Tüm alıştırma soruları

Soru 8441Soru →

f(x) = \log_{5}\left(\frac{x - 3}{9 - x}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

30

33

42

24

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 30'dur.

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Verilen fonksiyonda taban 5 olup bu şartları sağlar. Logaritmanın içinin pozitif olması koşuluyla \frac{x-3}{9-x} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi (3, 9) açık aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (4, 5, 6, 7, 8) toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma fonksiyonunun tanım şartları belirlenir.

Taban 5 sayısı olduğundan taban şartı (

5 > 0

ve

5 \neq 1

) sağlanmaktadır. Bu durumda yalnızca logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması yani

\frac{x-3}{9-x} > 0

şartı incelenmelidir.

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Eşitsizliğin kökleri bulunur.

Payın kökü

x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

ve paydanın kökü

9 - x = 0 \Rightarrow x = 9

olarak bulunur.

İşaret tablosu oluşturmak için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerinin bulunması gerekir.

3

İşaret tablosu oluşturulur ve eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenir.

Payın en yüksek dereceli teriminin işareti pozitif (+), paydanın en yüksek dereceli teriminin işareti negatiftir (-). Oranları negatif (-) olduğundan tablonun en sağından eksi (-) işareti ile başlanır. Köklerden geçerken işaret değiştirilerek tablo tamamlanır:

x < 3

için (-),

3 < x < 9

için (+),

x > 9

için (-) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (3, 9) açık aralığıdır.

Eşitsizliğin pozitif olduğu aralığı bulmak için işaret incelemesi yapılmalıdır.

4

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.

(3, 9) açık aralığındaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

olarak bulunur.

Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı değerine ulaşmak için bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın (logaritmanın içinin) ise sıfırdan büyük olması şartları birlikte sağlanmalıdır.

Soru 8442Soru →

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede yer alan bir $P$ noktasından çembere teğet olan doğru, koordinat eksenlerini sırasıyla $A(x_1, 0)$ ve $B(0, y_1)$ noktalarında kesmektedir. $OP$ doğru parçasının $x$ -ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı $\alpha$ olduğuna göre, köşeleri orijin, $A$ ve $B$ noktaları olan $AOB$ üçgeninin alanının $\alpha$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

-\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2}

\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2}

-\frac{\tan\alpha\cot\alpha}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}$

Cevap

AOB üçgeninin alanının

\alpha

türünden eşiti

-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

ifadesidir.

İkinci bölgedeki

P(\cos\alpha, \sin\alpha)

noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi

x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1

dir. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar

A(\sec\alpha, 0)

ve

B(0, \csc\alpha)

dır. İkinci bölgede

\cos\alpha

negatif,

\sin\alpha

pozitif olduğundan

|OA| = -\sec\alpha

ve

|OB| = \csc\alpha

uzunlukları elde edilir.

AOB

dik üçgeninin alanı ise dik kenarların çarpımının yarısı olan

-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

ifadesine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birim çember üzerindeki

P

noktasının koordinatlarını belirlemek.

P

noktasının koordinatları

(\cos\alpha, \sin\alpha)

olur.

Teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemini kurmak.

2

P

noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazmak ve eksenleri kestiği noktaları bulmak.

Teğet doğrusunun denklemi

x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1

şeklindedir.

y=0

için

A(\sec\alpha, 0)

ve

x=0

için

B(0, \csc\alpha)

elde edilir.

Üçgenin dik kenarlarının koordinatlarını belirlemek.

3

Eksenlerin kesişimiyle oluşan

AOB

üçgeninin alanını hesaplamak.

\alpha

açısı ikinci bölgede yer aldığından

\cos\alpha < 0

ve

\sin\alpha > 0

dır. Buradan

|OA| = -\frac{1}{\cos\alpha}

ve

|OB| = \frac{1}{\sin\alpha}

elde edilir. Alan =

\frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = -\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

bulunur.

Uzunlukların pozitif olması zorunluluğunu göz önüne alarak dik üçgenin alan formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik temsilleri ve teğet doğrularının geometrik uygulamaları.

Soru 8443Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralanışı

b < c < a

şeklindedir.

Verilen trigonometrik ifadeler indirgendiğinde

a = -\cos(40^\circ)

,

b = -\cos(20^\circ)

ve

c = -\tan(40^\circ)

elde edilir. Birinci bölgede

\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) > 0

olduğu bilinmektedir. Negatif işaretli bu değerlerin sıralaması tersine döneceğinden en küçük değer

b

, ortanca değer

c

ve en büyük değer

a

olur.

Adım Adım Çözüm

1

a = \cos(220^\circ)

ifadesinin bölgesini belirleyip birinci bölgedeki karşılığını bulunuz.

220^\circ

açısı III. bölgededir. Bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan

a = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ)

elde edilir.

Karşılaştırma yapabilmek amacıyla tüm açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek gerekir.

2

b = \sin\left(-\frac{7\pi}{18}\right)

ifadesinin esas ölçüsünü bularak veya tek fonksiyon özelliğini kullanarak birinci bölgeye indirgeyiniz.

-\frac{7\pi}{18} = -70^\circ

açısı için sinüs fonksiyonunun tekliği kullanıldığında

\sin(-70^\circ) = -\sin(70^\circ)

olur. Birbirini

90^\circ

'ye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri eşit olduğundan

b = -\cos(20^\circ)

bulunur.

Farklı trigonometrik fonksiyonları kıyaslarken aynı cinsten (örneğin kosinüs cinsinden) yazmak sıralamayı kolaylaştırır.

3

c = \tan(1220^\circ)

ifadesinin esas ölçüsünü bulup birinci bölgeye indirgeyiniz.

1220^\circ

açısının

360^\circ

ile bölümünden kalan

140^\circ

'dir.

140^\circ

açısı II. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant negatiftir. Buradan

c = \tan(140^\circ) = \tan(180^\circ - 40^\circ) = -\tan(40^\circ)

elde edilir.

360^\circ

'den büyük açıların birim çember üzerindeki konumunu belirlemek için esas ölçü kullanılır.

4

Elde edilen birinci bölgedeki değerleri mutlak değerlerine göre karşılaştırıp ardından negatif sıralamasını yapınız.

Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalandır, dolayısıyla

\cos(20^\circ) > \cos(40^\circ)

olur.
Tanjant değeri için

\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)}

ifadesinde

\sin(40^\circ) > \cos^2(40^\circ)

olduğundan

\tan(40^\circ) > \cos(40^\circ)

bulunur. Ayrıca

\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ)

'dir.
Böylece mutlak değerce sıralama

0 < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \cos(20^\circ)

şeklindedir.
İfadeler negatif olduğundan sıralama yön değiştirir:

-\cos(20^\circ) < -\tan(40^\circ) < -\cos(40^\circ)

yani

b < c < a

bulunur.

Negatif gerçel sayılarda mutlak değerce büyük olan sayı sıfırdan daha uzak olduğundan daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre indirgenmesi ve sıralanması

Soru 8444Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği, $x$ -eksenini yalnızca apsisleri $-8$ , $-2$ , $1$ ve $4$ olan noktalarda kesmektedir.

Buna göre, $g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right)$ ve $h(x) = f(2x)$ fonksiyonlarının grafiklerinin $x$ -eksenini kestiği ortak noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Ortak noktaların apsisleri toplamı

-2

olur.

Grafiğin yatay esnetilmesi ve sıkıştırılması kurallarına göre;

g(x) = f(x/2)

fonksiyonunun kökleri

f(x)

'in köklerinin 2 katı (

\{-16, -4, 2, 8\}

),

h(x) = f(2x)

fonksiyonunun kökleri ise

f(x)

'in köklerinin yarısı (

\{-4, -1, 0.5, 2\}

) olur. Bu iki kümenin kesişiminde yer alan ortak elemanlar

-4

ve

2

olduğundan, toplamları

-2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-8, -2, 1, 4\}

Bir fonksiyonun grafiğinin

x

-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerini sıfır yapan kök değerleridir.

2

g(x) = f(x/2) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-16, -4, 2, 8\}

g(x) = 0 \Rightarrow f(x/2) = 0

olduğundan,

x/2

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay esnetmeye karşılık gelir.

3

h(x) = f(2x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-4, -1, 0.5, 2\}

h(x) = 0 \Rightarrow f(2x) = 0

olduğundan,

2x

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay sıkıştırmaya karşılık gelir.

4

Ortak kökleri bulup toplamak

Ortak kökler:

-4

ve

2

. Toplamları:

-2

İki grafiğin

x

-eksenini kestiği ortak noktalar, her iki kök kümesinde de bulunan ortak apsis değerleridir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay eksende esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların apsislerinin değişim kuralları.

Soru 8445Soru →

\begin{aligned} 2x^2 - xy - 3y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x ve y koordinatlarının çarpımının alabileceği en küçük değer -4'tür.

İlk denklem çarpanlarına ayrılarak

x = -y

ve

x = 1.5y

elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, gerçel çözümlerden elde edilen

x \cdot y

çarpım değerleri

-1

,

-4

ve bazı pozitif değerler olur. Bu değerlerin en küçüğü -4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

İlk denklemi çarpanlarına ayırmak

x = -y

veya

x = \frac{3}{2}y

elde edilmesi

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli denklemlere indirgemek için değişkenler arasındaki ilişkileri bulmak.

2

x = -y

doğrusu üzerindeki çözümleri bulmak

(-1, 1)

ve

(2, -2)

çözümlerinin bulunması

Bulunan ilk doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazarak bu doğru üzerindeki kesim noktalarını elde etmek.

3

x = \frac{3}{2}y

doğrusu üzerindeki çözümlerin durumunu incelemek

Çözümlerin gerçel olduğu ve koordinatlar çarpımının pozitif olduğunun belirlenmesi

Diğer doğrusal ilişkiden gelecek çözümlerin gerçel olup olmadığını ve koordinatlar çarpımının değer aralığını kontrol etmek.

4

Elde edilen çarpım değerlerini karşılaştırarak en küçüğünü seçmek

En küçük değerin -4 olarak bulunması

Soru kökünde istenen minimum çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma yöntemi ve yerine koyma metodunun uygulanması.

Soru 8446Soru →

f(x) = \left(\frac{m+2}{10-m}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, $m$ 'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

5

6

9

35

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Azalan üstel fonksiyon tanımına göre taban

0

ile

1

arasında olmalıdır. Buradan elde edilen

-2 < m < 4

aralığındaki tam sayıların toplamı

5

olur.

Azalan bir üstel fonksiyonun tabanı

0

ile

1

arasında yer almalıdır.

0 < \frac{m+2}{10-m} < 1

eşitsizlik zincirinden

m

için

-2 < m < 4

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı

5

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Üstel fonksiyonun azalan olması için gerekli koşulun belirlenmesi

f(x) = b^x

biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanın

0 < b < 1

koşulunu sağlaması gerekir. Bu soruda taban

b = \frac{m+2}{10-m}

olduğundan,

0 < \frac{m+2}{10-m} < 1

eşitsizlik sistemi kurulur.

Üstel fonksiyonların genel tanımı ve artanlık/azalanlık özelliklerinin doğrudan bir sonucudur.

2

Tabanın pozitif olması koşulunun çözülmesi

\frac{m+2}{10-m} > 0

eşitsizliğinde kökler

m = -2

ve

m = 10

'dur. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin pozitif olduğu aralık

(-2, 10)

olarak bulunur.

Tabanın pozitif bir gerçel sayı olması üstel fonksiyon tanımlanabilmesi için zorunludur.

3

Tabanın

1

'den küçük olması koşulunun çözülmesi

m \in (-2, 10)

aralığında

10-m > 0

olduğundan,

\frac{m+2}{10-m} < 1

eşitsizliğinde her iki taraf

10-m

ile çarpılabilir:

m + 2 < 10 - m \implies 2m < 8 \implies m < 4

elde edilir.

Fonksiyonun azalanlık özelliğini sağlayan üst sınırı belirlemek için bu eşitsizlik çözülmelidir.

4

Koşulların kesişiminin alınması ve tam sayıların toplanması

Her iki koşulu da sağlayan aralık

(-2, 10) \cap (-\infty, 4) = (-2, 4)

aralığıdır. Bu aralıktaki

m

tam sayıları

-1, 0, 1, 2, 3

olup, toplamları:

(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5

bulunur.

Soruda istenen

m

tam sayılarının toplamını bulmak için elde edilen ortak çözüm kümesindeki değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif gerçel sayı ve 1'den farklı olması (

b > 0, b \neq 1

) ile azalanlık durumunda tabanın 1'den küçük olması (

0 < b < 1

) kuralı.

Soru 8447Soru →

İlk Çağ'da Mezopotamya’da Fırat ve Dicle nehirlerinin düzensiz taşkınları ve dı�� istilalara açık coğrafi yapısı, bölgede uzun süre kalıcı ve tek bir merkezi otoritenin kurulmasını zorlaştırmış; bu durum şehir devletlerinin (siteler) uzun süre varlığını korumasına zemin hazırlamıştır. Buna karşılık, etrafı çöllerle ve denizlerle çevrili, dış istilalara kapalı Mısır coğrafyasında Nil Nehri’nin düzenli taşma zamanlarının hesaplanması ve tarımsal faaliyetlerin koordinasyonu, firavun adı verilen tek bir merkezî gücün tüm ülkeye mutlak şekilde hâkim olmasını kolaylaştırmıştır.

Bu bilgilere dayanarak, İlk Çağ siyasi güç merkezlerinin oluşumu ve yönetim yapılarıyla ilgili aşağıdaki çıkarımlardan hangisine ulaşılabilir?

Mezopotamya medeniyetleri, tarımsal üretimin yetersiz olması nedeniyle güçlü bir merkezi krallık etrafında birleşememişlerdir.

Mısır'da firavunların mutlak otorite kurması, ülke genelinde feodal yönetimlerin ve yerel güç odaklarının ortaya çıkmasına yol açmıştır.

Coğrafi faktörler ve çevresel koşullar, medeniyetlerin siyasi örgütlenme biçimleri ve merkeziyetçilik düzeyleri üzerinde belirleyici olmuştur.

Şehir devletleri halinde örgütlenen siyasi yapılarda kanunlar, merkezi imparatorluklara kıyasla daha insancıl ve tazminata dayalıdır.

Doğal sınırlarla korunmayan ve dış istilalara açık olan bölgeler, siyasi istikrarı sağlamak amacıyla demokratik yönetim sistemlerini benimsemişlerdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Coğrafi faktörler ve çevresel koşullar, medeniyetlerin siyasi örgütlenme biçimleri ve merkeziyetçilik düzeyleri üzerinde belirleyici olmuştur.

Cevap

Coğrafi faktörler ve çevresel koşullar, medeniyetlerin siyasi örgütlenme biçimleri ve merkeziyetçilik düzeyleri üzerinde belirleyici olmuştur.

Coğrafi faktörler ve çevresel koşullar, medeniyetlerin siyasi örgütlenme biçimleri ve merkeziyetçilik düzeyleri üzerinde belirleyici olmuştur seçeneği doğrudur; çünkü paragrafta Mezopotamya ve Mısır'ın farklı coğrafi özellikleri (nehir taşkınları, doğal sınırlar, istilaya açıklık) ile bu bölgelerdeki farklı siyasi örgütlenmeler (şehir devletleri vs. merkezi monarşi) arasındaki doğrudan ilişki vurgulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Paragraftaki coğrafi özellikler ile siyasi yapılar arasındaki ilişkiyi analiz etmek.

Mezopotamya'nın düzensiz nehir taşkınları ve dışa açık coğrafyasının şehir devletlerini koruduğu; Mısır'ın ise dışa kapalı yapısı ve Nil'in düzenli taşkınlarının merkezi otoriteyi (firavun) kolaylaştırdığı belirlenmiştir.

Soruda verilen bilgilerin hangi genel yargıyı desteklediğini bulmak için coğrafya ile siyaset arasındaki neden-sonuç bağını kurmak gerekir.

2

Seçenekleri analiz ederek yanlış olanları elemek.

Tarımsal yetersizlik, feodal yönetimlerin kurulması, hukuk kurallarının niteliği veya demokratik sistemlerin benimsenmesi gibi yargıların metindeki bilgilerle çeliştiği ya da metinden çıkarılamayacağı görülmüştür.

Çıkarım sorularında metnin doğrudan desteklemediği veya tarihsel gerçeklerle uyuşmayan bilgileri içeren seçeneklerin elenmesi gerekir.

3

Doğru seçeneği belirlemek.

Coğrafi faktörlerin siyasi örgütlenmeyi ve merkeziyetçilik düzeyini belirlediğini ifade eden seçeneğin en kapsamlı ve doğru çıkarım olduğu tespit edilmiştir.

Metindeki ana düşünce, coğrafi şartların siyasi gücün şekillenmesindeki doğrudan etkisidir.

Anahtar Kavram

İlk Çağ medeniyet havzalarındaki coğrafi faktörlerin siyasi örgütlenme ve yönetim biçimleri üzerindeki belirleyici etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8448Soru →

Genel terimi

a_n = \frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1}

olan gerçel sayı dizisinin, değeri

0

olan teriminin indisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Değeri 0 olan terimin indisi 5'tir.

Dizinin genel terimini sıfır yapan denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden pozitif tam sayı olan tek değer 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin genel terimini sıfıra eşitlemek

\frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1} = 0

Değeri 0 olan terimi bulmak için genel terim 0'a eşitlenir.

2

Elde edilen rasyonel denklemi çözmek

n^2 - 3n - 10 = 0 \Rightarrow (n - 5)(n + 2) = 0 \Rightarrow n = 5 \text{ veya } n = -2

Bir rasyonel ifadenin sıfır olabilmesi için payının sıfır olması gerekir.

3

Bulunan köklerin dizi tanım kümesine uygunluğunu incelemek

n = 5

değeri pozitif bir tam sayıdır (

5 \in \mathbb{Z}^+

),

-2

değeri ise pozitif tam sayı değildir.

Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır. Bu nedenle sadece pozitif tam sayı olan kök indis olarak kabul edilebilir.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi ve genel terim özellikleri

Soru 8449Soru →

a + b = \frac{\pi}{3}

olmak üzere,

(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b))

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen

a+b=\frac{\pi}{3}

toplamından elde edilen

\tan(a)+\tan(b) = \sqrt{3}(1-\tan(a)\tan(b))

ilişkisi, çarpım ifadesi açıldığında yerine yazıldığında değişken terimler sadeleşmekte ve ifadenin değeri 4 olarak bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

a + b = \frac{\pi}{3}

eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alınarak

\tan(a+b) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)

değeri bulunur.

\tan(a + b) = \sqrt{3}

Toplam formülünü uygulayabilmek için verilen açı toplamının tanjant değeri belirlenir.

2

Tanjant toplam formülü

\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}

eşitliğinde adım 1'de bulunan değer yerine yazılır ve içler dışlar çarpımı yapılır.

\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))

İki açının tanjantları toplamı ile çarpımı arasındaki cebirsel ilişki elde edilir.

3

Soruda sorulan

(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b))

çarpım ifadesi dağıtılarak açılır.

1 + \sqrt{3}(\tan(a) + \tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b)

Çarpım durumundaki ifadeyi sadeleştirebilmek için terimler tek tek çarpılır.

4

Adım 2'de elde edilen

\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))

eşitliği, adım 3'te açılan ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.

1 + \sqrt{3}\left[\sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))\right] + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3(1 - \tan(a)\tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3 - 3\tan(a)\tan(b) + 3\tan(a)\tan(b) = 4

Değişken terimlerin birbirini sadeleştirmesiyle sabit sayısal sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri

Alternatif Yöntem

a

ve

b

değerleri toplamı

\frac{\pi}{3}

(

60^\circ

) olacak şekilde herhangi iki özel açı seçilerek de sonuç bulunabilir. Örneğin,

a = 30^circ

(yani

\frac{\pi}{6}

) ve

b = 30^\circ

seçilirse;

\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}

olur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa:

(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}})(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) = (1 + 1)(1 + 1) = 4

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8450Soru →

Bir ses kaynağının ses gücü düzeyi $L$ desibel (dB) cinsinden,

L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülüyle hesaplanır. Burada $I$ ses şiddetini ( $\text{W/m}^2$ ), $I_0$ ise eşik ses şiddeti olan $10^{-12} \text{ W/m}^2$ değerini temsil etmektedir.

Buna g��re, ses şiddeti $I = 10^{-8} \text{ W/m}^2$ olan bir ses kaynağının ses gücü düzeyi kaç desibeldir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Ses şiddeti

10^{-8} \text{ W/m}^2

olan ses kaynağının ses gücü düzeyi

40

desibeldir.

Ses şiddeti

10^{-8} \text{ W/m}^2

ve eşik ses şiddeti

10^{-12} \text{ W/m}^2

değerleri desibel formülünde yerine konulduğunda logaritma içindeki oran

10^4

olur. 10 tabanında

10^4

sayısı 4'e eşittir. Bu değer 10 katsayısı ile çarpıldığında ses gücü düzeyi

40

desibel olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri ses gücü düzeyi formülünde yerine koymak

L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{10^{-8}}{10^{-12}}\right)

Ses gücü düzeyini hesaplamak amacıyla formüldeki

I

ve

I_0

değişkenlerine verilen sayısal değerleri yerleştiririz.

2

Oranlama işlemini üslü sayı bölme kuralına göre sadeleştirmek

\frac{10^{-8}}{10^{-12}} = 10^{-8 - (-12)} = 10^4

Pay ve paydanın tabanları 10 olduğu için payın üssünden paydan��n üssü çıkarılarak sadeleştirme yapılır.

3

10 tabanındaki logaritma işlemini çözmek

\log_{10}(10^4) = 4

\log_a(a^n) = n

kuralı gereğince

\log_{10}(10^4)

ifadesinin eşiti

4

'tür.

4

Logaritma sonucunu formüldeki katsayı ile çarparak nihai sonuca ulaşmak

L = 10 \cdot 4 = 40

Bulunan logaritma değeri desibel katsayısı olan 10 ile çarpılarak nihai ses gücü düzeyine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat problemlerinde uygulanması

Soru 8451Soru →

Bir

ABC

üçgeninin iç açılarından iki tanesi

A

ve

B

olmak üzere,

\tan(A) = 2

\tan(B) = 3

olduğuna göre,

C

iç açısının kotanjant değeri olan

\cot(C)

kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

C açısının kotanjant değeri 1'dir.

Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisinden

C = 180^\circ - (A+B)

yazılır. İkinci bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatif olduğundan

\tan(C) = -\tan(A+B)

olur. Tanjant toplam formülü kullanılarak

\tan(A+B) = \frac{2+3}{1-2\cdot3} = -1

bulunur. Buradan

\tan(C) = 1

elde edilir. Tanjant ile kotanjantın çarpımsal terslik ilişkisinden

\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)} = 1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kurma

C = 180^\circ - (A+B)

Bir üçgenin iç açıların��n toplamı her zaman

180^\circ

olduğundan

A, B

ve

C

açıları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Tanjant toplam formülünü yazma ve değerleri yerine koyma

\tan(A+B) = -1

\tan(A+B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)}

formülünde

\tan(A) = 2

ve

\tan(B) = 3

yazılır.

3

C açısının tanjantını bulma

\tan(C) = 1

\tan(C) = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)

indirgeme kuralı uygulanır.

4

C açısının kotanjantını hesaplama

\cot(C) = 1

Kotanjant ve tanjant arasındaki

\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)}

ilişkisi kullanılır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı ve bütünler açıların trigonometrik oranları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8452Soru →

Aşağıda Türkiye'deki bazı tarımsal yöreler/projeler ile bu alanlarda öne çıkan tarım yöntemleri ve ürün dağılış özellikleri verilmiştir. Bu yöreleri ilgili tarımsal özellikleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Konya Ovası Projesi (KOP) Sahası ile sulama sonucu nadasın azalması; Doğu Karadeniz ile düzenli yağış sayesinde nadasın olmaması ve çay/fındık tarımı; Çukurova Deltası ile entansif yöntemlerle yılda birden fazla ürün ve pamuk/soya üretimi; Ergene Havzası ile karasal alanda ayçiçeği/buğday ve nehir boylarında çeltik üretimi eşleşmektedir.

Eşleştirmede KOP Sahası'nda sulamanın artmasıyla nadasın azalıp şeker pancarı/mısır tarımının gelişmesi; Doğu Karadeniz kıyısında düzenli yağışla nadasın olmaması ve çay/fındık tarımı; Çukurova'da entansif tarımla yılda birden fazla ürün alınabilmesi; Ergene Havzası'nda ise karasal buğday/ayçiçeği tarımı ile akarsu boylarında çeltik üretimi yer alır.

Adım Adım Çözüm

1

Konya Ovası Projesi (KOP) sulama yatırımlarının tarımsal yöntemlere ve ürün çeşidine etkisini analiz etmek.

Sulama sayesinde nadas alanlarının azaldığı, şeker pancarı ve mısır gibi suya bağımlı ürünlerin üretiminin arttığı tespit edilir.

KOP, İç Anadolu'daki yarı kuraklığın getirdiği sınırlamaları aşarak sulu tarıma geçilmesini sağlamıştır.

2

Doğu Karadeniz Kıyı Kuşağı'nın iklim ve tarım yöntemi ilişkisini incelemek.

Yıl boyu nemli iklimden dolayı nadasa gerek kalmadığı, nem ve kış ılıklığı isteyen çay ve fındık tarımının baskın olduğu görülür.

Düzenli yağış rejimi nadas tarımını doğrudan engeller.

3

Çukurova Deltası'ndaki tarımsal verimlilik ve yöntem özelliklerini değerlendirmek.

Akdeniz iklimi ve alüvyal topraklar sayesinde entansif tarım yapıldığı ve pamuk, soya, narenciye gibi katma değerli ürünlerden yılda birden fazla hasat alındığı belirlenir.

Delta ovaları yüksek tarımsal potansiyel ve modern tarım yöntemlerinin (entansif) uygulanması için en elverişli alanlardır.

4

Ergene Havzası'ndaki iklimsel sınırlılıklar ile akarsu varlığının tarıma etkisini eşleştirmek.

Karasal iklimde nadasa da yer verilerek buğday ve ayçiçeği üretilirken, Meriç ve Ergene akarsuları çevresinde sulamayla çeltik yetiştirildiği saptanır.

Ergene'deki akarsu boyları çeltik (pirinç) üretimi için gerekli su kaynağını sağlar.

Anahtar Kavram

Türkiye'de tarım yöntemleri, iklim ve yer şekillerinin tarımsal faaliyetlere etkisi ile tarım ürünlerinin coğrafi dağılışı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8453Soru →

I. Haçlı Seferi sırasında başkent İznik'in kaybedilmesi üzerine Türkiye Selçuklu Sultanı I. Kılıç Arslan, devletin merkezini Konya'ya taşımış ve Haçlılara karşı mücadeleye buradan devam etmiştir.

Bu bilgiye göre, Haçlı Seferleri'nin Türkiye Selçuklu Devleti üzerindeki en doğrudan etkisi aşağıdakilerden hangisidir?

Anadolu'da kurulan Haçlı devletleriyle birlikte güçlü ve merkeziyetçi krallıkların egemen olması

Türk-İslam dünyasındaki atabeyliklerin ayaklanarak Selçuklu merkezi otoritesini tamamen yıkmas��

Türkiye Selçuklu Devleti'nin siyasi ve idari merkezinin değişmesi

Anadolu'daki Türk varlığının tamamen ve kesin olarak ortadan kalkması

Anadolu halkları arasında milliyetçi ayaklanmaların yaygınlaşması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Türkiye Selçuklu Devleti'nin siyasi ve idari merkezinin değişmesi

Cevap

Türkiye Selçuklu Devleti'nin siyasi ve idari merkezinin değişmesi

Türkiye Selçuklu Devleti'nin başkentini İznik'ten Konya'ya taşıması, devletin yönetim merkezinin (siyasi ve idari merkezinin) değiştiğini gösteren en doğrudan gelişmedir.

Adım Adım Çözüm

1

Öncüldeki temel tarihi olayı tespit etmek.

I. Haçlı Seferi sırasında başkentin İznik'ten Konya'ya taşındığı bilgisine ulaşılır.

Soruda verilen gelişmenin niteliğini belirlemek.

2

Başkent değişikliğinin devlet teşkilatındaki karşılığını analiz etmek.

Bir devletin başkentini taşıması, siyasi ve idari yönetim merkezinin değiştiği anlamına gelir.

Tarihsel kavramlarla olaylar arasında ilişki kurmak.

3

Çeldirici seçenekleri eleyerek doğru sonuca ulaşmak.

Feodalizm yanılgısı, olay-olgu karışıklığı ve anakronizm içeren seçenekler elenerek doğru seçenek doğrulanır.

Seçeneklerin kavramsal ve mantıksal tutarlılığını denetlemek.

Anahtar Kavram

Haçlı Seferleri'nin Türkiye Selçuklu Devleti'ne siyasi ve coğrafi etkileri

Tahmini Süre:50s

Soru 8454Soru →

Ülkelerin doğal kaynak potansiyelleri ile ekonomik yapıları ve gelişmişlik düzeyleri arasında yakın bir ilişki vardır. Gelişmiş ülkeler kendi kaynaklarını ya da ithal ettikleri ham maddeleri yüksek teknolojiyle işleyip mamul madde olarak ihraç ederken, az gelişmiş ülkeler genellikle sahip oldukları doğal kaynakları ham madde olarak ihraç etmek zorunda kalırlar.

Buna göre, aşağıda doğal kaynak potansiyelleri ve ekonomik özellikleri tanımlanan ülkelerin ihracat gelirleri içerisinde ham madde (işlenmemiş doğal kaynak) payının en yüksek olandan en düşük olana doğru sıralaması nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İhracat gelirleri içinde hammadde payı en yüksek olan ülke Nijerya, ardından Rusya, sonra Kanada ve en düşük olan ülke ise Japonya şeklindedir. Doğru sıralama II - IV - I - III olmalıdır.

İhracat gelirlerinde hammadde payı en yüksek olan ülke, kaynak bakımından zengin fakat sanayisi yetersiz olan Nijerya'dır (yaklaşık %90). Ardından devasa rezervleri olan ancak ekonomisi büyük oranda enerji ihracatına bağımlı olan Rusya gelir (yarıdan fazla). Üçüncü sırada zengin kaynaklara sahip olmasına karşın sanayisi son derece gelişmiş ve ihracatı çeşitlenmiş olan Kanada yer alır (yaklaşık üçte bir). Son sırada ise kaynağı olmadığı için sadece ithal eden ve mamul ihraç eden Japonya bulunur (yok denecek kadar az). Bu durum bizi II - IV - I - III sıralamasına götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımlanan ülkelerin hangi küresel ekonomik aktörler olduğunu tespit etme

Tanımlardan yola çıkarak I numaralı ülkenin Kanada, II numaralı ülkenin Nijerya, III numaralı ülkenin Japonya ve IV numaralı ülkenin Rusya olduğu belirlenir.

Sıralama yapabilmek için öncelikle ülkelerin doğal kaynak ve sanayi yapılarının doğru teşhis edilmesi gerekir.

2

Ülkelerin ihracat yapılarındaki hammadde oranlarını karşılaştırma

Nijerya'nın ihracatının yaklaşık %90'ı ham petroldür. Rusya zengin kaynaklara dayalı bir ihracata sahiptir ve bu oran %50'nin üzerindedir. Kanada gelişmiş ve çeşitlenmiş bir ekonomiye sahip olup bu oran %30-35 civarındadır. Japonya ise neredeyse hiç hammadde ihraç etmez, sadece ithal eder.

Hammadde ihracat payı, ülkenin hem kaynak zenginliğine hem de bu kaynakları içeride işleyecek sanayi ve teknoloji kapasitesine bağlıdır.

3

Verilen oranları en yüksekten en düşüğe doğru sıralama

Sıralama II (Nijerya) > IV (Rusya) > I (Kanada) > III (Japonya) şeklinde gerçekleşir.

Soru kökünün yönlendirmesi doğrultusunda hammadde payının en yüksek olandan en düşük olana sıralanması gerekir.

Anahtar Kavram

Ülkelerin sahip oldukları doğal kaynakların miktarı ile bu kaynakları işleme teknolojileri ve sermayeleri, dış ticaret yapılarındaki (hammadde/mamul madde dengesi) konumlarını ve gelişmişlik düzeylerini doğrudan belirler.

Soru 8455Soru →

Bir $(a_n)$ pozitif terimli geometrik dizisi için,

a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512

a_3 + a_{19} = 56

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $a_7 + a_{15}$ toplamının değeri kaçtır?

24

56

8\sqrt{7}

16

8\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24$

Cevap

Dizinin istenen terimlerinin toplamı 24 olur.

Dizinin geometrik dizi olmasından ötürü

a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2

yazılabilir. Bu sayede

a_{11} = 8

bulunur. Daha sonra terimler

a_{11}

ve ortak çarpan

r

cinsinden yazılıp oranlanarak

r^8 + \frac{1}{r^8} = 7

elde edilir. İstenen

a_7 + a_{15}

toplamı

8(r^4 + \frac{1}{r^4})

ifadesine eşittir. Tam kare özdeşliği yardımıyla

(r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 = 9

olduğundan

r^4 + \frac{1}{r^4} = 3

bulunur. Buradan istenen toplam

8 \cdot 3 = 24

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin

a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512

eşitliğini geometrik dizi özelliklerini kullanarak düzenleyelim.

a_{11} = 8

olarak bulunur.

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir.

5 + 17 = 2 \cdot 11

olduğundan

a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2

olur. Buradan

a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = a_{11}^3 = 512

elde edilir. Her iki tarafın küp kökü alınırsa, terimler pozitif olduğundan

a_{11} = 8

bulunur.

2

Verilen ikinci eşitlik olan

a_3 + a_{19} = 56

ifadesini ortak çarpan

r

ve

a_{11}

cinsinden yazalım.

r^8 + \frac{1}{r^8} = 7

elde edilir.

Geometrik dizinin genel terim özelliğinden

a_3 = a_{11} \cdot r^{-8}

ve

a_{19} = a_{11} \cdot r^8

yazılabilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazılırsa:

8 \cdot r^{-8} + 8 \cdot r^8 = 56 \implies 8(r^{-8} + r^8) = 56 \implies r^8 + \frac{1}{r^8} = 7

bulunur.

3

İstenen

a_7 + a_{15}

toplamını ortak çarpan

r

ve

a_{11}

cinsinden ifade edelim.

a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4})

olur.

Genel terim özelliğinden

a_7 = a_{11} \cdot r^{-4}

ve

a_{15} = a_{11} \cdot r^4

yazılır. Buradan

a_7 + a_{15} = 8 \cdot r^{-4} + 8 \cdot r^4 = 8(r^4 + \frac{1}{r^4})

elde edilir.

4

r^4 + \frac{1}{r^4}

ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullanalım.

r^4 + \frac{1}{r^4} = 3

olarak bulunur.

x = r^4 + \frac{1}{r^4}

olsun. Her iki tarafın karesi alınırsa:

x^2 = (r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + 2 \cdot r^4 \cdot \frac{1}{r^4} + \frac{1}{r^8} = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2

olur.

r^8 + \frac{1}{r^8} = 7

değeri yerine yazılırsa:

x^2 = 7 + 2 = 9

elde edilir. Dizi terimleri pozitif gerçek sayılar olduğundan

r > 0

ve dolayısıyla

x > 0

olmalıdır. Buradan

x = 3

bulunur.

5

Bulduğumuz

x = 3

değerini

a_7 + a_{15}

ifadesinde yerine yazarak sonucu bulalım.

a_7 + a_{15} = 24

olarak bulunur.

a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) = 8 \cdot 3 = 24

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide terimlerin indisleri arasındaki simetri özellikleri ve terimlerin ortak çarpan cinsinden kuvvet ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizide

a_3 \cdot a_{19} = a_7 \cdot a_{15} = a_{11}^2 = 64

olduğu görülebilir. Buradan

a_7 + a_{15}

toplamına

S

dersek,

a_7

ve

a_{15}

terimleri çarpımı 64 olan iki sayıdır. Diğer taraftan,

a_3 + a_{19} = 56

ve

a_3 \cdot a_{19} = 64

olduğundan bu terimlerin ortak çarpan kuvvetleri üzerinden

S^2 = (a_7+a_{15})^2 = a_7^2 + a_{15}^2 + 2a_7a_{15} = a_3 a_{11} + a_{11} a_{19} + 2(64) = a_{11}(a_3 + a_{19}) + 128 = 8(56) + 128 = 448 + 128 = 576

elde edilir. Terimler pozitif olduğundan

S = \sqrt{576} = 24

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8456Soru →

Bir

ABC

üçgeninin iç açıları

A

,

B

ve

C

'dir.

\tan A = 2

\tan B = 3

olduğuna göre,

C

açısının derece cinsinden değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

C açısının derece cinsinden değeri 45'tir.

Üçgenin iç açılar toplamından elde edilen

A + B = 180^\circ - C

eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alındığında

\tan(A+B) = -\tan C

bağıntısına ulaşılır. Tanjant toplam formülüyle

\tan(A+B) = -1

bulunur. Dolayısıyla

-\tan C = -1

yani

\tan C = 1

elde edilir. Bu koşulu sağlayan üçgen iç açısı 45 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılar toplamı ilişkisini yazmak.

A + B = 180^\circ - C

Bir üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan

A + B + C = 180^\circ

bağıntısı geçerlidir.

2

İki tarafın tanjantını alıp indirgeme formülü uygulamak.

\tan(A + B) = -\tan C

\tan(180^\circ - x) = -\tan x

trigonometrik indirgeme özdeşliğinden dolayı büt��nler açıların tanjantları zıt işaretlidir.

3

Tanjant toplam formülünü kullanarak

\tan(A + B)

değerini hesaplamak.

\tan(A + B) = -1

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}

formülünde verilen

\tan A = 2

ve

\tan B = 3

değerleri yerine yazılarak hesaplama yapılır.

4

\tan C = 1

eşitliğinden

C

açısını bulmak.

C = 45^\circ

Tanjantı

1

olan ve bir üçgenin iç açısı olabilecek değer

45^\circ

olduğundan

C = 45

bulunur.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve bütünler açıların trigonometrik oranları

Soru 8457Soru →

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{2x - 6}

limitinin değeri kaçtır?

0

1

3

\frac{3}{2}

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limit değeri 3 olarak bulunur.

Limit değerinin bulunması için x=3 noktasındaki 0/0 belirsizliğinin giderilmesi gerekir. Pay iki kare farkı şeklinde (x-3)(x+3) olarak, payda ise ortak çarpan parantezine alınarak 2(x-3) şeklinde yazılır. x-3 terimleri sadeleştirildikten sonra elde edilen (x+3)/2 ifadesinde x yerine 3 yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

x yerine 3 yazarak belirsizlik kontrolü yapılması

\frac{3^2 - 9}{2(3) - 6} = \frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limitte hangi yöntemin uygulanacağını belirlemek için öncelikle belirsizlik durumu tespit edilmelidir.

2

Pay ve paydanın çarpanlarına ayrılması

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

ve

2x - 6 = 2(x-3)

olarak çarpanlarına ayrılır.

Belirsizliğe sebep olan sıfır çarpanını sadeleştirmek amacıyla ifadeler çarpanlarına ayrılır.

3

Sadeleştirme yapılması ve limitin hesaplanması

\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{2} = \frac{3+3}{2} = 3

bulunur.

Sadeleştirme sonrasında elde edilen yeni ifadede limit noktası yerine yazılarak limit değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda, belirsizliğe yol açan çarpanlar sadeleştirilerek limit değeri hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 8458Soru →

Büyük Selçuklu Devleti'nin siyasi tarihinde yaşanan aşağıdaki gelişmeleri, kronolojik olarak geçmişten günümüze (eskiden yeniye) doğru nasıl sıralamalısınız?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Büyük Selçuklu Devleti'nin siyasi tarihindeki gelişmelerin kronolojik sıralaması Dandanakan Savaşı (1040), Pasinler Savaş�� (1048), Malazgirt Savaşı (1071) ve Katvan Savaşı (1141) şeklindedir.

Büyük Selçuklu Devleti'nin siyasi tarihi incelendiğinde; Dandanakan Savaşı (1040) ile devlet kurulmuş, Pasinler Savaşı (1048) ile Bizans ile ilk büyük çatışma yaşanmış, Malazgirt Savaşı (1071) ile Anadolu'nun kapıları Türklere açılmış ve son olarak Katvan Savaşı (1141) ile devlet yıkılış sürecine girmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Devletin kuruluşu ile ilgili ilk askeri ve siyasi gelişmeyi tespit edin.

Tuğrul ve Çağrı Beyler döneminde Gaznelilerle yapılan Dandanakan Savaşı (1040) devletin resmen kurulmasını sağlamıştır, bu nedenle ilk sıradadır.

Devletin kuruluşu diğer tüm dış askeri faaliyetlerden önce gerçekleşmiştir.

2

Kuruluştan sonra Bizans ile yapılan ilk sınır ve keşif mücadelelerini belirleyin.

Bizans ve Gürcü ittifakına karşı kazanılan Pasinler Savaşı (1048) ikinci sıradadır.

Anadolu'ya yönelik akınların artması sonucunda Bizans ile yapılan ilk büyük meydan savaşıdır.

3

Anadolu'nun fethini kalıcı hale getiren dönüm noktasını bulun.

Sultan Alparslan döneminde Bizans İmparatorluğu ile yapılan ve Anadolu'nun kapılarını Türklere açan Malazgirt Savaşı (1071) üçüncü sıradadır.

Pasinler'deki keşiflerden sonra Anadolu'nun fethini hızlandıran büyük askeri zaferdir.

4

Devletin gerileme ve yıkılış dönemindeki askeri hezimeti belirleyin.

Sultan Sencer döneminde Karahitaylara karşı kaybedilen ve devletin yıkılış sürecini başlatan Katvan Savaşı (1141) son sıradadır.

Yıkılış süreci kronolojik olarak en son gerçekleşen evredir.

Anahtar Kavram

Büyük Selçuklu Devleti'nin Kuruluş, Yükselme ve Yıkılış Dönemi Önemli Siyasi Gelişmeleri

Soru 8459Soru →

a

ve

b

gerçel sayılar olmak üzere,

f

fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} + a, & x < 2 \\ b - x, & 2 \le x < 4 \\ \frac{|x^2 - 16|}{x - 4} + 1, & x \ge 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun her $x$ gerçel sayısı için limiti olduğuna göre, $a + b$ toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

12

20

24

26

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

a + b toplamının değeri 28'dir.

Fonksiyonun her noktada limitli olması için kritik noktalar olan

x=2

ve

x=4

noktalarında sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır. Yapılan incelemede sağdan ve soldan limitler eşitlendiğinde

b = 13

ve

a = 15

değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı

28

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x = 4 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.

\lim_{x \to 4^-} f(x) = b - 4

ve

\lim_{x \to 4^+} f(x) = 9

bulunur. Buradan

b = 13

elde edilir.

f

fonksiyonunun

x = 4

noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

x \to 4^+

için

x > 4

olduğundan

x^2 - 16 > 0

olur ve mutlak de��er dışına aynen çıkar.

2

x = 2 noktasındaki limitin varlığını inceleyelim.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 11

ve

\lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 + a

bulunur. Buradan

a = 15

elde edilir.

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

x \to 2^-

için

x < 2

olduğundan

x - 2 < 0

olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar.

3

Bulunan a ve b değerlerinin toplamını hesaplayalım.

a + b = 15 + 13 = 28

Soruda bizden istenen a + b toplamı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının kritik noktalarındaki limit varlığı, sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile belirlenir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasına yaklaşım yönüne göre işaret analizi yapılmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8460Soru →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi olan

f'

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = x^2 - 2(k-1)x + 2k^2 - 8k

eşitliğini sağlamaktadır.

$f$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık $[a, b]$ kapalı aralığıdır.

$b - a = 6$ birim olduğuna göre, $k$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralığın uzunluğundan yola çıkılarak diskriminant

36

'ya eşitlenmiş ve buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek

k

sayısının alabileceği en büyük değer

4

olarak bulunmuştur.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerdir. Bu aralığın uzunluğu olan

b-a = 6

birim ifadesi kökler farkı formülü olan

\sqrt{\Delta}

değerine eşittir. Buradan diskriminantın

36

olması gerektiği bulunur.

\Delta = -4k^2 + 24k + 4 = 36

eşitliği çözüldüğünde elde edilen

k^2-6k+8=0

denkleminin kökleri

2

ve

4

olup alabileceği en büyük değer

4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Türevin işareti ile azalanlık aralığı arasındaki ilişkiyi kurma

f'(x) \leq 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi olan

[a, b]

aralığının sınırları

f'(x) = 0

denkleminin kökleridir.

Türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerde fonksiyon azalandır.

2

Kökler farkı ile diskriminant arasındaki ilişkiyi kullanarak diskriminantın değerini bulma

b - a = \sqrt{\Delta} = 6 \implies \Delta = 36

olur.

İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı formülü kullanılır.

3

Diskriminantı

k

parametresi cinsinden hesaplama

\Delta = -4k^2 + 24k + 4

elde edilir.

Diskriminant formülü

\Delta = B^2 - 4AC

şeklindedir.

4

k

değerlerini bulmak için elde edilen ifadeyi

36

'ya eşitleyip çözme

k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = 4

veya

k = 2

bulunur. En büyük değer

4

'tür.

Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak kökler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınırları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği kökleridir.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap