Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 341Soru →

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* ∣a+b∣<∣a∣+∣b∣|a + b| < |a| + |b|
* ∣a−c∣=∣a∣+∣c∣|a - c| = |a| + |c|
* ∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c|

bağıntıları sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. a⋅c<0a \cdot c < 0
II. b⋅c<0b \cdot c < 0
III. ba<ca\frac{b}{a} < \frac{c}{a}

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
Birinci bağıntıdan aa ile bb'nin zıt işaretli olduğu, ikinci bağıntıdan ise aa ile cc'nin zıt işaretli olduğu bulunur. Buradan bb ile cc'nin aynı işaretli olduğu anlaşılır. Dolayısıyla birinci öncül (a⋅c<0a \cdot c < 0) kesinlikle doğrudur, ikinci öncül (b⋅c<0b \cdot c < 0) ise kesinlikle yanlıştır. Üçüncü bağıntıdan ise ∣b∣>∣c∣|b| > |c| elde edilir. aa sayısının pozitif ve negatif olduğu iki durum ayrı ayrı incelendiğinde, üçüncü öncüldeki eşitsizliğin her iki durumda da korunduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
∣a+b∣<∣a∣+∣b∣|a + b| < |a| + |b| eşitsizli��ini analiz edelim.
a⋅b<0a \cdot b < 0
Mutlak değer özelliklerine göre, iki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından kü��ükse bu sayılar zıt işaretli olmalıdır.
2
∣a−c∣=∣a∣+∣c∣|a - c| = |a| + |c| eşitliğini analiz edelim.
a⋅c<0a \cdot c < 0
İki gerçel sayının farkının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamına eşitse bu sayılar başlangıç noktasına göre farklı taraflarda yer almalıdır, yani zıt işaretli olmalıdır.
3
aa, bb ve cc sayılarının işaret ilişkilerini belirleyelim.
bb ve cc aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0).
aa sayısı hem bb ile hem de cc ile zıt işaretli olduğundan, bb ve cc sayıları aynı işaretli olmak zorundadır. Bu durum II. öncülün kesinlikle yanlış olduğunu gösterir.
4
∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c| eşitliğini inceleyelim.
∣b∣>∣c∣|b| > |c|
Eşitliğin sol tarafı pozitif veya sıfır olduğundan, sağ tarafı da pozitif veya sıfır olmalıdır. Sayılar birbirinden farklı olduğundan ∣b∣>∣c∣|b| > |c| elde edilir.
5
III. öncülü (b/a<c/ab/a < c/a) doğrulamak için aa sayısının işaretine göre iki durumu inceleyelim.
Her iki durumda da ba<ca\frac{b}{a} < \frac{c}{a} eşitsizliği sağlanır.
1. Durum: a>0a > 0 ise b<0b < 0 ve c<0c < 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olduğundan b<c<0b < c < 0 yazılır. Eşitsizliği pozitif olan aa sayısına bölersek yön değişmez: b/a<c/ab/a < c/a olur.
2. Durum: a<0a < 0 ise b>0b > 0 ve c>0c > 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olduğundan b>c>0b > c > 0 yazılır. Eşitsizliği negatif olan aa sayısına bölersek yön değişir: b/a<c/ab/a < c/a olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik yorumu, üçgen eşitsizliği özellikleri ve eşitsizliklerde yön değiştirme kuralları.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde koşullara uygun değerler seçerek hızlıca eleme yapabilirsiniz. Örneğin, a=3a = 3 için b=−5b = -5 ve c=−2c = -2 değerleri seçildiğinde bağıntıların sağlandığı görülür. Bu değerler öncüllere uygulandığında birinci ve üçüncü öncüllerin doğru, ikinci öncülün ise yanlış olduğu görülerek seçenekler elenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 342Soru →

xx ve yy gerçel sayıları için,

1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5
∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, yy tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

y tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı -2'dir.
Mutlak değer negatif olamayacağından, ikinci denklemden y=3−2xy = 3 - 2x elde edilir. Birinci eşitsizlik çözülerek elde edilen xx aralıkları, yy değişkeninin (−11,−3]∪[1,9)(-11, -3] \cup [1, 9) kümesinde olduğunu gösterir. Bu kümedeki en küçük tam sayı −10-10, en büyük tam sayı 88 olduğundan toplamları −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci eşitsizlikteki mutlak değer özelliğini analiz etme
y=3−2xy = 3 - 2x
Mutlak değerli bir ifade negatif değer alamayacağı için ∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0 eşitsizliği yalnızca 2x+y−3=02x + y - 3 = 0 durumunda sağlanır.
2
Birinci eşitsizliği çözerek x'in değer aralıklarını bulma
3≤x<73 \leq x < 7 veya −3<x≤1-3 < x \leq 1
1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5 ifadesi, mutlak değer içi pozitif ve negatif olacak şekilde iki ayrı eşitsizlik halinde incelenir.
3
Bulunan x aralıkları yardımıyla y ifadesini oluşturma
−11<y≤−3-11 < y \leq -3 veya 1≤y<91 \leq y < 9
y=3−2xy = 3 - 2x olduğundan, her iki eşitsizlik aralığı sırasıyla −2-2 ile çarpılıp 33 eklenerek yy yalnız bırakılır.
4
y tam sayısının sınır değerlerini bulma ve toplama
8+(−10)=−28 + (-10) = -2
yy'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 88 (açık sınır 99 olduğundan dahil değil), en küçük tam sayı değeri ise −10-10 (açık sınır −11-11 olduğundan dahil değil) olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değerin negatif olamayacağı özelliği
Soru 343Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan aa ve bb gerçel sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları eşittir.

aa sayısının 33 noktasına olan uzaklığı, bb sayısının −1-1 noktasına olan uzaklığının 22 katına eşittir.

Buna göre, aa'nın alabilece��i tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

a sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı -6'dır.
Doğru cevap −6-6'dır. aa ve bb gerçel sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları eşit olduğu için ∣a∣=∣b∣|a| = |b| yazılır, bu da bize b=ab = a veya b=−ab = -a olduğunu gösterir. Verilen uzaklık ilişkisinden ∣a−3∣=2∣b+1∣|a - 3| = 2|b + 1| denklemi kurulur. b=ab = a için denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden tam sayı olanı −5-5'tir. b=−ab = -a için denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden tam sayı olanı −1-1'dir. Bu iki tam sayının toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
a ve b sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının eşitliğini mutlak değer sembolüyle ifade edin.
∣a∣=∣b∣|a| = |b| eşitliği elde edilir. Buradan b=ab = a veya b=−ab = -a durumları ortaya çıkar.
Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
a sayısının 3 noktasına, b sayısının -1 noktasına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi denklem haline getirin.
∣a−3∣=2∣b−(−1)∣⇒∣a−3∣=2∣b+1∣|a - 3| = 2|b - (-1)| \Rightarrow |a - 3| = 2|b + 1| denklemi elde edilir.
İki sayı arasındaki uzaklık, farklarının mutlak değeriyle hesaplanır.
3
b = a durumunu ana denklemde yerine yazarak a değerlerini bulun.
∣a−3∣=2∣a+1∣|a - 3| = 2|a + 1| denklemi çözüldüğünde:
1) a−3=2(a+1)⇒a−3=2a+2⇒a=−5a - 3 = 2(a + 1) \Rightarrow a - 3 = 2a + 2 \Rightarrow a = -5 (Tam sayı)
2) a−3=−2(a+1)⇒a−3=−2a−2⇒3a=1⇒a=1/3a - 3 = -2(a + 1) \Rightarrow a - 3 = -2a - 2 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = 1/3 (Tam sayı değil)
Mutlak değerli iki ifadenin eşitliğinde ifadeler doğrudan birbirine eşitlenebilir ya da biri diğerinin negatiflisine eşitlenebilir.
4
b = -a durumunu ana denklemde yerine yazarak a değerlerini bulun.
∣a−3∣=2∣−a+1∣=2∣a−1∣|a - 3| = 2|-a + 1| = 2|a - 1| denklemi çözüldüğünde:
1) a−3=2(a−1)⇒a−3=2a−2⇒a=−1a - 3 = 2(a - 1) \Rightarrow a - 3 = 2a - 2 \Rightarrow a = -1 (Tam sayı)
2) a−3=−2(a−1)⇒a−3=−2a+2⇒3a=5⇒a=5/3a - 3 = -2(a - 1) \Rightarrow a - 3 = -2a + 2 \Rightarrow 3a = 5 \Rightarrow a = 5/3 (Tam sayı değil)
Mutlak değer içerisindeki negatif işaretin dışarıya pozitif etki etmesi prensibiyle ∣−a+1∣=∣a−1∣|-a + 1| = |a - 1| eşitliği kullanılır.
5
Elde edilen a gerçel sayılarından tam sayı olanlarını belirleyip toplayın.
aa değerleri −5,1/3,−1,5/3-5, 1/3, -1, 5/3 olup bunlardan tam sayı olanlar −5-5 ve −1-1'dir. Toplamları ise (−5)+(−1)=−6(-5) + (-1) = -6 bulunur.
Soruda sadece tam sayı değerlerin toplamı istendiğinden rasyonel kökler elenir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Soru 344Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 33 noktasına olan uzaklığı, −1-1 noktasına olan uzaklığının 22 katından küçüktür.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan xx tam sayıların��n toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Eşitsizliği sağlamayan tam sayıların toplamı -15'tir.
Doğru cevap, eşitsizliği sağlamayan tam sayıların [−5,1/3][-5, 1/3] kapalı aralığında yer alan −5,−4,−3,−2,−1-5, -4, -3, -2, -1 ve 00 sayıları olduğunu ve bu sayıların toplamının −15-15 olduğunu gösteren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen ifadeyi mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürün.
∣x−3∣<2∣x−(−1)∣⇒∣x−3∣<2∣x+1∣|x - 3| < 2|x - (-1)| \Rightarrow |x - 3| < 2|x + 1|
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerlerden kurtulun.
∣x−3∣2<(2∣x+1∣)2⇒(x−3)2<4(x+1)2|x - 3|^2 < (2|x + 1|)^2 \Rightarrow (x - 3)^2 < 4(x + 1)^2
Her iki taraf da negatif olmayan değerler aldığından karesi alındığında eşitsizliğin yönü değişmez.
3
Parantezleri açarak ifadeyi düzenleyin ve ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.
x2−6x+9<4(x2+2x+1)⇒x2−6x+9<4x2+8x+4⇒3x2+14x−5>0x^2 - 6x + 9 < 4(x^2 + 2x + 1) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 < 4x^2 + 8x + 4 \Rightarrow 3x^2 + 14x - 5 > 0
Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yaparak kök analizi yapabilmek için tüm terimler sağ tarafa toplanır.
4
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.
3x2+14x−5=(3x−1)(x+5)>0⇒x1=−5, x2=133x^2 + 14x - 5 = (3x - 1)(x + 5) > 0 \Rightarrow x_1 = -5, \ x_2 = \frac{1}{3}
Eşitsizlik tablosu oluşturarak çözüm kümesini belirlemek için sınır değerler saptanır.
5
Eşitsizliği sağlayan ve sağlamayan aralıkları belirleyin.
Sağlayan aralık: x∈(−∞,−5)∪(13,∞)x \in (-\infty, -5) \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right) ve Sağlamayan aralık: x∈[−5,13]x \in \left[-5, \frac{1}{3}\right]
Baş katsayı pozitif olduğundan tablo + ∣ − ∣ ++ \ | \ - \ | \ + şeklinde işaretlenir. Sıfırdan büyük veya eşit olmayan (sağlamayan) bölge köklerin arasındaki kapalı aralıktır.
6
Eşitsizliği sağlamayan kapalı aralıktaki tam sayıları toplayın.
Tam sayılar: {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\} olup toplamı: −5+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0=−15-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -15
İstenen değer sağlamayan tam sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin karesel çözüm yöntemi ve sınır değerlerinin tespiti
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 345Soru →

Bir okulda düzenlenen bilgi yarışmasında, yarışmacıların doğru cevapladığı her bir çoktan seçmeli soru için xx puan, her bir açık uçlu soru için ise yy puan belirlenmiştir. Bu yarışmaya katılan Aslı ve Burak'ın doğru cevapladıkları soru sayıları ve kazandıkları toplam puanlar ile ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

YarışmacıÇoktan Seçmeli Soru SayısıAçık Uçlu Soru SayısıToplam Puan
Aslı85220
Burak68250

Buna göre, bu yarışmada doğru cevaplanan bir açık uçlu sorunun puanı, bir çoktan seçmeli sorunun puanından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir. Bu değer, açık uçlu sorunun puanı (20) ile çoktan seçmeli sorunun puanı (15) arasındaki farkı belirtir.
Denklem sistemi çözüldüğünde açık uçlu sorunun puanı (yy) 20, çoktan seçmeli sorunun puanı (xx) ise 15 olarak elde edilir. Bizden istenen bu iki puan arasındaki fark y−x=20−15=5y - x = 20 - 15 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tablodaki verileri kullanarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini kurun.
Aslı için 8x+5y=2208x + 5y = 220 ve Burak için 6x+8y=2506x + 8y = 250 denklemleri elde edilir.
Yarışmacıların soru sayıları ile soru puanlarının çarpımlarının toplamı, aldıkları toplam puanı verir.
2
Elde edilen denklem sistemini yok etme yöntemi kullanarak çözün.
İlk denklemi 3 ile, ikinci denklemi 4 ile genişletelim:
24x+15y=66024x + 15y = 660
24x+32y=100024x + 32y = 1000
Bu iki denklemi taraf tarafa çıkardığımızda:
17y=340  ⟹  y=2017y = 340 \implies y = 20 bulunur.
Bulduğumuz yy değerini ilk denklemde yerine yazalım:
8x+5(20)=220  ⟹  8x+100=220  ⟹  8x=120  ⟹  x=158x + 5(20) = 220 \implies 8x + 100 = 220 \implies 8x = 120 \implies x = 15 elde edilir.
Değişkenlerden birini yok ederek diğer bilinmeyenin değerini bulmak hedeflenir.
3
Açık uçlu soru ile çoktan seçmeli soru puanı arasındaki farkı hesaplayın.
y−x=20−15=5y - x = 20 - 15 = 5 bulunur.
Soruda açık uçlu sorunun puanının, çoktan seçmeli sorunun puanından kaç fazla olduğu sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemi ile çözülmesi.
Soru 346Soru →

Bir gıda firmasının paketlediği ürünlerin hedeflenen ağırlığı 250250 gramdır. Bu ürünlerin gerçek ağırlığı olan xx gram ile hedeflenen ağırlık arasındaki farkın mutlak değeri, gerçek ağırlığın 22 katının 140140 gram eksiğine eşittir.

Buna göre, hedeflenen ağırlıktan daha hafif olduğu bilinen bir paketin gerçek ağırlığı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

Hedeflenen ağırlıktan daha hafif olan paketin gerçek ağırlığı 130 gramdır.
Paketin hedeflenen ağırlıktan hafif olması (x<250x < 250) durumunda ∣x−250∣=250−x|x - 250| = 250 - x olur. Kurulan 250−x=2x−140250 - x = 2x - 140 denklemi çözüldüğünde 3x=3903x = 390 ve buradan x=130x = 130 elde edilir. Bu değer hem x<250x < 250 hem de 2x−140≥02x - 140 \geq 0 (130≥70130 \geq 70) koşullarını sağladığı için tek geçerli çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Hedeflenen ağırlık ile gerçek ağırlık arasındaki farkın mutlak değerini ifade edin.
∣x−250∣|x - 250|
Uzaklık veya fark mutlak değerle modellenir.
2
Soru metnindeki eşitliği kurarak denklemi oluşturun.
∣x−250∣=2x−140|x - 250| = 2x - 140
Farkın mutlak değerinin, gerçek ağırlığın 2 katının 140 eksiğine eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Paketin hedeflenen ağırlıktan hafif olması koşulunu kullanarak mutlak değeri dışarı çıkarın.
x<250  ⟹  ∣x−250∣=250−xx < 250 \implies |x - 250| = 250 - x
x<250x < 250 ise x−250x - 250 ifadesi negatiftir, dolayısıyla işaret değiştirerek çıkar.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün.
250−x=2x−140  ⟹  3x=390  ⟹  x=130250 - x = 2x - 140 \implies 3x = 390 \implies x = 130
Bilinmeyenleri bir tarafa toplayarak xx değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre durum incelemesi yapılması.
Soru 347Soru →
Dik koordinat düzleminde, xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
{3x−3y>−32(x+y)−5≤1−4y≤0\begin{cases} 3x - 3y > -3 \\ 2(x + y) - 5 \le 1 \\ -4y \le 0 \end{cases}
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan 6 farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır.
Sistem sadeleştirildiğinde y<x+1y < x + 1, y≤−x+3y \le -x + 3 ve y≥0y \ge 0 koşulları elde edilir. Bu sınırların analitik düzlemde oluşturduğu kapalı üçgensel bölge içerisindeki tam sayı noktaları incelendiğinde, y=0y = 0 için x∈{0,1,2,3}x \in \{0, 1, 2, 3\} ve y=1y = 1 için x∈{1,2}x \in \{1, 2\} değerleri bulunur. Dolayısıyla toplam 6 farklı sıralı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği sadeleştirme
y<x+1y < x + 1 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmıştır.
2
İkinci eşitsizliği sadeleştirme
y≤−x+3y \le -x + 3 eşitsizliği elde edilir.
Değişkenleri sınır çizgilerini belirlemek üzere yalnız bırakırız.
3
Üçüncü eşitsizliği sadeleştirme
y≥0y \ge 0 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmıştır.
4
Koşulları sağlayan tam sayı ikililerini listeleme
(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (1,1), (2,1) olmak üzere 6 ikili bulunur.
y≥0y \ge 0 sınırından yola çıkarak yy tam sayısının alabileceği 00 ve 11 değerleri için xx sınırları hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin sadeleştirilmesi, sınır çizgilerinin dahillik durumuna göre çözümlerin taranması ve tam sayı ikililerinin analitik yöntemlerle bulunması.
Soru 348Soru →

Bir kargo şirketi gönderilen paketlerin standart ağırlık sınırını 10 kg10\text{ kg} olarak belirlemiştir. Bu kargo şirketi ile bir koli göndermek isteyen Mert'in kolisinin ağırlığının, belirlenen bu standart sınırdan sapma miktarının mutlak değeri, koli ağırlığı ile bu sınırın toplamının üçte birine eşittir. Buna göre, Mert'in kolisinin ağırlığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Mert'in kolisinin ağırlığının alabileceği farklı değerlerin toplamı 25 kilogramdır.
Doğru seçenekte belirtilen 25 değeri, koli ağırlığının alabileceği tüm geçerli durumların (2020 ve 55) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Koli ağırlığına xx diyerek problemi matematiksel bir denkleme dökün.
∣x−10∣=x+103|x - 10| = \frac{x + 10}{3} denklemi elde edilir.
Sapma miktarı, koli ağırlığının (xx) limit değerden (1010) farkının mutlak değeri olduğundan ∣x−10∣|x - 10| şeklinde modellenir. Bu değer, xx ile 1010 toplamının üçte birine eşittir.
2
Denklemi düzenleyin ve mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakın.
3∣x−10∣=x+103|x - 10| = x + 10 denklemi elde edilir.
Her iki tarafı 33 ile çarparak rasyonel ifadeden kurtulmak çözümü kolaylaştırır.
3
Mutlak değerin tanımına göre iki farklı durum için denklemi çözün.
x≥10x \geq 10 için 3x−30=x+10  ⟹  2x=40  ⟹  x=203x - 30 = x + 10 \implies 2x = 40 \implies x = 20 bulunur. x<10x < 10 için 30−3x=x+10  ⟹  4x=20  ⟹  x=530 - 3x = x + 10 \implies 4x = 20 \implies x = 5 bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade sıfırdan büyük eşit veya sıfırdan küçük olma durumlarına göre dışarıya farklı işaretlerle çıkar.
4
Elde edilen kökleri toplayın.
20+5=2520 + 5 = 25 bulunur.
Mert'in kolisinin ağırlığının alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için iki kök toplanır.

Anahtar Kavram

Değişken içeren mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değerin tanımını kullanarak aralık incelemesi yapma.
Soru 349Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere,

∣x−2∣<4|x - 2| < 4
∣2x−a∣≤3|2x - a| \leq 3

eşitsizlik sistemini sağlayan yalnızca 3 farklı xx tam sayı değeri vardır.

Buna göre, aa pozitif tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan pozitif a tam sayılarının alabileceği değerlerin toplamı 29'dur.
Birinci eşitsizlikten elde edilen x tam sayıları {−1,0,1,2,3,4,5}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesidir. İkinci eşitsizlik ise x'i a−32\frac{a-3}{2} ile a+32\frac{a+3}{2} arasına kısıtlar. Bu iki aralığın kesişiminde tam olarak 3 tam sayı bulunmasını sağlayan pozitif a değerleri 2,4,6,82, 4, 6, 8 ve uç sınır koşulunun elendiği 99 değeridir. Toplamları 29 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci mutlak değerli eşitsizlik çözülerek x değişkeninin değer aralığı ve bu aralıktaki tam sayılar belirlenir.
−2<x<6-2 < x < 6 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar: −1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Sistemin ortak çözümü için x'in sınırlarını bilmemiz gerekir.
2
İkinci mutlak değerli eşitsizlik çözülerek x değişkeninin a cinsinden kapalı aralığı bulunur.
a−32≤x≤a+32\frac{a - 3}{2} \leq x \leq \frac{a + 3}{2} aralığı elde edilir.
a parametresine bağlı olarak x'in hangi aralıkta değer alacağını görmek gerekir.
3
a pozitif tam sayısı için tek tek deneme yapılarak aralıktaki tam sayıların birinci eşitsizliğin sınırlarıyla kesişimi incelenir.
a=2,4,6,8a = 2, 4, 6, 8 ve özellikle sınır değerini test eden a=9a = 9 için ortak tam sayı sayısı tam olarak 3 adet çıkmaktadır.
Her bir a değeri için x tam sayılarının ortak kümedeki eleman sayısının 3 olup olmadığını test etmek gerekir.
4
Bulunan a değerleri toplanır.
2+4+6+8+9=292 + 4 + 6 + 8 + 9 = 29 elde edilir.
Soruda a pozitif tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizlik sistemlerinde sınır değerlerin ve kesişim kümelerinin analizi
Soru 350Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ∣x−2∣+∣x+4∣=5|x - 2| + |x + 4| = 5 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık kavramı ve üçgen eşitsizliği kullanıldığında, ∣x−2∣+∣x+4∣|x-2| + |x+4| ifadesi xx sayısının 22 ve −4-4 noktalarına olan uzaklıkları toplamını temsil eder. Bu toplam en az bu iki noktanın kendi arasındaki uzaklık olan 66 birim olabilir. Dolayısıyla ifadenin 55 değerini alması imkansızdır ve çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaları belirleme ve sayı doğrusu üzerindeki aralıkları tanımlama
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler x=2x = 2 ve x=−4x = -4 noktalarıdır. Bu noktalar sayı doğrusunu x<−4x < -4, −4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 ve x>2x > 2 olmak üzere üç bölgeye ayırır.
Mutlak değerli ifadelerin dışarıya nasıl çıkacağını belirlemek için kritik noktalara göre inceleme yapılması gerekir.
2
Tanımlanan aralıklar için denklemi ayrı ayrı çözme
1) x<−4x < -4 için: −(x−2)−(x+4)=5⇒−2x−2=5⇒x=−3.5-(x - 2) - (x + 4) = 5 \Rightarrow -2x - 2 = 5 \Rightarrow x = -3.5 (Bu değer x<−4x < -4 koşulunu sağlamaz).
2) −4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 için: −(x−2)+(x+4)=5⇒6=5-(x - 2) + (x + 4) = 5 \Rightarrow 6 = 5 (Çelişki, çözüm yoktur).
3) x>2x > 2 için: (x−2)+(x+4)=5⇒2x+2=5⇒x=1.5(x - 2) + (x + 4) = 5 \Rightarrow 2x + 2 = 5 \Rightarrow x = 1.5 (Bu değer x>2x > 2 koşulunu sağlamaz).
Her aralıkta mutlak değerlerin işaretleri belirlenerek denklem normal doğrusal denkleme dönüştürülür ve bulunan köklerin aralık şartına uyup uymadığı denetlenir.
3
Çözüm kümelerinin birleşimini alma ve boş küme olduğunu doğrulama
Üç aralıkta da denklemi sağlayan geçerli bir xx gerçel sayısı bulunamadığından çözüm kümesi boş kümedir. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
Tüm olası gerçel sayı aralıkları incelendiği için elde edilen sonuçların birleşimi genel çözüm kümesini verir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde üçgen eşitsizliği ve kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması.
Soru 351Soru →

Bir çiftçi, toplam alanı en fazla 3030 dönüm olan arazisinin bir kısmına arpa, bir kısmına buğday ekmeye karar vermiştir. Çiftçinin bu ekim planlaması ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Arpa ekilen alan en az 55 dönüm olacaktır.
* Buğday ekilen alan, arpa ekilen alanın en fazla 22 katı olacaktır.
* Bir dönüm arpa için 120120 TL, bir dönüm buğday için 180180 TL gübre maliyeti hesaplanmıştır. Çiftçinin gübre için ayırdığı bütçe en fazla 43204320 TL'dir.

Arpa ekilen alan xx dönüm ve buğday ekilen alan yy dönüm olmak üzere, xx ve yy birer tam sayıdır.

Buna göre, çiftçinin buğday ekebileceği alan (yy) en fazla kaç dönümdür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Çiftçinin buğday ekebileceği alan en fazla 18 dönümdür.
Verilen sözel koşullara göre oluşturulan eşitsizlik sisteminde x ve y tam sayıları için y'nin alabileceği maksimum değer 18 olarak hesaplanır. Bu durumda x = 9 olur ve tüm koşullar eksiksiz sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemdeki sözel koşulları matematiksel model olarak ifade edin.
x+y≤30x + y \le 30, x≥5x \ge 5, y≤2xy \le 2x ve 2x+3y≤722x + 3y \le 72 eşitsizlik sistemi elde edilir.
Sözel ifadelerin analiz edilip doğrusal programlama modeliyle ifade edilmesi çözüme ulaşmanın ilk adımıdır.
2
y değişkenini en büyük yapmak amacıyla eşitsizlikleri x sınırları üzerinden birleştirin.
y2≤x≤36−1.5y\frac{y}{2} \le x \le 36 - 1.5y elde edilir.
y'nin üst sınırını belirlemek i��in x'in alt ve üst sınırlarının y türünden incelenmesi gerekir.
3
Eşitsizlik zincirini çözerek y'nin en büyük tam sayı değerini bulun ve x'in tam sayı olup olmadığını kontrol edin.
y≤18y \le 18 bulunur. y=18y = 18 için x=9x = 9 tam sayı değeri elde edilir ve tüm koşullar sağlanır.
Değişkenlerin tam sayı olması zorunluluğundan dolayı elde edilen sınır değerlerinin uygunluğu kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin günlük hayat problemlerine uygulanması ve tam sayı çözümlerinin bulunması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 352Soru →

Bir dondurucunun iç sıcaklığı x∘Cx^{\circ}\text{C} olarak ayarlanmıştır. Dondurucunun sıcaklık kontrol ünitesi, iç sıcaklığın 3∘C3^{\circ}\text{C}'ye olan uzaklığının 4∘C4^{\circ}\text{C}'den sapma miktarını ölçmektedir. Bu sapma miktarı 2∘C2^{\circ}\text{C} olduğunda ünitede bir uyarı lambası yanmaktadır.

Uyarı lambasının yandığı bilinen bir anda, dondurucunun iç sıcaklığının alabileceği pozitif tam sayı değerlerinin toplamı kaç ∘C^{\circ}\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 15'tir.
Denklemin çözümünden elde edilen kökler −3-3, 11, 55 ve 99 sayılarıdır. Bu değerlerden pozitif tam sayı şartını sağlayanlar 11, 55 ve 99 olup, bu sayıların toplamı 1515'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen durumun matematiksel denklemini kurun.
∣∣x−3∣−4∣=2||x - 3| - 4| = 2 denklemi elde edilir.
İç sıcaklığın 3∘C3^{\circ}\text{C}'ye olan uzaklığı ∣x−3∣|x - 3| şeklinde ifade edilir. Bu uzaklığın 4∘C4^{\circ}\text{C}'den sapma miktarı ise ∣∣x−3∣−4∣||x - 3| - 4| olur. Bu sapmanın 2∘C2^{\circ}\text{C} olduğu belirtildiğinden denklem kurulur.
2
Dıştaki mutlak değer ifadesini kaldırarak iki farklı durum elde edin.
∣x−3∣−4=2|x - 3| - 4 = 2 veya ∣x−3∣−4=−2|x - 3| - 4 = -2 denklemleri yazılır. Buradan sırasıyla ∣x−3∣=6|x - 3| = 6 ve ∣x−3∣=2|x - 3| = 2 bulunur.
Bir ifadenin mutlak değeri 2 ise, o ifadenin kendisi ya 2'ye ya da -2'ye eşittir.
3
Elde edilen iki farklı denklemi ayrı ayrı çözün.
∣x−3∣=6  ⟹  x−3=6|x - 3| = 6 \implies x - 3 = 6 veya x−3=−6x - 3 = -6 olur. Buradan x=9x = 9 veya x=−3x = -3 bulunur. ∣x−3∣=2  ⟹  x−3=2|x - 3| = 2 \implies x - 3 = 2 veya x−3=−2x - 3 = -2 olur. Buradan x=5x = 5 veya x=1x = 1 bulunur.
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği değerler, içerideki ifadenin pozitif ve negatif alternatifleri incelenerek tespit edilir.
4
Bulunan kökler arasından pozitif tam sayı şartını sağlayanları belirleyin ve toplayın.
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 1, 5 ve 9'dur. Toplamları: 1+5+9=151 + 5 + 9 = 15 olur.
Sıcaklık değerinin pozitif tam sayı olması istendiğinden, negatif bir sayı olan −3-3 değeri çözüme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve gerçek hayat problemlerine uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 353Soru →
Bir kafede satılan A ve B tatlılarının günlük porsiyon sayıları sırasıyla xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere, bu tatlıların üretim planlamasında aşağıdaki eşitsizlik sistemi tanımlanmıştır:
{y−2x>−42x+3y≤12\begin{cases} y - 2x > -4 \\ 2x + 3y \le 12 \end{cases}
Buna göre, bu kafede bir günde üretilebilecek A ve B tatlılarının porsiyon sayıları için kaç farklı (x,y)(x,y) sıralı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizlik sistemini ve doğal sayı olma koşulunu sağlayan 11 farklı (x,y)(x,y) sıralı ikilisi vardır.
Verilen iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemini sağlayan x ve y doğal sayıları incelendiğinde, y > 2x - 4 ve y <= (12 - 2x)/3 sınırları arasında kalan 11 farklı sıralı ikili bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin sınırlarını tanımlama
x≥0x \ge 0 ve y≥0y \ge 0 tam sayıları
Soruda porsiyon sayılarının birer doğal sayı olduğu verilmiştir.
2
Birinci eşitsizliğin sınır durumunu inceleme
y>2x−4y > 2x - 4
B tatlısı porsiyon sayısının alt sınırını x cinsinden ifade etmek.
3
İkinci eşitsizliğin sınır durumunu inceleme
y≤12−2x3y \le \frac{12-2x}{3}
B tatlısı porsiyon sayısının üst sınırını x cinsinden ifade etmek.
4
xx değerlerine göre yy'nin alabileceği doğal sayı değerlerini hesaplama
x=0x=0 için 5 adet, x=1x=1 için 4 adet, x=2x=2 için 2 adet, x=3x=3 için 0 adet uygun y değeri
Her bir x doğal sayısı için eşitsizlik sistemini sağlayan ortak y değerlerini bulmak.
5
Toplam ikili sayısını bulma
5 + 4 + 2 = 11
Ayrı durumların toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 354Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda görevli hava tahmin uzmanı canlı yayında şu açıklamayı yapmıştır:

"Şehrimizde bugün hava sıcaklığı 14∘C14^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Yarından itibaren sıcaklığın en az 3∘C3^\circ\text{C}, en fazla 9∘C9^\circ\text{C} artması beklenmektedir."

Buna göre, yarın ölçülecek hava sıcaklığının (x∘Cx^\circ\text{C}) alabileceği tüm değerleri ifade eden mutlak değerli eşitsizlik ∣x−a∣≤b|x - a| \leq b biçiminde yazıldığına göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Yarın ölçülecek sıcaklığın alabileceği değerleri gösteren eşitsizlik ∣x−20∣≤3|x - 20| \leq 3 olup, buradan a=20a = 20 ve b=3b = 3 bulunur. Bu değerlerin çarpımı a⋅b=60a \cdot b = 60 olarak elde edilir.
Yarınki hava sıcaklığının aralığı 17≤x≤2317 \leq x \leq 23 olup, bu aralığı ∣x−a∣≤b|x - a| \leq b formunda yazmak için orta nokta a=20a = 20 ve sınırların orta noktaya uzaklığı b=3b = 3 hesaplanır. Buradan a⋅b=60a \cdot b = 60 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarınki sıcaklığın sınır değerlerini belirleme
17≤x≤2317 \leq x \leq 23
Bugünkü sıcaklık olan 14∘C14^\circ\text{C} üzerine en az 3∘C3^\circ\text{C} ve en fazla 9∘C9^\circ\text{C} artış beklendiği için yarınki sıcaklık bu iki sınırın arasında olmalıdır.
2
Elde edilen aralığı mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürmek için orta nokta ve yarıçap değerlerini hesaplama
a=20a = 20 ve b=3b = 3
Bir [m,n][m, n] aralığını ∣x−a∣≤b|x - a| \leq b şeklinde ifade etmek için orta nokta a=m+n2a = \frac{m+n}{2} ve yarıçap b=n−m2b = \frac{n-m}{2} formülleri kullanılır.
3
aa ve bb değerlerini bularak istenen çarpımı hesaplama
a⋅b=60a \cdot b = 60
Eşitsizlik ∣x−20∣≤3|x - 20| \leq 3 olduğuna göre a=20a = 20 ve b=3b = 3 olup çarpımları 6060'tır.

Anahtar Kavram

Bir aralığın mutlak değerli eşitsizlik olarak ∣x−a∣≤b|x - a| \leq b şeklinde ifade edilmesi
Soru 355Soru →

Bir kimya laboratuvarında A ve B maddeleri karıştırılarak bir deney çözeltisi hazırlanmaktadır. Hazırlanacak çözeltide kullanılan A maddesinin miktarı xx litre, B maddesinin miktarı ise yy litredir. Bu çözeltinin sağlıklı bir şekilde tepkimeye girmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekmektedir:

* Kullanılan B maddesinin miktarı, A maddesinin miktarının 2 katından en fazla 6 litre fazla olmalıdır.
* A maddesinin miktarının 3 katı ile B maddesinin miktarının toplamı 12 litreden az olmalıdır.
* Her iki maddeden de mutlaka kullanılması gerekmektedir (maddelerin miktarları sıfırdan büyük olmalıdır).

Buna göre, xx ve yy gerçek sayıları arasındaki ilişkiyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {y≤2x+63x+y<12x>0y>0\begin{cases} y \le 2x + 6 \\ 3x + y < 12 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases}

Cevap

B maddesinin miktarının A'nın 2 katından en fazla 6 fazla olmasını ifade eden y≤2x+6y \le 2x + 6, A'nın 3 katı ile B'nin toplamının 12'den az olmasını ifade eden 3x+y<123x + y < 12 ve her iki maddenin de kullanılması gerektiğini belirten x>0,y>0x > 0, y > 0 eşitsizliklerini içeren sistemdir.
Doğru sistem, sorudaki tüm koşulları eksiksiz karşılar: 'en fazla 6 litre fazla' koşulu sınır değerin dahil olduğunu gösterir ve y≤2x+6y \le 2x + 6 yazılır; '12 litreden az' koşulu sınırın dahil olmadığını gösterir ve 3x+y<123x + y < 12 yazılır; maddelerin mutlaka kullanılması gerektiği bilgisi ise her iki miktarın da sıfırdan büyük gerçek sayılar olmasını gerektirir (x>0,y>0x > 0, y > 0).

Adım Adım Çözüm

1
İlk koşulun matematiksel ifadesini oluşturma
y≤2x+6y \le 2x + 6
B maddesinin miktarı (yy), A'nın 2 katından (2x2x) en fazla 6 fazla olabileceği için değer 2x+62x + 6'ya eşit veya küçük olmalıdır.
2
İkinci koşulun matematiksel ifadesini oluşturma
3x+y<123x + y < 12
A'nın 3 katı (3x3x) ile B'nin (yy) toplamı 12'den kesin olarak küçük (az) olmalıdır.
3
Değişkenlerin tanım aralığını belirleme
x>0x > 0 ve y>0y > 0
Maddelerin her ikisinin de kullanılması zorunlu olduğundan ve miktarlar negatif olamayacağından sıfırdan büyük gerçek sayılar olmalıdırlar.
4
Eşitsizlikleri sistem olarak birleştirme
y≤2x+6y \le 2x + 6, 3x+y<123x + y < 12, x>0x > 0, y>0y > 0
Tüm koşulların aynı anda gerçekleşmesi gerektiği için bu ifadeler bir eşitsizlik sistemi oluşturur.

Anahtar Kavram

Sözel olarak verilen bir modelleme problemini birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemi olarak ifade etme ve sınırların dahil olup olmama durumlarını doğru belirleme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 356Soru →

Bir bilgisayar programında sisteme girilen bir xx gerçel sayısı için;
* ∣x−2∣≤5|x - 2| \leq 5 eşitsizliği sağlandığında yeşil ışık,
* ∣x−1∣>3|x - 1| > 3 eşitsizliği sağlandığında ise mavi ışık
yanmaktadır.

Buna göre, sisteme girilen xx tam sayılarından kaç tanesi için yeşil ve mavi ışıklar aynı anda yanar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Yeşil ve mavi ışıkların aynı anda yanmasını sağlayan 4 farklı x tam sayısı vardır.
Yeşil ve mavi ışıkların aynı anda yanması için her iki mutlak değerli eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerekir. Birinci eşitsizlikten −3≤x≤7-3 \leq x \leq 7 aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise x>4x > 4 veya x<−2x < -2 bölgeleri elde edilir. Bu iki bölgenin kesişiminde yer alan tam sayılar −3,5,6-3, 5, 6 ve 77 olmak üzere 4 tanedir. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Yeşil ışık için verilen ∣x−2∣≤5|x - 2| \leq 5 eşitsizliğini çözelim.
−3≤x≤7-3 \leq x \leq 7
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıdan küçük veya eşitse, içerideki ifade bu sayının negatifi ile pozitifi arasında yer alır: −5≤x−2≤5⇒−3≤x≤7-5 \leq x - 2 \leq 5 \Rightarrow -3 \leq x \leq 7.
2
Mavi ışık için verilen ∣x−1∣>3|x - 1| > 3 eşitsizliğini çözelim.
x>4x > 4 veya x<−2x < -2
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıdan büyükse, içerideki ifade ya bu sayıdan büyüktür ya da bu sayının negatifinden küçüktür: x−1>3⇒x>4x - 1 > 3 \Rightarrow x > 4 veya x−1<−3⇒x<−2x - 1 < -3 \Rightarrow x < -2.
3
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan xx tam sayılarını belirleyelim.
−3,5,6,7-3, 5, 6, 7 sayıları (Toplam 4 adet)
−3≤x≤7-3 \leq x \leq 7 aralığındaki tam sayılardan x<−2x < -2 koşulunu sağlayan yalnızca −3-3 vardır. x>4x > 4 koşulunu sağlayanlar ise 5,6,75, 6, 7 sayılarıdır. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi {−3,5,6,7}\{-3, 5, 6, 7\} olup 4 elemanlıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm aralıklarının bulunması ve kesişim kümelerinin oluşturulması.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde çizim yaparak çözüm kümelerini görselleştirebilirsiniz. xx sayısının 22 noktasına uzaklığı en fazla 55 birim olan bölge [−3,7][-3, 7] kapalı aralığıdır. xx sayısının 11 noktasına uzaklığı 33 birimden fazla olan bölgeler ise 44'ün sağ tarafı ile −2-2'nin sol tarafıdır. Bu iki bölgenin üst üste bindiği tam sayılar sayı doğrusundan kolayca −3,5,6,7-3, 5, 6, 7 olarak okunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 357Soru →
Bir laboratuvardaki kimyasal reaksiyonun gerçekleşmesi için ortam sıcaklığının (TT, ∘C^\circ\text{C} cinsinden)
∣T−25∣≤15|T - 25| \leq 15
eşitsizliğini sağlaması gerekmektedir.
Bu reaksiyonun en yüksek verimle gerçekleştiği ideal sıcaklık aralığı ise
∣T−a∣≤b|T - a| \leq b
eşitsizliği ile belirlenmiştir.

İdeal sıcaklık aralığının alt sınırı, reaksiyonun gerçekleşebildiği en düşük sıcaklığın %20\%20 fazlasına; üst sınırı ise reaksiyonun gerçekleşebildiği en yüksek sıcaklığın %20\%20 eksiğine eşittir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 220

Cevap

İdeal sıcaklık aralığını veren eşitsizlikte orta nokta a=22a = 22 ve aralığın yarı genişliği b=10b = 10 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı olan a⋅ba \cdot b değeri 220'dir.
Verilen mutlak değerli eşitsizlik çözüldüğünde reaksiyon sıcaklık aralığı 10≤T≤4010 \leq T \leq 40 olarak bulunur. Bu aralığın alt sınırının %20\%20 fazlası 1212, üst sınırının %20\%20 eksiği 3232 olup ideal aralık 12≤T≤3212 \leq T \leq 32 olur. Bu aralık ∣T−22∣≤10|T - 22| \leq 10 eşitsizliği ile temsil edildiğinden a=22a = 22 ve b=10b = 10 bulunur. Çarpımları ise 220220 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Reaksiyonun gerçekleşebildiği sıcaklık sınırlarını belirleme
En düşük sıcaklık 1010 ve en yüksek sıcaklık 4040 olarak bulunur.
∣T−25∣≤15|T - 25| \leq 15 eşitsizliği çözüldüğünde −15≤T−25≤15-15 \leq T - 25 \leq 15 ve buradan 10≤T≤4010 \leq T \leq 40 elde edilir.
2
İdeal sıcaklık aralığının sınırlarını hesaplama
Alt sınır 1212, üst sınır 3232 olarak bulunur.
En düşük sıcaklığın (10) %20\%20 fazlası 1212, en yüksek sıcaklığın (40) %20\%20 eksiği 3232 olarak hesaplanır.
3
aa ve bb parametrelerini bulma
a=22a = 22 ve b=10b = 10 olarak bulunur.
12≤T≤3212 \leq T \leq 32 eşitsizliği mutlak değerli biçimde ∣T−a∣≤b|T - a| \leq b olarak yazıldığında, aa orta nokta (2222) ve bb yarı genişlik (1010) olur.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplama
220220
a=22a = 22 ve b=10b = 10 değerleri çarpılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve sayı doğrusundaki aralıkların mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edilmesi.
Soru 358Soru →

Bir lojistik firması, taşıma kapasitesi en fazla 150 kg150\text{ kg} olan bir taşıma sepeti ile A ve B tipi kolilerden taşımaktadır. Her bir A tipi kolinin kütlesi 12 kg12\text{ kg}, her bir B tipi kolinin kütlesi ise 18 kg18\text{ kg}'dır. Taşıma kurallarına göre, sepete konulan B tipi kolilerin sayısı, A tipi kolilerin sayısının en az 33 katı olmalıdır. Sepette her iki koli tipinden de en az birer tane bulunduğuna göre, bu sepette taşınabilecek toplam koli sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Taşınabilecek toplam koli sayısı en fazla 9'dur.
Taşınabilecek toplam koli sayısının en fazla 9 olmasının nedeni, xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere 2x+3y≤252x + 3y \le 25 ve y≥3xy \ge 3x eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük x+yx + y değerinin x=2x=2 ve y=7y=7 için 2+7=92+7=9 olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve tam sayı şartının belirlenmesi
x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere A tipi koli sayısı xx, B tipi koli sayısı yy olarak belirlenir.
Koli sayıları adet belirttiği için kesirli veya negatif olamaz, pozitif tam sayı olmalıdır.
2
Eşitsizlik sisteminin kurulması
2x+3y≤252x + 3y \le 25 ve y≥3xy \ge 3x eşitsizlikleri elde edilir.
Toplam ağırlığın 12x+18y≤15012x + 18y \le 150 olması sadeleştirilerek 2x+3y≤252x + 3y \le 25 haline getirilir. B koli sayısının en az 3 kat olması ise y≥3xy \ge 3x olarak yazılır.
3
Değişken sınırlarının analizi
11x≤25⇒x≤22711x \le 25 \Rightarrow x \le 2{}27 bulunur. xx tam sayı olduğundan x∈{1,2}x \in \{1, 2\} olmalıdır.
y≥3xy \ge 3x ifadesi 2x+3y≤252x + 3y \le 25 eşitsizliğinde yerine yazılarak xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri sınırlandırılır.
4
x = 1 durumu için y'nin maksimum değerinin hesaplanması
2(1)+3y≤25⇒3y≤23⇒y≤7672(1) + 3y \le 25 \Rightarrow 3y \le 23 \Rightarrow y \le 7{}67. yy en fazla 77 olabilir.
x=1x=1 için B tipi kolilerin sayısı en az 33 olmalı ve ağırlık sınırını aşmamalıdır.
5
x = 2 durumu için y'nin maksimum değerinin hesaplanması
2(2)+3y≤25⇒3y≤21⇒y≤72(2) + 3y \le 25 \Rightarrow 3y \le 21 \Rightarrow y \le 7. yy en fazla 77 olabilir.
x=2x=2 için B tipi kolilerin sayısı en az 66 olmalı ve ağırlık sınırını aşmamalıdır.
6
En büyük toplamın bulunması
Maksimum toplam x+y=2+7=9x + y = 2 + 7 = 9 olarak elde edilir.
Farklı xx değerleri için elde edilen x+yx+y toplamları karşılaştırılarak en büyük değer seçilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin günlük hayat problemlerinde modellenmesi ve tam sayı çözümlerinin araştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 359Soru →

Bir akıllı termostat, hedef sıcaklık değeri TT iken oda sıcaklığı xx derece olduğunda çalışmaktadır. Bu termostat, oda sıcaklığı ile hedef sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri 1,5∘C1,5^\circ\text{C} ile 4∘C4^\circ\text{C} arasında (sınırlar dahil) olduğunda tasarruf moduna geçmektedir.

Termostatın hedef sıcaklığı 22∘C22^\circ\text{C} olarak ayarlandığında, cihazın tasarruf modunda çalıştığı oda sıcaklığı olan xx gerçel sayısının alabileceği değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣∣x−22∣−2,75∣≤1,25| |x - 22| - 2,75 | \leq 1,25

Cevap

∣∣x−22∣−2,75∣≤1,25| |x - 22| - 2,75 | \leq 1,25 ifadesinin bulunduğu seçenektir.
Doğru seçenek, oda sıcaklığı ile hedef sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri ∣x−22∣|x - 22| ifadesinin 1,51,5 ile 44 arasındaki değerlerini ∣∣x−22∣−2,75∣≤1,25| |x - 22| - 2,75 | \leq 1,25 şeklinde doğru bir biçimde ifade eden seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Oda sıcaklığı ile hedef sıcaklık arasındaki farkın modellenmesi.
Oda sıcaklığı xx ve hedef sıcaklık 22∘C22^\circ\text{C} olduğunda aralarındaki farkın mutlak değeri ∣x−22∣|x - 22| şeklinde ifade edilir.
Sıcaklık farkının mutlak değeri, iki değer arasındaki mesafeyi belirtir.
2
Tasarruf modunun sınır koşullarının eşitsizlik olarak kurulması.
Farkın mutlak değerinin 1,5∘C1,5^\circ\text{C} ile 4∘C4^\circ\text{C} arasında (sınırlar dahil) olması 1,5≤∣x−22∣≤41,5 \leq |x - 22| \leq 4 eşitsizliği ile gösterilir.
Soruda sınır değerlerin de tasarruf moduna dahil olduğu belirtilmiştir.
3
Eşitsizliğin tek bir mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürülmesi.
y=∣x−22∣y = |x - 22| olmak üzere, 1,5≤y≤41,5 \leq y \leq 4 aralığının orta noktası 1,5+42=2,75\frac{1,5 + 4}{2} = 2,75 ve yarıçapı 4−1,52=1,25\frac{4 - 1,5}{2} = 1,25 olarak bulunur. Buradan ∣y−2,75∣≤1,25|y - 2,75| \leq 1,25 elde edilir. yy yerine ∣x−22∣|x - 22| yazıldığında ise ∣∣x−22∣−2,75∣≤1,25| |x - 22| - 2,75 | \leq 1,25 sonucuna ulaşılır.
Bir değişkenin kapalı bir aralıktaki değerlerini ifade etmek için aralığın orta noktasına olan uzaklığı, aralık yarıçapından küçük veya eşit olacak şekilde modellenir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir ifadenin iki sınır değeri arasında bulunması durumunun, tek bir mutlak değerli eşitsizlik şeklinde ifade edilmesi.
Soru 360Soru →

Bir sporcu, haftalık antrenman programında kardiyo egzersizlerine xx saat, ağırlık antrenmanlarına ise yy saat ayırmaktadır. Bu sporcunun antrenman süreleri (xx ve yy gerçek sayıları) ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ağırlık antrenmanı süresinin 6 saat eksiğinin −2-2 katı, kardiyo egzersizi süresinden büyüktür.
* Kardiyo egzersizi süresinin ağırlık antrenmanı süresinden farkı en az 2 saattir.
* Her iki antrenman türü için de sıfırdan fazla süre ayrılmıştır.

Buna göre, bu sporcunun antrenman sürelerini temsil eden (x,y)(x,y) gerçek sayı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgeyi tanımlayan eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {x+2y<12x−y≥2x>0, y>0\begin{cases} x + 2y < 12 \\ x - y \ge 2 \\ x > 0, \ y > 0 \end{cases}

Cevap

İlk koşulun −2(y−6)>x  ⟹  x+2y<12-2(y - 6) > x \implies x + 2y < 12 şeklinde düzenlenmesi, ikinci koşulun x−y≥2x - y \ge 2 olarak yazılması ve sürelerin pozitif gerçek sayılar olması sebebiyle x>0,y>0x > 0, y > 0 sınırlarının eklenmesiyle elde edilen eşitsizlik sistemidir.
Doğru olan eşitsizlik sistemi, sözel koşulların matematiksel olarak hatasız bir şekilde ifade edilmesiyle elde edilir. İlk koşul olan −2(y−6)>x-2(y-6) > x eşitsizliği düzenlendiğinde x+2y<12x + 2y < 12 biçimine gelir ve sınır değeri dahil edilmediği için kesikli çizgiyi ifade eder. İkinci koşul x−y≥2x - y \ge 2 biçimindedir ve sınır değeri dahil olduğundan düz çizgiyi ifade eder. Değişkenlerin pozitif gerçek sayılar olması ise x>0x > 0 ve y>0y > 0 şeklinde gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sözel ifadeyi matematiksel eşitsizliğe dönüştürmek ve düzenlemek.
Ağırlık antrenmanı süresi yy saatin 6 saat eksiğinin −2-2 katı: −2(y−6)-2(y-6) olur. Bu değer kardiyo süresi olan xx'ten fazla olduğundan −2(y−6)>x-2(y-6) > x elde edilir. Parantezi açarsak −2y+12>x-2y + 12 > x olur. İfadeyi düzenlemek için her iki tarafa 2y2y eklediğimizde x+2y<12x + 2y < 12 eşitsizliğine ulaşırız. Burada negatif sayı ile işlem yapıldığında eşitsizlik yönüne dikkat edilmelidir.
Birinci koşulu analitik düzlemde ifade edilebilecek standart forma getirmek.
2
İkinci sözel ifadeyi eşitsizlik olarak yazmak.
Kardiyo süresinin (xx), ağırlık süresinden (yy) farkı en az 2 saattir ifadesi x−y≥2x - y \ge 2 şeklinde yazılır. 'En az' ifadesi dahil olma belirttiği için sınır çizgisi düz (kesiksiz) çizgi olacaktır.
İkinci koşulun sınır ve dahiliyet durumunu belirlemek.
3
Tanım kümelerini ve pozitiflik şartını belirlemek.
Antrenman süreleri gerçek sayılar olup sıfırdan büyük olmalıdır. Bu durum x>0x > 0 ve y>0y > 0 olarak sisteme eklenir. Tanım kümesinin gerçek sayılar olması nedeniyle koordinat düzlemindeki tüm noktalar çözüme dahildir.
Gerçek hayat senaryosundaki fiziksel sınırlamaları ve sayı kümelerini sisteme dahil etmek.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Kurulması ve Yorumlanması
ÖncekiSayfa 18 / 19Sonraki
Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 18 | Examkin