Tüm alıştırma soruları

Tanımlı olduğu aralıkta $x$ gerçel sayısı için,

\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(3\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) \cdot \sin(\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

-2

0

-2\tan x

2

2\cot x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En sade biçimi 2 olan ifade

İndirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında pay kısmındaki ifade

2\cos x

, payda kısmındaki ifade ise

\cos x

olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle en sade biçim 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların esas ölçülerini belirleme

\frac{5\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

,

3\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

ve

\frac{7\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

olarak bulunur.

2\pi

değerinden büyük olan radyan cinsinden açıları indirgeyebilmek için öncelikle

2\pi

katlarını çıkararak esas ölçülerini bulmamız gerekir.

2

Bölgelere göre indirgeme formüllerini uygulama

\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

(1. bölge, sinüs pozitif, isim değişir)

\cos(\pi + x) = -\cos x

(3. bölge, kosinüs negatif, isim değişmez)

\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x

(3. bölge, tanjant pozitif, isim değişir)

\sin(\pi - x) = \sin x

(2. bölge, sinüs pozitif, isim değişmez)

Her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgeye düştüğünü belirleyip o bölgedeki işaretine göre indirgeme kurallarını uygularız. Açı

\frac{\pi}{2}

veya

\frac{3\pi}{2}

cinsinden yazıldığında fonksiyon isim değiştirir (sin

\leftrightarrow

cos, tan

\leftrightarrow

cot);

\pi

cinsinden yazıldığında ise isim değişmez.

3

İfadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapma

Pay kısmı:

\cos x - (-\cos x) = 2\cos x

Payda kısmı:

\cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x

Sonuç:

\frac{2\cos x}{\cos x} = 2

Bulunan indirgenmiş ifadeler kesirde yerlerine yazılır ve

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

özdeşliği kullanılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması

Soru 1382Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası $y$ -ekseni üzerinde olan ve denklemi $y = 12 - x^2$ olan parabol verilmiştir. Bu parabol ile $x$ -ekseni arasında kalan bölgeye; tabanı $x$ -ekseni üzerinde, diğer iki köşesi ise parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor. Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en fazla kaç birim olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en fazla 26 birimdir.

Parabolün simetri ekseni

y

-ekseni olduğundan, içerisine çizilen dikdörtgen de

y

-eksenine göre simetriktir. Taban köşeleri

(-x, 0)

ve

(x, 0)

alındığında taban uzunluğu

2x

, yüksekliği ise parabol üzerindeki noktaların ordinatı olan

12 - x^2

olur. Bu durumda çevre fonksiyonu

C(x) = -2x^2 + 4x + 24

biçiminde kurulur. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Apsis

r = 1

iken ordinat

C(1) = 26

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bir değişken cinsinden ifade etmek.

Dikdörtgenin

x

-ekseni üzerindeki köşeleri

(-x, 0)

ve

(x, 0)

olsun (

x > 0

). Bu durumda dikdörtgenin taban uzunluğu

2x

birim olur. Diğer iki köşesi parabol üzerinde yer aldığından, bu köşelerin koordinatları

(-x, 12 - x^2)

ve

(x, 12 - x^2)

olur. Dolayısıyla dikdörtgenin yüksekliği

12 - x^2

birimdir.

Çevre fonksiyonunu oluşturabilmek için kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazmamız gerekir.

2

Dikdörtgenin çevresini veren fonksiyonu oluşturmak.

Çevre fonksiyonu

C(x) = 2 \cdot (\text{Taban} + \text{Yükseklik}) = 2 \cdot (2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24

olarak elde edilir.

En büyük çevre de��erini bulmak için çevre uzunluğunu temsil eden ikinci dereceden fonksiyonu tanımlamamız gerekir.

3

İkinci dereceden çevre fonksiyonunun maksimum değerini hesaplamak.

Baş katsayısı negatif olan

C(x) = -2x^2 + 4x + 24

parabolü en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1

olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak en büyük çevre değeri

C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26

birim olarak hesaplanır.

Bir parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinatıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik optimizasyon problemlerinde istenen büyüklük (çevre, alan vb.) tek bir değişken cinsinden modellenerek ikinci dereceden bir fonksiyon elde edilir. Bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri tepe noktasının ordinatı yardımıyla bulunur.

Soru 1383Soru →

0 < x < \frac{\pi}{2}

olmak üzere,

\cos(2x) = \frac{17}{25}

olduğuna göre,

\sin x

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

0,4

Kosinüsün yarım açı açılımı olan

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

eşitliğinde

\cos(2x) = 17/25

yazıldığında

\sin^2 x = 4/25

bulunur. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif olduğundan

\sin x = 2/5 = 0,4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs yarım açı formülünü yazmak

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

Bilinen

\cos(2x)

değeri üzerinden aranan

\sin x

değerini bulabilmek için uygun olan yarım açı formülü seçilir.

2

Denklemde verilen değeri yerine yerleştirmek ve çözmek

\frac{17}{25} = 1 - 2\sin^2 x \implies 2\sin^2 x = 1 - \frac{17}{25} = \frac{8}{25} \implies \sin^2 x = \frac{4}{25}

\sin x

değerini elde etmek amacıyla

\sin^2 x

ifadesi yalnız bırakılır.

3

Açının bulunduğu bölgeye göre doğru işareti belirlemek

0 < x < \frac{\pi}{2}

aralığında

\sin x

pozitif olduğundan

\sin x = \frac{2}{5} = 0,4

bulunur.

Birinci bölgede sinüs fonksiyonunun değeri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1384Soru →

İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımı veya bölümü şeklinde verilen eşitsizlikler çözülürken her bir çarpanın kökleri bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.

Buna göre,

\frac{(9 - x^2) \cdot (x - 2)^3}{(x^2 - 2x - 3) \cdot |x - 4|} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının

[-5, 5]

kapalı aralığındaki toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Verilen eşitsizliği

[-5, 5]

kapalı aralığında sağlayan tam sayıların toplamı -9'dur.

Verilen eşitsizlik rasyonel bir ifadedir. Pay ve payda çarpanlara ayrılarak kökler bulunur. Paydadaki

|x-4|

ifadesi

x = 4

noktasında çift katlı kök oluştururken paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlığa sebep olur.

x = 3

değeri ise hem pay hem de paydada yer alıp sadeleşse de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden hariç tutulmalıdır. İşaret tablosu çıkarıldığında ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar

(-\infty, -3] \cup (-1, 2]

olarak bulunur. Bu aralıktaki

[-5, 5]

kapsamındaki tam sayılar

-5, -4, -3, 0, 1, 2

olup toplamları

-9

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikteki çarpanların köklerini belirleme.

Payın kökleri:

x = -3, 3, 2

; Paydanın kökleri:

x = -1, 3

ve çift katlı kök

x = 4

.

İşaret incelemesi için kritik noktaların ve tan��msızlık yapan değerlerin bulunması gerekir.

2

Payda sıfırlayan kökleri tanım kümesinden hariç tutma.

x \neq -1

,

x \neq 3

ve

x \neq 4

şartları elde edilir.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.

3

Ortak çarpanları sadeleştirme ve işaret tablosu yönünü belirleme.

\frac{(x+3)(x-2)^3}{(x+1)|x-4|} \le 0

eşitsizliğine ulaşılır.

9-x^2

ifadesi

-(x-3)(x+3)

şeklinde yazılarak paydadaki

(x-3)

ile sadeleştirilir ve negatif katsayı eşitsizliğin yönünü değiştirir.

4

İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin sağlandığı aralığı bulma.

x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 2]

aralığı elde edilir.

Sadeleşen ifadenin kökleri üzerinden yapılan işaret incelemesinde negatif bölgeler belirlenir.

5

Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayıları

[-5, 5]

aralığına göre sınırlayarak toplama.

(-5) + (-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 = -9

Koşulları sağlayan tam sayılar belirlenerek toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin İşaret Tablosu ile Çözümü

Soru 1385Soru →

f(x) = (a - 4)^x

g(x) = (8 - a)^x

ifadeleri birer üstel fonksiyon belirttiğine göre, $a$ parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

11

13

6

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.

Üstel fonksiyonların tanımlı olabilmesi için tabanlarının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir. Bu kurallardan hareketle a sayısının 4 ile 8 açık aralığında olması, ancak 5 ve 7 değerlerini alamaması gerektiği bulunur. Bu aralıktaki tek uygun tam sayı değeri 6 olduğundan, alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı da 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = (a - 4)^x

fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtme şartlarını incelemek.

a - 4 > 0 \Rightarrow a > 4

ve

a - 4 \neq 1 \Rightarrow a \neq 5

elde edilir.

Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

2

g(x) = (8 - a)^x

fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtme şartlarını incelemek.

8 - a > 0 \Rightarrow a < 8

ve

8 - a \neq 1 \Rightarrow a \neq 7

elde edilir.

Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

3

Elde edilen şartların ortak çözümünü bulmak ve uygun tam sayı değerlerini belirlemek.

a \in (4, 8) \setminus \{5, 7\}

olur. Bu aralıktaki tek tam sayı

a = 6

değeridir. Bu değerin toplamı da 6 yapar.

Her iki fonksiyonun da aynı anda üstel fonksiyon belirtmesi için koşulların kesişimi alınır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların taban özellikleri ve tanım kümesi sınırlamaları

Soru 1386Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak ��zere,

\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16\cos^2(2x)

olduğuna göre, $\cos x$ değeri kaçtır?

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Cevap

-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

değeri doğru cevaptır.

Verilen denklem payda eşitleme ve ardışık olarak sinüs yarım açı formülleri uygulandığında

\sin^2(4x) = 1

denklemine dönüşür. Belirtilen

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında bu eşitliği sağlayan tek kök

x = \frac{9\pi}{8}

açısıdır. Bu açının iki katı olan

2x = \frac{9\pi}{4}

açısının kosinüsü

\frac{\sqrt{2}}{2}

olup yarım açı formülü yardımıyla

\cos^2 x = \frac{2+\sqrt{2}}{4}

elde edilir.

x

açısı üçüncü bölgede yer aldığından kosinüsü negatiftir ve karekök alındığında negatif olan değer doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde paydaları eşitleyerek sol taraftaki ifadeyi tek bir kesir haline getirin.

\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}

elde edilir.

Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.

2

Sinüs yarım açı formülünü (

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

) kullanarak paydayı düzenleyin.

\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}

olduğundan, paydadaki ifade

\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4}

olur. Bu durumda denklemin sol tarafı

\frac{4}{\sin^2(2x)}

haline gelir.

Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri aynı açı cinsinden yazarak denklemi çözülebilir kılmak amaçlanmıştır.

3

Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak içler dışlar çarpımı yapın ve sinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayın.

\frac{4}{\sin^2(2x)} = 16\cos^2(2x) \implies 4 = 16\sin^2(2x)\cos^2(2x) \implies \sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{1}{4}

elde edilir.

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

formülünün karesini alırsak,

\sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{\sin^2(4x)}{4}

olur. Buradan

\frac{\sin^2(4x)}{4} = \frac{1}{4} \implies \sin^2(4x) = 1

bulunur.

Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon (

\sin 4x

) cinsinden yazarak kökleri bulmayı kolaylaştırmak hedeflenmiştir.

4

x

açısının tanım aralığından yararlanarak

4x

açısının aralığını belirleyin ve

\sin(4x) = 1

denklemini çözün.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \implies 4x \in (4\pi, 5\pi)

olur. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığından,

\sin^2(4x) = 1 \implies \sin(4x) = 1

olmalıdır. Buradan

4x = 4\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{8}

bulunur.

Açının bulunduğu bölge, trigonometrik fonksiyonların işaretini ve tam değerini belirlemek için kritiktir.

5

\cos(2x)

değerini hesaplayın ve ardından kosinüs yarım açı formülüyle (

\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

)

\cos x

değerini bulun.

2x = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}

olduğundan,

\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

olur. Yarım açı formülünden:

\cos^2 x = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}

elde edilir.

x = \frac{9\pi}{8}

açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla,

\cos x = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

bulunur.

2x

açısının kosinüs değerini yarım açı formülüyle

x

açısına indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak ve bölgeye göre doğru işareti seçmek gerekir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım açı formüllerinin uygulanması ve trigonometrik denklemlerde aralığa bağlı olarak bölge ve işaret analizinin yapılması.

Soru 1387Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası üçüncü bölgededir. $OP$ doğru parçasının $x$ -ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı $\theta$ olmak üzere, $P$ noktasından $x$ -eksenine inilen dikmenin ayağı $A$ , $y$ -eksenine inilen dikmenin ayağı $B$ noktasıdır. Buna göre, $OAPB$ dikdörtgeninin çevresinin $\theta$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

2(\sin\theta + \cos\theta)

2(\sin\theta - \cos\theta)

2(\cos\theta - \sin\theta)

-2(\sin\theta + \cos\theta)

-2\sin\theta\cos\theta

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2(\sin\theta + \cos\theta)$

Cevap

Dikdörtgenin çevresi

-2(\sin\theta + \cos\theta)

birimdir.

Üçüncü bölgede bulunan

P

noktasının koordinatları

(\cos\theta, \sin\theta)

'dır. Bu bölgede kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının değerleri negatif olduğundan,

OAPB

dikdörtgeninin kenar uzunlukları

|OA| = -\cos\theta

ve

|OB| = -\sin\theta

olarak belirlenir. Çevre formülü olan

2(|OA| + |OB|)

uygulandığında doğru çevre ifadesi

-2(\sin\theta + \cos\theta)

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

P

noktasının koordinatlarını belirleme.

P

noktasının koordinatları

P(\cos\theta, \sin\theta)

olur.

Birim çember üzerindeki her noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.

2

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını mutlak değerce ifade etme.

|OA| = -\cos\theta

ve

|OB| = -\sin\theta

birimdir.

\theta

açısı üçüncü bölgede yer aldığı için bu bölgede hem

\sin\theta

hem de

\cos\theta

negatiftir. Uzunluk negatif olamayacağı için koordinatların önüne eksi işareti konularak pozitif değerler elde edilir.

3

Dikdörtgenin çevresini hesaplama.

Çevre

= 2(|OA| + |OB|) = 2(-\cos\theta - \sin\theta) = -2(\sin\theta + \cos\theta)

birimdir.

Dikdörtgenin çevresi, komşu iki kenar uzunluğunun toplamının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik ifadeleri ve bölgelere göre işaret değişimi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1388Soru →

f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sayısal değeri 4'tür.

Tanım ve değer aralıklarına dikkat edilerek yapılan hesaplamalarda,

f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}

ve

f(\sqrt{3}) = \pi

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamının

\frac{3}{\pi}

katı alındığında sonuç 4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2-\sqrt{3}

değerini

\frac{2x}{1+x^2}

ve

\frac{1-x^2}{1+x^2}

ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.

x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}

\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1+7-4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-(7-4\sqrt{3})}{8-4\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Ters trigonometrik fonksiyonların içindeki cebirsel argümanları hesaplamak için.

2

f(2-\sqrt{3})

değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirelim.

f(2-\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{ve} \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}

\arcsin

ve

\arccos

fonksiyonlarının

[-\pi/2, \pi/2]

ve

[0, \pi]

değer aralıklarındaki karşılıklarını bulmak için.

3

x = \sqrt{3}

değerini

\frac{2x}{1+x^2}

ve

\frac{1-x^2}{1+x^2}

ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.

\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-3}{1+3} = -\frac{1}{2}

x = \sqrt{3}

noktası için fonksiyonun argümanlarını belirlemek için.

4

f(\sqrt{3})

değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirip ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre hesaplayalım.

f(\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}

\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

f(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi

\arccos(y)

fonksiyonunun değer kümesi

[0, \pi]

olduğundan, kosinüsü

-1/2

olan açı

\frac{2\pi}{3}

olmalıdır.

5

Elde edilen

f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}

ve

f(\sqrt{3}) = \pi

değerlerini ana ifadede yerine koyalım.

\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right] = \frac{3}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} = 4

İstenen cebirsel ifadenin nihai sayısal sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları (özellikle

\arccos

ve

\arcsin

sınırları)

Soru 1389Soru →

f(x) = \arcsin(2x - 3)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[1, 2]

[2, 4]

[-1, 1]

[1, 3]

\left[\frac{6 - \pi}{4}, \frac{6 + \pi}{4}\right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[1, 2]$

Cevap

[1, 2]

aralığı

Ters sinüs fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının

[-1, 1]

kapalı aralığında yer alması gerekir. Bu kurala göre oluşturulan

-1 \le 2x - 3 \le 1

eşitsizliği çözüldüğünde

1 \le x \le 2

elde edilir ve bu da

[1, 2]

aralığına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

arcsin fonksiyonunun tanım aralığını belirleme.

f(x) = \arcsin(u)

fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için

-1 \le u \le 1

olmalıdır. Bu soruda

u = 2x - 3

olduğundan

-1 \le 2x - 3 \le 1

elde edilir.

arcsin fonksiyonu, sinüs fonksiyonunun

[-1, 1]

aralığındaki değerlerine karşılık gelen açıları bulduğu için tanım kümesi

[-1, 1]

ile sınırlıdır.

2

Elde edilen eşitsizliği çözerek

x

değişkenini yalnız bırakma.

-1 \le 2x - 3 \le 1

eşitsizliğinde her tarafa 3 eklenirse

2 \le 2x \le 4

elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse

1 \le x \le 2

bulunur.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için

x

değişkeninin alabileceği değer aralığı elde edilmelidir.

Anahtar Kavram

Ters sinüs (arcsin) fonksiyonunun tanım kümesi

[-1, 1]

aralığıdır. Bir

f(x) = \arcsin(g(x))

fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için

-1 \le g(x) \le 1

eşitsizliği çözülür.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1390Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 3x + 1$ parabolüne üzerindeki bir $A$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $y = x^2 - 7x + 13$ parabolüne de $B$ noktasında teğettir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

\sqrt{2}

2

2\sqrt{2}

4

4\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{2}$

Cevap

Teğet noktaları arasındaki uzaklık

2\sqrt{2}

birimdir.

Ortak teğet doğrusunun denklemi olan

y = x - 3

doğrusu ile parabollerin ortak çözümünden elde edilen teğet noktaları sırasıyla

A(2, -1)

ve

B(4, 1)

olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık, iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle

\sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = 2\sqrt{2}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak teğet doğrusunun denklemini tanımlama

Ortak teğet doğrusu

y = mx + n

olsun.

Her iki parabole de teğet olan doğrunun eğimini (

m

) ve

y

eksenini kestiği noktayı (

n

) bulmak i��in genel bir doğru modeli oluşturulur.

2

Birinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını (diskriminant) uygulama

x^2 - 3x + 1 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+3)x + (1-n) = 0

denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_1 = (m+3)^2 - 4(1-n) = 0 \Rightarrow 4(1-n) = (m+3)^2

.

Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözümlerinden elde edilen ikinci dereceden denklemin çakışık iki kökü olmalıdır, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.

3

İkinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını uygulama

x^2 - 7x + 13 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+7)x + (13-n) = 0

denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_2 = (m+7)^2 - 4(13-n) = 0 \Rightarrow 4(13-n) = (m+7)^2

.

Doğru aynı zamanda ikinci parabole de teğet olduğundan, bu ortak çözüm denkleminin de diskriminantı sıfır olmalıdır.

4

Denklemleri ortak çözerek doğrunun eğimini (

m

) bulma

4(13-n) = 52 - 4n

ve

4(1-n) = 4 - 4n

ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak;

48 = (m+7)^2 - (m+3)^2 \Rightarrow 48 = 8m + 40 \Rightarrow 8m = 8 \Rightarrow m = 1

elde edilir.

İki bilinmeyenli iki diskriminant denkleminden

n

parametresini yok ederek tek bilinmeyenli

m

değerine ulaşmak amaçlanır.

5

Doğrunun sabit terimini (

n

) bulma ve denklem oluşturma

m = 1

için

4(1-n) = 16 \Rightarrow 1-n = 4 \Rightarrow n = -3

bulunur. Ortak teğet doğrusunun denklemi

y = x - 3

olur.

Bulunan eğim değeri diskriminant denklemlerinden birinde yerine yazılarak doğrunun tam denklemi elde edilir.

6

Teğet noktaları olan

A

ve

B

koordinatlarını belirleme

Birinci parabol için:

x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_A = 2

ve

y_A = 2 - 3 = -1 \Rightarrow A(2, -1)

bulunur. İkinci parabol için:

x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 = 0 \Rightarrow x_B = 4

ve

y_B = 4 - 3 = 1 \Rightarrow B(4, 1)

bulunur.

Teğet noktalarının apsisleri, ortak çözüm denkleminin çakışık kökleridir. Ordinatlar ise doğrunun denkleminde apsislerin yerine yazılmasıyla elde edilir.

7

Teğet noktaları arasındaki uzaklığı hesaplama

|AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

birim bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü (

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

) kullanılarak

A

ve

B

noktaları arasındaki mesafe hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki parabolün ortak teğet doğrusunun bulunması ve teğet noktaları arasındaki uzaklığın diskriminant yardımıyla hesaplanması.

Soru 1391Soru →

\sin x \neq 0

ve

\cos x \neq 0

olmak üzere,

\frac{\sin(2x)}{\sin x} - \frac{\cos(2x)}{\cos x} = 4

olduğuna göre,

\cos x

değeri kaçtır?

-\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

-\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{1}{4}

Verilen denklemde

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

ve

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

formülleri yerine yazılıp sadeleştirildiğinde

\frac{1}{\cos x} = 4

eşitliği elde edilir. Buradan

\cos x = \frac{1}{4}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısımlarındaki

\sin(2x)

ve

\cos(2x)

ifadeleri için yarım açı formüllerini yazalım.

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

ve

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

formülleri elde edilir.

Verilen denklemdeki çift açılı ifadeleri tekil açılara indirgeyerek sadeleştirmek için.

2

Bu formülleri denklemde yerlerine yerleştirelim.

\frac{2\sin x \cos x}{\sin x} - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4

denklemi elde edilir.

Denklemi sadeleştirilebilir bir forma getirmek için.

3

İlk terimdeki ortak olan

\sin x

çarpanlarını sadeleştirelim.

2\cos x - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4

denklemi elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltmak ve ifadeyi basitleştirmek için.

4

Denklemde payda eşitlemesi yaparak çıkarma işlemini gerçekleştirelim.

\frac{2\cos^2 x - (2\cos^2 x - 1)}{\cos x} = 4

ifadesi elde edilir.

İki terimli ifadeyi tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek için.

5

Pay kısmındaki parantezi açıp sadeleştirmeyi tamamlayarak

\cos x

değerini çekelim.

\frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 x + 1}{\cos x} = 4 \implies \frac{1}{\cos x} = 4 \implies \cos x = \frac{1}{4}

olarak bulunur.

Bilinmeyen olan

\cos x

değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1392Soru →

\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Bir bölü iki

Verilen ifade kosinüs fark formülünün doğrudan bir uygulamasıdır. Formüle göre,

\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ) = \cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ)

olur.

\cos(60^\circ)

değeri ise bir bölü ikiye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadenin yapısını inceleyerek uygun trigonometrik formülü belirlemek.

İfade

\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)

bi��imindedir. Bu yapı kosinüsün fark formülü olan

\cos(a-b)

ifadesinin açılımıdır.

Çarpım durumundaki kosinüs ve sinüs terimlerinin toplamı kosinüs fark formülüne işaret eder.

2

Açı değerlerini formülde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirmek.

a = 70^\circ

ve

b = 10^\circ

değerleri için ifade

\cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ)

şeklini alır.

Toplam-fark formülü yardımıyla iki ayrı açının trigonometrik çarpımları tek bir açının trigonometrik değerine dönüştürülür.

3

Elde edilen standart açının kosinüs değerini hesaplamak.

\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}

sonucuna ulaşılır.

60^\circ

açısının kosinüs değeri trigonometride bilinen temel bir değerdir.

Anahtar Kavram

Kosinüs fark formülü

Soru 1393Soru →

Bir tiyatro toplulu��u, sahneleyecekleri yeni oyun için bilet fiyatını belirlemek amacıyla bir pazar araştırması yapmıştır. Bu araştırmaya göre;

* Bilet fiyatı $x$ TL olarak belirlendiğinde oyunu izlemeye gelecek seyirci sayısı $200 - 2x$ kişi olmaktadır.
* Topluluğun bu oyun için yapacağı salon kirası ve reklam gibi sabit giderlerin toplamı 1200 TL'dir.
* Sabit giderlerin yanı sıra, oyunu izleyen her bir seyirci için telif ve ikram gibi 10 TL değişken gider bulunmaktadır.

Buna göre, bu tiyatro topluluğunun bu oyundan elde edebileceği maksimum kâr kaç TL'dir?

1850

2800

2850

3800

4050

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2850

Cevap

Maksimum kâr 2850 TL'dir.

Tiyatro topluluğunun kâr fonksiyonu

K(x) = -2x^2 + 220x - 3200

olarak modellenir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi

r = 55

olup, maksimum kârı veren bilet fiyatıdır. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 2850 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bilet fiyatına bağlı olarak elde edilecek toplam gelir fonksiyonunu oluşturmak.

G(x) = x \cdot (200 - 2x) = 200x - 2x^2

Toplam gelir, satılan bilet fiyatı ile seyirci sayısının çarpımı ile hesaplanır.

2

Bilet fiyatına bağlı olarak oluşacak toplam gider fonksiyonunu oluşturmak.

C(x) = 1200 + 10 \cdot (200 - 2x) = 3200 - 20x

Toplam gider, sabit gider ile seyirci başına düşen değişken giderin toplamından oluşur.

3

Kâr fonksiyonunu elde etmek.

K(x) = G(x) - C(x) = -2x^2 + 220x - 3200

Kâr, toplam gelirden toplam giderin çıkarılmasıyla bulunur.

4

Kârı maksimum yapan bilet fiyatını (tepe noktasının apsisini) bulmak.

r = -\frac{220}{2(-2)} = 55

İkinci dereceden bir fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan, en büyük değerini tepe noktasında alır.

5

Maksimum kâr değerini hesaplamak.

K(55) = -2(55)^2 + 220(55) - 3200 = 2850

Kârı en yüksek yapan bilet fiyatı kâr fonksiyonunda yerine yazılarak maksimum kazanç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün maksimum değerini bulmak için öncelikle model fonksiyonunun oluşturulması ve ardından tepe noktasının ordinatının (k) hesaplanması gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1394Soru →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

a = \sin x \cdot \cos x

b = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x

c = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanış�� aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

c < a < b

b < c < a

b < a < c

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < b < a$

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.

Sıralamada a değeri iki negatif değerin çarpımı olduğu için kesinlikle pozitif olup en büyüktür. b değeri sadeleştirildiğinde kosinüs değerine eşit olup negatiftir. c değeri ise sinüs ile kosinüsün iki katının toplamına eşit olup yine negatiftir. İki negatif değer karşılaştırıldığında, sinüs ve kosinüsün toplamı negatif olduğundan c değeri b değerinden daha küçüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel trigonometrik işaretleri belirleme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede hem sinüs hem de kosinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir:

\sin x < 0

ve

\cos x < 0

. Ayrıca bu aralıkta açının büyüklüğünden dolayı

\sin x < \cos x < 0

eşitsizliği geçerlidir.

İfadelerin sadeleştirilmesinde mutlak değerlerin dışarıya nasıl çıkacağını ve işaretlerini belirlemek için bölge analizi şarttır.

2

a ifadesinin işaretini belirleme

a = \sin x \cdot \cos x

ifadesinde iki negatif değerin çarpımı pozitif bir sonuç verir. Dolayısıyla

a > 0

olur.

Çarpım durumundaki ifadelerin işaret kuralını uygulayarak a değerinin pozitif olduğunu buluruz.

3

b ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme

1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2

özdeşliği kullanılır.
Kök dışına çıkarma işlemi yapılırsa:

\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = | \sin x - \cos x |

Üçüncü bölgedeki bu aralıkta

\sin x < \cos x

olduğundan, mutlak değerin içi negatiftir. Dışarıya işaret değiştirerek çıkar:

| \sin x - \cos x | = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x

İfade yerine yazıldığında:

b = (\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x

elde edilir.
Kosinüs üçüncü bölgede negatif olduğundan

b < 0

olur.

Karekök içerisindeki tam kare ifadeyi mutlak değer dışına bölge kurallarına uygun olarak çıkarıp b değerini sadeleştirmek gerekir.

4

c ifadesini iki küp toplamı açılımı ile sadeleştirme

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

özdeşliği pay kısmına uygulanır.
Buna göre c ifadesi:

c = \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} + \cos x

Pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilirse:

c = \sin x + \cos x + \cos x = \sin x + 2\cos x

elde edilir.
Her iki terim de negatif olduğundan

c < 0

olur.

Küp açılımını kullanarak c ifadesini rasyonel formdan kurtarıp en sade haline getirmek gerekir.

5

Elde edilen a, b ve c değerlerini karşılaştırarak sıralama

a > 0

,

b < 0

ve

c < 0

olduğundan a en büyük değerdir.
Negatif olan b ve c değerlerini kıyaslamak için farklarına bakalım:

c - b = (\sin x + 2\cos x) - \cos x = \sin x + \cos x

Her iki değer de negatif olduğundan toplamları da negatiftir:

c - b < 0 \implies c < b

olur.
Bu durumda sıralama

c < b < a

şeklinde gerçekleşir.

Pozitif ve negatif olan değerleri kendi aralarında kıyaslayarak kesin sıralamayı elde ederiz.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgede trigonometrik fonksiyonların işaret ve büyüklük sıralaması ile temel özdeşliklerin (tam kare ve iki küp toplamı) uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 1395Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)

olmak üzere,

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\cos(2x)} = 3\tan(2x)

olduğuna göre,

13\sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12 olarak bulunur.

Verilen aralıkta kosinüs değerleri pozitif olduğundan, kareköklü ifadeler mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sadeleştirmeler sonucunda

\tan(2x) = 2/3

bulunur. Sinüsün yarım açı formülü kullanılarak

\sin(4x) = 12/13

elde edilir ve buradan

13\sin(4x) = 12

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

En içteki kareköklü ifadeyi yarım açı formülü kullanarak basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(8x)} = 2\cos(4x)

1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta

özdeşliği ve

x \in (0, \pi/8)

için

4x \in (0, \pi/2)

olduğundan

\cos(4x) > 0

olması.

2

Dıştaki kareköklü ifadeyi basitleştirme

\sqrt{2 + 2\cos(4x)} = 2\cos(2x)

1 + \cos(4x) = 2\cos^2(2x)

özdeşliği ve

2x \in (0, \pi/4)

aralığında

\cos(2x) > 0

olması.

3

Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazarak

\tan(2x)

değerini bulma

\tan(2x) = \frac{2}{3}

\cos(2x) \neq 0

olduğundan pay ve paydadaki

\cos(2x)

terimlerinin sadeleşmesi.

4

\sin(4x)

değerini yarım açı formülüyle

\tan(2x)

cinsinden hesaplama

\sin(4x) = \frac{12}{13}

\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}

formülünde

\theta = 2x

yazılması.

5

13\sin(4x)

değerini hesaplama

12

13 \cdot \frac{12}{13} = 12

işleminin yapılması.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri ile kareköklü ifadelerin sadeleştirilmesi ve sinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.

Soru 1396Soru →

Tanımlı olduğu

x

değerleri için,

\frac{2\left(\sin(3x)\cos^3 x + \cos(3x)\sin^3 x\right)}{3\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin(2x); \sin(2x); sin2x; \sin2x; sin(2*x); \sin(2*x)

Cevap

\sin(2x)

Verilen ifade toplam-fark ve iki kat açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde pay kısmı

3\sin(2x)\cos(2x)

değerine, payda kısmı ise iki kare farkı açılımından

3\cos(2x)

değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise

\sin(2x)

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki ifadeyi düzenlemek için

\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x

ve

\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x

özdeşliklerini yazalım.

Pay:

2\left(\sin(3x)\cos x \cdot \cos^2 x + \cos(3x)\sin x \cdot \sin^2 x\right)

İfadeyi toplam-fark ve yarım açı formüllerini uygulayabileceğimiz bir formata dönüştürmek.

2

\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}

ve

\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}

yarım açı formüllerini paydaki ifadede yerine yazalım.

Pay:

2\left(\sin(3x)\cos x \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) + \cos(3x)\sin x \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)\right)

Dereceleri düşürerek toplam-fark formüllerini uygulayacak terimler elde etmek.

3

Dışarıdaki

2

katsayısını dağıtarak paydadaki

2

değerlerini sadeleştirelim ve ifadeyi açalım.

Pay:

\left(\sin(3x)\cos x + \cos(3x)\sin x\right) + \cos(2x)\left(\sin(3x)\cos x - \cos(3x)\sin x\right)

İfadeyi gruplandırarak toplam ve fark formüllerine uygun hale getirmek.

4

Sinüs toplam ve fark formüllerini (

\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

) uygulayalım.

Pay:

\sin(3x+x) + \cos(2x)\sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)\cos(2x)

Trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanarak açıları sadeleştirmek.

5

\sin(4x)

ifadesine iki kat açı formülünü (

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

) uygulayalım ve payı toplayalım.

Pay:

2\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\sin(2x)\cos(2x)

Pay kısmını tek bir çarpım ifadesi halinde yazmak.

6

Paydadaki

3(\cos^4 x - \sin^4 x)

ifadesini iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.

Payda:

3(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)

Paydadaki yüksek dereceli terimleri sadeleştirmek.

7

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

ve

\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

iki kat açı özdeşliklerini paydada yerine yazalım.

Payda:

3\cos(2x)

Paydayı en sade biçimine getirmek.

8

Bulduğumuz pay ifadesini payda ifadesine oranlayarak sadeleştirmeyi tamamlayalım.

Oran:

\frac{3\sin(2x)\cos(2x)}{3\cos(2x)} = \sin(2x)

En sade sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Toplam-fark formülleri, iki kat açı formülleri ve çarpanlara ayırma özdeşliklerinin bir arada kullanılarak karmaşık trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, pay kısmında yer alan

\sin(3x)

ve

\cos(3x)

ifadeleri için sırasıyla

\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x

ve

\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x

üç kat açı açılımları doğrudan yerine yazılabilir. Bu durumda pay:

2\left((3\sin x - 4\sin^3 x)\cos^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\sin^3 x\right)

= 2\left(3\sin x\cos^3 x - 4\sin^3 x\cos^3 x + 4\cos^3 x\sin^3 x - 3\sin^3 x\cos x\right)

= 6\sin x\cos^3 x - 6\sin^3 x\cos x

= 6\sin x\cos x(\cos^2 x - \sin^2 x)

= 3\sin(2x)\cos(2x)

olarak çok daha hızlı bir şekilde sadeleşir. Payda ise

3\cos(2x)

olduğundan oran doğrudan

\sin(2x)

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1397Soru →

Yeni Çağ Avrupa'sında yaşanan bilimsel ve düşünsel gelişmeler; evrenin, doğanın ve insanın kilisenin skolastik dogmalarından arındırılarak akıl, deney ve gözlem yoluyla açıklanması sürecini başlatmıştır. Bu süreçte rasyonalizm ve sekülerleşme ön plana çıkmış, doğanın ilahi müdahaleler yerine kendi içindeki matematiksel ve mekanik yasalarla işlediği tezi savunulmuştur.

Buna göre, Yeni Çağ'da Avrupa'da yaşanan bu düşünsel değişimin sonuçları arasında aşağıdakilerden hangisi gösterilemez?

Osmanlı Devleti'nin, Avrupa'daki gelişmeleri eş zamanlı olarak takip edip medrese müfredatını pozitif bilimler doğrultusunda tamamen rasyonalize etmesi

Hukuk ve egemenlik kuramlarının dünyevileşerek ilahi meşruiyet yerine toplumsal sözleşme kavramına dayandırılmaya başlanması

Merkezi krallıkların kendi otoritelerini pekiştirmek amacıyla din adamlarının ve derebeylerin siyasi gücünü sınırlandırması

Doğa olaylarının açıklanmasında Aristotelesçi dogmatik kalıpların yerini deney, gözlem ve matematiksel yöntemlerin alması

İktisadi faaliyetlerin dini ve ahlaki sınırlardan bağımsızlaşarak kâr odaklı modern piyasa ilişkilerine yönelmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Osmanlı Devleti'nin, Avrupa'daki gelişmeleri eş zamanlı olarak takip edip medrese müfredatını pozitif bilimler doğrultusunda tamamen rasyonalize etmesi

Cevap

Osmanlı Devleti'nin, Avrupa'daki gelişmeleri eş zamanlı olarak takip edip medrese müfredatını pozitif bilimler doğrultusunda tamamen rasyonalize etmesi

Osmanlı Devleti'nin, Avrupa'daki gelişmeleri eş zamanlı olarak takip edip medrese müfredatını pozitif bilimler doğrultusunda tamamen rasyonalize ettiği iddiası tarihsel olarak yanlıştır. 17. yüzyıldan itibaren Osmanlı eğitim sisteminde (özellikle medreselerde) akli bilimler geri plana itilmiş, Avrupa'daki bilimsel ve düşünsel gelişmeler uzun süre takip edilememiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen öncüldeki anahtar kavramları analiz edin.

Yeni Çağ Avrupa'sında rasyonalizm, sekülerleşme ve modern bilimsel yöntemin ortaya çıkışına vurgu yapıldığı belirlenir.

Sorunun hangi tarihsel süreç ve değişimleri kapsadığını doğru tespit etmek için bu adım gereklidir.

2

Seçeneklerdeki durumların Avrupa'daki zihinsel değişimin sonuçları olup olmadığını değerlendirin.

Hukukun sekülerleşmesi, merkezi krallıklerin güçlenmesi, deney ve gözlem metodunun yerleşmesi ve iktisadi rasyonalizasyonun (merkantilizm) Avrupa'da bu sürecin doğal sonuçları olduğu görülür.

Avrupa'da yaşanan içsel dönüşümlerin siyasi, sosyal, bilimsel ve ekonomik yansımalarını doğrulamak amacıyla bu analiz yapılır.

3

Osmanlı Devleti'nin aynı dönemdeki durumunu ve Avrupa ile etkileşimini inceleyin.

Osmanlı Devleti'nin 17. ve 18. yüzyıllarda Avrupa'daki düşünsel gelişmeleri eş zamanlı olarak medreselerine aktarmadığı, aksine bu dönemde medreselerde akli ilimlerin ihmal edildiği tespit edilir.

Doğru cevaba ulaşmak için Osmanlı Devleti'nin eğitim tarihindeki gerçek gelişmelerle seçenekler arasındaki tutarsızlığı saptamak gerekir.

Anahtar Kavram

Yeni Çağ Avrupa'sında rasyonalizm ve sekülerleşmenin siyasi, bilimsel ve ekonomik sonuçları ile Osmanlı Devleti'ne yansımaları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1398Soru →

$x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

\cos(2x) = \frac{7}{25}

olduğuna göre, $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-3

-\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

3

-\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İstenen değer -3 olarak bulunur.

Verilen aralıkta kosinüsün yarım açı formülü kullanılarak

\cos x = -\frac{4}{5}

ve buna bağlı olarak

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

formülü uygulandığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığına göre,

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

yarım açı formülünü kullanarak

\cos x

değerini bulmak.

\frac{7}{25} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{32}{25} \implies \cos^2 x = \frac{16}{25}

elde edilir.

x

açısı 3. bölgede olduğundan

\cos x

değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla

\cos x = -\frac{4}{5}

olur.

x

açısının trigonometrik oranlarını bularak yarım açı formülüne hazırlık yapmak.

2

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliğini kullanarak

\sin x

değerini hesaplamak.

\sin^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

olur.

x

açısı 3. bölgede olduğundan

\sin x

değeri de negatif olmalıdır. Buradan

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

değerini veren formülde kullanmak üzere sinüs değerini elde etmek.

3

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = -3

bulunur.

Yarım açı formülü ile doğrudan sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının yarım açı formülleri ile açıların bölgelerine göre işaret tayini.

Alternatif Yöntem

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}

bulunur.

\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1 - \tan^2(x/2)}

formülünde

\tan(x/2) = t

denirse,

\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4} \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t-1)(t+3) = 0

denkleminden

t = \frac{1}{3}

veya

t = -3

elde edilir.

\frac{x}{2}

açısı ikinci bölgede olduğundan tanjant negatif olmalıdır, bu nedenle

\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1399Soru →

\frac{(x + 3)^2 (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 4} \leq 0

\frac{x^2 - x - 6}{(x - 1)^2} \leq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 2'dir.

Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizlik ayrı ayrı çözülüp kesiştirildiğinde, paydayı sıfır yapan ve sadeleşen köklerin (

x = 2

,

x = -2

,

x = 1

) elenmesi ve çift katlı köklerin (

x = -3

) her iki eşitsizliği de sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. Bu işlemler yapıldığında ortak sağlayan tam sayıların yalnızca

-1, 0, 3

olduğu görülür ve bu sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

S_1 = (-2, 2) \cup (2, 3] \cup \{-3\}

\frac{(x+3)^2(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \leq 0

ifadesinde

x-2

terimleri sadeleştiğinde

x \neq 2

koşulu eklenir. Paydanın kökü

x = -2

ve payın kökleri

x = -3

(çift katlı) ile

x = 3

(tek katlı) kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.

2

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

S_2 = [-2, 3] \setminus \{1\}

\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)^2} \leq 0

eşitsizliğinde payın kökleri

x = 3

ve

x = -2

(tek katlı), paydanın kökü ise

x = 1

(çift katlı) olup paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesinden atılır.

3

Çözüm kümelerini kesiştirerek ortak kökleri bulma

x \in \{-1, 0, 3\}

Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak tam sayılar belirlenir.

x = -3

ikinci eşitsizliği,

x = -2

ve

x = 2

birinci eşitsizliği tanımsız yaptığı için ortak çözüm kümesine dahil edilmez.

x = 1

ise ikinci eşitsizlikte paydayı sıfır yaptığı için dahil edilmez.

4

Ortak tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama

2

Bulunan

x = -1

,

x = 0

ve

x = 3

tam say��larının toplamı

(-1) + 0 + 3 = 2

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde sadeleştirme hatası yapmamak, payda köklerini ve çift katlı kökleri doğru değerlendirmek.

Soru 1400Soru →

f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)

olmak üzere,

\tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(20)\big)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

20

\frac{10}{11}

-\frac{11}{10}

\frac{19}{21}

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{10}{11}$

Cevap

Doğru cevap olan 10/11 değeri, teleskopik toplam ve tanjant fark formülünün doğru uygulanması ile elde edilir.

Doğru cevap olan 10/11 değeri, genel terimin fark biçiminde yazılmasıyla elde edilen teleskopik toplamın sonucuna tanjant fark formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terimin paydasındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyin.

\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1) - x}{1 + x(x+1)}

Ters tanjant fark formülüne benzetmek amacıyla ifadeyi bu şekilde düzenliyoruz.

2

\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) = \arctan(a) - \arctan(b)

özdeşliğini genel terime uygulayın.

f(x) = \arctan(x+1) - \arctan(x)

Fonksiyonu ardışık iki terimin farkı biçiminde yazarak teleskopik toplam elde etmek hedeflenmiştir.

3

x = 1

'den

x = 20

'ye kadar olan terimleri yazarak toplayın.

T = f(1) + f(2) + \dots + f(20) = \arctan(21) - \arctan(1)

Ara terimlerin birbirini sadeleştirmesi sayesinde toplamın sade hali bulunur.

4

\tan(T) = \tan(\arctan(21) - \arctan(1))

ifadesini hesaplamak için tanjant fark formülünü uygulayın.

\tan(T) = \frac{21 - 1}{1 + 21 \cdot 1} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}

\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

formülü kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Tahmini Süre:3m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap