Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1601Soru →
f(x)=log⁡x−3(10−x)+log⁡2(16+6x−x2)f(x) = \log_{x-3}(10 - x) + \log_2(16 + 6x - x^2) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Doğru cevap olan 18 değeri, her iki logaritma ifadesini de tanımlı kılan tam sayıların (5,65, 6 ve 77) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tabanının tanım koşulların�� belirleyelim.
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4
Bir logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve birden farklı olmak zorundadır. Dolayısıyla x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4 olmalıdır.
2
İlk logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.
x<10x < 10
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. Dolayısıyla 10−x>0  ⟹  x<1010 - x > 0 \implies x < 10 olmalıdır.
3
İkinci logaritma teriminin argümanının (içinin) tanım koşulunu belirleyelim.
−2<x<8-2 < x < 8
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır: 16+6x−x2>016 + 6x - x^2 > 0. Bu eşitsizliği çözmek için ifadeyi eksi ile çarpıp çarpanlarına ayırırsak x2−6x−16<0  ⟹  (x−8)(x+2)<0x^2 - 6x - 16 < 0 \implies (x - 8)(x + 2) < 0 elde edilir. Kökler −2-2 ve 88 olup eşitsizlik tablosu incelendiğinde çözüm aralığı −2<x<8-2 < x < 8 bulunur.
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini oluşturalım.
3<x<83 < x < 8 ve x≠4x \neq 4
x>3x > 3, x≠4x \neq 4, x<10x < 10 ve −2<x<8-2 < x < 8 aralıklarının ortak kesişimi 3<x<83 < x < 8 aralığından 44 değerinin çıkarılmasıyla oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplayalım.
18
Tanım kümesindeki tam sayılar 5,65, 6 ve 77 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (içinin) ise pozitif olması gerekir.
Soru 1602Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası işaretlenmiştir.

[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC], m(ACD^)=30∘m(\widehat{ACD}) = 30^\circ ve ∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD|

olduğuna göre, ∣AC∣∣BC∣\frac{|AC|}{|BC|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen oran 4 olarak bulunur.
Ortak kenara sahip üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulanıp verilen oranlar yerine yazıldığında, büyük üçgendeki kenar oranının sinüs oranına eşit olduğu görülür ve sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BCDBCD dik üçgeninde sinüs tanımı yazılır.
BD=CDsin⁡(B)BD = \frac{CD}{\sin(B)}
[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC] olduğundan m(BCD^)=90∘m(\widehat{BCD}) = 90^\circ dir. BCDBCD dik üçgeninde sin⁡(B)=CDBD\sin(B) = \frac{CD}{BD} olur.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
ADsin⁡(30∘)=CDsin⁡(A)  ⟹  AD=CD2sin⁡(A)\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{CD}{\sin(A)} \implies AD = \frac{CD}{2\sin(A)}
ACDACD üçgeninin AA ve CC açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla CDCD ve ADAD olduğundan Sinüs Teoremi doğrudan uygulanabilir.
3
∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD| eşitliğinde elde edilen ifadeler yerine yazılır.
sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
CD2sin⁡(A)=2⋅CDsin⁡(B)  ⟹  12sin⁡(A)=2sin⁡(B)\frac{CD}{2\sin(A)} = 2 \cdot \frac{CD}{\sin(B)} \implies \frac{1}{2\sin(A)} = \frac{2}{\sin(B)} eşitliğinden oran elde edilir.
4
ABCABC üçgeninin tamamında Sinüs Teoremi kullanılarak istenen oran hesaplanır.
∣AC∣∣BC∣=sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi gereği ∣AC∣sin⁡(B)=∣BC∣sin⁡(A)\frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|BC|}{\sin(A)} bağ��ntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoreminin ortak kenar içeren alt üçgenlerde uygulanarak oran bulma amacıyla kullanılması.
Soru 1603Soru →
x2−2x−3x+1≤0\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \le 0
x2−x−12<0x^2 - x - 12 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, x = -1 tanımsızlık noktası hariç tutularak x <= 3 olur. İkinci eşitsizlikten ise -3 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan (-3, 3] aralığından -1 çıkarıldığında sağlayan tam sayılar -2, 0, 1, 2, 3 olur ve toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_1 = (-\infty, 3] \setminus \{-1\}
İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki (x+1) terimleri sadeleşebilir fakat paydayı sıfır yapan x = -1 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
2
İkinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_2 = (-3, 4)
x^2 - x - 12 < 0 ifadesinin kökleri -3 ve 4'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan bu kökler arasında ifade negatif değerler alır.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişiminin alınması
C = (-3, 3] \setminus \{-1\}
Sistemin ortak çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
-2 + 0 + 1 + 2 + 3 = 4
Aralıktaki tam sayılar belirlenip toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1604Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü ile y=mxy = mx doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları toplamı 1515 olduğuna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 değeri doğrudur.
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının ortak çözüm denkleminden x1=0x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 apsis değerleri bulunur. Bu apsislere karşılık gelen ordinatlar sırasıyla y1=0y_1 = 0 ve y2=m(m+2)y_2 = m(m+2) olup, bu noktaların orta noktası M(m+22,m(m+2)2)M\left(\frac{m+2}{2}, \frac{m(m+2)}{2}\right) olur. Koordinatlar toplamı 1515 olarak eşitlendiğinde (m+1)(m+2)=30(m+1)(m+2) = 30 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 44 olduğundan doğru yanıt 44 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemler birbirine eşitlenir.
x2−2x=mx  ⟹  x2−(m+2)x=0x^2 - 2x = mx \implies x^2 - (m+2)x = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarını veren ortak çözüm denklemini oluşturmak için.
2
Ende edilen ikinci dereceden denklemin kökleri (kesişim noktalarının apsisleri) bulunur.
x(x−(m+2))=0  ⟹  x1=0x(x - (m+2)) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 bulunur.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek amacıyla apsis değerlerine ulaşmak için.
3
Kesişim noktalarının ordinatları, y=mxy = mx doğrusu üzerinde oldukları için denklemde yerine yazılarak bulunur.
A(0,0)A(0, 0) ve B(m+2,m(m+2))B(m+2, m(m+2)) noktaları elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını hesaplayabilmek için kesişim noktalarının tam koordinatlarını bulmak.
4
Kesişim noktalarının orta noktası olan M(x0,y0)M(x_0, y_0) koordinatları hesaplanır.
x0=0+m+22=m+22x_0 = \frac{0 + m + 2}{2} = \frac{m+2}{2} ve y0=0+m(m+2)2=m(m+2)2y_0 = \frac{0 + m(m+2)}{2} = \frac{m(m+2)}{2} elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını iki noktanın aritmetik ortalaması formülüyle bulmak.
5
Orta noktanın koordinatları toplamı 1515 olarak verildiğinden bu değerler toplanıp 1515'e eşitlenir ve mm değeri çözülür.
m+22+m(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)=30  ⟹  m2+3m−28=0  ⟹  (m−4)(m+7)=0\frac{m+2}{2} + \frac{m(m+2)}{2} = 15 \implies \frac{(m+1)(m+2)}{2} = 15 \implies (m+1)(m+2) = 30 \implies m^2 + 3m - 28 = 0 \implies (m-4)(m+7) = 0 elde edilir. Buradan pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Verilen koordinat toplamı eşitliğini kullanarak bilinmeyen mm parametresini bulmak.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların orta noktasının koordinatlarının analitik olarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kirişin orta noktasının koordinatları, doğrudan kökler toplamı formülüyle de bulunabilir. Ortak çözüm denklemi x2−(m+2)x=0x^2 - (m+2)x = 0 olduğuna göre kökler toplamı x1+x2=m+2x_1 + x_2 = m+2 olur. Orta noktanın apsisi x0=x1+x22=m+22x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+2}{2} olur. Orta nokta doğru üzerinde yer aldığından ordinatı y0=m⋅x0=m(m+2)2y_0 = m \cdot x_0 = \frac{m(m+2)}{2} olur. Buradan x0+y0=15x_0 + y_0 = 15 denklemi çözülerek m=4m = 4 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1605Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[CD][AB] \parallel [CD]'dir.

∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}
∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim}
∣CD∣=4 birim|CD| = 4\text{ birim}
∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

K��şegen uzunluğu 77 birimdir.
C köşesinden AD kenarına paralel çizilerek oluşturulan EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüsü 57\frac{5}{7} bulunur. Ardından ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AC köşegen uzunluğu 77 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
C köşesinden AD kenarına paralel olacak şekilde bir CE doğru parçası çizilir.
AECD bir paralelkenar olur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} elde edilir.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak B açısının kosinüsünü bulabileceğimiz bir üçgen elde etmek.
2
EBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak B açısının kosinüs değeri bulunur.
∣CE∣2=∣EB∣2+∣BC∣2−2⋅∣EB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(B^)⇒25=36+49−84cos⁡(B^)⇒cos⁡(B^)=57|CE|^2 = |EB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |EB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow 25 = 36 + 49 - 84 \cos(\widehat{B}) \Rightarrow \cos(\widehat{B}) = \frac{5}{7} olarak elde edilir.
ABC üçgeninde köşegen uzunluğunu hesaplarken kullanılacak ortak açının kosinüsünü bulmak.
3
ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi kullanılarak AC köşegen uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(B^)⇒∣AC∣2=100+49−2⋅10⋅7⋅57=49⇒∣AC∣=7 birim|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{B}) \Rightarrow |AC|^2 = 100 + 49 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{5}{7} = 49 \Rightarrow |AC| = 7\text{ birim} olarak bulunur.
İstenen köşegen uzunluğuna doğrudan ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla yamukta köşegen uzunluğu bulma
Soru 1606Soru →
24sin⁡(π24)cos⁡3(π24)−24sin⁡3(π24)cos⁡(π24)24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos^3\left(\frac{\pi}{24}\right) - 24 \sin^3\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3'tür.
Verilen ifade ardışık olarak sinüs ve kosinüs yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde 6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) haline gelir. Buradan sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri kullanılarak doğru sonuç 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alma
24sin⁡(π24)cos⁡(π24)[cos⁡2(π24)−sin⁡2(π24)]24 \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) \left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{24}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{24}\right) \right]
İfadeyi yarım a��ı formüllerine uygun çarpanlara ayırmak.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini uygulama
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2 \sin x \cos x = \sin(2x) ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) formüllerini uygulamak.
3
Elde edilen ifadeye tekrar sinüs yarım açı formülünü uygulama
6sin⁡(π6)6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
12sin⁡(π12)cos⁡(π12)=6⋅[2sin⁡(π12)cos⁡(π12)]=6sin⁡(π6)12 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = 6 \cdot \left[ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \right] = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) özdeşliğini kullanmak.
4
Bilinen trigonometrik açının değerini yerine yazma
33
sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değerini yerine yazarak işlemi tamamlamak.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri
Soru 1607Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x)=85\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)} = \frac{8}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 725\frac{7}{25}

Cevap

7/25 değeri doğrudur.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 2+2∣cos⁡(2x)∣=64/252 + 2|\cos(2x)| = 64/25 elde edilir. Buradan ∣cos⁡(2x)∣=7/25|\cos(2x)| = 7/25 sonucuna ulaşılır. xx açısı (3π/4,π)(3\pi/4, \pi) aralığında olduğundan, 2x2x açısı (3π/2,2π)(3\pi/2, 2\pi) aralığında (4. bölgede) bulunur. 4. bölgede kosinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığı için cos⁡(2x)=7/25\cos(2x) = 7/25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
(1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x))2=(85)2\left(\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)}\right)^2 = \left(\frac{8}{5}\right)^2
Kareköklü terimleri sadeleştirmek ve bilinen yarım açı özdeşliklerini kullanabilmek için.
2
Kare alma işlemini uygulayarak ifadeyi açalım.
(1−sin⁡(2x))+(1+sin⁡(2x))+2(1−sin⁡(2x))(1+sin⁡(2x))=6425(1 - \sin(2x)) + (1 + \sin(2x)) + 2\sqrt{(1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))} = \frac{64}{25}
Tam kare açılımı kuralını ((a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab) uygulamak için.
3
İfadeyi sadeleştirip temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.
2+21−sin⁡2(2x)=6425  ⟹  2+2cos⁡2(2x)=64252 + 2\sqrt{1 - \sin^2(2x)} = \frac{64}{25} \implies 2 + 2\sqrt{\cos^2(2x)} = \frac{64}{25}
1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta özdeşliğini yerine koyarak kök içini basitleştirmek için.
4
Kareköklü ifadeyi mutlak değer dışına çıkarıp denklemi çözelim.
2+2∣cos⁡(2x)∣=6425  ⟹  2∣cos⁡(2x)∣=1425  ⟹  ∣cos⁡(2x)∣=7252 + 2|\cos(2x)| = \frac{64}{25} \implies 2|\cos(2x)| = \frac{14}{25} \implies |\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kök dışına çıkan çift dereceli terimlerin mutlak değer alması gerektiği kuralını uygulamak için.
5
2x2x açısının bölgesine göre işareti belirleyelim.
x∈(3π4,π)  ⟹  2x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies 2x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
Bu aralık koordinat düzleminde 4. bölgedir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan ∣cos⁡(2x)∣=cos⁡(2x)|\cos(2x)| = \cos(2x) olur. Buradan cos⁡(2x)=725\cos(2x) = \frac{7}{25} elde edilir.
Tanım kümesini kullanarak mutlak değerin işaretini belirlemek ve doğru sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri, tam kare açılımı ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi.
Soru 1608Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x}
c=tan⁡xc = \tan x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<ac < b < a

Cevap

c<b<ac < b < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralık ikinci bölgede olduğu için sinüs pozitif, kosinüs ve tanjant negatiftir. Bu nedenle tanjantı temsil eden değer negatif olup en küçüktür. Diğer iki ifade ise pozitif terimlerden oluşur. Kosinüs negatif olduğu için çıkartma işlemi paydayı büyütür, toplama işlemi ise küçültür. Paydası büyük olan kesrin değeri daha küçük olacağından, çıkarma işlemi içeren kesirli ifade toplama işlemi içeren kesirli ifadeden daha küçüktür. Bu da aranan doğru sıralamayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı birim çemberde ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede: sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve tan⁡x<0\tan x < 0'dır.
Sıralama yaparken pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
cc değerinin işaretini ve diğerleriyle ilişkisini inceleme
c=tan⁡x<0c = \tan x < 0'dır. Diğer taraftan a=sin⁡x1+cos⁡xa = \frac{\sin x}{1 + \cos x} ifadesinde pay (sin⁡x>0\sin x > 0) ve payda (cos⁡x>−1\cos x > -1 olduğundan 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0) pozitiftir. Benzer şekilde b=sin⁡x1−cos⁡xb = \frac{\sin x}{1 - \cos x} ifadesinde de pay ve payda (cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0) pozitiftir. Buradan a>0a > 0 ve b>0b > 0 olduğu görülür. Dolayısıyla, negatif olan cc değeri en küçüktür: c<ac < a ve c<bc < b.
Hangi değişkenlerin pozitif hangi değişkenlerin negatif olduğunu saptayarak en küçük terimi belirlemek için.
3
aa ve bb pozitif değerlerini karşılaştırma
cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, −cos⁡x>cos⁡x-\cos x > \cos x yazılabilir. Her iki tarafa 11 eklersek 1−cos⁡x>1+cos⁡x1 - \cos x > 1 + \cos x elde edilir. Paydalar pozitif olduğundan, çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir: 11−cos⁡x<11+cos⁡x\frac{1}{1 - \cos x} < \frac{1}{1 + \cos x}. Her iki tarafı pozitif olan sin⁡x\sin x ile çarparsak: sin⁡x1−cos⁡x<sin⁡x1+cos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} < \frac{\sin x}{1 + \cos x} yani b<ab < a bulunur.
Pozitif iki kesirli ifadenin paydalarını karşılaştırarak büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirme
c<0c < 0, b>0b > 0, a>0a > 0 ve b<ab < a olduğundan, nihai sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Tüm adımlardan gelen sonuçları tek bir sıralama altında bir araya getirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla sıralama yapılması

İpuçları

1
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) açısının birim çemberde hangi bölgede olduğunu ve bu bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin.
2
Belirlediğiniz işaretlere göre aa, bb ve cc sayılarının işaretlerini bulun. Negatif olan sayının en küçük olacağını unutmayın.
3
cos⁡x\cos x değeri negatif bir sayı olduğundan, 1+cos⁡x1 + \cos x ile 1−cos⁡x1 - \cos x ifadelerinden hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir sıralama sorusunu üçüncü bölge olan x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı için tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer vererek de sıralama yapılabilir. Örneğin, bu aralıkta bulunan x=150∘x = 150^\circ (5π6\frac{5\pi}{6} radyan) değerini seçelim. sin⁡(150∘)=0.5\sin(150^\circ) = 0.5, cos⁡(150∘)=−32≈−0.866\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve tan⁡(150∘)=−13≈−0.577\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577 olur. Bu değerler yerine yazıldığında; a=0.51−0.866=0.50.134≈3.73a = \frac{0.5}{1 - 0.866} = \frac{0.5}{0.134} \approx 3.73, b=0.51−(−0.866)=0.51.866≈0.27b = \frac{0.5}{1 - (-0.866)} = \frac{0.5}{1.866} \approx 0.27 ve c≈−0.58c \approx -0.58 elde edilir. Buradan c<b<ac < b < a sıralaması doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1609Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x=83\frac{\sin(3x)}{\cos x} + \frac{\cos(3x)}{\sin x} = \frac{8}{3}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1010-\frac{\sqrt{10}}{10}

Cevap

−1010-\frac{\sqrt{10}}{10}
Doğru olan değer, ifadenin payda eşitleme ve yarım açı formülleriyle sadeleştirilerek 2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinin elde edilmesi, ardından 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} değerinin bulunması ve son olarak yarım açı formülü yardımıyla 2. bölgede negatif olan kosinüs değeri olan −1010-\frac{\sqrt{10}}{10} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenerek tek bir kesir haline getirilir.
sin⁡(3x)sin⁡x+cos⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=83\frac{\sin(3x)\sin x + \cos(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{8}{3}
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için.
2
Pay kısmındaki kosinüs fark formülü (cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b) ve payda kısmındaki sinüs yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) uygulanarak ifade sadeleştirilir.
cos⁡(3x−x)12sin⁡(2x)=2cos⁡(2x)sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)=83\frac{\cos(3x - x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x) = \frac{8}{3}
İfadeyi tek bir açın��n (2x2x) trigonometrik oranı cinsinden yazmak için.
3
2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinden cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı kullanılarak 2x2x açısının bölgesi belirlenir ve buna göre cos⁡(2x)\cos(2x) değeri hesaplanır.
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan, 2x2x açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs ve sinüs değerleri negatiftir. Dolayısıyla, cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} ise cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} elde edilir.
2x2x açısının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik oranların işaretlerini doğru belirlemek için.
4
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 kullanılarak cos⁡2x\cos^2 x değeri hesaplanır.
−45=2cos⁡2x−1  ⟹  2cos⁡2x=15  ⟹  cos⁡2x=110-\frac{4}{5} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{1}{5} \implies \cos^2 x = \frac{1}{10}
2x2x açısından xx açısının kosinüs değerine geçiş yapmak için.
5
xx açısının bulunduğu aralık (x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right), 2. bölge) dikkate alınarak cos⁡x\cos x değerinin işareti belirlenir ve karekökü alınır.
2. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan cos⁡x=−110=−1010\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.
xx açısının bulunduğu bölgeye göre nihai sonucun işaretini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 1610Soru →
f(x)=log⁡x+42x−2(x2−2x−8100−x2)f(x) = \log_{\frac{x+4}{2x-2}}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{100 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -6'dır.
Logaritma tanım kurallarına göre taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Bu koşullardan elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi olan (−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)(-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10) aralığındaki tam sayıların toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)
Logaritmanın tabanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu incele
x≠6x \neq 6
Logaritmanın tabanı 1 olamaz.
3
Argümanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−10,−2)∪(4,10)x \in (-10, -2) \cup (4, 10)
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Bulunan koşulların kesişimini al
x∈(−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)x \in (-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirle ve topla
Tam sayılar: −9,−8,−7,−6,−5,5,7,8,9-9, -8, -7, -6, -5, 5, 7, 8, 9; Toplam: −6-6
Tanım kümesi aralıklarındaki tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olması şartları rasyonel eşitsizlik sistemleri yardımıyla çözülür.
Soru 1611Soru →
2log⁡49+5log⁡25162^{\log_{4} 9} + 5^{\log_{25} 16}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemin sonucu 7'dir.
Verilen ifadede logaritma taban değiştirme ve üs özellikleri kullanılarak 2log⁡492^{\log_4 9} ifadesi 3'e, 5log⁡25165^{\log_{25} 16} ifadesi ise 4'e eşitlenir. Bu iki değerin toplamı 7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡492^{\log_{4} 9} terimini sadeleştirme
33
log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b özelliği kullanılarak log⁡49=log⁡23\log_{4} 9 = \log_{2} 3 yazılır, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralı ile 2log⁡23=32^{\log_{2} 3} = 3 bulunur.
2
5log⁡25165^{\log_{25} 16} terimini sadeleştirme
44
log⁡2516=log⁡54\log_{25} 16 = \log_{5} 4 eşitliği kullanılarak 5log⁡54=45^{\log_{5} 4} = 4 elde edilir.
3
Terimleri toplama
77
Bulunan sadeleşmiş değerler toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b ve log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b
Soru 1612Soru →
Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. [AD][AD] doğru parçası çizilerek oluşturulan açılar ve kenar uzunlukları için
m(BAD^)=45∘m(\widehat{BAD}) = 45^\circ
m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ
∣AB∣=42 birim|AB| = 4\sqrt{2}\text{ birim}
∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim}
bilgileri veriliyor.

Buna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Oran 4/3 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 4/3 değeri, ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarı kullanılarak yazılan sinüslü alan formüllerinin oranlanmasıyla elde edilir. Yükseklikleri aynı olan bu üçgenlerin alanları oranı, tabanları olan BD ve CD uzunluklarının oranına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarını kullanarak sinüslü alan formüllerini yazalım.
Alan(ABD) = (1/2) * |AB| * |AD| * sin(45°) ve Alan(ACD) = (1/2) * |AC| * |AD| * sin(30°)
Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşit olduğundan alan bağıntılarını kurmamız gerekir.
2
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranının tabanları oranına eşitliğini kullanarak oranlamayı yapalım.
|BD| / |CD| = Alan(ABD) / Alan(ACD) = (|AB| * sin(45°)) / (|AC| * sin(30°))
Ortak terimler olan (1/2) ve |AD| sadeleşir, geriye kenar uzunlukları ve sinüs değerleri kalır.
3
Verilen sayısal değerleri ve trigonometrik oranları formülde yerine yazalım.
|BD| / |CD| = (4\sqrt{2} * (\sqrt{2}/2)) / (6 * (1/2)) = 4 / 3
İşlemleri sadeleştirerek nihai oranı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak bir kenarı paylaştığı durumlarda Sinüs Teoremi veya Sinüslü Alan Formülü yardımıyla taban oranlarının bulunması.
Soru 1613Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.
Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0
İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde yazılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan ifade sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x haline gelir. Bu da (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x kalır. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.
2
bb ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
b=−sin⁡x−cos⁡x>0b = -\sin x - \cos x > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde ∣sin⁡x+cos⁡x∣|\sin x + \cos x| olarak çıkar. x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek b=−sin⁡x−cos⁡xb = -\sin x - \cos x olarak çıkar.
3
cc ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
c=sin⁡2x−cos⁡2x<0c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} ve sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x terimleri sadeleşir ve c=sin⁡2x−cos⁡2xc = \sin^2 x - \cos^2 x kalır. Verilen aralıkta cos⁡2x>sin⁡2x\cos^2 x > \sin^2 x olduğundan fark negatiftir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
c<b<ac < b < a
cc negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan aa ve bb değerleri kıyaslandığında ise, a−b=(sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x−cos⁡x)=2sin⁡xa - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0  ⟹  a>ba - b > 0 \implies a > b olur. Buradan doğru sıralama c<b<ac < b < a olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 1614Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(a2−a)x−a3≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 \le 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. a>0a > 0 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayı değeri negatiftir.

II. −1<a<0-1 < a < 0 ise eşitsizliği sağlayan hiçbir xx tam sayı değeri yoktur.

III. Eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlı ise aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı −1-1'dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur. Birinci öncülde a=0,5 için en küçük tam sayı değeri negatif olmayıp 0'dır, dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğru değildir. İkinci öncülde kökler (0, 1) açık aralığında kaldığından aralıkta tam sayı bulunmaz. Üçüncü öncülde çözüm kümesinin tek elemanlı olması diskriminantın sıfır olmasına karşılık gelir ve buradan a değerleri 0 ve -1 bulunup toplamları -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
x2−(a2−a)x−a3=(x−a2)(x+a)≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 = (x - a^2)(x + a) \le 0 ifadesinden kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−ax_2 = -a olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için öncelikle ifadenin köklerinin bulunması gerekir.
2
Birinci öncülü analiz etme (a>0a > 0 durumu).
a=0,5a = 0,5 seçilirse kökler 0,250,25 ve −0,5-0,5 olur. Çözüm kümesi [−0,5;0,25][-0,5; 0,25] aralığıdır. Bu aralıktaki tek tam sayı 00 olup, negatif değildir. Dolayısıyla birinci öncül her zaman doğru değildir.
aa'nın gerçel sayı olduğu belirtildiğinden tam sayı olmayan değerler için öncülün doğruluğunu test etmek gerekir.
3
İkinci öncülü analiz etme (−1<a<0-1 < a < 0 durumu).
−1<a<0-1 < a < 0 için a2∈(0,1)a^2 \in (0,1) ve −a∈(0,1)-a \in (0,1) olur. Ayrıca a2<−aa^2 < -a olduğundan çözüm kümesi [a2,−a]⊂(0,1)[a^2, -a] \subset (0,1) aralığıdır ve bu aralıkta hiçbir tam sayı yoktur. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
Verilen parametre aralığında köklerin hangi değer aralıklarında olduğunu belirleyerek çözüm kümesindeki tam sayı varlığını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncülü analiz etme (çözüm kümesinin tek elemanlı olması durumu).
Başkatsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin ≤0\le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için ifadenin tam kare olması (yani diskriminantının sıfır olması) gerekir. Δ=a2(a+1)2=0  ⟹  a=0\Delta = a^2(a+1)^2 = 0 \implies a = 0 veya a=−1a = -1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 0+(−1)=−10 + (-1) = -1'dir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğrudur.
Çözüm kümesinin tek elemanlı olma şartının çift katlı kök (tam kare) durumuyla ilişkisini kurmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin köklerinin analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümelerinin incelenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1615Soru →
f(x)=log⁡x−2(16x−x2−15x2−15x+44)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{16x - x^2 - 15}{x^2 - 15x + 44}\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 39'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşullardan x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15) elde edilir. Kesişim kümesi olan (11,15)(11, 15) aralığındaki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 olup toplamları 39'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban ifadesinin tanım koşullarını belirleme
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın argümanının köklerini bulma
Payın kökleri x=1x = 1 ve x=15x = 15, paydanın kökleri x=4x = 4 ve x=11x = 11
Argümanın işaret tablosunu oluşturmak için pay ve paydanın sıfır yapan değerlerini belirlememiz gerekir.
3
Argümanın pozitif olduğu aralıkları bulmak için işaret tablosu yapma
x∈(1,4)∪(11,15)x \in (1, 4) \cup (11, 15)
Logaritmanın içi (argümanı) daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
Tanım kümesindeki tam sayılar 12,13,1412, 13, 14 ve toplamları 3939
En geniş tanım kümesi her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Soru 1616Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile y=2x+ky = 2x + k doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir.

[AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı 1111 olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k değeri 2'dir.
Ortak çözüm denklemi olan x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0 denkleminin kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olarak bulunur. Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi x0=x1+x22=3x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 3 olur. Bu nokta y=2x+ky = 2x + k doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı y0=6+ky_0 = 6 + k şeklindedir. Koordinatlar toplamı 3+6+k=113 + 6 + k = 11 eşitliğinden k=2k = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0
Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi elde etmek için iki fonksiyon birbirine eşitlenmelidir.
2
Kökler toplamı formülünü kullanarak orta noktanın apsisini hesaplayın.
x0=3x_0 = 3
Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
3
Orta noktanın ordinatını doğru denklemini kullanarak ifade edin.
y0=6+ky_0 = 6 + k
Orta nokta kesim doğrusunun üzerinde olduğundan, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 11'e eşitleyerek bilinmeyen sabit değeri bulun.
k=2k = 2
Elde edilen apsis ve ordinat değerlerinin toplamı, soruda verilen koordinatlar toplamına eşitlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları, ortak çözüm denkleminin kökleri ve kesim doğrusunun denklemi yardımıyla bulunur.
Soru 1617Soru →

Her aa gerçel sayısı için, x2−(a−2)x+a2−a+1>0x^2 - (a-2)x + a^2 - a + 1 > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tüm gerçel sayılardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Çünkü a=0a = 0 durumunda eşitsizliğin çözüm kümesinde −1-1 sayısı bulunmaz, dolayısıyla çözüm kümesi tüm gerçel sayılar olamaz.
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması diskriminantın kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olmasına bağlıdır. Hesaplanan Δ=−3a2\Delta = -3a^2 ifadesi a=0a = 0 için sıfıra eşit olduğundan, bu parametre değerinde daima pozitiflik bozulur ve çift katlı kök noktası çözüm kümesini daraltır. Dolayısıyla ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin daima sağlanma koşulunu belirleme
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması için baş katsayısının pozitif (1>01 > 0) ve diskriminantının kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olması gerekir.
Eğer Δ≥0\Delta \geq 0 olursa, ifadenin gerçel kökü veya kökleri bulunur ve bu köklerde ifade sıfıra eşit veya negatif değerler alabilir.
2
Diskriminantı (Δ\Delta) hesaplama
Δ=[−(a−2)]2−4⋅1⋅(a2−a+1)=a2−4a+4−4a2+4a−4=−3a2\Delta = [-(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a + 1) = a^2 - 4a + 4 - 4a^2 + 4a - 4 = -3a^2
Değişken katsayılarına bağlı diskriminant ifadesini elde ederek işaret analizi yapmak için.
3
Diskriminantın sıfırdan küçük olma durumunu inceleme
−3a2<0-3a^2 < 0 eşitsizliğinin her aa gerçel sayısı için sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir. a=0a = 0 için −3(0)2=0-3(0)^2 = 0 olur, yani Δ<0\Delta < 0 şartı bozulur.
Parametrenin hangi değerlerinde daima pozitiflik şartının sağlanmadığını bulmak için.
4
a=0a = 0 durumunda çözüm kümesini bulma
a=0a = 0 için eşitsizlik x2+2x+1>0⇒(x+1)2>0x^2 + 2x + 1 > 0 \Rightarrow (x+1)^2 > 0 olur. Bu eşitsizlik x=−1x = -1 değeri hariç tüm gerçel sayılar için sağlanır. Çözüm kümesi R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} olur.
Sınır durumu olan a=0a = 0 değerinin çözüm kümesini tüm gerçel sayılar yapmadığını somut olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin tüm gerçel sayılarda daima sağlanması koşulu (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0) ve çift katlı kök durumunun çözüm kümesine etkisi.
Soru 1618Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir.

[AD][AD], BCBC kenarına ait kenarortay olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 3.5 birimdir.
Kosinüs Teoremi yardımıyla paralelkenarın köşegeni hesaplanıp ikiye bölünerek kenarortay uzunluğu doğru şekilde 3.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AD kenarortayını kendi uzunlu��u kadar uzatarak bir E noktası seçilmesi ve ABEC paralelkenarının oluşturulması.
ABEC bir paralelkenardır, bu nedenle BE kenarı AC kenarına paralel ve eşit uzunluktadır (|BE| = 5 birim).
Kenarortay uzunluğunu paralelkenar özellikleri ve Kosinüs Teoremi yardımıyla doğrudan hesaplayabilmek için geometrik bir ek çizim yapılır.
2
Paralelkenarın ardışık açılarının toplamı 180 derece olduğundan B açısının bulunması.
m(ABE) = 180° - 120° = 60°
Kosinüs Teoremi uygulayacağımız üçgenin iç açısını belirlemek.
3
ABE üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak AE uzunluğunun bulunması.
|AE|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * cos(60°) = 64 + 25 - 40 = 49, buradan |AE| = 7 birim.
Paralelkenarın köşegen uzunluğunu elde etmek.
4
AE uzunluğunun yarısı alınarak AD kenarortay uzunluğunun hesaplanması.
|AD| = 7 / 2 = 3.5 birim.
E noktasını AD = DE olacak şekilde seçtiğimiz için AE köşegeninin uzunluğu, AD kenarortayının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğunu bulmak için paralelkenara tamamlama yöntemi veya kenarortay teoremi ile Kosinüs Teoremi'nin birlikte kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1619Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=cos⁡xcot⁡xa = \frac{\cos x}{\cot x}
b=sec⁡2x−1b = \sqrt{\sec^2 x - 1}
c=1−cos⁡2xcos⁡xc = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.
Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.
a=sin⁡xa = \sin x, b=tan⁡xb = \tan x ve c=sin⁡x⋅tan⁡xc = \sin x \cdot \tan x olarak bulunur.
İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.
2
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.
Bu aralıkta (üçüncü bölge) sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.
3
Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
b>0b > 0 olduğundan en büyüktür. aa ve cc negatif olup, 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan a⋅tan⁡x>aa \cdot \tan x > a yani c>ac > a olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1620Soru →
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Sıfır
Genel terimin her pozitif tam sayı değeri için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri pozitif bir tam sayı olamaz. Bu durum k≤0k \leq 0 olmasını gerektirir ve kk tam sayısının alabileceği en büyük değer sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve n parametresinin tanım kümesini belirlemek.
Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi, yani n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\} olması gerekir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan özel fonksiyonlardır.
2
İfadenin tanımsız olduğu durumu incelemek.
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k} ifadesinde paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri için terim tanımsız olur.
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olduğunda ifade tanımsız hale gelir.
3
Tanımsızlık olmaması için k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
Dizinin hiçbir teriminin tanımsız olmaması için kk değerinin hiçbir pozitif tam sayı değerini almaması gerekir. Dolayısıyla, k∉{1,2,3,… }k \notin \{1, 2, 3, \dots\} olmalıdır.
nn pozitif tam sayı olduğundan, kk sayısı pozitif tam sayı olamaz.
4
Koşulu sağlayan en büyük k tam sayısını belirlemek.
k≤0k \leq 0 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 00 olarak bulunur.
Pozitif tam sayı olmayan en büyük tam sayı sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bir gerçel sayı dizisinin genel terimi, tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır.
ÖncekiSayfa 81 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin