Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1801Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(C^)>90∘m(\widehat{C}) > 90^\circ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir.

Üçgenin alanı ile çevrel çemberinin yarıçapı arasında,
Alan(ABC)=R2⋅sin⁡A⋅sin⁡B\text{Alan}(ABC) = R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B
bağıntısı sağlandığına g��re, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150
Üçgenin alan formülünde Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen kenar uzunlukları yerine yazıldığında Alan(ABC)=2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\text{Alan}(ABC) = 2R^2 \sin A \sin B \sin C eşitliğine ulaşılır. Bu genel bağıntı soruda verilen R2sin⁡Asin⁡BR^2 \sin A \sin B ifadesine eşitlendiğinde sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} elde edilir. m(C^)>90∘m(\widehat{C}) > 90^\circ koşulunu sağlayan tek açı 150∘150^\circ olduğundan doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin alan formülünü ve Sinüs Teoremi bağıntılarını yazalım.
Alan formülü: Alan(ABC)=12absin⁡C\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} a b \sin C. Sinüs Teoremi'ne göre: a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A ve b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B.
Kenar uzunluklarını çevrel çemberin yarıçapı ve açılar cinsinden ifade etmek için.
2
Sinüs Teoremi'nden elde ettiğimiz kenar uzunluğu ifadelerini alan formülünde yerine koyalım.
Alan(ABC)=12(2Rsin⁡A)(2Rsin⁡B)sin⁡C=2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} (2R \sin A) (2R \sin B) \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C
Alan formülünü RR ve açıların sinüsleri cinsinden tek bir eşitlikte birleştirmek için.
3
Elde ettiğimiz genel alan bağıntısını, soruda verilen alan bağıntısıyla eşitleyelim.
2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=R2sin⁡Asin⁡B  ⟹  2sin⁡C=1  ⟹  sin⁡C=122 R^2 \sin A \sin B \sin C = R^2 \sin A \sin B \implies 2 \sin C = 1 \implies \sin C = \frac{1}{2}
CC açısının sinüs değerini belirlemek için.
4
sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} denklemini m(C^)>90∘m(\widehat{C}) > 90^\circ koşulunu göz önünde bulundurarak çözelim.
Sinüsü 12\frac{1}{2} olan açılar 30∘30^\circ ve 180​​∘−30∘=150∘180^​​^\circ - 30^\circ = 150^\circ derecedir. Soruda m(C^)>90∘m(\widehat{C}) > 90^\circ (geniş açı) olduğu belirtildiğinden C=150∘C = 150^\circ olmalıdır.
Geniş açılı üçgen tanımına uyan açıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Alan İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1802Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Her nn pozitif tam sayısı için,

S3n−S2n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = 5n^2 + 2n

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k}

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 230

Cevap

Dizinin genel teriminin belirlenmesi ve çift indisli terimlerin toplamının 230 olarak bulunması
Verilen S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} ifadesi, aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülüne göre açılıp düzenlendiğinde n2n^2 ve nn terimlerinin katsayıları polinom eşitliğiyle eşleştirilir. Buradan dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak belirlenir. Bu değerlerle dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2n + 1 ve dolayısıyla çift indisli terimler a2k=4k+1a_{2k} = 4k + 1 şeklinde elde edilir. k=1k = 1'den 1010'a kadar olan a2ka_{2k} terimlerinin toplamı hesaplandığında sonuç 230 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk kk teriminin toplam formülü olan Sk=k2[2a1+(k−1)d]S_k = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] ifadesi kullanılarak S3nS_{3n} ve S2nS_{2n} toplamları yazılır.
S3n=3n2[2a1+(3n−1)d]=3na1+9n2d−3nd2S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a_1 + (3n-1)d] = 3n a_1 + \frac{9n^2d - 3nd}{2} ve S2n=2n2[2a1+(2n−1)d]=2na1+4n2d−2nd2S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a_1 + (2n-1)d] = 2n a_1 + \frac{4n^2d - 2nd}{2} elde edilir.
Verilen eşitliği kullanarak dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri belirlemek.
2
S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} farkı hesaplanır ve verilen 5n2+2n5n^2 + 2n ifadesine eşitlenir.
S3n−S2n=na1+5n2d−nd2=(5d2)n2+(a1−d2)n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = n a_1 + \frac{5n^2d - nd}{2} = \left(\frac{5d}{2}\right)n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n = 5n^2 + 2n elde edilir.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırmak.
3
Katsayılar eşitlenerek ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) bulunur.
5d2=5  ⟹  d=2\frac{5d}{2} = 5 \implies d = 2 ve a1−d2=2  ⟹  a1−1=2  ⟹  a1=3a_1 - \frac{d}{2} = 2 \implies a_1 - 1 = 2 \implies a_1 = 3 bulunur.
Dizinin genel terimini oluşturmak için gerekli parametreleri elde etmek.
4
Dizinin genel terimi ana_n bulunur ve a2ka_{2k} ifadesi elde edilir.
an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 ve buradan a2k=2(2k)+1=4k+1a_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1 bulunur.
İstenen toplam sembolündeki terimleri tanımlamak.
5
∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k} toplamının değeri hesaplanır.
∑k=110(4k+1)=4(10×112)+10=220+10=230\sum_{k=1}^{10} (4k + 1) = 4 \left(\frac{10 \times 11}{2}\right) + 10 = 220 + 10 = 230 olarak bulunur.
İstenen toplamın sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve genel terim özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1803Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, log⁡12(5−x)>−2\log_{\frac{1}{2}}(5 - x) > -2 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 99'dur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Logaritmanın tanım kümesinden gelen x<5x < 5 sınırı ile eşitsizliğin yön değiştirmesinden elde edilen x>1x > 1 sınırı kesiştirildiğinde çözüm aralığı 1<x<51 < x < 5 olur. Bu aralıktaki tam sayıların (2,3,42, 3, 4) toplamı 99 olduğundan verilen ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Eşitsizliği taban özelliğine göre çözmek.
5−x<(12)−2⇒5−x<4⇒x>15 - x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \Rightarrow 5 - x < 4 \Rightarrow x > 1
Logaritmanın tabanı 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ve eşitsizlik çözümünü kesiştirerek tam sayı değerlerini toplamak.
1<x<51 < x < 5 aralığındaki tam sayılar 2,32, 3 ve 44 olup, toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 eder.
Çözüm kümesindeki her değerin hem tanım kümesini hem de eşitsizliği aynı anda sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi sınırlaması ve tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi.
Soru 1804Soru →

Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı S3S_3 ve ilk 6 teriminin toplamı S6S_6'dır.

S6S3=9\frac{S_6}{S_3} = 9

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çarpan 2'dir.
Dizinin ilk 6 teriminin toplamının ilk 3 teriminin toplamına oranı yazıldığında a1a_1 terimleri ve paydadaki r−1r-1 ifadeleri sadeleşir. Kalan r6−1r3−1\frac{r^6-1}{r^3-1} ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde r3+1r^3 + 1 elde edilir. Bu ifade 9'a eşitlendiğinde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla r=2r = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülünü tanımlamak
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Geometrik dizide ilk terimlerin toplamını ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade etmek için.
2
Verilen oran ifadesini formül cinsinden yazmak
S6S3=r6−1r3−1\frac{S_6}{S_3} = \frac{r^6 - 1}{r^3 - 1}
Ortak çarpan rr değerini bulabilmek amacıyla ilk terim a1a_1 ve ortak payda olan r−1r-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
3
Çarpanlara ayırma özdeşliğini uygulamak
S6S3=r3+1\frac{S_6}{S_3} = r^3 + 1
r6−1=(r3−1)(r3+1)r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1) iki kare farkı açılımını kullanarak r3−1r^3-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
4
Oluşan denklemi çözerek ortak çarpanı bulmak
r=2r = 2
r3+1=9  ⟹  r3=8r^3 + 1 = 9 \implies r^3 = 8 eşitliğini sağlayan reel sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülünün kullanılması ve çarpanlara ayırma yardımıyla ortak çarpanın çekilmesi.
Soru 1805Soru →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)+3cos⁡(x)−3=02\sin^2(x) + 3\cos(x) - 3 = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.

Bu ifade doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0, 2π] aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 4π radyandır.
Denklemin çözümü sonucunda kosinüs değerleri 12\frac{1}{2} ve 11 olarak elde edilir. Bu değerleri [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında sağlayan kökler sırasıyla {0,π3,5π3,2π}\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\} şeklindedir. Bu köklerin toplamı 4π4\pi radyan yaptığından verilen ifade tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyona bağlı yazma.
sin⁡2(x)=1−cos⁡2(x)\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) yazılarak denklem 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=02(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 şeklinde düzenlenir.
Denklemi çözebilmek için tüm terimleri aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.
−2cos⁡2(x)+3cos⁡(x)−1=0  ⟹  2cos⁡2(x)−3cos⁡(x)+1=0-2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \implies 2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0 olur. Çarpanlarına ayrıldığında (2cos⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\cos(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Kosinüs cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edip köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.
3
Kosinüs değerlerini belirleme ve bu değerleri sağlayan kökleri bulma.
cos⁡(x)=12  ⟹  x1=π3,x2=5π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{5\pi}{3} ve cos⁡(x)=1  ⟹  x3=0,x4=2π\cos(x) = 1 \implies x_3 = 0, x_4 = 2\pi bulunur.
[0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz tespit etmek için.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplama.
Toplam=0+π3+5π3+2π=4π\text{Toplam} = 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + 2\pi = 4\pi radyandır.
Soru kökündeki ifadenin doğruluğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen trigonometrik denklemlerin çözümü ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Alternatif Yöntem

Denklemi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle de çözebiliriz: 2(1−cos⁡2(x))+3cos⁡(x)−3=0  ⟹  2(1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))−3(1−cos⁡(x))=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2+2cos⁡(x)−3)=0  ⟹  (1−cos⁡(x))(2cos⁡(x)−1)=02(1-\cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 \implies 2(1-\cos(x))(1+\cos(x)) - 3(1-\cos(x)) = 0 \implies (1-\cos(x))(2+2\cos(x)-3) = 0 \implies (1-\cos(x))(2\cos(x)-1) = 0 elde edilir ve buradan yine aynı köklere ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1806Soru →

Toplumsal kurumların işlevleri ve tabakalaşma dinamikleri çerçevesinde, sol tarafta yer alan sosyolojik terimleri sağ taraftaki kurumsal veya yapısal pratiklerle en uygun şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Meritokrasi
Eğitimin Gizli İşlevi
Dikey Hareketlilik
Eğitimde Fırsat Eşitliği

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol taraftaki 'Meritokrasi' kavramı liyakate dayalı atamaları açıklayan tanım ile; 'Eğitimin Gizli İşlevi' resmi olmayan kuralların öğretilmesini içeren durum ile; 'Dikey Hareketlilik' dar gelirli bir bireyin eğitimle doktor olması örneği ile; 'Eğitimde Fırsat Eşitliği' ise devletin dezavantajlı bölgelere ücretsiz yatılı okullar açması uygulaması ile eşleşmelidir.
Doğru eşleştirmede Meritokrasi liyakat ve başarı belgelerine göre statü kazanımıyla; Eğitimin Gizli İşlevi müfredat dışı yazılı olmayan kuralların edinilmesiyle; Dikey Hareketlilik eğitim yoluyla sınıf atlanmasıyla; Eğitimde Fırsat Eşitliği ise devletin sunduğu telafi edici eğitim olanaklarıyla ilişkilendirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Meritokrasi kavramının tanımını ve liyakat ilişkisini analiz etme.
Meritokrasi, kişisel yetenek ve çabanın (liyakat) toplumsal statüleri belirlemesidir. Bu durum, soya dayalı ayrıcalıklar yerine liyakate göre kadroların doldurulmasını ifade eden açıklama ile eşleşir.
Toplumsal statünün edinilmesinde bireysel çaba ve başarının önemini vurgulamak için.
2
Eğitimin açık ve gizli işlevleri arasındaki ayrımı kurma.
Okullarda ders programları dışındaki gizli müfredatın kazandırdığı zaman yönetimi ve hiyerarşiye uyum gibi davranışlar eğitimin gizli işlevleridir. Bu nedenle resmi ders programlarının ötesindeki yazılı olmayan kuralları içeren açıklama ile eşleşir.
Eğitimin toplumsallaştırma sürecindeki örtük işlevlerini tanımlamak amacıyla.
3
Toplumsal hareketlilik türlerini ve eğitim ilişkisini değerlendirme.
Bireyin eğitim sayesinde prestij ve gelir artışı yaşayarak tıp doktoru olması, toplumsal tabakalar arasında yukarı yönlü bir yer değiştirmedir. Dolayısıyla dikey hareketlilik kavramı bu örnekle eşleşir.
Eğitimin toplumsal tabakalaşma üzerindeki dinamik etkisini ortaya koymak için.
4
Fırsat eşitliği kavramının sosyal devlet ilkesindeki uygulamalarını inceleme.
Devletin yatılı bölge okulları kurması, dezavantajlı gruplara yönelik eğitim hakkını korumayı amaçlar. Bu durum, eğitimde fırsat eşitliği kavramı ile doğrudan örtüşür.
Eğitim hakkının sosyoekonomik engelleri aşmadaki rolünü göstermek için.

Anahtar Kavram

Eğitim Kurumu ve Toplumsal Yapı İlişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1807Soru →

MAKARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerden kaç tanesi M harfi ile başlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

M harfi ile başlayan 20 farklı kelime yazılabilir.
M harfi başa sabitlendiğinde geriye kalan A, K, A, R, A harfleri dizilecektir. Bu harflerden 3 tanesi A olduğundan tekrarlı permütasyon formülüyle 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı kelime elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başa gelecek harfi sabitleyip kalan harfleri belirlemek.
Kelimenin M harfi ile başlaması istendiğinden ilk harf M olarak sabitlenir. Geriye kalan 5 pozisyon için kullanılacak harfler A, K, A, R, A olur.
M harfi sabitlendikten sonra geri kalan harflerin dizilimi tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
2
Tekrarlı harflerin sayılarını belirlemek ve tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak.
Geriye kalan harfler içinde 3 adet A, 1 adet K ve 1 adet R harfi vardır. Bu harflerin farklı dizilişlerinin sayısı: 5!3!=1206=20\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20 olarak bulunur.
Özdeş nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir dizilim oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı özdeş elemanların sayısının faktöriyeline bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon formülünün belirli bir elemanın sabitlendiği durumlara uygulanması.
Soru 1808Soru →

Ortak farkı pozitif bir tam sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a5=14a_5 = 14

olduğu bilinmektedir. Bu dizinin kk ve mm terimleri için (k>mk > m),

ak2−am2=480a_k^2 - a_m^2 = 480

ve bu terimlerin indisleri arasında

k+m=16k + m = 16

ilişkisi bulunmaktadır.

Buna göre, rr dizinin ortak farkı olmak üzere, r⋅k⋅mr \cdot k \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

İstenen çarpımın değeri 110'dur.
İki kare farkı özdeşliğinden elde edilen (ak−am)(ak+am)=480(a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480 ifadesinde ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8=2(14+3r)a_k + a_m = 2a_8 = 2(14+3r) eşitlikleri yazılır. Elde edilen (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240 denkleminde k−mk-m farkının pozitif çift tam sayı olması gerektiği ve rr'nin pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanıldığında, bu koşulları sağlayan tek değer çiftinin k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 olduğu belirlenir. Buradan k=11k=11 ve m=5m=5 bulunarak, çarpım 110110 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
ak2−am2=(ak−am)(ak+am)=480a_k^2 - a_m^2 = (a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480
İfadeleri ortak fark ve terimler toplamı cinsinden analiz edebilmek için çarpanlara ayırmak gerekir.
2
Dizi terimlerinin farkını ve toplamını ortak fark ile indisler cinsinden yazın.
ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8a_k + a_m = 2a_8
Aritmetik dizide ardışık olmayan terimlerin farkı indis farkı ile ortak farkın çarpımına, terimlerin toplamı ise indislerinin aritmetik ortalamasının iki katına eşittir.
3
a8a_8 terimini bilinen a5a_5 terimi ve ortak fark cinsinden yazarak ana denklemi kurun.
a8=14+3ra_8 = 14 + 3r ve (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir denklem elde etmek için.
4
İndislerin tam sayı olma özelliklerini ve rr'nin pozitif tam sayı koşulunu kullanarak denklem sistemini çözün.
k−m=6k-m = 6 ve r=2r = 2
k+m=16k+m=16 çift olduğundan k−mk-m de çift olmalıdır. 240240 sayısının bölenleri arasında rr'yi pozitif tam sayı yapan tek durum k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 ikilisine aittir.
5
İndisleri bulun.
k=11k = 11 ve m=5m = 5
k+m=16k+m=16 ve k−m=6k-m=6 denklemlerinin ortak çözümünü yapmak için.
6
İstenen çarpım değerini hesaplayın.
2⋅11⋅5=1102 \cdot 11 \cdot 5 = 110
Soru kökünde talep edilen çarpıma ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indislerin aritmetik ortalama özelliği, terimler farkı ve ortak fark ilişkisi ile iki kare farkı özdeşliği.
Soru 1809Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dizinin 10. terimi 24'tür.
Verilen S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n eşitliğinden yararlanarak dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n olarak belirlenir. Ardından 10. terim olan a10a_{10}, ilk 10 terim toplamı (S10=150S_{10} = 150) ile ilk 9 terim toplamının (S9=126S_9 = 126) farkı alınarak 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının genel biçimini belirlemek
Sn=An2+BnS_n = An^2 + Bn (burada A=d/2A = d/2 ve B=a1−d/2B = a_1 - d/2)
Herhangi bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir polinomdur.
2
S2n−SnS_{2n} - S_n farkını genel formül cinsinden ifade etmek
S2n−Sn=3An2+BnS_{2n} - S_n = 3An^2 + Bn
S2nS_{2n} ve SnS_n ifadeleri genel formüle göre yazılarak birbirinden çıkarılır.
3
Verilen bağıntı ile genel ifadeyi karşılaştırarak katsayıları eşitlemek
A=1A = 1 ve B=5B = 5
3An2+Bn=3n2+5n3An^2 + Bn = 3n^2 + 5n eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
4
İlk nn terim toplamı formülünü (SnS_n) yazmak
Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n
Bulunan AA ve BB değerleri genel formülde yerine konur.
5
Dizinin 10. terimini (a10a_{10}) ilk nn terim toplamı cinsinden ifade etmek
a10=S10−S9a_{10} = S_{10} - S_9
Bir dizide nn. terim, ilk nn terimin toplamı ile ilk n−1n-1 terimin toplamının farkına eşittir (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}).
6
S10S_{10} ve S9S_9 değerlerini hesaplayarak sonucu bulmak
a10=150−126=24a_{10} = 150 - 126 = 24
S10=102+5(10)=150S_{10} = 10^2 + 5(10) = 150 ve S9=92+5(9)=126S_9 = 9^2 + 5(9) = 126 değerleri çıkarılarak 10. terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile genel terim ana_n arasındaki ilişki (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}) ve ilk nn terim toplamının ikinci dereceden polinom yapısıdır.
Soru 1810Soru →

Ortak farkı pozitif bir gerçel sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizi için,
S15−S12=75S_{15} - S_{12} = 75
a9⋅a19−a7⋅a21=96a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = 96

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −1-1'dir.
Dizinin ardışık toplamı olan S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 eşitliğinde, indislerin ortalaması kullanılarak a14=25a_{14} = 25 değeri elde edilir. İkinci denklemde terimler a14a_{14} ve ortak fark olan rr türünden yazıldığında kareler farkı sadeleşerek 24r2=9624r^2 = 96 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak genel terim formülü a14=a1+13ra_{14} = a_1 + 13r eşitliğinde veriler yerine yazılarak ilk terim −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terim toplamı ile ilk 12 terim toplamı arasındaki farkı terimler cinsinden ifade etme
S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 elde edilir.
SnS_n ifadesi ilk nn terim toplamını belirttiğinden, ilk 15 terimin toplamından ilk 12 terimin toplamı çıkarıldığında geriye kalan son üç terim (a13,a14,a15a_{13}, a_{14}, a_{15}) kalır.
2
Aritmetik dizilerde indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi hesaplama
a13+a15=2a14a_{13} + a_{15} = 2a_{14} olduğu için 3a14=75⇒a14=253a_{14} = 75 \Rightarrow a_{14} = 25 bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse, terimlerin toplamları da eşittir. Burada 13+15=2×1413 + 15 = 2 \times 14 bağıntısı kullanılmıştır.
3
Çarpım terimlerini ortanca terim (a14a_{14}) ve ortak fark (rr) cinsinden yazma
a9=a14−5ra_9 = a_{14} - 5r, a19=a14+5ra_{19} = a_{14} + 5r, a7=a14−7ra_7 = a_{14} - 7r, a21=a14+7ra_{21} = a_{14} + 7r şeklinde ifade edilir.
Terimlerin a14a_{14} terimine olan uzaklıkları indis farkları üzerinden simetrik olarak yazılmıştır.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak ortak farkı (rr) bulma
a9⋅a19−a7⋅a21=(a142−25r2)−(a142−49r2)=24r2=96⇒r2=4⇒r=2a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = (a_{14}^2 - 25r^2) - (a_{14}^2 - 49r^2) = 24r^2 = 96 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 bulunur.
İki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve dizinin ortak farkının pozitif olduğu belirtildiği için r=2r = 2 olarak alınmıştır.
5
Genel terim formülüyle ilk terimi (a1a_1) hesaplama
a14=a1+13r⇒25=a1+13⋅2⇒a1=−1a_{14} = a_1 + 13r \Rightarrow 25 = a_1 + 13 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = -1 bulunur.
Bir aritmetik dizide genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği, iki terimin aritmetik ortalaması ve genel terim özellikleri
Soru 1811Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S8−S5=81S_8 - S_5 = 81
S6−S3=57S_6 - S_3 = 57

olduğuna göre, bu dizinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210

Cevap

İlk 10 terim toplamı 210'dur.
Verilen eşitliklerden ardışık terimlerin toplam özellikleri kullanılarak yedinci terim 27, beşinci terim ise 19 olarak hesaplanır. Bu iki terim arasındaki farktan ortak fark 4, ardından ilk terim 3 olarak bulunur. Elde edilen bu değerler ilk n terim toplamı formülünde yerine yazılarak ilk 10 terimin toplamı 210 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık terimlerin toplamı farkından yararlanarak yedinci terimi bulma.
S8−S5=a6+a7+a8=3a7=81⇒a7=27S_8 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 = 3a_7 = 81 \Rightarrow a_7 = 27 olur.
İlk 8 terimin toplamından ilk 5 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 6., 7. ve 8. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan yedinci terimin 3 katına eşittir.
2
Benzer şekilde ardışık terimlerin toplamı farkından beşinci terimi bulma.
S6−S3=a4+a5+a6=3a5=57⇒a5=19S_6 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5 = 57 \Rightarrow a_5 = 19 olur.
İlk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan beşinci terimin 3 katına eşittir.
3
Dizinin ortak farkını hesaplama.
a7=a5+2d⇒27=19+2d⇒2d=8⇒d=4a_7 = a_5 + 2d \Rightarrow 27 = 19 + 2d \Rightarrow 2d = 8 \Rightarrow d = 4 bulunur.
Dizinin yedinci terimi ile beşinci terimi arasındaki fark, ortak farkın 2 katına eşittir.
4
Dizinin ilk terimini bulma.
a5=a1+4d⇒19=a1+4(4)⇒a1=3a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 19 = a_1 + 4(4) \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Dizinin beşinci terimi ve ortak farkı bilindiğinden genel terim tanımından yararlanılarak ilk terim hesaplanır.
5
İlk 10 terim toplamını hesaplama.
S10=102(2a1+9d)=5(2(3)+9(4))=5(6+36)=210S_{10} = \frac{10}{2} (2a_1 + 9d) = 5 (2(3) + 9(4)) = 5(6 + 36) = 210 bulunur.
Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesinde elde edilen değerler yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı ve terimler arasındaki indis ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1812Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3⋅a19−a6⋅a16=−39a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = -39

ve

a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
Verilen iki denklem çözüldüğünde ortak farkın karesi r2=1r^2 = 1 olarak bulunur. İkinci denklemden a1+10r=12a_1 + 10r = 12 bağıntısı elde edilir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif kalabilmesi için ortak farkın negatif olmaması (r=1r = 1) gerekir, çünkü negatif bir ortak fark diziyi bir noktadan sonra negatif terimli yapacaktır. r=1r = 1 için a1=2a_1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ortak fark rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazalım.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a19=a1+18ra_{19} = a_1 + 18r, a6=a1+5ra_6 = a_1 + 5r ve a16=a1+15ra_{16} = a_1 + 15r olur.
Verilen çarpımları tek bir bilinmeyenli terimler cinsinden ifade etmek.
2
Çarpımların farkını hesaplayalım.
a3⋅a19−a6⋅a16=(a12+20a1r+36r2)−(a12+20a1r+75r2)=−39r2a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = (a_1^2 + 20a_1r + 36r^2) - (a_1^2 + 20a_1r + 75r^2) = -39r^2 elde edilir.
Ortak farkın karesini bulmak için cebirsel sadeleştirme yapmak.
3
Elde edilen farkı verilen −39-39 değerine eşitleyelim.
−39r2=−39  ⟹  r2=1  ⟹  r=1-39r^2 = -39 \implies r^2 = 1 \implies r = 1 veya r=−1r = -1 bulunur.
Dizinin ortak farkının alabileceği değerleri belirlemek.
4
a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile rr arasındaki ilişkiyi bulalım.
(a1+r)+(a1+19r)=24  ⟹  2a1+20r=24  ⟹  a1+10r=12(a_1 + r) + (a_1 + 19r) = 24 \implies 2a_1 + 20r = 24 \implies a_1 + 10r = 12 elde edilir.
İlk terim ile ortak farkı ilişkilendiren doğrusal denklemi kurmak.
5
Dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılar olma koşulunu iki rr durumu için inceleyelim.
Eğer r=−1r = -1 ise a1=22a_1 = 22 olur ancak bu durumda a23=22+22(−1)=0a_{23} = 22 + 22(-1) = 0 ve sonraki terimler negatif olur. Eğer r=1r = 1 ise a1=2a_1 = 2 olur ve tüm terimler (an=n+1a_n = n+1) pozitif kalır. Dolayısıyla a1=2a_1 = 2 olmalıdır.
Sonsuz elemanlı dizinin tüm terimlerinin pozitif olmasını sağlayan geçerli ilk terim değerini seçmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri ve tüm terimlerinin pozitif olma koşulunun ortak farkın işaretine etkisi.
Soru 1813Soru →

Bir hastanenin acil servis ünitesinde görev yapan 4 doktor ve 5 hemşire arasından; en az 1 doktor ve en az 2 hemşirenin yer aldığı 4 kişilik bir acil müdahale ekibi oluşturulacaktır.

Bu çalışanlar arasında bulunan Doktor Ahmet ile Hemşire Canan aynı ekipte birlikte yer almak istemediklerine göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 82

Cevap

İstenen koşullara uygun 82 farklı ekip oluşturulabilir.
En az 1 doktor ve en az 2 hemşire koşulunu sağlayan 100 farklı ekip içinden, Doktor Ahmet ve Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu 18 ekip çıkarıldığında geriye kalan 82 ekip istenen koşulların tamamını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
En az 1 doktor ve en az 2 hemşireden oluşan 4 kişilik tüm ekiplerin sayısını belirlemek.
4 kişilik ekipteki meslek dağılımı 1 doktor ve 3 hemşire veya 2 doktor ve 2 hemşire olabilir. 1 doktor ve 3 hemşire için (41)×(53)=4×10=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{3} = 4 \times 10 = 40 durum; 2 doktor ve 2 hemşire için (42)×(52)=6×10=60\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} = 6 \times 10 = 60 durum bulunur. Toplam durum sayısı: 40+60=10040 + 60 = 100 olur.
Genel koşullara uygun başlangıç kümesini oluşturmak için.
2
Doktor Ahmet ile Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu ve koşulları sağlayan ekip sayısını hesaplamak.
Doktor Ahmet ve Hemşire Canan ekibe seçildiğinde, geriye 3 doktor ve 4 hemşire arasından seçilecek 2 kişi kalır. Ekipte en az 1 doktor (Ahmet zaten var) ve en az 2 hemşire (Canan var, en az 1 hemşire daha lazım) olmalıdır. Kalan 2 kişi; 1 doktor ve 1 hemşire ya da 2 hemşire olarak seçilebilir. Bu durumlar (31)×(41)=12\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} = 12 ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 şeklindedir. Toplamda 18 ekipte ikisi birlikte yer alır.
İstenmeyen durumların sayısını belirlemek için.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak.
Ahmet ve Canan'ın birlikte bulunmadığı ekip sayısı: 100−18=82100 - 18 = 82 olarak bulunur.
İstenen koşula uyan nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçim Problemleri
Soru 1814Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x+y)+sin⁡xsin⁡ysin⁡(x+y)−sin⁡xcos⁡y\frac{\cos(x + y) + \sin x \sin y}{\sin(x + y) - \sin x \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot y; cot(y); \cot y; \cot(y)

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali kotanjant y olarak bulunur.
Verilen ifadenin payındaki kosinüs toplam açılımı ile paydasındaki sinüs toplam açılımı yazılıp gerekli terimler birbirini götürdüğünde, geriye kalan cos⁡xcos⁡ycos⁡xsin⁡y\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y} ifadesinde cos⁡x\cos x terimleri sadeleşir. Sonuç olarak kalan cos⁡ysin⁡y\frac{\cos y}{\sin y} oranı kotanjant tanımı gereği cot⁡y\cot y ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan cos⁡(x+y)\cos(x+y) ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.
2
Payda kısmında yer alan sin⁡(x+y)\sin(x+y) ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.
3
Elde edilen açılımları ana kesirli ifadede yerlerine yazarak sadeleştirmeleri yapın.
Pay kısmı: (cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)+sin⁡xsin⁡y=cos⁡xcos⁡y(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + \sin x \sin y = \cos x \cos y olur. Payda kısmı: (sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)−sin⁡xcos⁡y=cos⁡xsin⁡y(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - \sin x \cos y = \cos x \sin y olur.
Ters işaretli olan benzer terimleri sadeleştirerek ifadeyi basitleştirmek için.
4
Sadeleşmiş payı paydaya oranlayarak nihai sonuca ulaşın.
cos⁡xcos⁡ycos⁡xsin⁡y=cos⁡ysin⁡y=cot⁡y\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y} = \frac{\cos y}{\sin y} = \cot y elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak cos⁡x\cos x terimlerini sadeleştirmek ve kotanjant tanımını kullanmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs toplam formüllerinin cebirsel sadeleştirmelerde uygulanması.
Soru 1815Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri

an=∑i=1nlog⁡3(1−2(i+1)(i+2))a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \frac{2}{(i+1)(i+2)}\right)
bn=log⁡9(n2+A⋅n+B9n2+C⋅n+9)b_n = \log_9\left( \frac{n^2 + A \cdot n + B}{9n^2 + C \cdot n + 9} \right)

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Dizilerin eşitliği koşulundan yararlanılarak A + B + C toplamı 33 olarak bulunur.
Logaritmik terimlerin toplamı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirilip taban eşitlemesi uygulandığında genel terimi veren ifade elde edilir. Bu ifade diğer diziyle eşitlendiğinde katsayılar belirlenir ve toplamları hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki logaritma argümanını rasyonel biçimde düzenleme.
i(i+3)(i+1)(i+2)\frac{i(i+3)}{(i+1)(i+2)}
Logaritmik toplamın sadeleştirilebilir bir çarpım yapısına dönüştürülmesi hedeflenir.
2
Teleskopik çarpım sadeleştirmesiyle toplamı hesaplama.
an=log⁡3(n+33n+3)a_n = \log_3\left(\frac{n+3}{3n+3}\right)
Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir. Çarpım açılıp sadeleştirildiğinde genel terim tek bir logaritmik ifadeye indirgenir.
3
Taban eşitleme kuralı uygulanarak tabanın 9 yapılması.
an=log⁡9(n2+6n+99n2+18n+9)a_n = \log_9\left(\frac{n^2 + 6n + 9}{9n^2 + 18n + 9}\right)
bnb_n dizisinin logaritma tabanı 9 olduğu için ana_n dizisi ile doğrudan karşılaştırma yapılabilmesi amacıyla tabanlar eşitlenir.
4
İki dizinin eşitliğinden yararlanarak katsayıların karşılaştırılması.
A=6,B=9,C=18A = 6, B = 9, C = 18
Her n pozitif tam sayısı için iki ifadenin rasyonel kısımları özdeş olmalıdır.
5
Bilinmeyenlerin toplanması.
3333
Soru kökünde istenen A + B + C toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için tanım kümelerindeki her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin değerleri eşit olmalıdır.
Soru 1816Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılardır. Bu dizinin ilk beş teriminin toplamı 3131 ve bu beş terimin her birinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 3116\frac{31}{16} olarak veriliyor.

Dizi artan olduğuna ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 eşitliği sağlandığına göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 128'dir.
Çözüm adımları takip edildiğinde, geometrik dizinin terimleri ile terslerinin toplamı arasındaki ilişkiden a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir. Verilen a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 bilgisi ve dizinin artan olması kullanılarak a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 olarak belirlenir. Bu değerler kullanılarak dizinin sekizinci terimi a8=a1⋅r7=128a_8 = a_1 \cdot r^7 = 128 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 5 terimin toplamı (S5S_5) ile bu terimlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı (T5T_5) arasındaki genel ili��kiyi kurmak.
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir.
Bir geometrik dizide terimler toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} ve tersleri toplam�� Tn=1a11−(1/r)n1−(1/r)=Sna1⋅anT_n = \frac{1}{a_1} \frac{1-(1/r)^n}{1-(1/r)} = \frac{S_n}{a_1 \cdot a_n} şeklindedir. Buradan T5=S5a1⋅a5  ⟹  3116=31a1⋅a5  ⟹  a1⋅a5=16T_5 = \frac{S_5}{a_1 \cdot a_5} \implies \frac{31}{16} = \frac{31}{a_1 \cdot a_5} \implies a_1 \cdot a_5 = 16 bulunur.
2
Ortadaki terim olan a3a_3 değerini bulmak.
a3=4a_3 = 4 bulunur.
Geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir, yani a1⋅a5=a32a_1 \cdot a_5 = a_3^2. Buradan a32=16a_3^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a3=4a_3 = 4 olur.
3
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 denklem sistemini çözerek birinci ve beşinci terimleri belirlemek.
a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur.
Çarpımları 16, toplamları 17 olan sayılar 1 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için küçük olan terim birinci terim, büyük olan ise beşinci terim olmalıdır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 olur.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
a5=a1⋅r4  ⟹  16=1⋅r4  ⟹  r4=16a_5 = a_1 \cdot r^4 \implies 16 = 1 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Terimler pozitif olduğundan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir.
5
Dizinin sekizinci terimini (a8a_8) hesaplamak.
a8=128a_8 = 128 bulunur.
a8=a1⋅r7a_8 = a_1 \cdot r^7 formülü kullanılarak a8=1⋅27=128a_8 = 1 \cdot 2^7 = 128 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler toplamı ile çarpmaya göre terslerinin toplamı arasındaki ilişki ve genel terim özellikleri.
Soru 1817Soru →

Sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için lim⁡x→a+∣x2−a2∣x−a+lim⁡x→a−∣x2−a2∣x−a=2a\lim_{x \to a^+} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + \lim_{x \to a^-} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} = 2a eşitliği doğrudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen limitlerin toplamı, sıfırdan farklı her aa gerçel sayısı için 2a2a değerine değil, her zaman 00 değerine eşittir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Verilen limitlerin toplamı her zaman sıfıra eşittir. İfadede iddia edilen 2a2a değeri, yalnızca a=0a=0 için geçerli olup sıfırdan farklı gerçel sayılar için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
a>0a > 0 durumunu ele alarak sağdan limit değerini hesaplayalım.
x→a+x \to a^+ için x>a>0x > a > 0 olduğundan x2>a2x^2 > a^2 ve ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2 - a^2| = x^2 - a^2 olur. Limit değeri lim⁡x→a+x2−a2x−a=lim⁡x→a+(x+a)=2a\lim_{x \to a^+} \frac{x^2 - a^2}{x - a} = \lim_{x \to a^+} (x + a) = 2a olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken xx değeri aa değerinden büyük olduğu için mutlak değerin içi pozitif olur.
2
a>0a > 0 durumunda soldan limit değerini hesaplayalım.
x→a−x \to a^- için 0<x<a0 < x < a olduğundan x2<a2x^2 < a^2 ve ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olur. Limit değeri lim⁡x→a−−(x2−a2)x−a=lim⁡x→a−−(x+a)=−2a\lim_{x \to a^-} \frac{-(x^2 - a^2)}{x - a} = \lim_{x \to a^-} -(x + a) = -2a olarak bulunur.
Soldan yaklaşırken xx değeri aa değerinden küçük olduğu için mutlak değerin içi negatif olur.
3
Bulunan sağ ve sol limit değerlerini toplayarak ifadeyi test edelim.
Sağdan limit 2a2a, soldan limit −2a-2a olduğundan toplamları 2a+(−2a)=02a + (-2a) = 0 olur.
Limitlerin toplamı 00 olup, a≠0a \neq 0 koşulu altında bu değer 2a2a değerinden farklıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarındaki limitleri hesaplanırken, sağdan ve soldan yaklaşım durumlarına göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve limit ayrı ayrı hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Alternatif bir çözüm olarak, a=1a = 1 gibi özel bir değer seçilerek sağ limit 22 ve sol limit −2-2 olarak hesaplanabilir. Toplam 00 çıkarken 2a=22a = 2 olduğundan ifadenin yanlış olduğu kolayca görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1818Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=sin⁡x⋅cos⁡xc=tan⁡x+cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \sin x \cdot \cos x \\ c &= \tan x + \cot x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.
İkinci bölgenin belirtilen aralığında sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatiftir. sin⁡x\sin x değeri mutlak değerce cos⁡x\cos x değerinden büyük olduğu için toplamları olan aa pozitif bir değer alır. Sinüs ve kosinüsün çarpımı olan bb negatif olup [−1/2,0)[-1/2, 0) aralığındadır. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesi 1sin⁡xcos⁡x=1b\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olarak yazıldığında, negatif basit kesir olan bb değerinin çarpmaya göre tersi −2-2 veya daha küçük olur. Bu durumda negatif olan değerlerden cc, bb'den daha küçüktür; pozitif olan aa ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz edelim.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olur. Ayrıca xx açısı 90∘90^\circ ile 135∘135^\circ arasında olduğundan, birim çemberde sinüs eksenine daha yakındır ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| eşitsizliği sağlanır. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
Değişkenlerin işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini belirlemek için.
2
b değerinin işaretini ve aralığını bulalım.
b=sin⁡x⋅cos⁡xb = \sin x \cdot \cos x ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (b<0b < 0). Yarım açı formülünü kullanarak b=sin⁡(2x)2b = \frac{\sin(2x)}{2} yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur. Bu üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu [−1,0)[-1, 0) aralığında değer aldığından, b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) aralığındadır.
Çarpımın değer sınırlarını belirlemek için.
3
c değerini özdeşlikler yardımıyla düzenleyelim ve b değeri ile ilişkilendirelim.
c=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1bc = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olur. b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) olduğundan, çarpmaya göre tersi olan c=1b≤−2c = \frac{1}{b} \le -2 olur.
c ve b arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm değer aralıklarını birleştirerek doğru sıralamayı bulalım.
c≤−2c \le -2, −12≤b<0-\frac{1}{2} \le b < 0 ve a>0a > 0 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Sıralamayı nihayete erdirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve basit kesirlerin çarpmaya göre tersinin sıralamadaki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1819Soru →

Bir kenar uzunluğu 1212 birim olan ABCDABCD karesinde, EE noktası [BC][BC] kenarı üzerinde ve FF noktası [CD][CD] kenarı üzerindedir.

∣BE∣=3 birim|BE| = 3\text{ birim}
∣EC∣=9 birim|EC| = 9\text{ birim}
∣DF∣=4 birim|DF| = 4\text{ birim}
∣FC∣=8 birim|FC| = 8\text{ birim}

olduğuna göre, tan⁡(EAF^)\tan(\widehat{EAF}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 117\frac{11}{7}

Cevap

117\frac{11}{7}
Karenin köşesindeki 90∘90^\circ lik açıdan komşu iki dar açının toplamı çıkarıldığında hedef açı elde edilir. Komşu açıların tanjantları 13\frac{1}{3} ve 14\frac{1}{4} olarak hesaplanır. Toplam formülüyle bu iki açının toplamının tanjantı 711\frac{7}{11} bulunur. Aranan açı tümler açı olduğundan, tanjant değeri toplamın kotanjantına, yani 711\frac{7}{11} değerinin çarpmaya göre tersi olan 117\frac{11}{7} sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluğu ve verilen parça uzunlukları yardımıyla komşu dik üçgenlerdeki tanjant değerlerini hesaplama.
tan⁡(DAF^)=∣DF∣∣AD∣=412=13\tan(\widehat{DAF}) = \frac{|DF|}{|AD|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} ve tan⁡(BAE^)=∣BE∣∣AB∣=312=14\tan(\widehat{BAE}) = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} elde edilir.
Hedef açıyı karenin 90∘90^\circ lik köşe açısını tamamlayan diğer iki dar açının trigonometrik oranları cinsinden ifade edebilmek.
2
DAF^=α\widehat{DAF} = \alpha ve BAE^=β\widehat{BAE} = \beta değişkenlerini tanımlayıp hedef açıyı bu açılar cinsinden yazma.
EAF^=90∘−(α+β)\widehat{EAF} = 90^\circ - (\alpha + \beta) olur.
Karenin köşe açısı dik açı (90∘90^\circ) olduğu için α+EAF^+β=90∘\alpha + \widehat{EAF} + \beta = 90^\circ eşitliği geçerlidir.
3
Tanjant toplam formülü yardımıyla tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) değerini hesaplama.
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β=13+141−13⋅14=7121112=711\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11} bulunur.
İki komşu açının toplamının tanjant değerini elde etmek.
4
Trigonometrik indirgeme özelliğini kullanarak hedef açının tanjant değerini bulma.
tan⁡(EAF^)=tan⁡(90∘−(α+β))=cot⁡(α+β)=1tan⁡(α+β)=117\tan(\widehat{EAF}) = \tan(90^\circ - (\alpha + \beta)) = \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{11}{7} olarak elde edilir.
Tümler açıların tanjantı ile kotanjantı arasındaki tan⁡(90∘−x)=cot⁡x\tan(90^\circ - x) = \cot x ilişkisini uygulamak.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılar için trigonometrik indirgeme.
Soru 1820Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−4)2(x−6)(x−4)(x−1)≤0\frac{(x-4)^2(x-6)}{(x-4)(x-1)} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 11'dir.
Eşitsizliğin paydasını sıfır yapan x=1x = 1 ve x=4x = 4 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Bu durumda elde edilen en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar olan 55 ve 66 sayılarının toplamı 1111 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini sadeleştirmek ve tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi için payda sıfırdan farklı olmalıdır. Buradan x−4≠0  ⟹  x≠4x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 ve x−1≠0  ⟹  x≠1x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 elde edilir. Bu kısıtlamalar altında x−4x-4 terimleri sadeleştirilebilir ve eşitsizlik (x−4)(x−6)x−1≤0\frac{(x-4)(x-6)}{x-1} \leq 0 halini alır.
Paydayı sıfır yapan noktalar ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizliğin köklerini bulmak
Kritik noktalar payın kökleri olan x=4x = 4, x=6x = 6 ve paydanın kökü olan x=1x = 1 değerleridir. Tüm kökler tek katlı köktür.
İşaret tablosunda kullanılacak olan sınırları belirlemek gerekir.
3
İşaret tablosunu oluşturmak
En sağdaki aralıkta (x>6x > 6) ifadenin işareti pozitiftir (+)(+). Köklerden geçildikçe işaretler sağdan sola sırasıyla ++, −-, ++, −- şeklinde değişir. Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya eşit olmasını istediğimizden negatif bölgeler seçilir.
İfadenin negatif olduğu en geniş çözüm aralığını tespit etmek gerekir.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplamak
Bulunan en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] şeklindedir. Bu kümedeki pozitif tam sayılar sadece 55 ve 66'dır. Toplamları ise 5+6=115 + 6 = 11 olur.
Soruda istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanım kümesi kısıtlamasının korunması ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 91 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin