Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 41Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)=13\frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Doğru cevap 0,6'dır.
Verilen denklemde pay cos⁡2x−sin⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x şeklinde, payda ise (cos⁡x+sin⁡x)2(\cos x + \sin x)^2 şeklinde yazılıp sadeleştirildiğinde tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 elde edilir. Bu değer cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 0,6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleri ve temel özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x+sin⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpanlar oluşturulur.
2
Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim ve tan⁡x\tan x değerini çekelim.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)2=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{3}
3cos⁡x−3sin⁡x=cos⁡x+sin⁡x  ⟹  2cos⁡x=4sin⁡x  ⟹  tan⁡x=123\cos x - 3\sin x = \cos x + \sin x \implies 2\cos x = 4\sin x \implies \tan x = \frac{1}{2}
İçler dışlar çarpımı yapılarak sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki oran bulunur ve bu oran tan⁡x\tan x değerini verir.
3
tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(1/2)21+(1/2)2=1−1/41+1/4=3/45/4=35=0,6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5} = 0,6
Kosinüs yarım açı formülü tanjant cinsinden yazılarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 42Soru →
log⁡3(x2−8x+16)−log⁡x−4(1729)=8\log_3(x^2 - 8x + 16) - \log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = 8 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 38'dir.
Verilen denklemde öncelikle logaritmaların tanımlı olma şartları incelenir. İkinci terimin tabanı olan x−4x-4 ifadesi pozitif ve 11 den farklı olmalıdır. Buradan x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Bu aralıkta x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ilk terim 2log⁡3(x−4)2\log_3(x-4) şeklinde yazılabilir. İkinci terim ise taban değiştirme kuralı kullanılarak 6log⁡3(x−4)\frac{6}{\log_3(x-4)} haline getirilir. Denklemde u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 olur ve kökleri u=1u=1 ile u=3u=3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında log⁡3(x−4)=1  ⟹  x=7\log_3(x-4)=1 \implies x=7 ve log⁡3(x−4)=3  ⟹  x=31\log_3(x-4)=3 \implies x=31 elde edilir. Her iki değer de tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin kökleridir ve bu köklerin toplamı 3838 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5
Logaritmanın tanımı gereği, taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, argüman ise pozitif olmalıdır. x−4>0x-4 > 0, x−4≠1x-4 \neq 1 ve x2−8x+16>0x^2-8x+16 > 0 koşullarından bu aralık elde edilir.
2
Logaritma ifadelerini sadeleştirme
log⁡3(x2−8x+16)=2log⁡3(x−4)\log_3(x^2 - 8x + 16) = 2\log_3(x-4) ve −log⁡x−4(1729)=6log⁡3(x−4)-\log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = \frac{6}{\log_3(x-4)}
x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ve x−4>0x-4>0 aralığında çalıştığımızdan kuvvet başa çarpım olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı yardımıyla ikinci logaritma 3 tabanına çevrilir.
3
Değişken değiştirme ve denklem çözümü
u=1u = 1 ve u=3u = 3
u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında elde edilen 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi düzenlenerek u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
xx değerlerini bulma ve tanım kümesi kontrolü
x1=7x_1 = 7 ve x2=31x_2 = 31
u=1  ⟹  log⁡3(x−4)=1  ⟹  x−4=3  ⟹  x=7u = 1 \implies \log_3(x-4) = 1 \implies x-4 = 3 \implies x = 7 olur. u=3  ⟹  log⁡3(x−4)=3  ⟹  x−4=27  ⟹  x=31u = 3 \implies \log_3(x-4) = 3 \implies x-4 = 27 \implies x = 31 olur. Her iki değer de x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 şartını sa��ladığından denklemin kökleridir.
5
Kökler toplamını hesaplama
7+31=387 + 31 = 38
Bulunan geçerli köklerin toplamı alınarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemlerinin tanım kümesi sınırları göz önünde bulundurularak uygulanması.
Soru 43Soru →
Tanımlı xx ve yy gerçel sayıları için,
cot⁡y−cot⁡x=3\cot y - \cot x = 3
tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2
olduğuna göre, tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri 22'dir.
Kotanjant farkından yola çıkılarak elde edilen tan⁡x−tan⁡y=3tan⁡xtan⁡y\tan x - \tan y = 3\tan x\tan y ifadesi, tan⁡(x−y)\tan(x-y) fark formülünde yerine konulduğunda aranan tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y terimine bağlı birinci dereceden bir denklem elde edilmektedir. Bu denklem çözüldüğünde çarpımın değeri doğrudan 22 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant terimlerini tanjant cinsinden ifade ederek payda eşitleme yapın.
tan⁡x−tan⁡y=3⋅tan⁡x⋅tan⁡y\tan x - \tan y = 3 \cdot \tan x \cdot \tan y bağıntısı elde edilir.
Toplam-fark formülü tanjant üzerinden tanımlı olduğu için tüm terimleri tanjant cinsine dönüştürmek kolaylık sağlar.
2
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2 eşitliğini yazın.
tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 eşitliği elde edilir.
Fark açısının tanjant değerini kullanmak amacıyla formül açılımı yapılır.
3
İlk adımdaki tan⁡x−tan⁡y\tan x - \tan y ifadesini fark formülündeki pay kısmına yerleştirin.
3⋅tan⁡x⋅tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3 \cdot \tan x \cdot \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişken grubu üzerinden işlem yapabilmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
4
Denklemde içler dışlar çarpımı yapıp tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını yalnız bırakın.
tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur.
Rasyonel denklemin çözülmesiyle doğrudan hedeflenen çarpım değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel sadeleştirmelerle birlikte kullanılması.
Soru 44Soru →
log⁡12(x−3)≥−2\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 22'dir.
Logaritma tanım kümesi gereği x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Taban 0<1/2<10 < 1/2 < 1 olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir ve x−3≤4  ⟹  x≤7x - 3 \le 4 \implies x \le 7 elde edilir. Bu iki eşitsizlik kesiştirildiğinde 3<x≤73 < x \le 7 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar olan 4, 5, 6 ve 7'nin toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi sınırını belirleme
x>3x > 3
Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği çözme ve yön değiştirme kuralını uygulama
x≤7x \leq 7
Logaritma tabanı 0 ile 1 arasında (1/2) olduğu için eşitsizlik yön değiştirir.
3
Çözüm aralıklarını birleştirme ve tam sayıları bulma
x∈{4,5,6,7}x \in \{4, 5, 6, 7\}
Tanım kümesi (x>3x > 3) ile eşitsizlik çözümü (x≤7x \leq 7) kesiştirilir.
4
Tam sayıların toplamını hesaplama
22
Bulunan 4, 5, 6 ve 7 tam sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 45Soru →
Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={∣x2−4∣x−2+mx2,x<22x−n,2≤x≤4∣x2−7x+12∣x−4+k,x>4f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + mx^2, & x < 2 \\ 2x - n, & 2 \le x \le 4 \\ \frac{|x^2 - 7x + 12|}{x - 4} + k, & x > 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 ve x=4x = 4 noktalarında limitleri var olduğuna göre, 4m+2n+k4m + 2n + k toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 4m−44m - 4 değeri ile sağ limiti olan 4−n4 - n değerinin eşit olması gerekir, bu da bize 4m+n=84m + n = 8 denklemini verir. Benzer şekilde, x=4x = 4 noktasındaki limitinin var olması için sol limiti olan 8−n8 - n değeri ile sağ limiti olan 1+k1 + k değerinin eşit olması gerekir, bu da bize n+k=7n + k = 7 denklemini verir. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 4m+2n+k=154m + 2n + k = 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) olmalıdır.
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
x→2−x \to 2^- için limit değerini mutlak değerin işaretini inceleyerek hesaplayalım.
x<2x < 2 iken x2−4<0x^2 - 4 < 0 olduğundan ∣x2−4∣=−(x2−4)|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) olur. Buradan sol limit lim⁡x→2−(−(x−2)(x+2)x−2+mx2)=lim⁡x→2−(−(x+2)+mx2)=−4+4m\lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x-2)(x+2)}{x-2} + mx^2 \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x+2) + mx^2) = -4 + 4m olarak bulunur.
Mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve 0/00/0 belirsizliği sadeleştirme ile giderilir.
3
x→2+x \to 2^+ için limit değerini hesaplayarak sol limite eşitleyelim ve birinci denklemi elde edelim.
lim⁡x→2+(2x−n)=4−n\lim_{x \to 2^+} (2x - n) = 4 - n olur. Sağ ve sol limitlerin eşitliğinden −4+4m=4−n  ⟹  4m+n=8-4 + 4m = 4 - n \implies 4m + n = 8 denklemi bulunur.
Sağ limit doğrudan yerine yazarak hesaplanır ve limitin varlığı için sol limite eşitlenir.
4
x=4x = 4 noktasındaki limitin varlığını incelemek için sol ve sağ limitleri belirleyelim.
lim⁡x→4−f(x)=lim⁡x→4+f(x)\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) olmalıdır.
x=4x = 4 noktası fonksiyonun bir diğer kritik noktası olup limitin varlığı için sağ ve sol limitler eşitlenmelidir.
5
x→4−x \to 4^- ve x→4+x \to 4^+ limit değerlerini hesaplayarak ikinci denklemi elde edelim.
Sol limit lim⁡x→4−(2x−n)=8−n\lim_{x \to 4^-} (2x - n) = 8 - n olur. Sağ limit için x>4x > 4 iken x2−7x+12>0x^2 - 7x + 12 > 0 olduğundan ∣x2−7x+12∣=(x−3)(x−4)|x^2 - 7x + 12| = (x-3)(x-4) olarak çıkar. Buradan sağ limit lim⁡x→4+((x−3)(x−4)x−4+k)=lim⁡x→4+(x−3+k)=1+k\lim_{x \to 4^+} \left( \frac{(x-3)(x-4)}{x-4} + k \right) = \lim_{x \to 4^+} (x - 3 + k) = 1 + k olur. Limitlerin eşitliğinden 8−n=1+k  ⟹  n+k=78 - n = 1 + k \implies n + k = 7 denklemi bulunur.
x>4x > 4 aralığında mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve belirsizlik sadeleştirme ile çözülür.
6
Elde edilen iki denklemi kullanarak istenen 4m+2n+k4m + 2n + k ifadesinin değerini bulalım.
4m+n=84m + n = 8 ve n+k=7n + k = 7 denklemleri taraf tarafa toplanırsa (4m+n)+(n+k)=8+7  ⟹  4m+2n+k=15(4m + n) + (n + k) = 8 + 7 \implies 4m + 2n + k = 15 elde edilir.
Sistemdeki bireysel parametreler tek başına bulunamasa da, taraf tarafa toplama işlemi doğrudan bizden istenen cebirsel kombinasyonu verir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Soru 46Soru →
Her xx gerçek sayısı için artan olan
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Fonksiyonun her gerçek sayı için artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük ya da eşit (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) olmasını gerektirir. Türev fonksiyonu olan f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 ifadesi 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin daima sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük ya da eşit olması gerekir (Δ≤0\Delta \leq 0). Buradan 4(a−2)2−16≤0  ⟹  (a−2)2≤4  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤44(a-2)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-2)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 bulunur. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1 fonksiyonunun türevini alınız.
f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumu, birinci türevinin işareti incelenerek belirlenir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçek sayısı için artan olma koşulunu yazınız.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 yani 3x2−6(a−2)x+12≥03x^2 - 6(a-2)x + 12 \geq 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması için türevinin o aralıkta sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 eşitsizliğinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması koşulunu uygulayınız.
Baş katsayısı pozitif (1>01 > 0) olan ikinci dereceden bir ifadenin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır: Δ≤0\Delta \leq 0.
Δ=[−2(a−2)]2−4⋅1⋅4=4(a−2)2−16≤0\Delta = [-2(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a-2)^2 - 16 \leq 0 olur.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (parabol) daima xx ekseninin üzerinde veya teğet olmalıdır, bu da reel kökün olmaması veya çift katl�� kök olması (diskriminantın sıfıra eşit veya küçük olması) anlamına gelir.
4
4(a−2)2−16≤04(a-2)^2 - 16 \leq 0 eşitsizliğini çözerek aa değerlerinin aralığını ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulunuz.
(a−2)2≤4  ⟹  ∣a−2∣≤2  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤4(a-2)^2 \leq 4 \implies |a-2| \leq 2 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 0+1+2+3+4=100+1+2+3+4=10 olarak bulunur.
Eşitsizlik çözüldükten sonra sınır değerler dahil edilerek tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonları için bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması (Δ≤0\Delta \leq 0) şartına denk gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+5xf(x) = -x^2 + 5x ve g(x)=x2−xg(x) = x^2 - x parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki parabolün sın��rladığı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Bu sınırlar arasında f(x)−g(x)=−2x2+6xf(x) - g(x) = -2x^2 + 6x ifadesinin belirli integrali alındığında alan 9 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarının belirlenmesi
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Entegrasyon sınırlarını belirlemek amacıyla iki parabol denklemi ortak çözülür.
2
İntegral ifadesinin kurulması ve hesaplanması
∫03(−2x2+6x) dx=9\int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx = 9
Belirlenen sınırlar arasında ��stteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Soru 48Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫1xf(t) dt+∫14−xf(t) dt=x2−4x+10\int_{1}^{x} f(t) \, dt + \int_{1}^{4-x} f(t) \, dt = x^2 - 4x + 10
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen integralin değeri 4'tür.
Verilen denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=2x=2 değerleri yazılarak ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7 ve ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3 değerleri elde edilir. Ardından, integralin aralık bölme özelliği olan ∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx eşitliği kullanılarak istenen integralin değeri 7−3=47 - 3 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte x=3x = 3 yazarak ∫13f(t) dt\int_{1}^{3} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫13f(t) dt+∫11f(t) dt=32−4(3)+10  ⟹  ∫13f(t) dt+0=7  ⟹  ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt + \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 3^2 - 4(3) + 10 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt + 0 = 7 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7
x=3x = 3 yazıldığında ikinci integralin sınırları 1'den 1'e olacağı için değeri belirli integralin özelliği gereği 0 olur.
2
Eşitlikte x=2x = 2 yazarak ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫12f(t) dt+∫12f(t) dt=22−4(2)+10  ⟹  2∫12f(t) dt=6  ⟹  ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 2^2 - 4(2) + 10 \implies 2 \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3
x=2x = 2 yazıldığında her iki integral de ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt haline gelir.
3
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak istenen aralıktaki integrali hesaplamak.
∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx  ⟹  7=3+∫23f(x) dx  ⟹  ∫23f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies 7 = 3 + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4
[1,3][1, 3] aralığındaki belirli integral, [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki integrallerin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların parçalanması özelliği ve alt-üst sınırları eşit olan belirli integralin değerinin sıfır olması.
Soru 49Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(3)=2f′(3)=−1g(3)=6g′(3)=8\begin{aligned} f(3) &= 2 \\ f'(3) &= -1 \\ g(3) &= 6 \\ g'(3) &= 8 \end{aligned}
eqitlikleri sağlanmaktadır.
h(x)=(x2−2x)⋅f(x)+g(x)xh(x) = (x^2 - 2x) \cdot f(x) + \frac{g(x)}{x}
biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(3)h'(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemler yapıldığında h′(3)h'(3) değeri 7 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında h′(3)=7h'(3) = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev kurallarını (çarpım ve bölüm kuralları) belirleme ve türev ifadesini yazma.
h′(x)=(2x−2)⋅f(x)+(x2−2x)⋅f′(x)+x⋅g′(x)−g(x)x2h'(x) = (2x - 2) \cdot f(x) + (x^2 - 2x) \cdot f'(x) + \frac{x \cdot g'(x) - g(x)}{x^2}
h(x)h(x) fonksiyonu iki terimden oluşmaktadır: Birinci terim için çarpım kuralı, ikinci terim için bölüm kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazma.
h′(3)=4⋅f(3)+3⋅f′(3)+3⋅g′(3)−g(3)9h'(3) = 4 \cdot f(3) + 3 \cdot f'(3) + \frac{3 \cdot g'(3) - g(3)}{9}
Türevin x=3x = 3 noktasındaki değerini bulmak için fonksiyondaki tüm xx değişkenleri yerine 3 yazılır.
3
Verilen fonksiyonel değerleri yerine koyarak aritmetik hesaplama yapma.
h′(3)=7h'(3) = 7
f(3)=2f(3) = 2, f′(3)=−1f'(3) = -1, g(3)=6g(3) = 6 ve g′(3)=8g'(3) = 8 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 50Soru →

ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur.

∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(x2) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫49f(x) dx\int_{4}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen ikinci integralde yapılan değişken değiştirme ile elde edilen ∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 değeri, aralık bölme özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral değeri olan 8 ile toplanır ve buradan ∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yapılması
u=x2u = x^2 dönüşümü ile x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x2x^2 ifadesini tek bir değişkene indirgeyerek bilinen belirli integral özelliklerini uygulayabilmek için.
2
Değişken değiştirmeye göre integral sınırlarının güncellenmesi
Yeni integral sınırları alt sınır için u=1u = 1, üst sınır için u=9u = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, entegrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerektiği için.
3
Elde edilen integralin değerinin hesaplanması
∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Değişken değiştirme sonucunda elde edilen 12∫19f(u) du=10\frac{1}{2} \int_{1}^{9} f(u) \, du = 10 eşitliğinden yararlanarak.
4
Aralık bölme özelliği yardımıyla istenen integralin bulunması
∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
[1,9][1, 9] aralığındaki integralin [1,4][1, 4] ve [4,9][4, 9] aralıklarındaki integrallerin toplamına eşit olması özelliğinden faydalanarak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri.
Soru 51Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S6=3⋅S3S_6 = 3 · S_3
a5=12a_5 = 12

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ilk terimi 4'tür.
Dizinin ilk n terim toplamı formülü kullanılarak S3S_3 ve S6S_6 terimleri a1a_1 ve dd cinsinden yazıldığında, S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğinden a1=2da_1 = 2d bağıntısına ulaşılır. a5=a1+4d=12a_5 = a_1 + 4d = 12 eşitliğinde bu bağıntı yerine yazıldığında d=2d = 2 ve dolayısıyla a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülü yardımıyla S3S_3 ve S6S_6 terimlerini a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden ifade etme.
S3=3a1+3dS_3 = 3a_1 + 3d ve S6=6a1+15dS_6 = 6a_1 + 15d elde edilir.
Dizinin toplam formülünü kullanarak verilen toplamlar arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile dd arasındaki bağıntıyı bulma.
6a1+15d=3(3a1+3d)  ⟹  6a1+15d=9a1+9d  ⟹  6d=3a1  ⟹  a1=2d6a_1 + 15d = 3(3a_1 + 3d) \implies 6a_1 + 15d = 9a_1 + 9d \implies 6d = 3a_1 \implies a_1 = 2d elde edilir.
Toplamlar arasındaki orandan ilk terim ile ortak fark arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
Genel terim formülüyle a5=12a_5 = 12 eşitliğini yazıp elde edilen a1=2da_1 = 2d bağıntısını yerine koyarak dd ve ardından a1a_1 değerlerini hesaplama.
a5=a1+4d  ⟹  12=2d+4d  ⟹  6d=12  ⟹  d=2a_5 = a_1 + 4d \implies 12 = 2d + 4d \implies 6d = 12 \implies d = 2 bulunur. Buradan a1=2d=2(2)=4a_1 = 2d = 2(2) = 4 elde edilir.
Bilinen bir terim yardımıyla bilinmeyen parametreleri çözüp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 52Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir xx sayısı için,
xlog⁡23+3log⁡2x−1=12x^{\log_2 3} + 3^{\log_2 x - 1} = 12
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen xx değeri 4'tür.
Denklemde yer alan xlog⁡23x^{\log_2 3} terimi, logaritmanın alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} taban-argüman yer değiştirme özelliği kullanılarak 3log⁡2x3^{\log_2 x} şeklinde yazılmıştır. Bu dönüşüm sayesinde denklem 3log⁡2x+3log⁡2x−1=123^{\log_2 x} + 3^{\log_2 x - 1} = 12 haline gelir ve 3log⁡2x⋅(1+1/3)=123^{\log_2 x} \cdot (1 + 1/3) = 12 ortak paranteziyle çözülerek 3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 bulunur. Buradan log⁡2x=2\log_2 x = 2 ve nihayetinde x=4x = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini denklemdeki ilk terime uygulamak.
xlog⁡23=3log⁡2xx^{\log_2 3} = 3^{\log_2 x} eşitliği elde edilir.
Denklemdeki terimlerin tabanlarını aynı yaparak ortak paranteze alma işlemi uygulayabilmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp ortak çarpan parantezine almak.
3log⁡2x+3log⁡2x3=12⇒3log⁡2x(1+13)=12⇒3log⁡2x⋅43=123^{\log_2 x} + \frac{3^{\log_2 x}}{3} = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \cdot \frac{4}{3} = 12 elde edilir.
Denklemi tek bir üslü ifade cinsinden çözmek için terimler birleştirilir.
3
3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 denklemini çözerek xx değerini bulmak.
log⁡2x=2⇒x=22=4\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 elde edilir.
Üslü denklemin tabanları eşitlenerek logaritmalı ifade yalnız bırakılır ve ardından logaritma tanımı uygulanarak xx değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 53Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=asin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = a \sin(x) + \cos(2x)
fonksiyonunun grafiğine x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu,
3x−y+5=0\sqrt{3}x - y + 5 = 0
doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a = 4
Grafiğe üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevidir. İki doğrunun paralel olması eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan hareketle f′(π6)=3f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} eşitliği kurularak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=acos⁡(x)−2sin⁡(2x)f'(x) = a \cos(x) - 2 \sin(2x)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=π6x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(π6)=acos⁡(π6)−2sin⁡(π3)=(a−2)32f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = (a-2)\frac{\sqrt{3}}{2}
x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktadaki teğetin eğim ifadesini elde etmek için trigometrik değerler yerine yazılır.
3
Verilen doğrunun eğimini bulun.
m=3m = \sqrt{3}
4
Teğet doğrusu ile verilen doğrunun paralellik şartını uygulayarak aa değerini çözün.
a=4a = 4
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu nedenle (a−2)32=3(a-2)\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} eşitliğinden a−2=2  ⟹  a=4a-2 = 2 \implies a = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve paralel doğruların eğim ilişkisi
Soru 54Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx+∫25f(x−1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{2}^{5} f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Toplamın değeri 12 olarak elde edilir.
Belirli integrallerde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=x−1v = x - 1 dönüşümleri yapıldığında, her iki integral de [1,4][1, 4] aralığındaki ff integraline dönüşür. Sınırların güncellenmesiyle ilk integral 12∫14f(u) du=4\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 4 ve ikinci integral ∫14f(v) dv=8\int_{1}^{4} f(v) \, dv = 8 olur. Bu iki değerin toplamından doğru cevap 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=1x = 1 için u=12=1u = 1^2 = 1 ve x=2x = 2 için u=22=4u = 2^2 = 4 olur.
Değişkeni ve sınırları yeni uu değişkenine göre ifade etmek için.
2
Bulduğumuz değerleri ilk integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫12x⋅f(x2) dx=∫14f(u)⋅du2=12∫14f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri 12⋅8=4\frac{1}{2} \cdot 8 = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde değişkenin adının sonucu değiştirmemesi özelliğini kullanmak için.
3
İkinci integral olan ∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx ifadesinde v=x−1v = x - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=2x = 2 için v=2−1=1v = 2 - 1 = 1 ve x=5x = 5 için v=5−1=4v = 5 - 1 = 4 olur.
İntegrali verilen temel f(x)f(x) integraline benzetmek için.
4
Bulduğumuz değerleri ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫25f(x−1) dx=∫14f(v) dv\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{4} f(v) \, dv olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri de 88 olarak bulunur.
Yatay öteleme sonrası sınırları güncellenen integralin değerini bulmak için.
5
İki integralin elde edilen değerlerini toplayalım.
4+8=124 + 8 = 12 elde edilir.
Soruda istenen toplam integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 55Soru →

Türevlenebilen bir ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri 22 ve bu noktadaki türevi 55 olarak bilinmektedir.

Buna göre,
h(x)=f(x)−2xf(x)+x2h(x) = \frac{f(x) - 2x}{f(x) + x^2}

kuralı ile belirlenen hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Türevin x = 1 noktasındaki değeri 1'dir.
Bölüm türevi kuralı ve türevin doğrusal özellikleri doğrudan uygulandığında h′(1)=1h'(1) = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralını yazalım.
h′(x)=(f(x)−2x)′(f(x)+x2)−(f(x)−2x)(f(x)+x2)′(f(x)+x2)2h'(x) = \frac{(f(x) - 2x)'(f(x) + x^2) - (f(x) - 2x)(f(x) + x^2)'}{(f(x) + x^2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin türevlerini alalım.
(f(x)−2x)′=f′(x)−2(f(x) - 2x)' = f'(x) - 2 ve (f(x)+x2)′=f′(x)+2x(f(x) + x^2)' = f'(x) + 2x
Toplam ve fark türevi ile temel kuvvet türevi kuralları (x2→2xx^2 \to 2x) uygulanır.
3
h′(x)h'(x) ifadesini düzenleyip x=1x=1 değerini yerine yazalım.
h′(1)=(f′(1)−2)(f(1)+12)−(f(1)−2(1))(f′(1)+2(1))(f(1)+12)2h'(1) = \frac{(f'(1) - 2)(f(1) + 1^2) - (f(1) - 2(1))(f'(1) + 2(1))}{(f(1) + 1^2)^2}
x=1x = 1 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 11 yazılır.
4
f(1)=2f(1) = 2 ve f′(1)=5f'(1) = 5 değerlerini yerleştirelim.
h′(1)=(5−2)(2+1)−(2−2)(5+2)(2+1)2=3⋅3−0⋅732=1h'(1) = \frac{(5 - 2)(2 + 1) - (2 - 2)(5 + 2)}{(2 + 1)^2} = \frac{3 \cdot 3 - 0 \cdot 7}{3^2} = 1
Soru kökündeki verilen değerler kullanılarak aritmetik işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi ve Temel Türev Kuralları
Soru 56Soru →
lim⁡x→4x2−16x−2\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x} - 2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Limitin değeri 32'dir.
x = 4 değeri yerine yazıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay kısmındaki x^2 - 16 ifadesinin (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) şeklinde çarpanlarına ayrılması ve paydadaki √x - 2 terimiyle sadeleştirilmesi yoluyla giderilir. Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazıldığında limitin gerçek değeri 32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu tespit etmek.
Pay kısmında 4^2 - 16 = 0, payda kısmında ise √4 - 2 = 0 elde edilir. Bu durum 0/0 belirsizliğidir.
Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan yerine yazma yöntemiyle belirsizlik olup olmadığı kontrol edilmelidir.
2
Paydaki ifadeyi paydadaki köklü çarpanı sadeleştirebilecek biçimde çarpanlar��na ayırmak.
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) özdeşliği yazılır. Daha sonra x - 4 ifadesi (√x - 2)(√x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılarak pay ifadesi (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) haline getirilir.
0/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak sıfır çarpanı (√x - 2) ortaya çıkarılmalıdır.
3
Pay ve paydadaki ortak olan (√x - 2) terimlerini sadeleştirmek.
İfade lim_{x -> 4} (√x + 2)(x + 4) biçimine sadeleşir.
x, 4 değerine yaklaşırken x asla 4'e eşit olmadığından √x - 2 terimi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir.
4
Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazarak nihai limit değerini hesaplamak.
(√4 + 2)(4 + 4) = (2 + 2) * 8 = 4 * 8 = 32 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra geriye kalan polinomyal ve köklü ifadeler tanımlı oldukları aralıkta sürekli olduğundan limit değeri doğrudan yerine yazarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadeler İçeren 0/0 Belirsizliklerinde Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme
Soru 57Soru →
x−y=1x - y = 1
x2+y2=13x^2 + y^2 = 13

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan x + y toplamının alabileceği en büyük değer 5'tir.
Denklem sisteminden elde edilen kökler (3, 2) ve (-2, -3) gerçek sayı ikilileridir. Bu ikililerin elemanları toplamı sırasıyla 5 ve -5 olup, alabileceği en büyük değer 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde x değişkenini y cinsinden yalnız bırakın.
x=y+1x = y + 1
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek.
2
Elde edilen x değerini ikinci denklemde yerine yazarak y değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
(y+1)2+y2=13⇒2y2+2y−12=0⇒y2+y−6=0(y + 1)^2 + y^2 = 13 \Rightarrow 2y^2 + 2y - 12 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0
Tek bilinmeyenli denklemin köklerini bulmak.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak y değerlerini hesaplayın.
(y+3)(y−2)=0⇒y=−3(y + 3)(y - 2) = 0 \Rightarrow y = -3 veya y=2y = 2
y bilinmeyeninin alabileceği gerçek sayı değerlerini belirlemek.
4
Bulunan y değerlerine karşılık gelen x değerlerini bulun.
y=2y = 2 için x=3x = 3 ve y=−3y = -3 için x=−2x = -2
Sistemi sağlayan (x, y) sıralı ikililerini belirlemek.
5
Her iki sıralı ikili için x + y toplamını hesaplayıp en büyük olanı seçin.
3+2=53 + 2 = 5 ve −2+(−3)=−5-2 + (-3) = -5 olup en büyük değer 5'tir.
Soruda istenen en büyük toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →

y=x2+2x+1y = x^2 + 2x + 1 parabolü ile y=mx−3y = mx - 3 doğrusu birbirine teğettir. m>0m > 0 olduğuna göre, mm gerçek sayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması ve doğrunun eğiminin pozitif olması koşulunu sağlayan mm değeri 66'dır.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen köklerden m>0m > 0 koşulunu sağlayan tek değer 66 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2+2x+1=mx−3  ⟹  x2+(2−m)x+4=0x^2 + 2x + 1 = mx - 3 \implies x^2 + (2-m)x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun ortak noktalarını belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için iki kural birbirine eşitlenir.
2
Ortak çözüm denkleminin diskriminantını (Δ\Delta) sıfıra eşitleyin.
Δ=(2−m)2−4⋅1⋅4=0  ⟹  (2−m)2=16\Delta = (2-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \implies (2-m)^2 = 16
Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin tek (çakışık) kökünün olması anlamına gelir. Bu da diskriminantın sıfıra eşit olmasını gerektirir.
3
Diskriminant eşitliğinden elde edilen denklemi çözerek mm değerlerini belirleyin ve pozitif olanını seçin.
2−m=4  ⟹  m=−22-m = 4 \implies m = -2 veya 2−m=−4  ⟹  m=62-m = -4 \implies m = 6. m>0m > 0 koşulu nedeniyle m=6m = 6 alınır.
Karesel ifadenin çözümünden iki farklı eğim değeri elde edilir. Soru kökündeki pozitiflik sınırlandırmasına uygun olan değer nihai çözüm olarak seçilir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları incelenirken ortak çözüm denkleminin diskriminantı (Δ\Delta) kullanılır. Doğru parabole teğet ise Δ=0\Delta = 0 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında [0,3][0, 3] aralığında kalan bölgenin alanı, [0,3][0, 3] aralığının 33 eş alt aralığa bölünmesiyle elde edilen Riemann üst toplamından kaç birimkare azdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Grafik ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı, Riemann üst toplamından 3 birimkare azdır.
Riemann üst toplamı, fonksiyonun monotonluğuna dikkat edilerek alt aralıklardaki maksimum değerler yardımıyla U=18U = 18 olarak bulunur. Eğrinin altındaki gerçek alan ise belirli integral ile A=15A = 15 olarak hesaplanır. Aralarındaki fark 18−15=318 - 15 = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların belirlenmesi ve genişliğinin bulunması.
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamı hesaplanırken alt aralıkların genişlikleri ve sınırları belirlenmelidir.
2
Her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değerlerin bulunması.
f(x)=(x−1)2+4f(x) = (x-1)^2 + 4 parabolünün tepe noktası x=1x=1'dir. [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x) azalan olduğundan maksimum değer sol uçta, yani f(0)=5f(0) = 5 olur. [1,2][1, 2] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(2)=5f(2) = 5 olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(3)=8f(3) = 8 olur.
Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük değer seçilmelidir.
3
Riemann üst toplamının (UU) hesaplanması.
U=Δx⋅(f(0)+f(2)+f(3))=1⋅(5+5+8)=18U = \Delta x \cdot (f(0) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (5 + 5 + 8) = 18 birimkaredir.
Riemann üst toplamı, alt aralık genişliği ile bu aralıklardaki maksimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Grafiğin altında kalan gerçek alanın (AA) integral yardımıyla hesaplanması.
A=∫03(x2−2x+5)dx=[x33−x2+5x]03=(9−9+15)−0=15A = \int_0^3 (x^2 - 2x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 5x \right]_0^3 = (9 - 9 + 15) - 0 = 15 birimkaredir.
[0,3][0, 3] aralığında f(x)>0f(x) > 0 olduğundan, grafik ile xx ekseni arasındaki alan belirli integral ile tam olarak hesaplanabilir.
5
Riemann üst toplamı ile gerçek alan arasındaki farkın bulunması.
U−A=18−15=3U - A = 18 - 15 = 3 birimkaredir.
Soruda alanın Riemann üst toplamından kaç birimkare az olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Soru 60Soru →
Tüm elemanları pozitif olan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a4⋅a6=144a_4 \cdot a_6 = 144
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği kullanılarak a5=12a_5 = 12 ve ardından a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 olarak bulunur. Toplamları 51 ve çarpımları 144 olan pozitif sayılar 3 ve 48'dir. Dizi artan olduğu için a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır. a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 eşitliğinden r4=16r^4 = 16 elde edilir ve pozitif terimli dizi şartından dolayı ortak çarpan 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliğini kullanarak a5a_5 terimini hesaplama.
a52=144⇒a5=12a_5^2 = 144 \Rightarrow a_5 = 12 (tüm terimler pozitif olduğu için a5>0a_5 > 0 olmalıdır).
Geometrik dizide ardışık terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a3⋅a7a_3 \cdot a_7 çarpımını a5a_5 cinsinden yazarak değerini bulma.
a3⋅a7=a52=144a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 144
Geometrik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53+7 = 5+5 olduğundan a3⋅a7=a52a_3 \cdot a_7 = a_5^2 olur).
3
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51 ve a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 bilgilerini kullanarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini belirleme.
t2−51t+144=0⇒(t−48)(t−3)=0t^2 - 51t + 144 = 0 \Rightarrow (t - 48)(t - 3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve 4848'dir.
Toplamları ve çarpımları bilinen iki sayıyı bulmak için kökleri bu sayılar olan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Dizinin artan olma koşulunu uygulayarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini atama.
a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır.
Dizi artan ve tüm terimleri pozitif olduğundan, indisi daha büyük olan terim daha büyük olmalıdır (a3<a7a_3 < a_7).
5
a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisini kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplama.
48=3⋅r4⇒r4=16⇒r=248 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16 \Rightarrow r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0 olmalıdır).
Geometrik dizinin genel terim tanımından a7=a3⋅r7−3a_7 = a_3 \cdot r^{7-3} yazılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve genel terim formülü.
ÖncekiSayfa 3 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin