Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1981Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Anahtar Kavram

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Soru 1982Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 olmak üzere,
lim⁡x→1x2⋅f(1)−f(x2)x−1=6 \lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Türevlenebilir ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri −1-1 olarak bulunur.
Verilen limit ifadesi cebirsel olarak düzenlendiğinde türevin limit tanımı yardımıyla 2f(1)−2f′(1)=62f(1) - 2f'(1) = 6 eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte f(1)=2f(1) = 2 değeri yerine yazıldığında f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadesinin pay kısmına f(1)f(1) terimini ekleyip çıkararak ifadeyi düzenleyelim.
lim⁡x→1x2⋅f(1)−f(1)+f(1)−f(x2)x−1=6\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6
Türevin limit tanımını kullanabilmek için f(u)−f(1)f(u) - f(1) benzeri ifadeler elde etmeyi amaçlıyoruz.
2
Payı gruplandırarak limit ifadesini iki ayrı limitin farkı şeklinde ayıralım.
lim⁡x→1[f(1)⋅x2−1x−1−f(x2)−f(1)x−1]=6\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right] = 6
Limiti daha kolay hesaplanabilir iki bağımsız parçaya bölmek için.
3
Birinci terimde x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) özdeşliğini kullanarak sadeleştirme yapalım; ikinci terimde ise pay ve paydayı x+1x+1 ile çarparak türevin tanım formatını oluşturalım.
lim⁡x→1[f(1)⋅(x+1)−f(x2)−f(1)x2−1⋅(x+1)]=6\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot (x + 1) - \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = 6
x→1x \to 1 iken x2→1x^2 \to 1 olduğundan, ikinci limit parçasında türev tanımını uygulayabilmek için.
4
x→1x \to 1 için limitleri alalım ve verilen f(1)=2f(1) = 2 değerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f(1)⋅2−f′(1)⋅2=6  ⟹  2(2)−2f′(1)=6  ⟹  4−2f′(1)=6  ⟹  f′(1)=−1f(1) \cdot 2 - f'(1) \cdot 2 = 6 \implies 2(2) - 2f'(1) = 6 \implies 4 - 2f'(1) = 6 \implies f'(1) = -1
Denklemi çözüp istenen türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve limitin cebirsel özellikleri
Soru 1983Soru →
f(x)=lim⁡n→∞x2n+1+ax2+bx+cx2n+1f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^2 + bx + c}{x^{2n} + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5

olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Bulunan parametre değerleri a=−3a = -3, b=1b = 1 ve c=3c = 3 olup, bunların kareleri toplamı olan a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 sayısıdır.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için x=1x=1 ve x=−1x=-1 kritik noktalarında limitlerinin var ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bu şartlar sağlandığında parametreler a=−3a=-3, b=1b=1, c=3c=3 olarak bulunur ve karelerinin toplamı 19 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun farklı aralıklardaki limit davranışını analiz etme.
∣x∣>1|x| > 1 için f(x)=xf(x) = x ve ∣x∣<1|x| < 1 için f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c elde edilir.
n→∞n \to \infty iken, ∣x∣<1|x| < 1 durumunda x2n→0x^{2n} \to 0 olur; ∣x∣>1|x| > 1 durumunda ise x2n→∞x^{2n} \to \infty olduğundan pay ve payda x2nx^{2n} ifadesine bölünerek limit hesaplanır.
2
f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5 eşitliğini kullanarak cc değerini bulma.
c=3c = 3 olarak bulunur.
2∈(1,∞)2 \in (1, \infty) olduğundan f(2)=2f(2) = 2 olur. 0∈(−1,1)0 \in (-1, 1) olduğundan f(0)=cf(0) = c olur. 2+c=5  ⟹  c=32 + c = 5 \implies c = 3 elde edilir.
3
x=1x = 1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a+b+c=1a + b + c = 1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=1x = 1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→1+f(x)=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1) ile sol limit (lim⁡x→1−f(x)=a+b+c\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+b+c) eşit olmalıdır.
4
x=−1x = -1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a−b+c=−1a - b + c = -1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=−1x = -1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→−1+f(x)=a−b+c\lim_{x \to -1^+} f(x) = a-b+c) ile sol limit (lim⁡x→−1−f(x)=−1\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1) eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemini çözme ve kareler toplamını hesaplama.
a=−3a = -3, b=1b = 1 ve a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 bulunur.
a+b+c=1a+b+c=1 ve a−b+c=−1a-b+c=-1 denklemlerinden 2b=2  ⟹  b=12b=2 \implies b=1 bulunur. c=3c=3 yerine yaz��ldığında a=−3a = -3 elde edilir. Buradan kareler toplamı (−3)2+12+32=19(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 19 olur.

Anahtar Kavram

Limit yardımıyla tanımlanan fonksiyonların sürekliliği ve kritik noktalarda süreklilik şartı.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1984Soru →
f(x)=x2−25x−5f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5} fonksiyonu x=5x = 5 noktasında süreklidir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımlı olmadığından bu noktada sürekli değildir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması gerekir. Fonksiyonun paydası x=5x = 5 için sıfır olduğundan fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve dolayısıyla sürekli olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
x=5x = 5 noktasında fonksiyonun tanımlı olup olmadığını kontrol edin.
f(5)=52−255−5=00f(5) = \frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{0}{0} ifadesi elde edilir. Payda sıfır olduğundan fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımsızdır.
Süreklilik tanımına göre bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması şarttır.
2
Bulunan tanım durumuna göre sürekliliği değerlendirin.
Fonksiyon x=5x = 5 noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada sürekli olması mümkün değildir.
Bir noktada tanımlı olmayan bir fonksiyonun sürekliliğinden bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve bu limit değerinin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için bu noktalarda süreklilik sağlanamaz.
Soru 1985Soru →

Tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(2)=3g(2) = 3
g′(2)=−2g'(2) = -2
f′(3)=4f'(3) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.
h(x)=f(g(x2+1))h(x) = f(g(x^2 + 1))

olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

Türev değerleri ve zincir kuralı uygulandığında elde edilen sonuç -16'dır.
Verilen h(x)=f(g(x2+1))h(x) = f(g(x^2 + 1)) fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla h′(x)=f′(g(x2+1))⋅g′(x2+1)⋅2xh'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x olarak bulunur. Burada x=1x = 1 yazıldığında h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir. Verilen değerler (g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=−2g'(2) = -2, f′(3)=4f'(3) = 4) yerine yerleştirildiğinde h′(1)=4⋅(−2)⋅2=−16h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) uygulayarak h′(x)h'(x) ifadesini bulun.
h′(x)=f′(g(x2+1))⋅g′(x2+1)⋅2xh'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştan içe doğru türev alınır ve her bir iç fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.
2
x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazın.
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir.
İstenen h′(1)h'(1) değerini hesaplamak için türev fonksiyonunda bağımsız değişken yerine 11 yazılmalıdır.
3
Verilen g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=−2g'(2) = -2 ve f′(3)=4f'(3) = 4 değerlerini yerine koyarak sonucu hesaplayın.
h′(1)=4⋅(−2)⋅2=−16h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16 bulunur.
Bilinen fonksiyon ve türev değerleri yerlerine yazıldıktan sonra çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonların türevleri dıştaki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Soru 1986Soru →

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x3−ax2−4x+4ax2−(a+2)x+2a,x<2b,x=26x2+5−18x−2,x>2f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - ax^2 - 4x + 4a}{x^2 - (a+2)x + 2a}, & x < 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{6\sqrt{x^2 + 5} - 18}{x - 2}, & x > 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,∞)[2, \infty)

Cevap

[2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Doğru cevap [2,∞)[2, \infty) aralığıdır. Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sol kısımdaki rasyonel ifadenin paydası x=2x = 2 ve x=ax = a noktalarında sıfır olmaktadır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığına dahil olmadığından tanımsızlık yaratmaz. Ancak x=ax = a kökü eğer 22'den küçük olursa (a<2a < 2), bu nokta tanım kümesinde yer alacak ve fonksiyon o noktada tanımsız (dolayısıyla süreksiz) olacaktır. Sadeleştirme yapılabilmesi limitin var olmasını sağlasa da, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz. Bu nedenle aa parametresi 22'den küçük olamaz, yani a≥2a \ge 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki süreklilik şartını inceleyelim.
Sağ limit lim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 ve sol limit lim⁡x→2−f(x)=4\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 olmalıdır. Buradan f(2)=b=4f(2) = b = 4 elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
x<2x < 2 için tanımlı rasyonel ifadenin pay ve paydasını çarpanlarına ayıralım.
Pay: x3−ax2−4x+4a=(x−2)(x+2)(x−a)x^3 - ax^2 - 4x + 4a = (x-2)(x+2)(x-a), Payda: x2−(a+2)x+2a=(x−2)(x−a)x^2 - (a+2)x + 2a = (x-2)(x-a) olarak bulunur.
Süreksizlik yaratabilecek noktaları belirlemek amacıyla rasyonel ifadenin köklerini bulmamız gerekir.
3
Çarpanlarına ayrılmış rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerleri bulalım ve süreklilik şartıyla ilişkilendirelim.
Paydanın kökleri x=2x = 2 ve x=ax = a'dır. x=2x = 2 noktası x<2x < 2 aralığında yer almadığı için bu aralıkta süreksizlik yaratmaz. Ancak x=ax = a noktası eğer x<2x < 2 aralığında olursa (a<2a < 2), fonksiyon bu noktada tanımlı olmayacağından süreksiz olur.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olabilmesi için, x<2x < 2 aralığında paydayı sıfır yapan herhangi bir değer bulunmamalıdır. Sadeleşen çarpanlar limit varlığını sağlasa da fonksiyonun tanımlı olmasını engeller.
4
Bu koşul altında aa parametresinin alabileceği değerler kümesini belirleyelim.
a≥2a \ge 2 olmalıdır. Böylece en geniş değer aralığı [2,∞)[2, \infty) olarak bulunur.
Eğer a≥2a \ge 2 ise, paydanın x=ax = a kökü x<2x < 2 aralığına düşmez ve bu aralıkta süreksizlik noktası oluşmaz.

Anahtar Kavram

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, x<2x < 2 aralığında yer alan rasyonel ifadenin payda köklerinin kümesi olan {2,a}\{2, a\} incelendiğinde, x=2x = 2 kökünün bu aralıkta olmadığı görülür. Diğer kök olan x=ax = a ise ancak a≥2a \ge 2 koşulunu sağladığında x<2x < 2 aralığının dışına düşer ve bu aralıkta bir süreksizlik noktası oluşturmaz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1987Soru →

Aşağıdaki tabloda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonlarının ve bu fonksiyonların türevlerinin bazı xx değerleri için tanımlanmış değerleri verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
2244331155
3322−4-422−3-3

Buna göre, h(x)=f(g(2x−5))h(x) = f(g(2x - 5)) biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(4)h'(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -18

Cevap

Doğru cevap -18 değeridir.
Zincir kuralı doğru uygulanarak h′(x)=f′(g(2x−5))⋅g′(2x−5)⋅2h'(x) = f'(g(2x-5)) \cdot g'(2x-5) \cdot 2 türevi elde edilir. x=4x=4 için tablodaki g(3)=2g(3)=2, g′(3)=−3g'(3)=-3 ve f′(2)=3f'(2)=3 değerleri yerine yazıldığında 3⋅(−3)⋅2=−183 \cdot (-3) \cdot 2 = -18 değeri bulunur. Bu nedenle doğru cevap -18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(g(2x−5))h(x) = f(g(2x - 5)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
h′(x)=f′(g(2x−5))⋅g′(2x−5)⋅2h'(x) = f'(g(2x - 5)) \cdot g'(2x - 5) \cdot 2 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan alınır, ardından içinin türeviyle çarpılır. Bu işlem en içteki lineer ifadeye kadar zincirleme devam eder.
2
Türev ifadesinde x=4x = 4 değerini yerine yazınız.
h′(4)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅2h'(4) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 2 elde edilir.
h′(4)h'(4) değerini bulmak için tüm xx değişkenlerinin yerine 44 yazılması gerekir.
3
Tablodaki değerleri kullanarak g(3)g(3) ve g′(3)g'(3) değerlerini bulunuz ve yerine yazınız.
g(3)=2g(3) = 2 ve g′(3)=−3g'(3) = -3 olduğundan h′(4)=f′(2)⋅(−3)⋅2h'(4) = f'(2) \cdot (-3) \cdot 2 olur.
Bileşke türevini hesaplamak için önce en içteki fonksiyonun ve türevinin verilen noktadaki değerleri tablodan okunmalıdır.
4
Tablodan f′(2)f'(2) değerini bulunuz ve nihai çarpma işlemini gerçekleştiriniz.
f′(2)=3f'(2) = 3 olduğundan h′(4)=3⋅(−3)⋅2=−18h'(4) = 3 \cdot (-3) \cdot 2 = -18 olarak hesaplanır.
Dıştaki fonksiyonun türev değeri de tablodan okunarak tüm çarpanlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1988Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=x−1+9x−1f(x) = x - 1 + \frac{9}{x - 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Verilen fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x = -2 ve x = 4 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu apsislerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=1−9(x−1)2=(x−1)2−9(x−1)2f'(x) = 1 - \frac{9}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2}
Yerel ekstremum noktaları, türevin işaret değiştirdiği kritik noktalarda bulunur.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (payın kökleri) belirlenir.
(x−1)2−9=0⇒(x−1)2=9⇒x−1=3 veya x−1=−3⇒x=4 ve x=−2(x-1)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 9 \Rightarrow x-1 = 3 \text{ veya } x-1 = -3 \Rightarrow x = 4 \text{ ve } x = -2
Türevin payını sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin paydasının kökü incelenir.
(x−1)2=0⇒x=1(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök ve tanımsızlık noktası)
Fonksiyon x = 1 noktasında tanımlı değildir, ayrıca bu nokta türevin çift katlı kökü olduğu için türevin işareti bu noktada değişmez.
4
Türevin işaret tablosu yapılarak ekstremum noktaları belirlenir.
x < -2 için f'(x) > 0 (artan), -2 < x < 1 için f'(x) < 0 (azalan), 1 < x < 4 için f'(x) < 0 (azalan), x > 4 için f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x = -2 noktasında yerel maksimum ve x = 4 noktasında yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin değiştiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
5
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−2+4=2-2 + 4 = 2
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının bulunması için birinci türevin işaret tablosunun incelenmesi gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
Soru 1989Soru →
Türevi tüm gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olan bir ff fonksiyonunun birinci türevi f′f' ile ifade edilmektedir. x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} olmak üzere,
f′(x)=2x3+x2−2x−1x2−1f'(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^2 - 1}
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Fonksiyonun integral sabitiyle beraber doğru ifadesi f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 olup, buradan f(0)=−1f(0) = -1 elde edilir.
Doğru cevap olan -1 değeri, integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi olan f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C bulunduktan sonra f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulundan C=−1C = -1 sabiti elde edilerek bulunur. Buradan f(0)=−1f(0) = -1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.
x≠±1x \neq \pm 1 için f′(x)=(x2−1)(2x+1)x2−1=2x+1f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x + 1)}{x^2 - 1} = 2x + 1 elde edilir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralını bulmak.
f(x)=∫(2x+1) dx=x2+x+Cf(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C elde edilir.
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral kuralları uygulanır.
3
Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi hesaplamak.
22+2+C=5  ⟹  6+C=5  ⟹  C=−12^2 + 2 + C = 5 \implies 6 + C = 5 \implies C = -1 bulunur.
Belirsiz integraldeki sabit sayıyı tek bir fonksiyona indirgemek için sınır koşulu kullanılır.
4
Bulunan f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 kuralında x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini bulmak.
f(0)=02+0−1=−1f(0) = 0^2 + 0 - 1 = -1 elde edilir.
Soru bizden f(0)f(0) değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması.
Soru 1990Soru →

f(x)=(2x−3)4f(x) = (2x - 3)^4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Fonksiyonun türevi zincir kuralı yardımıyla f′(x)=4(2x−3)3⋅2=8(2x−3)3f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3 olarak bulunur. Burada x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında doğru sonuç olan 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış fonksiyonun türevi alınır.
4(2x−3)34(2x - 3)^3
Üs başa çarpım olarak gelir ve üs 1 azaltılır.
2
İç fonksiyonun türevi alınır ve dış türev ile çarpılır (Zincir Kuralı).
f′(x)=4(2x−3)3⋅2=8(2x−3)3f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2 = 8(2x - 3)^3
Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki türev ile içinin türevi çarpılmalıdır.
3
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır.
f′(2)=8(2⋅2−3)3=8(1)3=8f'(2) = 8(2 \cdot 2 - 3)^3 = 8(1)^3 = 8
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) ve temel türev alma kuralları.
Tahmini Süre:45s
Soru 1991Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonu yalnızca [x1,x2][x_1, x_2] kapalı aralı��ında azalandır.

x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a gerçek sayısı 15'tir.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğu için fonksiyon yalnızca kökler arasında azalandır. Kökler toplamı ve farkı ortak çözülerek kökler 1 ve 5 olarak bulunur. Bu kökler türev denklemini sağlayacağından x = 1 için türev sıfıra eşitlenerek a = 15 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12 fonksiyonunun türevini alırız.
f′(x)=3x2−18x+af'(x) = 3x^2 - 18x + a
Bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarını belirlemek için fonksiyonun birinci türevi incelenmelidir.
2
Fonksiyonun azalan olduğu aralık ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurarız.
x1x_1 ve x2x_2 değerleri 3x2−18x+a=03x^2 - 18x + a = 0 denkleminin kökleridir. Kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olur.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, türev kökler arasında negatif değerler alır ve fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile hesaplanır.
3
Kökler toplamı ve verilen kökler farkı bilgisini ortak çözerek kökleri elde ederiz.
x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x2=10  ⟹  x2=52x_2 = 10 \implies x_2 = 5 ve buradan x1=1x_1 = 1 bulunur.
4
x1=1x_1 = 1 kökünü türev fonksiyonunda yerine yazarak a değerini buluruz.
f′(1)=3(1)2−18(1)+a=0  ⟹  a=15f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + a = 0 \implies a = 15
Kökler, türev fonksiyonunu sıfır yapan değerler olduğundan denklemi sağlamak zorundadır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan oldu��u aralıkların belirlenmesi
Soru 1992Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=xx+5xf(x) = x\sqrt{x} + 5x
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f′(4)f'(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazıldığında elde edilen sonuç 88'dir.
Verilen fonksiyon f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x şeklinde düzenlenip temel türev kuralları uygulandığında f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5 türev fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=324+5=3+5=8f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} + 5 = 3 + 5 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri türev almaya uygun şekilde üslü biçimde düzenlemek
f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x
Tabanı aynı olan üslü sayıların çarpımı özelliğini kullanarak köklü ifadeyi tek bir üslü sayı biçiminde yazmak.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5
Üs kuralı (d/dx(xn)=nxn−1d/dx(x^n) = n x^{n-1}) ve toplamın türevi kuralı yardımıyla her bir terimin türevini hesaplamak.
3
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değerini yerine yazmak
8
İstenen f′(4)f'(4) türev değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları yardımıyla üslü ve doğrusal ifadelerin türevlerinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çarpım türevi kuralı uygulanarak da çözülebilir. xxx\sqrt{x} ifadesinin türevi: (x)′⋅x+x⋅(x)′=1⋅x+x⋅12x=x+x2=3x2(x)' \cdot \sqrt{x} + x \cdot (\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} olur. Buradan f′(x)=3x2+5f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + 5 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 1993Soru →
lim⁡x→01−cos⁡(x)cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}}{x^2} ifadesinin değeri 32\frac{3}{2}'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Verilen limitin değeri 3/2'dir.
Verilen limit ifadesinde eşlenik çarpımı ve yarım açı formülleri doğru bir şekilde uygulandığında belirsizlik giderilmekte ve limit değeri 3/2 olarak elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
Limit ifadesinde x=0x = 0 yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limitte doğrudan yerine yazma yöntemi belirsizlik türünü tespit etmek için uygulanır.
2
Payın eşlenik yardımıyla rasyonelleştirilmesi
Pay ve payda 1+cos⁡(x)cos⁡(2x)1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)} ile çarpılarak limit ifadesi lim⁡x→01−cos⁡2(x)cos⁡(2x)x2(1+cos⁡(x)cos⁡(2x))\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)\cos(2x)}{x^2(1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)})} şekline dönüştürülür.
Kareköklü ifadelerin oluşturduğu belirsizlikleri gidermek için eşlenik çarpımı kullanılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla payın sadeleştirilmesi
cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 dönüşümüyle pay ifadesi 1−2cos⁡4(x)+cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))(1+2cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+2cos⁡2(x))1 - 2\cos^4(x) + \cos^2(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + 2\cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + 2\cos^2(x)) olur.
Belirsizliğe neden olan çarpanları ortaya çıkarmak için yarım açı ve temel özdeşlikler uygulanır.
4
Limit değerinin hesaplanması
lim⁡x→0sin⁡2(x)x2⋅1+2cos⁡2(x)1+cos⁡(x)cos⁡(2x)=1⋅32=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1 + 2\cos^2(x)}{1 + \cos(x)\sqrt{\cos(2x)}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} elde edilir.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 temel limit özelliği ve sürekli fonksiyonların limit özellikleri kullanılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde eşlenik çarpımı ve trigonometrik yarım açı formülleri kullanarak belirsizliğin giderilmesi.
Soru 1994Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2+x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1

eğrisine üzerindeki farklı AA ve BB noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir.

Bu teğet doğruları arasındaki uzaklık 410\frac{4}{\sqrt{10}} birim olduğuna göre, bu paralel teğet doğrularının eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Paralel teğet doğrularının eğimi −0.5-0.5 olarak bulunur.
Doğru eğim değeri olan −0.5-0.5, paralel teğet doğrularının geometrik simetrisi ve aralarındaki uzaklık bağıntısı çözüldüğünde elde edilen tek gerçel çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması ve paralel teğet şartının yazılması
f′(x)=3x2−6x+1f'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, teğet noktalarının apsisleri aa ve bb için 3x2−6x+(1−m)=03x^2 - 6x + (1 - m) = 0 denklemi elde edilir.
Teğet doğruları paralel olduğundan teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimleri) eşit ve mm olmalıdır.
2
Simetri merkezinin kullanılması ve değişken dönüşümü yapılması
a+b=2a+b=2 olduğundan a=1−da = 1-d ve b=1+db = 1+d tanımlanır. Kökler çarpımı bağıntısından m=3d2−2m = 3d^2 - 2 bağıntısı elde edilir.
Apsislerin simetriğini kullanarak teğet doğrularının denklemlerini daha kolay ve sade bir şekilde ifade etmek hedeflenir.
3
Paralel teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması
L1:y=mx−2d3L_1: y = mx - 2d^3 ve L2:y=mx+2d3L_2: y = mx + 2d^3 denklemleri elde edilir.
İki paralel doğrunun denklemi arasındaki sabit terim farkını bulmak için teğet noktaları doğru denklemlerinde yerine yazılır.
4
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün uygulanması
4d3m2+1=410⇒10d6=m2+1\frac{4d^3}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow 10d^6 = m^2 + 1 denklemi kurulur.
Doğrular arasındaki uzaklığın belirtilen değere eşit olması bağıntısı kurulur.
5
Elde edilen denklemin çözülmesi ve eğimin bulunması
u=d2u = d^2 için 10u3−9u2+12u−5=010u^3 - 9u^2 + 12u - 5 = 0 denklemi çözülerek u=1/2u = 1/2 ve buradan m=−1/2m = -1/2 elde edilir.
Değişken değiştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle teğet doğrusunun eğimi olan mm değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, paralel teğet doğruları, iki paralel doğru arasındaki uzaklık ve simetri özellikleri.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 1995Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir ff fonksiyonu
f(f(x)−2x)=3x2+2x−2f(f(x) - 2x) = 3x^2 + 2x - 2
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1)=3f(1) = 3
olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı ([f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)) doğru uygulanıp x=1x=1 yazıldığında f′(1)⋅(f′(1)−2)=8f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8 denklemi elde edilir. Bu denkleminin kökleri 44 ve −2-2 olup, fonksiyonun artan olma koşulundan dolayı pozitif olan 4 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki yanının türevini alarak zincir kuralını uygulayın.
f′(f(x)−2x)⋅(f′(x)−2)=6x+2f'(f(x) - 2x) \cdot (f'(x) - 2) = 6x + 2
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Eşitlikte x=1x = 1 yazarak verilen değerleri kullanın.
f′(f(1)−2)⋅(f′(1)−2)=8f'(f(1) - 2) \cdot (f'(1) - 2) = 8
Soruda f(1)f(1) değeri verildiği ve f′(1)f'(1) istendiği için türev denkleminde x=1x = 1 noktası incelenmelidir.
3
f(1)=3f(1) = 3 değerini yerine koyun.
f′(1)⋅(f′(1)−2)=8f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8
f(1)−2f(1) - 2 ifadesini sadeleştirmek ve bilinmeyen f′(1)f'(1) değerine bağlı bir denklem elde etmek için bu adım gereklidir.
4
f′(1)=kf'(1) = k değişken değiştirmesi ile ikinci dereceden denklemi çözün.
k=4k = 4 veya k=−2k = -2
k2−2k−8=0k^2 - 2k - 8 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.
5
ff fonksiyonunun artanlık özelliğini kullanarak doğru kökü seçin.
f′(1)=4f'(1) = 4
Artan fonksiyonların türevi tanımlı oldukları yerlerde negatif olamayacağı için negatif olan −2-2 kökü elenir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve elde edilen denklemin fonksiyon özelliklerine göre çözülmesi.
Soru 1996Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡2(x)−(1+3)sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)=0\sin^2(x) - (1 + \sqrt{3})\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}\cos^2(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7π12\frac{7\pi}{12}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 7π12\frac{7\pi}{12} radyandır.
Denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölündüğünde elde edilen tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0 denklemi (tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan elde edilen kökler [0,π][0, \pi] aralığında π4\frac{\pi}{4} ve π3\frac{\pi}{3} olup toplamları 7π12\frac{7\pi}{12} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölünerek denklem tan⁡(x)\tan(x) cinsinden yazılır.
tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çarpanlara ayırmayı kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
(tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0
Denklemi sağlayan tan⁡(x)\tan(x) değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
tan⁡(x)=1  ⟹  x1=π4\tan(x) = 1 \implies x_1 = \frac{\pi}{4}
tan⁡(x)=3  ⟹  x2=π3\tan(x) = \sqrt{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3}
Tanjant değerleri pozitif olduğundan, belirtilen aralıktaki I. bölge açılarını tespit etmek.
4
Bulunan köklerin toplamı hesaplanır.
x1+x2=π4+π3=7π12x_1 + x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}
Soruda istenen toplam kök değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Homojen trigonometrik denklemleri tanjant fonksiyonuna dönüştürerek çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Soru 1997Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, sin⁡(3x)+cos⁡(x)=0\sin(3x) + \cos(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümü yapıldığında, bölge dönüşümü doğru uygulanarak elde edilen genel çözümlerden üç farklı gerçel kök elde edilir. Bu nedenle önermede belirtilen kök sayısının 3 olduğu bilgisi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak denklemi tek bir fonksiyon türüne dönüştürme
sin⁡(3x)=−cos⁡(x)\sin(3x) = -\cos(x) ve ardından −cos⁡(x)=sin⁡(x−π2)-\cos(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) eşitliği elde edilir.
Denklemi çözebilmek için her iki tarafı da aynı trigonometrik fonksiyon (bu durumda sinüs) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Sinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
İki durum ortaya çıkar:
1) 3x=x−π2+2kπ3x = x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
2) 3x=π−(x−π2)+2kπ3x = \pi - \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(f(x))=sin⁡(g(x))\sin(f(x)) = \sin(g(x)) denkleminin genel çözümü f(x)=g(x)+2kπf(x) = g(x) + 2k\pi veya f(x)=π−g(x)+2kπf(x) = \pi - g(x) + 2k\pi şeklindedir.
3
Birinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
2x=−π2+2kπ⇒x=−π4+kπ2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=1k = 1 için x1=3π4x_1 = \frac{3\pi}{4} bulunur.
Birinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
4
İkinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
3x=3π2−x+2kπ⇒4x=3π2+2kπ⇒x=3π8+kπ23x = \frac{3\pi}{2} - x + 2k\pi \Rightarrow 4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=0k = 0 için x2=3π8x_2 = \frac{3\pi}{8}
k=1k = 1 için x3=7π8x_3 = \frac{7\pi}{8} bulunur.
İkinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
5
Köklerin birleşimini alarak toplam kök sayısını belirleme
[0,π][0, \pi] aralığındaki çözüm kümesi C\c={3π8,3π4,7π8}Ç = \left\{\frac{3\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}\right\} olup eleman sayısı 3'tür.
Her iki durumdan gelen tüm farklı kökler birleştirilerek nihai çözüm kümesi oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin genel çözüm kümesinin bulunması ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1998Soru →
Türevlenebilir yy, uu ve vv değişkenleri arasında
y=u2+uy = u^2 + u
u=v2−3vu = v^2 - 3v
v=x2−2xv = x^2 - 2x
ilişkileri tanımlanmıştır.

Buna göre, x=3x = 3 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

x=3x = 3 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri 1212 olarak bulunur.
Zincir kuralı gereğince dydx\frac{dy}{dx} türevi, dydu\frac{dy}{du}, dudv\frac{du}{dv} ve dvdx\frac{dv}{dx} türevlerinin çarpımına eşittir. x=3x = 3 için bu türevlerin değerleri sırasıyla 11, 33 ve 44 olup çarpımları 1212 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktası için sırasıyla vv ve uu değişkenlerinin değerlerini bulma
v=3v = 3 ve u=0u = 0
Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek amacıyla değişkenlerin değerleri sırasıyla yerine yazılır.
2
Her bir değişkenin bağlı olduğu değişkene göre türev kuralını belirleme
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1, dudv=2v−3\frac{du}{dv} = 2v - 3, dvdx=2x−2\frac{dv}{dx} = 2x - 2
Zincir kuralını uygulamak için tekil türev ifadeleri elde edilmelidir.
3
Türev ifadelerinde belirlenen noktaları (u=0u = 0, v=3v = 3, x=3x = 3) yerine yazarak çarpımı hesaplama
dydx=1⋅3⋅4=12\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudv⋅dvdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı kullanılarak birbirine bağlı fonksiyonların türevini alma.
Soru 1999Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(3x−g(x2))h(x) = f(3x - g(x^2))
biçiminde tanımlanıyor.
g(1)=2g(1) = 2
g′(1)=3g'(1) = 3
f′(1)=4f'(1) = 4
olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

h'(1) değeri -12 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulanıp x=1x=1 yazıldığında h′(1)=f′(3−g(1))⋅(3−2g′(1))=f′(1)⋅(3−6)=4⋅(−3)=−12h'(1) = f'(3-g(1)) \cdot (3-2g'(1)) = f'(1) \cdot (3-6) = 4 \cdot (-3) = -12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(3x−g(x2))h(x) = f(3x - g(x^2)) fonksiyonunun türevini almak için bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanır.
h′(x)=f′(3x−g(x2))⋅ddx(3x−g(x2))h'(x) = f'(3x - g(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(3x - g(x^2)) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
İçteki 3x−g(x2)3x - g(x^2) ifadesinin türevi alınır.
ddx(3x−g(x2))=3−2x⋅g′(x2)\frac{d}{dx}(3x - g(x^2)) = 3 - 2x \cdot g'(x^2) bulunur.
Toplam ve farkın türev kuralları ile g(x2)g(x^2) ifadesi için zincir kuralı uygulanır.
3
h′(x)=f′(3x−g(x2))⋅(3−2x⋅g′(x2))h'(x) = f'(3x - g(x^2)) \cdot (3 - 2x \cdot g'(x^2)) eşitliğinde x=1x = 1 yazılır ve verilen değerler yerine konur.
h′(1)=f′(3−g(1))⋅(3−2⋅g′(1))=f′(1)⋅(3−6)=4⋅(−3)=−12h'(1) = f'(3 - g(1)) \cdot (3 - 2 \cdot g'(1)) = f'(1) \cdot (3 - 6) = 4 \cdot (-3) = -12 bulunur.
g(1)=2g(1) = 2, g′(1)=3g'(1) = 3 ve f′(1)=4f'(1) = 4 değerleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2000Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
olarak veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

Cevap

(−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Zincir kuralı uygulanarak elde edilen g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) türev fonksiyonunun gerçel kökleri 1−52\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 12\frac{1}{2} ve 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, türevin negatif olduğu en geniş aralıklar (−∞,1−52](-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}] ve [12,1+52][\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}] birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak alalım.
g′(x)=f′(x2−x)⋅(2x−1)g'(x) = f'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevinin içine içteki fonksiyon yazılır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini bulalım ve g′(x)g'(x) türev fonksiyonunda yerine yazalım.
f′(x)=3x2−3⇒f′(x2−x)=3(x2−x)2−3f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow f'(x^2 - x) = 3(x^2 - x)^2 - 3
Buradan g′(x)=3[(x2−x)2−1]⋅(2x−1)g'(x) = 3[(x^2 - x)^2 - 1] \cdot (2x - 1) elde edilir.
g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelemek için çarpanlarına ayrılmış halini bulmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırarak tüm köklerini bulalım.
g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)=0g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) = 0
x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur ve daima pozitiftir.
Diğer çarpanların kökleri:
2x−1=0⇒x=122x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
x2−x−1=0⇒x=1±52x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm gerçel kökleri bulmalıyız.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.
Sıralama: 1−52<12<1+52\frac{1-\sqrt{5}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} şeklindedir.
En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir:
(−∞,1−52)(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1−52,12)(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}) aralığında ++
(12,1+52)(\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1+52,∞)(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty) aralığında ++
Buna göre azalan aralıklar türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerdir: (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Türevin negatif veya sıfır olduğu kapalı aralıklarda sürekli ve türevlenebilir fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi.
ÖncekiSayfa 100 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin