Hız ve Hareket Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir alışveriş merkezinde yan yana bulunan ve sabit hızlarla hareket eden üç yürüyen merdivenle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Merdivenlerin her birinin boyu eşittir.
* Birinci merdiven yukarı doğru sabit $v_1$ hızıyla hareket etmektedir.
* İkinci merdiven yukarı doğru sabit $v_2$ hızıyla hareket etmektedir.
* Üçüncü merdiven aşa��ı doğru sabit $v_3$ hızıyla hareket etmektedir.

Can'ın bu merdivenlerdeki yürüyüşlerine dair durumlar şöyledir:

* I. Durum: Can, yukarı hareket eden birinci merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $12$ saniyede ulaşıyor. Birinci merdiven duruyor olsaydı, Can aynı hızla yürüyerek üst uca $30$ saniyede ulaşacaktı.
* II. Durum: Can, yukarı hareket eden ikinci merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $10$ saniyede ulaşıyor ( $v_k > v_2$ ).
* III. Durum: Can, aşağı hareket eden üçüncü merdivenden, merdivene göre yukarı doğru sabit $4v_k$ hızıyla yürüyerek çıktığında üst uca $15$ saniyede ulaşıyor. Üçüncü merdiven duruyor olsaydı, Can merdivene göre yukarı doğru $v_k$ hızıyla yürüyerek üst uca $45$ saniyede ulaşacaktı.

Buna göre, sol sütunda verilen durumların sonuçlarını sağ sütundaki doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

I. Durumda oran 1,5; II. Durumda süre 30 saniye; III. Durumda süre 22,5 saniyedir.

I. Durumda merdiven boyu denklemlerinin eşitliğinden

v_1 = 1,5v_k

oranı; II. Durumda yukarı doğru net hızın

v_k

olmasıyla 30 saniye süre; III. Durumda ise aşağı doğru net hızın

2v_k

olmasıyla 22,5 saniye süre doğru olarak eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1

I. Durum için merdiven boyu denklemlerini yazıp birinci merdivenin hızını bulunuz.

v_1 = 1,5v_k

Merdivenin boyu

L = (v_1 + v_k) \cdot 12

ve merdiven dururken

L = v_k \cdot 30

olduğundan bu iki ifade birbirine eşitlenerek

v_1

hızı

v_k

cinsinden bulunur.

2

II. Durum için ikinci merdivenin hızını bulup Can ters yönde yürürken merdivenin üst ucuna ulaşma süresini hesaplayınız.

t_x = 30

saniye

L = (v_2 + v_k) \cdot 10 = v_k \cdot 30

eşitliğinden

v_2 = 2v_k

bulunur. Can aşağı doğru yürümeye çalışırken net hızı yukarı doğru

2v_k - v_k = v_k

olur. Bu durumda üst uca ulaşma süresi

L / v_k = 30

saniye olarak elde edilir.

3

III. Durum için üçüncü merdivenin hızını bulup Can merdivenle aynı yönde aşağı inerken süreyi hesaplayınız.

22,5

saniye

L = (4v_k - v_3) \cdot 15 = v_k \cdot 45

eşitliğinden

v_3 = v_k

bulunur. Can aşağı doğru inerken net hızı aşağı doğru

v_3 + v_k = 2v_k

olur. Alt uca ulaşma süresi

L / (2v_k) = 45 / 2 = 22,5

saniye olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağıl hareket prensibiyle hareket doğrultusu ve yönüne göre hızların toplanması veya çıkarılması.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla, Can'ın hızı

v_k = 1

birim kabul edilerek merdivenin boyu

L = 30

birim alınır. Buradan tüm merdiven hızları ve süreler doğrudan sayılarla hesaplanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 42Soru →

Bir kargo firmasında çalışan üç kuryenin gidiş ve dönüş yollarındaki sabit hızları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kurye	Gidiş Hızı (km/sa)	Dönüş Hızı (km/sa)
Arda	$60$	$90$
Burak	$60$	$40$
Can	$80$	$120$

Bu kuryelerin gidiş ve dönüş rotaları aynı olduğuna göre, kuryeleri tüm yolculukları boyunca elde ettikleri ortalama hızları (km/sa) ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Arda'nın ortalama hızı

72\text{ km/sa}

, Burak'ın ortalama hızı

48\text{ km/sa}

ve Can'ın ortalama hızı

96\text{ km/sa}

olacak şekilde eşleştirilmelidir.

Her bir kuryenin gidiş ve dönüş yolları aynı uzunlukta olduğundan, toplam mesafeyi gidiş ve dönüş sürelerinin toplamına bölerek elde ettiğimiz ortalama hız formülü

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

şeklindedir. Bu formül uygulandığında Arda'nın ortalama hızı

72\text{ km/sa}

, Burak'ın ortalama hızı

48\text{ km/sa}

ve Can'ın ortalama hızı

96\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortalama hız formülünü belirleme

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

Gidilen ve dönülen mesafeler eşit olduğunda, tüm yol boyunca ortalama hız gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalaması ile bulunur.

2

Arda'nın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72\text{ km/sa}

Arda'nın gidiş hızı

60\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

90\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

3

Burak'ın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

Burak'ın gidiş hızı

60\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

40\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

4

Can'ın ortalama hızını hesaplama

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = \frac{19200}{200} = 96\text{ km/sa}

Can'ın gidiş hızı

80\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

120\text{ km/sa}

değerlerini formüle yazarız.

Anahtar Kavram

Gidiş-dönüş mesafelerinin eşit olduğu durumlarda ortalama hız, hızların harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Soru 43Soru →

Bir belediye otobüsü, $A$ durağı ile $B$ durağı arasındaki $15\text{ km}$ lik mesafeyi saatte sabit $60\text{ km}$ hızla gitmeyi planlamaktadır. Ancak yol üzerindeki yoğun trafik nedeniyle otobüs, yolun ilk $6\text{ km}$ lik kısmını saatte sabit $40\text{ km}$ hızla gidebilmiştir.

**Buna göre, otobüsün planlanan sürede B durağına ulaşabilmesi için yolun kalan kısmını saatte kaç $\text{km}$ sabit hızla gitmesi gerekir?**

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Otobüsün planlanan sürede B durağına ulaşabilmesi için yolun kalan kısmında saatte 90 km sabit hızla gitmesi gerekir.

Planlanan süre 15 dakikadır. Otobüs ilk 6 km'de 9 dakika harcadığı için geriye 6 dakikalık süresi kalmıştır. Kalan 9 km'lik yolu 6 dakikada (1/10 saat) tamamlayabilmesi için hızının 90 km/saat olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Planlanan toplam seyahat süresini hesaplamak.

Planlanan süre

t_{\text{toplam}} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\text{ saat} = 15\text{ dakika}

olarak bulunur.

Otobüsün B durağına varması gereken toplam süreyi belirlemek.

2

Yolun ilk kısmında geçen süreyi ve geriye kalan yolu hesaplamak.

İlk kısım için geçen süre

t_1 = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}\text{ saat} = 9\text{ dakika}

ve kalan yol

15 - 6 = 9\text{ km}

olarak bulunur.

Kalan yol miktarını ve bu yola ayrılması gereken süreyi bulmak.

3

Kalan mesafeyi kalan sürede tamamlamak için gereken hızı hesaplamak.

Geriye kalan süre

t_2 = 15 - 9 = 6\text{ dakika} = \frac{1}{10}\text{ saat}

olduğundan, kalan yolda gidilmesi gereken hız

v_2 = \frac{9}{\frac{1}{10}} = 90\text{ km/saat}

olarak hesaplanır.

Zamanında varış sağlamak için gereken sürati belirlemek.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki (

x = v \cdot t

)

Soru 44Soru →

Bir bisiklet kulübünün antrenman programında dört bisikletçi (Deniz, Eylül, Fırat ve Gizem), uzunluğu sabit olan bir parkurda pedal çevirmiştir. Bisikletçilerin sürüş planları ve hızları ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Deniz: Parkur mesafesinin ilk yarısını $v$ sabit hızıyla, ikinci yarısını ise $2v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Eylül: Parkur mesafesinin $\frac{1}{3}$ 'ünü $v$ sabit hızıyla, kalan kısmını ise $3v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Fırat: Parkur mesafesinin $\frac{2}{5}$ 'ini $v$ sabit hızıyla, kalan kısmını ise $2v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.
* Gizem: Parkurdaki toplam sürüş süresinin ilk yarısını $v$ sabit hızıyla, kalan yarısını ise $3v$ sabit hızıyla tamamlamıştır.

Buna göre, bisikletçilerin tüm sürüşleri boyunca elde ettikleri ortalama hızları yanlarındaki matematiksel ifadelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Deniz'in ortalama hızı

\frac{4}{3}v

, Eylül'ün ortalama hızı

\frac{9}{5}v

, Fırat'ın ortalama hızı

\frac{10}{7}v

ve Gizem'in ortalama hızı

2v

ifadeleriyle eşleşir.

Ortalama hız her zaman alınan toplam yolun geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Deniz, Eylül ve Fırat yolları eşit veya belirli oranlarda böldükleri için etaplardaki süreler farklı olmuş ve ağırlıklı harmonik ortalama mantığıyla ortalama hızlar sırasıyla

\frac{4}{3}v

,

\frac{9}{5}v

ve

\frac{10}{7}v

olmuştur. Gizem ise toplam sürüş süresini iki eşit parçaya böldüğü için ortalama hızı doğrudan hızların aritmetik ortalaması olan

2v

çıkmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Deniz için ortalama hız�� hesaplama

Deniz'in ortalama hızı:

V_{\text{Deniz}} = \frac{4}{3}v

Yolun tamamına

x

diyelim. İlk yarıyı (

x/2

)

v

hızıyla

t_1 = \frac{x}{2v}

sürede, ikinci yarıyı (

x/2

)

2v

hızıyla

t_2 = \frac{x}{4v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{3x}{4v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Deniz}} = \frac{x}{3x/4v} = \frac{4}{3}v

olarak elde edilir.

2

Eylül için ortalama hızı hesaplama

Eylül'ün ortalama hızı:

V_{\text{Eylül}} = \frac{9}{5}v

Yolun tamamına

x

diyelim. Yolun

\frac{1}{3}

'ünü

v

hızıyla

t_1 = \frac{x}{3v}

sürede, kalan

\frac{2}{3}

'ünü

3v

hızıyla

t_2 = \frac{2x}{9v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{3x+2x}{9v} = \frac{5x}{9v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Eylül}} = \frac{x}{5x/9v} = \frac{9}{5}v

olarak elde edilir.

3

Fırat için ortalama hızı hesaplama

Fırat'ın ortalama hızı:

V_{\text{Fırat}} = \frac{10}{7}v

Yolun tamamına

x

diyelim. Yolun

\frac{2}{5}

'ini

v

hızıyla

t_1 = \frac{2x}{5v}

sürede, kalan

\frac{3}{5}

'ünü

2v

hızıyla

t_2 = \frac{3x}{10v}

sürede alır. Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{4x+3x}{10v} = \frac{7x}{10v}

olur. Ortalama hız

V_{\text{Fırat}} = \frac{x}{7x/10v} = \frac{10}{7}v

olarak elde edilir.

4

Gizem için ortalama hızı hesaplama

Gizem'in ortalama hızı:

V_{\text{Gizem}} = 2v

Sürüş süresinin tamamına

t

diyelim. İlk yarısında (

t/2

)

v

hızıyla

x_1 = v \cdot \frac{t}{2}

yol alır. İkinci yarısında (

t/2

)

3v

hızıyla

x_2 = 3v \cdot \frac{t}{2}

yol alır. Toplam yol

x_{\text{toplam}} = 2v \cdot t

olur. Ortalama hız

V_{\text{Gizem}} = \frac{2vt}{t} = 2v

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

). Yolun bölündüğü durumlarda hızların basit aritmetik ortalaması alınamaz, ancak sürenin eşit bölündüğü durumlarda aritmetik ortalamaya eşit olur.

Soru 45Soru →

Bir kargo firmasına ait teslimat dronu, merkezden $12\text{ km}$ uzaklıktaki bir adrese giderken rüzgarın etkisiyle saatte sabit $60\text{ km}$ hızla hareket etmiştir. Drone, teslimatı yaptıktan hemen sonra aynı rota üzerinden merkeze dönerken rüzgara karşı saatte sabit $40\text{ km}$ hızla uçmuştur.

Buna göre, dronun bu gidiş-dönüş yolculuğu boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

24

45

48

50

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $48$

Cevap

Dronun gidiş-dönüş yolculuğu boyunca saatteki ortalama hızı

48

kilometredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam geçen süreye oranıdır. Dronun toplamda aldığı yol

24\text{ km}

ve toplam geçen süre

0{}5\text{ saat}

olduğundan ortalama hız

\frac{24}{0{}5} = 48\text{ km/sa}

olarak bulunur. Bu durum, gidiş ve dönüş mesafesi eşit olan hareketliler için geçerli olan ortalama hız formülüyle de doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş sürelerini hesaplayınız.

Gidiş süresi:

t_{\text{gidiş}} = \frac{12}{60} = 0{}2\text{ saat}

(yani

12\text{ dakika}

), dönüş süresi:

t_{\text{dönüş}} = \frac{12}{40} = 0{}3\text{ saat}

(yani

18\text{ dakika}

) olarak bulunur.

Dronun toplam hareket süresini bulmak için her iki yöndeki süreleri ayrı ayrı hesaplamak gerekir.

2

Toplam mesafeyi ve toplam süreyi belirleyiniz.

Toplam mesafe:

12 + 12 = 24\text{ km}

, toplam süre:

0{}2 + 0{}3 = 0{}5\text{ saat}

(yani

30\text{ dakika}

) olarak hesaplanır.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur.

3

Ortalama hızı hesaplayınız.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{24}{0{}5} = 48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Toplam yol ve toplam süre değerleri kullanılarak ortalama hız formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için geçen toplam süreye bölünmesiyle hesaplanır. Gidiş ve dönüş mesafelerinin eşit olduğu durumlarda ortalama hız, hızların harmonik ortalaması olan

V_{\text{ort}} = \frac{2V_1V_2}{V_1+V_2}

formülüyle de bulunabilir.

Alternatif Yöntem

Gidiş ve dönüş mesafeleri birbirine eşit olduğundan, ortalama hız formülü olan

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot V_{\text{gidiş}} \cdot V_{\text{dönüş}}}{V_{\text{gidiş}} + V_{\text{dönüş}}}

kullanılabilir. Buradan,

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 46Soru →

Bir koşucu, antrenman yaparken akıllı saatinde bulunan ve koşu süresince o ana kadar katettiği toplam mesafeyi geçen toplam süreye bölerek anlık ortalama süratini hesaplayan bir uygulamayı kullanmaktadır.

Bu koşucu;
- Antrenmanın ilk $20$ dakikasında sabit $12\text{ km/sa}$ süratle koşmuştur.
- Sonraki $10$ dakika boyunca süratini değiştirmiş ve antrenmanın $30$ . dakikasının sonundaki ortalama sürati $10\text{ km/sa}$ olarak ölçülmüştür.
- Antrenmanın son $20$ dakikasında ise süratini tekrar değiştirmiş ve $50$ dakikalık antrenmanın tamamındaki ortalama sürati $9{}6\text{ km/sa}$ olmuştur.

Buna göre, koşucunun antrenmanın son $20$ dakikasındaki ortalama sürati saatte kaç kilometredir?

7

8

9

9,2

10,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Koşucunun son 20 dakikadaki ortalama sürati saatte 9 kilometredir.

Doğru cevap olan 9 değeri, toplam yolun toplam süreye bölünmesi prensibine dayanır. İlk 20 dakikada (1/3 saat) saatte 12 km süratle 4 km yol alınır. İlk 30 dakika (1/2 saat) sonundaki ortalama sürat 10 km/sa olduğundan bu sürede toplam 5 km yol alınmıştır. Dolayısıyla ikinci aralıkta alınan yol 1 km'dir. 50 dakikalık (5/6 saat) tüm antrenman boyunca ortalama sürat 9,6 km/sa olduğundan toplam alınan yol 8 km olur. Son aralıkta alınan yol 8 - 5 = 3 km'dir. Son 20 dakikalık (1/3 saat) sürede 3 km yol alındığına göre bu aralıktaki ortalama sürat 3 / (1/3) = 9 km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk 20 dakikada alınan yolu hesaplamak için süreyi saate çevirip süratle çarpın.

Süre:

20\text{ dakika} = \frac{1}{3}\text{ saat}

. Yol:

x_1 = 12 \times \frac{1}{3} = 4\text{ km}

.

İlk aralıkta katedilen mesafeyi bulmak için.

2

İlk 30 dakikada alınan toplam yolu bulmak için ortalama sürat formülünü kullanın.

Süre:

30\text{ dakika} = \frac{1}{2}\text{ saat}

. Ortalama sürat:

10\text{ km/sa}

. Toplam yol:

x_1 + x_2 = 10 \times \frac{1}{2} = 5\text{ km}

.

İlk iki aralıkta alınan toplam mesafeyi belirlemek için.

3

İkinci aralıktaki mesafeyi hesaplayın.

x_2 = 5 - 4 = 1\text{ km}

.

İkinci aralıktaki hareket detayını netleştirmek için.

4

50 dakikalık tüm antrenman boyunca alınan toplam yolu hesaplayın.

Süre:

50\text{ dakika} = \frac{5}{6}\text{ saat}

. Ortalama sürat:

9{}6\text{ km/sa}

. Toplam yol:

x_{\text{top}} = 9{}6 \times \frac{5}{6} = 8\text{ km}

.

Antrenmanın tamamında katedilen toplam mesafeyi bulmak için.

5

Son 20 dakikada alınan yolu ve bu aralıktaki ortalama sürati hesaplayın.

Son 20 dakikadaki yol:

x_3 = 8 - 5 = 3\text{ km}

. Süre:

20\text{ dakika} = \frac{1}{3}\text{ saat}

. Son aralıktaki sürat:

v_3 = \frac{3}{1/3} = 9\text{ km/sa}

.

İstenen son aralık süratini bulmak için.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde ortalama sürat, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranı ile hesaplanır.

Soru 47Soru →

Durgun sudaki hızı sabit olan motorlu bir tekne, bir nehirde akıntı yönünde hareket ederek A limanından B limanına 4 saatte gitmiştir. Bu tekne, B limanından A limanına akıntıya karşı aynı rotayı izleyerek 6 saatte dönmü��tür.

Tekne, B'den A'ya doğru yaptığı dönüş yolculuğunun tam yarısına geldiğinde nehirdeki akıntı tamamen durmuş ve nehir durgun su haline gelmiştir. Teknenin motor gücü (durgun sudaki hızı) yolculuk boyunca sabit kalmıştır.

Buna göre, tekne dönüş yolculuğunun kalan kısmını kaç saatte tamamlar?

2

2,2

2,4

2,5

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,4

Cevap

Dönüş yolculuğunun kalan kısmı 2,4 saatte tamamlanır.

Gidiş ve dönüş sürelerinden faydalanarak teknenin durgun sudaki hızı v = 5d/24 olarak hesaplanır. Dönüş yolunun kalan yarısı olan d/2 mesafesi, akıntının durmasıyla sadece v hızıyla gidileceğinden, süre (d/2) / (5d/24) = 2,4 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş yolları için hız-zaman denklemlerini kurma

Yolun tamamı d, teknenin durgun sudaki hızı v ve akıntı hızı v_a olsun. Gidiş denklemi: d = 4 * (v + v_a) => v + v_a = d/4. Dönüş denklemi: d = 6 * (v - v_a) => v - v_a = d/6.

Yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir. Akıntı yönünde giderken hızlar toplanır, akıntıya karşı giderken çıkarılır.

2

Teknenin durgun sudaki hızını (v) yol cinsinden bulma

(v + v_a) = d/4 ve (v - v_a) = d/6 denklemleri taraf tarafa toplanırsa: 2v = d/4 + d/6 = 5d/12 => v = 5d/24 olarak bulunur.

Akıntının durması durumunda teknenin yeni hızı sadece durgun sudaki hızı (v) olacağından v değerini d cinsinden ifade etmemiz gerekir.

3

Kalan yol ve yeni hız ile süreyi hesaplama

Dönüş yolunun tam yarısında akıntı durduğuna göre kalan yol d/2'dir. Yeni hız ise v = 5d/24'tür. Kalan süre: (d/2) / (5d/24) = (d/2) * (24/5d) = 12/5 = 2,4 saat.

Kalan süre, kalan yolun yeni hıza bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Akıntı problemlerinde nehirde hareket yönüne göre hızların toplanması veya çıkarılması, akıntı kesildiğinde hızın sadece durgun su hızına eşit olması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 48Soru →

A ve B noktaları arasındaki uzaklığın $36\text{ km}$ olduğu doğrusal bir yolda, Ali ve Burak isimli iki arkadaş A noktasından B noktasına gitmek istemektedir. Yanlarında sadece bir kişinin binebileceği tek bir elektrikli bisiklet vardır.

Ali ve Burak'ın yürüme ve bisiklet kullanma hızları aşağıdaki gibidir:
- Ali yürürken saatte $6\text{ km}$ , bisikletle giderken saatte $24\text{ km}$ sabit hızla hareket etmektedir.
- Burak ise yürürken saatte $4\text{ km}$ , bisikletle giderken saatte $16\text{ km}$ sabit hızla hareket etmektedir.

Ali ve Burak aynı anda A noktasından yola çıkıyorlar. Ali bisiklete binip Burak yürüyerek başlıyor. Ali yol üzerindeki bir C noktasında bisikleti bırakıp yoluna yürüyerek hemen devam ediyor. Arkadan yürüyerek gelen Burak ise C noktasına ulaştığında Ali'nin bıraktığı bisiklete hemen binerek kalan yolu bisikletle tamamlıyor.

Her ikisi de aynı anda B noktasına ulaştığına göre, bisikletin C noktasında hareketsiz kaldığı süre kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.5

Cevap

Bisikletin C noktasında hareketsiz kaldığı süre 2,5 saattir.

Ali'nin A'dan C'ye bisikletle gidiş süresi ve C'den B'ye yürüyüş süresinin toplamı, Burak'ın A'dan C'ye yürüyüş süresi ile C'den B'ye bisikletle gidiş süresinin toplamına eşittir. Buradan C noktasının A'dan uzaklığı

12\text{ km}

bulunur. Ali bisikleti

12/24 = 0,5

saatte bırakır, Burak ise

12/4 = 3

saatte alır. Aradaki fark olan

2,5

saat bisikletin hareketsiz kaldığı süredir.

Adım Adım Çözüm

1

A ile C arasındaki mesafeyi

x

değişkeniyle tanımlamak ve C ile B arasındaki mesafeyi ifade etmek.

AC = x\text{ km}

ve

CB = 36 - x\text{ km}

Yolun iki farklı hızla gidilen bölümlerinin uzunluklarını belirlemek için.

2

Ali ve Burak'ın hareket sürelerini

x

cinsinden ifade etmek.

T_{\text{Ali}} = \frac{x}{24} + \frac{36 - x}{6}

saat ve

T_{\text{Burak}} = \frac{x}{4} + \frac{36 - x}{16}

saat

Her iki hareketlinin toplam seyahat sürelerini karşılaştırabilmek için.

3

Sürelerin eşitliğini kullanarak

x

değerini bulmak.

x = 12\text{ km}

İki arkadaşın B noktasına aynı anda vardığı bilgisiyle C noktasının konumunu belirlemek için.

4

Ali ve Burak'ın C noktasına ulaşma sürelerini hesaplamak.

Ali için

0,5

saat, Burak için

3

saat

Bisikletin C noktasında Ali tarafından bırakıldığı ve Burak tarafından alındığı zamanları belirlemek için.

5

İki süre arasındaki farkı bulmak.

3 - 0,5 = 2,5

saat

Bisikletin C noktasında boşta beklediği süreyi hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişkiyi kullanarak hareket denklemleri kurma ve çok adımlı sistemleri çözme.

Soru 49Soru →

Saatteki sabit hızı $90\text{ km}$ olan bir tren, $1200\text{ metre}$ uzunluğundaki bir tüneli, tünele girmeye başladığı andan tamamen çıkana kadar geçen sürede $1\text{ dakikada}$ geçmiştir.

Buna göre, bu trenin boyu kaç metredir?

150

200

300

1500

2700

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Trenin boyu 300 metredir.

Trenin dakikadaki hızı

1500\text{ metre}

olarak hesaplanır. Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken yol tünel boyu ile kendi boyunun toplamı (

1200 + L

) olduğundan,

1200 + L = 1500

eşitliğinden trenin boyu

300\text{ metre}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Trenin saatteki hızını metre/dakika birimine çevirin.

Trenin hızı saatte

90\text{ km}

'dir.

90\text{ km} = 90\,000\text{ metre}

ve

1\text{ saat} = 60\text{ dakika}

olduğuna göre, trenin dakikadaki hızı

\frac{90\,000}{60} = 1500\text{ metre/dakika}

olur.

Soruda verilen zaman birimi dakika ve uzunluk birimi metre olduğu için hız birimini de metre/dakika cinsine dönüştürmemiz gerekir.

2

Trenin

1\text{ dakikada}

aldığı toplam yolu hesaplayın.

Tren sabit hızla

1\text{ dakika}

hareket ettiğine göre aldığı yol

1500 \times 1 = 1500\text{ metre}

'dir.

Alınan yol formülü olan

Yol = Hız \times Zaman

ilişkisini kullanmak için.

3

Tünel geçiş problemlerinde alınan toplam yol bağıntısını kurun.

Bir trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam yol, tünel uzunluğu ile trenin kendi boyunun toplamına eşittir. Yani,

\text{Toplam Yol} = \text{Tünel Boyu} + \text{Tren Boyu}

'dur.

Trenin tünelden tamamen çıkabilmesi için son vagonunun da tüneli terk etmesi gerektiğinden, tren kendi boyu kadar ek mesafe katetmelidir.

4

Eşitliği çözerek trenin boyunu (

L

) bulun.

1200 + L = 1500 \implies L = 300\text{ metre}

bulunur.

Toplam yol değerini ve tünel boyunu denklemde yerine koyarak bilinmeyen tren boyunu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Tren ve tünel geçiş problemlerinde alınan toplam yol, tünel boyu ile tren boyunun toplamına eşittir ve birimler (km/sa, m, dakika) işlem yapılmadan önce mutlaka birbiriyle uyumlu hale getirilmelidir.

Soru 50Soru →

Aşağıda, doğrusal yollarda sabit hızlarla hareket eden bazı taşıtların durumları verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki hareket durumlarını sağ sütundaki doğru sürelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk hareket durumu 30 dakika ile, ikinci hareket durumu 120 dakika ile, üçüncü hareket durumu ise 30 saniye ile eşleşir.

İlk hareket durumunda bağıl hız formülü kullanılarak yakalama süresi 30 dakika, ikinci durumda akıntı etkisi hesaba katılarak toplam süre 120 dakika, üçüncü durumda ise toplam geçiş mesafesi tren ve tünel boyunun toplamı alınarak geçiş süresi 30 saniye olarak doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk hareket durumunda yakalama süresini hesaplayınız.

Yakalama süresi

0{}5\text{ saat} = 30\text{ dakika}

olarak bulunur.

Arkadaki otomobilin hızı

60\text{ km/sa}

, öndeki kamyonun hızı

40\text{ km/sa}

ve aralarındaki mesafe

10\text{ km}

'dir. Yakalama süresi

t = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız Farkı}} = \frac{10}{60 - 40} = 0{}5\text{ saat}

olur.

0{}5\text{ saat} \times 60\text{ dk/sa} = 30\text{ dakika}

elde edilir.

2

İkinci hareket durumunda nehirdeki gidiş-dönüş süresini hesaplayınız.

Toplam süre

2\text{ saat} = 120\text{ dakika}

olarak bulunur.

Akıntıya karşı giderken hızlar çıkarılır:

v_{\text{karşı}} = 24 - 6 = 18\text{ km/sa}

. Alınan yol

18\text{ km}

olduğuna göre geçen süre

t_1 = \frac{18}{18} = 1\text{ saat}

olur. Akıntı yönünde giderken hızlar toplanır:

v_{\text{yön}} = 24 + 6 = 30\text{ km/sa}

. Alınan yol

30\text{ km}

olduğuna göre geçen süre

t_2 = \frac{30}{30} = 1\text{ saat}

olur. Toplam süre

t_1 + t_2 = 1 + 1 = 2\text{ saat}

olup, bu da

2 \times 60 = 120\text{ dakika}

eder.

3

Üçüncü hareket durumunda trenin tüneli geçme süresini hesaplayınız.

Tüneli tamamen geçme süresi

30\text{ saniye}

olarak bulunur.

Trenin tüneli tamamen geçebilmesi için alması gereken toplam yol

x = \text{tren boyu} + \text{tünel boyu} = 150 + 600 = 750\text{ m}

'dir. Saatteki hızı

90\text{ km}

olan trenin hızı metre/saniye cinsinden

v = 90 \times \frac{1000}{3600} = 25\text{ m/sn}

olur. Geçen süre

t = \frac{x}{v} = \frac{750}{25} = 30\text{ saniye}

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişki olan Yol = Hız x Zaman formülü ile bu formülün bağıl hız, nehir akıntısı ve tünel geçişi gibi özel durumlarına uygulanması.

Alternatif Yöntem

Birim dönüşümlerine dikkat ederek, kilometre/saat cinsinden verilen hızları metre/saniye cinsine çevirmek için hız değerini doğrudan

\frac{5}{18}

ile çarpmak hesaplama kolaylığı sağlar. Örneğin:

90 \times \frac{5}{18} = 25\text{ m/sn}

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 51Soru →

Hibrit bir otomobil, A ve B şehirleri arasındaki yolun toprak kısmını elektrik motoruyla saatte ortalama $60\text{ km}$ hızla, asfalt kısmını ise benzinli motoruyla saatte ortalama $90\text{ km}$ hızla gitmiştir. Bu yolun asfalt kısmının uzunluğu, toprak kısmının uzunluğunun $3$ katıdır.

Buna göre, bu otomobilin A şehrinden B şehrine gidene kadarki tüm hareketi boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

72

75

80

82.5

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Otomobilin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 80 kilometredir.

Toprak yolun uzunluğuna

x

dediğimizde asfalt yol

3x

olur ve toplam yol

4x

birimdir. Toprak yolda geçen süre

x/60

saat, asfalt yolda geçen süre ise

3x/90 = x/30

saattir. Bu iki sürenin toplamı yolculuğun tamamı için harcanan süreyi (

x/20

saat) verir. Toplam yol olan

4x

ifadesini toplam süreye oranladığımızda ortalama hız saatte 80 kilometre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yol uzunluklarını değişken cinsinden ifade etme

Toprak yolun uzunluğu

x

km ise, asfalt yolun uzunluğu

3x

km olur. Toplam yol

x + 3x = 4x

km'dir.

Ortalama hız formülünde kullanılacak toplam yolu belirlemek amacıyla yol bölümlerini tek bir değişken cinsinden yazarız.

2

Her bir yol bölümünde geçen süreleri hesaplama

Toprak yolda geçen süre

t_1 = \frac{x}{60}

saat, asfalt yolda geçen süre ise

t_2 = \frac{3x}{90} = \frac{x}{30}

saat olur.

Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak her iki bölümde harcanan süreleri belirleriz.

3

Toplam hareket süresini bulma

Toplam süre

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{60} + \frac{x}{30} = \frac{x + 2x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat olur.

Farklı yol kesimlerinde geçen süreleri toplayarak toplam hareket süresini elde ederiz.

4

Ortalama hızı hesaplama

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{4x}{\frac{x}{20}} = 4x \cdot \frac{20}{x} = 80\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hızın temel tanımı olan toplam yolun toplam zamana oranı formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Hızların doğrudan aritmetik ortalaması ortalama hızı vermez.

Soru 52Soru →

Bir havalimanında bulunan $180\text{ metre}$ uzunluğundaki bir yürüyen bant, sabit hızla hareket etmektedir. Bu yürüyen bant üzerinde, bandın hareket yönüyle aynı doğrultuda sabit hızla yürüyen Hakan, bandın başından sonuna $45\text{ saniyede}$ ulaşabilmektedir.

Hakan, bant üzerinde yürümeye başladıktan tam ortasına geldiği anda bant elektrik arızası nedeniyle durmuştur. Hakan, yürüme hızını değiştirmeden bandın kalan yarısını $60\text{ saniyede}$ tamamlamıştır.

Buna göre, yürüyen bant çalışırken Hakan bant üzerinde hiç yürümeden dursaydı, bandın başından sonuna kaç saniyede ulaşırdı?

54

72

90

120

144

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Hakan'ın bant üzerinde hiç yürümeden durması durumunda bandın başından sonuna ulaşma süresi 72 saniyedir.

Hakan'ın yürüyen bantla birlikte hareket ederken sahip olduğu toplam hız 4 m/sn'dir. Yolun yarısında bant durduktan sonra kalan 90 metreyi kendi hızıyla 60 saniyede tamamladığı için kendi yürüme hızı 1,5 m/sn olur. Buradan bandın hızı 2,5 m/sn olarak bulunur. Hakan yürümeden durduğunda sadece bandın hızıyla hareket edeceğinden, 180 metrelik yolu 72 saniyede tamamlar.

Adım Adım Çözüm

1

Hakan'ın normal şartlardaki toplam hız��nı belirleme.

v_H + v_B = 4\text{ m/sn}

Hakan normalde 180 metrelik yolu yürüyen bantla birlikte 45 saniyede tamamladığı için toplam hız yolun zamana bölünmesiyle bulunur:

\frac{180}{45} = 4\text{ m/sn}

.

2

Bandın durduğu ikinci bölümde Hakan'ın sadece kendi hızını hesaplama.

v_H = 1,5\text{ m/sn}

Yolun tam ortasında (

180 / 2 = 90\text{ metre}

) bant durduğu için kalan 90 metrelik mesafeyi Hakan sadece kendi hızıyla 60 saniyede geçmiştir. Dolay��sıyla

v_H = \frac{90}{60} = 1,5\text{ m/sn}

olur.

3

Yürüyen bandın hızını bulma.

v_B = 2,5\text{ m/sn}

Normal şartlardaki toplam hız

v_H + v_B = 4\text{ m/sn}

olduğundan ve

v_H = 1,5\text{ m/sn}

bulunduğundan, bandın hızı

v_B = 4 - 1,5 = 2,5\text{ m/sn}

olarak elde edilir.

4

Hakan'ın bant üzerinde hiç yürümeden durması durumunda geçecek süreyi hesaplama.

72\text{ saniye}

Hakan bant üzerinde yürümeden durursa sadece bandın hızıyla hareket eder. Bu durumda 180 metrelik yolu

t = \frac{180}{2,5} = 72\text{ saniyede}

tamamlar.

Anahtar Kavram

Bileşik hareket ve bağıl hız prensipleri kullanılarak değişken hareket koşullarında hız ve zaman denklemlerinin kurulması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 53Soru →

Bir kurye, teslimat yapacağı iki adres arasındaki yolun ilk yarısını saatte $20\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $30\text{ km}$ sabit hızla motosikletiyle gitmiştir.

Buna göre, kuryenin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç $\text{km}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kuryenin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı

24\text{ km}

'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Yolun yarısına

60\text{ km}

denilirse, toplam yol

120\text{ km}

olur. Saatte

20\text{ km}

hızla gidilen ilk yarı 3 saat, saatte

30\text{ km}

hızla gidilen ikinci yarı ise 2 saat sürer. Toplam süre 5 saat olduğundan, ortalama hız

120 / 5 = 24\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun yarısına bir değer atama

Yolun yarısı

60\text{ km}

ve tamamı

120\text{ km}

olarak belirlenir.

İşlemleri kolaylaştırmak için hem 20 hem de 30'un ortak katı olan bir sayı seçilir.

2

İlk yarıdaki süreyi hesaplama

t_1 = 3\text{ saat}

Yol formülü kullanılarak zaman

t = \frac{x}{v}

şeklinde bulunur.

3

İkinci yarıdaki süreyi hesaplama

t_2 = 2\text{ saat}

Yol formülü kullanılarak ikinci yarıdaki süre hesaplanır.

4

Toplam süreyi hesaplama

t_{\text{toplam}} = 5\text{ saat}

İki aşamada geçen süreler toplanır.

5

Ortalama hızı hesaplama

V_{\text{ort}} = 24\text{ km/sa}

Ortalama hız formülü (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

) uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranıdır.

Soru 54Soru →

Bir kargo firması, $A$ ve $B$ noktaları arasında paket taşımak için sabit hızla uçan bir insansız hava aracı (drone) kullanmaktadır. Rüzgarsız bir günde drone, $A$ 'dan $B$ 'ye gidip hiç durmadan geri dönerek bu seferi toplam $40\text{ dakikada}$ tamamlamaktadır. Rüzgarlı bir günde, rüzgar $A$ 'dan $B$ 'ye doğru saatte $20\text{ km}$ sabit hızla eserken drone, aynı seferi (gidiş ve dönüş) toplam $45\text{ dakikada}$ tamamlamıştır. Buna göre, dronun rüzgarsız havadaki kendi hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dronun rüzgarsız havadaki hızı saatte

60\text{ km}

'dir.

Dronun rüzgarsız havadaki hızı

v

ve yola

d

denirse, rüzgarsız havada gidiş-dönüş toplam

40\text{ dakika} = \frac{2}{3}\text{ saat}

sürer. Buradan

\frac{2d}{v} = \frac{2}{3} \Rightarrow d = \frac{v}{3}

bulunur. Rüzgarlı havada ise gidiş süresi

\frac{d}{v+20}

ve dönüş süresi

\frac{d}{v-20}

olup toplam süre

45\text{ dakika} = \frac{3}{4}\text{ saat}

değerine eşittir. Denklemde

d

yerine

\frac{v}{3}

yazıldığında

\frac{v}{3(v+20)} + \frac{v}{3(v-20)} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{v}{v+20} + \frac{v}{v-20} = \frac{9}{4}

elde edilir. Payda eşitlemesiyle

\frac{2v^2}{v^2 - 400} = \frac{9}{4} \Rightarrow 8v^2 = 9v^2 - 3600 \Rightarrow v^2 = 3600 \Rightarrow v = 60\text{ km/sa}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Rüzgarsız havadaki hareket denkleminin kurulması ve yolun hız cinsinden ifadesi

d = \frac{v}{3}

Gidiş ve dönüş sürelerinin toplamı olan

40\text{ dakikayı}

saate çevirip yol ile hız arasındaki oranı bulmak için.

2

Rüzgarlı havadaki hareket denkleminin kurulması

\frac{d}{v+20} + \frac{d}{v-20} = \frac{3}{4}

Rüzgarın gidişte dronun hızını artırdığını, dönüşte ise azalttığını hesaba katarak toplam süreyi saat cinsinden eşitlemek için.

3

Elde edilen denklemlerin birleştirilerek dronun hızının çözülmesi

v = 60

d = \frac{v}{3}

bağıntısını rüzgarlı gün denklemine yazıp payda eşitleyerek

8v^2 = 9v^2 - 3600

eşitliğine ula��mak ve pozitif kökü bulmak için.

Anahtar Kavram

Akıntı veya rüzgar etkisi altında yön değişimine bağlı hız problemleri

Alternatif Yöntem

Rüzgarlı havadaki gidiş süresi

t_1

ve dönüş süresi

t_2

olsun. Yol aynı olduğundan

(v+20)t_1 = (v-20)t_2

yazılabilir. Buradan sürelerin oranı

\frac{t_1}{t_2} = \frac{v-20}{v+20}

olur. Toplam süre

t_1 + t_2 = 45\text{ dakika}

olduğundan ve rüzgarsız havada tek yön gidiş süresi olan

20\text{ dakika}

referans alınarak oranlama yöntemiyle de

v = 60

değerine ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 55Soru →

Bir bisikletli, çıkarken saatte $10\text{ km}$ sabit hızla hareket ettiği bir rampayı, dönüşte ayn�� yol üzerinden saatte $30\text{ km}$ sabit hızla inmiştir. Buna göre, bisikletlinin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

12

18

15

20

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bisikletlinin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 15 kilometredir.

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Rampa uzunluğuna

x

dersek, gidiş ve dönüşte alınan toplam yol

2x

olur. Çıkış süresi

\frac{x}{10}

saat ve iniş süresi

\frac{x}{30}

saat olup toplam süre

\frac{2x}{15}

saattir. Bölme işlemi yapıldığında ortalama hız saatte 15 kilometre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Rampanın uzunluğunu sembolik bir değişkenle ifade edip çıkış ve iniş sürelerini yazın.

Rampan��n uzunluğuna

x\text{ km}

dersek; çıkış süresi

t_1 = \frac{x}{10}

saat, iniş süresi ise

t_2 = \frac{x}{30}

saat olur.

Süreleri yol ve hız cinsinden belirleyerek toplam geçen zamanı bulmak amacıyla bu adım uygulanır.

2

Toplam geçen süreyi hesaplamak için çıkış ve iniş sürelerini toplayın.

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{10} + \frac{x}{30} = \frac{3x + x}{30} = \frac{4x}{30} = \frac{2x}{15}

saat.

Ortalama hız formülünde payda kısmına yazılacak olan toplam hareket süresini elde etmek gerekir.

3

Toplam gidilen yolu toplam süreye bölerek ortalama hızı hesaplayın.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{2x}{\frac{2x}{15}} = 2x \cdot \frac{15}{2x} = 15\text{ km/sa}

.

Ortalama hızın temel tanımı olan birim zamandaki toplam yer değiştirme miktarı bu şekilde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 56Soru →

Aşağıda, $900\text{ metrelik}$ doğrusal bir parkurda farklı koşullarda hareket eden üç koşucunun hareket durumları sol sütunda, bu koşucuların sırasıyla $v_K$ , $v_L$ ve $v_M$ hızlarının $\text{m/s}$ cinsinden değerleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki hareket durumlarını sağ sütundaki hız değerleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Kaan'ın ilk hızı

5\text{ m/s}

, Leyla'nın ilk hızı

6\text{ m/s}

ve Murat'ın rüzgarsız havadaki hızı

8\text{ m/s}

olmalıdır.

Kaan'ın hız ve zaman denklemlerinden ilk hızı

5\text{ m/s}

, Leyla'nın süreye bağlı yol denkleminden ilk hızı

6\text{ m/s}

ve Murat'ın rüzgarlı havada gidiş-dönüş süreleri denkleminden rüzgarsız hızı

8\text{ m/s}

olarak hesaplanır. Bu durum, sol sütundaki koşucuların sağ sütundaki sırasıyla

5

,

6

ve

8

hız değerleriyle eşleşmesini gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Kaan'ın her bir etapta geçen sürelerini hız değişkeni

v_K

cinsinden yazıp toplam süreyi bulmak.

t_1 = \frac{300}{v_K}

saniye,

t_2 = \frac{300}{2v_K} = \frac{150}{v_K}

saniye,

t_3 = \frac{300}{3v_K} = \frac{100}{v_K}

saniye. Toplam süre:

t_{\text{toplam}} = \frac{550}{v_K}

saniye.

Alınan yolun hıza oranı, o yolda geçen süreyi verir.

2

Bulunan toplam süre ifadesini verilen toplam süreye eşitleyerek

v_K

değerini hesaplamak.

\frac{550}{v_K} = 110 \Rightarrow v_K = 5\text{ m/s}

.

Kaan'ın tüm parkuru tamamlama süresi

110

saniye olarak verilmiştir.

3

Leyla'nın toplam hareket süresini iki eşit parçaya bölüp her bir parçada aldığı yolları

v_L

cinsinden yazmak.

İlk

50

saniyede alınan yol:

x_1 = 50 \cdot v_L

metre. İkinci

50

saniyede alınan yol:

x_2 = 50 \cdot 2v_L = 100 \cdot v_L

metre. Toplam yol:

x_{\text{toplam}} = 150 \cdot v_L

metre.

Sabit hızla alınan yol, hız ile geçen sürenin çarpımına eşittir.

4

Bulunan toplam yol ifadesini parkurun uzunluğuna eşitleyerek

v_L

değerini bulmak.

150 \cdot v_L = 900 \Rightarrow v_L = 6\text{ m/s}

.

Koşu parkurunun toplam uzunluğu

900

metredir.

5

Murat'ın rüzgarlı havada gidiş ve dönüş hızlarını belirleyip toplam süre denklemini

v_M

cinsinden kurmak.

Gidiş hızı (rüzgara karşı):

v_M - 2

, Dönüş hızı (rüzgar yönünde):

v_M + 2

. Toplam süre:

\frac{900}{v_M - 2} + \frac{900}{v_M + 2} = 240

saniye.

Rüzgar karşıdan eserken hızı azaltır, arkadan eserken ise hızı artırır.

6

Oluşturulan rasyonel denklemi paydalarını eşitleyerek çözmek ve

v_M

değerini bulmak.

\frac{900(v_M + 2) + 900(v_M - 2)}{v_M^2 - 4} = 240 \Rightarrow \frac{1800 v_M}{v_M^2 - 4} = 240 \Rightarrow 15v_M = 2v_M^2 - 8 \Rightarrow 2v_M^2 - 15v_M - 8 = 0 \Rightarrow (2v_M + 1)(v_M - 8) = 0 \Rightarrow v_M = 8\text{ m/s}

.

Hız değeri negatif olamayacağından pozitif kök olan

8

alınır.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemleri

Alternatif Yöntem

Kaan'ın hareketinde yol eşit bölündüğü için ortalama hız harmonik ortalama ile de bulunabilir:

V_{\text{ort}} = \frac{3}{\frac{1}{v_K} + \frac{1}{2v_K} + \frac{1}{3v_K}} = \frac{18v_K}{11}

. Yol

900\text{ m}

ve zaman

110\text{ s}

olduğundan

V_{\text{ort}} = \frac{900}{110} = \frac{90}{11}

olur. Buradan

\frac{18v_K}{11} = \frac{90}{11} \Rightarrow v_K = 5\text{ m/s}

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 57Soru →

Rüzgarlı bir günde, A şehrinden B şehrine doğru saatte $10\text{ km}$ sabit hızla rüzgar esmektedir. Durgun havadaki saatteki sabit hızı $50\text{ km}$ olan bir elektrikli scooter kullanıcısı, A şehrinden B şehrine gidip hiç durmadan aynı yol üzerinden geri dönmüştür. Bu yolculuk boyunca scooterın kendi motor gücü sabit kaldığına göre, kullanıcının tüm yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

40

45

48

50

52

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Ortalama hız 48 km/sa'dir.

Gidiş hızı saatte 60 km, dönüş hızı ise saatte 40 km'dir. Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Yol uzunluğu

x

alındığında gidiş süresi

\frac{x}{60}

saat, dönüş süresi ise

\frac{x}{40}

saat olur. Toplam süre

\frac{x}{60} + \frac{x}{40} = \frac{x}{24}

saattir. Toplam yol olan

2x

bu süreye bölündüğünde ortalama hız 48 km/sa olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş hızlarını belirlemek

Gidiş hızı

50 + 10 = 60\text{ km/sa}

, dönüş hızı

50 - 10 = 40\text{ km/sa}

'dir.

Rüzgar giderken hareket yönünde eserek hızı artırır, dönerken ise harekete karşı eserek hızı azaltır.

2

Ortalama hız formülünü uygulamak

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Gidiş ve dönüş mesafeleri eşit olduğunda ortalama hız, gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalaması alınarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 58Soru →

Aşağıda, sabit hızlarla hareket eden farklı araçların hızları ile gitmeleri gereken toplam yol mesafeleri verilmiştir. Bu araçların belirtilen yolları tamamlamaları için geçen süreleri (saat cinsinden) eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bisikletlinin süresi 2 saat, otomobilin süresi 3 saat ve kamyonun süresi 5 saat ile eşleşir.

Hareket problemlerinde temel bağıntı

x = v \cdot t

(Yol = Hız x Zaman) şeklindedir. Süreyi bulmak için bağıntı

t = \frac{x}{v}

olarak düzenlenir. Bu doğrultuda bisikletli için

120/60 = 2

saat, otomobil için

240/80 = 3

saat ve kamyon için

250/50 = 5

saat süreleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bisikletlinin hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{120}{60} = 2\text{ saat}

Hareket süresi (

t

), gidilen yolun (

x

) hıza (

v

) bölünmesiyle elde edilir.

2

Otomobilin hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{240}{80} = 3\text{ saat}

Otomobilin hızı saatte

80\text{ km}

olup gitmesi gereken yol

240\text{ km}

'dir.

3

Kamyonun hareket süresini bulmak için zaman formülünü uygulayınız.

t = \frac{250}{50} = 5\text{ saat}

Kamyonun hızı saatte

50\text{ km}

olup gitmesi gereken yol

250\text{ km}

'dir.

Anahtar Kavram

Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki (

x = v \cdot t

)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Bir elektrikli bisiklet sürücüsü, iki şehir arasındaki yolun ilk yarısını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $60\text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır.

Buna göre, bisikletlinin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

36

40

45

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Ortalama hız 40 km/sa'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. Yolun yarısına

x\text{ km}

dersek, toplam yol

2x\text{ km}

olur. İlk yarıyı

30\text{ km/sa}

hızla alan bisikletlinin bu süresi

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarıyı

60\text{ km/sa}

hızla alan bisikletlinin bu süresi

t_2 = \frac{x}{60}

saat olur. Toplam süre

t_1 + t_2 = \frac{x}{20}

saat olacağından, ortalama hız

\frac{2x}{\frac{x}{20}} = 40\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamı için bir değişken belirleme.

Yolun yarısına

x\text{ km}

denirse, toplam yol

2x\text{ km}

olur.

Yolun bölümlerinde geçen süreleri yol ve hız cinsinden ifade edebilmek için.

2

Yolun ilk yarısı ve ikinci yarısı için geçen süreleri hesaplama.

İlk yarı için

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarı için

t_2 = \frac{x}{60}

saat bulunur.

Ortalama hız formülünde kullanılacak toplam süreyi elde etmek için.

3

Tüm yolculuk boyunca geçen toplam süreyi bulma.

Toplam süre:

t_{toplam} = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat.

Farklı hızlarla gidilen yolların sürelerini toplamak için payda eşitlemesi yapılır.

4

Toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı hesaplama.

V_{ort} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 2 \times 20 = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranı olduğu için.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması değil; toplam yolun toplam zamana oranıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 60Soru →

Aralarında $360\text{ km}$ mesafe bulunan iki şehirden, saatteki sabit hızları sırasıyla $50\text{ km}$ ve $70\text{ km}$ olan iki otomobil aynı anda birbirlerine doğru harekete başlamıştır. Buna göre, bu iki otomobil hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki otomobil hareketlerinden 3 saat sonra karşılaşır.

Karşılıklı hareket eden araçların birbirlerine göre yaklaşma hızları, hızlarının toplamı olan

50 + 70 = 120\text{ km/sa}

'dir.

360\text{ km}

mesafeyi bu bağıl hızla kapatmaları için geçen süre

\frac{360}{120} = 3\text{ saat}

sürer.

Adım Adım Çözüm

1

Kar��ılıklı hareket eden otomobillerin bağıl hızını bulmak için hızlarını toplayın.

120\text{ km/sa}

Birbirine doğru hareket eden araçlar, aralarındaki mesafeyi hızlarının toplamı oranında hızlı kapatırlar.

2

Aralarındaki toplam mesafeyi bağıl hıza bölerek karşılaşma süresini hesaplayın.

3\text{ saat}

Süre formülü

t = \frac{x}{v}

olduğundan, toplam yol bağıl hıza bölünür.

Anahtar Kavram

Birbirine doğru hareket eden iki aracın karşılaşma süresi, aralarındaki mesafenin araçların hızları toplamına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{v_1 + v_2}

).

Tahmini Süre:45s

Hız ve Hareket Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm