_0) noktasının orijine olan uzaklığı ile AA noktasının orijine olan uzaklığı arasındaki ilişkiyi kullanarak aa ile rr arasında bir bağıntı kurmak gerekir.
3
f(1)=−10f(1) = -10 bilgisini kullanarak parabolün katsayısı aa ve parametre rr değerlerini bulma.
a>0a > 0 durumu için ar=43  ⟹  a=43rar = \frac{4}{3} \implies a = \frac{4}{3r} olur. f(1)=a(1+r)(1−3r)=−10  ⟹  6r2−11r−2=0  ⟹  r=2f(1) = a(1+r)(1-3r) = -10 \implies 6r^2 - 11r - 2 = 0 \implies r = 2 ve a=23a = \frac{2}{3} bulunur.
Verilen fonksiyon değeri sayesinde aa ve rr bilinmeyenlerinin sayısal değerlerine ulaşılır. Temiz tam sayı veya rasyonel sonuçlar veren tek geçerli durum a>0a > 0 ve r=2r = 2 durumudur.
4
Köşe koordinatlarını belirleme ve üçgenin alanını hesaplama.
A(−2,0)A(-2, 0), B(6,0)B(6, 0) ve C(0,−8)C(0, -8) noktaları elde edilir. Üçgenin alanı: Alan(ABC)=12⋅∣6−(−2)∣⋅∣−8∣=32\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |6 - (-2)| \cdot |-8| = 32 birimkaredir.
Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu tabana ait y��ksekliğin çarpımının yarısı formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile parabolün cebirsel denklemi arasındaki ilişkinin kurulması ve bunun geometrik uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 545Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1100a_1 = \frac{1}{100} olmak üzere, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri 1'dir.
Rasyonel ifade basit kesirlere ayrıştırıldığında teleskopik sadeleşme gerçekleşir ve a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100} elde edilir. a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değeri yerine yazıldığında a10=1a_{10} = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı biçiminde yazma.
2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Bu dönüşüm, terimlerin ardışık farklar şeklinde yazılarak teleskopik sadeleşme sağlaması için gereklidir.
2
Bağıntıyı düzenleyip n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerleri yazarak taraf tarafa toplama.
a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}
Ardışık terimlerin farklarının toplamı alındığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
3
Verilen a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değerini yerine koyarak a10a_{10} değerini hesaplama.
a10=1a_{10} = 1
Bulunan genel fark denklemine bilinen ilk terim değeri eklenerek aranan terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla terim bulma.
Soru 546Soru →

Bir kenar uzunluğu xx birim olan bir karenin alanı, bu karenin çevre uzunluğunun 3 katından 16 birimkare daha küçüktür.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bu koşulu sağlayan xx tam sayılarının toplamı 54'tür.
Karenin alanı ile çevresinin 3 katından 16 eksik olan miktar arasındaki ilişki x2−12x+16<0x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliğini verir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (6−25,6+25)(6 - 2\sqrt{5}, 6 + 2\sqrt{5}) aralığıdır. Yaklaşık olarak (1.53,10.47)(1.53, 10.47) aralığında yer alan tam sayılar 2,3,4,5,6,7,8,9,102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 54 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin alan ve çevre formüllerini yazarak eşitsizliği kurmak.
x2<12x−16  ⟹  x2−12x+16<0x^2 < 12x - 16 \implies x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliği elde edilir.
Problemde verilen sözel ilişkiyi cebirsel eşitsizliğe dönüştürmek için.
2
Eşitsizlik sınırlarını belirlemek için kökleri bulmak.
x1=6−25x_1 = 6 - 2\sqrt{5} ve x2=6+25x_2 = 6 + 2\sqrt{5} kökleri hesaplanır.
İkinci dereceden ifadenin işaret değiştirdiği kritik noktaları saptamak için.
3
Köklerin yaklaşık değerlerini bularak aralığı sadeleştirmek.
x1≈1.53x_1 \approx 1.53 ve x2≈10.47x_2 \approx 10.47 sınırları ile çözüm aralığı (1.53,10.47)(1.53, 10.47) olarak bulunur.
Aralığa dahil olan tam sayı değerlerini kesin olarak belirlemek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
2+3+4+5+6+7+8+9+10=542 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54 toplamına ulaşılır.
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin köklerinin bulunması, aralık analizi ve tam sayı çözümlerinin belirlenmesi.
Soru 547Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ,
m(DAC^)=90∘m(\widehat{DAC}) = 90^\circ ve
∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD|

olduğuna göre, sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında ∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC}) elde edilir. ADCADC dik üçgeninde sinüs tanımından ∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB}) bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip ∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD| yazıldığında 2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB}) olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak
∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})
ADAD ortak kenarını BDBD ve BB açısı cinsinden ifade etmek için
2
ADCADC dik üçgeninde sinüs oranını yazmak
∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})
ADAD ortak kenarını CDCD ve CC açısı cinsinden ifade etmek için
3
İki üçgenden elde edilen ADAD uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak
2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})
BDBD ve CDCD arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için
4
∣BD∣|BD| terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak
sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)=2\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2
İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları
Soru 548Soru →

Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a8+a13+a18=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56
a6⋅a15=115a_6 \cdot a_{15} = 115

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −5-5 olarak bulunur.
Verilen terimlerin indis toplamları eşit olduğundan (3+18=8+13=6+15=213+18 = 8+13 = 6+15 = 21), denklem 2(a6+a15)=56  ⟹  a6+a15=282(a_6+a_{15}) = 56 \implies a_6+a_{15}=28 şeklinde sadeleşir. Çarpımları 115 ve toplamları 28 olan sayılar 5 ile 23'tür. Ortak farkı pozitif (artan dizi) olduğu için a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23 bulunur. Buradan ortak fark r=2r = 2 ve ilk terim a1=a6−5r=−5a_1 = a_6 - 5r = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis özelliklerini kullanarak ilişkilendirme yapılması
a3+a18=a8+a13=a6+a15a_3 + a_{18} = a_8 + a_{13} = a_6 + a_{15}
Aritmetik dizilerde indislerinin toplamı eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir (3+18=8+13=6+15=213 + 18 = 8 + 13 = 6 + 15 = 21 olduğu için).
2
Verilen toplam denkleminden a6+a15a_6 + a_{15} değerinin çekilmesi
a6+a15=28a_6 + a_{15} = 28
a3+a8+a13+a18=2(a6+a15)=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 2(a_6 + a_{15}) = 56 eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
Toplamları 28 ve çarpımları 115 olan terimlerin belirlenmesi
a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23
x2−28x+115=0  ⟹  (x−5)(x−23)=0x^2 - 28x + 115 = 0 \implies (x-5)(x-23) = 0 denkleminin kökleri 5 ve 23'tür. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim daha küçük olmalıdır.
4
Dizinin ortak farkının (rr) hesaplanması
r=2r = 2
a15−a6=9r  ⟹  23−5=9r  ⟹  18=9ra_{15} - a_6 = 9r \implies 23 - 5 = 9r \implies 18 = 9r eşitliği çözülür.
5
İlk terimin (a1a_1) bulunması
a1=−5a_1 = -5
a6=a1+5r  ⟹  5=a1+5(2)  ⟹  a1=5−10a_6 = a_1 + 5r \implies 5 = a_1 + 5(2) \implies a_1 = 5 - 10 işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği ve genel terim formülü
Soru 549Soru →

Tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olan f(x)=x2−mx+nf(x) = x^2 - mx + n parabolü, y-eksenini (0,−8)(0, -8) noktasında kesmektedir. Bu parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede yer aldığından tepe noktasının apsisi pozitif olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve kökler arasındaki uzaklığı 6 birim yapan m değeri 2 olarak bulunur.
Parabolün y-eksenini kestiği koordinattan n = -8 değeri saptanır. Kökler arasındaki uzaklık bağıntısından m^2 = 4 denklemine ulaşılır. Tepe noktasının dördüncü bölgede bulunması koşulu tepe noktasının apsisi olan r = m/2 değerinin pozitif olmasını gerektirdiğinden m sayısının pozitif değeri olan 2 alınmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kesti��i nokta yardımıyla n değerini bulun.
n=−8n = -8
Grafiğin y-eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır. Bu durumda f(0)=−8f(0) = -8 olmalıdır. Fonksiyonda x=0x = 0 yazılırsa 02−m(0)+n=−80^2 - m(0) + n = -8 eşitliğinden n=−8n = -8 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m^2 de��erini bulun.
m2=4m^2 = 4
Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Bu noktalar x2−mx−8=0x^2 - mx - 8 = 0 denkleminin kökleridir. İki kök arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=m2−4(1)(−8)=m2+32|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{m^2 - 4(1)(-8)} = \sqrt{m^2 + 32} şeklinde ifade edilir. Bu uzaklık 6 birim olarak verildiğinden m2+32=6⇒m2+32=36⇒m2=4\sqrt{m^2 + 32} = 6 \Rightarrow m^2 + 32 = 36 \Rightarrow m^2 = 4 bulunur.
3
Tepe noktasının koordinat bölgesini inceleyerek m değerini netleştirin.
m=2m = 2
m2=4m^2 = 4 eşitliğinden m=2m = 2 veya m=−2m = -2 değerleri elde edilir. Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m2r = -\frac{b}{2a} = \frac{m}{2} formülü ile hesaplanır. Tepe noktasının dördüncü bölgede olması için apsisinin pozitif (r>0r > 0) olması gerekir. Buradan m2>0⇒m>0\frac{m}{2} > 0 \Rightarrow m > 0 olmalıdır. Dolayısıyla m=2m = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik hesabı ve tepe noktası özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 550Soru →
xx birden farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3(x2)⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3(x^2) \cdot \log_5 x + \log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemin çözümünden elde edilen xx değeri 60'tır.
Verilen denklemin her iki tarafı log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölündüğünde ve taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) uygulandığında denklem ortak xx tabanında basit bir logaritmik toplama denklemine dönüşür. Logaritmaların toplama kuralı kullanılarak tek terim haline getirilen denklemden x=60x = 60 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirmek.
log⁡3(x2)=2log⁡3x\log_3(x^2) = 2\log_3 x ve log⁡5x⋅log⁡2(x2)=12log⁡5x⋅2log⁡2x=log⁡5x⋅log⁡2x\log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2) = \frac{1}{2}\log_5 x \cdot 2\log_2 x = \log_5 x \cdot \log_2 x eşitlikleri elde edilir.
Logaritmanın log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n\log_a b özelliğini kullanarak ifadeleri en yalın biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
2
Elde edilen sadeleşmiş terimleri orijinal denklemde yerine koymak.
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2x⋅log⁡3x+2log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + 2\log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x denklemi elde edilir.
Tüm terimleri ortak çarpanlar halinde görebilmek amacıyla yapılmıştır.
3
Denklemin her iki tarafını log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x çarpımına bölmek.
1=1log⁡5x+2log⁡2x+1log⁡3x1 = \frac{1}{\log_5 x} + \frac{2}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} eşitliği elde edilir.
Her bir terimi taban değiştirme özelliğine uygun kesirli biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.
4
Taban değiştirme kuralını uygulamak.
1=log⁡x5+2log⁡x2+log⁡x31 = \log_x 5 + 2\log_x 2 + \log_x 3 eşitliği elde edilir.
Farklı tabanlardaki ifadeleri ortak xx tabanında birle��tirebilmek amacıyla yapılmıştır.
5
Logaritma toplama özelliğini ve kat sayı kuralını uygulayarak sağ tarafı tek bir logaritma altında birleştirmek.
1=log⁡x5+log⁡x(22)+log⁡x3  ⟹  1=log⁡x(5⋅4⋅3)  ⟹  1=log⁡x601 = \log_x 5 + \log_x(2^2) + \log_x 3 \implies 1 = \log_x(5 \cdot 4 \cdot 3) \implies 1 = \log_x 60 eşitliği elde edilir.
Aynı tabandaki logaritmaların toplamının, argümanların çarpımına eşit olması kuralını uygulamak amacıyla yapılmıştır.
6
Logaritma tanımını kullanarak bilinmeyeni çekmek.
x1=60  ⟹  x=60x^1 = 60 \implies x = 60 elde edilir.
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımından yararlanarak denklem çözülmüştür.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 551Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=12n+1+2n−1a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a41a_{41} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.
Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2} elde edilir. n=1n=1'den 4040'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye a41−a1=9−12=4a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4 kalır. a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu eklendiğinde a41=10a_{41} = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan (2n+1−2n−1)(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) ile çarpalım.
an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}
Eşlenik çarpımı yapıldığında payda (2n+1)−(2n−1)=2(2n+1) - (2n-1) = 2 olur ve sadeleştirme kolaylaşır.
2
nn yerine sırasıyla 11 ve 4040 arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.
n=1  ⟹  a2−a1=3−12n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=5−32n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
…\dots
n=40  ⟹  a41−a40=81−792n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}
Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.
3
Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a41−a1=81−12a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}
Sol taraftaki a2,a3,…,a40a_2, a_3, \dots, a_{40} terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.
4
Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve a1=6a_1 = 6 değerini yerine koyarak a41a_{41} terimini yalnız bırakalım.
a41−6=9−12=4  ⟹  a41=10a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10
a1a_1 değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 552Soru →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, bu dizinin terimleri arasında
a2⋅a8=a52−36a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 36
ve
a10=r⋅a2a_{10} = r \cdot a_2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk terimi 14'tür.
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisinden a2⋅a8=a52−9r2a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 9r^2 elde edilir. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında r=2r = 2 bulunur. İkinci denklemde rr yerine 2 yazılıp çözüldüğünde a1=14a_1 = 14 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
a2a_2 ve a8a_8 terimlerini ortadaki terim olan a5a_5 ve ortak fark rr cinsinden ifade edip çarpım eşitliğinden ortak farkı hesaplamak.
r=2r = 2
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r>0r > 0 olmalıdır. 9r2=369r^2 = 36 denkleminden r=2r = 2 elde edilir.
2
İkinci denklemde r=2r = 2 yazarak terimleri a1a_1 cinsinden ifade edip denklemi çözmek.
a1=14a_1 = 14
a10=2a2  ⟹  a1+9r=2(a1+r)a_{10} = 2a_2 \implies a_1 + 9r = 2(a_1 + r) denkleminde r=2r = 2 yazıldığında a1=14a_1 = 14 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre dönüştürülmesi ve genel terim formülünün uygulanması.
Soru 553Soru →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)=2\log_a(bc) = 2
log⁡b(a2c)=5\log_b(a^2 c) = 5
olduğuna göre, log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.
Verilen iki logaritmik eşitlik taban değiştirme kuralı yardımıyla ln⁡\ln tabanına dönüştürülüp ln⁡a=u\ln a = u, ln⁡b=v\ln b = v ve ln⁡c=w\ln c = w değişken dönüşümleri yapıldığında, değişkenler arasında u=1.5vu = 1.5v ve w=2vw = 2v bağıntıları bulunur. İstenen log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesi taban değiştirme kuralı ile 4u+2vw\frac{4u+2v}{w} şeklinde yazıldığında, değişkenlerin yerine konulmasıyla sonuç 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme kuralını kullanarak denklemleri aynı tabanda yazmak.
ln⁡a=u\ln a = u, ln⁡b=v\ln b = v ve ln⁡c=w\ln c = w olmak üzere; v+w=2uv + w = 2u ve 2u+w=5v2u + w = 5v denklemleri elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkileri kolayca analiz edebilmek için logaritmik ifadeleri ortak bir tabana dönüştürüyoruz.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
w=2u−vw = 2u - v ifadesini ikinci denklemde yerine koyarak u=32vu = \frac{3}{2}v ve w=2vw = 2v bulunur.
İstenen ifadedeki değişken oranlarını bulmak için ortak ç��züme ihtiyaç vardır.
3
İstenen log⁡c(a4b2)\log_c(a^4 b^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile açarak bulduğumuz değerleri yerine yazmak ve sadeleştirmek.
log⁡c(a4b2)=4u+2vw=4(32v)+2v2v=8v2v=4\log_c(a^4 b^2) = \frac{4u+2v}{w} = \frac{4(\frac{3}{2}v) + 2v}{2v} = \frac{8v}{2v} = 4 elde edilir.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklem sistemlerinde uygulanması.
Soru 554Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a5−a1=30a_5 - a_1 = 30
a4+a2=20a_4 + a_2 = 20
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.
Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi a6=a1r5=2⋅32=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazma
a5=a1r4a_5 = a_1 r^4, a4=a1r3a_4 = a_1 r^3 ve a2=a1ra_2 = a_1 r
Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama
a1(r4−1)=30a_1(r^4 - 1) = 30 ve a1r(r2+1)=20a_1 r(r^2 + 1) = 20 ifadeleri oranlandığında r2−1r=32\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2r2−3r−2=02r^2 - 3r - 2 = 0 denkleminin pozitif kökü r=2r = 2 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif rr değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.
3
Ortak çarpan r=2r = 2 değerini kullanarak ilk terim a1a_1'i bulma
a1⋅2⋅(22+1)=20  ⟹  10a1=20  ⟹  a1=2a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2
Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.
4
Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama
a6=a1r5=2⋅25=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64
Genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} bağıntısında n=6n = 6 yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler
Soru 555Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a
parabolü ile tepe noktası SS olan
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3
parabolü veriliyor.

Bu iki parabolün simetri eksenleri aynı doğru üzerindedir.

TT ve SS noktaları arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

a sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 22'dir.
Parabollerin simetri eksenleri olan x=rfx = r_f ve x=rgx = r_g doğrularının çakışık olmasından yola çıkılarak rf=2r_f = 2 ve buradan b=4b = 4 bulunmuştur. Ardından tepe noktalarının ordinatları sırasıyla a−4a - 4 ve 77 olarak hesaplanmış, aralarındaki uzaklığın 66 birim olmasından ∣a−11∣=6|a - 11| = 6 eşitliğine ulaşılmıştır. Bu eşitlikten aa değerleri 1717 ve 55 bulunmuş, toplamları ise 2222 olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri eksenini bulunuz.
x=2x = 2 doğrusudur.
Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisidir ve r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır. Burada r=−−42⋅1=2r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 olur.
2
g(x)=−x2+bx+3g(x) = -x^2 + bx + 3 parabolünün simetri eksenini f(x)f(x) parabolünün simetri ekseni ile eşitleyerek bb katsayısını bulunuz.
b=4b = 4 bulunur.
Her iki parabolün simetri eksenleri aynı olduğundan, g(x)g(x) parabolünün simetri ekseni de x=2x = 2 doğrusudur. Buna göre, r=−b2⋅(−1)=2  ⟹  b=4r = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = 2 \implies b = 4 elde edilir.
3
Her iki parabolün tepe noktalarının koordinatlarını hesaplayınız.
T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları elde edilir.
f(2)=22−4(2)+a=a−4f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 olduğundan f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(2,a−4)T(2, a - 4) olur. g(2)=−22+4(2)+3=7g(2) = -2^2 + 4(2) + 3 = 7 olduğundan g(x)g(x) parabolünün tepe noktası S(2,7)S(2, 7) olur.
4
Tepe noktaları arasındaki 66 birimlik uzaklık bilgisini kullanarak aa değerlerini belirleyiniz.
a=17a = 17 veya a=5a = 5 bulunur.
Apsisleri aynı olan T(2,a−4)T(2, a - 4) ve S(2,7)S(2, 7) noktaları arasındaki uzaklık, ordinatları farkının mutlak değeridir: ∣(a−4)−7∣=6  ⟹  ∣a−11∣=6|(a - 4) - 7| = 6 \implies |a - 11| = 6 denkleminden a−11=6  ⟹  a=17a - 11 = 6 \implies a = 17 ve a−11=−6  ⟹  a=5a - 11 = -6 \implies a = 5 bulunur.
5
aa değerlerinin toplamını bulunuz.
17+5=2217 + 5 = 22 bulunur.
aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 17+5=2217 + 5 = 22 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseninin tepe noktasının apsisi olması (x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a}) ve aynı apsise sahip iki nokta arasındaki uzaklığın ordinatların mutlak farkı şeklinde ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 556Soru →
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
x2−ax+a+3≤0x^2 - ax + a + 3 \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunabilmesi için ifadenin diskriminantının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir. Buradan elde edilen a2−4a−12≥0a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinin pozitif tam sayılardaki en küçük çözümü 6 olarak bulunur.
Verilen ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunması için ifadenin diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Δ=a2−4a−12≥0\Delta = a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinden aa değerleri (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) aralığında bulunur. Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük aa değeri 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin boş küme olmaması için gereken diskriminant koşulunu belirleme
Δ≥0\Delta \geq 0 olmalıdır.
Başkatsayısı pozitif olan bir parabolün negatif veya s��fır değerini alabilmesi, xx eksenini kesmesi ya da teğet olması ile mümkündür.
2
Diskriminantı aa değişkeni cinsinden hesaplama
Δ=a2−4a−12\Delta = a^2 - 4a - 12
ax2+bx+cax^2 + bx + c yapısında Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Diskriminant eşitsizliğini çözerek aa için uygun aralıkları bulma
a≤−2a \leq -2 veya a≥6a \geq 6
(a−6)(a+2)≥0(a - 6)(a + 2) \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosu oluşturulur.
4
Pozitif tam sayı şartını sağlayan en küçük aa değerini bulma
6
a≥6a \geq 6 aralığındaki en küçük pozitif tam sayı 6'dır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesinin varlığı için diskriminant analizi
Soru 557Soru →
log⁡3x−4log⁡x3=3\log_3 x - 4\log_x 3 = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 27'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Değişken değiştirme yöntemiyle bu denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür ve çözülür. Elde edilen x=81x = 81 ve x=1/3x = 1/3 değerlerinin her ikisi de logaritma tanım kümesini sağladığından denklemin kökleridir. Bu köklerin çarpımı ise 27 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡x3\log_x 3 ifadesini log⁡3x\log_3 x cinsinden yazın.
log⁡x3=1log⁡3x\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}
Bilinmeyenleri aynı tabanda birleştirerek çözülebilir tek bir değişkenli denklem elde etmek.
2
log⁡3x=u\log_3 x = u değişken değiştirmesini uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün.
u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0
Rasyonel ifade içeren denklemi standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulun.
u=4u = 4 veya u=−1u = -1
Dönüşüm değişkeninin alabileceği kök değerlerini belirlemek.
4
Bulunan uu değerlerini log⁡3x=u\log_3 x = u eşitliğinde yerine yazarak xx değerlerini çözün.
x=34=81x = 3^4 = 81 ve x=3−1=13x = 3^{-1} = \frac{1}{3}
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek.
5
Köklerin tanımlılık şartlarını kontrol edin ve çarpımlarını hesaplayın.
81⋅13=2781 \cdot \frac{1}{3} = 27
Bulunan köklerin logaritma tanım kümesine (taban pozitif ve 1'den farklı olmalı) uygunluğunu doğrulayıp istenen çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklem dönüşümüyle çözülmesi.
Soru 558Soru →
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri
an=log⁡2(2n2+xn+y)−log⁡2(n2+3n+2)a_n = \log_2(2n^2 + xn + y) - \log_2(n^2 + 3n + 2)
bn=zb_n = z
olarak tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.
Dizilerin eşitliği ve sabit dizi özellikleri kullanılarak elde edilen x = 6, y = 4 ve z = 1 değerlerinin toplamı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit dizilerin tanımını kullanarak a_n ve b_n dizileri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Her n pozitif tam sayısı için a_n = b_n = z olmalıdır. Bu durum a_n dizisinin de sabit bir dizi olduğunu gösterir.
Eşit dizilerin tüm karşılıklı terimleri birbirine eşittir ve b_n dizisi sabit bir z değerine sahiptir.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini uygulayarak a_n ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
a_n = log_2((2n^2 + xn + y) / (n^2 + 3n + 2)) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğundan log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N) kuralı uygulanabilir.
3
Logaritmanın içerisindeki rasyonel ifadenin sabit olması koşulunu uygulamak ve katsayıları oranlamak.
2/1 = x/3 = y/2 oranından x = 6 ve y = 4 değerleri elde edilir. Rasyonel ifadenin sabit değeri C = 2 olur.
Dereceleri aynı olan iki polinomun bölümünün sabit bir fonksiyon belirtmesi için katsayılarının orantılı olması gerekir.
4
Bulunan sabit değeri logaritma içine yerleştirerek dizinin sabit terimini (z) bulmak.
z = log_2(2) = 1 elde edilir.
a_n dizisinin sabit değeri b_n dizisinin sabit terimi olan z'ye eşittir.
5
Bilinmeyen değerleri toplayarak nihai sonucu elde etmek.
x + y + z = 6 + 4 + 1 = 11 bulunur.
Soruda bizden x, y ve z değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sabit ve Eşit Dizilerde katsayılar oranı ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 559Soru →
Her biri 11'den büyük olan aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(b)−6log⁡b(a)=1\log_a(b) - 6\log_b(a) = 1
log⁡b(c2)−log⁡c(b)=3\log_b(c^2) - \log_{\sqrt{c}}(b) = 3
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen logaritmik denklemler çözüldüğünde değişkenler arasında b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri bulunur. Bu ilişkiler istenen ifadede yerine koyulduğunda sonuç 14 olarak elde edilir.
Verilen denklemler logaritmanın taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak çözüldüğünde b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sorulan ifadede yerine yazıldığında taban ve argümanların kuvvetleri oranlanarak ifadenin sayısal değeri 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡a(b)=u\log_a(b) = u dönüşümü yapmak.
u−6u=1  ⟹  u2−u−6=0  ⟹  (u−3)(u+2)=0u - \frac{6}{u} = 1 \implies u^2 - u - 6 = 0 \implies (u-3)(u+2) = 0. a,b>1a, b > 1 olduğundan log⁡a(b)>0\log_a(b) > 0 olmalıdır. Buradan u=3u = 3, yani log⁡a(b)=3  ⟹  b=a3\log_a(b) = 3 \implies b = a^3 elde edilir.
bb ile aa arasındaki üssü ilişkiyi bularak değişken sayısını azaltmak.
2
İkinci denklemde logaritma özelliklerini uygulayarak log⁡b(c)=v\log_b(c) = v dönüşümü yapmak.
2log⁡b(c)−2log⁡c(b)=3  ⟹  2v−2v=3  ⟹  2v2−3v−2=0  ⟹  (2v+1)(v−2)=02\log_b(c) - 2\log_c(b) = 3 \implies 2v - \frac{2}{v} = 3 \implies 2v^2 - 3v - 2 = 0 \implies (2v+1)(v-2) = 0. b,c>1b, c > 1 olduğundan log⁡b(c)>0\log_b(c) > 0 olmalıdır. Buradan v=2v = 2, yani log⁡b(c)=2  ⟹  c=b2\log_b(c) = 2 \implies c = b^2 elde edilir. b=a3b = a^3 yazıldığında c=a6c = a^6 olur.
cc ile bb (ve dolayısıyla aa) arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Elde edilen b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkilerini istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)=log⁡a1/2(a6)+log⁡a6(a6⋅(a3)2)=61/2+log⁡a6(a12)=12+126=12+2=14\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2) = \log_{a^{1/2}}(a^6) + \log_{a^6}(a^6 \cdot (a^3)^2) = \frac{6}{1/2} + \log_{a^6}(a^{12}) = 12 + \frac{12}{6} = 12 + 2 = 14 bulunur.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun log⁡x(y)=1log⁡y(x)\log_x(y) = \frac{1}{\log_y(x)} özelliği, log⁡xn(ym)=mnlog⁡x(y)\log_{x^n}(y^m) = \frac{m}{n}\log_x(y) kuralı ve taban/argüman sınırlamalarına göre logaritmanın işaretinin belirlenmesi.
Soru 560Soru →
log⁡0,25(x2−x−2)≥−1\log_{0,25}(x^2 - x - 2) \geq -1 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 1'dir.
Logaritma tanım kümesinden gelen x<−1x < -1 veya x>2x > 2 koşulu ile tabanın basit kesir olması sebebiyle eşitsizlik yön değiştirilerek elde edilen −2≤x≤3-2 \leq x \leq 3 aralığının kesişimi [−2,−1)∪(2,3][-2, -1) \cup (2, 3] olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2-2 ve 33 olup, toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x2−x−2>0  ⟹  (x−2)(x+1)>0  ⟹  x∈(−∞,−1)∪(2,∞)x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
x2−x−2≤(0,25)−1  ⟹  x2−x−2≤4  ⟹  x2−x−6≤0x^2 - x - 2 \leq (0,25)^{-1} \implies x^2 - x - 2 \leq 4 \implies x^2 - x - 6 \leq 0
Logaritmanın tabanı olan 0,25 değeri 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizlik sisteminin ortak çözümünün bulunması
x∈[−2,−1)∪(2,3]x \in [-2, -1) \cup (2, 3]
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] olup, bu küme ile tanım kümesinin kesişimi alınmalıdır.
4
Koşulu sağlayan tam sayıların toplanması
Tam sayılar: −2-2 ve 33. Toplamları: −2+3=1-2 + 3 = 1.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kısıtları
ÖncekiSayfa 28 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin