Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1481Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
bb ifadesisinin değeri negatif, cc ifadesinin değeri 11 ve aa ifadesinin değeri 22'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.
a=2tan⁡xa = 2\tan x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olduğundan a>2a > 2 bulunur.
Üçüncü bölgede sin⁡x∈(−1,0)\sin x \in (-1, 0) olduğundan 1−sin⁡x>01 - \sin x > 0 ve 1+sin⁡x>01 + \sin x > 0 olur. Ayrıca cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.
2
bb ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.
b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x elde edilir. x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan b<0b < 0 bulunur.
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğu için pay (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.
3
cc ifadesindeki fonksiyonları temel sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x cinsinden yazarak sadeleştirme.
c=1c = 1 elde edilir.
Paydaki tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} ve paydadaki sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit 11 değerini verir.
4
Elde edilen a>2a > 2, b<0b < 0 ve c=1c = 1 değerlerini karşılaştırarak sıralama.
b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Negatif bir değer (bb) her zaman 11'den (cc) ve 22'den büyük bir değerden (aa) küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Soru 1482Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=a⋅sin⁡(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = a \cdot \sin(2x)
denkleminin gerçel sayılar kümesinde en az bir kökünün bulunmasını sağlayan en küçük aa değerinin 12\frac{1}{2} olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

En küçük pozitif gerçel a parametresinin 1/2 olduğu ifadesi doğrudur.
Denklem ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürüldüğünde, sinüs fonksiyonunun değer aralığı kısıtlaması göz önüne alınarak yapılan kök analizi sonucunda, denklemin en az bir gerçel kökünün bulunması için pozitif a parametresinin alabileceği en küçük değerin 1/2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)\sin^4(x) + \cos^4(x) ifadesini sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden ifade ediniz.
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))2−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1−12sin⁡2(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözülebilir cebirsel bir yapıya dönüştürmek.
2
u=sin⁡(2x)u = \sin(2x) dönüşümü yaparak denklemi uu değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düzenleyiniz ve uu için sınırları belirleyiniz.
1−12u2=au  ⟹  u2+2au−2=01 - \frac{1}{2}u^2 = a u \implies u^2 + 2au - 2 = 0 ve x∈Rx \in \mathbb{R} olduğundan −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır.
Trigonometrik denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek ve tanım kümesi kısıtlamas��nı belirlemek.
3
u2+2au−2=0u^2 + 2au - 2 = 0 denkleminin köklerinin çarpımını ve işaretlerini inceleyiniz.
Kökler çarpımı u1⋅u2=−2u_1 \cdot u_2 = -2'dir. Bu durum köklerin zıt işaretli olduğunu ve mutlak değerce çarpımlarının 22 olduğunu gösterir. Dolayısıyla, köklerin ikisi birden [−1,1][-1, 1] aralığında yer alamaz. Denklemin gerçel kökünün olması için köklerden sadece birinin bu aralıkta olması yeterlidir.
Zıt işaretli köklerin hangi koşullarda [−1,1][-1, 1] aralığına düşebileceğini analiz etmek.
4
Pozitif kök olan u2=−a+a2+2u_2 = -a + \sqrt{a^2 + 2} değerinin 0<u2≤10 < u_2 \le 1 aralığında olması koşulunu çözünüz.
−a+a2+2≤1  ⟹  a2+2≤a+1-a + \sqrt{a^2 + 2} \le 1 \implies \sqrt{a^2 + 2} \le a + 1. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤a2+2a+1  ⟹  2a≥1  ⟹  a≥12a^2 + 2 \le a^2 + 2a + 1 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge \frac{1}{2} bulunur.
Pozitif kökün sinüs sınır değerini aşmaması için gereken parametre aralığını belirlemek.
5
Negatif kök olan u1=−a−a2+2u_1 = -a - \sqrt{a^2 + 2} değerinin −1≤u1<0-1 \le u_1 < 0 aralığında olması koşulunu çözünüz ve sonuçları birleştiriniz.
−1≤−a−a2+2  ⟹  a2+2≤1−a-1 \le -a - \sqrt{a^2 + 2} \implies \sqrt{a^2 + 2} \le 1 - a. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤1−2a+a2  ⟹  2a≤−1  ⟹  a≤−12a^2 + 2 \le 1 - 2a + a^2 \implies 2a \le -1 \implies a \le -\frac{1}{2} bulunur. Soruda aa pozitif gerçel sayı olarak verildiğinden a≥12a \ge \frac{1}{2} koşulu geçerlidir. Dolayısıyla en küçük aa değeri 12\frac{1}{2}'dir.
Tüm olası çözümleri birleştirerek pozitif aa parametresi için en küçük değeri kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülmesi ve köklerin tanım kümesi sınırlarına göre analiz edilmesi
Soru 1483Soru →
x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)
w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan xx, yy, zz ve ww değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) negatif; w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan yy en küçük olup y<xy < x elde edilir. Pozitif değerlerde ise tan⁡(72∘)>1\tan(72^\circ) > 1 iken tan⁡(18∘)<1\tan(18^\circ) < 1 olduğundan w<zw < z olur. Bu durumda artan sırada dizilim y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ)
17π5\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsü 17π5−2π=7π5\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle: cos⁡(180∘+72∘)=−cos⁡(72∘)=−sin⁡(18∘)\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ) elde edilir.
2
yy ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ)
−23π10-\frac{23\pi}{10} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 17π10\frac{17\pi}{10} (306∘306^\circ) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle: sin⁡(360∘−54∘)=−sin⁡(54∘)\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ) elde edilir.
3
zz ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme
z=tan⁡(72∘)>1z = \tan(72^\circ) > 1
32π5\frac{32\pi}{5} açısının esas ölçüsü 32π5−6π=2π5\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5} (72∘72^\circ) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir. 72∘>45∘72^\circ > 45^\circ olduğundan tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
ww ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme
w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) (0<w<10 < w < 1)
−13π5-\frac{13\pi}{5} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 7π5\frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle: cot⁡(180∘+72∘)=cot⁡(72∘)=tan⁡(18∘)\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ) elde edilir. 0∘<18∘<45∘0^\circ < 18^\circ < 45^\circ olduğundan 0<tan⁡(18∘)<10 < \tan(18^\circ) < 1 olur.
5
Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma
y<x<w<zy < x < w < z
Negatif sayılardan y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) kıyaslandığında; sin⁡(54∘)>sin⁡(18∘)\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ) olduğundan −sin⁡(54∘)<−sin⁡(18∘)-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ), yani y<xy < x bulunur. Pozitif sayılardan w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) kıyaslandığında; w<1<zw < 1 < z olduğu için w<zw < z olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 1484Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−mx+1y = x^2 - mx + 1 parabolü ile y=x−3y = x - 3 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatları toplamı 44 olduğuna göre, mm kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Kesişim noktalarının apsisleri toplamının yarısı orta noktanın apsisini (x0=m+12x_0 = \frac{m+1}{2}) verir. Orta nokta doğrunun üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlar ve ordinatı (y0=m−52y_0 = \frac{m-5}{2}) olarak bulunur. Koordinatlar toplamı olan m−2=4m - 2 = 4 eşitliğinden aranan parametre 66 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.
x2−mx+1=x−3⇒x2−(m+1)x+4=0x^2 - mx + 1 = x - 3 \Rightarrow x^2 - (m+1)x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.
2
Kesi��im noktaları AA ve BB olsun. Bu noktaların oluşturduğu [AB][AB] kirişinin orta noktasının apsisini (x0x_0) bulalım.
x0=x1+x22=m+12x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{2} olur.
Kirişin orta noktanın apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.
3
Orta noktanın ordinatını (y0y_0) bulmak için bu noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği bilgisini kullanalım.
y0=x0−3=m+12−3=m−52y_0 = x_0 - 3 = \frac{m+1}{2} - 3 = \frac{m-5}{2} olur.
Orta nokta [AB][AB] kirişi üzerinde, dolayısıyla y=x−3y = x - 3 doğrusu üzerindedir.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 44'e eşitleyerek mm değerini bulalım.
x0+y0=m+12+m−52=m−2=4⇒m=6x_0 + y_0 = \frac{m+1}{2} + \frac{m-5}{2} = m - 2 = 4 \Rightarrow m = 6 elde edilir.
Soruda orta noktanın koordinatları toplamı 44 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatlarının analitik yöntemlerle bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1485Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−2x−8x−1)f(x) = \log_{6 - x}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -1'dir.
Fonksiyonun tanımlı olması için taban şartlarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. İç kısmın pozitif olma şartından ise (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı bulunur. Bu iki küme kesiştirildiğinde elde edilen en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olur. Bu kümedeki tam sayıların toplamı ise -1 ve 0'ın toplamından -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tanımlı olma şartları belirlenir.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 olur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartı incelenir ve çarpanlarına ayrılır.
x2−2x−8x−1>0  ⟹  (x−4)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1} > 0 \implies \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmak zorundadır.
3
Eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulur.
Pay ve paydanın kökleri x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=4x = 4'tür. Eşitsizlik tablosu hazırlandığında pozitif olan bölgeler (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı olarak belirlenir.
Rasyonel ifadenin işaret değişim noktalarını görerek pozitif olduğu bölgeleri saptamak için kökler bulunur.
4
Tüm şartları sağlayan en geniş aralık (kesişim kümesi) oluşturulur.
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 koşulları ile (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için hem taban hem de iç koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Bu kümedeki tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.
Kümedeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır. Toplamları ise −1+0=−1-1 + 0 = -1 olarak hesaplanır.
Bizden fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemleri çözülürken paydanın kökleri asla çözüm kümesine dahil edilmez.
Soru 1486Soru →
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+2cos⁡(2x)=0\sin(3x) + \cos(3x) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 denkleminin [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13π2\frac{13\pi}{2}

Cevap

Tüm köklerin toplamı olan 13π2\frac{13\pi}{2} ifadesi
Denklemin çözümü için yapılan dönüşümler sonucunda [0,2π][0, 2\pi] aralığında toplam 6 adet farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 13π2\frac{13\pi}{2} değerine eşit olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı açı formülünü kullanarak sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\sin(3x) + \cos(3x) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarız.
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=2(12sin⁡(3x)+12cos⁡(3x))=2sin⁡(3x+π4)\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki iki terimi tek bir terime indirgeyerek cos⁡(2x)\cos(2x) ile karşılaştırılabilir hale getirmek için.
2
Elde edilen bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarız ve sadeleştirme yaparız.
2sin⁡(3x+π4)+2cos⁡(2x)=0  ⟹  sin⁡(3x+π4)=−cos⁡(2x)\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \implies \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos(2x) elde edilir.
Denklemi çözebilmek adına ortak çarpan olan 2\sqrt{2} teriminden kurtulmak ve fonksiyonları yalnız bırakmak için.
3
−cos⁡(2x)-\cos(2x) ifadesini sinüs cinsine dönüştürürüz.
−cos⁡(2x)=sin⁡(2x−π2)-\cos(2x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) özdeşliğini kullanarak denklem sin⁡(3x+π4)=sin⁡(2x−π2)\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) formuna getirilir.
Denklemin her iki yanını da aynı trigonometrik fonksiyon (sinüs) cinsinden ifade edip genel çözüm kurallarını uygulayabilmek için.
4
Sinüs fonksiyonunun genel çözüm kuralını (A=B+2kπA = B + 2k\pi veya A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi) uygularız.
1. Durum: 3x+π4=2x−π2+2kπ  ⟹  x=−3π4+2kπ3x + \frac{\pi}{4} = 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi
2. Durum: 3x+π4=π−(2x−π2)+2kπ  ⟹  5x=5π4+2kπ  ⟹  x=π4+2kπ53x + \frac{\pi}{4} = \pi - \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{5} (k∈Zk \in \mathbb{Z}) elde edilir.
Trigonometrik denklemin tüm olası kök ailelerini belirlemek için.
5
Her iki çözüm ailesinden [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığına düşen kökleri tek tek belirleriz.
1. Durumdan: k=1k = 1 için x=5π4x = \frac{5\pi}{4} bulunur.
2. Durumdan:
- k=0  ⟹  x=π4k = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}
- k=1  ⟹  x=13π20k = 1 \implies x = \frac{13\pi}{20}
- k=2  ⟹  x=21π20k = 2 \implies x = \frac{21\pi}{20}
- k=3  ⟹  x=29π20k = 3 \implies x = \frac{29\pi}{20}
- k=4  ⟹  x=37π20k = 4 \implies x = \frac{37\pi}{20} bulunur.
Toplamda 6 adet benzersiz kök elde edilir: {π4,13π20,21π20,5π4,29π20,37π20}\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{13\pi}{20}, \frac{21\pi}{20}, \frac{5\pi}{4}, \frac{29\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}\right\}.
Belirlenen aralıktaki tüm gerçel kökleri saptamak için.
6
Bulunan tüm köklerin toplamını hesaplarız.
Toplam=5π20+13π20+21π20+25π20+29π20+37π20=130π20=13π2\text{Toplam} = \frac{5\pi}{20} + \frac{13\pi}{20} + \frac{21\pi}{20} + \frac{25\pi}{20} + \frac{29\pi}{20} + \frac{37\pi}{20} = \frac{130\pi}{20} = \frac{13\pi}{2} olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yardımcı açı dönüşümü ve yarım açı formülleri kullanılarak çözülmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1487Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İfadenin doğru değeri 3/5'tir.
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen tanım aralığında tanjant değerinin 1/2 olduğunu belirledikten sonra yarım açı formülünün doğru şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edelim.
tan⁡x+1tan⁡x=52  ⟹  tan⁡2x+1tan⁡x=52  ⟹  2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Tanjant değerini bulmak için denklemde cot(x) yerine 1/tan(x) yazılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım ve tanım aralığına uygun olan tanjant değerini belirleyelim.
(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0  ⟹  tan⁡x=12 veya tan⁡x=2(2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2} \text{ veya } \tan x = 2 bulunur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan, uygun değer tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olarak seçilir.
Açının bulunduğu bölge, tanjant fonksiyonunun alabileceği değer aralığını belirler.
3
Tanjant değeri yardımıyla kosinüs yarım açı formülünü uygulayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} elde edilir.
Kosinüsün yarım açı değeri, tanjant cinsinden yazılan özdeşlik kullanılarak doğrudan hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Tanjant yardımıyla kosinüs yarım açı değerlerinin hesaplanması
Soru 1488Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde AA, BB, CC ve DD noktaları verilmiştir. CC, DD ve BB noktaları doğrusaldır.

∣AC∣=3 birim∣AB∣=7 birim∣BC∣=5 birim\begin{aligned} |AC| &= 3\text{ birim} \\ |AB| &= 7\text{ birim} \\ |BC| &= 5\text{ birim} \end{aligned}

[BC][BC] kenarı üzerinde ∣CD∣=2 birim|CD| = 2\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası belirlenmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\sqrt{19}

Cevap

Kosinüs Teoremi yardımıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} birim olarak bulunur.
Büyük üçgende uygulanan Kosinüs Teoremi ile ortak CC açısının kosinüsü cos⁡C=−1/2\cos C = -1/2 olarak bulunur. Bu değer, ADCADC üçgeninde tekrar Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazılarak ∣AD∣2=19|AD|^2 = 19 ve dolayısıyla ∣AD∣=19|AD| = \sqrt{19} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin tamamında CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡C|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C formülünden,
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡C7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C
49=9+25−30cos⁡C49 = 9 + 25 - 30 \cos C
49=34−30cos⁡C49 = 34 - 30 \cos C
30cos⁡C=−15  ⟹  cos⁡C=−1230 \cos C = -15 \implies \cos C = -\frac{1}{2} elde edilir.
ADCADC üçgeninde aranan kenarı bulabilmek için öncelikle ortak olan CC açısının kosinüs değerinin belirlenmesi gerekir.
2
ADCADC üçgeninde [CD][CD] kenarına komşu olan CC açısı kullanılarak Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+∣CD∣2−2⋅∣AC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡C|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |CD| \cdot \cos C formülünden,
∣AD∣2=32+22−2⋅3⋅2⋅(−12)|AD|^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=9+4−12⋅(−12)|AD|^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
∣AD∣2=13+6=19  ⟹  ∣AD∣=19|AD|^2 = 13 + 6 = 19 \implies |AD| = \sqrt{19} birim elde edilir.
İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde, bilinmeyen üçüncü kenar uzunluğu bu yolla doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1489Soru →

Bir ff fonksiyonu, grafiği analitik düzlemde tepe noktası yy-ekseni üzerinde olan ve xx-eksenini x=−4x = -4 ile x=4x = 4 noktalarında kesen bir yarım çemberin üst yarısı olacak şekilde tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı 8π8\pi birimkaredir.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x)
kuralı ile verilen gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8π8\pi

Cevap

Doğru cevap 8π8\pi birimkaredir.
Doğru cevap olan 8π8\pi seçeneği, fonksiyona uygulanan yatayda 22 kat sıkıştırma (alanı yarıya indiren) ve dikeyde 22 kat esnetme (alanı iki katına çıkaran) dönüşümlerinin birleşik etkisinin alanı değiştirmemesinden kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alanı belirlemek
Alan(f)=8π\text{Alan}(f) = 8\pi birimkare
Soru metninde ff fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasındaki bölgenin alanı doğrudan 8π8\pi olarak verilmiştir.
2
Yatayda sıkıştırma işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
f(2x)f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 8π2=4π\frac{8\pi}{2} = 4\pi birimkare olur.
f(2x)f(2x) dönüşümü, grafiği xx-ekseni doğrultusunda yarıya sıkıştırır. Bu durum tanım kümesinin genişliğini yarıya indirirken y-değerlerini değiştirmediği için alan yarıya düşer.
3
Dikeyde esnetme işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 2×4π=8π2 \times 4\pi = 8\pi birimkare olur.
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) dönüşümündeki 22 katsayısı, grafiği düşey eksen doğrultusunda 22 katına esnetir. Genişliği 4π4\pi olan bölgenin yükseklikleri iki katına çıktığından alan iki katına çıkar.

Anahtar Kavram

Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan AA ise, a⋅f(b⋅x)a \cdot f(b \cdot x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan ∣a∣∣b∣⋅A\frac{|a|}{|b|} \cdot A formülü ile hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1490Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)+cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=−2\frac{1 + \sin(2x) + \cos(2x)}{1 + \sin(2x) - \cos(2x)} = -2
olduğuna göre, cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−2\sqrt{5} - 2

Cevap

5−2\sqrt{5} - 2
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 elde edilir. İkinci bölgede cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olduğu dikkate alınarak değerler cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} olarak bulunur. Buradan cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} yarım açı formülüyle 5−2\sqrt{5} - 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formüllerini kullanacak şekilde gruplandıralım.
1+cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) ve 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) özdeşliklerini ve sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı formülünü yerlerine yazalım.
İfadeyi sadeleştirmek ve cot⁡(x)\cot(x) cinsinden yazmak için.
2
Elde edilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
2cos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=2cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))2sin⁡(x)(sin⁡(x)+cos⁡(x))=cot⁡(x)\frac{2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)}{2\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}{2\sin(x)(\sin(x) + \cos(x))} = \cot(x) elde edilir. Buradan cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 bulunur.
Sadeleşen ortak çarpanı sadeleştirerek bilinmeyenin değerini bulmak için.
3
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığını kullanarak sin⁡(x)\sin(x) ve cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyelim.
Bu aralık ikinci bölgede yer aldığından cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olur. cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 olduğundan komşu dik kenar 22, karşı dik kenar 11 ve hipotenüs 5\sqrt{5} birim alınarak cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} bulunur.
Yarım açı formülünde kullanılacak değerlerin işaretlerini ve büyüklüklerini doğru belirlemek için.
4
cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)=1−2515=5−2\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2 olarak bulunur.
Yarım açıdan tam açıya geçiş formülünü uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve açı değerlerini yarım açı cinsinden hesaplama.
Soru 1491Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡xa = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} + \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xsec⁡x−csc⁡xb = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x - \csc x}
c=1−sin⁡2xcos⁡x⋅cot⁡xc = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x \cdot \cot x}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Sadeleştirmeler sonucunda a=2sin⁡x−cos⁡xa = 2\sin x - \cos x, b=sin⁡x+cos⁡xb = \sin x + \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x ifadelerine ulaşılır. Tanımlanan bölgede cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan, iki negatif sayının toplamı olan bb ifadesi en küçük negatif değerdir. aa ise en büyük değere (sıfıra en yakın) sahiptir. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesindeki köklü kısmı tam kare özdeşliği kullanarak mutlak değer dışına çıkarırız.
1−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar. Buradan a=sin⁡x−cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x + \sin x = 2\sin x - \cos x elde edilir.
Köklü ifadeleri sadeleştirmek ve bölge analizine göre mutlak değerden kurtulmak için.
2
bb ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazarak sadeleştiririz.
b=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xsin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+cos⁡xb = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x} = \sin x + \cos x bulunur.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi en sade biçimine getirmek için.
3
cc ifadesini temel trigonometrik özdeşliklerle sadeleştiririz.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} yazılırsa, c=cos⁡2xcos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=cos⁡2xcos⁡2xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\cos^2 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin x}} = \sin x elde edilir.
Pay ve paydadaki sadeleşebilir terimleri belirleyerek tek bir fonksiyon elde etmek için.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen aa, bb ve cc değerlerini sıralarız.
Bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır. b−c=(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=cos⁡x<0  ⟹  b<cb - c = (\sin x + \cos x) - \sin x = \cos x < 0 \implies b < c olur. a−c=(2sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x>0  ⟹  c<aa - c = (2\sin x - \cos x) - \sin x = \sin x - \cos x > 0 \implies c < a olur. Buradan b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Sadeleşmiş ifadeleri üçüncü bölgedeki açı değerlerinin büyüklük ilişkilerine göre karşılaştırmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bölgelerdeki açıların trigonometrik değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1492Soru →
Her xx gerçel sayısı için
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun grafiği xx-eksenini daima iki farklı noktada keser.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (False). Çünkü birinci eşitsizlikten elde edilen m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri de yer almaktadır. m=2m = 2 için ikinci dereceden fonksiyonun grafiği xx-eksenine teğet olup ekseni iki farklı noktada kesmez.
Verilen ifade yanlıştır. İlk eşitsizlikten mm parametresinin (−2,6)(-2, 6) aralığında yer alması gerektiği bulunur. f(x)f(x) fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktalar x=2x = 2 ve x=mx = m değerleridir. Eğer m=2m = 2 seçilirse bu kökler çakışık hale gelir ve grafik ekseni iki farklı noktada kesmek yerine teğet geçer. 22 sayısı (−2,6)(-2, 6) aralığında bulunduğundan, grafiğin ekseni daima iki farklı noktada keseceği iddiası geçersiz kılınır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanma koşulunu belirleyin.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 eşitsizliğinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır: Δ1=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta_1 = (-m)^2 - 4(1)(m+3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif kalabilmesi, grafiksel olarak parabolün kollarının yukarı bakması ve xx-eksenini kesmemesi (Δ<0 \Delta < 0 ) ile mümkündür.
2
mm parametresinin değer aralığını bulmak için işaret tablosu oluşturun.
m2−4m−12=(m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 = (m-6)(m+2) < 0 eşitsizliğinin kökleri m1=−2m_1 = -2 ve m2=6m_2 = 6 olup, işaret tablosuna göre çözüm aralığı m∈(−2,6)m \in (-2, 6) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek amacıyla işaret incelemesi yapılması gerekir.
3
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktaları inceleyin.
f(x)=0  ⟹  x2−(m+2)x+2m=0  ⟹  (x−2)(x−m)=0f(x) = 0 \implies x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=2x_1 = 2 ve x2=mx_2 = m bulunur. Diskriminant ise Δ2=(m−2)2\Delta_2 = (m-2)^2 olur.
Grafiğin xx-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonu sıfır yapan gerçel kök değerleridir.
4
Köklerin çakışık olma durumunu kontrol ederek ifadeyi değerlendirin.
Eğer m=2m = 2 ise, kökler x1=x2=2x_1 = x_2 = 2 olur (çift katlı kök). Bu durumda parabol xx-eksenine (2,0)(2,0) noktasında teğet olur ve ekseni iki farklı noktada kesmez. m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri mevcut olduğundan, grafik her zaman iki farklı noktada kesmek zorunda değildir.
İfadenin 'daima' doğru olup olmadığını doğrulamak için mm aralığındaki tüm olası uç durumlar ve özel değerler kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ifadelerin daima pozitif olma şartı ve diskriminant ile eksen kesim noktaları arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1493Soru →
sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ)}{\cos(40^\circ)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Pay kısmındaki ifade sinüs fark formülüyle sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ) olarak yazılır. Tümler açılardan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) olduğu için, payda ile sadeleştiğinde sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ) ifadesini sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ)
sin⁡(a−b)=sin⁡a⋅cos⁡b−cos⁡a⋅sin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b toplam-fark formülünü uygulamak.
2
Pay kısmında bulduğumuz sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerini paydadaki cos⁡(40∘)\cos(40^\circ) değerine bölmek.
sin⁡(50∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(50^\circ)}{\cos(40^\circ)}
Verilen rasyonel ifadedeki pay ve payda terimlerini bir araya getirmek.
3
Tümler açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak ifadeyi sadeleştirmek.
11
50∘+40∘=90∘50^\circ + 40^\circ = 90^\circ olduğundan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) eşitliği geçerlidir, dolayısıyla pay ve payda birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ve tümler açıların trigonometrik oranları arasındaki ilişki.
Soru 1494Soru →
x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} olmak üzere,
cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y=32\cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}
olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin alabileceği pozitif değer aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevap

33\frac{\sqrt{3}}{3}
Verilen ifade kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(x+y)\cos(x+y) ifadesine eşittir. Buradan cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Kosinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsü 30∘30^\circ olduğundan, bu açının tanjant değeri 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru seçenek 33\frac{\sqrt{3}}{3} değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs toplam formülünü uygulayarak verilen ifadeyi sadeleştirin.
cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y formülü gereği, verilen denklem cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} şeklinde yazılır.
Verilen karmaşık ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için toplam formülü kullanılır.
2
Kosinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açının tanjant değerini bulun.
cos⁡(x+y)=32\cos(x+y) = \frac{\sqrt{3}}{2} ise, x+yx+y açısının dar açı olduğu durumda x+y=30∘x+y = 30^\circ (veya π6\frac{\pi}{6} radyan) olur. Bu açının tanjantı ise tan⁡(30∘)=13=33\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur. Eğer açı 4. bölgede ise tanjant değeri −33-\frac{\sqrt{3}}{3} olur. Soruda pozitif değer istendiği için sonuç 33\frac{\sqrt{3}}{3}'tür.
Kosinüs değeri bilinen bir açının tanjant değerine geçiş yapmak için özel dik üçgen veya trigonometrik kimlikler kullanılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam formülü ve bilinen açıların trigonometrik oranları
Soru 1495Soru →
sin⁡(2x)−sin⁡(x)=0\sin(2x) - \sin(x) = 0

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı köklerin sayısı 3'tür.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} elde edilir. [0,π][0, \pi] aralığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler 00 ve π\pi iken, cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kök π3\frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda toplam 3 farklı kök bulunur. Dolayısıyla 3 değerini gösteren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) olduğundan denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0 şekline gelir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için aynı açı cinsinden trigonometrik ifadeler elde etmek gerekir.
2
Denklemi sin⁡(x)\sin(x) parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi olur. 2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=12  ⟹  x=π32\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} olur.
Verilen [0,π][0, \pi] kapalı aralığında bu eşitlikleri sağlayan tüm gerçel sayıları belirlemek gerekir.
4
Kökleri birleştirip toplam farklı kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π3,π}\{0, \frac{\pi}{3}, \pi\} olup 3 farklı kök vardır.
Soruda bizden istenen [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı köklerin sayısıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Soru 1496Soru →
arcsin⁡(x)+arccos⁡(2x)=5π6\arcsin(x) + \arccos(2x) = \frac{5\pi}{6}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı −0.5-0.5 olarak bulunur.
Denklemin çözümünde elde edilen 3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} eşitliğinin sol ve sağ taraflarının işaret uyumundan dolayı x≤0x \le 0 olması gerekir. Karesi alındığında x2=1/4x^2 = 1/4 çıkan denklemin tek geçerli kökü x=−0.5x = -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları belirlenir.
x∈[−0.5,0.5]x \in [-0.5, 0.5]
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun tanımlı olması için x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ve arccos⁡(2x)\arccos(2x) fonksiyonunun tanımlı olması için 2x∈[−1,1]  ⟹  x∈[−0.5,0.5]2x \in [-1, 1] \implies x \in [-0.5, 0.5] olmalıdır.
2
arcsin⁡(x)=α\arcsin(x) = \alpha değişken değiştirmesi yapılır.
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından dolayı arcsin⁡(x)=α  ⟺  sin⁡α=x\arcsin(x) = \alpha \iff \sin\alpha = x olur ve α\alpha açısı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] aralığında yer alır.
3
Eşitlik α\alpha cinsinden düzenlenerek her iki tarafın kosinüsü alınır.
2x=cos⁡(5π/6−α)2x = \cos(5\pi/6 - \alpha)
arccos⁡(2x)=5π/6−α\arccos(2x) = 5\pi/6 - \alpha eşitliğinden ters fonksiyon tanımı kullanılarak kosinüs değeri çekilir.
4
Kosinüs fark formülü açılır ve bilinen trigonometrik değerler yerine yazılır.
2x=−32cos⁡α+12sin⁡α2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha
cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülü uygulanır. Burada cos⁡(5π/6)=−32\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(5π/6)=12\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2} değerleri kullanılır.
5
sin⁡α\sin\alpha ve cos⁡α\cos\alpha değerleri xx cinsinden yerine yazılıp denklem düzenlenir.
3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} ve x≤0x \le 0
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan cos⁡α=1−x2≥0\cos\alpha = \sqrt{1-x^2} \ge 0 olur. Eşitliğin sağ tarafı negatif veya sıfır olduğundan sol tarafın da negatif veya sıfır olması için x≤0x \le 0 olmalıdır.
6
Her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür.
x=−0.5x = -0.5
9x2=3(1−x2)  ⟹  12x2=3  ⟹  x2=1/4  ⟹  x=±1/29x^2 = 3(1-x^2) \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2. Ancak x≤0x \le 0 koşulundan dolayı pozitif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer aralığı sınırlamaları ve trigonometrik denklemlerin cebirsel çözümü
Soru 1497Soru →
2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=02\cos^2(x) - \cos(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π6\frac{5\pi}{6}

Cevap

Köklerin toplamı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
Verilen denklem cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alındığında cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} olur. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitlikleri sağlayan kökler sırasıyla π2\frac{\pi}{2} ve π3\frac{\pi}{3} radyandır. Bu köklerin toplamı ise 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0
Denklemin köklerini kayıpsız bulmak için sadeleştirme yapmak yerine çarpanlara ayırma yöntemi kullanılmalıdır.
2
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyin.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}
Bir çarpım işleminin sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Elde edilen denklemlerin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve cos⁡(x)=12  ⟹  x=π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}
[0,π][0, \pi] aralığında kosinüs değeri sıfır olan tek açı π2\frac{\pi}{2}, kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan tek açı ise π3\frac{\pi}{3} radyandır.
4
Bulunan kökleri toplayarak nihai sonuca ulaşın.
π2+π3=5π6\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
Soruda [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlara Ayırma Yöntemiyle Çözümü
Soru 1498Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(b x) + c
fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} ve görüntü kümesi [−1,5][-1, 5]'tir.

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Katsayıların toplamı 11'dir.
Fonksiyonun periyodundan b=6b = 6, görüntü kümesi sınırlarından ise a=3a = 3 ve c=2c = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1111 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.
b = 6
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(bx) + c biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle bulunur. b>0b > 0 olduğu ve esas periyot π3\frac{\pi}{3} olarak verildiği için, 2πb=π3\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3} eşitliğinden b=6b = 6 elde edilir.
2
Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.
a = 3, c = 2
Her xx gerçel sayısı için −1≤cos⁡(6x)≤1-1 \leq \cos(6x) \leq 1 aralığı geçerlidir. a>0a > 0 olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer −a+c-a + c, en büyük değer ise a+ca + c olur. Buradan −a+c=−1-a + c = -1 ve a+c=5a + c = 5 denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2c=4  ⟹  c=22c = 4 \implies c = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında a=3a = 3 elde edilir.
3
a, b ve c katsayılarını toplama.
a + b + c = 11
Hesaplanan a=3a = 3, b=6b = 6 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak 3+6+2=113 + 6 + 2 = 11 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1499Soru →
Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgededir. Bu noktanın koordinatları arasında
4a+3b=04a + 3b = 0
bağıntısı olduğuna göre, b−ab - a farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.4

Cevap

Birim çember denklemi ve bölge işaretleri kullanılarak a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8 bulunur. Buradan b−ab - a farkı 1,41,4 olarak elde edilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır. İkinci bölgede a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan, 4a+3b=04a + 3b = 0 eşitliği ile birlikte çözüldüğünde tek bir P(−0,6;0,8)P(-0,6; 0,8) noktası elde edilir. Bu noktanın koordinatları farkı b−a=0,8−(−0,6)=1,4b - a = 0,8 - (-0,6) = 1,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Merkezil birim çember üzerindeki tüm noktaların orijine olan uzaklığının karesi 1'dir.
2
Bölge işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitif işaretlidir.
3
Verilen bağıntıyı kullanarak koordinatları hesaplama
a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8
4a+3b=0  ⟹  a=−34b4a + 3b = 0 \implies a = -\frac{3}{4}b ilişkisini a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denkleminde yerine koyup b>0b > 0 koşulunu uygulamak gerekir.
4
İstenen farkı hesaplama
b−a=1,4b - a = 1,4
0,8−(−0,6)0,8 - (-0,6) işlemini gerçekleştirerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat ilişkileri ve bölge işaretleri
Soru 1500Soru →
cos⁡(arctan⁡(43)+arcsin⁡(35))\cos\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

Sıfır
Verilen ifadede ters trigonometrik terimler sırasıyla xx ve yy açılarına dönüştürüldüğünde, aranılan ifade cos⁡(x+y)\cos(x+y) toplam formülüne dönüşür. Birinci bölgedeki bu açıların dik üçgen yardımıyla hesaplanan sinüs ve kosinüs değerleri cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y formülünde yazıldığında sıfır sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atama
x=arctan⁡(43)x = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) ve y=arcsin⁡(35)y = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) olsun.
İfadeyi cos⁡(x+y)\cos(x+y) biçimine getirerek toplam formülünü uygulayabilmek.
2
Ters fonksiyon tanımlarından yararlanarak trigonometrik oranları belirleme
tan⁡x=43\tan x = \frac{4}{3} ve sin⁡y=35\sin y = \frac{3}{5} olur. Her iki değer de pozitif olduğundan, xx ve yy açıları birinci bölgededir (0<x,y<π20 < x, y < \frac{\pi}{2}).
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerine göre açıların bölgelerini saptamak.
3
Dik üçgen yardımıyla diğer gerekli trigonometrik oranları hesaplama
sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}, cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} ve cos⁡y=45\cos y = \frac{4}{5} olarak bulunur.
Toplam formülünde yerine koyulacak değerleri elde etmek.
4
Kosinüs toplam formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(x+y)=cos⁡x⋅cos⁡y−sin⁡x⋅sin⁡y=(35)⋅(45)−(45)⋅(35)=1225−1225=0\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) - \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0
İstenen ifadenin nihai değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla açının trigonometrik oranlarını belirleme ve kosinüs toplam formülünü uygulama.
ÖncekiSayfa 75 / 437Sonraki