Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1781Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tan��mlı; grafiği dik koordinat düzleminin yy-eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu ile grafiği orijine göre simetrik olan bir gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için

f(x)−g(−x)=x2+3x+4f(x) - g(-x) = x^2 + 3x + 4

etkisini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

72
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri (ff çift, gg tek) kullanılarak f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4 ve f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) değeri ise 8⋅9=728 \cdot 9 = 72 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların grafik simetrilerinden cebirsel özelliklerini çıkarma
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak verilen denklemi basitleştirme
f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur, dolayısıyla −g(−x)=g(x)-g(-x) = g(x) eşitliği elde edilir.
3
Denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir ilişki kurma
f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4
f(−x)+g(−x)=(−x)2+3(−x)+4f(-x) + g(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 4 denkleminde f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özellikleri yerine yazılır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek fonksiyonların kurallarını bulma
f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x
Bulunan iki denklem taraf tarafa toplanarak 2f(x)=2x2+8⇒f(x)=x2+42f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow f(x) = x^2 + 4 elde edilir. Taraf tarafa çıkarılarak da 2g(x)=6x⇒g(x)=3x2g(x) = 6x \Rightarrow g(x) = 3x elde edilir.
5
İstenen değerleri hesaplama ve çarpma işlemini gerçekleştirme
f(2)⋅g(3)=72f(2) \cdot g(3) = 72
f(2)=22+4=8f(2) = 2^2 + 4 = 8 ve g(3)=3(3)=9g(3) = 3(3) = 9 değerleri çarpılarak sonuç 7272 bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel kuralları arasındaki ilişki
Soru 1782Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡2x1−sin⁡x−cos⁡2x1+sin⁡x=−65\frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = -\frac{6}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde 2sin⁡x=−652\sin x = -\frac{6}{5} elde edilir. Buradan sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Bu değerler yardımıyla üçüncü bölgede cot⁡x=43\cot x = \frac{4}{3} ve csc⁡x=−53\csc x = -\frac{5}{3} olarak hesaplanır. Farkları alındığında ise doğru değer olan 33 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeleri ortak paydada buluşturarak çıkarma işlemini uygulayalım.
cos⁡2x(1+sin⁡x)−cos⁡2x(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=−65\frac{\cos^2 x(1 + \sin x) - \cos^2 x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = -\frac{6}{5}
Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir.
2
Payı dağıtıp düzenleyelim ve paydadaki 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x yerine temel kimlik olan cos⁡2x\cos^2 x yazarak ifadeyi sadeleştirelim.
2cos⁡2xsin⁡xcos⁡2x=2sin⁡x=−65  ⟹  sin⁡x=−35\frac{2\cos^2 x \sin x}{\cos^2 x} = 2\sin x = -\frac{6}{5} \implies \sin x = -\frac{3}{5}
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bilinmeyen fonksiyon değerini yalnız bırakmak hedeflenmiştir.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) tanım aralığına göre açının üçüncü bölgede olduğunu belirleyip cos⁡x\cos x, cot⁡x\cot x ve csc⁡x\csc x değerlerini bulalım.
cos⁡x=−45,cot⁡x=43,csc⁡x=−53\cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \csc x = -\frac{5}{3}
Üçüncü bölgede sinüs, kosinüs ve kosekant fonksiyonları negatif, kotanjant fonksiyonu ise pozitif değerler alır.
4
Bulduğumuz değerleri soruda istenen cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinde yerine yazarak hesaplayalım.
cot⁡x−csc⁡x=43−(−53)=43+53=93=3\cot x - \csc x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3
İstenen cebirsel ifadenin nihai sonucuna ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1783Soru →

Bir aritmetik dizide baştan nn terimin toplamı SnS_n sembolüyle gösterilmektedir.

Bu dizide,
S12=−28S_{12} = -28
S28=−12S_{28} = -12

olduğuna göre, bu aritmetik dizinin baştan 4040 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Bu aritmetik dizinin baştan 40 teriminin toplamı 40'tır.
Verilen toplam formülleri açılıp sadeleştirildiğinde 2a1+11d=−1432a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve 2a1+27d=−672a_1 + 27d = -\frac{6}{7} denklemleri elde edilir. Bu sistemden ortak fark d=521d = \frac{5}{21} bulunur. İstenen S40=20(2a1+39d)S_{40} = 20(2a_1 + 39d) ifadesinde 2a1+39d2a_1 + 39d yerine (2a1+11d)+28d(2a_1 + 11d) + 28d yazılarak değerler yerine konduğunda parantez içi 2, toplam ise 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan nn terim toplam formülünü kullanarak S12S_{12} ve S28S_{28} ifadelerini açalım.
S12=6(2a1+11d)=−28  ⟹  2a1+11d=−143S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = -28 \implies 2a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve S28=14(2a1+27d)=−12  ⟹  2a1+27d=−67S_{28} = 14(2a_1 + 27d) = -12 \implies 2a_1 + 27d = -\frac{6}{7}
Verilen terim toplamları ile ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (dd) arasında ilişki kurmak.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa çıkararak dd değerini bulalım.
(2a1+27d)−(2a1+11d)=−67−(−143)  ⟹  16d=8021  ⟹  d=521(2a_1 + 27d) - (2a_1 + 11d) = -\frac{6}{7} - \left(-\frac{14}{3}\right) \implies 16d = \frac{80}{21} \implies d = \frac{5}{21}
Dizinin ortak farkını elde etmek.
3
Bulduğumuz ortak farkı kullanarak S40S_{40} formülünde yer alan 2a1+39d2a_1 + 39d ifadesinin değerini hesaplayalım.
2a1+39d=(2a1+11d)+28d=−143+28(521)=−143+203=22a_1 + 39d = (2a_1 + 11d) + 28d = -\frac{14}{3} + 28 \left(\frac{5}{21}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{20}{3} = 2
a1a_1 terimini tek başına bulmaya gerek kalmadan işlemi sadeleştirmek.
4
Bulduğumuz 2a1+39d=22a_1 + 39d = 2 değerini S40S_{40} formülünde yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
S40=20(2a1+39d)=20×2=40S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20 \times 2 = 40
Bizden istenen baştan 40 terimin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizilerde Sk=−mS_k = -m ve Sm=−kS_m = -k (k≠mk \neq m) ise baştan k+mk+m terim toplamının Sk+m=k+mS_{k+m} = k+m olduğu genel formülünden faydalanılabilir. Bu soruda k=12k=12 ve m=28m=28 olduğundan S40=12+28=40S_{40} = 12+28 = 40 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1784Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n, bir (bn)(b_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı TnT_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
SnTn=7n+14n+27\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizilerin 11. terimlerinin oranı olan a11b11\frac{a_{11}}{b_{11}} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Dizilerin 11. terimlerinin oranı 4/3 olarak bulunur.
İlk nn terim toplamı formüllerini oranladığımızda SnTn=a1+n−12d1b1+n−12d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{b_1 + \frac{n-1}{2}d_2} elde edilir. Bizden istenen 11. terimlerin oranı olan a1+10d1b1+10d2\frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için n−12=10\frac{n-1}{2} = 10 eşitliğinden n=21n = 21 bulunur. Verilen orantıda nn yerine 2121 yazıldığında 7⋅21+14⋅21+27=148111=43\frac{7 \cdot 21 + 1}{4 \cdot 21 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerin ilk nn terim toplamı formüllerini kullanarak SnS_n ve TnT_n ifadelerini yazmak.
Sn=n2[2a1+(n−1)d1]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] ve Tn=n2[2b1+(n−1)d2]T_n = \frac{n}{2}[2b_1 + (n-1)d_2]
Dizilerin toplamlarını ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade etmek.
2
Bu toplamların oranını sadeleştirerek 11. terimlerle ilişkisini kurmak.
SnTn=2a1+(n−1)d12b1+(n−1)d2=a1+(n−12)d1b1+(n−12)d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2b_1 + (n-1)d_2} = \frac{a_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_1}{b_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_2}
Ortak çarpan olan n/2n/2 terimlerini sadeleştirip dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d yapısına benzetmek.
3
11. terimlerin oranı olan a11b11=a1+10d1b1+10d2\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için uygun nn değerini belirlemek.
n−12=10  ⟹  n−1=20  ⟹  n=21\frac{n-1}{2} = 10 \implies n - 1 = 20 \implies n = 21
İstenen terimlerin katsayısı olan 10'u elde etmek için gerekli terim sayısı olan nn değerini bulmak.
4
Bulunan n=21n = 21 değerini verilen toplam oranında yerine yazarak sonuca ulaşmak.
a11b11=7(21)+14(21)+27=148111=43\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}
n=21n = 21 için elde edilen oranın 11. terimlerin oranını doğrudan verdiğini bildiğimizden bu değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ile genel terim arasındaki ilişkinin kullanılması.
Soru 1785Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡13(x−1)+2log⁡2(11−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2}{\log_2(11 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayı de��erlerinin toplamı 12'dir.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi belirlenirken logaritma fonksiyonlarının içleri sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 elde edilir. Paydanın sıfır olmama koşulundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla tanım aralığı (1,11)∖{3}(1, 11) \setminus \{3\} olur. Payın kökü x=10x = 10'dur ve taban basit kesir olduğundan x>10x > 10 için pay negatif işaretlidir. Paydanın kökü x=3x = 3'tür ve xx'in önündeki işaret negatif olduğundan x>3x > 3 için payda negatif işaretlidir. Tanım aralığında yapılan işaret incelemesinde pozitif bölgeler (1,3)∪[10,11)(1, 3) \cup [10, 11) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 22 ve 1010 olup toplamları 1212'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesini belirlemek.
Logaritma tan��mı gereği logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 eşitsizlikleri elde edilir. Ayrıca payda sıfır olamayacağından, log⁡2(11−x)−3≠0  ⟹  11−x≠8  ⟹  x≠3\log_2(11 - x) - 3 \neq 0 \implies 11 - x \neq 8 \implies x \neq 3 olmalıdır. Bu şartların kesişimi ile tanım kümesi T=(1,11)∖{3}T = (1, 11) \setminus \{3\} olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfır olmaması için bu sınırların belirlenmesi zorunludur.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret değişimlerini incelemek.
Payın kökü: log⁡13(x−1)+2=0  ⟹  log⁡13(x−1)=−2  ⟹  x−1=9  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = -2 \implies x - 1 = 9 \implies x = 10 bulunur. Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 (basit kesir) olduğundan, pay ifadesi x>10x > 10 için negatif, x<10x < 10 için pozitif değerler alır. Paydanın kökü: log⁡2(11−x)−3=0  ⟹  11−x=8  ⟹  x=3\log_2(11 - x) - 3 = 0 \implies 11 - x = 8 \implies x = 3 bulunur. Taban 2>12 > 1 olmakla birlikte xx değişkeninin önündeki işaret negatif olduğundan, payda ifadesi x>3x > 3 için negatif, x<3x < 3 için pozitif değerler alır.
İşaret tablosunda bölgelerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için her bir çarpanın kökleri ve artanlık/azalanlık durumları incelenir.
3
İşaret tablosunu oluşturup çözüm kümesini belirlemek.
Kökler 33 ve 1010 işaret tablosuna yerleştirilir. Tanım kümesi olan (1,11)(1, 11) aralığında inceleme yapıldığında: (1,3)(1, 3) aralığında pay pozitif, payda pozitif olduğundan oran pozitif, (3,10](3, 10] aralığında pay pozitif, payda negatif olduğundan oran negatif, [10,11)[10, 11) aralığında pay negatif, payda negatif olduğundan oran pozitif olur. Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden çözüm kümesi S=(1,3)∪[10,11)S = (1, 3) \cup [10, 11) şeklinde bulunur.
Pay ve paydanın ortak işaret tablosu oluşturularak eşitsizlik şartını sağlayan bölgeler tespit edilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.
(1,3)(1, 3) aralığındaki tek tam sayı 22'dir. [10,11)[10, 11) aralığındaki tek tam sayı ise 1010'dur. Bu tam sayıların toplamı 2+10=122 + 10 = 12 olarak elde edilir.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için uygun tam sayılar belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 1786Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(2x−5)log⁡2(7−x)≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5)}{\log_2(7 - x)} \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) kümesidir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) kümesidir.
Eşitsizliğin tanım kümesi ve pay ile paydanın işaret değişimleri dikkate alındığında elde edilen en geniş çözüm kümesi önermedeki küme ile birebir uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>52x > \frac{5}{2}, x<7x < 7 ve x≠6x \neq 6
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadeler pozitif olmalı, ayrıca payda sıfıra eşit olmamalıdır.
2
Pay kısmının işaretini inceleme
x≤3x \leq 3 için log⁡13(2x−5)≥0\log_{\frac{1}{3}}(2x-5) \geq 0 ve x>3x > 3 için log⁡13(2x−5)<0\log_{\frac{1}{3}}(2x-5) < 0 olur.
Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 olduğundan azalan bir fonksiyondur; dolayısıyla 2x−5≤12x - 5 \leq 1 eşitsizliği çözülür.
3
Payda kısmının işaretini inceleme
x<6x < 6 için log⁡2(7−x)>0\log_2(7-x) > 0 ve x>6x > 6 için log⁡2(7−x)<0\log_2(7-x) < 0 olur.
Taban 2>12 > 1 olduğundan artan bir fonksiyondur; dolayısıyla 7−x>17 - x > 1 eşitsizliği çözülür.
4
İşaret tablosu yaparak ortak çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi (52,3]∪(6,7)\left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup (6, 7) olarak bulunur.
Pay ve paydanın işaretlerinin aynı olduğu veya payın sıfır olduğu aralıklar eşitsizliği sağlar.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna (1'den büyük veya 0-1 arasında olması) göre eşitsizliğin yön değiştirmesi ve tanım kümelerinin kesişiminin alınması.
Soru 1787Soru →
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olmak üzere,
a=cos⁡4x−sin⁡4xb=tan⁡2x−cot⁡2xc=tan⁡x1+tan⁡2x\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri pozitif değerler alır. a=cos⁡(2x)a = \cos(2x) değeri bu aralıkta 0.50.5 ile 11 arasında, c=12sin⁡(2x)c = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri ise 00 ile yaklaşık 0.4330.433 arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.
a=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) özdeşliği yazılır. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 olduğundan a=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) elde edilir.
Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.
2
b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) aralığında tan⁡x\tan x artan bir fonksiyondur ve 0<tan⁡x<130 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}} aralığındadır. Bu durumda tan⁡2x<13\tan^2 x < \frac{1}{3} olur. Benzer şekilde cot⁡x>3\cot x > \sqrt{3} olduğundan cot⁡2x>3\cot^2 x > 3 elde edilir. Buradan b=tan⁡2x−cot⁡2x<13−3=−83b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} bulunur.
Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.
3
c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.
1+tan⁡2x=sec⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} özdeşliği kullanıldığında; c=sin⁡xcos⁡x1cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. 2x∈(0,π3)2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve sin⁡(2x)∈(0,32)\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) olduğundan c∈(0,34)c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) aralığındadır.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.
4
Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
b<−2.67b < -2.67, 0<c<0.4330 < c < 0.433 ve 0.5<a<10.5 < a < 1 aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 1788Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S9−S7=72S_9 - S_7 = 72
a3+a13=68a_3 + a_{13} = 68

olduğuna göre, bu dizinin ilk 20 teriminin toplamı (S20S_{20}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

İlk 20 terim toplamı 880'dir.
İlk 9 terim toplamı ile ilk 7 terim toplamının farkı olan 72, dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplamına eşittir. Genel terim formülü kullanılarak bu toplam 2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 şeklinde yazılır. Benzer şekilde, 3. ve 13. terimlerin toplamı olan 68 ifadesi 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68 olarak yazılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=6a_1 = 6 bulunur. İlk 20 terim toplamı formülü olan S20=10(2a1+19d)S_{20} = 10(2a_1 + 19d) ifadesinde bulunan değerler yerine yazıldığında doğru sonuç olan sekiz yüz seksen değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S7S_9 - S_7 ifadesini terimler cinsinden yazmak.
S9−S7=a8+a9=72S_9 - S_7 = a_8 + a_9 = 72
İlk 9 terim toplamından ilk 7 terim toplamı çıkarıldığında geriye 8. ve 9. terimler kalır.
2
Verilen eşitlikleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) cinsinden ifade etmek.
2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 ve 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d genel terim formülü kullanılarak a8+a9=2a1+15da_8 + a_9 = 2a_1 + 15d ve a3+a13=2a1+14da_3 + a_{13} = 2a_1 + 14d denklemleri elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulmak.
d=4d = 4 ve a1=6a_1 = 6
İkinci denklem birinci denklemden çıkarılarak d=4d = 4 bulunur. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1=6a_1 = 6 elde edilir.
4
İlk 20 terim toplamını (S20S_{20}) hesaplamak.
S20=880S_{20} = 880
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=20n=20, a1=6a_1=6 ve d=4d=4 değerleri yerine yazılarak S20=10(12+19⋅4)=880S_{20} = 10(12 + 19 \cdot 4) = 880 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ile genel terim formülü arasındaki ilişki.
Soru 1789Soru →
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c sıralaması verilmektedir.
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=316\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{31}{6}
log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac=416\log_b a + \log_c b + \log_a c = \frac{41}{6}
olduğuna göre, log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 17'dir.
Logaritma taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z değişkenleri tanımlanır. Bu değişkenlerin çarpımı 1'dir. Verilen denklem sisteminden bu değişkenlerin kökleri olduğu 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 denklemi kurulur. Kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur. 1<a<b<c1 < a < b < c koşulu altında log⁡ca<1\log_c a < 1 olmalıdır, bu yüzden log⁡ca=16\log_c a = \frac{1}{6} ve dolayısıyla log⁡ac=6\log_a c = 6 olur. log⁡ab\log_a b ise 22 veya 33 olabilir. İstenen log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ifadesi, log⁡ab=2\log_a b = 2 için 88 ve log⁡ab=3\log_a b = 3 için 99 değerini alır. Bu değerlerin toplamı 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yaparak logaritma taban değiştirme kuralını uygulama
log⁡ab=x\log_a b = x, log⁡bc=y\log_b c = y ve log⁡ca=z\log_c a = z olsun. Taban değiştirme kuralı gereğince x⋅y⋅z=log⁡ab⋅log⁡bc⋅log⁡ca=1x \cdot y \cdot z = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1 olur.
Değişkenler arasındaki çarpım ilişkisini sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için bu dönüşüm gereklidir.
2
Verilen denklemleri yeni değişkenler cinsinden ifade etme
x+y+z=316x + y + z = \frac{31}{6} ve 1x+1y+1z=416\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{41}{6} denklemleri elde edilir. İkinci denklemde payda eşitlendiğinde xy+yz+zxxyz=416\frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{41}{6} olur. xyz=1xyz = 1 olduğundan xy+yz+zx=416xy+yz+zx = \frac{41}{6} bulunur.
Bilinmeyenlerin toplamını ve ikişerli çarpımlarının toplam��nı bulmak, kökleri bu bilinmeyenler olan üçüncü dereceden bir denklem oluşturmamızı sağlar.
3
Kökleri xx, yy ve zz olan üçüncü dereceden denklemi kurma ve çözme
t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0  ⟹  t3−316t2+416t−1=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0 \implies t^3 - \frac{31}{6}t^2 + \frac{41}{6}t - 1 = 0 denklemi elde edilir. Denklemi 6 ile çarparsak 6t3−31t2+41t−6=06t^3 - 31t^2 + 41t - 6 = 0 olur. Bu denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla (t−2)(t−3)(6t−1)=0(t-2)(t-3)(6t-1) = 0 elde edilir. Buradan kökler 22, 33 ve 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Bilinmeyenlerin değer kümesini bulabilmek için bu üçüncü dereceden denklemin köklerinin bulunması gerekir.
4
Sıralama koşulunu kullanarak kökleri değişkenlerle eşleştirme
1<a<b<c1 < a < b < c sıralaması verildiğinden, a<b  ⟹  log⁡ab>1a < b \implies \log_a b > 1, b<c  ⟹  log⁡bc>1b < c \implies \log_b c > 1 ve a<c  ⟹  log⁡ca<1a < c \implies \log_c a < 1 (ayrıca pozitif) olmalıdır. Bu durumda 11'den küçük olan tek kök z=log⁡ca=16z = \log_c a = \frac{1}{6} olmalıdır. Buradan log⁡ac=6\log_a c = 6 bulunur. Diğer kökler ise xx ve yy değerleridir: {x,y}={2,3}\{x, y\} = \{2, 3\}.
Soruda verilen büyüklük sıralaması, logaritma fonksiyonunun artan yapısı göz önüne alındığında hangi değişkenin hangi kök değerini alacağını kesinleştirir.
5
log⁡a(b⋅c)\log_a(b \cdot c) ifadesinin alabileceği değerleri hesaplayıp toplama
log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c yazılır. log⁡ac=6\log_a c = 6 ve log⁡ab\log_a b değeri 22 veya 33 olabilir. Birinci durumda log⁡a(b⋅c)=2+6=8\log_a(b \cdot c) = 2 + 6 = 8, ikinci durumda log⁡a(b⋅c)=3+6=9\log_a(b \cdot c) = 3 + 6 = 9 olur. Farklı değerlerin toplamı ise 8+9=178 + 9 = 17 bulunur.
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi toplam şeklinde açtıktan sonra elde edilen iki olası durumu toplarız.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 1790Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S15=390S_{15} = 390
S5=30S_5 = 30

olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ortak farkı 4'tür.
Dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] bağıntısıyla verilir. S5=30S_5 = 30 için 5(a1+2d)=30  ⟹  a1+2d=65(a_1 + 2d) = 30 \implies a_1 + 2d = 6 elde edilir. S15=390S_{15} = 390 için 15(a1+7d)=390  ⟹  a1+7d=2615(a_1 + 7d) = 390 \implies a_1 + 7d = 26 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 5d=205d = 20 bağıntısından ortak fark d=4d = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S5S_5 için yazıp sadeleştirmek
a1+2d=6a_1 + 2d = 6
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilk ilişkiyi elde etmek için.
2
İlk nn terim toplamı formülünü S15S_{15} için yazıp sadeleştirmek
a1+7d=26a_1 + 7d = 26
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ikinci ilişkiyi elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
d=4d = 4
Taraf tarafa çıkarma yöntemiyle a1a_1 terimini yok edip ortak farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü: Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]
Soru 1791Soru →
Kimyada bir sulu çözeltinin pH değeri, çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/L) olmak üzere,
pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+]
formülüyle hesaplanır.
AA, BB ve CC sulu çözeltilerinin hidrojen iyonu derişimleri sırasıyla aa, bb ve cc mol/L'dir. Bu çözeltilerin derişimleri arasında,
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4}
ilişkileri bulunmaktadır.

BB çözeltisinin pH değeri 33 olduğuna göre, AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer 4'tür.
Logaritma özellikleri ve taban değiştirme kuralları yardımıyla çözeltilerin pH değerleri toplamı 6, çarpımı ise 8 olarak bulunur. Bu iki koşulu sağlayan pH değerleri 2 ve 4 olduğundan, alabileceği en büyük değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
B çözeltisinin pH değerini kullanarak log⁡10b\log_{10} b değerini bulunuz.
log⁡10b=−3\log_{10} b = -3
pH tanımı gereği pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+] şeklindedir. BB çözeltisinin pH değeri 3 olarak verildiği için −log⁡10b=3  ⟹  log⁡10b=−3-\log_{10} b = 3 \implies \log_{10} b = -3 elde edilir.
2
İlk denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin toplamını bulunuz.
pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2 ifadesinde 10 tabanına göre taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10alog⁡10b+log⁡10clog⁡10b=2  ⟹  log⁡10a+log⁡10clog⁡10b=2\frac{\log_{10} a}{\log_{10} b} + \frac{\log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 \implies \frac{\log_{10} a + \log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 olur. log⁡10b=−3\log_{10} b = -3 yazıldığında: log⁡10a+log⁡10c=−6\log_{10} a + \log_{10} c = -6 bulunur. pH tanımları gereği (−pHA)+(−pHC)=−6  ⟹  pHA+pHC=6(-\text{pH}_A) + (-\text{pH}_C) = -6 \implies \text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 elde edilir.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin çarpımını bulunuz.
pHA⋅pHC=8\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4} ifadesinde taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10blog⁡10a+log⁡10blog⁡10c=94  ⟹  −3−pHA+−3−pHC=94\frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} + \frac{\log_{10} b}{\log_{10} c} = \frac{9}{4} \implies \frac{-3}{-\text{pH}_A} + \frac{-3}{-\text{pH}_C} = \frac{9}{4} olur. Buradan 3⋅(1pHA+1pHC)=94  ⟹  pHA+pHCpHA⋅pHC=343 \cdot \left(\frac{1}{\text{pH}_A} + \frac{1}{\text{pH}_C}\right) = \frac{9}{4} \implies \frac{\text{pH}_A + \text{pH}_C}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} elde edilir. pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 değeri yerine yazılırsa: 6pHA⋅pHC=34  ⟹  pHA⋅pHC=8\frac{6}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} \implies \text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8 bulunur.
4
Elde edilen toplam ve çarpım değerlerinden AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
4
Toplamları 6, çarpımları 8 olan sayılar t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0 denkleminin kökleridir. Bu kökler çözüldüğünde (t−2)(t−4)=0  ⟹  t=2(t-2)(t-4) = 0 \implies t = 2 ve t=4t = 4 bulunur. Dolayısıyla pH değerleri 2 ve 4'tür. En büyük değer istendiğinden cevap 4 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma tanımı
Soru 1792Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+(−1)n⋅na_{n+1} = a_n + (-1)^n \cdot n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 50. terimi olan a50a_{50} kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

-20
Verilen indirgeme bağıntısında terimler yalnız bırakılıp taraf tarafa toplandığında a50−a1=−25a_{50} - a_1 = -25 eşitliği elde edilir. Burada ilk terim olan 55 değeri yerine yazıldığında a50=−20a_{50} = -20 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını ardışık terimlerin farkı şeklinde yazın.
an+1−an=(−1)n⋅na_{n+1} - a_n = (-1)^n \cdot n
Teleskobik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimleri bir tarafa toplarız.
2
nn değişkenine 1'den 49'a kadar olan tam sayı değerlerini sırayla vererek denklemleri yazın.
n=1  ⟹  a2−a1=−1n=1 \implies a_2 - a_1 = -1
n=2  ⟹  a3−a2=2n=2 \implies a_3 - a_2 = 2
n=3  ⟹  a4−a3=−3n=3 \implies a_4 - a_3 = -3
n=4  ⟹  a5−a4=4n=4 \implies a_5 - a_4 = 4
...
n=49  ⟹  a50−a49=−49n=49 \implies a_{50} - a_{49} = -49
a50a_{50} terimine ulaşmak için nn'in sınır değerlerini belirleriz.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayın.
a50−a1=−1+2−3+4−5+6−⋯−49a_{50} - a_1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 49
Sol taraftaki ara terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca a50a_{50} ve a1a_1 kalır.
4
Sağ taraftaki ardışık terimleri ikişerli gruplayarak toplamı hesaplayın.
(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−47+48)−49=24⋅1−49=−25(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-47 + 48) - 49 = 24 \cdot 1 - 49 = -25
Toplamda 1'den 48'e kadar olan sayılardan oluşan 24 adet grup vardır ve her grubun toplamı 1'dir. Sondaki -49 terimi gruptan hariç tutulur.
5
a1=5a_1 = 5 değerini yerine yazarak a50a_{50} değerini bulun.
a50−5=−25  ⟹  a50=−20a_{50} - 5 = -25 \implies a_{50} = -20
Bulunan fark değerine ilk terim eklenerek hedef terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terim farklarının teleskobik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin değerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terimini tek ve çift indisler için ayrı ayrı formülize ederek de sonuca ulaşabiliriz. nn tek sayı iken ana_n terimleri ile nn çift sayı iken ana_n terimleri arasındaki örüntü incelendiğinde, çift indisler için a2k=5−ka_{2k} = 5 - k genel terimi elde edilir. a50a_{50} için 2k=50  ⟹  k=252k = 50 \implies k = 25 yazılırsa, a50=5−25=−20a_{50} = 5 - 25 = -20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1793Soru →

Her xx gerçel sayısı için bir ff fonksiyonu,

* x<2x < 2 ise f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1
* x≥2x \geq 2 ise f(x)=2x+kf(x) = 2x + k

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→1f(x+1)\lim_{x \to 1} f(x + 1)

limitinin bir gerçel sayı değeri olduğu bilindiğine göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması için fonksiyonun limit noktasındaki sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan k değeri 3 olarak bulunur.
Limit değişkeni olan x değeri bir sayısına yaklaşırken, fonksiyonun içerisindeki x + 1 ifadesi iki değerine yaklaşır. Dolayısıyla soruda verilen limit aslında fonksiyonun iki noktasındaki limitidir. Bu limitin var olması için fonksiyonun iki noktasındaki sağ ve sol limitlerinin eşit olması gerekir. İki noktasındaki sol limit yedi, sağ limit ise dört artı k değerini alır. Bu değerler eşitlendiğinde k sayısı üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin yaklaşım noktasını belirleme
x→1x \to 1 iken x+1→2x + 1 \to 2 olur.
Fonksiyonun limitini hesaplamak için limit değişkeni yerine yazılıp yaklaşım noktası belirlenir.
2
Sağdan ve soldan limitleri yazma
Sol limit: lim⁡t→2−f(t)=3(2)+1=7\lim_{t \to 2^-} f(t) = 3(2) + 1 = 7. Sağ limit: lim⁡t→2+f(t)=2(2)+k=4+k\lim_{t \to 2^+} f(t) = 2(2) + k = 4 + k.
Bir noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı hesaplanması gerekir.
3
Sağ ve sol limit değerlerini eşitleme
7 = 4 + k denkleminden k = 3 elde edilir.
Limitin var olabilmesi için sağ ve sol limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1794Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu üçgende,

a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=8a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8

ve

sin⁡C=08\sin C = 0{}8

olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 5 birimdir.
Üçgende kenar uzunlukları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki incelendiğinde, acos⁡B+bcos⁡A=ca \cos B + b \cos A = c bağıntısı elde edilir. Buradan c=8c = 8 bulunur. Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R olduğundan, 808=2R  ⟹  2R=10\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 2R = 10 ve yarıçap R=5R = 5 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenar projeksiyon ilişkisini kullanarak cc kenarının uzunluğunu belirleyelim.
c=8c = 8 birimdir.
Herhangi bir üçgende a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=ca \cdot \cos B + b \cdot \cos A = c eşitliği geçerlidir. Bu durum sinüs teoremi ve sinüs toplam formülü yardımıyla da 2R(sin⁡Acos⁡B+sin⁡Bcos⁡A)=2Rsin⁡(A+B)=2Rsin⁡C=c2R(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = 2R \sin(A+B) = 2R \sin C = c şeklinde ispatlanabilir.
2
Sinüs teoremini kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayalım.
R=5R = 5 birimdir.
Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda 808=2R  ⟹  10=2R  ⟹  R=5\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 10 = 2R \implies R = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Kenar-Açı İlişkileri
Soru 1795Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk 1010 teriminin toplamı 2525, ilk 2525 teriminin toplamı ise 1010 değerine eşittir.

Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk 3535 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -35

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk 35 teriminin toplamı -35'tir.
Verilen ilk 10 terim toplamı ve ilk 25 terim toplamı denklemlerinden elde edilen ilk terim ve ortak fark değerleri aritmetik dizi toplam formülünde yerine konulduğunda ilk 35 terim toplamı -35 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp verilen değerleri yerine koyalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülünden; S10=5(2a1+9d)=25  ⟹  2a1+9d=5S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 25 \implies 2a_1 + 9d = 5 ve S25=252(2a1+24d)=10  ⟹  2a1+24d=45S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + 24d) = 10 \implies 2a_1 + 24d = \frac{4}{5} elde edilir.
Dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri veren iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek dizinin ortak farkını (dd) ve ilk teriminin iki katını (2a12a_1) bulalım.
(2a1+24d)−(2a1+9d)=45−5  ⟹  15d=−215  ⟹  d=−725(2a_1 + 24d) - (2a_1 + 9d) = \frac{4}{5} - 5 \implies 15d = -\frac{21}{5} \implies d = -\frac{7}{25} olur. Buradan 2a1=5−9(−725)=188252a_1 = 5 - 9\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{188}{25} bulunur.
İlk 35 terimin toplamını hesaplamak için gerekli olan 2a12a_1 ve dd değerlerini belirlemek amacıyla.
3
İlk 35 terimin toplamını (S35S_{35}) hesaplayalım.
S35=352[2a1+34d]=352[18825+34(−725)]=352[188−23825]=352[−5025]=−35S_{35} = \frac{35}{2} [2a_1 + 34d] = \frac{35}{2} \left[\frac{188}{25} + 34\left(-\frac{7}{25}\right)\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{188 - 238}{25}\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{-50}{25}\right] = -35 bulunur.
İstenen toplam değerini doğrudan formül yardımıyla elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Alternatif Yöntem

Bir aritmetik dizide ilk mm terim toplamı Sm=kS_m = k ve ilk kk terim toplamı Sk=mS_k = m (m≠km \neq k) ise ilk m+km+k terim toplamı Sm+k=−(m+k)S_{m+k} = -(m+k) olur. Soruda m=10m = 10 ve k=25k = 25 alındığında S35=−(10+25)=−35S_{35} = -(10 + 25) = -35 doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1796Soru →
Her xx gerçel sayısı için
x2−(a−3)x+a>0x^2 - (a-3)x + a > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanmasını sağlayan aa tam sayılarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olabilmesi için ifadenin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Buradan elde edilen a2−10a+9<0a^2 - 10a + 9 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi 1<a<91 < a < 9 açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan aa tam sayıları 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 35 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşullarını belirleme.
Baş katsayının pozitif olması (1>01 > 0) ve diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir (Δ<0\Delta < 0).
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) her zaman pozitif değerler alması, grafiğin xx eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması ile mümkündür.
2
Eşitsizlik için diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplama.
Δ=a2−10a+9\Delta = a^2 - 10a + 9 ifadesi elde edilir.
Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC formülünde A=1A = 1, B=−(a−3)B = -(a-3) ve C=aC = a değerleri yerine koyulur.
3
Δ<0\Delta < 0 koşulundan elde edilen eşitsizliği çarpanlarına ayırıp kökleri bulma.
(a−1)(a−9)<0(a-1)(a-9) < 0 eşitsizliğinin kökleri a=1a = 1 ve a=9a = 9 olarak bulunur.
Kökleri bulmak işaret inceleme tablosunun oluşturulması için gereklidir.
4
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme ve aa tam sayılarının toplamını hesaplama.
Çözüm aralığı 1<a<91 < a < 9 olup, bu aralıktaki aa tam sayı değerlerinin toplamı 2+3+4+5+6+7+8=352 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 bulunur.
Kökler dahil edilmeden (11 ve 99 hariç) açık aralıktaki tam sayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin daima pozitif olma koşulu (işaret analizi)
Soru 1797Soru →

İslam kelamcılarına göre bilgi, imanın ön şartı ve zeminidir; çünkü kişi bilmediği bir şeye inanamaz. Ancak bilgi imanın kendisi değildir. Örneğin, Şeytan Allah'ın varlığını ve birliğini bilmektedir fakat iman dairesinin dışında kalmıştır. Aynı şekilde İslam'ın tebliğ edildiği dönemde Mekkeli müşriklerin bir kısmı Hz. Peygamber'in dürüstlüğünü ve getirdiği mesajın doğruluğunu bilmelerine rağmen inat ve kibirleri sebebiyle inanmamışlardır.

Bu parçada iman ve bilgi ilişkisine dair anlatılanlardan hareketle aşağıdaki yargılardan hangisine ulaşılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İman, salt bir bilgi birikiminden ibaret olmayıp, bilginin kalp ile onaylanması (tasdik) ve iradi bir teslimiyete dönüşmesiyle gerçekleşir.

Cevap

İman, salt bir bilgi birikiminden ibaret olmayıp, bilginin kalp ile onaylanması (tasdik) ve iradi bir teslimiyete dönüşmesiyle gerçekleşir.
İman ve bilgi arasındaki temel fark, imanın sadece bilmekten ibaret olmamasıdır. Metinde de belirtildiği üzere, Şeytan veya Mekkeli müşriklerin bazıları gerçeği bildikleri hâlde iman etmemişlerdir. Bu da imanın gerçekleşmesi için bilginin kalp ile tasdik edilerek onaylanması ve iradi olarak teslimiyet gösterilmesi gerektiğini ortaya koyar.

Adım Adım Çözüm

1
Parçayı analiz ederek iman ve bilgi ilişkisindeki temel ayrımı belirlemek.
Bilginin iman için zemin hazırladığı ancak bilmenin tek başına iman anlamına gelmediği, şeytan ve müşrikler örneğiyle saptanmıştır.
İmanın gerçekleşmesi için gerekli olan temel unsurun ne olduğunu bulmak amacıyla metindeki örneklerin ortak noktasını yakalamak gerekir.
2
Seçenekleri analiz ederek kalbin tasdiki ve iradi teslimiyet kavramlarını içeren doğru yargıyı seçmek.
İmanın sadece zihinsel bir bilgi (marifet) değil, kalbi onay (tasdik) ve boyun eğme gerektirdiğini belirten seçeneğin doğru olduğu sonucuna ulaşılır.
İmanın İslam kelamındaki terimsel karşılıkları (tasdik, ikrar, marifet) ile metindeki ana düşünceyi birleştirmek.

Anahtar Kavram

İman ve bilgi ilişkisinde kalbi tasdik ve teslimiyetin önemi.
Soru 1798Soru →
cos⁡(2x)−3sin⁡(2x)=1\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π3\frac{5\pi}{3}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı olan 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Verilen denklem, her iki tarafı 22'ye bölünerek kosinüsün toplam formülü yardımıyla cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} haline getirilir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının alabileceği ve kosinüsü 12\frac{1}{2} olan değerler π3\frac{\pi}{3}, 5π3\frac{5\pi}{3} ve 7π3\frac{7\pi}{3} olarak bulunur. Buradan xx değerleri sırasıyla 00, 2π3\frac{2\pi}{3} ve π\pi elde edilir. Bu köklerin toplamı ise 5π3\frac{5\pi}{3} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafı 22'ye bölünerek acos⁡(u)+bsin⁡(u)=ca\cos(u) + b\sin(u) = c biçimine getirilir.
12cos⁡(2x)−32sin⁡(2x)=12\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıları bilinen trigonometrik değerlerle eşleştirmek gerekir.
2
cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} ve sin⁡(π3)=32\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri denklemde yerine yazılarak kosinüs toplam formülü uygulanır.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)−sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \implies \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının değer aralığı belirlenir.
2x+π3∈[π3,7π3]2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]
Belirtilen sınırlardaki köklerin doğru tespit edilebilmesi için açı aralığının güncellenmesi gerekir.
4
Kosinüsü 12\frac{1}{2} olan ve belirlenen aralıkta yer alan açılar bulunarak xx değerleri çekilir.
2x+π3=π3  ⟹  x=02x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies x = 0
2x+π3=5π3  ⟹  x=2π32x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}
2x+π3=7π3  ⟹  x=π2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \implies x = \pi
Trigonometrik denklemin çözüm kümesindeki elemanları tespit etmek.
5
Elde edilen farklı kökler toplanır.
0+2π3+π=5π30 + \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Toplam-Fark Formülleri ile Çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem cos⁡(2x)−1=3sin⁡(2x)\cos(2x) - 1 = \sqrt{3}\sin(2x) şeklinde düzenlenip her iki tarafın karesi alınarak da çözülebilir. Ancak kare alma işlemi yalancı kökler üretebileceğinden, bulunan değerlerin orijinal denklemde sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1799Soru →

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için

an=cos⁡2(nπ2)+a⋅sin⁡2(nπ4)+b⋅(−1)na_n = \cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) + a \cdot \sin^2\left(\frac{n\pi}{4}\right) + b \cdot (-1)^n
bn=c⋅n+62n−db_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d}

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −232-\frac{23}{2}

Cevap

−232-\frac{23}{2}
Seçenekler arasında yer alan −232-\frac{23}{2} değeri doğrudur. Çünkü (an)(a_n) dizisinin her n≥1n \ge 1 için sabit kalmasını sağlayan yegane değerler a=0a = 0 ve b=−1/2b = -1/2'dir. Bu durumda dizi an=1/2a_n = 1/2 sabit dizisine dönüşür. (bn)(b_n) dizisinin bu diziye eşit olabilmesi için her n≥1n \ge 1 için bn=1/2b_n = 1/2 olmalıdır. Bu koşuldan c=1c = 1 ve d=−12d = -12 bulunur. Parametrelerin toplamı da −232-\frac{23}{2} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
(an)(a_n) dizisinin terimlerini nn değerlerine göre analiz edelim.
n=1n=1 için: a1=cos⁡2(π/2)+asin⁡2(π/4)−b=a2−ba_1 = \cos^2(\pi/2) + a \sin^2(\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=2n=2 için: a2=cos⁡2(π)+asin⁡2(π/2)+b=1+a+ba_2 = \cos^2(\pi) + a \sin^2(\pi/2) + b = 1 + a + b
n=3n=3 için: a3=cos⁡2(3π/2)+asin⁡2(3π/4)−b=a2−ba_3 = \cos^2(3\pi/2) + a \sin^2(3\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=4n=4 için: a4=cos⁡2(2π)+asin⁡2(π)+b=1+ba_4 = \cos^2(2\pi) + a \sin^2(\pi) + b = 1 + b
Dizinin sabit dizi olabilmesi için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu nedenle ilk birkaç terimi hesaplayarak parametreler arasındaki ilişkileri bulmalıyız.
2
Elde edilen terimlerin eşitliğini kullanarak aa ve bb değerlerini çözelim.
a2=a4  ⟹  1+a+b=1+b  ⟹  a=0a_2 = a_4 \implies 1 + a + b = 1 + b \implies a = 0
a1=a4  ⟹  a2−b=1+b  ⟹  0−b=1+b  ⟹  2b=−1  ⟹  b=−12a_1 = a_4 \implies \frac{a}{2} - b = 1 + b \implies 0 - b = 1 + b \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}
Sabit dizi tanımı gereği a1=a2=a3=a4a_1 = a_2 = a_3 = a_4 olmalıdır. Bu denklemler çözüldüğünde tek bir (a,b)(a, b) ikilisi elde edilir.
3
(an)(a_n) dizisinin sabit değerini belirleyelim.
an=12a_n = \frac{1}{2} (her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için)
Bulunan a=0a=0 ve b=−1/2b=-1/2 değerleri yerine yazıldığında, dizinin tüm terimlerinin 1/21/2 olduğu g��rülür.
4
(bn)(b_n) dizisinin de sabit değeri 1/21/2 olan bir dizi olması gerektiğini kullanarak cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
bn=c⋅n+62n−d=12  ⟹  2cn+12=2n−d  ⟹  c=1b_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d} = \frac{1}{2} \implies 2cn + 12 = 2n - d \implies c = 1 ve d=−12d = -12
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin eşit olabilmesi için bnb_n dizisinin de her n≥1n \ge 1 için 1/21/2 değerine eşit olması gerekir. Buradan katsayılar eşitlenir.
5
Bulunan tüm parametrelerin toplamını hesaplayalım.
a+b+c+d=0+(−12)+1+(−12)=−232a + b + c + d = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + (-12) = -\frac{23}{2}
Soru kökünde istenen a+b+c+da+b+c+d toplamını bulmak için elde edilen değerleri toplarız.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde tüm terimler birbirine eşittir ve eşit dizilerin her n≥1n \ge 1 indisi için genel terimleri aynı sonucu vermelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1800Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolü ile x=−yx = -y doğrusu arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Buna göre, bu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 92\frac{9}{2} birimkaredir.
Doğru cevap olan 92\frac{9}{2} değeri, x=−yx = -y doğrusu ile x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolünün kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=3y = 3 sınırları arasında, sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılmasıyla elde edilen belirli integralin hesaplanmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−4y=−y  ⟹  y2−3y=0  ⟹  y(y−3)=0y^2 - 4y = -y \implies y^2 - 3y = 0 \implies y(y-3) = 0 denkleminden kesişim noktalarının ordinatları y=0y = 0 ve y=3y = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan alanı hesaplamak için entegrasyon sınırlarının belirlenmesi gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi eğrinin daha sağda (büyük x değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığı için bir test değeri seçildiğinde (örneğin y=1y = 1), doğrunun değeri x=−1x = -1, parabolün değeri ise x=−3x = -3 olur. −1>−3-1 > -3 olduğundan bu aralıkta x=−yx = -y doğrusu daha sağdadır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integralin pozitif çıkması için sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyon çıkarılmalıdır.
3
Alan integralini kurun ve belirli integrali hesaplayın.
A=∫03(−y−(y2−4y))dy=∫03(3y−y2)dyA = \int_{0}^{3} \left( -y - (y^2 - 4y) \right) dy = \int_{0}^{3} (3y - y^2) dy integralinin sonucu [3y22−y33]03=(272−9)−0=92\left[ \frac{3y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyonun çıkarılmasıyla elde edilen farkın belirli integralidir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y ekseni boyunca entegre edilerek hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 90 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin