Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1581Soru →
f(x)=log⁡x2−5x+5(x3−8x2+15x)+log⁡5(9−x)f(x) = \log_{x^2 - 5x + 5}(x^3 - 8x^2 + 15x) + \log_5(9 - x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayılar��n toplamı 21'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken hem argümanın pozitif olması (x3−8x2+15x>0x^3-8x^2+15x > 0 ve 9−x>09-x > 0) hem de tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (x2−5x+5>0x^2-5x+5 > 0 ve x2−5x+5≠1x^2-5x+5 \neq 1) koşullarının tamamı sağlanmalıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar 6, 7 ve 8 olup, toplamları 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir.
x3−8x2+15x>0  ⟹  x(x−3)(x−5)>0x^3 - 8x^2 + 15x > 0 \implies x(x-3)(x-5) > 0. Bu ifadenin kökleri 00, 33 ve 55'tir. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (0,3)∪(5,∞)(0, 3) \cup (5, \infty) aralığı olarak bulunur.
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir ve birinci terimin argüman koşulu ile kesiştirilir.
9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9. İlk adımda bulunan aralıkla kesiştirildiğinde, x∈(0,3)∪(5,9)x \in (0, 3) \cup (5, 9) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayı adayları {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} kümesidir.
Her iki logaritma teriminin de aynı anda tanımlı olması için argüman koşullarının kesişimi alınmalıdır.
3
Birinci logaritma teriminin taban koşulları (tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması) incelenir.
Taban ifadesi x2−5x+5x^2 - 5x + 5 için:
1) x2−5x+5>0x^2 - 5x + 5 > 0 olmalıdır.
2) x2−5x+5≠1  ⟹  x2−5x+4≠0  ⟹  (x−1)(x−4)≠0  ⟹  x≠1x^2 - 5x + 5 \neq 1 \implies x^2 - 5x + 4 \neq 0 \implies (x-1)(x-4) \neq 0 \implies x \neq 1 ve x≠4x \neq 4 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereği taban her zaman pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
4
Aday tam sayılar taban koşullarına göre kontrol edilerek elenir ve kalanların toplamı hesaplanır.
Aday kümemiz {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} idi:
- x=1x = 1 için: Taban 12−5(1)+5=11^2 - 5(1) + 5 = 1 olur. Taban 1 olamayacağı için 11 elenir.
- x=2x = 2 için: Taban 22−5(2)+5=−1<02^2 - 5(2) + 5 = -1 < 0 olur. Taban pozitif olacağı için 22 elenir.
- x=6x = 6 için: Taban 11>011 > 0 ve 11≠111 \neq 1 (sağlar).
- x=7x = 7 için: Taban 19>019 > 0 ve 19≠119 \neq 1 (sağlar).
- x=8x = 8 için: Taban 29>029 > 0 ve 29≠129 \neq 1 (sağlar).
Tanım kümesindeki tam sayılar {6,7,8}\{6, 7, 8\} olup toplamları 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak hesaplanır.
Bulunan tam sayı adaylarından taban şartlarını bozmayanlar seçilerek en geniş tanım kümesindeki tam sayılar netleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
Soru 1582Soru →
log⁡2(x2−x)=log⁡2(3x−3)\log_2(x^2 - x) = \log_2(3x - 3) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {3}\{3\}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur.
Verilen denklemin cebirsel çözümü yapıldığında elde edilen köklerden yalnızca 3 değeri logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi olan x>1x > 1 koşulunu sağlar. Diğer aday kök olan 1 değeri logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsızlığa yol açtığından çözüm kümesine dahil edilmez. Bu sebeple çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım aralıklarını belirleyin.
x2−x>0⇒x(x−1)>0⇒x<0x^2 - x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0 \Rightarrow x < 0 veya x>1x > 1 ve 3x−3>0⇒x>13x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>1x > 1 aralığı olarak belirlenir.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanları eşit olan logaritma ifadelerinin iç kısımlarını birbirine eşitleyerek cebirsel denklemi çözün.
x2−x=3x−3⇒x2−4x+3=0x^2 - x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1) = 0 olur ve aday kökler x=3x = 3 veya x=1x = 1 olarak bulunur.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))⇒f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \Rightarrow f(x) = g(x) kuralı uygulanarak logaritmik denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
3
Bulunan aday kökleri başlangıçta elde edilen tanım kümesi (x>1x > 1) ile karşılaştırarak doğruluğunu kontrol edin.
x=1x = 1 değeri tanım kümesinde yer almaz (1>11 > 1 sağlanmaz ve logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsız kılar). x=3x = 3 değeri ise tanım kümesindedir (3>13 > 1). Bu nedenle çözüm kümesi sadece  3 \ {3\ } elemanından oluşur.
Elde edilen tüm cebirsel köklerin orijinal fonksiyonda tanımsızlık yaratıp yaratmadığı kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde cebirsel köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi
Soru 1583Soru →

Bir duvar saatinin akrebinin uzunluğu 4 cm4\text{ cm}, yelkovanının uzunluğu ise 6 cm6\text{ cm} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, saat tam 16.00'yı gösterdiğinde akrep ile yelkovanın uç noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç cm\text{cm} olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2192\sqrt{19}

Cevap

2192\sqrt{19}
Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterir. Bu iki gösterge arasındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur. Kenar uzunlukları 4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm} olan ve aralarındaki açı 120∘120^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında uç noktalar arasındaki uzaklık dd olmak üzere, d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) bağıntısı elde edilir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazıldığında d2=16+36+24=76d^2 = 16 + 36 + 24 = 76 bulunur. Buradan d=76=219 cmd = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}\text{ cm} hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Saat kadranı üzerinde akrep ile yelkovan arasındaki açıyı derece cinsinden belirleme.
Açı 120∘120^\circ olarak bulunur.
Saat kadranı 12 eşit parçaya bölünmüştür ve her parça 30∘30^\circ lik yayı temsil eder. Saat 16.00'da yelkovan 12'yi, akrep ise 4'ü gösterdiğinden aralarındaki açı 4×30∘=120∘4 \times 30^\circ = 120^\circ olur.
2
Akrep ve yelkovanın uzunlukları (4 cm4\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm}) ve aralarındaki açıyı (120∘120^\circ) kullanarak Kosinüs Teoremi formülünü kurma.
d2=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(120∘)d^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) denklemi elde edilir.
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Açının kosinüs değerini indirgeme kurallarına göre belirleme.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
120∘120^\circ açısı ikinci bölgededir ve bu bölgede kosinüs fonksiyonu negatiftir. cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} olur.
4
Kosinüs değerini ve kenar uzunluklarının karelerini denklemde yerine yazıp uzaklığı hesaplama.
d2=16+36−48⋅(−12)=52+24=76  ⟹  d=219 cmd^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76 \implies d = 2\sqrt{19}\text{ cm} elde edilir.
Denklemin çözülmesiyle uç noktalar arasındaki en kısa doğrusal uzaklık bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi kullanılarak iki kenarı ve aralarındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenarının hesaplanması.
Soru 1584Soru →
log⁡2(x+1)=log⁡4(9)\log_2(x + 1) = \log_4(9)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 2'dir.
Logaritmanın üs özellikleri kullanılarak log⁡4(9)\log_4(9) ifadesi log⁡2(3)\log_2(3) olarak sadeleştirilir. Tabanlar eşitlendikten sonra argümanların eşitliğinden x+1=3x + 1 = 3 denklemi çözülerek doğru sonuca (2) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sağ tarafında bulunan log⁡4(9)\log_4(9) ifadesini taban değiştirme ve üs kurallarını kullanarak sadeleştirin.
log⁡4(9)=log⁡22(32)=22log⁡2(3)=log⁡2(3)\log_4(9) = \log_{2^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_2(3) = \log_2(3) elde edilir.
Logaritmik denklemleri çözebilmek için her iki tarafın tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Sadeleştirilmiş ifadeyi denklemde yerine yazın ve logaritma fonksiyonunun bire bir özelliğini uygulayın.
log⁡2(x+1)=log⁡2(3)⇒x+1=3\log_2(x+1) = \log_2(3) \Rightarrow x + 1 = 3 olur.
Tabanları aynı olan iki logaritma ifadesi eşitse, argümanları da eşit olmalıdır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün ve bulunan değerin logaritmanın tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=2x = 2 bulunur. x=2x = 2 için x+1=3>0x + 1 = 3 > 0 olduğundan bu değer tanım kümesini sağlar.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban eşitleme ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Soru 1585Soru →
log⁡224−1log⁡32\log_{2} 24 - \frac{1}{\log_{3} 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşleminin sonucu 3'tür.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği kullanılarak ikinci terim log⁡23\log_{2} 3 olarak yazılır. Tabanları eşit olan iki logaritmanın farkı kuralı uygulandığında log⁡2(243)=log⁡28\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8 elde edilir. 8=238 = 2^3 eşitliği kullanılarak sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_{3} 2} = \log_{2} 3
Paydadaki logaritma ifadesini pay kısmına taşımak ve tabanları eşitlemek için 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uygulanır.
2
Logaritma farkı özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirme
log⁡224−log⁡23=log⁡2(243)=log⁡28\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8
Aynı tabandaki iki logaritmanın farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right).
3
Logaritma değerini hesaplama
log⁡28=log⁡2(23)=3\log_{2} 8 = \log_{2}(2^3) = 3
8 sayısı 2 tabanında üstel biçimde yazılır ve log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme ve logaritma fark kuralı kullanılarak ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 1586Soru →
f(x)=log⁡x2−3x−3(16−x2)f(x) = \log_{x^2 - 3x - 3}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geni�� tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -5'tir.
Logaritmanın tanım kuralları uygulandığında 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden x∈(−4,4)x \in (-4, 4) bulunur. Taban koşullarından x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 eşitsizliği ve x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1 şartı birlikte değerlendirildiğinde bu aralıkta sağlayan tam sayılar yalnızca −3-3 ve −2-2 olup, toplamları −5-5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Argümanın pozitif olması koşulunu (16−x2>016 - x^2 > 0) çözmek.
x∈(−4,4)x \in (-4, 4) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümesidir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın pozitif olması koşulunu (x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0) incelemek.
İlk adımdaki tam sayılardan bu koşulu sağlayanlar {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} olarak bulunur. x∈{0,1,2,3}x \in \{0, 1, 2, 3\} için taban negatif olur.
Logaritmanın tabanı daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu (x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1) incelemek.
x2−3x−4≠0  ⟹  (x−4)(x+1)≠0  ⟹  x≠4x^2 - 3x - 4 \neq 0 \implies (x-4)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 4 ve x≠−1x \neq -1 elde edilir. Bu durumda {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} kümesinden x=−1x = -1 değeri elenerek {−3,−2}\{-3, -2\} bulunur.
Logaritmanın tabanı 1'e eşit olamaz.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
(−3)+(−2)=−5(-3) + (-2) = -5
Soruda tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın pozitif ve tabanın 1'den farklı olması gerekir.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliklerin ortak çözüm kümesini işaret tablosu oluşturarak bulmak: 16−x2>016-x^2 > 0 için kökler −4-4 ve 44, işaret tablosu +−++ - + şeklinde incelenir ve (−4,4)(-4, 4) aralığı bulunur. x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 için kökler yaklaşık −0.79-0.79 ve 3.793.79'dur. Bu iki aralığın kesişimi (−4,−0.79)∪(3.79,4)(-4, -0.79) \cup (3.79, 4) olur. Bu kümedeki tam sayılar −3-3 ve −2-2 olup toplamları −5-5 yapar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1587Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x

ifadelerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta kosinüs ve sinüs negatif olduğundan, çarpımları olan aa pozitif ve a∈(0,0.5)a \in (0, 0.5) aralığındadır. bb ifadesi tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1a\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} özdeşliğine eşit olduğundan b>2b > 2 olur. Son olarak, bu aralıkta kosinüs değeri sinüs değerinden daha küçük olduğundan c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x farkı negatif çıkacaktır. Bu durumda en küçük ifade negatif olan cc, en büyük ifade ise 22'den büyük olan bb olur. Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini ve bölgelerini belirleme
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini doğru belirlemek sıralama yapmanın ilk adımıdır.
2
aa ve bb ifadelerinin analizi ve karşılaştırılması
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x çarpımı, iki negatif değerin çarpımı olduğu için pozitiftir (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1ab = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) için 2x∈(2π,5π2)2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right) olup birinci bölgededir. Burada a=12sin⁡(2x)a = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri (0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right) aralığındadır. Dolayısıyla b=1a>2b = \frac{1}{a} > 2 bulunur. Buradan 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>2b > 2 olduğu için a<ba < b elde edilir.
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla aa cinsinden yazarak iki pozitif değeri karşılaştırmak kolaylaşır.
3
cc ifadesinin işaretini belirleme ve son sıralamayı yapma
Üçüncü bölgenin ilk yarısında, yani (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında, cos⁡x\cos x değeri sin⁡x\sin x değerinden daha küçüktür (örneğin x=210∘x = 210^\circ için cos⁡210∘=−32≈−0.866\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve sin⁡210∘=−0.5\sin 210^\circ = -0.5 olup −0.866<−0.5-0.866 < -0.5 tir). Bu nedenle cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 yani c<0c < 0 bulunur. Sonuç olarak c<0<a<bc < 0 < a < b olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Negatif olan cc değerinin pozitif olan aa ve bb değerlerinden küçük olduğunu belirterek sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve değer sıralaması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1588Soru →
log⁡3(x2)⋅log⁡2(x)=4log⁡2(x)\log_3(x^2) \cdot \log_2(x) = 4\log_2(x)

denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

Gerçel köklerin toplamı olan 10 sayısıdır.
Denklem, sol tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alındığında log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0 halini alır. Buradan log⁡2(x)=0\log_2(x) = 0 eşitliğini sağlayan kök x=1x = 1 ve log⁡3(x2)=4\log_3(x^2) = 4 eşitliğini sağlayan köklerden tanım kümesine (x>0x > 0) uyan kök x=9x = 9 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı 1+9=101 + 9 = 10 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin sağ tarafındaki terimi sol tarafa atarak ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözüme ulaşmak için.
2
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyip tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡2(x)=0⇒x=20=1\log_2(x) = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1. Bu değer logaritmanın tanım kümesi olan x>0x > 0 koşulunu sağlar.
Çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerektiğinden.
3
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyip elde edilen köklerin tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡3(x2)−4=0⇒log⁡3(x2)=4⇒x2=34=81⇒x=9\log_3(x^2) - 4 = 0 \Rightarrow \log_3(x^2) = 4 \Rightarrow x^2 = 3^4 = 81 \Rightarrow x = 9 veya x=−9x = -9. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x>0x > 0 olmalıdır, bu yüzden x=−9x = -9 elenir ve sadece x=9x = 9 geçerli bir kök olarak alınır.
Logaritmik fonksiyonların tanımlı olması için argümanların pozitif olması gerektiğinden.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplayalım.
1+9=101 + 9 = 10
Denklemin gerçel köklerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kontrolü
Soru 1589Soru →
f(x)=log⁡x−19−x(x2−x−6)f(x) = \log_{\frac{x-1}{9-x}}(x^2 - x - 6)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 25 değerine eşittir.
Doğru cevaba ulaşmak için tabanın pozitiflik (1<x<91 < x < 9) ve 1'den farklı olma (x≠5x \neq 5) koşulları ile logaritma içinin pozitiflik (x<−2x < -2 veya x>3x > 3) koşullarının kesişimi alınır. Bu kesişimden (3,9)∖{5}(3, 9) \setminus \{5\} kümesi elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 6, 7, 8 olup toplamları 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının pozitif olması koşulunu incelemek.
x−19−x>0  ⟹  x∈(1,9)\frac{x-1}{9-x} > 0 \implies x \in (1, 9)
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritma tabanının 1'den farklı olması koşulunu incelemek.
x−19−x≠1  ⟹  x−1≠9−x  ⟹  2x≠10  ⟹  x≠5\frac{x-1}{9-x} \neq 1 \implies x - 1 \neq 9 - x \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5
Logaritma tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz.
3
Logaritma içerisindeki ifadenin pozitif olması koşulunu incelemek.
x2−x−6>0  ⟹  (x−3)(x+2)>0  ⟹  x<−2 veya x>3x^2 - x - 6 > 0 \implies (x-3)(x+2) > 0 \implies x < -2 \text{ veya } x > 3
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirlemek.
x∈(3,9)∖{5}x \in (3, 9) \setminus \{5\}
Fonksiyonun tanımlı olması için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.
4,6,7,8  ⟹  4+6+7+8=254, 6, 7, 8 \implies 4 + 6 + 7 + 8 = 25
İstenen tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için kümedeki elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 1590Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Sadeleştirme adımları ve yarım açı formülü uygulandığında doğru cevap -0.8 olarak bulunur.
İfadenin payındaki 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimi 2sin⁡2x2\sin^2 x şeklinde, paydasındaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimi ise 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x şeklinde yazıldığında oran tan⁡x=3\tan x = 3 olarak sadeleşir. xx açısının üçüncü bölgede olmasıyla uyumlu olarak tan⁡x\tan x pozitiftir. Bu açı değerine göre cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1 ve sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 bulunur. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x ifadesinden aranan değer −0.8-0.8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeyi yarım açı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
tan⁡x=3\tan x = 3
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülleri yerine yazıldığında pay 2sin⁡2x2\sin^2 x ve payda 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x olur. Oranlandığında tan⁡x=3\tan x = 3 elde edilir.
2
Dik üçgen bağıntısı ve bölge analizini kullanarak trigonometrik değerlerin karelerini belirleyin.
sin⁡2x=0.9\sin^2 x = 0.9 ve cos⁡2x=0.1\cos^2 x = 0.1
tan⁡x=3\tan x = 3 bağıntısına uygun dik üçgende hipotenüs 12+32=10\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} olur. Buradan sin⁡2x=(310)2=910\sin^2 x = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} ve cos⁡2x=(110)2=110\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} bulunur.
3
Kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=−0.8\cos(2x) = -0.8
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünden 110−910=−0.8\frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -0.8 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonları için yarım açı formüllerinin uygulanması ve sadeleştirme.
Soru 1591Soru →
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(13)x = \arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right)
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(12)y = \arctan(3) - \arctan\left(\frac{1}{2}\right)

olmak üzere, cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −35-\frac{3}{5}

Cevap

cos⁡(x+y)\cos(x + y) ifadesinin değeri −35-\frac{3}{5}'tir.
Verilen xx ve yy ifadelerinden tanjant toplam ve fark formülleri kullanılarak sırasıyla tan⁡x=7\tan x = 7 ve tan⁡y=1\tan y = 1 elde edilir. Bu değerler kullanılarak tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} bulunur. Açılar analiz edildiğinde xx açısının birinci bölgede, yy açısının ise tam olarak π4\frac{\pi}{4} olduğu görülür. Buradan x+yx+y açısının ikinci bölgede olduğu belirlenir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, tanjantı −43-\frac{4}{3} olan açının kosinüsü −35-\frac{3}{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx açısının tanjant değerini toplam formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡x=7\tan x = 7 olur.
x=arctan⁡(2)+arctan⁡(1/3)x = \arctan(2) + \arctan(1/3) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡x=2+1/31−2⋅1/3=7/31/3=7\tan x = \frac{2 + 1/3}{1 - 2 \cdot 1/3} = \frac{7/3}{1/3} = 7 bulunur.
2
yy açısının tanjant değerini fark formülü yardımıyla hesaplamak.
tan⁡y=1\tan y = 1 olur.
y=arctan⁡(3)−arctan⁡(1/2)y = \arctan(3) - \arctan(1/2) eşitliğinde her iki tarafın tanjantı alınarak tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} formülü uygulanır: tan⁡y=3−1/21+3⋅1/2=5/25/2=1\tan y = \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} = \frac{5/2}{5/2} = 1 bulunur.
3
xx ve yy açılarının bulundukları bölgeleri belirlemek.
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığıdır. Pozitif değerler için açılar birinci bölgededir. 2>02 > 0 ve 1/3>01/3 > 0 olduğundan arctan⁡(2)\arctan(2) ve arctan⁡(1/3)\arctan(1/3) dar açılardır. Toplamları olan xx açısı da tan⁡x=7>0\tan x = 7 > 0 olduğundan birinci bölgededir. Benzer şekilde, 3>1/2>03 > 1/2 > 0 olduğundan 0<arctan⁡(1/2)<arctan⁡(3)<π20 < \arctan(1/2) < \arctan(3) < \frac{\pi}{2} ve farkları olan yy açısı dar açıdır. tan⁡y=1\tan y = 1 olduğundan y=π4y = \frac{\pi}{4} bulunur.
4
tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplamak ve x+yx+y açısının bölgesini belirlemek.
tan⁡(x+y)=−43\tan(x+y) = -\frac{4}{3} olur ve x+yx+y a��ısı ikinci bölgededir.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=7+11−7⋅1=8−6=−43\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{7 + 1}{1 - 7 \cdot 1} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3} bulunur. x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y=π4y = \frac{\pi}{4} olduğundan, x+y∈(π4,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığındadır. Bu aralıkta tanjantı negatif olan açılar ikinci bölgededir (x+y∈(π2,3π4)x+y \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)).
5
İkinci bölgedeki x+yx+y açısının kosinüs değerini dik üçgen yardımıyla bulmak.
cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olur.
Tanjantı 43\frac{4}{3} olan açının dik üçgendeki komşu kenarı 3, karşı kenarı 4 ve hipotenüsü 5 birimdir. Açı ikinci bölgede olduğundan kosinüs değeri negatiftir. Dolayısıyla cos⁡(x+y)=−35\cos(x+y) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar ile tanjant toplam ve fark formüllerinin birlikte uygulanması ve açıların bölge analizinin yapılması.
Soru 1592Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1sin⁡(2x)−1cos⁡(2x)=22\frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{\cos(2x)} = 2\sqrt{2}
olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Doğru cevap 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenerek düzenlendiğinde cos(2x) - sin(2x) = sqrt(2) * sin(4x) eşitliği elde edilir. Bu denklemin her iki tarafının karesi alındığında sin(4x) değişkenine bağlı 2sin^2(4x) + sin(4x) - 1 = 0 ikinci dereceden denklemi kurulur. Verilen x aralığına göre 4x açısı birinci bölgede olduğundan sin(4x) değeri pozitif olmalıdır ve 0.5 olarak bulunur. cos(8x) ifadesi yarım açı formülüyle 1 - 2sin^2(4x) şeklinde açıldığında doğru değer 0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede paydaları eşitleyerek denklemi düzenleyelim.
cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=22sin⁡(2x)cos⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) = 2\sqrt{2}\sin(2x)\cos(2x) ve sağ tarafta yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=2sin⁡(4x)\cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}\sin(4x) elde edilir.
İfadeleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilmek ve yarım açı formüllerinden yararlanmak amacıyla payda eşitlenir.
2
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesini alalım.
(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))2=(2sin⁡(4x))2  ⟹  1−2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2sin⁡2(4x)  ⟹  1−sin⁡(4x)=2sin⁡2(4x)(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = (\sqrt{2}\sin(4x))^2 \implies 1 - 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin^2(4x) \implies 1 - \sin(4x) = 2\sin^2(4x)
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğini ve sinüs yarım açı formülünü kullanarak denklemi ikinci dereceden tek değişkenli bir denkleme dönü��türmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözelim.
2sin⁡2(4x)+sin⁡(4x)−1=0  ⟹  (2sin⁡(4x)−1)(sin⁡(4x)+1)=02\sin^2(4x) + \sin(4x) - 1 = 0 \implies (2\sin(4x) - 1)(\sin(4x) + 1) = 0 buradan sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2} veya sin⁡(4x)=−1\sin(4x) = -1 elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun alabileceği olası değerleri belirlemek için.
4
Açının tanım aralığına göre uygun kökü seçip yarım açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayalım.
x∈(0,π8)  ⟹  4x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) \implies 4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan sin⁡(4x)>0\sin(4x) > 0 olmalıdır. Bu yüzden sin⁡(4x)=0.5\sin(4x) = 0.5 alınır. Kosinüs yarım açı formülünden cos⁡(8x)=1−2sin⁡2(4x)=1−2(0.25)=0.5\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x) = 1 - 2(0.25) = 0.5 bulunur.
Tanım aralığı birinci bölgeye karşılık geldiğinden sinüs değeri pozitif seçilir ve çift kat açı formülüyle cos⁡(8x)\cos(8x) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 1593Soru →

Bir dağcı grubu A noktasındaki kamp alanından doğrusal bir rota boyunca kuzey yönünde 5 km5\text{ km} yürüyerek B noktasına ulaşmıştır. Bu noktada yönünü değiştirerek kuzey doğrultusuyla saat yönünde 120∘120^\circ lik açı yapan yeni bir doğrusal rota üzerinde 8 km8\text{ km} daha yürümüş ve C noktasına varmıştır.

Buna göre, dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı (A noktası) arasındaki en kısa mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dağcı grubunun ulaştığı C noktası ile başlangıçtaki kamp alanı arasındaki en kısa mesafe 7 km7\text{ km}'dir.
Kuzey doğrultusundan saat yönünde 120∘120^\circ sapıldığında hareket doğrultuları arasında oluşan dış açı 120∘120^\circ derecedir. Bu doğrultuların oluşturduğu üçgenin iç açısı ise bütünler açı kuralı gereği 60∘60^\circ olur. Kenar uzunlukları 5 km5\text{ km} ve 8 km8\text{ km}, aralarındaki açı 60∘60^\circ olan üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) işleminden en kısa mesafe 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hareket rotalarını analiz ederek ABC üçgeninin iç açısını belirlemek
Üçgenin B köşesindeki iç açısının 60∘60^\circ olduğunu tespit etmek
Kuzey yönünde ilerleyen dağcının saat yönünde 120∘120^\circ sapması, iki hareket doğrultusu arasındaki dış açının 120∘120^\circ olması anlamına gelir. Bir doğru açı 180∘180^\circ olduğundan iç açı 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ olur.
2
Kosinüs Teoremi formülünü kurmak ve değerleri yerine yazmak
∣AC∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(60∘)|AC|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) denklemini elde etmek
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, karşılarındaki kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanır.
3
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak
∣AC∣=7 km|AC| = 7\text{ km}
∣AC∣2=25+64−2⋅40⋅0.5=89−40=49|AC|^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49 olur. 4949 sayısının karekökü alındığında uzunluk 7 km7\text{ km} olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla kenar uzunluğu hesaplama
Soru 1594Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.
Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
K ifadesinin değer aralığını bulma
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan K<0K < 0 olur. Hatta bu aralıkta K∈(−2,−1)K \in (-\sqrt{2}, -1) aralığındadır.
Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.
3
L ifadesinin değer aralığını bulma
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından L>0L > 0 olur. Yarım açı formülünden L=sin⁡(2x)2L = \frac{\sin(2x)}{2} yazılabilir. 2x∈(5π2,3π)2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right) yani ikinci bölgeye düştüğü için sin⁡(2x)∈(0,1]\sin(2x) \in (0, 1] olur. Buradan L∈(0,05]L \in (0, 0{}5] elde edilir.
Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.
4
M ifadesinin değer aralığını bulma
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında tan⁡x>1\tan x > 1 ve cot⁡x<1\cot x < 1'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (a+1a≥2a + \frac{1}{a} \ge 2). Dolayısıyla M≥2M \ge 2'dir.
Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.
5
Elde edilen aralıkları karşılaştırma
K<0K < 0, 0<L≤050 < L \le 0{}5 ve M≥2M \ge 2 olduğundan K<L<MK < L < M sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin x=240∘x = 240^\circ) yaklaşık değerler hesaplanabilir: sin⁡(240∘)=−32≈−086\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86, cos⁡(240∘)=−05\cos(240^\circ) = -0{}5. Buradan K≈−136K \approx -1{}36, L=043L = 0{}43, M=3+13≈23M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3 bulunur ve K<L<MK < L < M şeklinde sıralanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1595Soru →
log⁡2(x2−1)−log⁡2(x−1)=3\log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 7'dir.
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak denklem düzenlendiğinde log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 elde edilir. Buradan x+1=23=8x + 1 = 2^3 = 8 ve x=7x = 7 bulunur. 7 değeri tanım kümesini (x>1x > 1) sağladığı için denklemi doğrulayan tek gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi belirlenir.
x2−1>0x^2 - 1 > 0 ve x−1>0x - 1 > 0 olmalıdır. Buradan ortak çözüm kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak ifade tek bir logaritma altında birleştirilir.
log⁡2(x2−1x−1)=3\log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) = 3
log⁡b(A)−log⁡b(B)=log⁡b(AB)\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b\left(\frac{A}{B}\right) özelliğini uygulamak için.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olduğundan, x>1x > 1 için x−1x - 1 terimleri sadeleşir ve denklem log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 halini alır.
Denklemi daha basit bir birinci dereceden denkleme indirgemek için.
4
Logaritma tanımı kullanılarak üslü ifadeye geçiş yapılır.
x+1=23  ⟹  x+1=8  ⟹  x=7x + 1 = 2^3 \implies x + 1 = 8 \implies x = 7 bulunur.
log⁡b(y)=a  ⟹  y=ba\log_b(y) = a \implies y = b^a tanımını uygulamak için.
5
Bulunan değerin tanım kümesine uygunluğu kontrol edilir.
x=7x = 7 değeri x>1x > 1 koşulunu sağladığından denklemin çözümüdür.
Bulunan kökün başlangıçtaki denklemi tanımsız yapmadığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin fark özelliğiyle düzenlenmesi ve tanım kümesi kontrolünün yapılması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1596Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)sin⁡2x−cos⁡2x=−32\frac{1 + \sin(2x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = -\frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve tanjant yarım açı formülünün uygulanmasıyla elde edilen 512\frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunur. Bu değer tanjant yarım açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} denkleminde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 512\frac{5}{12} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 1+sin⁡(2x)1 + \sin(2x) ifadesini yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = (\sin x + \cos x)^2
1=sin⁡2x+cos⁡2x1 = \sin^2 x + \cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, 1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 elde edilir.
2
Payda kısmındaki sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x ifadesini iki kare farkı özdeşliğiyle çarpanlarına ayıralım.
sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) çarpanlara ayırma kuralı uygulanır.
3
İfadeyi sadeleştirip içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5}
(sin⁡x+cos⁡x)2(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)=−32\frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)} = -\frac{3}{2} ifadesinde sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme yap��lırsa sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x=−32\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = -\frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2sin⁡x+2cos⁡x=−3sin⁡x+3cos⁡x  ⟹  5sin⁡x=cos⁡x  ⟹  tan⁡x=152\sin x + 2\cos x = -3\sin x + 3\cos x \implies 5\sin x = \cos x \implies \tan x = \frac{1}{5} bulunur.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayalım.
tan⁡(2x)=512\tan(2x) = \frac{5}{12}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} yazıldığında tan⁡(2x)=2⋅151−(15)2=252425=25⋅2524=512\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin tam kare yardımıyla sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunduktan sonra bir dik üçgen çizilerek sin⁡x=126\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}} ve cos⁡x=526\cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} değerleri bulunur. Buradan sinüs ve kosinüsün yarım açı formülleriyle sin⁡(2x)=513\sin(2x) = \frac{5}{13} ve cos⁡(2x)=1213\cos(2x) = \frac{12}{13} elde edilir. tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} tanımı kullanılarak da 512\frac{5}{12} sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1597Soru →
x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xa = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}
c=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.
Sadeleştirmeler yapıldığında a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x, b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x elde edilir. Verilen aralıkta a<0a < 0, c>0c > 0 ve b>0b > 0 olduğu belirlenir. bb ve cc arasındaki fark incelendiğinde b>cb > c olduğu görülür. Dolayısıyla en küçük negatif olan aa, ardından cc ve en büyük pozitif olan bb şeklinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ve a<0a < 0
Pay kısmındaki sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x ifadesi, küp toplamı formülüyle (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x ile sadeleştiğinde a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x kalır. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan toplamları da negatiftir.
2
b ifadesini karekök dışına çıkarma ve işaretini belirleme
b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve b>0b > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliğinden faydalanarak b=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir. Üçüncü bölgede sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, ifade mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar.
3
c ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x ve c>0c > 0
c=sin⁡2xsin⁡xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=tan⁡x−cot⁡xc = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} = \tan x - \cot x olur. x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığında x>5π4x > \frac{5\pi}{4} olduğundan tan⁡x>tan⁡5π4=1\tan x > \tan\frac{5\pi}{4} = 1 ve cot⁡x=1tan⁡x<1\cot x = \frac{1}{\tan x} < 1 olur. Pozitif iki değerin farkından c=tan⁡x−cot⁡x>0c = \tan x - \cot x > 0 bulunur.
4
b ve c ifadelerini karşılaştırma
b>cb > c
b−c=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)(1+sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x)b - c = -(\sin x + \cos x) - \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -(\sin x + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}\right) olur. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan sin⁡xcos⁡x>cos⁡x−sin⁡x>0\sin x \cos x > \cos x - \sin x > 0 eşitsizliği sağlanır. Buradan b−c>0b - c > 0 yani b>cb > c elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaret analizi ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak için aralıktan temsilî bir açı seçilebilir. Örneğin x=230∘x = 230^\circ seçilerek fonksiyonların yaklaşık değerleri hesaplanabilir: a≈−0.77−0.64=−1.41a \approx -0.77 - 0.64 = -1.41, b≈1.41b \approx 1.41, c=tan⁡230∘−cot⁡230∘≈1.19−0.84=0.35c = \tan 230^\circ - \cot 230^\circ \approx 1.19 - 0.84 = 0.35. Buradan a<c<ba < c < b sıralaması kolayca görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1598Soru →
log⁡2(9x−3)=xlog⁡23+1\log_2(9^x - 3) = x\log_2 3 + 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 11 olarak bulunur.
Denklemin sağ tarafı \log_2(2 \cdot 3^x) olarak yazıldıktan sonra tabanların eşitliğinden 9^x - 3 = 2 \cdot 3^x elde edilir. Bu denklemde 3^x = t dönüşümü yapıldığında t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi bulunur. Çarpanlarına ayrıldığında kökler t = 3 ve t = -1 gelir. Üstel ifade pozitif olmak zorunda olduğundan 3^x = 3 eşitliğinden tek geçerli gerçel kök x = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifade logaritma özellikleri kullanılarak düzenlenir.
xlog⁡23+1=log⁡2(3x)+log⁡22=log⁡2(2⋅3x)x\log_2 3 + 1 = \log_2(3^x) + \log_2 2 = \log_2(2 \cdot 3^x)
Eşitliğin her iki tarafını aynı tabanda logaritma içeren ifadelere dönüştürmek için.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma tabanları aynı (2) olduğundan, logaritması alınan ifadeler (argümanlar) birbirine eşitlenir.
9x−3=2⋅3x9^x - 3 = 2 \cdot 3^x
Logaritmik fonksiyonun birebir olmasından dolayı tabanlar eşitse argümanların da eşit olması gerekir.
3
Elde edilen denklemde 3x=t3^x = t değişken değiştirmesi uygulanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur ve çözülür.
t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0⇒t=3t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3 veya t=−1t = -1
9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 yazarak denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem formuna getirmek için.
4
3x=t3^x = t eşitliği ve logaritmanın tanımlı olma koşulları kontrol edilerek xx değeri bulunur.
3x=3⇒x=13^x = 3 \Rightarrow x = 1 (çünkü 3x>03^x > 0 olmalıdır, bu yüzden t=−1t = -1 kökü alınmaz). x=1x = 1 için 91−3=6>09^1 - 3 = 6 > 0 olup logaritma tanımlıdır.
Üstel fonksiyonların görüntü kümesinin pozitif gerçel sayılar olması ve orijinal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları gereği elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma ve üstel denklemlerin çözümünde taban eşitleme, değişken değiştirme yöntemi ve logaritma tanım kümesi kontrollerinin uygulanması.
Soru 1599Soru →
kk bir tam sayı olmak üzere,
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0
eşitsizliği en az bir negatif gerçel sayı için sağlanırken, x≤−3x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir gerçel sayı için sağlanmamaktadır.

Buna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin köklerinin x_1 ve x_2 olduğu durumda, çözüm kümesi (x_1, x_2) aralığıdır. En az bir negatif sayı için sağlanması x_1 < 0 olmasını, x <= -3 için sağlanmaması ise x_1 >= -3 olmasını gerektirir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde -3 <= x_1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik sistemi çözüldüğünde k tam sayı değerlerinin 1, 2 ve 3 olduğu görülür. Toplamları ise 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yöntemiyle k parametresine bağlı olarak bulun.
Diskriminant Δ=4(k+5)\Delta = 4(k+5) ve kökler x1=k−1−k+5x_1 = k-1 - \sqrt{k+5}, x2=k−1+k+5x_2 = k-1 + \sqrt{k+5} olarak elde edilir. Reel köklerin varlığı için k>−5k > -5 olmalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için sınır noktaları olan köklerin k cinsinden ifadesine ihtiyaç vardır.
2
İlk koşul olan 'en az bir negatif gerçel sayı için sağlanması' durumunu analiz edin.
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (x1,x2)(x_1, x_2) açık aralığıdır. Bu aralıkta negatif sayıların bulunması için en küçük sınır olan x1x_1'in sıfırdan küçük olması (x1<0x_1 < 0) gerekir. Buradan k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Baş katsayı pozitif olduğundan, ifadenin negatif olduğu bölge kökler arasıdır. Bu bölgenin negatif sayıları içermesi için sol ucun sıfırdan küçük olması gerekir.
3
İkinci koşul olan 'x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir değer için sağlanmama' durumunu analiz edin.
(x1,x2)(x_1, x_2) aralığının (−∞,−3](-\infty, -3] aralığıyla kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum x1≥−3x_1 \ge -3 olmasını gerektirir. Buradan k−1−k+5≥−3  ⟹  k+2≥k+5k-1 - \sqrt{k+5} \ge -3 \implies k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Eğer x1<−3x_1 < -3 olsaydı, aralıkta −3-3'ten küçük sayılar bulunurdu ve eşitsizlik bu sayılar için sağlanmış olurdu.
4
Elde edilen −3≤x1<0-3 \le x_1 < 0 eşitsizlik sistemini k değişkeni için çözün ve k tam sayı değerlerini belirleyin.
k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliğinden −5<k<4-5 < k < 4 elde edilir. k+2≥k+5k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliğinden ise k≥−3+132≈0.3k \ge \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \approx 0.3 elde edilir. İki aralığın kesişimi olan [1,4)[1, 4) aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup, toplamları 1+2+3=61+2+3=6 olarak bulunur.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan k parametresinin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1600Soru →
f(x)=log⁡x−12(x2−11x+24x2−13x+40)+log⁡12−x(x2−7x)f(x) = \log_{\frac{x-1}{2}}\left(\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40}\right) + \log_{12-x}(x^2 - 7x)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 19'dur.
Doğru cevap olan 19 değeri, fonksiyonu oluşturan her iki logaritma teriminin tanımlı olduğu ortak aralıktaki tam sayıların (9 ve 10) toplamıdır. Bu aralık bulunurken tabanların pozitif ve 1'den farklı olması, logaritma içlerinin pozitif olması ve sadeleşen çarpanın (x=8x = 8) tanımsızlık yaratması nedeniyle kümeden çıkarılması koşullarının tamamı başarıyla uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g1(x)=x−12>0⇒x>1g_1(x) = \frac{x-1}{2} > 0 \Rightarrow x > 1 ve g1(x)≠1⇒x−12≠1⇒x≠3g_1(x) \neq 1 \Rightarrow \frac{x-1}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq 3 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Birinci logaritmanın iç kısmındaki rasyonel ifadenin işaret incelemesini yapmak.
h1(x)=x2−11x+24x2−13x+40=(x−3)(x−8)(x−5)(x−8)>0h_1(x) = \frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 13x + 40} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x-5)(x-8)} > 0 ifadesinde, paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠5x \neq 5 ve x≠8x \neq 8 olmalıdır. x≠8x \neq 8 için ifade sadeleştiğinde x−3x−5>0\frac{x-3}{x-5} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,3)∪(5,∞)∖{8}(-\infty, 3) \cup (5, \infty) \setminus \{8\} olarak bulunur.
Logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır. Sadeleşen çarpanlar tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
3
İkinci logaritma teriminin taban ve iç kısmının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
Taban koşulundan: g2(x)=12−x>0⇒x<12g_2(x) = 12 - x > 0 \Rightarrow x < 12 ve g2(x)≠1⇒x≠11g_2(x) \neq 1 \Rightarrow x \neq 11 elde edilir. İç kısım koşulundan: h2(x)=x2−7x>0⇒x(x−7)>0⇒x∈(−∞,0)∪(7,∞)h_2(x) = x^2 - 7x > 0 \Rightarrow x(x-7) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) bulunur.
İkinci logaritma teriminin tanımlı olması için taban ve iç kısım kuralları uygulanmalıdır.
4
Elde edilen tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini ve bu kümedeki tam sayıları bulmak.
Tüm koşulların kesişimi alındığında:
- x>1x > 1 ve x<12⇒x∈(1,12)x < 12 \Rightarrow x \in (1, 12)
- x∈(−∞,0)∪(7,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) ile kesişimden ⇒x∈(7,12)\Rightarrow x \in (7, 12)
- Birinci iç kısmın tanımından ⇒x∈(7,12)∖{8}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8\}
- Tabanların 1 olmama koşullarından (x≠3x \neq 3 ve x≠11x \neq 11) ⇒x∈(7,12)∖{8,11}\Rightarrow x \in (7, 12) \setminus \{8, 11\} elde edilir. En geniş tanım kümesi (7,12)∖{8,11}(7, 12) \setminus \{8, 11\} olup, bu aralıktaki tam sayılar 9 ve 10'dur. Toplamları ise 9+10=199 + 10 = 19'dur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmanın da aynı anda tanımlı olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleşen çarpanlar paydada bulunuyorsa, bu çarpanların kökleri ifadenin asıl halinde tanımsızlık yaratacağı için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 80 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin