Tüm alıştırma soruları

Soru 661Soru →

Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki bir noktadan eğik olarak fırlatılan bir cismin hareketi boyunca hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı en az $53^\circ$ olmaktadır.

Cismin çıkabildiği maksimum yükseklik $45\text{ m}$ olduğuna göre, cismin fırlatıldığı noktadan tekrar yere düşene kadar yatayda aldığı yol (menzili) kaç metredir?

(Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ , $\sin(37^\circ) = 0,6$ ve $\cos(37^\circ) = 0,8$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Cismin yatayda aldığı yol (menzili) 240 metredir.

Eğik atışta yer çekimi ivme vektörü her zaman düşey doğrultuda aşağı yönlüdür. Hız ile yer çekimi ivme vektörü arasındaki açının minimum olduğu durum, cismin yere çarptığı (inişin sonlandığı) andır. Bu açı

53^\circ

olduğuna göre fırlatılma açısı

37^\circ

bulunur. Maksimum yükseklik

45\text{ m}

olduğuna göre düşey ilk hız

30\text{ m/s}

, toplam havada kalma süresi ise

6\text{ s}

olur. Fırlatılma açısı

37^\circ

olduğundan yatay hız bileşeni

40\text{ m/s}

'dir. Bu durumda yatayda alınan yol

40 \times 6 = 240\text{ m}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hız ve ivme vektörleri arasındaki açının minimum olduğu durumu analiz ederek fırlatılma açısını belirlemek.

Fırlatılma açısı

\theta_0 = 37^\circ

olarak bulunur.

E��ik atış hareketinde ivme vektörü her zaman yer çekimi ivmesidir (

\vec{g}

) ve düşey aşağı yönlüdür. Hız ile ivme vektörü arasındaki açı hareket boyunca azalır ve cismin yere çarpma anında minimum değerine ulaşır. Bu açı

90^\circ - \theta_0 = 53^\circ

olduğundan

\theta_0 = 37^\circ

bulunur.

2

Maksimum yükseklik formülü yardımıyla düşey ilk hız bileşenini hesaplamak.

Düşey ilk hız bileşeni

v_{0y} = 30\text{ m/s}

olarak bulunur.

Cismin maksimum yüksekliği

h_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}

formülüyle verilir. Değerler yerine yazıldığında

45 = \frac{v_{0y}^2}{20}

eşitliğinden

v_{0y} = 30\text{ m/s}

elde edilir.

3

İlk hız büyüklüğünü ve yatay ilk hız bileşenini hesaplamak.

Yatay ilk hız bileşeni

v_{0x} = 40\text{ m/s}

olarak bulunur.

Düşey hız bileşeni

v_{0y} = v_0 \sin(37^\circ)

olduğundan

30 = v_0 \times 0,6 \implies v_0 = 50\text{ m/s}

olur. Buradan yatay hız bileşeni

v_{0x} = v_0 \cos(37^\circ) = 50 \times 0,8 = 40\text{ m/s}

olarak hesaplanır.

4

Cismin uçuş süresini hesaplamak.

Uçuş süresi

t_{\text{uçuş}} = 6\text{ s}

olarak bulunur.

Cismin havada kalma süresi

t_{\text{uçuş}} = \frac{2 v_{0y}}{g}

formülüyle hesaplanır. Değerler yazıldığında

t_{\text{uçuş}} = \frac{2 \times 30}{10} = 6\text{ s}

olur.

5

Menzil formülü ile cismin yatayda aldığı yolu hesaplamak.

Menzil (yatayda alınan yol)

x = 240\text{ m}

olarak bulunur.

Yatay doğrultuda cisim sabit hızlı hareket yaptığından, menzil

x = v_{0x} \times t_{\text{uçuş}}

bağıntısıyla bulunur. Buradan

x = 40 \times 6 = 240\text{ m}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Eğik atış hareketinde hız ve ivme vektörlerinin analizi, maksimum yükseklik ve menzil hesaplamaları.

Soru 662Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde hareket eden $2\text{ kg}$ kütleli $A$ cismi $+x$ yönünde $6\text{ m/s}$ hızla, $2\text{ kg}$ kütleli $B$ cismi ise $+y$ yönünde $8\text{ m/s}$ hızla hareket etmektedir. Bu iki cisim orijinde çarpışarak birbirine kenetleniyor. Buna göre, çarpışma süresince cisimlerin birbirine uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Çarpışma sırasında cisimlerin birbirine uyguladığı itmenin büyükl��ğü 10 N·s'dir.

Çarpışma süresince bir cismin momentumundaki değişim, o cisme uygulanan itmeye eşittir. A cisminin ilk çizgisel momentum vektörü

12\vec{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, çarpışma sonrası son çizgisel momentum vektörü ise ortak hız kullanılarak

6\vec{i} + 8\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olarak hesaplanır. İki vektör arasındaki fark

\Delta\vec{P}_A = -6\vec{i} + 8\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olup bu vektörün büyüklüğü

\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10\text{ N}\cdot\text{s}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpışma öncesi çizgisel momentum vektörlerini hesaplama

\vec{P}_A = 12\vec{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

\vec{P}_B = 16\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Cisimlerin ilk çizgisel momentum durumlarını vektörel olarak ifade etmek için.

2

Toplam momentumun korunumunu kullanarak ortak kütlenin hız vektörünü bulma

\vec{v}_{ort} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\text{ m/s}

Dış kuvvetlerin bile��kesi sıfır olduğundan toplam momentum korunur ve ortak kütlenin hızı bu ilkeyle bulunur.

3

Bir cismin (örneğin A cisminin) çizgisel momentumundaki değişimi hesaplama

\Delta\vec{P}_A = -6\vec{i} + 8\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşit olduğundan bir cismin momentum değişim vektörü bulunur.

4

Çizgisel momentum değişim vektörünün büyüklüğünü hesaplama

I = 10\text{ N}\cdot\text{s}

Momentum değişiminin büyüklüğü, çarpışma sırasında cisme uygulanan itmenin büyüklüğünü verir.

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Korunumu

Soru 663Soru →

2^{\log_x 5} + 5^{\log_x 2} = 50

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı için

x^6

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Verilen logaritmik denklemi sağlayan

x

gerçel sayısı için

x^6

değeri 8'dir.

Verilen denklemde

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

kuralı uyarınca

2^{\log_x 5}

ile

5^{\log_x 2}

birbirine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı

2 \cdot 5^{\log_x 2} = 50

eşitliğini verir. Buradan

5^{\log_x 2} = 25 = 5^2

olur. Dolayısıyla

\log_x 2 = 2

olup logaritma tanımından

x^2 = 2

bulunur. Bizden istenen

x^6

ifadesi

(x^2)^3

şeklinde yazılabileceğinden,

2^3 = 8

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri ortak tabanda düzenleyin.

2^{\log_x 5} = 5^{\log_x 2}

olduğundan denklem

5^{\log_x 2} + 5^{\log_x 2} = 50 \Rightarrow 2 \cdot 5^{\log_x 2} = 50

biçimine dönüşür.

Denklemin sol tarafındaki iki farklı üslü ifadeyi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.

2

Elde edilen üslü denklemi çözerek logaritmalı üs ifadesini bulun.

5^{\log_x 2} = 25 \Rightarrow 5^{\log_x 2} = 5^2 \Rightarrow \log_x 2 = 2

Üslü sayıların tabanları eşit olduğunda üslerin de eşit olması kuralını uygulamak için.

3

Logaritma tanımını kullanarak taban ile argüman arasındaki ilişkiyi kurun.

x^2 = 2

(Logaritma taban tanımı gereği

x > 0

ve

x \neq 1

koşulu sağlanmalıdır, bu nedenle

x = \sqrt{2}

olur).

\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a

tanımını uygulamak için.

4

İstenen

x^6

değerini elde edilen

x^2

değeri cinsinden hesaplayın.

x^6 = (x^2)^3 = 2^3 = 8

x

değerini bulup üssünü almak yerine doğrudan

x^2

değerini yerine yazarak işlem kolaylığı sağlamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmanın

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

özelliği ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları.

Soru 664Soru →

Bir pastane işletmecisi, vitrindeki bir rafa yan yana dizmek üzere $n$ adet özdeş çilekli turta, 3 adet özdeş çikolatalı turta ve 2 adet özdeş muzlu turta siparişi vermiştir.

Bu turtaların tamamı, çikolatalı turtaların hepsi bir arada (yan yana) olmak koşuluyla vitrindeki rafa yan yana $360$ farklı şekilde dizilebilmektedir.

Buna göre, çilekli turta sayısı olan $n$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Çilekli turta sayısı

n = 7

olarak bulunur.

3 adet özdeş çikolatalı turta tek bir nesne olarak gruplandığında, dizilecek toplam nesne sayısı

n+3

olur. Çilekli turtaların (

n

adet) ve muzlu turtaların (

2

adet) özdeşliğinden dolayı tekrarlı permütasyon formülü

\frac{(n+3)!}{n! \cdot 2!} = 360

olarak yazılır. Bu denklem sadeleştirildiğinde

(n+3)(n+2)(n+1) = 720

elde edilir. Çarpımları 720 olan ardışık üç sayı

8, 9, 10

olduğundan

n+1 = 8 \implies n = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

3 adet özdeş çikolatalı turtayı tek bir blok olarak gruplamak.

1 adet çikolatalı turta grubu (bloğu) elde edilir.

Çikolatalı turtaların yan yana bulunması gerektiğinden bu turtalar ayrılmaz bir bütün olarak ele alınmalıdır.

2

Dizilecek toplam nesne sayısını belirlemek.

1 adet çikolata bloğu,

n

adet özdeş çilekli turta ve 2 adet özdeş muzlu turta olmak üzere toplam

n + 3

nesne vardır.

Tekrarlı permütasyon formülünde pay kısmına yazılacak toplam nesne miktarını belirlemek için.

3

Tekrarlı permütasyon bağıntısını kullanarak dizilim sayısını veren denklemi kurmak.

\frac{(n+3)!}{n! \cdot 2! \cdot 1!} = 360

Toplam

n+3

nesne içindeki çilekli turtalar (

n

adet) ve muzlu turtalar (

2

adet) kendi aralarında özdeş olduğundan tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.

4

Faktöriyel ifadesini sadeleştirip denklemi çözülebilir hale getirmek.

(n+3)(n+2)(n+1) = 720

(n+3)!

ifadesi

n!

cinsinden açılarak paydadaki

n!

ile sadeleştirilir ve içler dışlar çarpımı yapılır.

5

Çarpımları 720 olan ardışık üç tam sayıyı tespit edip

n

değerini bulmak.

n = 7

8 \cdot 9 \cdot 10 = 720

eşitliğinden dolayı

n+1 = 8

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyonda belirli elemanların bir arada tutulması ve verilen dizilim sayısından hareketle bilinmeyen eleman sayısının bulunması.

Soru 665Soru →

Ortak farkı pozitif olan bir

(a_n)

aritmetik dizisi için,

a_6 + a_{14} = 40

a_3 \cdot a_{17} - a_{10}^2 = -196

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi olan $a_1$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değeri 2'dir.

Dizinin terimlerinin indisleri arasındaki ilişkiden yararlanarak

a_{10} = 20

bulunur. Ardından

a_3 \cdot a_{17}

ifadesi

a_{10}

cinsinden yazılarak iki kare farkı özdeşliği yardımıyla ortak fark

r = 2

olarak elde edilir. Buradan

a_{10} = a_1 + 9r

bağıntısı kullanılarak ilk terim 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

a_6 + a_{14} = 40

eşitliğini kullanarak

a_{10}

terimini hesaplayınız.

a_{10} = 20

Aritmetik dizilerde terim indislerinin toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir.

6 + 14 = 10 + 10

olduğundan

a_6 + a_{14} = 2a_{10}

eşitliği sağlanır.

2

a_3

ve

a_{17}

terimlerini

a_{10}

ve ortak fark

r

cinsinden yazarak verilen ikinci eşitlikten

r

değerini bulunuz.

r = 2

a_3 = a_{10} - 7r

ve

a_{17} = a_{10} + 7r

çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden

a_{10}^2 - 49r^2

sonucunu verir. Eşitlikte yerine yazıldığında

-49r^2 = -196 \implies r^2 = 4

olur. Ortak fark pozitif olduğundan

r = 2

olarak alınır.

3

a_{10}

ve

r

değerlerini kullanarak dizinin ilk terimi olan

a_1

'i hesaplayınız.

a_1 = 2

a_{10} = a_1 + 9r

genel terim ilişkisinde bilinen değerler yerine yazıldığında

20 = a_1 + 18 \implies a_1 = 2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve ortak fark yardımıyla birbirleri cinsinden yazılması

Soru 666Soru →

Bir şehirdeki raylı taşıma sisteminde A ve B olmak üzere iki farklı hat bulunmaktadır. Bu sistemdeki trenlerin $\%70$ 'i A hattında, geri kalanı ise B hattında sefer yapmaktadır. A hattında sefer yapan trenlerin $\%90$ 'ı, B hattında sefer yapan trenlerin ise $\%80$ 'i istasyonlara zamanında ulaşmaktadır. Bu istasyona gelen trenlerden rastgele seçilen birinin zamanında ulaştığı bilindiğine göre, bu trenin B hattında sefer yapıyor olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ kesri olarak ifade edildiğinde $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Zamanında gelen trenin B hattından olma koşullu olasılığı en sade haliyle

\frac{8}{29}

olup, pay ile paydanın toplamı

37

olarak bulunur.

Zamanında gelen trenin B hattından olma koşullu olasılığı

P(B|Z) = \frac{P(B \cap Z)}{P(Z)} = \frac{0{}24}{0{}87} = \frac{8}{29}

olup, pay ile paydanın toplamı

8 + 29 = 37

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B hatlarında sefer yapan trenlerin zamanında ulaşma olasılıklarının hesaplanması

A hattı için zamanında ulaşma olasılığı

0{}70 \times 0{}90 = 0{}63

, B hattı için zamanında ulaşma olasılığı

0{}30 \times 0{}80 = 0{}24

bulunur.

Her bir hattan seçilen trenin zamanında ulaşma durumunun kesişim olasılıklarını belirlemek için.

2

Zamanında ulaşan tüm trenlerin toplam olasılığının hesaplanması

Toplam olasılık

0{}63 + 0{}24 = 0{}87

olur.

Koşullu olasılıkta örnek uzay zamanında ulaşan trenlerle sınırlandırıldığı için payda değerini oluşturur.

3

Zamanında ulaştığı bilinen trenin B hattından olma olasılığının formüle edilmesi

Koşullu olasılık değeri

\frac{0{}24}{0{}87} = \frac{24}{87}

olur.

İstenen durum olan B hattındaki zamanında ulaşan trenlerin olasılığını, tüm zamanında ulaşan trenlerin olasılığına oranlamak için.

4

Elde edilen kesrin sadeleştirilmesi ve pay ile payda toplamının hesaplanması

Kesrin en sade hali

\frac{8}{29}

olup,

8 + 29 = 37

bulunur.

Soruda istenen en sade kesir biçimindeki pay ve payda toplamı

a+b

değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 667Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekli��i $12\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koninin içerisine, tabanı koninin tabanı ile çakışacak biçimde bir dik dairesel silindir yerleştirilecektir. Buna göre, bu silindirin hacmi en fazla kaç $\pi\text{ cm}^3$ olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

En büyük hacimli silindirin hacmi

64\pi\text{ cm}^3

olup aranan değer 64'tür.

Koninin içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli silindirin boyutları benzerlik oranı kullanılarak

h = 12 - 2r

şeklinde yazılır. Hacim fonksiyonunun türevi yardımıyla maksimum hacmi veren yarıçap

r = 4\text{ cm}

olarak bulunur. Bu değer hacim formülünde yerine yazıldığında maksimum hacim

64\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin yarıçapı

r

ve yüksekliği

h

değişkenleri arasında benzerlik yardımıyla bir bağıntı kurun.

h = 12 - 2r

Koninin ana doğrusu ve yüksekliği ile silindirin kesiti arasında oluşan benzer üçgenlerden

\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6}

elde edilir.

2

Silindirin hacmini veren fonksiyonu

r

değişkenine bağlı olarak yazın.

V(r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3

Silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır. Burada

h = 12 - 2r

ifadesi yerine yazılır.

3

Hacim fonksiyonunun maksimum noktasını bulmak için türevini al��p sıfıra eşitleyin.

r = 4

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır.

V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2 = 6\pi r(4-r) = 0

denkleminin kökleri

r=0

ve

r=4

olup, maksimum hacim

r=4

için gerçekleşir.

4

Maksimum hacmi hesaplayın.

V(4) = 64\pi

r = 4

için

V(4) = \pi \cdot 4^2 \cdot (12 - 2 \cdot 4) = 64\pi

elde edilir. Hacmin

\pi

cinsinden değeri sorulduğu için aranan sayı 64'tür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, geometrik şekillerde optimizasyon problemleri.

Soru 668Soru →

Yüzey alanı $0,5\text{ m}^2$ olan düzlemsel bir tel halka, $4\text{ T}$ büyüklüğündeki düzgün manyetik alana dik konumda tutulmaktadır. Halka $0,2\text{ s}$ içinde manyetik alan dışına tamamen çıkarılıyor.

Buna göre, bu süreçte halkada oluşan ortalama indüksiyon elektromotor kuvvetinin büyüklü��ü kaç $\text{V}$ 'tur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Halkada oluşan ortalama indüksiyon elektromotor kuvvetinin büyüklüğü

10\text{ V}

'tur.

Faraday İndüksiyon Yasası'na göre bir devrede oluşan indüksiyon emk'sinin büyüklüğü, devreden geçen manyetik akının birim zamandaki değişim hızına eşittir. Halkanın alanı

0,5\text{ m}^2

ve dik yerleştiği manyetik alan

4\text{ T}

olduğuna göre ilk akı

\Phi_i = 4 \cdot 0,5 = 2\text{ Wb}

'dir. Halka alandan çıkarılınca son akı sıfır olur.

0,2\text{ s}

sürede gerçekleşen

2\text{ Wb}

'lik akı değişimi sonucunda oluşan emk büyüklüğü

\epsilon = \frac{2}{0,2} = 10\text{ V}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki manyetik akıyı hesaplama

\Phi_i = 2\text{ Wb}

Manyetik akı

\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)

formülüyle bulunur. Dik konumda olunduğu için

\Phi_i = 4 \cdot 0,5 = 2\text{ Wb}

olur.

2

Son durumdaki manyetik akıyı belirleme

\Phi_f = 0\text{ Wb}

Halka manyetik alandan tamamen uzaklaştırıldığı için içinden geçen manyetik akı sıfırlanır.

3

İndüksiyon elektromotor kuvvetini hesaplama

\epsilon = 10\text{ V}

Faraday Yasası'na göre indüksiyon emk büyüklüğü

\epsilon = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}

bağıntısıyla hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda

\epsilon = \frac{2}{0,2} = 10\text{ V}

bulunur.

Anahtar Kavram

Faraday İndüksiyon Yasası

Soru 669Soru →

Yatay ve sürtünmesiz bir buz pistinde $+x$ yönünde $15\text{ m/s}$ sabit süratle kaymakta olan $0,4\text{ kg}$ kütleli bir pak (buz hokeyi diski), bir oyuncunun sopasıyla vurması sonucu $+y$ yönünde $20\text{ m/s}$ sabit süratle hareket etmeye başlıyor. Buna göre, oyuncunun sopasıyla paka uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Oyuncunun sopasıyla paka uyguladığı itmenin büyüklüğü 10 N·s'dir.

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1

). Pakın ilk momentumu

+x

yönünde

6\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, son momentumu ise

+y

yönünde

8\text{ kg}\cdot\text{m/s}

büyüklüğündedir. Bu iki vektör birbirine dik olduğu için, fark vektörünün büyüklüğü Pisagor bağıntısı (

I = \sqrt{6^2 + 8^2}

) kullanılarak

10\text{ N}\cdot\text{s}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk momentumun hesaplanması

P_1 = 6\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(

+x

yönünde)

Momentum değişimini bulmak için öncelikle pakın ilk momentum vektörü hesaplanır.

2

Son momentumun hesaplanması

P_2 = 8\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(

+y

yönünde)

Momentum değişimini bulmak için pakın son momentum vektörü hesaplanır.

3

Momentum değişiminin (itmenin) vektörel olarak hesaplanması

\Delta P = 10\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(veya

10\text{ N}\cdot\text{s}

)

İtme, momentum değişimine eşittir (

\vec{I} = \Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1

). Birbirine dik iki vektörün farkının büyüklüğü Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi İlişkisi (İtme-Momentum Teoremi)

Soru 670Soru →

Elektriksel alanda bulunan bir $A$ noktasının elektriksel potansiyeli $20 \text{ V}$ , $B$ noktasının elektriksel potansiyeli ise $50 \text{ V}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $+0,4 \text{ C}$ 'luk noktasal bir yükü $A$ noktasından $B$ noktasına sabit hızla götürmek için elektriksel kuvvetlere karşı yapılması gereken iş kaç $\text{Joule}$ 'dür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Elektriksel kuvvetlere karşı yapılması gereken iş

12\text{ J}

'dür.

Elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş, taşınan yük ile iki nokta arasındaki potansiyel farkın çarpımına eşittir (

W = q \cdot \Delta V

). Yük A'dan B'ye taşındığı için potansiyel fark

\Delta V = V_B - V_A = 50\text{ V} - 20\text{ V} = 30\text{ V}

olur. Buradan yapılan iş

W = 0,4 \cdot 30 = 12\text{ J}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı belirlenir.

\Delta V = 30\text{ V}

Elektriksel iş, taşınan yük ile gidilen iki nokta arasındaki potansiyel farkın çarpımına eşittir. Potansiyel fark

\Delta V = V_{\text{son}} - V_{\text{ilk}} = V_B - V_A = 50\text{ V} - 20\text{ V} = 30\text{ V}

olarak bulunur.

2

Elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş hesaplanır.

W = 12\text{ J}

W = q \cdot \Delta V

formülünden,

+0,4\text{ C}

'luk yükün taşınması için yapılması gereken iş

W = 0,4\text{ C} \times 30\text{ V} = 12\text{ J}

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir yükün iki nokta arasında taşınması sırasında elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş, yük miktarı ile noktalar arasındaki potansiyel farkın çarpımına eşittir (

W = q \cdot \Delta V

).

Soru 671Soru →

Bir güneş enerjisi santralinde, panellerin tozlanması sebebiyle üretilen günlük elektrik enerjisi miktarı her gün bir önceki güne göre sabit bir oranda azalmaktadır. Bu santralde 1. gün üretilen elektrik enerjisi miktarı $640\text{ kWh}$ , 4. gün üretilen elektrik enerjisi miktarı ise $270\text{ kWh}$ olarak ölçülmüştür. Buna göre, bu santralde ilk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarı kaç $\text{kWh}$ 'tir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1480

Cevap

Santralde ilk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarı 1480 kWh'tir.

Santralin günlük elektrik üretimi geometrik bir dizi oluşturmaktadır. Birinci terimi 640 ve dördüncü terimi 270 olan bu dizinin ortak oranı 3/4'tür. İkinci terim 480 ve üçüncü terim 360 olup, ilk üç günün toplamı 1480 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tozlanma nedeniyle üretimin sabit bir oranda azalması durumunu geometrik dizi olarak modellemek amacıyla birinci günün üretimini birinci terim (

a_1 = 640

) ve dördüncü günün üretimini dördüncü terim (

a_4 = 270

) olarak belirlemek.

a_1 = 640

ve

a_4 = 270

değerleri elde edilir.

Soruda verilen günlere ait üretim miktarlarını dizinin terimleriyle ilişkilendirmek.

2

Geometrik dizinin terimleri arasındaki

a_4 = a_1 \cdot r^3

ilişkisini kullanarak dizinin ortak oranını (

r

) hesaplamak.

270 = 640 \cdot r^3 \implies r^3 = \frac{270}{640} = \frac{27}{64}

eşitliğinden her iki tarafın küp kökü alınır.

r = \frac{3}{4}

olarak bulunur.

Sonraki günlerin üretim miktarlarını hesaplayabilmek için ortak çarpanı (azalış oranını) tespit etmek.

3

Bulunan ortak oran yardımıyla 2. ve 3. günlerin üretim miktarlarını bulup ilk 3 günün toplamını hesaplamak.

a_2 = 640 \cdot \frac{3}{4} = 480\text{ kWh}

,

a_3 = 480 \cdot \frac{3}{4} = 360\text{ kWh}

değerleri hesaplanır. İlk üç günün toplamı

S_3 = 640 + 480 + 360

şeklinde toplanır.

S_3 = 1480\text{ kWh}

elde edilir.

İlk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarını bulmak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerin günlük hayattaki azalış/artış problemlerine uygulanması ve ilk n terim toplamının bulunması.

Soru 672Soru →

"KELEBEK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Buna göre, tüm E harflerinin yan yana olduğu fakat hiçbir K harfinin yan yana olmadığı kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Tüm E harflerinin yan yana olup K harflerinin yan yana olmadığı 36 farklı kelime yazılabilir.

Tüm E harfleri (EEE) şeklinde tek bir blok olarak kabul edildiğinde K, K, L, B ve (EEE) olmak üzere 5 elemanın tekrarlı permütasyonu 5! / 2! = 60'tır. Hem E hem de K harflerinin yan yana olduğu durumlar ise (KK), L, B ve (EEE) olmak üzere 4 farklı elemanın permütasyonu olan 4! = 24'tür. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında 60 - 24 = 36 farklı kelime yazılabileceği elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

E harflerini tek bir grup halinde birleştirip toplam eleman sayısını ve bu elemanların diziliş sayısını hesaplama.

E

harfleri

(EEE)

şeklinde tek eleman olarak düşünülürse dizilecek elemanlar

K, K, L, B, (EEE)

olmak üzere 5 adettir. Bu elemanların diziliş sayısı:

\frac{5!}{2!} = 60

olarak bulunur.

Tüm

E

harflerinin yan yana olması koşulunu sağlamak için onları bir bütün olarak ele almamız gerekir.

2

Hem E harflerinin hem de K harflerinin yan yana olduğu durum sayısını hesaplama.

K

harfleri de yan yana olacak şekilde

(KK)

grubu oluşturulursa dizilecek elemanlar

(KK), L, B, (EEE)

olmak üzere 4 adet olur. Bunların diziliş sayısı:

4! = 24

olarak bulunur.

K

harflerinin yan yana olduğu durumları bulup tüm durumlardan çıkarmak için bu adımı gerçekleştiririz.

3

İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarma.

60 - 24 = 36

Tüm

E

harflerinin yan yana olduğu durumlardan,

K

harflerinin de yan yana olduğu durumları çıkararak hiçbir

K

harfinin yan yana gelmediği durum sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon hesaplamalarında koşullu gruplama ve tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması.

Alternatif Yöntem

Boşluk yerleştirme (yuva) yöntemi kullanılabilir: Önce E harfleri tek bir blok (EEE) olarak alınır. K harfleri dışındaki diğer elemanlar olan L, B ve (EEE) kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde dizilir. Bu dizilişlerin oluşturduğu _ L _ B _ (EEE) _ yapısındaki 4 boşluktan 2 tanesi seçilerek buralara özdeş K harfleri yerleştirilir. Seçim C(4,2) = 6 farklı şekilde yapılır. Böylece toplam durum sayısı 3! * C(4,2) = 6 * 6 = 36 olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 673Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T(r, k)

olan

f(x) = a(x - r)^2 + k

parabolünün simetri ekseni

x = 4

doğrusudur.

Bu parabolün $y$ eksenini kestiği nokta $A(0, 6)$ 'dır. Parabolün üzerinde bulunan bir $B$ noktasının apsisi $6$ olup, $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $-1$ 'dir.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı ( $k$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -2'dir.

Simetri ekseni

x = 4

doğrusu olduğundan parabolün tepe noktasının apsisi

r = 4

'tür ve denklem

f(x) = a(x - 4)^2 + k

şeklinde kurulur. Parabolün üzerindeki

A(0, 6)

noktası denklemde yerine yazıldığında

16a + k = 6

elde edilir.

A(0, 6)

ve

B(6, y_B)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

-1

olduğundan

y_B = 0

bulunur.

B(6, 0)

noktası da parabolün üzerinde olduğundan denklemde yerine yazıldığında

4a + k = 0

bağıntısına ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

a = 1/2

ve tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri

-2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri ekseni bilgisini kullanarak parabolün tepe noktası formundaki denklemini yazma

f(x) = a(x - 4)^2 + k

Parabolün simetri ekseni

x = r

doğrusu olduğundan,

x = 4

doğrusu parabolün tepe noktasının apsisinin

r = 4

olduğunu gösterir.

2

Parabolün

y

eksenini kestiği

A(0, 6)

noktasını denklemde yerine yazarak birinci bağıntıyı elde etme

16a + k = 6

A(0, 6)

noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlamak zorundadır.

3

Eğim bilgisini kullanarak

B

noktasının ordinatını hesaplama

B(6, 0)

A(0, 6)

ve

B(6, y_B)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

-1

olarak verildiği için eğim formülünden

y_B = 0

bulunur.

4

B(6, 0)

noktasını parabol denkleminde yerine yazarak ikinci bağıntıyı elde etme

4a + k = 0

B(6, 0)

noktası parabol üzerinde olduğundan denklemde

x = 6

yazıldığında sonuç

0

olmalıdır.

5

Elde edilen denklem sistemini çözerek

k

değerini bulma

a = 1/2

ve

k = -2

16a + k = 6

ve

4a + k = 0

denklemlerinin ortak çözümünden

k

parametresi

-2

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni yardımıyla tepe noktası formunda (

f(x) = a(x-r)^2 + k

) yazılması ve parabol üzerindeki noktaların denklemde yerine yazılarak bilinmeyen katsayıların bulunması.

Alternatif Yöntem

Parabolün simetri ekseni

x = 4

olduğundan,

x = 0

apsisli

A(0, 6)

noktasının simetri eksenine göre simetriği olan

C(8, 6)

noktası da bu parabolün üzerindedir. Parabolün genel denklemi

f(x) = ax^2 + bx + c

biçiminde düşünülürse, y-keseninden dolayı

c = 6

olur. Simetri ekseni

r = -b/(2a) = 4 \implies b = -8a

bağıntısı bulunur. Buradan parabol denklemi

f(x) = ax^2 - 8ax + 6

olur. Eğim bilgisinden yola çıkarak elde edilen

B(6, 0)

noktası parabol denkleminde yerine yazılırsa:

f(6) = 36a - 48a + 6 = 0 \implies -12a = -6 \implies a = 1/2

elde edilir.

a = 1/2

ise

b = -4

olur. Tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri, parabolün tepe noktasındaki değeri olduğundan

k = f(4) = (1/2)(16) - 4(4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 674Soru →

1'den farklı

x

ve

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_2 x + \log_2 y = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

olduğuna göre,

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen denklem sisteminden taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle

u = \log_2 x

ve

v = \log_2 y

için

u+v=5

ve

u\cdot v=6

elde edilir. İstenen

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesi

6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right)

şeklinde yazılabilir.

u^2+v^2 = (u+v)^2-2uv = 25-12=13

olduğundan, ifadenin değeri

6\cdot \frac{13}{6} = 13

bulunur.

Logaritmanın taban değiştirme özelliği kullanılarak verilen denklemler ortak tabana dönüştürüldüğünde, değişkenler arasında

u+v=5

ve

uv=6

ilişkileri bulunur. İstenen ifade de taban değiştirme kuralı ile

u

ve

v

cinsinden yazıldığında, iki kare toplamı özdeşliği yardımıyla ifadenin değerinin 13 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme özelliğini uygulama

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

ve

\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y}

eşitlikleri elde edilir.

Denklemleri ortak tabanda (taban 2) ifade etmek için.

2

Değişken tanımlama

u = \log_2 x

ve

v = \log_2 y

tanımlaması ile

u + v = 5

ve

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{5}{6}

denklemleri yazılır.

Cebirsel işlemleri sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için.

3

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

u \cdot v = 6

elde edilir.

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv}

ifadesinde

u+v=5

yazılarak çarpım değerini bulmak için.

4

İstenen ifadeyi yeni değişkenler cinsinden yazma ve özdeşlik kullanma

6(\log_x y + \log_y x) = 6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right) = 6\left(\frac{(u+v)^2-2uv}{uv}\right)

elde edilir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi

u

ve

v

cinsinden ifade edip özdeşlikler yardımıyla değerini hesaplamak için.

5

Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

İfadenin değeri 13 olarak bulunur.

u+v=5

ve

uv=6

değerlerini formülde yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme Özelliği ve Özdeşlikler

Soru 675Soru →

Bir cep telefonu şarj aletinin içinde bulunan ideal bir transformatör, evlerdeki $220\text{ V}$ 'luk alternatif gerilimi telefonun şarj olması için uygun olan $5\text{ V}$ değerine düşürmektedir. Transformatörün giriş (primer) bobininin sarım sayısı $4400$ olduğuna göre, çıkış (sekonder) bobininin sarım sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Sekonder bobininin sarım sayısı

100

olmalıdır.

İdeal bir transformatörde, giriş (primer) ve çıkış (sekonder) gerilimlerinin oranı, bobinlerin sarım sayılarının oranına eşittir (

V_P / V_S = N_P / N_S

). Soruda verilen değerleri (

V_P = 220\text{ V}

,

V_S = 5\text{ V}

,

N_P = 4400

) formüle yerleştirdiğimizde;

220 / 5 = 4400 / N_S

bağıntısından

44 = 4400 / N_S

elde edilir. Bu eşitliği çözdüğümüzde sekonder bobininin sarım sayısı

N_S = 100

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Primer ve sekonder gerilimleri ile sarım sayıları arasındaki ilişkiyi belirten formülü yazın.

V_P / V_S = N_P / N_S

İdeal bir transformatörde gerilimler oranı, sarım sayıları oranı ile doğrudan orantılıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyun.

220 / 5 = 4400 / N_S

Giriş gerilimi

V_P = 220\text{ V}

, çıkış gerilimi

V_S = 5\text{ V}

ve primer sarım sayısı

N_P = 4400

olarak verilmiştir.

3

N_S değerini bulmak için gerekli matematiksel sadeleştirmeleri ve işlemleri yapın.

N_S = 100

220 / 5 = 44

olduğundan,

4400 / N_S = 44

eşitliğinden

N_S = 100

elde edilir.

Anahtar Kavram

İdeal bir transformatörün çıkış geriliminin giriş gerilimine oranı, sekonder sarım sayısının primer sarım sayısına oranına eşittir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 676Soru →

Yatay ve pürüzsüz bir masa üzerinde doğu yönünde $5\text{ m/s}$ süratle kaymakta olan $2\text{ kg}$ kütleli bir blok, masaya sabitlenmiş bir engele çarparak yön değiştiriyor. Çarpmadan hemen sonra blok, kuzey yönünde $12\text{ m/s}$ süratle hareketine devam ediyor. Buna göre, çarpışma esnasında engelin bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çarpışma esnasında engelin bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü

26\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

). Doğu yönündeki ilk momentum

\vec{p}_i = 10\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve kuzey yönündeki son momentum

\vec{p}_f = 24\text{ kg}\cdot\text{m/s}

büyüklüğündedir. Bu iki doğrultu birbirine dik olduğundan, momentum değişiminin büyüklüğü Pisagor bağıntısı (

I = \sqrt{p_i^2 + p_f^2}

) kullanılarak

\sqrt{100 + 576} = 26\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk momentumun büyüklüğünü ve yönünü hesaplama

p_i = 10\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(Doğu)

İtme hesabı için ilk çizgisel momentumun vektörel değeri gereklidir.

2

Son momentumun büyüklüğünü ve yönünü hesaplama

p_f = 24\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(Kuzey)

İtme hesabı için son çizgisel momentumun vektörel değeri gereklidir.

3

Momentum değişimini vektörel olarak ç��karma

\vec{I} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir.

4

Dik bileşenlerin bileşke büyüklüğünü Pisagor bağıntısı ile hesaplama

I = 26\text{ N}\cdot\text{s}

Doğu ve Kuzey yönleri birbirine dik olduğu için bileşke momentum değişimi Pisagor teoremi ile bulunur.

Anahtar Kavram

İtme (impulse) ve çizgisel momentum değişimi arasındaki vektörel ilişki.

Soru 677Soru →

Sürtünmelerin önemsiz olduğu bir ortamda, $2\text{ kg}$ kütleli bir cisim düşey yukarı doğru $10\text{ m/s}$ ilk hızla fırlatılıyor. Fırlatıldığı andan itibaren cisme, düşey yukarı yönde $16\text{ N}$ büyüklüğünde sabit bir dış kuvvet uygulanmaya başlanıyor. Bu kuvvet $3\text{ s}$ boyunca uygulandıktan sonra kaldırılıyor.

Buna göre, cismin fırlatıldığı andan itibaren ulaşabileceği en yüksek noktaya varıncaya kadar geçen sürede, yer çekimi kuvvetinin cisme uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?
( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 68

Cevap

Yer çekimi kuvvetinin cisme uyguladığı itmenin büyüklüğü

68\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

İtme-momentum teoremine göre bir cisme etki eden net itme, cismin çizgisel momentumundaki değişime eşittir (

\vec{I}_{\text{net}} = \Delta\vec{P}

). Cismin ilk hızı düşey yukarı yönde

10\text{ m/s}

olduğundan ilk çizgisel momentumu yukarı yönde

P_{\text{ilk}} = m \cdot v_0 = 2 \cdot 10 = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olur. En yüksek noktada hız sıfır olduğundan son çizgisel momentumu

P_{\text{son}} = 0

'dır. Momentumdaki değişim

\Delta P = P_{\text{son}} - P_{\text{ilk}} = -20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olarak hesaplanır. Cisme etki eden net itme, uygulanan dış kuvvetin itmesi (

I_F

) ile yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmenin (

I_g

) toplamıdır. Dış kuvvet yukarı yönde

16\text{ N}

olup

3\text{ s}

uygulandığı için uyguladığı itme

I_F = +48\text{ N}\cdot\text{s}

'dir. Buradan

-20 = 48 + I_g

yazıldığında yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itme

I_g = -68\text{ N}\cdot\text{s}

olarak bulunur. Bu itmenin büyüklüğü ise

68\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Cismin başlangıçtaki ve en yüksek noktadaki çizgisel momentum değerlerini belirlemek

P_{\text{ilk}} = +20\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(düşey yukarı yön pozitif kabul edilmiştir) ve

P_{\text{son}} = 0

İtme-momentum teoremine göre toplam momentum değişimini bulmak için ilk ve son çizgisel momentum değerlerine ihtiyaç vardır.

2

Cismin maruz kaldığı toplam net itmeyi hesaplamak

I_{\text{net}} = \Delta P = P_{\text{son}} - P_{\text{ilk}} = -20\text{ N}\cdot\text{s}

Cismin çizgisel momentumundaki değişim, cisme etki eden net itmeye eşittir.

3

Düşey yukarı yönde uygulanan dış kuvvetin itmesini hesaplamak

I_F = F \cdot \Delta t = (+16\text{ N}) \cdot 3\text{ s} = +48\text{ N}\cdot\text{s}

Dış kuvvet sabit olup sadece ilk

3\text{ s}

boyunca etki etmektedir.

4

Yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmeyi ve bu itmenin büyüklüğünü bulmak

I_g = -68\text{ N}\cdot\text{s}

olup büyüklüğü

68\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Net itme, dış kuvvetin itmesi ile yer çekimi kuvvetinin itmesinin toplamına eşittir (

I_{\text{net}} = I_F + I_g

).

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi İlişkisi (İtme-Momentum Teoremi)

Soru 678Soru →

Bir kahve dükkanında bir gün boyunca sipariş veren $55$ müşterinin tercih ettikleri kahve türü (sıcak veya soğuk) ile ödeme yöntemi (nakit veya kredi kartı) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Ödeme Yöntemi	Sıcak Kahve	Soğuk Kahve
Nakit	$15$	$10$
Kredi Kartı	$12$	$18$

Bu müşteriler arasından rastgele seçilen birinin kredi kartı ile ödeme yaptığı bilindiğine göre, bu kişinin soğuk kahve sipariş etmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Seçilen müşterinin soğuk kahve sipariş etmiş olma olasılığı \frac{3}{5} (veya 0,6) olarak bulunur.

Kredi kartı ile ödeme yapan

30

kişi arasından soğuk kahve sipariş eden

18

kişi seçileceğinden koşullu olasılık

\frac{18}{30} = \frac{3}{5}

(yani

0,6

) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kredi kartı ile ödeme yapan toplam müşteri sayısını bulunuz.

30

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre kısıtlanır. Burada koşul, müşterinin kredi kartı ile ödeme yapmış olmasıdır.

2

Kredi kartı ile ödeme yapanlar arasından soğuk kahve sipariş edenlerin sayısını bulunuz.

18

İstenen olayın (soğuk kahve siparişi) bu kısıtlanmış örnek uzay içindeki eleman sayısı belirlenmelidir.

3

Kısıtlanmış örnek uzaydaki istenen durum sayısını, kısıtlanmış örnek uzayın toplam eleman sayısına oranlayınız.

\frac{18}{30} = \frac{3}{5}

Koşullu olasılık formülü

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 679Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^2 - 6x + m

g(x) = -x^2 - 2x + n

parabollerinin tepe noktaları sırasıyla

T_1

ve

T_2

noktalarıdır.

$T_1$ ve $T_2$ noktaları $y = x$ doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, $m + n$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

m + n toplamının değeri 10'dur.

Doğru sonuca ulaşmak için parabollerin tepe noktalarının koordinatları

T(r, k)

formülü kullanılarak

T_1(3, m-9)

ve

T_2(-1, n+1)

olarak belirlenir.

y = x

doğrusuna göre simetri kuralı gereği koordinatlar yer değiştireceğinden

m-9 = -1

ve

n+1 = 3

eşitliklerinden

m = 8

ve

n = 2

elde edilir. Bu değerlerin toplamı olan 10 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 6x + m

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

T_1(3, m - 9)

Tepe noktasının apsisi

r_1 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3

olur. Ordinatı ise

k_1 = f(3) = 3^2 - 6(3) + m = m - 9

olarak bulunur.

2

g(x) = -x^2 - 2x + n

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

T_2(-1, n + 1)

Tepe noktasının apsisi

r_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1

olur. Ordinatı ise

k_2 = g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + n = n + 1

olarak bulunur.

3

T_1

ve

T_2

noktalarının

y = x

doğrusuna göre simetrik olması özelliğini kullanarak

m

ve

n

değerlerini hesaplamak.

m = 8

,

n = 2

ve

m + n = 10

Analitik düzlemde bir

A(a, b)

noktasının

y = x

doğrusuna göre simetriği

B(b, a)

noktasıdır. Buna göre,

T_1(3, m - 9)

noktasının simetriği olan

(m - 9, 3)

noktası

T_2(-1, n + 1)

noktasına eşit olmalıdır. Buradan

m - 9 = -1 \implies m = 8

ve

n + 1 = 3 \implies n = 2

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

m + n = 8 + 2 = 10

olur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatlarının hesabı ve analitik düzlemde

y = x

doğrusuna göre simetri ilişkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 680Soru →

Bir hasta, tedavisi için her günün başında vücuduna $64\text{ mg}$ etken madde içeren bir ilaç almaktadır. Vücuttaki bu etken maddenin her günün sonunda yarısı ( $\%50$ 'si) parçalanarak vücuttan atılmaktadır.

Buna göre, hastanın 5. günün başında (5. dozu aldıktan hemen sonra) vücudunda bulunan toplam etken madde miktarı kaç miligramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

Hastanın 5. gün��n başında vücudunda biriken toplam etken madde miktarı 124 miligramdır.

Hastanın her gün aldığı doz ve vücutta kalan miktar geometrik bir dizi toplamı oluşturur. 5. günün başındaki toplam miktar, ilk terimi

64

ve ortak çarpanı

\frac{1}{2}

olan geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamına eşit olup

124\text{ mg}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk günün başlangıcındaki ve sonundaki ilaç miktarlarını belirlemek.

1. günün başında vücutta

64\text{ mg}

etken madde vardır ve günün sonunda bunun yarısı olan

32\text{ mg}

kalır.

Dizinin başlangıç terimini ve bir sonraki güne devreden miktarı hesaplamak için gereklidir.

2

Günlük birikimleri ardışık olarak hesaplamak.

2. gün��n başında

64 + 32 = 96\text{ mg}

olur ve günün sonunda yarısı (

48\text{ mg}

) kalır. 3. günün başında

64 + 48 = 112\text{ mg}

olur ve günün sonunda yarısı (

56\text{ mg}

) kalır. 4. günün başında

64 + 56 = 120\text{ mg}

olur ve günün sonunda yarısı (

60\text{ mg}

) kalır. 5. günün başında ise

64 + 60 = 124\text{ mg}

olur.

Her gün başında yeni doz eklendiği ve her gün sonunda yarıya düştüğü için bu süreç tekrarlanır.

3

Geometrik seri toplamı formülüyle sonucu doğrulamak.

a_n = 64 \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2}

formülünde

n = 5

yazılarak

a_5 = 128 \cdot (1 - 1/32) = 124\text{ mg}

bulunur.

Sürecin geometrik bir seri toplamı olduğunu matematiksel olarak doğrulamak için kullanılır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizi ve Problemleri (Geometrik Seri Toplamı)

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap