Hız ve Hareket Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir elektrikli otomobil sürücüsü, batarya tasarrufu yapmak amacıyla evinden iş yerine giderken saatte ortalama $40\text{ km}$ hızla seyahat etmiştir. Akşam eve dönerken ise aynı yolu saatte ortalama $60\text{ km}$ hızla geri dönmüştür.

Buna göre, bu otomobilin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

45

48

50

52

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Ortalama hız saatte 48 kilometredir.

Ortalama hız hesaplanırken gidiş ve dönüşte harcanan sürelerin ayrı ayrı bulunarak toplam yola oranlanması gerekir. Ev ile iş yeri arasındaki mesafeye

d

denildiğinde gidiş süresi

\frac{d}{40}

saat, dönüş süresi ise

\frac{d}{60}

saat olur. Toplam süre

\frac{d}{24}

saat olarak bulunur. Gidiş ve dönüşün oluşturduğu toplam

2d

uzunluğundaki yol bu toplam süreye bölündüğünde ortalama hız saatte 48 kilometre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ev ile iş yeri arasındaki tek yönlü mesafeye

d

kilometre diyelim. Gidiş süresini (

t_1

) bulmak için

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

formülünü kullanalım.

t_1 = \frac{d}{40}

saat

Gidiş hızı saatte ortalama

40\text{ km}

olarak verilmiştir.

2

Dönüş süresini (

t_2

) bulmak için aynı yolu dönüş hızıyla bölelim.

t_2 = \frac{d}{60}

saat

Dönüş hızı saatte ortalama

60\text{ km}

olarak verilmiştir.

3

Gidiş ve dönüş için harcanan toplam süreyi (

t_{\text{toplam}}

) payda eşitleyerek toplayalım.

t_{\text{toplam}} = \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d + 2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24}

saat

40

ve

60

sayılarının en küçük ortak katı

120

'dir.

4

Ortalama hız formülü olan

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

bağıntısını uygulayalım. Gidiş-dönüş toplam yol

2d

kilometredir.

V_{\text{ort}} = \frac{2d}{\frac{d}{24}} = 2d \cdot \frac{24}{d} = 48\text{ km/sa}

Birinci terim aynen yazılıp ikinci terim ters çevrilerek çarpıldığında

d

değişkenleri sadeleşir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranıdır. Hızlar farklı olduğunda süreler de farklı olacağından doğrudan aritmetik ortalama alınamaz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir atlet, antrenman yapmak için doğrusal bir koşu parkurunun başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru sabit bir hızla koşmaya başlamıştır. Bu atlet yolun $\frac{2}{5}$ 'sini koştuktan sonra hız��nı $\%25$ oranında azaltmış ve yolun kalan kısmını bu yeni hızıyla tamamlamıştır.

Atletin parkuru tamamlama süresi, başlangıçtaki sabit hızıyla hiç hız değiştirmeden koşması durumundaki süreden $6$ dakika daha fazla olmuştur.

Buna göre, atlet başlangıçtaki sabit hızıyla bu parkurun tamamını kaç dakikada koşabilirdi?

24

30

42

45

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Atlet başlangıçtaki sabit hızıyla bu parkurun tamamını

30

dakikada koşabilirdi.

Atletin yolun ilk kısmı için harcadığı süre

\frac{2x}{v}

, ikinci kısmı için harcadığı süre ise

\frac{3x}{0,75v} = \frac{4x}{v}

'dir. Toplam süre

\frac{6x}{v}

olur. Normalde sabit hızla gideceği süre

\frac{5x}{v}

olacağından, aradaki fark

\frac{x}{v} = 6

dakikadır. Parkurun tamamını normal hızla koşma süresi ise

\frac{5x}{v} = 5 \times 6 = 30

dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parkurun toplam uzunluğunu ve atletin başlangıç hızını değişkenlerle ifade etme.

Yolun tamamı

5x

, başlangıçtaki hız

v

olsun.

İşlemleri kolaylaştırmak için paydadaki

5

değerine uygun olarak toplam yolu

5x

olarak seçiyoruz.

2

Yolun her iki bölümü için geçen süreleri hesaplama.

İlk bölüm (

2x

mesafe,

v

hızı) için geçen süre

t_1 = \frac{2x}{v}

olur. İkinci bölüm (

3x

mesafe,

\%25

azaltılmış hız yani

0,75v = \frac{3}{4}v

) için geçen süre

t_2 = \frac{3x}{\frac{3}{4}v} = \frac{4x}{v}

olur.

Farklı hızlarda geçen süreleri bulmak için Süre = Yol / Hız formülünü kullanırız.

3

Gerçekleşen toplam süre ile planlanan normal süreyi karşılaştıran denklemi kurma.

Gerçekleşen toplam s��re

t_1 + t_2 = \frac{2x}{v} + \frac{4x}{v} = \frac{6x}{v}

dakikadır. Eğer sabit hızla koşsaydı süre

\frac{5x}{v}

dakika olacaktı. Aradaki fark:

\frac{6x}{v} - \frac{5x}{v} = \frac{x}{v} = 6

dakikadır.

Verilen

6

dakikalık gecikme bilgisini kullanarak

x

ile

v

arasındaki ilişkiyi buluruz.

4

Başlangıçtaki sabit hızla parkurun tamamının koşulma süresini hesaplama.

Parkurun tamamı

5x

uzunluğundadır ve normal hız

v

olduğuna göre normal süre

\frac{5x}{v} = 5 \times \frac{x}{v} = 5 \times 6 = 30

dakikadır.

Soruda bizden istenen başlangıçtaki normal süreyi bulmaktır.

Anahtar Kavram

Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki ile yüzde/oran hesaplamaları.

Alternatif Yöntem

Süre farkı üzerinden doğrudan oran kurularak da çözülebilir. Hız

\%25

azaldığında (

1

'den

\frac{3}{4}

'e düştüğünde), geçen süre

\frac{4}{3}

katına çıkar. Yani kalan yol için normal sürenin

\frac{1}{3}

'ü kadar bir gecikme yaşanır. Bu

\frac{1}{3}

'lük gecikme

6

dakikaya eşitse, yolun kalan

\frac{3}{5}

'lik kısmının normal geçiş süresi

18

dakikadır. Yolun

\frac{3}{5}

'i

18

dakikada koşuluyorsa, tamamı (

\frac{5}{5}

'i) doğru orantıdan

30

dakikada koşulur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 23Soru →

Bir kargo firması, $A$ ve $B$ istasyonları arasındaki paket gönderimini havadan sabit hızla uçan bir drone ile gerçekleştirmektedir. Rüzgarsız bir günde bu drone, $A$ istasyonundan $B$ istasyonuna gidip hiç beklemeden geri dönmüştür. Bu gidiş-dönüş yolculuğu toplam $96$ dakika sürmüştür. Ertesi gün, $A$ istasyonundan $B$ istasyonuna doğru saatte $30$ km sabit hızla esen rüzgarlı bir havada, drone aynı sabit hızla $A$ 'dan $B$ 'ye gitmiş ve hiç beklemeden $A$ istasyonuna geri dönmüştür. Rüzgarlı gündeki bu gidiş-dönüş yolculuğu ise toplam $150$ dakika sürmüştür. Buna göre, iki istasyon arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

27

36

40

45

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İki istasyon arasındaki uzaklık 40 kilometredir.

Doğru cevap olan 40, drone'un durgun sudaki hızının (

50

km/sa) bulunması ve bu değerin durgun havadaki tek yönlü süre olan

0.8

saat ile çarpılması sonucunda elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Rüzgarsız havada drone'un A ve B istasyonları arasındaki gidiş-dönüş süresini saat cinsine çevirerek hız ve mesafe arasındaki ilişkiyi kurmak.

T_0 = 96\text{ dakika} = \frac{96}{60}\text{ saat} = 1.6\text{ saat}

olur. Gidiş-dönüş toplam yolu

2d

olduğuna göre, drone'un durgun sudaki hızı

v

olmak üzere:

2d = v \cdot 1.6 \implies d = 0.8v

elde edilir.

Rüzgarsız havada drone'un hızı gidiş ve dönüşte aynıdır.

2

Rüzgarlı havada gidiş ve dönüş sürelerini belirlemek ve toplam süreye eşitlemek.

T_w = 150\text{ dakika} = \frac{150}{60}\text{ saat} = 2.5\text{ saat}

olur. Drone gidişte rüzgarı arkasına aldığından hızı

v+30

, dönüşte ise rüzgara karşı uçtuğundan hızı

v-30

olur. Buradan:

\frac{d}{v+30} + \frac{d}{v-30} = 2.5

denklemi elde edilir.

Drone rüzgar yönünde hızlanır, rüzgara karşı ise yavaşlar.

3

İlk adımdaki

d = 0.8v

ifadesini ikinci adımdaki denklemde yerine koyarak drone'un durgun sudaki hızını çözmek.

\frac{0.8v}{v+30} + \frac{0.8v}{v-30} = 2.5 \implies 0.8v \left( \frac{2v}{v^2-900} \right) = 2.5 \implies \frac{1.6v^2}{v^2-900} = 2.5 \implies 1.6v^2 = 2.5v^2 - 2250 \implies 0.9v^2 = 2250 \implies v^2 = 2500 \implies v = 50\text{ km/sa}

bulunur.

Değişkenleri yerine koyarak tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklemi çözmek.

4

Bulunan hız değerini kullanarak mesafeyi hesaplamak.

d = 0.8v \implies d = 0.8 \cdot 50 = 40\text{ km}

olarak bulunur.

Durgun sudaki hız ve süre ilişkisini kullanarak tek yönlü mesafeyi belirlemek.

Anahtar Kavram

Rüzgar veya akıntı gibi dış etkenlerin bulunması durumunda ortalama hız, gidiş ve dönüş hızlarının aritmetik ortalamasına eşit değildir. Toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 24Soru →

Bir bisikletçi, $A$ ve $B$ kentleri arasındaki yolu sabit hızlarla gidip gelmiştir. Bu yolun bir kısmı düz, geri kalan kısmı ise yokuştur.

Bisikletçinin hızı; düz yolda saatte $15\text{ km}$ , yokuş yukarı çıkarken saatte $10\text{ km}$ , yokuş aşağı inerken ise saatte $30\text{ km}$ 'dir.

Bisikletçi, $A$ 'dan $B$ 'ye $5$ saatte gitmiş; hiç durmadan geri dönerek $B$ 'den $A$ 'ya $3$ saatte gelmiştir.

Buna göre, bisikletlinin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

12

14

15

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bisikletlinin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 15 kilometredir.

Doğru cevap, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Bisikletçinin gidişte düz yolda geçirdiği süre ile yokuşta geçirdiği sürenin toplamı 5 saattir. Dönüşte ise yokuş aşağı indiği için yokuş süresi kısalır ve toplam dönüş süresi 3 saat olur. Bu iki durumdan elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde düz yolun ve yokuş yolunun uzunlukları eşit ve otuzar kilometre olarak bulunur. Toplam gidilen yol 120 kilometre, toplam süre ise 8 saattir. 120 sayısının 8'e bölünmesiyle ortalama hız saatte 15 kilometre olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun düz ve yokuş bölümlerinin uzunluklarını değişkenlerle ifade edip gidiş süresi için denklem kurma

\frac{x}{15} + \frac{y}{10} = 5

Gidiş yolculuğunda düz yolun uzunluğuna

x

km, yokuş yukarı olan bölümün uzunluğuna

y

km diyelim. Düz yoldaki hız

15\text{ km/s}

ve yokuş yukarı hız

10\text{ km/s}

olduğundan, geçen toplam süre

5

saattir.

2

Dönüş yolculuğu için yokuş aşağı ve düz yol sürelerini belirleyip ikinci denklemi kurma

\frac{x}{15} + \frac{y}{30} = 3

B'den A'ya dönerken yokuş yukarı çıkılan bölüm yokuş aşağı inilecektir. Hız yokuş aşağı

30\text{ km/s}

ve düz yolda yine

15\text{ km/s}

olduğundan, dönüş süresi

3

saattir.

3

Kurulan denklem sistemini çözerek yol bölümlerinin uzunluklarını bulma

y = 30\text{ km}

ve

x = 30\text{ km}

Birinci denklemden ikinci denklem çıkarıldığında

\frac{y}{10} - \frac{y}{30} = 2 \implies \frac{2y}{30} = 2 \implies y = 30\text{ km}

bulunur. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında

\frac{x}{15} + 1 = 3 \implies x = 30\text{ km}

elde edilir.

4

Toplam yol ve toplam zaman değerlerini kullanarak ortalama hızı hesaplama

V_{\text{ort}} = 15\text{ km/s}

Gidiş-dönüş toplam yol

2 \times (x + y) = 2 \times (30 + 30) = 120\text{ km}

'dir. Toplam geçen süre

5 + 3 = 8

saattir. Ortalama hız formülü olan

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

eşitliğinden

V_{\text{ort}} = \frac{120}{8} = 15\text{ km/s}

bulunur.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam gidilen yolun toplam geçen süreye oranıdır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm yolculukta düz yol için gidiş-dönüş toplam mesafesi

2x

ve geçen süre

2 \times (x/15) = 2x/15

saattir. Yokuş kısmı için gidiş-dönüş toplam süresi ise

y/10 + y/30 = 2y/15

saattir. Buradan tüm yolculuktaki toplam sürenin

2x/15 + 2y/15 = 2(x+y)/15

saat olduğu görülür. Toplam gidilen yol

2(x+y)

kilometre olduğuna göre, ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{2(x+y)}{\frac{2(x+y)}{15}} = 15\text{ km/s}

olarak doğrudan sadeleştirme ile bulunabilir. Bu yöntemle yolun uzunluklarını bulmaya gerek kalmadan da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 25Soru →

Bir lojistik merkezinden hareket eden Ahmet, Burak ve Cenk isimli üç kuryenin hareketlerine dair bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Ahmet, saatte $60\text{ km}$ sabit hızla A noktasından yola çıkıp 4 saat sonra B noktasına ulaşmıştır.
* Burak, saatte $80\text{ km}$ sabit hızla A noktasından C noktasına, Ahmet'in hareket süresinin $1{}5$ katı sürede ulaşmıştır.
* Cenk ise saatte Ahmet'in hızının 2 katı sabit hızla A noktasından D noktasına hareket etmiş ve Burak'ın aldığı yolun yarısı kadar yol almıştır.

Buna göre, solda verilen kurye hareketlerine ait nicelikleri sağda verilen doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ahmet'in aldığı toplam yol

240\text{ km}

, Burak'ın yolculuk süresi

6\text{ saat}

, Cenk'in yolculuk süresi

2\text{ saat}

ve Burak'ın aldığı toplam yol

480\text{ km}

ile eşleşir.

Her bir hareketlinin hız, zaman ve yol bilgileri

x = v \cdot t

formülü ile çözüldüğünde; Ahmet'in aldığı yol

240\text{ km}

, Burak'ın süresi

6\text{ saat}

, Cenk'in süresi

2\text{ saat}

ve Burak'ın aldığı yol

480\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ahmet'in aldığı yolu hesaplama

Ahmet'in aldığı yol

240\text{ km}

'dir.

Yol = Hız

\times

Zaman bağıntısından, Ahmet'in yolu

x_A = 60\text{ km/sa} \times 4\text{ sa} = 240\text{ km}

olarak bulunur.

2

Burak'ın yolculuk süresini hesaplama

Burak'ın hareket süresi

6\text{ saat}

'tir.

Ahmet'in hareket süresi olan 4 saatin

1{}5

katı alındığında

4 \times 1{}5 = 6\text{ saat}

elde edilir.

3

Burak'ın aldığı yolu hesaplama

Burak'ın aldığı yol

480\text{ km}

'dir.

Burak saatte

80\text{ km}

hızla 6 saat yol aldığı için

x_B = 80\text{ km/sa} \times 6\text{ sa} = 480\text{ km}

bulunur.

4

Cenk'in hızını, yolunu ve süresini hesaplama

Cenk'in hareket süresi

2\text{ saat}

'tir.

Cenk'in hızı Ahmet'in hızının 2 katı (

2 \times 60 = 120\text{ km/sa}

), aldığı yol ise Burak'ın aldığı yolun yarısı (

480 / 2 = 240\text{ km}

)'dir. Zaman = Yol / Hız formülünden

t_C = 240 / 120 = 2\text{ saat}

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve alınan yol arasındaki temel ilişkiyi (

x = v \cdot t

) kullanarak hareket problemlerini çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 26Soru →

Çevresi sabit olan dairesel bir pist üzerinde, aynı noktadan zıt yönlerde sırasıyla $v_1$ ve $v_2$ sabit hızlarıyla ( $v_1 > v_2$ ) aynı anda koşmaya başlayan iki sporcu hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sporcuların ilk karşılaşmalarından sonra; başlangıçta hızı fazla olan sporcu hızını yarıya indirmiş, başlangıçta hızı az olan sporcu ise hızını $2$ katına çıkarmıştır.
* İkinci karşılaşmalarından sonra da aynı kural uygulanmış; başlangıçta hızı fazla olan sporcu hızını tekrar yarıya indirmiş, başlangıçta hızı az olan sporcu ise hızını tekrar $2$ katına çıkarmıştır.

Sporcuların birinci ve ikinci karşılaşmaları arasındaki süre $25$ saniye, ikinci ve üçüncü karşılaşmaları arasındaki süre ise $20$ saniye olmuştur.

Buna göre, bu iki sporcunun başlangıçtan ilk karşılaşmalarına kadar geçen süre kaç saniyedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Başlangıçtan ilk karşılaşmaya kadar geçen süre 20 saniyedir.

Yapılan hesaplamalarda pistin çevresi (

L

) ile sporcuların başlangıçtaki hızları (

v_1, v_2

) arasındaki ilişki kurulmuş ve ilk karşılaşma süresi

t_1 = 20

saniye olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk karşılaşma süresi için değişkenleri tanımlama

t_1 = \frac{L}{v_1 + v_2}

Dairesel pist üzerinde aynı noktadan zıt yönlerde hareket eden sporcuların ilk kez karşılaşması için toplamda bir pist çevresi (

L

) kadar yol almaları gerekir. Bu sürede aldıkları yolların toplamı

L

'ye eşittir.

2

İkinci karşılaşma süresi için denklem yazma

L = 25\left(\frac{v_1}{2} + 2v_2\right)

Birinci karşılaşmadan sonra sporcuların hızları sırasıyla

\frac{v_1}{2}

ve

2v_2

olur. Karşılaşma süresi

25

saniye olduğundan, pist çevresi bu yeni hızlar toplamı ile sürenin çarpımıdır.

3

Üçüncü karşılaşma süresi için denklem yazma

L = 20\left(\frac{v_1}{4} + 4v_2\right)

İkinci karşılaşmadan sonra hızlar tekrar güncellenerek

\frac{v_1}{4}

ve

4v_2

olur. Karşılaşma süresi

20

saniye olduğundan, pist çevresi bu güncel hızlar toplamı ile sürenin çarpımıdır.

4

Hızlar arasındaki oranı bulma

v_1 = 4v_2

Pist çevresi (

L

) sabit olduğundan, adım 2 ve adım 3'te elde edilen

L

ifadeleri birbirine eşitlenir:

25\left(\frac{v_1}{2} + 2v_2\right) = 20\left(\frac{v_1}{4} + 4v_2\right)

eşitliğinden

v_1 = 4v_2

ilişkisine ulaşılır.

5

Pist çevresini tek bir değişken cinsinden ifade etme

L = 100v_2

v_1 = 4v_2

eşitliği adım 3'teki denklemde yerine yazıldığında

L = 20\left(\frac{4v_2}{4} + 4v_2\right) = 20(5v_2) = 100v_2

elde edilir.

6

İlk karşılaşma süresini hesaplama

t_1 = 20

saniye

t_1 = \frac{L}{v_1 + v_2}

formülünde

L = 100v_2

ve

v_1 = 4v_2

yazıldığında

t_1 = \frac{100v_2}{4v_2 + v_2} = \frac{100v_2}{5v_2} = 20

bulunur.

Anahtar Kavram

Zıt yönlü dairesel harekette karşılaşma süresi, pist çevresinin sporcuların hızları toplamına oranlanması ile bulunur. Hızların her periyotta değiştiği durumlarda, her aşama için ayrı denklem yazılarak ortak değişkenler sadeleştirilir.

Soru 27Soru →

Bir araç, iki şehir arasındaki yolun ilk yar��sını saatte $20\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $30\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, bu aracın tüm yol boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

22

24

25

26

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Aracın tüm yol boyunca saatteki ortalama hızı 24 kilometredir.

Ortalama hız hesaplanırken alınan toplam yol (

2x

), bu yolculukta geçen toplam süreye (

t_1 + t_2 = \frac{x}{20} + \frac{x}{30} = \frac{x}{12}

) bölünür. Bu oranlandığında

24

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına ve harcanan sürelere yönelik değişkenlerin belirlenmesi

Yolun ilk yarısı

x

km, ikinci yarısı da

x

km olsun. Toplam yol

2x

km olur.

Ortalama hızı bulabilmek için toplam yol ve toplam zaman değerlerini ifade etmemiz gerekir.

2

Yolun ilk yarısında geçen sürenin hesaplanması

t_1 = \frac{x}{20}

saat

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{V}

).

3

Yolun ikinci yarısında geçen sürenin hesaplanması

t_2 = \frac{x}{30}

saat

İkinci yarıdaki süre de benzer şekilde yolun ikinci yarıdaki hıza bölünmesiyle bulunur.

4

Toplam hareket süresinin bulunması

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{20} + \frac{x}{30} = \frac{3x + 2x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}

saat

Paydaları 60'ta eşitleyerek toplam süreyi tek bir kesir olarak ifade ederiz.

5

Ortalama hız formülünün uygulanarak sonucun bulunması

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2x}{\frac{x}{12}} = 2x \cdot \frac{12}{x} = 24\text{ km/sa}

Toplam yol, toplam zamana bölünerek hareketin ortalama hızı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Hızların aritmetik ortalaması genel olarak ortalama hızı vermez.

Soru 28Soru →

Bir kurye, teslimat yapmak için A noktasından B noktasına saatte $30\text{ km}$ sabit hızla gitmiş ve teslimatı yaptıktan sonra zaman kaybetmeden aynı yol üzerinden saatte $60\text{ km}$ sabit hızla A noktasına geri dönmüştür.

Buna göre, kuryenin tüm yolculuğu boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

35

40

45

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Saatte 40 kilometre

Kuryenin gidiş ve dönüş yolları eşit olduğundan, yolun uzunluğuna

x

denilerek geçen süreler

t_1 = \frac{x}{30}

ve

t_2 = \frac{x}{60}

olarak bulunur. Toplam yol

2x

ve toplam süre

\frac{x}{20}

saat olduğundan, bu değerlerin oranı bize saatteki ortalama hızı 40 kilometre olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş için geçen süreleri yol cinsinden ifade etme

A ile B noktaları arasındaki yola

x

dersek, gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{30}

saat, dönüş süresi ise

t_2 = \frac{x}{60}

saat olur.

Ortalama hızı bulabilmek için toplam geçen süreyi belirlemek gerekir.

2

Toplam süreyi hesaplama

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{2x + x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat.

Gidiş ve dönüş sürelerini toplayarak toplam seyahat süresini bulmak için paydalar eşitlenir.

3

Ortalama hız formülünü uygulama

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 2x \cdot \frac{20}{x} = 40

km/sa.

Toplam alınan yol gidiş ve dönüşten dolayı

2x

'tir. Bu değeri toplam süreye bölerek saatteki ortalama hızı buluruz.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 29Soru →

Bir teknoloji şirketi, otoyollarda test edilmek üzere $A$ ve $B$ şehirleri arasında üç farklı sürüş modu (Eko, Standart, Performans) bulunan elektrikli otonom bir aracı test etmektedir. $A$ ve $B$ şehirleri arasındaki toplam karayolu mesafesi $360\text{ km}$ 'dir.

Bu aracın sürüş modlarına göre hareket durumları aşağıda tanımlanmıştır:
- Eko Mod: Yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, ikinci yarısını ise saatte $120\text{ km}$ sabit hızla tamamlıyor.
- Standart Mod: Seyahat süresinin ilk yarısında saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, ikinci yarısında ise saatte $120\text{ km}$ sabit hızla hareket ediyor.
- Performans Mod: Saatte $120\text{ km}$ sabit hızla hareket ediyor fakat yolun her $90\text{ km}$ 'lik bölümünün sonunda $15\text{ dakika}$ şarj molası veriyor (son varış noktasındaki mola süresi seyahate dahil değildir).

Buna göre, sol sütunda verilen hareket durumlarını sağ sütundaki doğru sayısal değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eko Modu'nun ortalama hızı 80 km/sa, Standart Modu'nun seyahat süresi 4 saat, Performans Modu'nun molalar dahil seyahat süresi ise 3 saat 45 dakikad��r.

Her mod için yapılan hareket denklemleri çözüldüğünde; Eko Modu'nun ortalama hızı

80\text{ km/sa}

olarak bulunur. Standart Modu'nda toplam süreye bağlı denklemin çözümünden süre

4\text{ saat}

çıkar. Performans Modu'nda ise sürüş süresine 3 adet mola süresi eklenerek toplam süre

3\text{ saat } 45\text{ dakika}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Eko Modu için seyahat süresi ve ortalama hız hesaplanır.

Yolun ilk yarısı olan

180\text{ km}

'lik bölüm

60\text{ km/sa}

hızla

180 / 60 = 3\text{ saatte}

, ikinci yarısı ise

120\text{ km/sa}

hızla

180 / 120 = 1.5\text{ saatte}

tamamlanır. Toplam süre

3 + 1.5 = 4.5\text{ saat}

olur. Ortalama hız ise

\text{Toplam Yol} / \text{Toplam Süre} = 360 / 4.5 = 80\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Eko Modu'nda gidilen mesafeler eşit olduğundan süreler farklıdır ve ortalama hız formülü uygulanmalıdır.

2

Standart Modu için toplam seyahat süresi hesaplanır.

Toplam süre

T

olsun. Sürenin ilk yarısında (

T/2

)

60\text{ km/sa}

hızla

30T\text{ km}

, ikinci yarısında ise

120\text{ km/sa}

hızla

60T\text{ km}

yol alınır. Toplam yol olan

90T = 360\text{ km}

eşitliğinden

T = 4\text{ saat}

olarak elde edilir.

Standart Modu'nda süreye bağlı hareket edildiği için alınan yolların toplamı toplam mesafeye eşitlenir.

3

Performans Modu için şarj molaları dahil toplam seyahat süresi hesaplanır.

Molasız sürüş süresi

360 / 120 = 3\text{ saat}

sürer. Araç her

90\text{ km}

'de bir durduğuna göre

90\text{ km}

,

180\text{ km}

ve

270\text{ km}

noktalarında olmak üzere toplam 3 kez mola verir (varış noktasındaki mola dahil edilmez). Toplam mola süresi

3 \times 15 = 45\text{ dakika}

olur. Toplam süre

3\text{ saat } 45\text{ dakika}

olarak hesaplanır.

Mola verilen istasyon sayıları tespit edilip sürüş süresine eklenerek toplam süre bulunur.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki (

x = v \cdot t

) ve farklı hareket koşullarında ortalama hız ile mola sürelerinin toplam süre üzerindeki etkisi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 30Soru →

Aynı noktadan aynı anda, zıt yönlere doğru harekete başlayan iki bisikletliden birinin hızı saatte 18 km, diğerinin hızı ise saatte 22 km'dir. Buna göre, bu iki bisikletli harekete başladıktan kaç saat sonra aralarındaki uzaklık 120 km olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

Zıt yönlere hareket eden bisikletlilerin saatteki bağıl hızları toplamı

18 + 22 = 40

km/s'dir. Toplam 120 km mesafeye

120 / 40 = 3

saatte ulaşırlar.

Adım Adım Çözüm

1

Bisikletlilerin saatteki toplam uzaklaşma hızını hesaplayın.

18 + 22 = 40

km/s

Zıt yönlerde hareket eden araçların aralarındaki mesafenin artış hızı, hızlarının toplamına eşittir.

2

Aralarındaki uzaklığın 120 km olması için gereken süreyi bulun.

120 / 40 = 3

saat

Zaman, alınan (veya uzaklaşılan) yolun hıza bölünmesiyle elde edilir (

t = \frac{x}{v}

).

Anahtar Kavram

Zıt yönlü hareketlerde bağıl hız ve mesafe ilişkisi

Soru 31Soru →

Bir metro istasyonunda bulunan ve yukarı doğru sabit hızla hareket eden bir yür��yen merdiven, üzerinde duran bir yolcuyu alt ucundan üst ucuna $60$ saniyede ulaştırmaktadır. Bu yürüyen merdiven çalışmıyorken aynı yolcu sabit yürüme hızıyla merdiveni $30$ saniyede ç��kmaktadır.

Yolcu, merdiven yukarı doğru çalışırken merdivenin alt ucundan normal yürüme hızıyla yukarı doğru yürümeye başlamıştır. Yolcu, yolun (yer değiştirme olarak) tam yarıs��na geldiğinde yürüme hızını $2$ katına çıkararak üst uca ulaşmıştır.

Buna göre, yolcunun merdivenin alt ucundan üst ucuna ulaşması toplam kaç saniye sürmüştür?

12

15

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Yolcunun merdivenin alt ucundan üst ucuna ulaşması toplam 16 saniye sürmüştür.

Yolcunun normal yürüme hızı ile merdivenin hızı belirlendikten sonra, yolun her iki yarısı için geçerli olan net hızlar ayrı ayrı hesaplanmıştır. İlk yarıda yere göre hız

\frac{x}{20}

olup bu kısım 10 saniye sürmüştür. İkinci yarıda ise yolcunun hızı iki katına çıktığından net hız

\frac{x}{12}

olmuş ve bu kısım da 6 saniye sürmüştür. İki sürenin toplamı olan 16 saniye doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına

x

, yolcunun normal yürüme hızına

v_y

, yürüyen merdivenin hızına ise

v_m

diyerek hız denklemlerini kuralım.

Merdiven çalışırken yolcu üzerinde durduğunda 60 saniyede çıktığına göre

x = v_m \cdot 60 \implies v_m = \frac{x}{60}

olur. Merdiven çalışmıyorken yolcu yürüdüğünde 30 saniyede çıktığına göre

x = v_y \cdot 30 \implies v_y = \frac{x}{30}

olur.

Yolcunun ve merdivenin hızlarını yol uzunluğu cinsinden ifade etmek.

2

Yolun ilk yarısı (yani

\frac{x}{2}

mesafesi) için yolcunun yere göre net hızını ve bu kısmı tamamlama süresini bulalım.

v_{net1} = v_y + v_m = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

olur. Bu durumda ilk yarıyı tamamlama süresi

t_1 = \frac{x/2}{x/20} = 10

saniye olarak bulunur.

İlk yarıda yolcu normal yürüme hızıyla hareket etmektedir.

3

Yolun ikinci yarısı (kalan

\frac{x}{2}

mesafesi) için yolcunun yürüme hızı 2 kat��na çıktığında (

2v_y

) yeni net hızını ve bu kısmı tamamlama süresini bulalım.

v_{net2} = 2v_y + v_m = 2 \cdot \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{x}{15} + \frac{x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}

olur. Bu durumda ikinci yarıyı tamamlama süresi

t_2 = \frac{x/2}{x/12} = 6

saniye olarak bulunur.

İnceleme yapılan ikinci yarıda yolcu yürüme hızını 2 katına çıkarmıştır.

4

İlk ve ikinci yarıda geçen süreleri toplayarak toplam süreyi bulalım.

t_{toplam} = t_1 + t_2 = 10 + 6 = 16

saniye elde edilir.

Yolun tamamının geçilmesi için gereken toplam süreyi elde etmek.

Anahtar Kavram

Yürüyen merdiven ve akıntı problemlerinde bağıl hız konsepti ile yol-hız-zaman ilişkisinin parça parça analiz edilmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 32Soru →

Mert, iş yerine gitmek için sabah arabasıyla yola çıkmıştır. Yolculuğuyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Mert'in evi ile iş yeri arasındaki yolun $\frac{1}{4}$ 'ü şehir içi yollardan, geri kalan kısmı ise otobandan oluşmaktadır.
* Mert, şehir içi yolda saatte ortalama $60\text{ km}$ hızla, otobanda ise saatte ortalama $90\text{ km}$ hızla hareket etmiştir.

Mert yol boyunca hiç durmadığına göre, bu yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

72

75

80

82,5

85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Ortalama hız saatte 80 kilometredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam seyahat süresine bölünmesiyle hesaplanır. Yolun şehir içi kısmında geçen süre

t_1 = \frac{S/4}{60} = \frac{S}{240}

saat, otoban kısmında geçen süre ise

t_2 = \frac{3S/4}{90} = \frac{S}{120}

saattir. Toplam süre

t_1 + t_2 = \frac{S}{80}

saat olduğundan, ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{S}{S/80} = 80

km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına ve bölümlerine ait mesafeleri belirleme.

Yolun tamamı

S

km olsun. Bu durumda şehir içi yol

\frac{S}{4}

km, otoban kısmı ise

\frac{3S}{4}

km olur.

Süreleri hesaplayabilmek için mesafeleri yolun oranlarına göre değişken cinsinden ifade etmemiz gerekir.

2

Her bir bölüm için harcanan süreleri bulma.

Şehir içi yoldaki süre

t_1 = \frac{S/4}{60} = \frac{S}{240}

saat, otobandaki süre

t_2 = \frac{3S/4}{90} = \frac{S}{120}

saat olur.

Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak her iki bölümdeki seyahat sürelerini belirleriz.

3

Toplam süreyi hesaplama.

Toplam süre

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{240} + \frac{S}{120} = \frac{3S}{240} = \frac{S}{80}

saat olur.

Ortalama hızı bulmak için toplam seyahat süresine ihtiyacımız vardır.

4

Ortalama hızı hesaplama.

Ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{S}{S/80} = 80\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız formülü olan

V_{\text{ort}} = \frac{S_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

bağıntısını uygularız.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam seyahat süresine bölünmesiyle bulunur (

V_{\text{ort}} = \frac{S_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Hızların aritmetik ortalaması yalnızca yolculuk süreleri eşit olduğunda ortalama hıza eşittir.

Alternatif Yöntem

Yolun tamamına hem 240'ın hem de 360'ın katı olan bir değer (örneğin 240 km) verilerek de çözülebilir. Yol 240 km olsun. Şehir içi yol 60 km (

240 \times 1/4

), otoban ise 180 km olur. Şehir içindeki süre

60 / 60 = 1

saat, otobandaki süre

180 / 90 = 2

saat sürer. Toplam yol 240 km, toplam süre 3 saat olduğundan ortalama hız

240 / 3 = 80

km/sa bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 33Soru →

Bir havaalanındaki $120$ metre uzunluğundaki yürüyen bant sabit hızla hareket etmektedir. Hakan, bu bant üzerinde yürürken bandın hareket yönüyle aynı yönde sabit bir hızla yürürse bandın başından sonuna $24$ saniyede varmaktadır. Hakan, bandın hareket yönünün tersine, aynı yürüme hızıyla yürürse bandın sonundan başına $40$ saniyede varmaktadır. Buna göre, Hakan'ın kendi yürüme hızı saniyede kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Hakan'ın kendi yürüme hızı saniyede 4 metredir.

Hakan'ın kendi hızı ile bandın hızının toplamı saniyede 5 metre, farkları ise saniyede 3 metredir. Bu iki denklemin ortak çözümünden Hakan'ın hızı saniyede 4 metre olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bantla aynı yöndeki hareket için hız denklemini kurmak.

v_h + v_b = 5

m/s

Yol = Hız

\times

Zaman ilişkisine göre, aynı yöndeki hareket süresi 24 saniye ve yol 120 metre olduğundan, bileşke hız

120 / 24 = 5

olarak hesaplanır.

2

Bandın tersi yönündeki hareket için hız denklemini kurmak.

v_h - v_b = 3

m/s

Zıt yönde hareket edildiğinde net hız Hakan'ın hızından bandın hızının çıkarılmasıyla bulunur. Süre 40 saniye olduğundan, bileşke hız

120 / 40 = 3

olarak hesaplanır.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek Hakan'ın hızını hesaplamak.

v_h = 4

m/s

v_h + v_b = 5

ve

v_h - v_b = 3

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2v_h = 8

ve dolayısıyla

v_h = 4

elde edilir.

Anahtar Kavram

Akıntı veya hareketli zemin problemlerinde bileşke hız hesabı; hareket yönleri aynı ise hızlar toplanır, zıt ise hızlar çıkarılır.

Soru 34Soru →

Çevresi $720$ metre olan dairesel bir pist, her biri $360$ metre uzunluğunda olan asfalt ve toprak olmak üzere iki eşit bölüme ayrılmıştır. Kerem ve Selim isimli iki koşucunun bu pistin farklı bölümlerindeki sabit hızları aşağıdaki gibidir:

* Kerem'in hızı asfalt bölümde $6\text{ m/sn}$ , toprak bölümde $3\text{ m/sn}$ 'dir.
* Selim'in hız�� asfalt bölümde $8\text{ m/sn}$ , toprak bölümde $2\text{ m/sn}$ 'dir.

İki koşucu aynı anda, asfalt ve toprak bölümlerin sınır çizgisi olan başlangıç noktasından, asfalt bölüme doğru aynı yönde koşmaya başlamışlardır.

Buna göre, harekete başladıkları andan itibaren ilk $45$ dakika boyunca (başlangıç anı hariç) bu iki koşucu toplam kaç kez yan yana gelirler?

3

4

5

6

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşucular ilk 45 dakika boyunca toplam 6 kez yan yana gelirler.

Koşucuların bir tam tur süreleri hesaplandığında Kerem'in tur süresi 180 saniye, Selim'in ise 225 saniyedir. Bu sürelerin en küçük ortak katı olan 900 saniyede bir her iki koşucu da başlangıç noktasına aynı anda ulaşarak hareketi sıfırlar. 900 saniyelik bir periyot boyunca yapılan analizde koşucuların ilki 90. saniyede toprak pist üzerinde, ikincisi ise 900. saniyede başlangıç çizgisinde olmak üzere tam 2 kez yan yana geldiği görülür. 45 dakika (2700 saniye) bu periyodun 3 katı olduğu için toplamda 6 karşılaşma gerçekleşir. Bu nedenle 6 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşucuların pistin her bir bölümünü tamamlama sürelerini bulalım.

Kerem'in asfalt bölümü geçiş süresi:

360 / 6 = 60\text{ sn}

, toprak bölümü geçiş süresi:

360 / 3 = 120\text{ sn}

'dir. Bir tam tur süresi:

60 + 120 = 180\text{ sn}

. Selim'in asfalt bölümü geçiş süresi:

360 / 8 = 45\text{ sn}

, toprak bölümü geçiş süresi:

360 / 2 = 180\text{ sn}

'dir. Bir tam tur süresi:

45 + 180 = 225\text{ sn}

.

Koşucuların hareket periyotlarını belirlemek için tur sürelerini hesaplamamız gerekir.

2

Sistemin ortak periyodunu belirleyelim.

İki koşucunun da tekrar başlangıç noktasına aynı anda gelmesi için geçen süre, tur sürelerinin en kü��ük ortak katıdır:

\text{EKOK}(180, 225) = 900\text{ sn}

.

Her 900 saniyede bir her iki koşucu da aynı anda başlangıç noktasına döner ve hareket tamamen aynı şekilde periyodik olarak tekrarlanır.

3

İlk periyottaki (

t \in (0, 900]

aralığındaki) karşılaşma anlarını analiz edelim.

Koşucuların yan yana gelmesi, aldıkları yolların farkının pistin çevresi olan

720

metrenin tam katı olması demektir (

D_K(t) - D_S(t) = 720k

).
-

t \in [0, 45]

aralığında: Her ikisi de asfalt bölümde. Kerem'in hızı

6\text{ m/sn}

, Selim'in hızı

8\text{ m/sn}

. Yol farkı

2t

olur.

2t = 720

için

t=360

olmalıdır, bu aralıkta karşılaşma yoktur.
-

t \in [45, 60]

aralığında: Kerem asfalt (

6\text{ m/sn}

), Selim toprak bölümde (

2\text{ m/sn}

). Yol farkı sıfırlanmaz.
-

t \in [60, 180]

aralığında: Her ikisi de toprak bölümde. Kerem'in hızı

3\text{ m/sn}

, Selim'in hızı

2\text{ m/sn}

.

t=60

'ta Kerem

360\text{ m}

, Selim

390\text{ m}

yol almıştır (Selim

30\text{ m}

önde). Saniyede

3 - 2 = 1\text{ metre}

fark kapanarak

30 / 1 = 30\text{ sn}

sonra, yani

60 + 30 = 90

. saniyede yan yana gelirler. (1. karşılaşma)
-

t \in (180, 900)

aralığında benzer şekilde yol denklemleri çözüldüğünde başka bir karşılaşma olmadığı görülür.
-

t = 900

. saniyede ise her iki koşucu da başlangıç noktasında yan yana gelir. (2. karşılaşma)

Periyot içindeki tüm olası karşılaşma anlarını ve konumlarını belirlemek için parçalı fonksiyon analizi yapılır.

4

Toplam süredeki periyot sayısını ve toplam karşılaşma sayısını bulalım.

45\text{ dakika} = 45 \times 60 = 2700\text{ saniye}

.
Periyot sayısı:

2700 / 900 = 3

periyottur.
Toplam karşılaşma sayısı:

3 \times 2 = 6

kez gerçekleşir.

Periyodik hareketin toplam süreye oranlanmasıyla toplam karşılaşma sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde değişken hızlı dairesel hareket ve periyodik karşılaşma süresi analizi.

Soru 35Soru →

Aşağıda evleri ile gidecekleri yerler arasındaki mesafeler ve sabit yürüme hızları verilen kişilerin bu yerlere ulaşma sürelerini doğru se��eneklerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Can'ın ulaşma süresi 20 dakika, Efe'nin ulaşma süresi 30 dakika ve Ada'nın ulaşma süresi 15 dakikadır.

Her bir durum için alınan yol, sabit yürüme hızına bölünerek hedefe ulaşma süresi bulunmuştur. Can için

1200 / 60 = 20

dakika, Efe için

2400 / 80 = 30

dakika ve Ada için

1500 / 100 = 15

dakika süreleri hesaplanmış ve doğru eşleştirmeler yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Can'ın okula ulaşma süresini hesaplama

20 dakika

Yol = Hız x Zaman formülünden

t_1 = \frac{1200\text{ m}}{60\text{ m/dk}} = 20\text{ dakika}

elde edilir.

2

Efe'nin kütüphaneye ulaşma süresini hesaplama

30 dakika

Yol = Hız x Zaman formülünden

t_2 = \frac{2400\text{ m}}{80\text{ m/dk}} = 30\text{ dakika}

elde edilir.

3

Ada'nın spor salonuna ulaşma süresini hesaplama

15 dakika

Yol = Hız x Zaman formülünden

t_3 = \frac{1500\text{ m}}{100\text{ m/dk}} = 15\text{ dakika}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, alınan yol ve zaman arasındaki doğrusal ilişki (Yol = Hız x Zaman)

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 36Soru →

Bir otomobil, iki şehir arasındaki yolun ilk yarısını saatte $v\text{ km}$ , ikinci yarısını ise saatte $120\text{ km}$ sabit hızla giderek tamamlamıştır. Bu otomobil dönüşte ise aynı yolu hiç durmadan saatte $80\text{ km}$ sabit hızla katetmiştir. Otomobilin gidişteki ortalama hızı, tüm yolculuk boyunca (gidiş ve dönüş) elde ettiği ortalama hızına eşit olduğuna göre, $v$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Otomobilin ilk yarıdaki hızı saatte 60 km'dir.

Gidiş ortalama hızı ve tüm yolculuğun ortalama hızı formülleri kurulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen birinci dereceden denklem çözülerek

v = 60

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun bölümlerini ve süreleri tanımlama

Gidiş mesafeleri

x

ve

x

olarak alınırsa gidiş süresi

t_{g} = \frac{x}{v} + \frac{x}{120}

olur.

Ortalama hız formülünde toplam zamanı ifade edebilmek için her bir bölümün sürelerini toplamak gerekir.

2

Gidiş ortalama hızını (

V_g

) formüle etme

V_g = \frac{2x}{\frac{x}{v} + \frac{x}{120}} = \frac{240v}{v+120}

km/sa

Gidiş süresince alınan toplam yol

2x

km olup, ortalama hız toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur.

3

Dönüş süresini (

t_d

) bulma

t_{d} = \frac{2x}{80} = \frac{x}{40}

saat

Dönüşte tüm yol (

2x

km) saatte 80 km hızla gidildiği için geçen süre bulunmalıdır.

4

Tüm yolculuğun ortalama hızını (

V_{ort}

) formüle etme

V_{ort} = \frac{4x}{t_g + t_d} = \frac{4x}{\frac{x}{v} + \frac{x}{120} + \frac{x}{40}} = \frac{120v}{v+30}

km/sa

Gidiş-dönüş toplam yol

4x

km olup, bu yol toplam gidiş ve dönüş süresine bölünerek genel ortalama hız elde edilir.

5

Hız eşitliğini kullanarak

v

değişkenini çözme

v = 60

V_g = V_{ort}

olduğu belirtilmiştir.

\frac{240v}{v+120} = \frac{120v}{v+30}

denkleminden sadeleştirmeler yapılarak

2(v+30) = v+120

eşitliğine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranıdır.

Soru 37Soru →

Bir elektrikli otomobilin batarya tasarruf modu ve performans modu olmak üzere iki farklı sürüş modu vardır.

Bu araçla A şehrinden B şehrine doğru yola çıkan Selim, yolculuğuyla ilgili şunları planlamıştır:
- Yolun ilk üçte birini batarya tasarrufu sağlamak amacıyla tasarruf modunda saatte $30\text{ km}$ sabit hızla gidecektir.
- Yolun kalan kısmını ise performans modunda saatte $90\text{ km}$ sabit hızla tamamlayacaktır.

Selim planladığı şekilde yolculuğunu tamamladığına göre, aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

36

45

54

60

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $54$

Cevap

Ortalama hızı saatte 54 km olarak belirten seçenek doğrudur.

Toplam yol

3x

kabul edildiğinde,

30\text{ km/s}

hızla gidilen

x

km'lik ilk kısım

\frac{x}{30}

saat sürer.

90\text{ km/s}

hızla gidilen

2x

km'lik ikinci kısım ise

\frac{2x}{90} = \frac{x}{45}

saat sürer. Toplam süre bu iki sürenin toplamı olan

\frac{x}{18}

saattir. Toplam yol olan

3x

değeri, toplam süreye bölündüğünde ortalama hız saatte

54\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamı için değişken tanımlanması

Yolun tamamı

3x

km olsun. Bu durumda ilk üçte birlik kısım

x

km, kalan kısım ise

2x

km olur.

Yol oranlarının kolayca bölünebilmesi ve işlemlerin rasyonel yürütülebilmesi için toplam yol

3x

olarak seçilmiştir.

2

Yolun her bir bölümü için geçen sürelerin belirlenmesi

Tasarruf modunda geçen süre

t_1 = \frac{x}{30}

saat, performans modunda geçen süre

t_2 = \frac{2x}{90} = \frac{x}{45}

saat olur.

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle (t = x/V) hesaplanır.

3

Yolculuk boyunca geçen toplam sürenin hesaplanması

Toplam süre

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{30} + \frac{x}{45} = \frac{3x + 2x}{90} = \frac{5x}{90} = \frac{x}{18}

saat olarak bulunur.

Farklı hızlarla alınan yollardaki sürelerin toplanarak toplam hareket süresinin elde edilmesi gerekir.

4

Ortalama hız formülünün uygulanması

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{3x}{\frac{x}{18}} = 3x \cdot \frac{18}{x} = 54\text{ km/s}

bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması değil, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranıdır.

Tahmini Süre:1m 50s

Soru 38Soru →

Bir şehirdeki elektrikli scooter kiralama sisteminde, scooter'ın hızı düz yolda saatte $20\text{ km}$ , yokuş yukarı yolda saatte $12\text{ km}$ , yokuş aşağı yolda ise saatte $30\text{ km}$ olarak sabitlenmiştir.

Bu şehirde A noktası ile B noktası arasındaki yolun bir kısmı düz, kalan kısmı ise yokuş yukarıdır. A noktasından B noktasına scooter ile giden bir kişi, B noktasına 45 dakikada ulaşmıştır. Bu kişi, hiç beklemeden aynı yoldan B noktasından A noktasına dönerken gidişte yokuş yukarı olan kısmın dönüşte yokuş aşağı olduğunu fark etmiştir.

Kişinin dönüş yolculuğu 36 dakika sürdüğüne göre, A ile B noktaları arasındaki yolun düz olan kısmının uzunluğu kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

A ile B noktaları arasındaki yolun düz olan kısmının uzunluğu 10 kilometredir.

Gidiş ve dönüş süreleri için kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden düz yolun uzunluğu (

x

) 10 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Düz yolun uzunluğuna

x

km, yokuş yukarı yolun uzunluğuna

y

km diyelim. Gidiş süresini saat cinsinden ifade eden denklemi kuralım.

\frac{x}{20} + \frac{y}{12} = \frac{3}{4}

Gidiş hızı düz yolda saatte

20\text{ km}

, yokuş yukarı yolda ise saatte

12\text{ km}

'dir. 45 dakika

\frac{45}{60} = \frac{3}{4}

saattir.

2

Dönüş yolculuğunda gidişte yokuş yukarı olan kısmın yokuş aşağı olacağını dikkate alarak dönüş süresini saat cinsinden ifade eden denklemi kuralım.

\frac{x}{20} + \frac{y}{30} = \frac{3}{5}

Dönüşte düz yol hızı yine saatte

20\text{ km}

'dir. Dönüşte yokuş aşağı olan kısmın hızı saatte

30\text{ km}

'dir. 36 dakika

\frac{36}{60} = \frac{3}{5}

saattir.

3

Kurulan iki denklemi taraf tarafa çıkararak

y

değerini bulalım.

y = 3

(\frac{x}{20} + \frac{y}{12}) - (\frac{x}{20} + \frac{y}{30}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{5} \implies \frac{y}{12} - \frac{y}{30} = \frac{3}{20} \implies \frac{3y}{60} = \frac{3}{20} \implies \frac{y}{20} = \frac{3}{20} \implies y = 3\text{ km}

4

Bulunan

y = 3

değerini ikinci denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım.

x = 10

\frac{x}{20} + \frac{3}{30} = \frac{3}{5} \implies \frac{x}{20} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} \implies \frac{x}{20} = \frac{5}{10} \implies x = 10

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki olan

Yol = Hız \times Zaman

formülünün farklı yol bölümleri için uygulanması ve denklem sistemi çözümü.

Soru 39Soru →

Bir sporcu, antrenman yapmak amacıyla evinden çıkıp koşu parkurunun sonuna kadar saatte $12\text{ km}$ sabit hızla koşmuş ve hiç durmadan aynı parkur üzerinden eve doğru saatte $8\text{ km}$ sabit hızla yürüyerek geri dönmüştür.

Buna göre, bu sporcunun tüm antrenman boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

10

9

4,8

9,6

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9,6$

Cevap

Ortalama hız saatte

9,6\text{ km}

olarak bulunur.

Ortalama hız, sporcunun tüm hareket süresince aldığı toplam yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Parkur uzunluğu

x

olduğunda gidiş-dönüş toplam yol

2x

, geçen toplam süre ise

\frac{5x}{24}

saattir. Bu iki değer oranlandığında ortalama hız saatte

9,6\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşu parkurunun uzunluğuna

x\text{ km}

diyelim ve sporcunun gidiş ile dönüş sürelerini belirleyelim.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{12}

saat, dönüş süresi ise

t_2 = \frac{x}{8}

saat olur.

Zaman, alınan yolun hıza oranı (

t = \frac{x}{V}

) ile bulunur.

2

Toplam alınan yolu ve toplam geçen süreyi hesaplayalım.

Toplam yol

2x\text{ km}

'dir. Toplam geçen süre ise

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{12} + \frac{x}{8} = \frac{2x + 3x}{24} = \frac{5x}{24}

saat olur.

Ortalama hız hesabı için toplam yol ve toplam süre değerlerine ihtiyaç duyulur.

3

Toplam yolu toplam süreye bölerek ortalama hızı hesaplayalım.

V_{\text{ort}} = \frac{2x}{\frac{5x}{24}} = 2x \cdot \frac{24}{5x} = \frac{48}{5} = 9,6\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Ortalama hız formülü

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 40Soru →

Hibrit bir aracın yakıt tasarrufu testinde, araç uzunluğu eşit üç etaptan oluşan bir parkuru tamamlamıştır. Araç:

* Birinci etabı elektrikli modda saatte $30\text{ km}$ sabit hızla,
* İkinci etabı hibrit modda saatte $v\text{ km}$ sabit hızla,
* Üçüncü etabı benzinli modda saatte $90\text{ km}$ sabit hızla

tamamlamıştır.

Aracın tüm test sürüşü boyunca ortalama hızı, hibrit moddaki sabit hızı olan saatte $v\text{ km}$ değerine eşit olduğuna göre, $v$ kaçtır?

40

45

50

55

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

İkinci etaptaki hız değeri olan 45

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Eşit uzunluktaki etaplar için kurulan zaman denklemlerinden hareketle ortalama hız formülü yazılıp

v

'ye eşitlendiğinde, cebirsel işlemler sonucu aranan hız değeri 45 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parkurdaki her bir etabın uzunluğuna

x

km diyelim. Toplam yol

3x

km olur. Her etapta geçen süreleri (

t_1, t_2, t_3

) hız formülü olan

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

bağıntısını kullanarak yazalım.

Birinci etap süresi:

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci etap süresi:

t_2 = \frac{x}{v}

saat, üçüncü etap süresi:

t_3 = \frac{x}{90}

saat olarak bulunur.

Geçen toplam süreyi bulmak için her etaptaki sürelerin ifadesini oluşturmamız gerekir.

2

Tüm test sürüşü boyunca geçen toplam süreyi (

t_{\text{toplam}}

) bulmak için her etaptaki süreleri toplayalım.

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{30} + \frac{x}{v} + \frac{x}{90}

saat elde edilir.

Ortalama hız formülünde payda kısmında kullanacağımız toplam süreyi belirlemek için.

3

Ortalama hız formülünü (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

) yazalım ve bu h��zı soruda belirtildiği üzere

v

'ye eşitleyelim.

v = \frac{3x}{\frac{x}{30} + \frac{x}{v} + \frac{x}{90}}

denklemi elde edilir.

Soruda ortalama hızın, ikinci etaptaki sabit hıza eşit olduğu ifade edilmiştir.

4

Elde edilen denklemdeki pay ve paydada yer alan

x

terimlerini sadeleştirip denklemi

v

için çözelim.

v = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{v} + \frac{1}{90}} \Rightarrow v = \frac{3}{\frac{2}{45} + \frac{1}{v}} \Rightarrow v = \frac{3}{\frac{2v + 45}{45v}} \Rightarrow v = \frac{135v}{2v + 45}

elde edilir.

v \neq 0

olduğu için eşitliğin her iki tarafı

v

'ye bölündüğünde:

1 = \frac{135}{2v + 45} \Rightarrow 2v + 45 = 135 \Rightarrow 2v = 90 \Rightarrow v = 45

bulunur.

Bilinmeyen

v

hız değerine ulaşmak için cebirsel işlemleri tamamlamak gerekir.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemlerinde Ortalama Hız Hesaplama

Tahmini Süre:2m 0s

Hız ve Hareket Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar