Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 101Soru →
Bir cismin yerden havaya fırlatıldıktan sonra tt. saniyede ulaştığı yükseklik (metre cinsinden)
h(t)=−t2+8t+5h(t) = -t^2 + 8t + 5
fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik 21 metredir.
Maksimum yükseklik parabolün tepe noktasının ordinatıdır. h(t)=−t2+8t+5h(t) = -t^2 + 8t + 5 fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−b2a=−82(−1)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4 ve ordinatı k=h(4)=21k = h(4) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) hesaplanır.
r=4r = 4
Tepe noktasının apsisi, fonksiyonun maksimum değerine ulaştığı zamanı temsil eder.
2
Bulunan t=4t = 4 değeri h(t)h(t) fonksiyonunda yerine yazılır.
h(4)=21h(4) = 21
Tepe noktasının ordinatı (k=f(r)k = f(r)) parabolün alabileceği en büyük değeri verir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (k=f(r)k = f(r)) en büyük veya en küçük değeri temsil eder. Baş katsayı negatif (a<0a < 0) olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında en büyük değerini alır.
Soru 102Soru →
y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1
y=x−3y = x - 3

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer −1-1 olur.
Denklem sisteminde y değerleri eşitlendiğinde elde edilen x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denkleminin kökleri x=4x = 4 ve x=1x = 1 olarak bulunur. Bu x değerlerine karşılık gelen y değerleri sırasıyla 11 ve −2-2 olup, elde edilen (x,y)(x,y) ikililerinin toplamları 4+1=54+1 = 5 ve 1+(−2)=−11+(-2) = -1 şeklindedir. Dolayısıyla en küçük toplam değeri −1-1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
y ifadelerini eşitleme
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için y değişkenini yok ederek x cinsinden bir denklem elde etmek gerekir.
2
x değerlerini bulma
x=4x = 4 ve x=1x = 1 bulunur.
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denklemi (x−4)(x−1)=0(x-4)(x-1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
y değerlerini bulma
(4,1)(4, 1) ve (1,−2)(1, -2) çözüm ikilileri elde edilir.
Bulunan her bir x değerini y=x−3y = x - 3 denkleminde yerine yazarak karşılık gelen y değerleri hesaplanır.
4
Toplamları karşılaştırma
En küçük toplam −1-1 olarak belirlenir.
(4,1)(4, 1) için toplam 55, (1,−2)(1, -2) için toplam −1-1 olup en küçük değer istenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi ve elde edilen çözüm kümelerinin analizi.
Soru 103Soru →

Analitik düzlemde, y=x2+4x+ky = x^2 + 4x + k parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir. Bu teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8.5

Cevap

Teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 8,5'tir.
Doğruların parabole teğet olması ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Teğetlerin dikliği ise eğimler çarpımının -1 olmasını gerektirir. Bu iki temel koşul birleştirildiğinde k değeri 17/4 olarak bulunur. Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 4x + 2k şeklinde kurulur ve x = 0 için y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2k = 8,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinden geçen teğet doğrularının denklemini belirleme.
Teğetlerin denklemleri y=mxy = mx biçimindedir.
Başlangıç noktasından (orijinden) geçen doğruların y-kesimi sıfırdır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturma.
x2+(4−m)x+k=0x^2 + (4-m)x + k = 0
Kesişim ve teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun kuralları birbirine eşitlenir.
3
Teğetlik şartını uygulayarak eğimler denklemine ulaşma.
Δ=(4−m)2−4k=0⇒m2−8m+16−4k=0\Delta = (4-m)^2 - 4k = 0 \Rightarrow m^2 - 8m + 16 - 4k = 0
Bir doğrunun bir parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çakışık iki kökü olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
4
Teğetlerin birbirine dik olması koşulunu kullanarak kk değerini bulma.
m1⋅m2=−1⇒16−4k=−1⇒k=174m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow 16 - 4k = -1 \Rightarrow k = \frac{17}{4}
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 değerine eşittir. Burada kökler çarpımı formülü uygulanmıştır.
5
Değme noktalarının koordinatlarını eğimler cinsinden bulma.
A(m1−42,m12−4m12)A\left(\frac{m_1-4}{2}, \frac{m_1^2-4m_1}{2}\right) ve B(m2−42,m22−4m22)B\left(\frac{m_2-4}{2}, \frac{m_2^2-4m_2}{2}\right)
Ortak çözüm denkleminde teğet noktalarının apsisleri kökler olup x=−b/(2a)x = -b/(2a) yardımıyla tek bir değere sahip olur.
6
Değme noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplama.
Eğim a=m1+m2−4a = m_1 + m_2 - 4. Eğimler denkleminde kökler toplamı m1+m2=8m_1 + m_2 = 8 olduğundan eğim a=4a = 4 bulunur.
İki noktadan geçen doğrunun eğim formülü uygulanarak kökler toplamı cinsinden ifade edilir.
7
Doğru denklemini kurup yy-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama.
y=4x+2ky = 4x + 2k doğrusu elde edilir. Buradan yy-kesimi 2k=2⋅174=8.52k = 2 \cdot \frac{17}{4} = 8.5 olarak bulunur.
Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi düzenlenerek x=0x=0 için ordinat değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları, teğetlik koşulu (diskriminantın sıfır olması) ve dik doğruların eğim ilişkisi.
Soru 104Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, birinci bölgedeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 çemberine çizilen teğet doğrusu, koordinat eksenlerini AA ve BB noktalarında kesmektedir. PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH noktası olup ABAB doğru parçasının orta noktası CC olarak belirleniyor.

OHCOHC üçgeninin alanı 0,1250,125 birimkare olduğuna göre, sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İstenen sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri 0,80,8 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis ilişkileri kullanılarak CC orta noktasının koordinatları belirlenir. Tabanı OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve yüksekliği yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} olan OHCOHC üçgeninin alanı cot⁡θ4\frac{\cot\theta}{4} olarak elde edilir. Alanın 0,1250,125 birimkareye eşitlenmesiyle cot⁡θ=0,5\cot\theta = 0,5 bulunur. Buradan sin⁡(2θ)=0,8\sin(2\theta) = 0,8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin yazılmas��
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği AA ve BB noktalarının koordinatlarının belirlenmesi
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Teğet denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 verilerek eksen kesim noktaları bulunur.
3
ABAB doğru parçasının orta noktası olan CC'nin koordinatlarının bulunması
C(sec⁡θ2,csc⁡θ2)C\left(\frac{\sec\theta}{2}, \frac{\csc\theta}{2}\right)
AA ve BB noktalarının aritmetik ortalaması alınarak orta nokta koordinatları bulunur.
4
PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktasının koordinatlarının belirlenmesi
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasının ordinatının sıfırlanmasıyla xx-eksenindeki izdüşüm noktası bulunur.
5
OHCOHC üçgeninin alanının θ\theta cinsinden formüle edilmesi
Alan(OHC)=cot⁡θ4\text{Alan}(OHC) = \frac{\cot\theta}{4}
Taban OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve bu tabana ait yükseklik yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} alınarak Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} formülü uygulanır.
6
Verilen alan değeri kullanılarak cot⁡θ\cot\theta değerinin hesaplanması
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2}
cot⁡θ4=0,125=18\frac{\cot\theta}{4} = 0,125 = \frac{1}{8} eşitliği çözülerek cot⁡θ\cot\theta değerine ulaşılır.
7
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2} bilgisinden yararlanılarak sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerinin bulunması
0,80,8
tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olup, yarım açı formülü sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} kullanılarak değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim çemberde teğet doğrusu özellikleri, koordinat eksenlerinin kesim noktaları, orta nokta koordinatları ve trigonometrik alan uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 105Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=x2−x−6 f(x) = x^2 - x - 6
g(x)=x2−4x+3 g(x) = x^2 - 4x + 3

fonksiyonları veriliyor. Buna göre,

f(x)⋅g(x−2)g(x)⋅f(x+1)≤0 \frac{f(x) \cdot g(x - 2)}{g(x) \cdot f(x + 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplam�� 7'dir.
Verilen fonksiyonlar çarpanlarına ayrılıp ötelenmiş halleriyle eşitsizlikte yerlerine konduğunda pay kısmında (x−3)2(x+2)(x−5)(x-3)^2(x+2)(x-5), payda kısmında ise (x−3)(x−1)(x−2)(x+3)(x-3)(x-1)(x-2)(x+3) çarpanları elde edilir. x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik, kökleri −3-3, −2-2, 11, 22, 33, 55 olan tek katlı kök sistemine dönüşür. İşaret tablosu oluşturulduğunda sıfıra eşitlik ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak çözüm kümesi (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (−2,4,5-2, 4, 5) toplamı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarını çarpanlarına ayırın.
f(x)=(x−3)(x+2)f(x) = (x - 3)(x + 2) ve g(x)=(x−3)(x−1)g(x) = (x - 3)(x - 1) şeklinde elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin köklerini bulabilmek için fonksiyonların çarpan formunu bilmemiz gerekir.
2
Ötelenmiş f(x+1)f(x + 1) ve g(x−2)g(x - 2) fonksiyonlarını bulun.
f(x+1)=(x+1−3)(x+1+2)=(x−2)(x+3)f(x + 1) = (x + 1 - 3)(x + 1 + 2) = (x - 2)(x + 3) ve g(x−2)=(x−2−3)(x−2−1)=(x−5)(x−3)g(x - 2) = (x - 2 - 3)(x - 2 - 1) = (x - 5)(x - 3) olarak hesaplanır.
Eşitsizlikteki diğer çarpanları belirlemek için öteleme dönüşümlerini uygulamalıyız.
3
Eşitsizlikteki tüm fonksiyonları çarpanlarına ayrılmış biçimde yerine yazın.
(x−3)(x+2)⋅(x−5)(x−3)(x−3)(x−1)⋅(x−2)(x+3)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 5)(x - 3)}{(x - 3)(x - 1) \cdot (x - 2)(x + 3)} \leq 0 ifadesi elde edilir.
Eşitsizlik ifadesini en yalın çarpanlar cinsinden görerek kök analizine hazırlık yapılır.
4
Ortak çarpanları analiz edin ve tanımsızlık koşulunu belirleyin.
x≠3x \neq 3 olmak üzere, pay kısmındaki (x−3)2(x-3)^2 ifadesi ile paydadaki (x−3)(x-3) sadeleşir ve pay kısmında (x−3)1(x-3)^1 kalır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)(x−5)(x−1)(x−2)(x+3)≤0(x≠3) \frac{(x - 3)(x + 2)(x - 5)}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} \leq 0 \quad (x \neq 3) haline gelir. Kökler sırasıyla −3-3, −2-2, 11, 22, 33 ve 55'tir.
Paydadan gelen köklerin tanımsızlık yaratacağını ve sadeleşen kökün katlılık durumunu değiştirdiğini belirlemek kritiktir.
5
İşaret tablosu hazırlayarak sağlayan aralıkları bulun.
x>5x > 5 için ifadenin işareti (+) ile başlar ve her kökten geçildiğinde işaret değişir. İşaret sıralaması sağdan sola sırasıyla +, -, +, -, +, -, + şeklindedir. Negatif ve sıfıra eşit bölgeler taranır: (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5].
Eşitsizliğin yönüne (küçük veya eşit sıfır) göre hangi aralıkların çözüm kümesine dahil edileceğini belirlemek için işaret tablosu kullanılır.
6
Çözüm aralıklarındaki tam sayıları belirleyin ve toplayın.
(−3,−2](-3, -2] aralığından −2-2, (1,2)(1, 2) aralığından tam sayı gelmez, (3,5](3, 5] aralığından ise 44 ve 55 gelir. Toplam: −2+4+5=7-2 + 4 + 5 = 7 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak sorunun nihai hedefidir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü, Sadeleştirme Kuralları ve Tanımsızlık Koşulu
Soru 106Soru →

Analitik düzlemde, bir kontrol merkezi orijin noktasında (O(0,0)O(0,0)) bulunmaktadır. Bir araştırma dronu, bu düzlemde 2x+y=52x + y = 5 doğrusu boyunca doğrusal bir rota izleyerek hareket etmektedir. Sinyal kalitesinin korunması amacıyla dronun yalnızca x∈[3,6]x \in [3, 6] kapalı aralığında kaldığı bölgede veri toplamasına izin verilmiştir. Buna göre, dronun veri topladığı süre boyunca kontrol merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dronun veri toplama merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer 10'dur.
Dronun koordinatları P(x,5−2x)P(x, 5-2x) şeklindedir. Orijine olan uzaklığının karesi f(x)=5x2−20x+25f(x) = 5x^2 - 20x + 25 parabolüdür. Bu parabolün tepe noktası x=2x = 2 olup, tanımlı [3,6][3, 6] aralığının solundadır. Dolayısıyla fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında daima artandır ve en küçük değerini sol sınır olan x=3x = 3 noktasında alır. Buradan en küçük değer 32+(−1)2=103^2 + (-1)^2 = 10 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun rota denklemi kullanılarak yy koordinatı xx cinsinden ifade edilir.
y=5−2xy = 5 - 2x
Uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için.
2
Uzaklığın karesini veren iki değişkenli formül, tek değişkene bağlı bir parabol fonksiyonuna dönüştürülür.
f(x)=x2+(5−2x)2=5x2−20x+25f(x) = x^2 + (5 - 2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25
Orijine olan uzaklığın karesi x2+y2x^2 + y^2 olduğundan, yy yerine elde edilen ifade yazılır.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının koordinatı (rr) hesaplanır.
r=−−202⋅5=2r = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = 2
Fonksiyonun en küçük değerini alabileceği yerel minimum noktasını (tepe noktasını) tespit etmek için.
4
Tepe noktasının tanımlı aralık olan [3,6][3, 6] ile ilişkisi ve fonksiyonun bu aralıktaki artanlık/azalanlık durumu belirlenir.
r=2∉[3,6]r = 2 \notin [3, 6] olup fonksiyon x≥2x \geq 2 için sürekli artandır.
Kapalı aralıkta en küçük değer aranırken tepe noktasının aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilmelidir.
5
Aralığın sol ucu olan x=3x = 3 değeri fonksiyonda yerine yazılarak en küçük değer hesaplanır.
f(3)=5(3)2−20(3)+25=10f(3) = 5(3)^2 - 20(3) + 25 = 10
Fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında artan olduğundan en küçük değer aralığın başlangıç noktasında gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Bir parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.
Soru 107Soru →
(x2−2x−8)⋅∣x−3∣x2−3x≤0 \frac{(x^2 - 2x - 8) \cdot |x - 3|}{x^2 - 3x} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların çarpımı 8'dir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar −2-2, −1-1 ve 44'tür. Paydayı sıfır yapan 00 ve 33 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmıştır. Bu tam sayıların çarpımı (−2)⋅(−1)⋅4=8(-2) \cdot (-1) \cdot 4 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın köklerini belirleme
Payın kökleri x=−2,3,4x = -2, 3, 4; paydanın kökleri ise x=0,3x = 0, 3 olarak tespit edilir.
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için ifadedeki tüm kritik noktaların belirlenmesi gerekir.
2
Köklerin katlarını ve dahil edilme koşullarını analiz etme
x=−2x = -2 ve x=4x = 4 çözüme dahil edilirken, payda kökleri olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 dahil edilmez. x=3x = 3 noktasında ifadenin işareti yön değiştirir.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar. x=3x=3 hem pay hem de paydada yer alıp toplamda tek katlı kök etkisi gösterdiğinden bu noktada işaret değişmelidir.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralıklarını bulma
İşaret analizi sonucunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesi [−2,0)∪(3,4][-2, 0) \cup (3, 4] olarak elde edilir.
Kritik noktalara göre oluşturulan işaret tablosunda, en sağdan (+) ile başlayarak her kökte işaret değiştirilir ve (-) olan bölgeler taranır.
4
Sağlayan tam sayıların çarpımını hesaplama
Sağlayan tam sayılar −2,−1,4-2, -1, 4 olup çarpımları 88 bulunur.
Çözüm kümesindeki tam sayıların tespit edilip çarpılması istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin elenmesi, mutlak değerli terimlerin işarete etkisi ve işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 108Soru →
x2−5x−6<0x^2 - 5x - 6 < 0
x2−4>0x^2 - 4 > 0

eşitsizlik sisteminin çöz��m kümesi (a,b)(a, b) açık aralığı olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Buradan a=2a = 2 ve b=6b = 6 elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+6=82 + 6 = 8 olur.
Eşitsizlik sistemini oluşturan eşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup kesiştirildiğinde çözüm kümesinin (2,6)(2, 6) olduğu görülür. Bu aralığın sınırları a=2a = 2 ve b=6b = 6 olduğundan toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.
x2−5x−6<0  ⟹  (x−6)(x+1)<0  ⟹  x∈(−1,6)x^2 - 5x - 6 < 0 \implies (x-6)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 6)
İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade kökler arasında negatif değerler alır.
2
İkinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.
x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)
İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır.
3
İki aralığın kesişimini alarak ortak çözüm kümesini bulun.
(−1,6)∩((−∞,−2)∪(2,∞))=(2,6)(-1, 6) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) = (2, 6)
Sistemin çözümü, her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlandığı ortak bölgedir.
4
aa ve bb değerlerini tespit edip toplayın.
a=2a = 2, b=6b = 6 ve buradan a+b=8a + b = 8
Çözüm kümesi (a,b)(a, b) şeklinde tanımlandığı için aralığın alt sınırı aa, üst sınırı ise bb olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 109Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ve bu çembere A(1,0)A(1, 0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu verilmiştir. Başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan ve ölçüsü α\alpha radyan olan bir yönlü açının biti�� kenarının birim çemberi kestiği nokta PP, bitiş kenarını taşıyan doğrunun x=1x = 1 doğrusunu kestiği nokta ise TT noktasıdır.

α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı ile TT noktasının orijine olan uzaklığının çarpımı 33\frac{\sqrt{3}}{3} birimdir.

Buna göre, sin⁡α\sin\alpha değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

İstenen sinüs değeri -0.5'tir.
Üçüncü bölgedeki açının sinüs değeri negatif olup, uzaklıklar çarpımından elde edilen tanjant değerinin 1/kök(3) olmasını sağlayan 210 derecelik açının sinüsü -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki P noktasının ve x=1x = 1 teğet doğrusu üzerindeki T noktasının koordinatlarını belirleme.
P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) ve T(1,tan⁡α)T(1, \tan\alpha)
Uzaklıkları trigonometrik oranlar cinsinden yazabilmek için.
2
Noktaların eksenlere ve orijine olan uzaklıklarını mutlak değer dışına çıkarma.
d1=−sin⁡αd_1 = -\sin\alpha ve d2=−1cos⁡αd_2 = -\frac{1}{\cos\alpha}
Üçüncü bölgede sin⁡α<0\sin\alpha < 0 ve cos⁡α<0\cos\alpha < 0 olduğundan uzaklıkların pozitif değer alması sağlanır.
3
Uzaklıkların çarpımını eşitleyerek tan⁡α\tan\alpha değerini ve açıyı bulma.
tan⁡α=33  ⟹  α=210∘\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 210^\circ (veya 7π6\frac{7\pi}{6} radyan)
Verilen çarpım ilişkisinden tan⁡α\tan\alpha oranına ulaşmak için.
4
Belirlenen açının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(210∘)=−0.5\sin(210^\circ) = -0.5
Soruda istenen nihai trigonometrik değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki koordinatlar ile trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri arasındaki ilişki
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerinde ve ikinci bölgede bulunan bir PP noktasının ordinatı 32\frac{\sqrt{3}}{2}'dir. Buna göre, PP noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

P noktasının apsisi -0.5'tir.
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinde y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} yazıldığında x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir. Nokta ikinci bölgede olduğundan apsis değeri negatif olmalıdır, bu nedenle apsis x=−0.5x = -0.5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini kurmak
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Verilen ordinat değerini kullanarak apsisin mutlak değerini bulmak
x2=14  ⟹  ∣x∣=0.5x^2 = \frac{1}{4} \implies |x| = 0.5
y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} değeri denklemde yerine yazıldığında x2+34=1x^2 + \frac{3}{4} = 1 elde edilir.
3
Bölge bilgisini değerlendirerek apsisin işaretini belirlemek
x=−0.5x = -0.5
İkinci bölgede apsis (x-koordinatı) negatif işaretli olduğundan pozitif kök elenir ve negatif değer alınır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlaması ve koordinatların bölgelere göre işaretleri.
Soru 111Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y=mx−4y = mx - 4 doğrusu verilmiştir. Bu doğru parabolü iki farklı AA ve BB noktasında kesmektedir. AA ve BB noktalarından parabole çizilen teğet doğruları bir PP noktasında kesişmektedir. PP noktasının ordinatı −2-2 olduğuna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm denklemini yazın.
x2−4x+5=mx−4  ⟹  x2−(m+4)x+9=0x^2 - 4x + 5 = mx - 4 \implies x^2 - (m+4)x + 9 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek ve kökler toplamı ile çarpımını bulmak için ortak denklem gereklidir.
2
Ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 için Vieta bağıntılarını kullanarak kökler toplamı ve çarpımını bulun.
x1+x2=m+4x_1 + x_2 = m+4 ve x1x2=9x_1 x_2 = 9 olarak bulunur.
Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiler, teğetlerin kesişim noktasını bulmada kullanılacaktır.
3
Parabolün üzerindeki A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktalarından çizilen teğetlerin denklemlerini türev yardımıyla yazın.
Teğet denklemleri y=(2x1−4)x−x12+5y = (2x_1 - 4)x - x_1^2 + 5 ve y=(2x2−4)x−x22+5y = (2x_2 - 4)x - x_2^2 + 5 şeklinde elde edilir.
Teğetlerin kesişim noktası olan P(xp,yp)P(x_p, y_p) koordinatlarını bulmak için teğet denklemlerine ihtiyaç vardır.
4
Teğet denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktasının apsisi xpx_p ve ordinatı ypy_p değerlerini x1x_1 ve x2x_2 cinsinden bulun.
xp=x1+x22x_p = \frac{x_1 + x_2}{2} ve yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 bağıntıları elde edilir.
Kesişim noktasının ordinatının genel ifadesini belirleyip mm parametresine bağlamak için bu sadeleştirme yapılır.
5
ypy_p ifadesinde kökler toplamı ve çarpımını yerine yazarak mm değerini hesaplayın.
yp=9−2(m+4)+5=6−2my_p = 9 - 2(m+4) + 5 = 6 - 2m olur. Kesişim noktasının ordinatı −2-2 olarak verildiğinden, 6−2m=−2  ⟹  m=46 - 2m = -2 \implies m = 4 bulunur.
Soruda verilen ordinat değeri yardımıyla bilinmeyen mm parametresini çözmek için denklem kurulur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarından parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasının koordinatları, kesişim noktalarının apsisleri toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilebilir.
Soru 112Soru →
Bir kimyasal deney sırasında reaksiyon kabının sıcaklığı (°C cinsinden), deneyin başlangıcından itibaren geçen süre tt (saat) olmak üzere, 0≤t≤120 \leq t \leq 12 aralığında
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b
parabolik fonksiyonu ile modellenmektedir.

Deneyin başlangıcında kabın sıcaklığı azalmakta olup, deney süresince sıcaklığın aldığı en küçük değer −10-10 °C, en büyük değer ise 2626 °C'dir.

Buna göre, deney süresince kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre 4 saattir.
Verilen bilgilere göre başlangıçta azalan bir eğilim gösteren parabolün kolları yukarı doğrudur (a>0a > 0). Bu durumda tepe noktasında (t=6t=6) en küçük değer olan −10-10 alınır. Tepe noktasına eşit uzaklıktaki uç noktalarda (t=0t=0 veya t=12t=12) ise en büyük değer olan 2626 alınır. Buradan b=26b = 26 ve a=1a = 1 bulunarak fonksiyon T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olarak elde edilir. Sıcaklığın −6-6 olduğu anlar t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleri olan 44. ve 88. saatlerdir. Bu iki an arasındaki fark 4 saattir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının konumunu belirleme ve aa katsayısının işaretini saptama.
Tepe noktasının apsisi r=6r = 6 ve a>0a > 0 olarak bulunur.
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−−12a2a=6r = -\frac{-12a}{2a} = 6 olur. Deneyin başlangıcında (t=0t=0) sıcaklık azaldığı için, fonksiyon tepe noktasına kadar azalan olmalıdır. Bu durum ancak parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (a>0a > 0) gerçekleşir.
2
En büyük ve en küçük değerlerin fonksiyon üzerindeki yerlerini belirleme.
En küçük değer T(6)=−10T(6) = -10, en büyük değer ise T(0)=T(12)=26T(0) = T(12) = 26 olur.
a>0a > 0 olduğundan [0,12][0, 12] kapalı aralığında fonksiyon en küçük değerini tepe noktası olan t=6t=6'da alır. En büyük değerini ise tepe noktasına en uzak olan uç noktalarda alır. t=0t=0 ve t=12t=12 noktaları tepe noktasına eşit uzaklıkta (66 birim) olduğundan bu noktalardaki değerler e��ittir ve en büyük değeri oluşturur.
3
Fonksiyonun katsayılarını (aa ve bb) bulma.
b=26b = 26 ve a=1a = 1 elde edilir, böylece T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olur.
T(0)=b=26T(0) = b = 26 elde edilir. Tepe noktasındaki en küçük değer için T(6)=a(6)2−12a(6)+26=−10  ⟹  −36a+26=−10  ⟹  −36a=−36  ⟹  a=1T(6) = a(6)^2 - 12a(6) + 26 = -10 \implies -36a + 26 = -10 \implies -36a = -36 \implies a = 1 bulunur.
4
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu zamanları bulma.
t=4t = 4 ve t=8t = 8 saatleri elde edilir.
T(t)=−6  ⟹  t2−12t+26=−6  ⟹  t2−12t+32=0T(t) = -6 \implies t^2 - 12t + 26 = -6 \implies t^2 - 12t + 32 = 0 denklemi çözülmelidir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 olur ve kökler t1=4t_1 = 4 ve t2=8t_2 = 8 olarak bulunur. Her iki değer de [0,12][0, 12] aralığındadır.
5
İki an arasındaki süreyi hesaplama.
Süre 4 saattir.
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu iki an arasındaki süre t2−t1=8−4=4t_2 - t_1 = 8 - 4 = 4 saat olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değer uygulamaları
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 113Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−2x−3)⋅(x2−4)2(x2−x−2)⋅(x2−9)≤0 \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen (x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 ifadesinde kökler x=−3x = -3, x=−2x = -2 (çift katlı) ve x=2x = 2 olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık (−3,2](-3, 2] aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan x=−1x = -1, x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −2-2, 00 ve 11 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.
(x−3)(x+1)(x−2)2(x+2)2(x−2)(x+1)(x−3)(x+3)≤0\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0
Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.
2
Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan) xx değerlerini belirleyin.
x≠−3x \neq -3, x≠−1x \neq -1, x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.
3
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
(x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 (burada x∉{−3,−1,2,3}x \notin \{-3, -1, 2, 3\})
İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.
4
Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı payda kökü), x=−2x = -2 (çift katlı pay kökü), x=2x = 2 (tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla: (2,∞)→(+)(2, \infty) \rightarrow (+), (−2,2)→(−)(-2, 2) \rightarrow (-), (−3,−2)→(−)(-3, -2) \rightarrow (-), (−∞,−3)→(+)(-\infty, -3) \rightarrow (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.
5
İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi: S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\}
Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır ((−3,2](-3, 2]); ancak payda kökleri olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 bu kümeden çıkarılır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
x∈{−2,0,1}  ⟹  (−2)+0+1=−1x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1
Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.
Soru 114Soru →

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG, HH olarak adlandırılmıştır. Bu küpte ABCDABCD taban yüzeyi, EFGHEFGH ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir (EE köşesi AA'nın, FF köşesi BB'nin, GG köşesi CC'nin ve HH köşesi DD'nin üzerindedir).

Küpün ADHEADHE yan yüzeyi üzerinde bir PP noktası; AEAE ayrıtına 3 birim, ADAD ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün CDHGCDHG yan yüzeyi üzerinde bir QQ noktası; CGCG ayrıtına 2 birim, CDCD ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İstenen 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) ifadesinin değeri 36'dır.
Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları BP=7BP=7, BQ=7BQ=7 ve PQ=26PQ=\sqrt{26} olarak bulunur. PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(PBQ^)=36/49\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49 elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme
BB köşesi başlangıç noktası (0,0,0)(0,0,0) olarak seçilir. Bu durumda BABA doğrusu xx ekseni, BCBC doğrusu yy ekseni ve BFBF doğrusu zz ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri A(6,0,0)A(6,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), D(6,6,0)D(6,6,0), E(6,0,6)E(6,0,6), F(0,0,6)F(0,0,6), G(0,6,6)G(0,6,6) ve H(6,6,6)H(6,6,6) olur.
Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için
2
PP ve QQ noktalarının koordinatlarını belirleme
PP noktası x=6x=6 düzleminde (ADHEADHE yüzeyi) yer alır. AEAE doğrusuna (x=6,y=0x=6, y=0) uzaklığı 3 birim olduğundan yy-koordinatı 3'tür. ADAD doğrusuna (x=6,z=0x=6, z=0) uzaklığı 2 birim olduğundan zz-koordinatı 2'dir. Buradan P(6,3,2)P(6,3,2) bulunur. Benzer şekilde, QQ noktası y=6y=6 düzleminde (CDHGCDHG yüzeyi) yer alır. CGCG doğrusuna (x=0,y=6x=0, y=6) uzaklığı 2 birim olduğundan xx-koordinatı 2'dir. CDCD doğrusuna (y=6,z=0y=6, z=0) uzaklığı 3 birim olduğundan zz-koordinatı 3'tür. Buradan Q(2,6,3)Q(2,6,3) bulunur.
Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için
3
BPBP, BQBQ ve PQPQ doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:
BP=(6−0)2+(3−0)2+(2−0)2=36+9+4=49=7BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 birim.
BQ=(2−0)2+(6−0)2+(3−0)2=4+36+9=49=7BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 birim.
PQ=(6−2)2+(3−6)2+(2−3)2=42+(−3)2+(−1)2=16+9+1=26PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26} birim.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla
4
PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama
PQ2=BP2+BQ2−2⋅BP⋅BQ⋅cos⁡(PBQ^)PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})
(26)2=72+72−2⋅7⋅7⋅cos⁡(PBQ^)(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=49+49−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=98−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
98⋅cos⁡(PBQ^)=72  ⟹  cos⁡(PBQ^)=7298=364998 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}
Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için
5
İstenen nihai değeri hesaplama
49⋅cos⁡(PBQ^)=49⋅3649=3649 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36 elde edilir.
Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Anahtar Kavram

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü
Soru 115Soru →
x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0
x2−xy+y2−2x+4y=12x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları rasyonel sayılar olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklem sistemini sağlayan rasyonel koordinatlı gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer 6'dır.
İlk denklem çarpanlarına ayrıldığında x=2yx = 2y veya x=−yx = -y elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, yalnızca x=2yx = 2y durumu rasyonel koordinatlara sahip (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) çözümlerini verir. Diğer durum irrasyonel koordinatlı çözümler üretir. Rasyonel çözümlerin koordinatları toplamı sırasıyla 66 ve −6-6 olup, bu değerlerin en büyüğü 66'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi çarpanlarına ayırma
x2−xy−2y2=0  ⟹  (x−2y)(x+y)=0  ⟹  x=2yx^2 - xy - 2y^2 = 0 \implies (x - 2y)(x + y) = 0 \implies x = 2y veya x=−yx = -y
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri belirleyerek sistemi indirgemek
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2=12  ⟹  y2=4  ⟹  y=±23y^2 = 12 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2. Buradan (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) rasyonel çözümleri elde edilir.
Birinci koldan gelen rasyonel koordinatlı adayları belirlemek
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2+6y−12=0  ⟹  y2+2y−4=0  ⟹  y=−1±53y^2 + 6y - 12 = 0 \implies y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y = -1 \pm \sqrt{5} (irrasyonel)
İkinci koldan gelen çözümlerin koordinatlarının rasyonel olup olmadığını kontrol etmek
4
Rasyonel çözümler için koordinat toplamlarını karşılaştırma
4+2=64 + 2 = 6 ve −4+(−2)=−6  ⟹  -4 + (-2) = -6 \implies En büyük değer 66 olur.
İstenen en büyük toplam değerini belirlemek

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, çarpanlara ayırma yöntemi ve rasyonel/irrasyonel kök analizi
Soru 116Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ, ∣AB∣=5 birim|AB| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} dir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC uzunluğu 7 birimdir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulanarak 82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡60∘8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ işleminden ∣BC∣2=49|BC|^2 = 49 elde edilir. Buradan ∣BC∣=7|BC| = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü belirleme
∣BC∣2=∣AC∣2+∣AB∣2−2∣AC∣∣AB∣cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB|\cos(\widehat{BAC})
Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Bilinen değerleri formüle yerleştirme
∣BC∣2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(60∘)|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)
Verilen ∣AC∣=8|AC| = 8, ∣AB∣=5|AB| = 5 ve m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ değerlerini formülde yerine koymak gerekir.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
∣BC∣2=64+25−40=49⇒∣BC∣=7|BC|^2 = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow |BC| = 7
cos⁡(60∘)=0.5\cos(60^\circ) = 0.5 değeri kullanılarak cebirsel işlemler yapılır ve karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 117Soru →
x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Verilen x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0 eşitsizliğinde ifade (x−5)(x+1)<0(x-5)(x+1) < 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler −1-1 ve 55 olup başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda kökler arası negatif (−-) işaretlidir. Dolayısıyla çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.
(x−5)(x+1)=0⇒x1=−1(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5 elde edilir.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınır noktalarını belirlemek için öncelikle ifadenin kökleri bulunur.
2
Bulunan köklerle işaret tablosu oluşturun ve ifadenin işaretini inceleyin.
Başkatsayı (x2x^2'nin katsayısı) +1+1 (pozitif) olduğundan tablonun en sağından ++ ile başlanır. Köklerden geçildikçe işaret değiştirilir ve tablo +∣−∣++ \mid - \mid + şeklinde oluşur. Eşitsizlik <0<0 olduğundan negatif bölge olan (−1,5)(-1, 5) aralığı çözüm kümesi olarak seçilir.
İkinci dereceden ifadenin hangi aralıklarda negatif değer aldığını belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
3
(−1,5)(-1, 5) açık aralığında yer alan tam sayıları belirleyin ve sayısını bulun.
Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 değerleridir. Toplamda 5 adet tam sayı değeri vardır.
Bizden istenen, eşitsizliği sağlayan tam sayıların adedidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak köklerinin bulunması ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin belirlenmesi.
Soru 118Soru →

Eşitsizlik sistemleri konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak istemektedir:

x2−9≤0x^2 - 9 \leq 0
x−1x+2>0\frac{x - 1}{x + 2} > 0

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliğini de sağlayan ortak çözüm kümesi [−3,−2)∪(1,3][-3, -2) \cup (1, 3] olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar −3,2,3-3, 2, 3 olup toplamları 22 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
x∈[−3,3]x \in [-3, 3]
x2−9≤0x^2 - 9 \leq 0 eşitsizliğinin kökleri x=−3x = -3 ve x=3x = 3'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan [−3,3][-3, 3] aralığında ifade negatif veya sıfırdır.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
x∈(−∞,−2)∪(1,∞)x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)
x−1x+2>0\frac{x - 1}{x + 2} > 0 ifadesinin kökleri x=1x = 1 ve x=−2x = -2'dir. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu bölgeler belirlenir.
3
Ortak çözüm kümesini (kesişimini) belirleme
x∈[−3,−2)∪(1,3]x \in [-3, -2) \cup (1, 3]
Her iki eşitsizliğin de sağlandığı aralıklar kesiştirilir.
4
Ortak çözüm kümesindeki tam sayıları bulma
−3,2-3, 2 ve 33
[−3,−2)[-3, -2) aralığındaki tek tam sayı −3-3'tür (−2-2 paydanın kökü olduğu için a��ık aralıktır). (1,3](1, 3] aralığındaki tam sayılar ise 22 ve 33'tür (11 dahil değildir).
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
2
Bulunan tam sayı değerleri toplanır: (−3)+2+3=2(-3) + 2 + 3 = 2.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 119Soru →

Analitik düzlemde, y=2x2−ax+3y = 2x^2 - ax + 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, aa gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak kesim noktası denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. İki denklemi birbirine eşitlediğimizde elde ettiğimiz 2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(a+2)2−16=0\Delta = (a+2)^2 - 16 = 0 olmalıdır. Buradan (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 olup, a+2=4  ⟹  a=2a+2 = 4 \implies a = 2 veya a+2=−4  ⟹  a=−6a+2 = -4 \implies a = -6 bulunur. Pozitif değer istendiği için doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun ortak denklemini oluşturmak
2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ve doğrunun kesişim ya da teğetlik noktalarını bulabilmek için denklemlerinin ortak çözülmesi gerekir.
2
Teğetlik şartını uygulamak
Δ=[−(a+2)]2−4⋅2⋅2=0\Delta = [-(a+2)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0 eşitliğinden (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 elde edilir.
Bir doğru ile parabolün teğet olması, ortak denklemlerinin çift katlı köke sahip olması yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.
3
aa parametresinin alabileceği değerleri hesaplamak
a=2a = 2 veya a=−6a = -6 bulunur.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4 olduğundan a+2a+2 ifadesi bu sayılara eşitlenerek çözüme gidilir.
4
Koşula uygun değeri belirlemek
a=2a = 2 olarak seçilir.
Soruda aa sayısının alabileceği pozitif değer istendiği için negatif olan -6 elenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak denklemin diskriminantının sıfıra eşit olması
Soru 120Soru →

Dik koordinat düzleminde, başlangıçta (0,20)(0, 20) noktasında bulunan AA hareketlisi yy-ekseni boyunca negatif yönde saniyede 33 birim sabit hızla, (−10,0)(-10, 0) noktasında bulunan BB hareketlisi ise xx-ekseni boyunca pozitif yönde saniyede 44 birim sabit hızla aynı anda harekete başlamıştır.

Buna göre, hareketleri boyunca bu iki hareketli arasındaki mesafe en az kaç birim olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İki hareketli arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyon f(t)=25t2−200t+500f(t) = 25t^2 - 200t + 500 şeklindedir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi t=4t = 4 olup, bu değer yerine yazıldığında mesafe en az f(4)=10\sqrt{f(4)} = 10 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hareketlilerin tt saniye sonraki konumlarını koordinat olarak ifade etme
AA hareketlisinin konumu A(0,20−3t)A(0, 20 - 3t), BB hareketlisinin konumu B(−10+4t,0)B(-10 + 4t, 0) olur.
Hareketliler sabit hızla hareket ettiklerinden geçen süre ile hızlarının çarpımı aldıkları yolu verir.
2
İki hareketli arasındaki mesafeyi tt değişkenine bağlı olarak formüle etme
d(t)=(−10+4t−0)2+(0−(20−3t))2=(−10+4t)2+(20−3t)2d(t) = \sqrt{(-10 + 4t - 0)^2 + (0 - (20 - 3t))^2} = \sqrt{(-10 + 4t)^2 + (20 - 3t)^2}
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} şeklindedir.
3
Mesafe fonksiyonunun içindeki ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden fonksiyonu elde etme
f(t)=16t2−80t+100+9t2−120t+400=25t2−200t+500f(t) = 16t^2 - 80t + 100 + 9t^2 - 120t + 400 = 25t^2 - 200t + 500 elde edilir.
En küçük değeri bulabilmek için ifadeyi at2+bt+cat^2 + bt + c biçiminde bir parabol denklemine dönüştürmek gerekir.
4
Parabolün en küçük değerini aldığı tepe noktasının süresini (tt) bulma
t=r=−b2a=−−2002×25=4t = r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-200}{2 \times 25} = 4 saniye bulunur.
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında (r,kr, k) alır.
5
Bulunan t=4t = 4 değerini mesafe formülünde yerine yazarak en küçük mesafeyi hesaplama
d(4)=25(4)2−200(4)+500=100=10d(4) = \sqrt{25(4)^2 - 200(4) + 500} = \sqrt{100} = 10 birim.
En küçük uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsis değeri mesafe fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasında en küçük veya en büyük değerini alması uygulamaları.
ÖncekiSayfa 6 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin