Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1361Soru →
xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) olmak üzere,
sqrt1−sin(2x)+sqrt1+sin(2x)=frac2413\\sqrt{1 - \\sin(2x)} + \\sqrt{1 + \\sin(2x)} = \\frac{24}{13}
olduğuna göre, cos(2x)\\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −frac119169-\\frac{119}{169}

Cevap

−frac119169-\\frac{119}{169}
Verilen aralıkta kareköklü ifadeler mutlak değer dışına sırasıyla sinx−cosx\\sin x - \\cos x ve sinx+cosx\\sin x + \\cos x olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2sinx2\\sin x değerine eşittir. Buradan sinx=frac1213\\sin x = \\frac{12}{13} ve ikinci bölgedeki işaret dikkate alınarak cosx=−frac513\\cos x = -\\frac{5}{13} bulunur. Kosinüs yarım açı formülüyle cos(2x)=cos2x−sin2x=−frac119169\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = -\\frac{119}{169} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri tam kare formuna dönüştürün.
1−sin(2x)=sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)21 - \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x - 2\\sin x\\cos x = (\\sin x - \\cos x)^2
1+sin(2x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)21 + \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x + 2\\sin x\\cos x = (\\sin x + \\cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare açılımlarından yararlanılır.
2
İfadeleri kök dışına mutlak değer olarak çıkarın ve verilen açı aralığına göre işaretlerini belirleyin.
sqrt(sinx−cosx)2=∣sinx−cosx∣\\sqrt{(\\sin x - \\cos x)^2} = |\\sin x - \\cos x|
sqrt(sinx+cosx)2=∣sinx+cosx∣\\sqrt{(\\sin x + \\cos x)^2} = |\\sin x + \\cos x|

xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) aralığında (II. bölge):
* sinx>0\\sin x > 0 ve cosx<0\\cos x < 0 değerlerini alır.
* Bu aralıktaki açılar için sinx>∣cosx∣\\sin x > |\\cos x| olduğundan, sinx>−cosx\\sin x > -\\cos x olur.

Buradan:
* sinx−cosx>0implies∣sinx−cosx∣=sinx−cosx\\sin x - \\cos x > 0 \\implies |\\sin x - \\cos x| = \\sin x - \\cos x
* sinx+cosx>0implies∣sinx+cosx∣=sinx+cosx\\sin x + \\cos x > 0 \\implies |\\sin x + \\cos x| = \\sin x + \\cos x

Toplam ifadesi:
(sinx−cosx)+(sinx+cosx)=2sinx(\\sin x - \\cos x) + (\\sin x + \\cos x) = 2\\sin x şeklinde sadeleşir.
II. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini doğru tayin ederek mutlak değer dışına çıkarma işlemini hatasız tamamlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi çözerek sinx\\sin x değerini bulun, ardından cosx\\cos x ve cos(2x)\\cos(2x) değerlerini hesaplayın.
2sinx=frac2413impliessinx=frac12132\\sin x = \\frac{24}{13} \\implies \\sin x = \\frac{12}{13}

II. bölgede cosx<0\\cos x < 0 olduğundan:
cosx=−sqrt1−sin2x=−sqrt1−left(frac1213right)2=−frac513\\cos x = -\\sqrt{1 - \\sin^2 x} = -\\sqrt{1 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2} = -\\frac{5}{13}

Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak cos(2x)\\cos(2x) değerini bulun:
cos(2x)=cos2x−sin2x=left(−frac513right)2−left(frac1213right)2\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = \\left(-\\frac{5}{13}\\right)^2 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2
cos(2x)=frac25169−frac144169=−frac119169\\cos(2x) = \\frac{25}{169} - \\frac{144}{169} = -\\frac{119}{169}
Yarım açı formülü yardımıyla tek bir açının trigonometrik değerinden iki katı olan açının kosinüs değerine geçiş yapılır.

Anahtar Kavram

Tam kare ifadelerin mutlak değer yardımıyla kök dışına çıkarılması ve kosinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 1362Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO merkezli birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir. Bir α\alpha dar açısı için, pozitif yönlü θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısının bitim kenarı birim çemberi PP noktasında, y=1y = 1 doğrusunu ise KK noktasında kesmektedir. Buna göre, KK noktasının apsisi ile PP noktasının apsisinin farkı (xK−xPx_K - x_P) ifadesinin α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha

Cevap

cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
Doğru cevap cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha ifadesidir. İkinci bölgedeki θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı için birim çember üzerindeki PP noktasının apsisi −cos⁡α-\cos\alpha ve y=1y = 1 (kotanjant) doğrusu üzerindeki KK noktasının apsisi −cot⁡α-\cot\alpha olur. Bu iki apsis değerinin farkı (xK−xPx_K - x_P) hesaplandığında (−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡α(-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve P noktasının apsisini bulma
xP=−cos⁡αx_P = -\cos\alpha
θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı ikinci bölgededir. Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan xP=cos⁡(π−α)=−cos⁡αx_P = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha olur.
2
K noktasının apsisini bulma
xK=−cot⁡αx_K = -\cot\alpha
y=1y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir. θ\theta açısının bitim kenarının bu ekseni kestiği KK noktasının koordinatları (cot⁡θ,1)(\cot\theta, 1) biçimindedir. Dolayısıyla xK=cot⁡(π−α)=−cot⁡αx_K = \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha olur.
3
Apsis farkını hesaplama
cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
İstenen fark xK−xP=(−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡αx_K - x_P = (-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları, kotanjant ekseni ile kesişim noktalarının bulunması ve ikinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Soru 1363Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=15\sin x - \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sin⁡(2x)\sin(2x) değeri 0,960,96 (yani 2425\frac{24}{25}) olarak elde edilir.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki −2sin⁡xcos⁡x-2\sin x\cos x terimi ise −sin⁡(2x)-\sin(2x) yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan 1−sin⁡(2x)=1/251 - \sin(2x) = 1/25 denklemi çözülerek sin⁡(2x)=24/25=0,96\sin(2x) = 24/25 = 0,96 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini almak
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}
İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.
2
Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak
1−sin⁡(2x)=1251 - \sin(2x) = \frac{1}{25}
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) eşitliklerini yerine koymak için.
3
sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡(2x)=1−125=2425=0,96\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96
Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1) kullanımı.
Soru 1364Soru →
(x−2)2(x2−2x−8)x2−36≤0\frac{(x - 2)^2 (x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 36} \leq 0
x2−3x−10x−5≥0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Sistemin ortak çözüm kümesindeki tam sayılar -2, 2 ve 4'tür. Bunların toplamı 4 yapar. x = 2 çift katlı kökü birinci eşitsizliği sağladığı ve ikinci eşitsizliğin tanım kümesinde olduğu için çözüme dahil edilirken; x = 5 değeri payda kökü olduğu için hariç tutulur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökleri x = 2 (çift katlı), x = 4 ve x = -2; paydanın kökleri x = 6 ve x = -6 (payda kökleri çözüm kümesine dahil edilmez).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için kritik noktaları belirlemek gerekir.
2
Birinci eşitsizlik için işaret tablosu yapılarak çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi S1 = (-6, -2] U {2} U [4, 6) olarak elde edilir.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkları ve değerleri belirlemek amaçlanır. Çift katlı kök olan x = 2 değeri ifadeyi sıfır yaptığı için çözüm kümesine tek nokta olarak eklenmelidir.
3
İkinci eşitsizlik çarpanlarına ayrılır ve sadeleştirilir.
x != 5 kısıtı altında x + 2 >= 0 eşitsizliği elde edilir ve S2 = [-2, 5) U (5, sonsuz) bulunur.
Ortak çarpanları sadeleştirirken paydanın sıfır olamayacağı (x != 5) kuralı unutulmamalıdır.
4
S1 ve S2 çözüm kümelerinin kesişim kümesi oluşturulur.
Kesişim kümesi S = {-2, 2} U [4, 5) U (5, 6) olur.
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kümesidir.
5
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tam sayılar: -2, 2 ve 4. Toplam: (-2) + 2 + 4 = 4.
Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamını bulmak hedeflenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 1365Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, m(ACB^)=150∘m(\widehat{ACB}) = 150^\circ ve ∣AB∣=10 cm|AB| = 10\text{ cm}'dir. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 santimetredir.
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AB∣sin⁡(C^)=2R\frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} = 2R bağıntısı vardır. ∣AB∣=10|AB| = 10 ve sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 değerleri yerine yazıldığında 2R=202R = 20 bulunur. Buradan yarıçap R=10 cmR = 10\text{ cm} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi formülünü belirleme
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R
Bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ve çevrel çemberin yarıçapını (RR) bağlayan teorem Sinüs Teoremi'dir.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazma
10sin⁡(150∘)=2R\frac{10}{\sin(150^\circ)} = 2R
Soruda ∣AB∣=c=10 cm|AB| = c = 10\text{ cm} ve bu kenarın karşısındaki açı m(C^)=150∘m(\widehat{C}) = 150^\circ olarak verilmiştir.
3
Geniş açının sinüs değerini indirgeme formülüyle hesaplama
\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki bir açının sinüs değerini bulmak için bütünler açısının sinüs değeri kullanılır.
4
Bulunan sinüs değerini yerine yazarak yarıçapı (RR) yalnız bırakma
\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemi yapıldıktan sonra her iki taraf 2'ye bölünerek yarıçap bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çevrel çember çizildiğinde, 150∘150^\circ'lik çevre açının gördüğü yay 300∘300^\circ olur. Dolayısıyla geriye kalan küçük yay 60∘60^\circ olur. Bu yayı gören merkez açı da 60∘60^\circ olacaktır. Çemberin merkezi OO ise, OABOAB üçgeninde ∣OA∣=∣OB∣=R|OA| = |OB| = R (yarıçap) ve tepe açısı 60∘60^\circ olduğundan OABOAB eşkenar üçgendir. Buradan ∣AB∣=R=10 cm|AB| = R = 10\text{ cm} doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1366Soru →
Bir tüccar, tanesini xx TL'ye satın aldığı bir ürünün satış fiyatını yy TL olarak belirlemiştir. Bu ürünün alış fiyatı ile satış fiyatı arasında
y=−x2+13x−20y = -x^2 + 13x - 20
bağıntısı bulunmaktadır.
Buna göre, bu tüccarın bir adet ürünün satışından elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Maksimum kâr 16 TL'dir.
Kâr fonksiyonu olan K(x)=y−x=−x2+12x−20K(x) = y - x = -x^2 + 12x - 20 ifadesinin tepe noktasının ordinatı hesaplandığında en büyük kâr değeri 16 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunu alış fiyatı (xx) cinsinden yazalım.
K(x)=y−x=(−x2+13x−20)−x=−x2+12x−20K(x) = y - x = (-x^2 + 13x - 20) - x = -x^2 + 12x - 20
Bir ürünün satışından elde edilen kâr, ürünün satış fiyatından (yy) alış fiyatının (xx) çıkarılmasıyla hesaplanır.
2
Elde edilen kâr fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (rr) bulalım.
r=−b2a=−122⋅(−1)=6r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6
Kolları aşağı doğru olan y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c (a<0a < 0) biçimindeki ikinci dereceden bir fonksiyon, en büyük değerini tepe noktasının apsisinde (rr) alır.
3
Bulduğumuz r=6r = 6 değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı hesaplayalım.
K(6)=−(6)2+12(6)−20=−36+72−20=16K(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 = -36 + 72 - 20 = 16
Maksimum kâr miktarı, kâr fonksiyonunun tepe noktasının ordinatına (k=K(r)k = K(r)) eşittir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) maksimum değerini bulmak için fonksiyonun tepe noktasının ordinatı (k=f(r)k = f(r)) hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1367Soru →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik ifadelerini en küçük değerden en büyük değere do��ru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı z, w, y, x şeklindedir.
İfadelerin doğru sıralanışı en küçük değerden en büyük değere doğru sırasıyla z, w, y, x şeklindedir. İndirgeme formüllerine göre z ifadesi en küçük negatif değer olan -sin(15) değerine eşitken, w ifadesi -tan(10) değerine eşittir. Pozitif değerlerden y ifadesi sin(15) değerine, x ifadesi ise en büyük değer olan tan(25) değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyip indirgeme formüllerini uygulayarak ifadeleri birinci bölgeye taşıyın.
z=sin⁡(195∘)=sin⁡(180∘+15∘)=−sin⁡(15∘)z = \sin(195^\circ) = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)
w=cot⁡(100∘)=cot⁡(90∘+10∘)=−tan⁡(10∘)w = \cot(100^\circ) = \cot(90^\circ + 10^\circ) = -\tan(10^\circ)
y=cos⁡(285∘)=cos⁡(270∘+15∘)=sin⁡(15∘)y = \cos(285^\circ) = \cos(270^\circ + 15^\circ) = \sin(15^\circ)
x=tan⁡(205∘)=tan⁡(180∘+25∘)=tan⁡(25∘)x = \tan(205^\circ) = \tan(180^\circ + 25^\circ) = \tan(25^\circ)
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve büyüklüklerini birinci bölgedeki bilinen dar açılar cinsinden karşılaştırabilmek için indirgeme yapılır.
2
Negatif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede 15∘>10∘15^\circ > 10^\circ olduğundan sin⁡(15∘)>tan⁡(10∘)\sin(15^\circ) > \tan(10^\circ) olur. Bu değerler negatif işaretle çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: −sin⁡(15∘)<−tan⁡(10∘)-\sin(15^\circ) < -\tan(10^\circ). Dolayısıyla z<wz < w elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanı daha küçüktür.
3
Pozitif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede her α\alpha dar açısı için tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha > \sin\alpha bağıntısı geçerlidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(25∘)>sin⁡(25∘)>sin⁡(15∘)\tan(25^\circ) > \sin(25^\circ) > \sin(15^\circ) sıralaması bulunur. Dolayısıyla y<xy < x elde edilir.
Pozitif trigonometrik değerlerin büyüklük sıralaması fonksiyonların birinci bölgedeki davranışlarına göre belirlenir.
4
Bulunan tüm sonuçları birleştirerek nihai sıralamayı oluşturun.
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olacağı için genel sıralama z<w<y<xz < w < y < x şeklindedir.
Tüm ifadelerin büyüklük ilişkisini tek bir eşitsizlik zincirinde toplamak için gruplar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birinci bölgedeki değerlerin karşılaştırılması.
Soru 1368Soru →
f(x)=(2a−5)xf(x) = (2a - 5)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\}

Cevap

(52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\} aralığıdır.
Üstel fonksiyonların tanımı gereği, taban her zaman pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Verilen fonksiyonun tabanı olan 2a−52a-5 ifadesi için bu koşullar yazıldığında a>5/2a > 5/2 ve a≠3a \neq 3 elde edilir. Bu durum (52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\} kümesiyle gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımını uygulamak.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olması gerekir.
Gerçel sayılarda tanımlı üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmak zorundadır.
2
Tabanın pozitif olma şartını çözmek.
2a−5>0  ⟹  2a>5  ⟹  a>522a - 5 > 0 \implies 2a > 5 \implies a > \frac{5}{2}
Taban ifadesinin pozitif olmasını garantilemek için 2a−5>02a - 5 > 0 eşitsizliği çözülür.
3
Tabanın 1'e eşit olmama şartını çözmek.
2a−5≠1  ⟹  2a≠6  ⟹  a≠32a - 5 \neq 1 \implies 2a \neq 6 \implies a \neq 3
Taban 1 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyon belirteceğinden üstel fonksiyon tanımına uymaz, bu yüzden 2a−5≠12a - 5 \neq 1 olmalıdır.
4
Bulunan koşulları birleştirmek.
a∈(52,∞)∖{3}a \in (\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\}
Elde edilen iki koşulun kesişimi alınarak parametrenin en geniş değer aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
Tahmini Süre:45s
Soru 1369Soru →

x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2425\frac{24}{25}

Cevap

Yirmi dört bölü yirmi beş
Verilen açının sinüs değeri 45\frac{4}{5} olduğuna göre, dik üçgen çizilerek komşu kenar 33 birim bulunur ve açının birinci bölgede olmasından dolayı cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x bağıntısında değerler yerine konulduğunda, aranan değer 2425\frac{24}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesi ve temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak cos⁡x\cos x değeri bulunur.
cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5}
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) aralığında olduğundan kosinüs değeri pozitiftir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğinden cos⁡x=1−(45)2=35\cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} bulunur.
2
Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x ifadesinde bilinen değerler yerine yazılır.
sin⁡(2x)=2⋅45⋅35\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}
Yarım açı ilişkisini kurarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak amaçlanır.
3
İfade çarpılarak sonuç elde edilir.
sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Çarpma işlemi tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 1370Soru →
cos⁡4(π8)−sin⁡4(π8)sin⁡(π8)⋅cos⁡(π8)\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin sadeleştirilmesi ve özel açı değerlerinin yerine konulması sonucunda elde edilen değer 2'dir.
Pay kısmında yer alan iki kare farkı açılımı yapıldığında cos⁡2(π/8)−sin⁡2(π/8)\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8) çarpanı elde edilir ve bu ifade kosinüsün yarım açı formülünden cos⁡(π/4)\cos(\pi/4)'e eşittir. Paydadaki sin⁡(π/8)cos⁡(π/8)\sin(\pi/8)\cos(\pi/8) çarpımı ise sinüsün yarım açı formülünden 12sin⁡(π/4)\frac{1}{2}\sin(\pi/4)'e eşittir. İki değerin birbirine oranı ise cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 değerinin iki katı olan 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü ile sadeleştirmek
cos⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) özdeşliği ve cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ile cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x yarım açı formülü birlikte kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs yarım açı formülü ile düzenlemek
12sin⁡(π4)\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülünden yararlanılmıştır.
3
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda oranını hesaplamak
22
cos⁡(π/4)12sin⁡(π/4)=2cot⁡(π/4)\frac{\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = 2\cot(\pi/4) elde edilir. cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 olduğundan sonuç 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1371Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler a<c<ba < c < b şeklinde sıralanır.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır, cc ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur, bb ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.
a=(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)} elde edilir. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu için ifade a=(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) halini alır.
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.
2
bb ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.
1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) yazıldığında kök içi (sin⁡(x)+cos⁡(x))2(\sin(x) + \cos(x))^2 olur. Buradan b=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)| elde edilir.
Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.
3
cc ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.
Pay kısmı: tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} olur. Payda kısmı: sec⁡(x)csc⁡(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} olur. İkisinin oranı c=1c = 1 sonucunu verir.
Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.
Bu aralıkta (üçüncü bölgede) cos⁡(x)<sin⁡(x)<0\cos(x) < \sin(x) < 0 eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
- a=sin⁡(x)−cos⁡(x)>0a = \sin(x) - \cos(x) > 0 olup 0<a<10 < a < 1 aralığındadır.
- sin⁡(x)+cos⁡(x)<0\sin(x) + \cos(x) < 0 olduğundan b=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣=−sin⁡(x)−cos⁡(x)b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x) olur. Bu değer 1<b<21 < b < \sqrt{2} aralığındadır.
- c=1c = 1 sabittir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.
5
Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
0<a<10 < a < 1, c=1c = 1 ve 1<b<21 < b < \sqrt{2} olduğundan sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1372Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T(4,6)T(4, 6) olan ve xx-eksenini x1=−2x_1 = -2 ve x2=10x_2 = 10 noktalarında kesen bir y=f(x)y = f(x) parabolü verilmiştir.

g(x)=k⋅f(p⋅x)g(x) = k \cdot f(p \cdot x) (kk ve pp pozitif gerçek sayılar) biçiminde tanımlanan y=g(x)y = g(x) parabolünün tepe noktası T′(2,18)T'(2, 18)'dir.

Buna göre, y=g(x)y = g(x) parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir.
Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir. Orijinal parabolün tepe noktası T(4, 6) iken g(x) = k * f(p * x) parabolünün tepe noktası T'(2, 18) olarak verilmiştir. Buradan yatay sıkışma katsayısı p = 2 ve dikey esneme katsayısı k = 3 bulunur. f(x)'in kökleri -2 ve 10 olduğu için g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonunun kökleri bu değerlerin yarısı olan -1 ve 5 olacaktır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ise 5 - (-1) = 6 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal y = f(x) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve g(x) = k * f(p * x) fonksiyonunun dönüşüm kurallarını belirlemek.
f(x) fonksiyonunun tepe noktası T(4, 6) olarak verilmiştir. y = k * f(p * x) dönüşümü uygulandığında, tepe noktasının yeni koordinatları T'(4/p, 6k) olur.
Yatay esneme/sıkışma çarpanı (p) x-koordinatını 1/p oranında etkilerken, dikey esneme/sıkışma çarpanı (k) y-koordinatını k oranında etkiler.
2
Dönüşüm katsayıları olan k ve p değerlerini hesaplamak.
T'(4/p, 6k) = T'(2, 18) olduğundan, 4/p = 2 ise p = 2 ve 6k = 18 ise k = 3 bulunur. Böylece g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonu elde edilir.
Yeni tepe noktasının koordinatları verilmiştir, bu sayede bilinmeyen katsayılara ulaşılır.
3
g(x) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları f(x)'in köklerini kullanarak bulmak.
f(x) fonksiyonunun kökleri -2 ve 10'dur. g(x) = 3 * f(2x) = 0 denkleminin kökleri ise 2x = -2 ise x = -1 ve 2x = 10 ise x = 5 olarak bulunur.
g(x) = 0 olması için f(2x) = 0 olmalıdır. Bu durum, x-eksenini kesen noktaların apsislerinin yarıya düşmesi anlamına gelir.
4
Yeni kökler arasındaki uzaklığı hesaplamak.
Yeni kökler -1 ve 5 olup, aralarındaki uzaklık 5 - (-1) = 6 birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık, büyük olan apsis değerinden küçük olan apsis değerinin çıkarılması ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri.
Soru 1373Soru →
f(x)=(a−3)xf(x) = (a - 3)^x fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirtmesi için aa gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerinin 44 olduğu belirtilmiştir. Bu ifade doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü üstel fonksiyonun tabanı 1 olamaz. Dolayısıyla a parametresi 4 değerini alamaz ve alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmak zorundadır. Bu nedenle a−3≠1  ⟹  a≠4a-3 \neq 1 \implies a \neq 4 olmalıdır. a>3a > 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı olan 4 elendiğinde geriye kalan en küçük tam sayı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanım koşullarını belirleme
f(x)=(a−3)xf(x) = (a-3)^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın pozitif ve 11'den farklı olması gerekir: a−3>0a-3 > 0 ve a−3≠1a-3 \neq 1.
Üstel fonksiyonların genel tanımı gereği, taban bb için b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 koşulu sağlanmalıdır.
2
Eşitsizlikleri çözme
a>3a > 3 ve a≠4a \neq 4
Birinci eşitsizlikten a>3a > 3 elde edilir, tabanın 11 olamayacağı koşulundan ise a−3≠1  ⟹  a≠4a-3 \neq 1 \implies a \neq 4 bulunur.
3
En küçük tam sayı değerini bulma
aa'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 55'tir.
a>3a > 3 koşulunu sağlayan ve 44 dışındaki en küçük tam sayı 55 olmaktadır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımı ve taban özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1374Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣DC∣=4 birim|DC| = 4\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim} olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Köşegen uzunluğu 7 birimdir.
Yamuğun üst köşesinden yan kenara çizilen paralel doğru sayesinde elde edilen üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak açının kosinüsü bir bölü beş bulunur. Yamuktaki ardışık açıların bütünler olmasından yola çıkılarak geniş açının kosinüsü eksi bir bölü beş olarak belirlenir. Son olarak üstteki üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanmasıyla köşegen uzunluğu net bir şekilde yedi birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
[CE]∥[AD][CE] \parallel [AD] olacak şekilde EE noktası [AB][AB] üzerinde belirlenir.
AECDAECD paralelkenarı ve CEBCEB üçgeni oluşur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} bulunur.
Yamuk sorularında paralel kenar çizmek, Kosinüs Teoremini uygulayabileceğimiz bir üçgen elde etmemizi sağlar.
2
CEBCEB üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
72=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(CEB^)7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{CEB}) denkleminden cos⁡(CEB^)=15\cos(\widehat{CEB}) = \frac{1}{5} bulunur.
Üç kenarı bilinen bir üçgende açının kosinüs değerini belirlemek için Kosinüs Teoremi en uygun yöntemdir.
3
ADCADC açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−CEB^)=−cos⁡(CEB^)=−15\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{CEB}) = -\cos(\widehat{CEB}) = -\frac{1}{5} elde edilir.
Yamuğun paralel kenarları arasındaki ardışık açılar bütünler olduğundan açılardan birinin kosinüsü diğerinin kosinüsünün zıt işaretlisine eşittir.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅(−15)=25+16+8=49|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 25 + 16 + 8 = 49, buradan ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur.
İki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Yamuk içinde paralel doğru yardımıyla üçgen oluşturma ve bütünler açıların kosinüs ilişkisini Kosinüs Teoremi ile birleştirme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1375Soru →
x2+y2−4x−6y=3x2−4x−y=−3\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 6y &= 3 \\ x^2 - 4x - y &= -3 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin bileşenleri çarpımının toplamı 22'dir.
Denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen üç gerçek sayı ikilisinin bileşenleri çarpımları sırasıyla 6x16x_1, 6x26x_2 ve −2-2'dir. Burada x1x_1 ve x2x_2 değerleri x2−4x−3=0x^2 - 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri olup toplamları Vieta formülüne göre 44'tür. Dolayısıyla çarpımların toplamı 6(x1+x2)−2=6(4)−2=226(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemden x2−4xx^2 - 4x ifadesini yy cinsinden çekin.
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3
Birinci denklemde ortak olan x2−4xx^2 - 4x teriminin yerine yazarak değişken sayısını teke düşürmek için.
2
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 ifadesini birinci denklemde yerine yazın ve denklemi düzenleyin.
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0
yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için.
3
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak yy değerlerini bulun.
y1=6y_1 = 6 ve y2=−1y_2 = -1
Denklem sistemini sağlayan yy koordinatlarını belirlemek için.
4
Bulunan yy değerlerini x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 eşitliğinde yerine yazarak her bir duruma karşılık gelen xx değerlerini veya bu değerlerin ilişkisini bulun.
y=6  ⟹  x2−4x−3=0y = 6 \implies x^2 - 4x - 3 = 0 (kökler x1x_1 ve x2x_2 olup x1+x2=4x_1+x_2 = 4); y=−1  ⟹  x2−4x+4=0  ⟹  x3=2y = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x_3 = 2
Çözüm kümesindeki gerçek sayı ikililerinin xx bileşenlerini belirlemek veya kökler toplamı ilişkisini kullanmak için.
5
Elde edilen (x,y)(x, y) ikililerinin çarpımlarının toplamını hesaplayın.
x1⋅6+x2⋅6+2⋅(−1)=6(x1+x2)−2=6(4)−2=22x_1 \cdot 6 + x_2 \cdot 6 + 2 \cdot (-1) = 6(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22
Soruda istenen çarpımların toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme ve yerine koyma metotları ile Vieta formüllerinin (kökler toplamı) birlikte uygulanması.
Soru 1376Soru →
f(x)=log⁡3(6x−x2−5)f(x) = \log_{3}(6x - x^2 - 5)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 9'dur.
Logaritma tanımı gereğince 6x−x2−5>06x - x^2 - 5 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (1,5)(1, 5) açık aralığıdır. Taban olan 3 değeri sabit ve tanım şartına uygun olduğundan tanım kümesi (1,5)(1, 5) aralığı olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı da 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulunun çözülmesi
x∈(1,5)x \in (1, 5)
Logaritma tanımına göre log⁡a(b)\log_a(b) ifadesinde b>0b > 0 olmalıdır.
2
Taban kontrolü
Taban 3'tür, pozitif ve 1'den farklıdır.
Taban a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1 şartlarını sağlamalıdır.
3
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
2, 3, 4 tam sayılarının toplamı 9'dur.
(1,5)(1, 5) aralığında bulunan tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulu ile tabanın pozitif ve 1'den farklı olma koşulu birlikte değerlendirilir.
Soru 1377Soru →

Analitik düzlemde, tepe noktası TT olan y=−x2+4xy = -x^2 + 4x parabolü ile y=x+cy = x + c doğrusu iki farklı AA ve BB noktasında kesişmektedir.

TABTAB üçgeninin alanı 1515 birimkare olduğuna göre, cc gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Parabolün tepe noktası T(2,4)T(2, 4) olarak belirlenir. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları A(x1,x1+c)A(x_1, x_1+c) ve B(x2,x2+c)B(x_2, x_2+c) dir. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 12∣2−c∣9−4c\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} formülüyle elde edilir. Alan 1515 birimkareye eşitlendiğinde ve Δ>0\Delta > 0 şartı gözetildiğinde tek reel çözüm c=−4c = -4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T(2,4)T(2, 4)
y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülü ile hesaplanır.
2
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini veren ortak denklemi oluşturmak.
x2−3x+c=0x^2 - 3x + c = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olur.
Kesişim noktalar��nı bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.
3
TABTAB üçgeninin alan formülünü cc parametresi cinsinden ifade etmek.
Alan(TAB)=12∣2−c∣9−4c\text{Alan}(TAB) = \frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c}
[AB][AB] taban uzunluğu ∣x2−x1∣2=2(9−4c)|x_2 - x_1|\sqrt{2} = \sqrt{2(9-4c)} ile T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı (yükseklik h=∣c−2∣/2h = |c-2|/\sqrt{2}) çarpılıp ikiye bölündüğünde bu alan ifadesine ulaşılır.
4
Alan ifadesini 1515 değerine eşitleyerek cc parametresini çözmek.
c=−4c = -4
12∣2−c∣9−4c=15⇒(2−c)2(9−4c)=900\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} = 15 \Rightarrow (2-c)^2(9-4c) = 900 denklemini sağlayan ve parabol ile do��runun iki farklı noktada kesişmesi için gerekli olan Δ=9−4c>0\Delta = 9-4c > 0 (c<2.25c < 2.25) şartına uyan tek reel sayı c=−4c = -4 değeridir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktaları AA ve BB arasındaki uzaklık [AB][AB] taban uzunluğu olarak alınabilir. T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı ise yükseklik (hh) olarak hesaplanır. Taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı 1515 birimkareye eşitlenerek cc değeri bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1378Soru →

arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 3'tür.
Ters tanjant fonksiyonunun tanımı gereği arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} ifadesi x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) eşitliğine denktir. tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 olduğu bilindiğinden, x−2=1x - 2 = 1 denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters tanjant fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edin.
x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u temel tanımı gereğidir.
2
Bilinen özel açının tanjant değerini denklemde yerine yazın.
x−2=1x - 2 = 1
π4\frac{\pi}{4} radyanlık (45∘45^\circ) açının tanjant değeri 1'e eşittir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakın.
x=3x = 3
x−2=1x - 2 = 1 denkleminde −2-2 eşitliğin karşı tarafına +2+2 olarak geçirilerek xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı
Soru 1379Soru →

Her xx gerçel sayısı için tanımlı f(x)=(∣m∣−2)xf(x) = (|m| - 2)^x fonksiyonunun üstel bir fonksiyon belirtmesini sağlayan mm gerçel sayılarının kümesi (−∞,−2)∪(2,∞)(-\infty, -2) \cup (2, \infty) aralığıdır. Bu ifade doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Doğru küme ((−∞,−2)∪(2,∞))∖{−3,3}((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \setminus \{-3, 3\} olmalıdır.
Verilen ifade yanlıştır, çünkü üstel fonksiyon tanımında tabanın 1'den farklı olması koşulu (∣m∣−2≠1|m| - 2 \neq 1) atlanmıştır. Doğru kümeden 33 ve −3-3 değerleri çıkarılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanım kümesi ve taban özelliklerini hatırlama
f(x)=axf(x) = a^x biçimindeki bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1 olması gerekir.
Üstel fonksiyon tanımının temel kuralları bu iki koşula dayan��r.
2
Tabanın pozitif olma koşulunu uygulama
∣m∣−2>0  ⟹  ∣m∣>2  ⟹  m∈(−∞,−2)∪(2,∞)|m| - 2 > 0 \implies |m| > 2 \implies m \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)
Tabanın pozitif gerçek sayı olması gerektiği için mutlak değerli eşitsizlik çözülür.
3
Tabanın 1'den farklı olma koşulunu uygulama
∣m∣−2≠1  ⟹  ∣m∣≠3  ⟹  m≠±3|m| - 2 \neq 1 \implies |m| \neq 3 \implies m \neq \pm 3
Taban 1 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyona dönüştüğü için üstel fonksiyon kabul edilmez.
4
Bulunan koşulları birleştirme ve ifadeyi değerlendirme
En geniş küme ((−∞,−2)∪(2,∞))∖{−3,3}((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \setminus \{-3, 3\} olarak bulunur. Soruda verilen kümede ±3\pm 3 değerleri çıkarılmadığı için ifade yanlıştır.
Elde edilen iki kümenin kesişimi alınarak en geniş tanım kümesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı ve 1'den farklı olması gerekir.
Soru 1380Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=3\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} + \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = 3

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 454\sqrt{5}

Cevap

454\sqrt{5}
Verilen rasyonel köklü ifadelerin paydaları eşitlenip toplandığında ifade 2∣sin⁡x∣\frac{2}{|\sin x|} şekline sadeleşir. Açının üçüncü bölgede yer almasından dolayı sinüs fonksiyonu negatif değer alır ve mutlak değer dışına −sin⁡x-\sin x olarak çıkar. Buradan sin⁡x=−23\sin x = -\frac{2}{3} ve dik üçgen bağıntıları yardımıyla tan⁡x=25\tan x = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü uygulandığında doğru sonuç 454\sqrt{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadelerin paydaların�� eşitleyerek ortak paydada toplamak.
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=(1+cos⁡x)+(1−cos⁡x)1−cos⁡2x=2sin⁡2x=2∣sin⁡x∣\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}} + \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{2}{|\sin x|}
Köklü ifadeleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek amacıyla payda eşitleme işlemi yapılır.
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak mutlak değer dışına çıkarma işlemini tamamlamak ve sin⁡x\sin x değerini elde etmek.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (üçüncü bölge) sinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olur. Bu durumda,
2−sin⁡x=3  ⟹  sin⁡x=−23\frac{2}{-\sin x} = 3 \implies \sin x = -\frac{2}{3} elde edilir.
Karekök dışına çıkan ifadelerin işaret belirlemesi, açının tanımlı olduğu koordinat düzlemi bölgesine göre yapılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos⁡x\cos x ve tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından,
cos⁡x=−1−sin⁡2x=−1−49=−53\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}
Buradan tanjant değeri,
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−2/3−5/3=25\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}
olarak bulunur.
İki kat açı formülünü uygulamak için gerekli olan tek kat açının tanjant değeri belirlenir.
4
Tanjant iki kat açı formülünü uygulayarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplamak.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=2⋅251−(25)2=451−45=4515=205=45\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}
İki kat açıya geçiş yaparak soruda bizden istenen nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve bölge özelliklerine göre trigonometrik ifadelerin mutlak değer yardımıyla sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 69 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin