Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4

Bir

A

kümesi

A = \{ 1, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \emptyset \}

olarak veriliyor.

A

kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi,

A

kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan en az bir elemana sahiptir?

8

16

24

28

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Hem eleman hem de alt küme olan elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısı 24'tür.

A kümesinin elemanları arasından hem A'nın elemanı hem de A'nın alt kümesi olan elemanlar {1} ve boş kümedir. Toplam 32 alt kümeden, bu iki elemanı içermeyen 8 alt küme çıkarıldığında geriye kalan 24 alt kümede bu elemanlardan en az biri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin tüm elemanlarını listeleyelim ve eleman sayısını bulalım.

A kümesinin elemanları 1, {1}, {2}, {1, 2} ve boş kümedir. Eleman sayısı 5'tir.

Alt küme hesaplamaları ve eleman kontrolleri için kümenin eleman yapısını tam olarak belirlememiz gerekir.

2

A kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanları bulalım.

Bu koşulu sağlayan elemanlar {1} ve boş kümedir.

Bir x elemanının A'nın alt kümesi olması için x'in içindeki tüm elemanların A'ya ait olması gerekir. 1 sayısı A'nın elemanı olduğundan {1} alt kümedir. Boş küme de her kümenin alt kümesidir. Ancak 2 sayısı A'nın elemanı olmadığından {2} ve {1, 2} alt küme olamaz.

3

Koşulu sağlayan elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısını bulmak için tüm durumlardan bu elemanları içermeyen durumları çıkaralım.

Toplam alt küme sayısı 2^5 = 32'dir. Koşulu sağlayan {1} ve boş küme elemanlarını içermeyen alt kümelerin sayısı, kalan 3 eleman ile oluşturulan 2^3 = 8 alt kümedir. Buradan istenen durum sayısı 32 - 8 = 24 olarak bulunur.

En az bir elemanın bulunması istendiğinde, tüm durumlardan istenmeyen (hiç bulunmama) durumların çıkarılması en pratik yoldur.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma ile alt kümesi olma arasındaki farklar ve boş küme özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 62Soru →

Bir turizm acentesi ile seyahat eden $50$ turistin her biri İtalya veya Fransa turlarından en az birine katılmıştır. Bu turistlerden İtalya turuna katılanların sayısı $32$ , Fransa turuna katılanların sayısı $27$ 'dir. Buna göre, her iki ülkenin de turuna katılan turist sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Her iki ülkenin de turuna katılan turist sayısı 9'dur.

İtalya turuna katılanlar ile Fransa turuna katılanların toplamı

32 + 27 = 59

kişidir. Ancak grupta toplam

50

turist bulunduğundan ve her turist en az bir tura katıldığından, aradaki fark her iki tura da katılan kişileri gösterir:

59 - 50 = 9

.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri küme eleman sayıları cinsinden ifade etmek.

s(İ \cup F) = 50

,

s(İ) = 32

,

s(F) = 27

Problemi küme kuralları ile çözebilmek amacıyla matematiksel modele dönüştürmek.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulamak.

50 = 32 + 27 - s(İ \cap F)

Birleşim, kesişim ve tekil kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Kesişim kümesinin eleman sayısını çekmek için denklem çözmek.

s(İ \cap F) = 9

Her iki tura da katılan ortak elemanların (turistlerin) sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

İki Kümenin Birleşim Formülü

Soru 63Soru →

Sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için,

$p: a^3 \cdot b < 0$
$q: b^2 \cdot c > 0$
$r: a \cdot c > 0$

önermeleri veriliyor.

(p \land q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-, +, -

+, -, -

-, -, +

-, +, +

+, +, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-, +, +$

Cevap

Değişkenlerin işaretleri sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif olmalıdır.

Koşullu önermenin doğruluk değerinin sıfır olmasından yola çıkılarak önermelerin doğruluk değerleri

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olarak bulunur. Bu doğruluk değerleri gerçel sayıların kuvvet ve çarpım kuralları ile birleştirildiğinde

a

negatif (

-

),

b

pozitif (

+

) ve

c

pozitif (

+

) olarak elde edilir. Bu durum sırasıyla negatif, pozitif ve pozitif seçeneğinde doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini çözümlemek.

p \land q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

Bir ise bağlacının (

A \Rightarrow B

) yanlış (

0

) olabilmesi için hipotezin doğru (

A \equiv 1

) ve hükmün yanlış (

B \equiv 0

) olması gerekir.

2

Bileşik önermenin bileşenlerinin doğruluk değerlerini belirlemek.

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur.

Ve bağlacıyla bağlanan iki önermenin doğru (

1

) olması için her iki önermenin de ayrı ayrı doğru olması gerekir.

3

İkinci önerme yardımıyla son değişkenin işaretini belirlemek.

c > 0

(pozitif) olmalıdır.

b

sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan karesi daima pozitiftir (

b^2 > 0

).

b^2 \cdot c > 0

ifadesinin doğru (

q \equiv 1

) olması için

c

pozitif olmalıdır.

4

Üçüncü önermenin yanlışlığını kullanarak ilk değişkenin işaretini belirlemek.

a < 0

(negatif) olmalıdır.

r: a \cdot c > 0

önermesi yanlış (

0

) olduğuna göre,

a \cdot c \le 0

olmalıdır.

a

ve

c

sıfırdan farklı olduğundan

a \cdot c < 0

olmalıdır.

c > 0

olduğuna göre,

a

negatif olmalıdır.

5

İlk önerme yardımıyla ikinci değişkenin işaretini belirlemek.

b > 0

(pozitif) olmalıdır.

a < 0

olduğundan tek kuvveti de negatiftir (

a^3 < 0

).

p: a^3 \cdot b < 0

önermesinin doğru (

p \equiv 1

) olabilmesi için negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpılması gerekir, bu yüzden

b

pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

İse bağlacının yanlışlık durumu ve basit eşitsizlik kuralları yardımıyla gerçel sayıların işaret analizi.

Soru 64Soru →

$p$ : " $-2x < 6$ eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi $(-\infty, -3)$ aralığıdır."
$q$ : " $-4$ sayısı bir çift sayıdır."
$r$ : " $-2$ sayısı bir doğal sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

(p \lor r) \Rightarrow q

p \Leftrightarrow q

q \Rightarrow r

q \Leftrightarrow r

p \lor r

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(p \lor r) \Rightarrow q$

Cevap

Parantez içindeki veya bağlacı içeren ifadenin sıfıra denk gelmesi ve ardından ise bağlacı ile doğru bir önermeye bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme

Mantık kurallarına göre, parantez içindeki veya bağlacı içeren ifadenin sıfıra denk gelmesi ve ardından ise bağlacı ile doğru bir önermeye bağlanmasıyla elde edilen bileşik önerme,

0 \Rightarrow 1 \equiv 1

denkliğini sağladığı için doğruluk değeri 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen basit önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim.

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

-2x < 6

eşitsizliğinde her iki taraf

-2

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

x > -3

elde edilir. Bu yüzden en geniş çözüm kümesi

(-3, \infty)

aralığıdır ve

p

önermesi yanlıştır (

p \equiv 0

).

-4

sayısı

2

ile tam bölündüğü için bir çift sayıdır ve

q

önermesi doğrudur (

q \equiv 1

).

-2

sayısı negatif bir tam sayı olup doğal sayılar kümesinin elemanı değildir, bu yüzden

r

önermesi yanlıştır (

r \equiv 0

).

2

Doğru olan seçenekteki bileşik önermenin doğruluk değerini mantık bağlaçları kuralları ile hesaplayalım.

(p \lor r) \Rightarrow q \equiv 1

p \lor r \equiv 0 \lor 0 \equiv 0

olur. Bu durumda önermemiz

0 \Rightarrow 1

haline gelir. İse bağlacının kuralına göre

0 \Rightarrow 1 \equiv 1

olduğundan, bu bileşik önermenin doğruluk değeri 1'dir.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarının özellikleri

Soru 65Soru →

Bir seyahat acentesiyle tura katılan $60$ turistten her biri Efes ( $E$ ), Kapadokya ( $K$ ) ve Pamukkale ( $P$ ) bölgelerinden en az birini ziyaret etmiştir. Bu turistlerin ziyaret ettikleri bölgelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Efes'i ziyaret eden turist sayısı, Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısından $8$ fazladır.
* Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayısı, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısının $4$ katıdır.
* En az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı $22$ 'dir.
* Her üç bölgeyi de ziyaret eden turist sayısı $4$ 'tür.
* Sadece Efes'i ve sadece Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayıları birbirine eşittir.

Buna göre, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı kaçtır?

6

8

10

12

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

Sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı

8

'dir.

Doğru cevap, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısının

8

olduğunu belirten seçenektir. Küme bölgeleri değişkenlerle ifade edilip verilen koşullar uygulandığında, bölgelerin eleman sayılarının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarından sadece

8

değeri tüm denklemleri ve fiziksel sınırları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Seyahat eden turistlerin bölgelerini gösteren bir Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirelim.

Sadece Efes'i ziyaret edenler

e

, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler

k

, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenler

p

olsun. Sadece iki bölgeyi ziyaret edenler

ek

,

kp

,

ep

ve üç bölgeyi de ziyaret edenler

ekp = 4

olarak belirlenir.

Problemi cebirsel denklemlere dökebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.

2

Toplam turist sayısı ve en az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı bilgilerini kullanarak temel denklemleri yazalım.

e + k + p + ek + kp + ep + 4 = 60

ve

ek + kp + ep + 4 = 22 \implies ek + kp + ep = 18

bulunur. Buradan

e + k + p + 22 = 60 \implies e + k + p = 38

elde edilir.

Bölgelerin toplamı ile kesişim eleman sayıları arasındaki ilişkileri sadeleştirmek amacıyla bu denklemler kurulur.

3

Sadece Efes ve sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin eşitliği (

e = p

) ile diğer koşulları birleştirip değişkenleri tek bir bilinmeyen olan

k

cinsinden ifade edelim.

2e + k = 38 \implies e = 19 - 0,5k

olur.

P = 4k

ve

E = K + 8

denklemlerinden sırasıyla

ep = 3k - 17

,

kp = 1,5k - 6

ve

ek = 41 - 4,5k

bağıntıları elde edilir.

Tüm bölge eleman sayılarını tek bir değişken (

k

) cinsinden yazarak çözüm kümesini sınırlandırmak hedeflenir.

4

Bölgelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı (

ek \ge 0

,

kp \ge 0

,

ep \ge 0

) ve tam sayı olması gerektiği koşulunu uygulayarak

k

değerini bulalım.

kp = 1,5k - 6

ifadesinin tam sayı olması için

k

çift olmalıdır. Ayrıca

ep = 3k - 17 \ge 0 \implies k \ge 5,67

ve

ek = 41 - 4,5k \ge 0 \implies k \le 9,11

sınırları elde edilir. Bu aralıktaki tek çift tam sayı

k = 8

'dir.

Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından ve mutlaka bir tam sayı olması gerektiğinden bu sınır koşulları tek bir çözüm üretir.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde Venn şeması bölgelerinin değişkenler yardımıyla modellenmesi ve tam sayı sınır koşullarının analizi.

Soru 66Soru →

$A = \{x \mid x^2 \le 9 \text{ ve } x \text{ bir tam sayı}\}$
$B = \{x \mid -2 < x \le 2 \text{ ve } x \text{ bir doğal sayı}\}$
kümeleri veriliyor.

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

1

2

3

4

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortak elemanlardan oluşan kesişim kümesinin eleman sayısı 3'tür.

Kesişim kümesinin eleman sayısı 3'tür. A kümesi karesi 9 veya daha küçük olan {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} tam sayılarından oluşur. B kümesi ise -2 ile 2 aralığındaki doğal sayılardan oluştuğu için {0, 1, 2} elemanlarını içerir. Bu iki kümenin ortak elemanları {0, 1, 2} olduğundan kesişim kümesinin eleman sayısı 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirleme

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Karesi 9 veya 9'dan küçük olan tüm tam sayıları bulmak için.

2

B kümesinin elemanlarını belirleme

B = \{0, 1, 2\}

-2 ile 2 aralığındaki (2 dahil) doğal sayıları bulmak için (negatif sayılar doğal sayı değildir).

3

Kesişim kümesini ve eleman sayısını hesaplama

A \cap B = \{0, 1, 2\}

ve

s(A \cap B) = 3

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim işlemi, iki kümenin de ortak elemanlarından oluşan yeni bir küme tanımlar.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 67Soru →

Analitik düzlemde,

A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \leq 0\}

B = \{y \in \mathbb{R} : y^2 - 6y + 8 \leq 0\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki grafiği üzerinde alınan bir $(x,y)$ noktasının $|x - y| \leq 1$ koşulunu sağladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

3

4

\frac{7}{2}

\frac{9}{2}

\frac{15}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{2}$

Cevap

İstenen koşulu sağlayan bölgenin alanı

\frac{7}{2}

birimkaredir.

Kartezyen ��arpımın oluşturduğu dikdörtgen bölge ile

|x - y| \leq 1

şeridinin kesişim alanı, dikdörtgenin toplam alanından (

8

birimkare), ��eridin dışında kalan iki bölgenin alanlarının (

4

ve

0{}5

birimkare) çıkarılmasıyla

\frac{7}{2}

birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerini tanımlayan eşitsizlikleri çözerek kümeleri aralık olarak ifade edin.

A = [0, 4]

ve

B = [2, 4]

aralıkları elde edilir.

Kartezyen çarpımın sınırlarını belirlemek için küme elemanlarının hangi aralıklarda olduğunu bulmalıyız.

2

A \times B

kartezyen çarpım kümesini analitik düzlemde gösterin.

x \in [0, 4]

ve

y \in [2, 4]

sınırlarına sahip, kenarları eksenlere paralel ve alanı

4 \times 2 = 8

birimkare olan bir dikdörtgen elde edilir.

Kartezyen çarpımın geometrik temsilini oluşturarak üzerinde çalışacağımız ana bölgeyi tanımlamak gerekir.

3

|x - y| \leq 1

mutlak değerli eşitsizliğini açarak sınır doğrularını belirleyin.

-1 \leq x - y \leq 1 \Rightarrow x - 1 \leq y \leq x + 1

eşitsizlik şeridi elde edilir. Sınır doğruları

y = x - 1

ve

y = x + 1

doğrularıdır.

Kartezyen çarpım bölgesinin hangi kısmının istenen koşulu sağladığını belirlemek amacıyla sınırları bulmalıyız.

4

Eşitsizlik şeridi ile dikdörtgenin kesişim bölgesinin alanını geometrik olarak veya integral yardımıyla hesaplayın.

Kesişim bölgesinin dışında kalan alanlar: Üstte kalan yamuk bölgenin alanı

4

birimkare, sağ altta kalan üçgen bölgenin alanı ise

0{}5

birimkaredir. Dikdörtgenin toplam alanından bu dış bölgelerin alanları çıkarıldığında

8 - (4 + 0{}5) = 3{}5 = \frac{7}{2}

birimkare bulunur.

Kesişim bölgesinin doğrudan alanını bulmak yerine tümleyen alanları çıkarmak geometrik olarak daha pratiktir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki geometrik gösterimi ve bu bölge üzerinde tanımlanan eşitsizliklerin kesişim alanlarının bulunması.

Soru 68Soru →

Bir okuma kulübündeki $32$ üyenin tamamı bilimkurgu veya polisiye romanlarından en az birini okumaktadır. Bu kulüpte bilimkurgu romanı okuyan üye sayısı $20$ , polisiye romanı okuyan üye sayısı ise $18$ 'dir. Buna göre, bu kulüpte hem bilimkurgu hem de polisiye romanı okuyan kaç üye vardır?

2

6

8

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Her iki romanı da okuyan üye sayısı 6'dır.

Bilimkurgu okuyanların sayısı ile polisiye okuyanların sayısının toplamı olan 38 değeri, toplam üye sayısı olan 32'den çıkarıldığında hem bilimkurgu hem de polisiye okuyan 6 kişiye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerle ilgili birleşim formülünü oluşturmak.

s(B \cup P) = s(B) + s(P) - s(B \cap P)

formülü kullanılır. Burada B bilimkurgu, P polisiye okuyanların kümesidir.

Toplam üye sayısı, iki ayrı kümenin eleman sayılarının toplamından her iki kitabı da okuyanların (kesişim kümesi) çıkarılmasına eşittir.

2

Verilen sayısal değerleri formülde yerine yazarak bilinmeyeni çekmek.

32 = 20 + 18 - s(B \cap P)

eşitliğinden

32 = 38 - s(B \cap P)

elde edilir. Buradan

s(B \cap P) = 6

bulunur.

Her iki türü de okuyan ortak üyeler iki defa sayıldığı için toplam sayıdan farkı alınarak ortak üye sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülü ve küme problemleri uygulaması

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek kesişim kümesine 'x' denir. Bilimkurgu bölgesi '20 - x', polisiye bölgesi '18 - x' olarak yazılır. Tüm bölgelerin toplamı (20 - x) + x + (18 - x) = 32 denklemine eşitlenerek x = 6 bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 69Soru →

$p$ : " $2^3 + 1$ sayısı asal bir sayıdır."
$q$ : " $3^2 - 1$ sayısı çift bir sayıdır."
$r$ : " $(-2)^3$ sayısı negatif bir sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

(p \land q) \lor r'

p \land (q \lor r)

(p \lor q) \land r

(p \lor r') \land q'

q' \lor (p \land r)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(p \lor q) \land r$

Cevap

(p \lor q) \land r

Verilen basit önermelerin doğruluk değerleri incelendiğinde;

2^3+1 = 9

asal olmadığından

p \equiv 0

,

3^2-1 = 8

çift olduğundan

q \equiv 1

,

(-2)^3 = -8

negatif olduğundan

r \equiv 1

olarak bulunur. Bu değerler doğru olan bileşik önermede yerine yazıldığında

(0 \lor 1) \land 1 \equiv 1 \land 1 \equiv 1

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir önermenin doğruluk değerini belirleyin.

p \equiv 0

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 1

2^3+1 = 9

sayısı asal değildir (3'e bölünür), bu yüzden

p \equiv 0

olur.

3^2-1 = 8

sayısı çift bir sayıdır, bu yüzden

q \equiv 1

olur.

(-2)^3 = -8

sayısı negatif bir sayıdır, bu yüzden

r \equiv 1

olur.

2

Bulunan doğruluk değerlerini seçeneklerdeki bileşik önermelerde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

Doğru seçenekteki

(p \lor q) \land r

ifadesi için

(0 \lor 1) \land 1 \equiv 1 \land 1 \equiv 1

elde edilir.

Her bir seçenekteki mantıksal bağlaçların kurallarını uygulayarak doğruluk değerlerini karşılaştırmak.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerini bulma

Soru 70Soru →

Bir yaz okulunda sadece basketbol ve futbol kursları açılmış ve bu iki kurstan en az birine katılan toplam 40 öğrenci olduğu bilinmektedir. Bu öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece basketbol kursuna katılan öğrenci sayısı, her iki kursa da katılan öğrenci sayısının 3 katıdır.
* Sadece futbol kursuna katılan öğrenci sayısı, basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısına eşittir.

Buna göre, her iki kursa da katılan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Her iki kursa da katılan öğrenci sayısı 5'tir.

Her iki kursa katılan öğrenci sayısı

x

olarak tanımlandığında, sadece basketbol kursuna katılanlar

3x

, basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısı

3x + x = 4x

ve sadece futbol kursuna katılanlar

4x

olur. Tüm bölgelerin toplamı

3x + x + 4x = 8x = 40

olup, buradan

x = 5

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki kursa da katılan öğrenci sayıs��nı bir değişkenle ifade etme.

s(B \cap F) = x

Diğer tüm küme bölgelerini bu temel değişken cinsinden yazabilmek için.

2

Sadece basketbol kursuna katılan öğrenci sayısını belirleme.

s(B \setminus F) = 3x

Soruda bu sayının, her iki kursa da katılanların 3 katı olduğu belirtilmiştir.

3

Basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısını hesaplama.

s(B) = 4x

Basketbol oynayanların toplamı, sadece basketbol oynayanlar (

3x

) ile her iki kursa katılanların (

x

) toplamıdır.

4

Sadece futbol kursuna katılan öğrenci sayısını bulma.

s(F \setminus B) = 4x

Soruda sadece futbol oynayanların sayısının, basketbol oynayanların toplam sayısına (

s(B)

) eşit olduğu belirtilmiştir.

5

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülüyle denklemi kurup çözme.

3x + x + 4x = 40 \implies 8x = 40 \implies x = 5

Gruptaki tüm öğrencilerin toplamı, her iki kümenin birleşimine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri ile Eleman Sayısı Hesaplama

Soru 71Soru →

Bir halk eğitim merkezinde açılan Ahşap Boyama, Seramik ve Sepet Örücülüğü kurslarına katılan toplam $80$ kursiyer ile ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir kursiyer bu üç kurstan en az birine katılmaktadır.
* Yalnız bir kursa katılan kursiyer sayısı, en az iki kursa katılan kursiyer sayısının $3$ katıdır.
* En çok iki kursa katılan kursiyer sayısı $75$ 'tir.

Buna göre, bu halk eğitim merkezinde yaln��z iki kursa katılan kursiyer sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Yalnız iki kursa katılan kursiyer sayısı 15'tir.

Toplam 80 kursiyer bulunmaktadır. Yalnız 1 kursa katılanlar

a

, yalnız 2 kursa katılanlar

b

, 3 kursa katılanlar

c

olmak üzere;

a + b + c = 80

olur. 'Yalnız bir kursa katılanlar, en az iki kursa katılanların 3 katı' olduğundan

a = 3(b+c)

yazılır. Buradan

4(b+c) = 80 \Rightarrow b+c = 20

ve

a = 60

bulunur. 'En çok iki kursa katılanlar'

a+b = 75

olduğuna göre,

60+b=75

eşitliğinden yalnız iki kursa katılanların sayısı

b=15

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Katılımcı sayılarını bölgelere göre değişkenlerle ifade etme.

Yalnız 1 kursa katılanlar:

a

, yalnız 2 kursa katılanlar:

b

, 3 kursa katılanlar:

c

Kümelerin kesişim bölgelerini gruplandırarak cebirsel ifadeler oluşturmak için.

2

Verilen toplam katılımcı sayısını denklem haline getirme.

a + b + c = 80

Her kursiyerin en az bir kursa katıldığı bilgisini kullanmak için.

3

En az iki kursa katılanlar ile yalnız bir kursa katılanlar arasındaki ilişkiyi kullanarak

a

ve

b+c

değerlerini bulma.

b + c = 20

ve

a = 60

a = 3(b + c)

eşitliğini

a + b + c = 80

denkleminde yerine koyarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.

4

En çok iki kursa katılanlar bilgisinden yararlanarak yalnız iki kursa katılanların sayısını (

b

) hesaplama.

b = 15

a + b = 75

denkleminde

a = 60

yazarak

b

değerini çekmek için.

Anahtar Kavram

Kümelerde bölge belirleme ve denklem kurma yoluyla küme problemlerini çözme.

Soru 72Soru →

Bir

A

kümesi

A = \{ \emptyset, \{\emptyset\}, 1, \{1\}, \{1, \emptyset\} \}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan tüm elemanların oluşturduğu kümenin alt küme sayısı kaçtır?

4

8

16

32

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Hem eleman hem de alt küme olma koşulunu sağlayan 4 elemanın oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 16'dır.

Hem eleman hem de alt küme olma koşulunu sağlayan elemanlar boş küme, boş küme içeren küme, 1 içeren küme, 1 ve boş küme içeren kümedir. Bu 4 elemanın oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirleme

A kümesinin eleman sayısı 5'tir ve elemanları: boş küme, boş küme içeren küme, 1 sayısı, 1 içeren küme, ve 1 ile boş küme içeren kümedir.

Soruda verilen kümenin elemanlarını doğru analiz etmek, hangi elemanların alt küme şartını da sağladığını bulmanın ilk adımıdır.

2

Elemanların alt küme olma durumlarını inceleme

Boş küme her kümenin alt kümesidir. Diğer küme parantezli elemanların içindeki ögeler (boş küme ve 1) A kümesinin elemanı olduğu için bu kümeler de A'nın alt kümesidir. Ancak 1 sayısı küme parantezi içinde olmadığı için tek başına alt küme olamaz.

Bir elemanın alt küme olabilmesi için küme yapısında olması ve içindeki elemanların ana kümede bulunması gerekir.

3

Koşulu sağlayan elemanları listeleme ve alt küme sayısını hesaplama

Koşulu sağlayan 4 eleman vardır. Bu elemanların oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 2 üzeri 4 işleminden 16 olarak bulunur.

İstenen kümenin eleman sayısını kullanarak bu yeni kümenin alt küme sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma ile alt kümesi olma kavramları arasındaki farklar ve boş küme sembolünün bu kavramlardaki rolü.

Soru 73Soru →

Bir

A

kümesi,

A = \{ 3, \{4\}, \{3, 4\}, 4 \}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin tüm elemanları aynı zamanda $A$ kümesinin de birer alt kümesidir?

1

2

4

8

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tüm elemanları aynı zamanda

A

kümesinin de birer alt kümesi olan alt kümelerin sayısı

4

'tür.

Doğru seçenekte belirtilen

4

sayısı,

A

kümesinin elemanlarından alt küme olma şartını sağlayan

\{4\}

ve

\{3, 4\}

elemanları ile oluşturulabilecek tüm alt kümelerin sayısıdır (

2^2 = 4

). Bunlar boş küme, yalnızca

\{4\}

elemanını içeren küme, yalnızca

\{3, 4\}

elemanını içeren küme ve her ikisini birden içeren kümedir.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını belirleyelim.

A

kümesinin elemanları

3

,

\{4\}

,

\{3, 4\}

ve

4

olmak üzere

4

tanedir.

Kümeyi oluşturan her bir nesneyi doğru tanımlamak için elemanları listeleriz.

2

A

kümesinin elemanlarından hangilerinin aynı zamanda

A

kümesinin birer alt kümesi olduğunu kontrol edelim.

\\{4\\}

elemanı için

4 \in A

olduğundan

\{4\} \subseteq A

doğrudur.

\{3, 4\}

elemanı için

3 \in A

ve

4 \in A

olduğundan

\{3, 4\} \subseteq A

doğrudur. Ancak

3

ve

4

elemanları küme olmadıklar��ndan alt küme belirtmezler.

Alt küme tanımına göre, bir kümenin alt küme olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının ana kümenin de elemanı olması gerekir.

3

Koşulu sağlayan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısını hesaplayalım.

İstenen koşulu sağlayan elemanlar kümesi

\{\{4\}, \{3, 4\}\}

olup eleman sayısı

2

'dir. Bu kümenin alt kümelerinin sayısı

2^2 = 4

olarak bulunur.

A

kümesinin alt kümelerinden elemanları yalnızca

\{4\}

ve

\{3, 4\}

olanların tüm elemanları

A

'nın alt kümesidir. Bu da

\{\{4\}, \{3, 4\}\}

kümesinin alt kümelerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme sembolleri ile alt küme sayısı hesabı.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan alt kümeleri tek tek yazarak da bulabiliriz: Boş küme

\emptyset

(elemanı yoktur, koşul sağlanır),

\{\{4\}\}

(tek elemanı

\{4\}

'tür ve

\{4\} \subseteq A

sağlanır),

\{\{3, 4\}\}

(tek elemanı

\{3, 4\}

'tür ve

\{3, 4\} \subseteq A

sağlanır),

\{\{4\}, \{3, 4\}\}

(iki elemanı da

A

'nın alt kümesidir). Toplamda 4 tane küme elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 74Soru →

Bir mahallede yapılan çevre düzenleme çalışmasında mahalle sakinleri fidan dikme ( $F$ ), çiçek ekme ( $C$ ) ve duvar boyama ( $B$ ) faaliyetlerinden en az birine katılmıştır. Bu çalışmaya katılan toplam sakin sayısı $68$ 'dir.

Bu faaliyetlere katılım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her üç faaliyete de katılan sakin sayısı $4$ 'tür.
- Fidan dikip çiçek eken fakat duvar boyamayan sakin sayısı ile duvar boyayıp çiçek eken fakat fidan dikmeyen sakin sayısı birbirine eşittir.
- Duvar boyayıp fidan diken fakat çiçek ekmeyen sakin sayısı $6$ 'dır.
- Sadece iki faaliyete katılan toplam sakin sayısı $18$ 'dir.
- Fidan dikme faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece çiçek eken sakin sayısının $2$ katıdır.
- Duvar boyama faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece fidan diken sakin sayısının $3$ katıdır.

Buna göre, bu çalışmada duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı 36'dır.

Soruda verilen küme ilişkileri cebirsel olarak modellendiğinde, sadece fidan diken sakin sayısı (a) 12 olarak bulunur. Duvar boyama faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece fidan dikenlerin 3 katı olarak verildiğinden 3 * 12 = 36 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sadece iki faaliyete katılan sakinlerin sayısından yola çıkarak ikişerli kesişim bölgelerinin eleman sayılarını belirlemek.

d = e = 6

ve

f = 6

olarak bulunur.

Sadece iki faaliyete katılan sakin sayısı

18

olarak verilmiştir. Kesişim bölgelerinden

f = 6

ve diğer iki bölge eşit (

d = e

) olduğundan

2d + 6 = 18

eşitliğinden

d = e = 6

elde edilir.

2

Toplam sakin sayısını kullanarak sadece tek bir faaliyete katılan sakinlerin toplam sayısını (

a + b + c

) bulmak.

a + b + c = 46

olarak bulunur.

Tüm bölgelerin toplamı

68

'dir. İkişerli kesişimlerin toplamı (

18

) ve üçlü kesişim (

4

) toplam sakin sayısından çıkarıldığında

68 - 18 - 4 = 46

bulunur.

3

Verilen oranları cebirsel olarak ifade edip tek bilinmeyenli denklem kurarak sadece fidan dikenlerin sayısını (

a

) bulmak.

a = 12

olarak bulunur.

s(F) = a + 16 = 2b

ve

s(B) = c + 16 = 3a

eşitliklerinden

b = \frac{a+16}{2}

ve

c = 3a - 16

yazılır. Bu değerler

a + b + c = 46

denkleminde yerine konduğunda

9a = 108 \implies a = 12

elde edilir.

4

Bulunan

a

değerini kullanarak duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısını (

s(B)

) hesaplamak.

s(B) = 36

olarak bulunur.

Boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı

s(B) = 3a

olarak tanımlanmıştır.

a = 12

değeri yerine yazıldığında

3 \times 12 = 36

elde edilir.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Venn Şeması ve Cebirsel Modelleme

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 75Soru →

Bir okuldaki 54 öğrencinin tamamı İngilizce ( $I$ ), Almanca ( $A$ ) ve Fransızca ( $F$ ) dil kurslarından istediklerine katılabilmektedir. Bu okulda bu üç dil kursundan hiçbirine katılmayan öğrenciler de bulunmaktadır. Kurslara katılan öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca bir dil kursuna katılan öğrenci sayısı 24'tür.
* En az iki dil kursuna katılan öğrenci sayısı 18'dir.
* Yalnızca iki dil kursuna katılan öğrenci sayısı, üç dil kursuna da katılan öğrenci sayısının iki katıdır.

Buna göre, bu okuldaki öğrencilerden oluşturulan

(I \setminus A)' \cap (A \setminus F)' \cap (F \setminus I)'

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

6

12

18

30

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Doğru cevap 18'dir. Bu değer, hiçbir dil kursuna katılmayan 12 öğrenci ile her üç dil kursuna da katılan 6 öğrencinin toplamıdır.

İstenen

(I \setminus A)' \cap (A \setminus F)' \cap (F \setminus I)'

kümesi mantıksal olarak analiz edildiğinde, bu kümenin elemanlarının ya hiçbir dil kursuna katılmayan öğrenciler (evrensel kümenin bu üç küme dışındaki kısmı) ya da her üç dil kursuna da katılan öğrenciler olduğu görülür. Sayısal verilerden hiçbir kursa katılmayan öğrenci sayısı 12, her üç kursa katılan öğrenci sayısı ise 6 olarak bulunur. Bu iki grup ayrık olduğundan, toplam eleman sayısı 12 + 6 = 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen küme ifadesindeki fark işlemlerini kesişim ve tümleyen cinsinden yazarak sadeleştirelim.

I \setminus A = I \cap A'

kuralından hareketle;

(I \setminus A)' = I' \cup A

,

(A \setminus F)' = A' \cup F

ve

(F \setminus I)' = F' \cup I

ifadeleri elde edilir.

Tümleme ve fark işlemlerini daha kolay analiz edebilmek için kümeyi birleşim ve kesişim formuna dönüştürmek gerekir.

2

Elde edilen bu üç tümleyen kümesinin kesişim kümesini (

T

) mantıksal olarak analiz edelim.

T = (I' \cup A) \cap (A' \cup F) \cap (F' \cup I)

kümesindeki bir

x

elemanı için:

x

herhangi bir kümeye ait değilse (

x \in I', A', F'

) bu kesişimin elemanıdır. Eğer

x \in I

ise sırasıyla

x \in A

ve

x \in F

olmalıdır. Dolayısıyla

T = (I \cup A \cup F)' \cup (I \cap A \cap F)

olur.

Kesişim kümesinin hangi bölgeleri kapsadığını belirlemek için elemanların aitlik durumlarını tek tek incelemek gerekir.

3

Verilen sayısal verilerden yararlanarak gerekli alt kümelerin eleman sayılarını bulalım.

Kursa katılan toplam öğrenci sayısı

24 + 18 = 42

'dir. Hiçbir kursa katılmayanlar

s((I \cup A \cup F)') = 54 - 42 = 12

olur. Üç kursa katılanlar için;

2x + x = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6

bulunur.

Evrensel kümedeki eleman dağılımlarını kullanarak hedef kümenin bileşenlerinin büyüklüklerini hesaplamak gerekir.

4

Bulunan değerleri birleştirerek nihai kümenin eleman sayısını hesaplayalım.

s(T) = s((I \cup A \cup F)') + s(I \cap A \cap F) = 12 + 6 = 18

bulunur.

Birleşim işleminin eleman sayısını bulmak için ayrık iki kümenin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin mantıksal analizle sadeleştirilmesi ve eleman sayısının Venn şeması bölgelerine göre hesaplanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 76Soru →

Bir spor salonundaki $40$ üyenin tamamı pilates veya yoga derslerinden en az birine katılmaktadır. Bu salonda pilates dersine katılan üye sayısı $26$ , yoga dersine katılan üye sayısı ise $22$ 'dir.

Buna göre, bu salonda hem pilates hem de yoga dersine katılan üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Her iki derse de katılan üye sayısı

8

'dir.

Pilates ve yoga derslerine katılanların küme eleman sayıları toplamı

26 + 22 = 48

kişidir. Ancak salondaki toplam üye sayısı

40

olduğuna göre, aradaki

8

kişilik fark her iki derse de katılan ve iki kez sayılan kişilerden oluşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme birleşim formülünün kurulması.

s(P \cup Y) = s(P) + s(Y) - s(P \cap Y)

İki kümenin eleman sayıları toplanırken ortak bölgedeki elemanların iki kez sayılmasını önlemek amacıyla kesişim kümesinin eleman sayısı toplamdan çıkarılır.

2

Verilen sayısal verilerin formülde yerine yazılması.

40 = 26 + 22 - s(P \cap Y)

Soruda verilen toplam üye sayısı birleşimi, pilatese katılanlar

P

kümesini, yogaya katılanlar ise

Y

kümesini belirtmektedir.

3

Oluşan birinci dereceden denklemin çözülmesi.

s(P \cap Y) = 8

40 = 48 - s(P \cap Y)

eşitliğinde bilinmeyen terim yalnız bırakılarak her iki derse katılan kişi sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde iki kümenin birleşimi ve kesişimi arasındaki ilişki

Soru 77Soru →

Sıfıra eşit olmayan $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için aşağıdaki önermeler tanımlanmıştır:

$p$ : " $a$ ve $b$ sayıları zıt işaretlidir."
$q$ : " $b$ ve $c$ sayıları aynı işaretlidir."
$r$ : " $a + c > 0$ "

((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ tam sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

+, +, -

+, -, -

+, -, +

-, -, +

-, +, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, -, +

Cevap

İşaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Bileşik önermenin doğruluk değeri 0 olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşenin de 0 olması gerekir. Buradan

((p' \Rightarrow q)' \equiv 0

ve

q \lor r' \equiv 0

elde edilir. İkinci kısımdan

q \equiv 0

ve

r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1

bulunur. Birinci kısımda ise

p' \Rightarrow q \equiv 1

olur.

q \equiv 0

olduğundan,

p' \Rightarrow 0 \equiv 1

ifadesinin doğru olması için

p' \equiv 0

yani

p \equiv 1

olmalıdır. Bulunan doğruluk değerlerine göre,

p

önermesi doğru olduğundan

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q

önermesi yanlış olduğundan

b

ve

c

aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda

a

ve

c

aynı işaretli olur.

r

önermesi doğru olduğundan

a + c > 0

dır. Aynı işaretli iki sayının toplamı pozitif olduğundan hem

a

hem de

c

pozitif olmak zorundadır.

a

pozitif ve

b

ile zıt işaretli olduğundan

b

negatif olmalıdır. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini bileşenlerine ayırmak.

((p' \Rightarrow q)' \lor (q \lor r')) \equiv 0

ise veya (

\lor

) bağlacının kuralı gereği hem

(p' \Rightarrow q)' \equiv 0

hem de

q \lor r' \equiv 0

olmalıdır.

Veya bağlacıyla bağlanmış iki ifadenin sonucu ancak her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.

2

q

ve

r

önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.

q \lor r' \equiv 0

ifadesinden

q \equiv 0

ve

r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1

bulunur.

Veya bağlacının özelliğinden dolayı

q

ve

r'

sıfıra eşit olmalıdır, dolayısıyla

r

önermesi 1 olur.

3

p

önermesinin doğruluk değerini bulmak.

(p' \Rightarrow q)' \equiv 0 \Rightarrow p' \Rightarrow q \equiv 1

olur.

q \equiv 0

değerini yerine yazarsak

p' \Rightarrow 0 \equiv 1

elde edilir. İse bağlacının kuralına göre sonucun 1 olması için önermenin birinci kısmının 0 olması gerekir, yani

p' \equiv 0 \Rightarrow p \equiv 1

bulunur.

İse (

\Rightarrow

) bağlacında sonucun 1, ikinci bileşenin 0 olduğu tek durum, birinci bileşenin de 0 olması durumudur.

4

Önermelerin doğruluk değerlerini sayılarla ilişkilendirmek.

p \equiv 1

olduğundan

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q \equiv 0

olduğundan

b

ve

c

aynı işaretli değildir, yani zıt işaretlidir. Bu durumda

a

ve

c

aynı işaretli olur.

Bulunan doğruluk değerleri (

p \equiv 1

,

q \equiv 0

) önermelerin sözel ifadeleriyle karşılaştırılarak sayıların işaret ilişkileri belirlenir.

5

a

,

b

ve

c

tam sayılarının kesin işaretlerini belirlemek.

r \equiv 1

olduğundan

a + c > 0

dır.

a

ve

c

aynı işaretli olduğundan ve toplamları pozitif olduğundan her ikisi de pozitif (

a > 0

,

c > 0

) olmalıdır.

a

pozitif ve

b

ile zıt işaretli olduğundan

b

negatif (

b < 0

) olur. Dolayısıyla işaretler sırasıyla +, -, + şeklindedir.

Aynı işaretli iki sayının toplamının pozitif olması, her iki sayının da pozitif olmasını gerektirir. Buradan hareketle tüm değişkenlerin işaretleri kesinleşir.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin çözümlenmesi ve bu değerlerin reel/tam sayı özellikleri ve eşitsizlikler ile ilişkilendirilmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 78Soru →

$A = \{x \mid 10 < x < 20, \text{ } x \text{ bir asal sayı}\}$

$B = \{x \mid 10 < x < 20, \text{ } x \text{ bir tek sayı}\}$

kümeleri veriliyor. Buna göre, $s(A \cup B)$ kaçtır?

4

5

6

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Birleşim kümesinin eleman sayısı 5'tir.

A kümesi 10 ile 20 arasındaki asal sayıları (

A = \{11, 13, 17, 19\}

), B kümesi ise 10 ile 20 arasındaki tek sayıları (

B = \{11, 13, 15, 17, 19\}

) temsil etmektedir. A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de bir elemanı olduğundan

A \subset B

bağıntısı vardır. Alt küme özelliğinden dolayı

A \cup B = B

olur. Dolayısıyla birleşim kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısı olan 5'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını listeleyelim.

A = \{11, 13, 17, 19\}

ve

s(A) = 4

10 ile 20 arasındaki asal sayılar belirlenmiştir.

2

B kümesinin elemanlarını listeleyelim.

B = \{11, 13, 15, 17, 19\}

ve

s(B) = 5

10 ile 20 arasındaki tek sayılar belirlenmiştir.

3

A ve B kümelerinin birleşim kümesini (

A \cup B

) oluşturalım.

A \cup B = \{11, 13, 15, 17, 19\}

ve

s(A \cup B) = 5

A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanı olduğundan (

A \subset B

), birleşim kümesi B kümesine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim işlemi ve alt küme ilişkisi

Soru 79Soru →

Bir

K

kümesi

K = \{ x, \{x\}, \{x, y\}, \emptyset \}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,
I. $\{x\} \in K$ ve $\{x\} \subset K$
II. $\{x, y\} \subset K$
III. $\{\emptyset\} \subset K$ ve $\emptyset \in K$

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerini içeren seçenek

Birinci ifadede verilen {x} ifadesi K kümesinin liste yöntemindeki gösteriminde doğrudan bir eleman olarak yer aldığından {x} ∈ K doğrudur. Ayrıca x elemanı K kümesinin bir elemanı olduğu için bu elemandan oluşan {x} kümesi K kümesinin bir alt kümesidir, yani {x} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Üçüncü ifadede boş küme sembolü K kümesinin bir elemanı olarak listede yer aldığından ∅ ∈ K doğrudur. Bu elemanı içeren {∅} kümesi de K'nin bir alt kümesi olacağından {∅} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla I ve III ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

K kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleyin.

K kümesinin elemanları sırasıyla x, {x}, {x, y} ve boş küme (∅) olmak üzere 4 elemanlıdır.

Kümelerdeki elemanları tek tek belirlemek, eleman (∈) ve alt küme (⊂) ilişkilerini doğru analiz etmek için ilk adımdır.

2

Birinci ifadeyi ( {x} ∈ K ve {x} ⊂ K ) inceleyin.

{x} ifadesi K kümesinin elemanlarından biri olduğu için {x} ∈ K doğrudur. Ayrıca x elemanı K kümesinin bir elemanı olduğu için {x} kümesi K kümesinin bir alt kümesidir, yani {x} ⊂ K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla birinci ifade tamamen doğrudur.

Bir kümenin bir elemanını süslü parantez içine aldığımızda elde edilen tek elemanlı küme, o kümenin bir alt kümesi olur.

3

İkinci ifadeyi ( {x, y} ⊂ K ) inceleyin.

{x, y} kümesinin K kümesinin bir alt kümesi olabilmesi için hem x hem de y elemanlarının K kümesinin birer elemanı olması gerekir. x ∈ K iken y ∉ K'dir (y elemanı tek başına değil, sadece {x, y} elemanının içinde yer almaktadır). Bu yüzden {x, y} ⊂ K ifadesi yanlıştır.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için o alt kümedeki tüm elemanların ana kümede de bağımsız birer eleman olarak bulunması gerekir.

4

Üçüncü ifadeyi ( {∅} ⊂ K ve ∅ ∈ K ) inceleyin.

∅ sembolü K kümesinin eleman listesinde doğrudan yer aldığı için ∅ ∈ K doğrudur. ∅ elemanını barındıran {∅} kümesi de K'nin bir alt kümesi olacağından {∅} ⊂ K doğrudur. Dolayısıyla üçüncü ifade tamamen doğrudur.

Bir kümenin elemanı olan boş küme sembolü ile boş kümeyi eleman kabul eden alt küme arasındaki ilişkiyi doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Sembollerinin Kullanımı ve Farkları

Soru 80Soru →

A = \{x \in \mathbb{N} : -3x \geq -9 \text{ ve } x < 5\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : -1 < y \leq 2\}

kümeleri veriliyor. Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

6

7

9

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 12'dir.

A

kümesindeki

-3x \geq -9

eşitsizliği her iki taraf

-3

'e bölünerek çözüldüğünde, negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve

x \leq 3

elde edilir.

x < 5

koşuluyla birlikte

x \leq 3

olur.

x \in \mathbb{N}

olduğundan

A = \{0, 1, 2, 3\}

kümesi elde edilir ve

s(A) = 4

olur.

B

kümesi için

-1 < y \leq 2

koşulunu sağlayan

y

tam sayıları

B = \{0, 1, 2\}

şeklindedir ve

s(B) = 3

olur. Buradan

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 4 \cdot 3 = 12

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek

A = \{0, 1, 2, 3\}

ve

s(A) = 4

-3x \geq -9

eşitsizliğinde her iki taraf

-3

'e bölündüğünde negatif sayıya bölme kuralı gereği eşitsizlik yön değiştirir ve

x \leq 3

olur.

x < 5

koşuluyla birleştirildiğinde yine

x \leq 3

elde edilir.

x \in \mathbb{N}

(doğal sayılar) olduğundan

A

kümesi

\{0, 1, 2, 3\}

elemanlarından oluşur.

2

B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek

B = \{0, 1, 2\}

ve

s(B) = 3

-1 < y \leq 2

koşulunu sağlayan

y

tam sayıları

0, 1, 2

değerleridir.

3

A x B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak

s(A \times B) = 12

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir:

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 4 \cdot 3 = 12

.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Tahmini Süre:1m 30s

Kümeler ve Mantık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap