Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1561Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=13\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 89\frac{8}{9}

Cevap

89\frac{8}{9}
Doğru cevap olan sekiz bölü dokuz ifadesi, verilen kesirli ifadede kosinüs yarım açı formülü uygulanıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildikten sonra elde edilen fark denkleminin karesi alınarak bulunur. Kare alma işlemi sonucunda temel trigonometrik özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü kullanılarak istenen değer tam olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay k��smında bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine yarım açı formülü uygulanarak iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x terimi ile sadeleştirme yapabilmek için bu açılım gereklidir.
2
Elde edilen çarpanlar kesirli ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme işlemi gerçekleştirilir.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3} \implies \cos x - \sin x = \frac{1}{3} elde edilir.
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme güvenle yapılabilir.
3
Sadeleşmiş olan cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} denkleminin her iki tarafının karesi alınır.
(cos⁡x−sin⁡x)2=(13)2  ⟹  cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=19(\cos x - \sin x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x\cos x = \frac{1}{9} bulunur.
Yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.
4
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 özdeşliği ve yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
1−sin⁡(2x)=19  ⟹  sin⁡(2x)=1−19=891 - \sin(2x) = \frac{1}{9} \implies \sin(2x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakarak nihai sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülünün çarpanlara ayırma prensipleriyle birleştirilmesi ve sinüs yarım açı formülünün elde edilmesi.

Alternatif Yöntem

Verilen denklemde sadeleştirme yapıldıktan sonra cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} eşitliği elde edilir. Bu adımdan sonra her iki taraf cos⁡x\cos x ifadesine bölünerek tan⁡x\tan x cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edilip tan⁡x\tan x değeri bulunabilir. Bulunan tan⁡x\tan x değeri yardımıyla dik üçgen çizilerek veya sin⁡(2x)=2tan⁡x1+tan⁡2x\sin(2x) = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} formülü kullanılarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1562Soru →

Bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olan düzgün ABCDEFABCDEF altıgeninde; KK noktası [AB][AB] kenarı üzerinde ∣AK∣=1 birim|AK| = 1\text{ birim} olacak şekilde, LL noktası ise [CD][CD] kenarı üzerinde ∣CL∣=3 birim|CL| = 3\text{ birim} olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Kosinüs Teoremi önce KBCKBC üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek KCLKCL üçgeninde uygulandığında ∣KL∣2=49|KL|^2 = 49 elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.
∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim}
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olduğundan, ∣KB∣=∣AB∣−∣AK∣=4−1=3 birim|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim} elde edilir.
2
KBCKBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak ∣KC∣2|KC|^2 değerini hesaplama.
∣KC∣2=37 birim2|KC|^2 = 37\text{ birim}^2
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ, ∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılır ve ∣KC∣2=37|KC|^2 = 37 bulunur.
3
KBCKBC üçgeninden cos⁡(KCB^)\cos(\widehat{KCB}) ve sin⁡(KCB^)\sin(\widehat{KCB}) değerlerini elde etme.
cos⁡(KCB^)=11237\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}} ve sin⁡(KCB^)=33237\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}
KBCKBC üçgeninde [BC][BC] kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.
4
cos⁡(KCD^)\cos(\widehat{KCD}) değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.
cos⁡(KCD^)=−1237\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}
Altıgenin iç açısı 120∘120^\circ olduğundan KCD^=120∘−KCB^\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB} bağıntısı kullanılır.
5
KCLKCL üçgeninde Kosinüs Teoremi ile ∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim}
∣KL∣2=∣KC∣2+∣CL∣2−2∣KC∣∣CL∣cos⁡(KCD^)|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD}) formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.
Soru 1563Soru →
f(x)=log⁡3(x2−6x−1625−x2)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için argümanı olan rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Pay (x2−6x−16x^2 - 6x - 16) ve paydayı (25−x225 - x^2) sıfır yapan kökler bulunarak işaret tablosu oluşturulduğunda, ifadenin pozitif olduğu en geniş aralık (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8) olarak elde edilir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar −4,−3,6,7-4, -3, 6, 7 olup bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım koşulunu belirleme
x2−6x−1625−x2>0\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2} > 0 eşitsizliği çözülmelidir.
Taban pozitif bir sabit (3) olduğundan, sadece argümanın pozitif olması koşulu incelenir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın kökleri: x=−2x = -2 ve x=8x = 8. Paydanın kökleri: x=−5x = -5 ve x=5x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlama ve çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi: (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8)
Payın baş katsayısı pozitif (+), paydanın baş katsayısı negatif (-) olduğundan tablonun en sağ bölgesi eksi (-) ile başlar. Tek katlı köklerde işaret değiştirilerek pozitif bölgeler seçilir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
Tam sayılar: {−4,−3,6,7}\{-4, -3, 6, 7\}
Açık aralıklardaki tam sayılar belirlenir. Sınır değerleri aralığa dahil edilmez.
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
(−4)+(−3)+6+7=6(-4) + (-3) + 6 + 7 = 6
Soruda istenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif (>0>0) olması gerekir.
Soru 1564Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−cos⁡x1+cos⁡x−1+cos⁡x1−cos⁡xa = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}
b=sin⁡x1−cos⁡x−1−cos⁡xsin⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}
c=cos⁡x1−sin⁡x−1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=−2cot⁡xa = -2\cot x
Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.
2
b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
b=2cot⁡xb = 2\cot x
Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında 2cos⁡x(1−cos⁡x)2\cos x(1 - \cos x) ve paydada sin⁡x(1−cos⁡x)\sin x(1 - \cos x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos x}{\sin x} olur.
3
c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.
c=2tan⁡xc = 2\tan x
Paydalar eşitlenip cos⁡2x−1=−sin⁡2x\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x özdeşliği kullanıldığında pay kısmında 2sin⁡x(1−sin⁡x)2\sin x(1 - \sin x) ve paydada cos⁡x(1−sin⁡x)\cos x(1 - \sin x) ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade 2sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} olur.
4
Tanımlı xx açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.
c<b<ac < b < a
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 dır. Buna göre c=2tan⁡x<−2c = 2\tan x < -2, b=2cot⁡x∈(−2,0)b = 2\cot x \in (-2, 0) ve a=−2cot⁡x∈(0,2)a = -2\cot x \in (0, 2) elde edilerek sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 1565Soru →
f(x)=(m−2)x2−2(m−2)x+m−5f(x) = (m-2)x^2 - 2(m-2)x + m - 5
üçterimlisi her xx gerçel sayısı için negatif değerler almaktadır.
Buna göre,
g(x)=x2−mx+m+3≤0g(x) = x^2 - mx + m + 3 \le 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, mm parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

En büyük tam sayı değeri −2-2'dir.
Verilen f(x)f(x) ifadesinin her xx için negatif olması m<2m < 2 koşulunu gerektirir. g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması ise diskriminantın sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir, bu da m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığını verir. Bu iki koşulun kesişimi alındığında m≤−2m \le -2 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 koşulunun her xx gerçel sayısı için sağlanması için gerekli şartları belirleme.
m<2m < 2 aralığı elde edilir.
Bir ikinci dereceden ifadenin daima negatif olması için başkatsayısının negatif (m−2<0  ⟹  m<2m-2 < 0 \implies m < 2) ve diskriminantının negatif (Δf<0  ⟹  12(m−2)<0  ⟹  m<2\Delta_f < 0 \implies 12(m-2) < 0 \implies m < 2) olması gerekir.
2
g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş küme olmaması koşulunu belirleme.
m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığı elde edilir.
Başkatsayısı pozitif olan parabolün ≤0\le 0 olduğu bir aralığın bulunması için parabolün x eksenini kesmesi veya teğet olması, dolayısıyla Δg≥0\Delta_g \ge 0 olması gerekir. Buradan m2−4m−12≥0  ⟹  (m−6)(m+2)≥0m^2 - 4m - 12 \ge 0 \implies (m-6)(m+2) \ge 0 elde edilir.
3
Elde edilen mm aralıklarının kesişimini alarak en büyük tam sayı değerini bulma.
m≤−2m \le -2 aralığından en büyük tam sayı değeri −2-2 bulunur.
m<2m < 2 ile (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) kümelerinin kesişim kümesi (−∞,−2](-\infty, -2] aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Anahtar Kavram

��kinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde daima sağlanma ve çözüm kümesinin varlığı koşullarının diskriminant ve başkatsayı işaretleri kullanılarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1566Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=163\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{16}{3}
olduğuna göre, tan⁡2x−cos⁡(2x)\tan^2 x - \cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

Yedi bölü iki
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenip yarım açı formülleriyle düzenlendiğinde sinüs karesinin değeri elde edilir. Açının sınırları dikkate alınarak kosinüs ve tanjant değerleri doğru işaretlerle bulunur ve ifadede yerine yazılarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki rasyonel ifade payda eşitleme yapılarak sadeleştirilir ve yarım açı formülü uygulanır.
1sin⁡2x+1cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2(2x)} ifadesi elde edilir.
İfadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ifade verilen değere eşitlenerek sinüs ve kosinüs değerleri belirlenir.
4sin⁡2(2x)=163  ⟹  sin⁡2(2x)=34\frac{4}{\sin^2(2x)} = \frac{16}{3} \implies \sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur (3. bölge). 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan sin⁡(2x)=−32\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(2x)=−12\cos(2x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tespit etmek.
3
Tanjant yarım açı formülü kullanılarak tanjant değeri hesaplanır.
tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} olur. Yarım açı formülünden 2tan⁡x1−tan⁡2x=3\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3} elde edilir. Buradan 3tan⁡2x+2tan⁡x−3=0  ⟹  (3tan⁡x−1)(tan⁡x+3)=0\sqrt{3}\tan^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) = 0 denkleminden tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} seçilir.
Açının 2. bölgede olması nedeniyle tanjant değerinin negatif olması gerekir.
4
Bulunan değerler soruda istenen ifadede yerine yazılır.
tan⁡2x−cos⁡(2x)=(−3)2−(−12)=3+12=72\tan^2 x - \cos(2x) = (-\sqrt{3})^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak bulunur.
Nihai sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Bölgelere Göre Trigonometrik Değerlerin İşaretleri

Alternatif Yöntem

Tanjant yarım açı formülünü cebirsel olarak çözmek yerine, dik üçgen çizilerek 2x açısı yerleştirilir ve hipotenüs kadar uzatılan kenarla x açısına geometrik geçiş yapılarak tanjant değeri bulunabilir. Bölge işareti en son elle eklenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1567Soru →
x2−xy=xx2+y2=25\begin{aligned} x^2 - xy &= x \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned}

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilisi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan 4 farklı gerçel sayı ikilisi vardır.
Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikililerinin sayısı 4'tür. Birinci denklemden x=0x = 0 veya x−y=1x - y = 1 elde edilir. x=0x = 0 için ikinci denklemden y=±5y = \pm 5 gelir ve (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5) çözümleri oluşur. x−y=1x - y = 1 yani x=y+1x = y + 1 için ikinci denklemden y2+y−12=0y^2 + y - 12 = 0 elde edilir, buradan y=3y = 3 ve y=−4y = -4 bulunarak sırasıyla (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) çözümleri elde edilir. Toplamda 4 farklı çözüm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
x(x−y−1)=0x(x - y - 1) = 0 elde edilir.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
x=0x = 0 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
02+y2=25  ⟹  y2=25  ⟹  y=50^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 25 \implies y = 5 veya y=−5y = -5 bulunur. Buradan elde edilen ikililer (0,5)(0, 5) ve (0,−5)(0, -5)'dir.
Çarpanlardan birinin sıfır olması durumunda sistemin sağladığı çözümleri bulmak gerekir.
3
x−y=1  ⟹  x=y+1x - y = 1 \implies x = y + 1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
(y+1)2+y2=25  ⟹  2y2+2y−24=0  ⟹  y2+y−12=0(y+1)^2 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0 \implies y^2 + y - 12 = 0 elde edilir. Bu denklem (y+4)(y−3)=0(y+4)(y-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan y=3y = 3 veya y=−4y = -4 bulunur. y=3y = 3 için x=4  ⟹  (4,3)x = 4 \implies (4, 3); y=−4y = -4 için x=−3  ⟹  (−3,−4)x = -3 \implies (-3, -4) elde edilir.
Diğer çarpanın sıfır olma durumuna bağlı olarak sistemin diğer çözümlerini bulmak gerekir.
4
Bulunan tüm çözümleri birleştirerek toplam çözüm sayısını belirleyin.
Sistemi sağlayan ikililer: (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5), (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) olmak üzere 4 tanedir.
Farklı durumlardan elde edilen tüm gerçel sayı ikililerinin birleşimi çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemleri ile çözülmesi, sadeleştirme yaparken kök kaybına dikkat edilmesi.
Soru 1568Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−mx+2y = x^2 - mx + 2 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu iki farklı noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarından biri parabolün tepe noktası olduğuna göre, mm sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Parabolün tepe noktasının ordinat ve apsis değerleri doğru denklemini sağlamak zorundadır. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve kökler toplamı formülü uygulandığında, alabileceği değerler toplamının −4-4 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm değişkeni cinsinden ifade etmek.
Tepe noktası T(m2,2−m24)T\left(\frac{m}{2}, 2 - \frac{m^2}{4}\right) olarak bulunur.
Genel denklemi y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c olan parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a = 1 ve b=−mb = -m olduğundan r=m2r = \frac{m}{2} ve k=(m2)2−m(m2)+2=2−m24k = \left(\frac{m}{2}\right)^2 - m\left(\frac{m}{2}\right) + 2 = 2 - \frac{m^2}{4} elde edilir.
2
Tepe noktasının doğrunun üzerinde olması koşulunu kullanarak mm'ye bağlı bir denklem elde etmek.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Tepe noktası doğrunun üzerinde olduğundan, koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. y=2x+1y = 2x + 1 denkleminde x=m2x = \frac{m}{2} ve y=2−m24y = 2 - \frac{m^2}{4} yazılırsa: 2−m24=2(m2)+1  ⟹  2−m24=m+12 - \frac{m^2}{4} = 2\left(\frac{m}{2}\right) + 1 \implies 2 - \frac{m^2}{4} = m + 1 elde edilir. Her iki taraf 4 ile çarpılıp düzenlendiğinde m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 bulunur.
3
İki farklı noktada kesişim koşulunun (mm'nin bulunan değerleri için) geçerliliğini kontrol etmek.
Her iki mm değeri için de parabol ve doğrunun iki farklı noktada kesiştiği doğrulanır.
Ortak çözüm denklemi x2−mx+2=2x+1  ⟹  x2−(m+2)x+1=0x^2 - mx + 2 = 2x + 1 \implies x^2 - (m+2)x + 1 = 0 olur. Bu denklemin diskriminantı Δ=(m+2)2−4=m2+4m\Delta = (m+2)^2 - 4 = m^2 + 4m şeklindedir. İkinci adımda m2+4m=4m^2 + 4m = 4 olduğunu bulmuştuk. Buradan Δ=4>0\Delta = 4 > 0 bulunur. Δ>0\Delta > 0 olduğundan parabol ile doğru daima iki farklı noktada kesişir.
4
mm'nin alabileceği farklı değerlerin toplamını hesaplamak.
Değerlerin toplamı −4-4 olarak bulunur.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δm=42−4(1)(−4)=32>0\Delta_m = 4^2 - 4(1)(-4) = 32 > 0 olduğundan mm'nin iki farklı gerçel sayı değeri vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü olan −ba-\frac{b}{a} uygulandığında, değerlerin toplamı −41=−4-\frac{4}{1} = -4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim durumlarının ortak çözüm denklemi ve diskriminant yardımıyla incelenmesi, tepe noktası koordinatlarının geometrik yorumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1569Soru →
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)+1+sin⁡(2θ)=85\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.
Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında, sin⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=−2cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta elde edilir. Buradan cos⁡θ=−4/5\cos\theta = -4/5 bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından sin⁡θ=−3/5\sin\theta = -3/5 olarak belirlenir. Yarım açı formülünden sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=24/25\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25 olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.
1−sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta| ve 1+sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ+cos⁡θ∣\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 ve (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 olur.
2
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.
∣sin⁡θ−cos⁡θ∣=sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta ve ∣sin⁡θ+cos⁡θ∣=−sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta
Üçüncü bölgede sin⁡θ<0\sin\theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olup, belirtilen alt aralıkta cos⁡θ<sin⁡θ\cos\theta < \sin\theta gerçekleşir. Bu nedenle sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 olur.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve cos⁡θ\cos\theta değerini bulun.
(sin⁡θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ−cos⁡θ)=85  ⟹  −2cos⁡θ=85  ⟹  cos⁡θ=−45(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}
Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.
4
cos⁡θ\cos\theta yardımıyla sin⁡θ\sin\theta değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerini hesaplayın.
sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.
5
İstenen 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değerini hesaplayın.
25⋅2425=2425 \cdot \frac{24}{25} = 24
Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 1570Soru →
log⁡x(2)−log⁡2(x)=32\log_x(2) - \log_2(x) = \frac{3}{2} denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü denklem log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yapılarak çözüldüğünde elde edilen kökler x=2x = \sqrt{2} ve x=1/4x = 1/4'tür. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi kurallarına uymaktadır ve çarpımları 24\frac{\sqrt{2}}{4} değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gerekli taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereğince taban pozitif ve 11'den farklı olmalıdır, ayrıca log⁡2(x)\log_2(x) ifadesindeki argüman olan xx de pozitif olmalıdır.
2
log⁡x(2)\log_x(2) ifadesini taban değiştirme kuralı kullanarak log⁡2(x)\log_2(x) türünden yazma ve değişken değiştirme uygulama.
log⁡x(2)=1log⁡2(x)\log_x(2) = \frac{1}{\log_2(x)} özelliğinden denklem 1log⁡2(x)−log⁡2(x)=32\frac{1}{\log_2(x)} - \log_2(x) = \frac{3}{2} olur. log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümüyle denklemi 1t−t=32\frac{1}{t} - t = \frac{3}{2} biçimine getirebiliriz.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem olarak ifade etme ve çözme.
Paydaları eşitleyip düzenleyince 2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (2t−1)(t+2)=0(2t - 1)(t + 2) = 0 olup kökleri t1=12t_1 = \frac{1}{2} ve t2=−2t_2 = -2 bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci derece denklem formuna dönüştürüp kökleri bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkeninin değerlerini elde etme ve tanım kümesine uygunluğunu denetleme.
t=12  ⟹  log⁡2(x)=12  ⟹  x1=21/2=2t = \frac{1}{2} \implies \log_2(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = 2^{1/2} = \sqrt{2} ve t=−2  ⟹  log⁡2(x)=−2  ⟹  x2=2−2=14t = -2 \implies \log_2(x) = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} elde edilir. Her iki değer de x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartını sağladığı için geçerli köklerdir.
Tanım kümesi dışındaki yabancı kökleri elemek ve gerçek çözüm kümesini oluşturmak.
5
Bulunan köklerin çarpımını hesaplama.
x1⋅x2=2⋅14=24x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} bulunur.
Soruda doğruluğu sorgulanan kökler çarpımı ifadesini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme kuralı yardımıyla değişken değiştirme yöntemi uygulamak ve elde edilen köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu denetlemek.

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanarak log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yerine ln⁡(x)\ln(x) cinsinden yazım da yapılabilir, ancak bu işlem adımlarını uzatacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1571Soru →
x2−xy+y2=7x2+y2−x−y=8\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned} denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx+y toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.
Denklem sisteminde x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapıldığında, x2−xy+y2=u2−3v=7x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7 ve x2+y2−(x+y)=u2−2v−u=8x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8 denklemleri elde edilir. Buradan vv çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denkleminin kökleri 55 ve −2-2 olup, pozitif olan değer 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapılarak x2+y2x^2+y^2 ve x2−xy+y2x^2-xy+y^2 ifadeleri uu ve vv cinsinden yazılır.
x2+y2=u2−2vx^2+y^2 = u^2-2v ve x2−xy+y2=u2−3vx^2-xy+y^2 = u^2-3v elde edilir.
Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.
u2−3v=7u^2 - 3v = 7 ve u2−2v−u=8u^2 - 2v - u = 8 denklem sistemi elde edilir.
Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.
3
Birinci denklemden vv çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
v=u2−73v = \frac{u^2-7}{3} ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında u2−2(u2−73)−u=8u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8 denklemi elde edilir.
Sistemden vv değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.
4
Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.
5
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
(u−5)(u+2)=0(u-5)(u+2) = 0 elde edilir, buradan u=5u = 5 veya u=−2u = -2 bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
6
u=x+yu = x+y olduğundan elde edilen uu değerleri incelenir.
x+yx+y toplamı 55 veya −2-2 olabilir. Pozitif değer sorulduğu için 55 seçilir.
Soruda bizden istenen pozitif x+yx+y değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 1572Soru →
(x−3)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−2x−15<0x^2 - 2x - 15 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan ifadeler ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten x≠3x \neq 3 koşuluyla [−1,3)[-1, 3) aralığı, ikinci eşitsizlikten ise (−3,5)(-3, 5) aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi [−1,3)[-1, 3) aralığı olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin tanım kümesini ve köklerini belirleme
x≠3x \neq 3 koşuluyla eşitsizlik (x−3)(x+1)≤0(x - 3)(x + 1) \le 0 biçimine sadeleşir ve çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) olur.
Rasyonel bir ifadede paydanın sıfır olamayacağı kuralını uygulamak ve sadeleştirme yaparken kök kaybını önlemek.
2
İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve köklerini bulma
(x−5)(x+3)<0(x - 5)(x + 3) < 0 eşitsizliğinden çözüm kümesi (−3,5)(-3, 5) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturmak için kökleri bulmak.
3
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini elde etme
Ortak çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) yarı açık aralığıdır.
Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerler kümesi olduğunu kullanmak.
4
Ortak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama
(−1)+0+1+2=2(-1) + 0 + 1 + 2 = 2
Soru kökünde istenen tam sayıların toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 1573Soru →

Analitik düzlemde, y=x2+3x+8y = x^2 + 3x + 8 parabolüne A(0,−1)A(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrulardan birinin parabole değme noktası koordinat düzleminin II. bölgesindedir. Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Teğet doğrunun eğimi -3'tür.
A(0, -1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y=mx−1y = mx - 1 şeklindedir. Parabol denklemi ile ortak çözülüp teğetlik şartı olan Δ=0\Delta = 0 uygulandığında m=−3m = -3 ve m=9m = 9 değerleri elde edilir. Değme noktası II. bölgede (apsisi negatif, ordinatı pozitif) olan doğru incelendiğinde m=−3m = -3 için değme noktasının T1(−3,8)T_1(-3, 8) olduğu görülür ve bu durum şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
A(0, -1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemini yazma
y=mx−1y = mx - 1
Teğet doğrunun denklemini belirlemek için.
2
Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturma
x2+(3−m)x+9=0x^2 + (3 - m)x + 9 = 0
Kesişim noktalarını veya teğetlik şartını incelemek için.
3
Teğetlik şartı için diskriminantı sıfıra eşitleyip m değerlerini bulma
Δ=(3−m)2−36=0  ⟹  m=−3\Delta = (3 - m)^2 - 36 = 0 \implies m = -3 veya m=9m = 9
Doğru parabole teğet olduğundan ortak denklemin çift katlı kökü (tek ortak noktası) olmalıdır.
4
Bulunan m değerlerine göre değme noktalarının koordinatlarını kontrol etme
m=−3m = -3 için değme noktası T1(−3,8)T_1(-3, 8) (II. bölge), m=9m = 9 için değme noktası T2(3,26)T_2(3, 26) (I. bölge)
Soruda değme noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşittir (Δ=0\Delta = 0).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1574Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡12−x(x2−8x+12x−4)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{12-x}\left(\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}\right) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 37'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar, her iki logaritmik terimin de eş zamanlı olarak tanımlı olmasını sağlayan değerlerdir. Birinci logaritma teriminden gelen x>2x > 2 sınırlandırması ile ikinci logaritma teriminden gelen x<12x < 12, x≠11x \neq 11 ve x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) koşulları kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesindeki tam sayıların (3,7,8,9,103, 7, 8, 9, 10) toplamı doğru sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tanım kümesini belirleme
x>2x > 2
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanı ise pozitif olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x-1>0 \implies x>1, x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 ve x2−4>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2-4>0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) elde edilir. Bu üç koşulun kesişimi x>2x > 2 aralığıdır.
2
İkinci logaritma teriminin taban koşullarını belirleme
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Buradan 12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11 elde edilir.
3
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme
x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty)
Argümanın pozitif olması gerekir. x2−8x+12x−4>0  ⟹  (x−2)(x−6)x−4>0\frac{x^2-8x+12}{x-4} > 0 \implies \frac{(x-2)(x-6)}{x-4} > 0 eşitsizliğinin kökleri 2,4,62, 4, 6'dır. İşer işaret tablosunda en sağdan ++ ile başlanarak sırasıyla −,+,−-, +, - şeklinde işaretler yerleştirilir. Buradan pozitif bölgeler (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olarak belirlenir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini oluşturma
x∈(2,4)∪(6,11)∪(11,12)x \in (2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
x>2x > 2 ile x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) aralıklarının kesişimi (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olur. Bu kümenin x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11 koşullarıyla kesişimi ise (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesini verir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini bulup toplama
37
(2,4)(2, 4) aralığındaki tek tam sayı 33'tür. (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. (11,12)(11, 12) aralığında tam sayı yoktur. Tam sayıların toplamı: 3+7+8+9+10=373 + 7 + 8 + 9 + 10 = 37 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (logaritması alınan ifadenin) ise sıfırdan büyük olması gerekir. Birden fazla logaritmik ifadenin toplamından oluşan fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir ifadenin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 1575Soru →
Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için
m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ
m(BPC^)=150∘m(\widehat{BPC}) = 150^\circ
olarak veriliyor.

PBCPBC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı rr birim olduğuna göre, Rr\frac{R}{r} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevap

R/roranı33olarakbulunur.R/r oranı \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.
Sinüs Teoremi gereğince, ortak olan BC kenarının uzunluğu hem 2R⋅sin⁡(120∘)2R \cdot \sin(120^\circ) hem de 2r⋅sin⁡(150∘)2r \cdot \sin(150^\circ) ifadelerine eşittir. Buradan R3=rR\sqrt{3} = r bağıntısı elde edilir ve istenen oran 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninde BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı R arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2R⋅sin⁡(120∘)|BC| = 2R \cdot \sin(120^\circ)
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
2
PBC üçgeninde ortak olan BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı r arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2r⋅sin⁡(150∘)|BC| = 2r \cdot \sin(150^\circ)
Aynı teorem ortak BC kenarına sahip olan PBC üçgeni için de geçerlidir.
3
Trigonometrik açı indirgeme formüllerini kullanarak sin⁡(120∘)\sin(120^\circ) ve sin⁡(150∘)\sin(150^\circ) değerlerini hesaplayalım.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki açıların sinüs değerleri pozitif olup, bütünler açılarının sinüslerine eşittir.
4
Bulduğumuz sinüs değerlerini ∣BC∣|BC| eşitliklerinde yerine koyarak R ve r cinsinden ifadeleri eşitleyelim.
2R⋅32=2r⋅12  ⟹  R3=r2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2r \cdot \frac{1}{2} \implies R\sqrt{3} = r
Her iki üçgende de ∣BC∣|BC| uzunluğu ortak olduğundan, elde edilen iki ifade birbirine eşittir.
5
Elde edilen eşitlikten Rr\frac{R}{r} oranını çekelim.
Rr=13=33\frac{R}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Eşitliğin her iki tarafını r ve 3\sqrt{3} ile bölerek istenen oranı buluruz.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Soru 1576Soru →
1log⁡2120+1log⁡3120+1log⁡4120+1log⁡5120\frac{1}{\log_{2} 120} + \frac{1}{\log_{3} 120} + \frac{1}{\log_{4} 120} + \frac{1}{\log_{5} 120} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

1
Taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanılarak tüm terimler aynı tabana (120120 tabanına) getirilir. Ardından, aynı tabandaki logaritma toplamlarının çarpım özelliğinden faydalanılarak ifadeler tek bir logaritma altında toplanır ve log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120=1\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 = 1 sonucu elde edilir. Dolayısıyla doğru yanıt 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın taban değiştirme özelliğini kullanarak her bir terimi düzenleyin.
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uyarınca ifade log⁡1202+log⁡1203+log⁡1204+log⁡1205\log_{120} 2 + \log_{120} 3 + \log_{120} 4 + \log_{120} 5 hâline gelir.
Paydadaki logaritmik ifadeleri paya taşımak ve tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme kuralı uygulanır.
2
Tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin toplamını, tek bir logaritma altında çarpım olarak yazın.
log⁡bx+log⁡by=log⁡b(x⋅y)\log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \cdot y) kuralı uyarınca ifade log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 olur.
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritmik ifadeye indirgemek için çarpım özelliği kullanılır.
3
Elde edilen logaritma ifadesinin değerini hesaplayın.
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 özelliği gereği log⁡120120=1\log_{120} 120 = 1 bulunur.
Tabanı ve içi aynı olan logaritmanın değerinin 1 olduğunu uygulamak için bu özellik kullanılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Çarpım Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1577Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)sin⁡(y)−cos⁡(x−y)cos⁡(y)cos⁡(x+y)sin⁡(y)−sin⁡(x+y)cos⁡(y)\frac{\sin(x - y)\sin(y) - \cos(x - y)\cos(y)}{\cos(x + y)\sin(y) - \sin(x + y)\cos(y)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot(x); cotx; cot x; \cot(x); \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli kotanjant fonksiyonu cinsinden cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Pay kısmındaki ifade eksi parantezine alındığında kosinüs toplam formülüyle −cos⁡(x)-\cos(x) değerine, payda kısmı ise sinüs fark formülüyle sin⁡(y−(x+y))=sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin(x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise cot⁡(x)\cot(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi kosinüs toplam formülüne benzetmek için eksi parantezine almak.
−(cos⁡(x−y)cos⁡(y)−sin⁡(x−y)sin⁡(y))-(\cos(x - y)\cos(y) - \sin(x - y)\sin(y))
Kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(A+B)=cos⁡(A)cos⁡(B)−sin⁡(A)sin⁡(B)\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) yapısını elde etmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Pay kısmına kosinüs toplam formülünü uygulamak.
−cos⁡((x−y)+y)=−cos⁡(x)-\cos((x - y) + y) = -\cos(x)
Açıları topladığımızda x−y+y=xx - y + y = x elde edilir, böylece pay kısmı −cos⁡(x)-\cos(x) olur.
3
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(y)cos⁡(x+y)−cos⁡(y)sin⁡(x+y)=sin⁡(y−(x+y))\sin(y)\cos(x + y) - \cos(y)\sin(x + y) = \sin(y - (x + y))
Sinüsün fark formülü sin⁡(A−B)=sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) şeklindedir. Burada A=yA = y ve B=x+yB = x + y olarak seçilirse bu kalıp elde edilir.
4
Payda kısmındaki açıyı sadeleştirmek ve tek fonksiyon cinsinden yazmak.
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x)
Sinüs tek fonksiyon olduğu için sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x) eşitliği geçerlidir.
5
Pay ve paydanın oranını bularak en sade hali elde etmek.
−cos⁡(x)−sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu verir ve eksiler birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve işaret takibi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1578Soru →
2log⁡22(x)+xlog⁡2(x)=42^{\log_2^2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 52\frac{5}{2}'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel kökleri 22 ve 12\frac{1}{2} olup toplamları 52\frac{5}{2}'dir.
Denklemde 2log⁡22(x)2^{\log_2^2(x)} ifadesi xlog⁡2(x)x^{\log_2(x)} olarak yazıldığında, denklem xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} = 2 şekline indirgenir. Buradan elde edilen kökler 22 ve 12\frac{1}{2} olur, toplamları ise 52\frac{5}{2}'yi verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡22(x)2^{\log_2^2(x)} terimini, üs kuralları ve logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirin.
2log⁡22(x)=2(log⁡2(x)⋅log⁡2(x))=(2log⁡2(x))log⁡2(x)=xlog⁡2(x)2^{\log_2^2(x)} = 2^{(\log_2(x) \cdot \log_2(x))} = \left(2^{\log_2(x)}\right)^{\log_2(x)} = x^{\log_2(x)} elde edilir.
Denklemin tüm terimlerini ortak bir taban ve üs formuna getirerek çözümü basitleştirmek.
2
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine koyarak düzenleyin.
xlog⁡2(x)+xlog⁡2(x)=4  ⟹  2⋅xlog⁡2(x)=4  ⟹  xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 \implies 2 \cdot x^{\log_2(x)} = 4 \implies x^{\log_2(x)} = 2 elde edilir.
Benzer terimleri birleştirerek denklemi tek bir üslü ifade biçiminde yazmak.
3
xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} = 2 denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(xlog⁡2(x))=log⁡2(2)  ⟹  log⁡2(x)⋅log⁡2(x)=1  ⟹  (log⁡2(x))2=1\log_2\left(x^{\log_2(x)}\right) = \log_2(2) \implies \log_2(x) \cdot \log_2(x) = 1 \implies (\log_2(x))^2 = 1 elde edilir.
Üstteki logaritma ifadesini katsayı olarak öne indirerek denklemi çözülebilir bir cebirsel forma sokmak.
4
(log⁡2(x))2=1(\log_2(x))^2 = 1 denklemini çözerek xx değerlerini bulun ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin.
log⁡2(x)=1  ⟹  x=2\log_2(x) = 1 \implies x = 2 ve \log_2(x) = -1 \implies x = \frac{1}{2}bulunur.Herikiko¨kde bulunur. Her iki kök de x > 0 tanımaralıg˘ındaoldug˘undanc\co¨zu¨mku¨mesi tanım aralığında olduğundan çözüm kümesi \{2, \frac{1}{2}\}olur.Buko¨klerintoplamı olur. Bu köklerin toplamı 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ olarak hesaplanır.
Denklemin köklerini bulmak, bu köklerin logaritma tanım kümesini sağladığını doğrulamak ve sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmalı denklemlerde taban-üs değiştirme kuralları, değişken değiştirme ve tanım kümesi kontrolleri.
Soru 1579Soru →
cos⁡(2arctan⁡(2)−arcsin⁡(35))\cos\left(2\arctan(2) - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

0
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara dönüştürüldüğünde soru cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) değerini bulmaya indirgenir. Dik üçgenlerden elde edilen oranlar ve yarım açı formülleriyle cos⁡(2α)=−35\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=45\sin(2\alpha) = \frac{4}{5} bulunur. Bu değerler fark formülünde yerine konulduğunda terimler birbirini yok eder ve sonuç 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
arctan⁡(2)=α\arctan(2) = \alpha ve arcsin⁡(35)=β\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \beta dönüşümleri yapılır.
tan⁡(α)=2\tan(\alpha) = 2 ve sin⁡(β)=35\sin(\beta) = \frac{3}{5} elde edilir. Buradan dik üçgenler yardımıyla diğer oranlar belirlenir: sin⁡(α)=25\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}, cos⁡(α)=15\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} ve cos⁡(β)=45\cos(\beta) = \frac{4}{5} olur.
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için açı dönüşümü uygulanır.
2
cos⁡(2α)\cos(2\alpha) ve sin⁡(2α)\sin(2\alpha) değerleri yarım açı formülleriyle hesaplanır.
cos⁡(2α)=2cos⁡2(α)−1=2(15)−1=−35\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos⁡(α)=2(25)(15)=45\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5} bulunur.
İstenen cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) ifadesini açmak için yarım açı değerlerine ihtiyaç vardır.
3
cos⁡(2α−β)=cos⁡(2α)cos⁡(β)+sin⁡(2α)sin⁡(β)\cos(2\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(\beta) + \sin(2\alpha)\sin(\beta) fark formülü uygulanır.
cos⁡(2α−β)=(−35)(45)+(45)(35)=−1225+1225=0\cos(2\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0 bulunur.
Fark formülü kullanılarak ifadenin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürme ve yarım açı ile fark formüllerini uygulama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1580Soru →
log⁡3(x+5)=2\log_3(x + 5) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {4}\{4\} elemanından oluşmaktadır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Logaritma tanımı kullanılarak denklem x+5=32x + 5 = 3^2 biçiminde yazılır ve buradan elde edilen x=4x = 4 değeri logaritmanın tanım kümesi şartını sağladığı için çözüm kümesi gerçekten {4}\{4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi üstel biçimde ifade edin.
x+5=32x + 5 = 3^2
log⁡a(b)=c\log_a(b) = c denklemi, logaritma tanımı gereği b=acb = a^c şeklinde üstel formda yazılabilir.
2
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni bulun.
x=4x = 4
x+5=9x + 5 = 9 denkleminde eşitliğin her iki tarafından 55 çıkarıldığında x=4x = 4 elde edilir.
3
Bulunan değerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin.
4+5=9>04 + 5 = 9 > 0
Bir logaritma ifadesinin tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir. x=4x = 4 değeri bu koşulu sağladığı için geçerli bir köktür.

Anahtar Kavram

Temel logaritmik denklemlerin logaritma tanımı kullanılarak çözülmesi ve tanım kümesi kontrolünün yapılması.
ÖncekiSayfa 79 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin