Hız ve Hareket Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir dairesel pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda ve aynı yöne doğru sabit hızlarla koşmaya başlayan Kerem ve Selim'in başlangıçtaki hızları sırasıyla $V_K$ ve $V_S$ dir. Kerem'in başlangıç hızı, Selim'in başlangıç hızının $\frac{8}{3}$ katıdır.

Koşucuların pist üzerindeki hareketleri boyunca hız değişimleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Kerem, pist etrafında 2 tam tur tamamladığı anda hızını yarıya düşürmüştür.
- Selim ise pist etrafında 1 tam tur tamamladığı anda hızın�� 2 katına çıkarmıştır.

Kerem hızını değiştirdikten sonra Selim de hızını değiştirmiş ve bu değişimden bir süre sonra iki koşucu ilk kez yan yana gelmiştir.

Koşucuların ilk kez yan yana geldikleri ana kadar geçen sürede Kerem toplam $720\text{ metre}$ koştuğuna göre, dairesel pistin uzunluğu kaç metredir?

180

200

240

288

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Dairesel pistin uzunluğu 240 metredir.

Koşucuların hız değişim zamanları ve konumları adım adım izlendiğinde, Selim'in Kerem'i yakaladığı ana kadar Kerem'in pist uzunluğunun tam olarak 3 katı (

3x

) kadar mesafe koştuğu görülür. Koşulan toplam mesafe 720 metre olduğundan pist uzunluğu 240 metredir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması

Pistin uzunluğuna

x

metre diyelim. Selim'in başlangıç hızını

3v

, Kerem'in başlangıç hızını ise

8v

olarak belirleyelim.

Hızlar arasındaki

\frac{8}{3}

oranını kolayca modellemek için ortak bir

v

değişkeni kullanılır.

2

Kerem'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Selim'in konumunun belirlenmesi

Kerem'in 2 tam turu tamamlaması için geçen süre

t_1 = \frac{2x}{8v} = \frac{x}{4v}

olur. Bu sürede Selim

d_S(t_1) = 3v \cdot \frac{x}{4v} = \frac{3}{4}x

kadar yol alır. Selim henüz 1. turunu tamamlamamıştır. Kerem'in yeni hızı ise

4v

olur.

Kerem'in hızını değiştirdiği ilk kırılma anında Selim'in nerede olduğunu bulmak için gereklidir.

3

Selim'in hızını değiştirdiği ana kadar geçen sürenin ve Kerem'in konumunun belirlenmesi

Selim'in 1 tam turunu tamamlaması için geçen toplam süre

t_2 = \frac{x}{3v}

olur.

t_1

ile

t_2

arasındaki zaman farkı

\Delta t = \frac{x}{3v} - \frac{x}{4v} = \frac{x}{12v}

kadardır. Bu sürede Kerem

4v \cdot \frac{x}{12v} = \frac{x}{3}

kadar daha yol alır.

t_2

anında Selim başlangıç noktasındadır (hızı

6v

olur) ve Kerem

\frac{x}{3}

konumundadır.

İkinci hız değişiminin gerçekleştiği anda koşucuların bağıl konumlarını belirlemek için gereklidir.

4

Karşılaşma anına kadar geçen sürenin ve Kerem'in aldığı yolun hesaplanması

Selim'in Kerem'i yakalaması için gereken süre

t_3 = \frac{x/3}{6v - 4v} = \frac{x}{6v}

olur. Bu sürede Kerem

4v \cdot \frac{x}{6v} = \frac{2}{3}x

kadar yol alır.

Bağıl hız kullanılarak karşılaşma anına kadar geçen sürede Kerem'in katettiği son mesafeyi bulmak için gereklidir.

5

Pistin uzunluğunun bulunması

Kerem'in toplam yolu

2x + \frac{x}{3} + \frac{2}{3}x = 3x

olur.

3x = 720 \implies x = 240

metre olarak bulunur.

Kerem'in toplam koştuğu mesafe bilindiğinden, elde edilen denklem çözülerek pist uzunluğuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde bağıl hız, karşılaşma ve yakalama sürelerinin dairesel pist üzerinde modellenmesi.

Soru 62Soru →

Aşağıda dairesel pistlerde farklı koşullarda hareket eden koşucuların durumları sol sütunda, bu hareketlilerin karşılaşma veya yakalama süreleri ise sağ sütunda verilmiştir.

Buna göre, sol sütunda verilen durumları sağ sütundaki doğru sürelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk durum 12 saniye ile, ikinci durum 30 saniye ile, üçüncü durum ise 6 saniye ile eşleşir.

Sol sütundaki durumlar formüller kullanılarak çözüldüğünde sırasıyla 12 saniye, 30 saniye ve 6 saniye sonuçları elde edilir. Bu sonuçlar sağ sütundaki doğru sürelerle tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Zıt yönlü dairesel hareket formülünü uygulamak

Birinci durumda karşılaşma süresi:

t_1 = \frac{240}{12+8} = 12\text{ saniye}

olarak bulunur.

Aynı noktadan zıt yönde hareket eden araçlar, pistin çevresi kadar yolu kapatarak karşılaşırlar.

2

Aynı yönlü dairesel hareket formülünü uygulamak

İkinci durumda yakalama süresi:

t_2 = \frac{180}{15-9} = 30\text{ saniye}

olarak bulunur.

Aynı noktadan aynı yönde hareket eden iki araçtan hızlı olanın yavaş olanı yakalaması için pist çevresi kadar tur bindirmesi gerekir.

3

Çapın iki ucundan başlayan hareketin mesafesini belirlemek ve zıt yönlü hareket formülünü uygulamak

Başlangıç mesafesi:

\frac{300}{2} = 150\text{ m}

. Karşılaşma süresi:

t_3 = \frac{150}{13+12} = 6\text{ saniye}

olarak bulunur.

Çapın iki ucu arasındaki en kısa mesafe çevrenin yarısına eşittir ve birbirlerine doğru hareket ettiklerinden hızlar toplanır.

Anahtar Kavram

Dairesel pistlerde zıt ve aynı yönlü hareketlerde karşılaşma ve yakalama sürelerinin bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 63Soru →

Boyları sırasıyla $180\text{ metre}$ ve $220\text{ metre}$ olan A ve B trenleri, doğrusal ve birbirine paralel iki ray üzerinde sabit hızlarla hareket etmektedir. Bu trenler birbirine doğru (zıt yönlerde) hareket ettiklerinde, ön uçlarının karşılaştığı andan tamamen birbirlerini geçtikleri ana kadar geçen süre $8$ saniyedir. Hızlı olan trenin hızı, yavaş olan trenin hızının $1,5$ katı olduğuna göre; bu iki tren aynı yönde hareket etselerdi, hızlı olan trenin ön ucunun yavaş olan trenin arka ucuna ulaştığı andan itibaren yavaş olan treni tamamen geçmesi kaç saniye sürerdi?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Hızlı olan trenin yavaş olan treni aynı yönde hareket ederken tamamen geçmesi için geçen süre 40 saniyedir.

Zıt yönlü harekette toplam bağıl hız

v_{hızlı} + v_{yavaş} = 50\text{ m/sn}

olur. Hız oranı

1,5

olduğundan yavaş trenin hızı

20\text{ m/sn}

, hızlı trenin hızı

30\text{ m/sn}

'dir. Aynı yönlü harekette bağıl hız

30 - 20 = 10\text{ m/sn}

olduğundan,

400\text{ metrelik}

geçiş mesafesi bu bağıl hızla

40

saniyede tamamlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Trenlerin birbirini tamamen geçmesi için gereken toplam mesafeyi hesaplama

Mesafe = 400 metre

Birbirini geçen araçların boylarının toplamı, alınması gereken bağıl mesafeyi verir.

2

Zıt yönlü hareketteki bağıl hızı bulma

Bağıl Hız = 50 m/sn

400 metrelik mesafe 8 saniyede geçildiği için saniyedeki toplam hız 50 metredir.

3

Hızlar oranını kullanarak trenlerin bireysel hızlarını hesaplama

Yavaş trenin hızı = 20 m/sn, Hızlı trenin hızı = 30 m/sn

Hızlı trenin hızı yavaş olanın 1,5 katı olup toplamları 50 m/sn'ye eşittir.

4

Aynı yönlü hareketteki geçiş süresini hesaplama

Süre = 40 saniye

Aynı yönlü harekette bağıl hız, hızların farkı (10 m/sn) olup 400 metrelik mesafe bu hıza bölünerek süre bulunur.

Anahtar Kavram

Birbirini tamamen geçen hareketlilerde bağıl hız ve toplam geçiş mesafesi ilişkisi

Soru 64Soru →

Bir kargo kamyonu, $A$ şehri ile $B$ şehri arasındaki yolun şehir içi trafiğine denk gelen ilk $\frac{1}{3}$ 'lük kısmını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, otoban olan kalan kısmını ise saatte $120\text{ km}$ sabit hızla giderek yolculuğunu tamamlamıştır.

Buna göre, bu kamyonun yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

40

50

60

75

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Ortalama hızı saatte 60 km olan seçenek doğrudur.

Ortalama hız, katedilen toplam mesafenin, bu mesafeyi almak için harcanan toplam süreye oranıdır. Yolun ilk

x

kilometresi 30 km/sa hızla

\frac{x}{30}

saatte, kalan

2x

kilometresi ise 120 km/sa hızla

\frac{x}{60}

saatte alınır. Toplam süre

\frac{x}{20}

saat olduğundan, ortalama hız

3x / (x/20) = 60

km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamını ve bölümlerini belirleme

Yolun tamamına

3x

denirse, ilk bölüm

x

ve ikinci bölüm

2x

olur.

Yolun oranlarını kullanarak süre hesaplaması yapabilmek için değişken tanımlanır.

2

Yolun ilk bölümünde geçen süreyi hesaplama

t_1 = \frac{x}{30}

saat

Zaman = Yol / Hız formülü uygulanır.

3

Yolun ikinci bölümünde geçen süreyi hesaplama

t_2 = \frac{2x}{120} = \frac{x}{60}

saat

Kalan 2x kilometrelik yolun 120 km/sa hızla gidildiği süre hesaplanır.

4

Toplam seyahat süresini bulma

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat

Ayrı ayrı geçen süreler toplanarak toplam zaman elde edilir.

5

Ortalama hızı hesaplama

V_{\text{ort}} = \frac{3x}{\frac{x}{20}} = 60\text{ km/sa}

Ortalama hız = Toplam Yol / Toplam Zaman formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle bulunur; hızların aritmetik ortalaması değildir.

Alternatif Yöntem

Yolun tamamına hem 30 hem de 120 sayılarının ortak katı olacak şekilde değer verilebilir. Örneğin, yolun tamamı 360 km olsun. İlk 1/3'lük kısım 120 km olup 30 km/sa hızla 4 saat sürer. Kalan 240 km ise 120 km/sa hızla 2 saat sürer. Toplam yol 360 km, toplam zaman ise 4 + 2 = 6 saat olur. Ortalama hız buradan 360 / 6 = 60 km/sa olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

Bir havalimanındaki yürüyen bandın uzunluğu sabittir. Bu bant üzerinde sabit hızla yürüyen bir yolcu, bandın hareket yönüyle aynı yönde yürüdüğünde bandın bir ucundan diğer ucuna $36$ saniyede ulaşmaktadır. Yolcu, aynı yürüme hızıyla bandın hareket yönünün tersine doğru yürüdüğünde ise bandın bir ucundan diğer ucuna $90$ saniyede ulaşabilmektedir.

Buna göre, bu yolcu yürüyen bant üzerinde hiç yürümeden ayakta durarak bandın bir ucundan diğer ucuna kaç saniyede ulaşır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Yolcu yürüyen bant üzerinde yürümeden durduğunda bandın bir ucundan diğer ucuna 120 saniyede ulaşır.

Aynı yönlü harekette hızların toplamı (

v_y + v_b = x / 36

) ve zıt yönlü harekette hızların farkı (

v_y - v_b = x / 90

) kullanılarak bandın hızı

v_b = x / 120

olarak bulunur. Yolcu yürümediğinde sadece bandın hızıyla hareket edeceğinden süre

x / v_b = 120

saniye olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolcu ve bandın hızları ile bandın boyu arasında aynı yönlü hareket için denklem kurulması.

v_y + v_b = \frac{x}{36}

Yolcu bantla aynı yönde yürüdüğünde hızı bandın hızıyla toplanır.

2

Yolcu ve bandın hızları ile bandın boyu arasında zıt yönlü hareket için denklem kurulması.

v_y - v_b = \frac{x}{90}

Yolcu bantla zıt yönde yürüdüğünde bağıl hızı yolcu ve bandın hızlarının farkı olur.

3

İki denklemin taraf tarafa çıkarılarak bandın hızının (

v_b

) bandın boyu (

x

) cinsinden elde edilmesi.

2v_b = \frac{x}{36} - \frac{x}{90} \implies 2v_b = \frac{3x}{180} \implies v_b = \frac{x}{120}

Yolcunun hızını eleyerek sadece bant hızı ve yol arasındaki ilişkiyi bulmak.

4

Yolcunun bant üzerinde sabit durması durumundaki sürenin hesaplanması.

t = \frac{x}{v_b} = \frac{x}{\frac{x}{120}} = 120

Yolcu yürümediğinde hareket sadece bandın hızıyla gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Bağıl hız prensipleri ve doğrusal hareket denklemlerinin ortak çözümü

Soru 66Soru →

Bir kurye, teslimat merkezinden aldığı bir paketi müşteriye götürmek için saatte $80\text{ km}$ sabit hızla yola çıkmış ve teslimatı yaptıktan sonra aynı yol üzerinden saatte $120\text{ km}$ sabit hızla merkeze geri dönmüştür.

Buna göre, kuryenin tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

90

96

100

105

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Ortalama hız saatte 96 kilometredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye oranına eşittir. Bu yolculukta kurye aynı yolu gidip döndüğü için ortalama hız

V_{ort} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = 96\text{ km/sa}

olarak hesaplanır. Bu nedenle saatte 96 kilometre değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş ve dönüş mesafesini temsil eden bir yol uzunluğu tanımlanır.

Gidiş-dönüş mesafesi için yol

x\text{ km}

olsun. Gidiş hızı

80\text{ km/sa}

ve dönüş hızı

120\text{ km/sa}

olarak alınır.

Ortalama hızın hesaplanabilmesi için toplam yol ve toplam sürenin bulunması gerekir.

2

Gidiş ve dönüş süreleri yol ve hız cinsinden belirlenir.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{80}

saat, dönüş süresi

t_2 = \frac{x}{120}

saattir.

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle elde edilir (

t = \frac{x}{v}

).

3

Tüm yolculuk için toplam alınan yol ve toplam geçen süre hesaplanır.

Toplam yol =

x + x = 2x\text{ km}

. Toplam süre =

\frac{x}{80} + \frac{x}{120} = \frac{3x + 2x}{240} = \frac{5x}{240} = \frac{x}{48}

saat.

Ortalama hız formülü olan Toplam Yol / Toplam Süre ifadesinde kullanılacak değerler elde edilir.

4

Toplam yol toplam süreye bölünerek ortalama hız hesaplanır.

V_{ort} = \frac{2x}{\frac{x}{48}} = 2 \cdot 48 = 96\text{ km/sa}

bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilen değerdir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam süreye bölünmesiyle hesaplanır. Gidiş ve dönüş hızları sırasıyla

v_1

ve

v_2

olan bir hareketlinin aynı yoldaki ortalama hızı

V_{ort} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

formülüyle de bulunabilir.

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formülü kullanılarak da doğrudan çözüme ulaşılabilir:

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

formülünde verilenler yerine yazılırsa

V_{ort} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = 96\text{ km/sa}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 67Soru →

Bir otomobil, iki kent arasındaki yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, bu otomobilin tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

72

75

36

80

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Otomobilin tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte 72 kilometredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilir. Bu yolculukta gidilen toplam yol

2x

km, bu yolu almak için geçen toplam süre ise

\frac{x}{36}

saattir. Bu iki değer birbirine bölündüğünde ortalama hız saatte 72 kilometre olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına

2x

diyelim. Bu durumda yolun ilk yarısı

x

, ikinci yarısı da

x

olur.

Yolun ilk yarısı:

x

, İkinci yarısı:

x

Yolu iki eşit parçaya bölerek her bir parça için geçen süreyi hesaplayabilmek amacıyla değişken tanımladık.

2

İlk yarıda geçen süreyi (

t_1

) ve ikinci yarıda geçen süreyi (

t_2

) hız ve zaman ilişkisini (

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

) kullanarak yazalım.

t_1 = \frac{x}{60}

saat ve

t_2 = \frac{x}{90}

saat

Geçen toplam süreyi bulmak için her iki bölümdeki süreleri yol ve hız cinsinden belirlemeliyiz.

3

Toplam süreyi (

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2

) bulalım. Paydaları

180

sayısında eşitleyerek toplama işlemini yapalım.

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{60} + \frac{x}{90} = \frac{3x + 2x}{180} = \frac{5x}{180} = \frac{x}{36}

saat

Ortalama hızı hesaplamak için gereken toplam hareket süresini buluyoruz.

4

Ortalama hız formülünü (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

) uygulayalım.

V_{\text{ort}} = \frac{2x}{\frac{x}{36}} = 2x \cdot \frac{36}{x} = 72\text{ km/s}

Tüm hareket boyunca birim zamandaki ortalama hızı elde etmek amacıyla toplam yolu toplam süreye böldük.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Yol iki eşit parçaya bölündüğünde ortalama hız, hızların harmonik ortalaması olan

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

formülü ile de hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 68Soru →

Bir memur, her sabah evinden iş yerine sabit bir hızla yürüyerek gitmektedir. Eğer sabahları normal hızının $\frac{4}{3}$ katı hızla yürürse iş yerine her zamanki süresinden $10\text{ dakika}$ daha erken varmaktadır.

Bu memur, bir gün evden çıkıp yolun $\frac{1}{4}$ 'ünü normal hızıyla yürüdükten sonra kalan yolda hızını yarıya indirmek zorunda kalmıştır.

Buna göre, memur o gün iş yerine her zamanki süresinden kaç dakika geç varmıştır?

15

20

25

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Memur o gün iş yerine her zamanki süresinden 30 dakika geç varmıştır.

Memurun normal süresi 40 dakikadır. Yolun ilk 1/4'ünü normal hızıyla 10 dakikada alır. Kalan 3/4'ünü ise normalde 30 dakikada alacakken hızını yarıya indirdiği için 60 dakikada alır. Böylece o günkü toplam yolculuk süresi 70 dakika sürer ve normal süresinden 30 dakika daha geç kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Normal hız ile süre arasındaki ilişkiyi kurarak normal varış süresini hesaplamak.

Normal hız

v

, yol

x

ve normal süre

t

olsun. Hız

\frac{4}{3}v

olduğunda süre ters orantılı olarak

\frac{3}{4}t

olur. Aradaki fark 10 dakika olduğundan:

t - \frac{3}{4}t = 10 \Rightarrow \frac{t}{4} = 10 \Rightarrow t = 40\text{ dakika}

bulunur.

Soruda verilen hız değişimi ve erken varma süresini kullanarak memurun normalde işe kaç dakikada gittiğini bulmak gerekir.

2

Yolun ilk

\frac{1}{4}

'lük kısmı için geçen süreyi hesaplamak.

Yolun

\frac{1}{4}

'ü normal hızla gidildiği için harcanan süre:

t_1 = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10\text{ dakika}

olur.

Yolun ilk aşamasında normal hızın korunduğu belirtilmiştir.

3

Kalan

\frac{3}{4}

'lük kısım yarı hızla gidildiğinde harcanan süreyi hesaplamak.

Normal koşullarda kalan yol için gereken süre

40 \cdot \frac{3}{4} = 30\text{ dakika}

olmalıdır. Hız yarıya indirildiğinde süre 2 katına çıkacağından kalan kısım için geçen süre:

t_2 = 30 \times 2 = 60\text{ dakika}

olur.

Hız ile süre ters orantılıdır; hız yarıya indiğinde kalan yolu alma süresi 2 katına çıkar.

4

O günkü toplam süreyi ve normal süreye göre gecikme miktarını hesaplamak.

Toplam harcanan süre:

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = 10 + 60 = 70\text{ dakika}

olur. Gecikme miktarı:

70 - 40 = 30\text{ dakika}

bulunur.

O günkü toplam varış süresi ile normal varış süresi arasındaki farkı bularak gecikme süresine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hız ile zaman arasındaki ters orantı ilişkisi ve yolun bölümlerine göre harcanan sürelerin toplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 69Soru →

Aşağıda sol sütunda hareketlilerle ilgili özellikleri verilen durumlar ile sağ sütunda bu durumlardan elde edilen doğru sayısal sonuçları eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru eşleştirme şu şekildedir: Birinci durum

\frac{4}{5}

oranı ile, ikinci durum

40

saatteki ortalama hızı ile, üçüncü durum ise

24

saatteki ortalama hızı ile eşleşmelidir.

Soruda verilen her üç durum için fiziksel ve matematiksel hareket yasaları doğru şekilde uygulanmıştır. Birinci durumda zıt yönlü dairesel harekette karşılaşma sürelerinin oranı

\frac{4}{5}

olarak; ikinci durumda farklı hızlarla gidilen eşit mesafeli üç yol bölümünün ortalama hızı

40\text{ km/sa}

olarak; üçüncü durumda akıntılı nehirde gidiş-dönüş yapan motorun ortalama hızı

24\text{ km/sa}

olarak bulunmuş ve doğru sonuçlarla eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci durum için bisikletlilerin hızlarını sırasıyla

v

ve

3v

olarak belirleyip ilk karşılaşma süresini yazınız.

Pistin çevresi

x

olsun. Zıt yönlü harekette karşılaşma süresi

t_1 = \frac{x}{3v + v} = \frac{x}{4v}

olur.

Zıt yönlü dairesel harekette ilk karşılaşma süresi, pist çevresinin hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur.

2

İlk karşılaşma sonrasında yavaş olan bisikletlinin yeni hızını belirleyip ikinci karşılaşma süresini hesaplayarak oranı bulunuz.

Yavaş olan bisikletli hızını iki katına çıkarınca hızı

2v

olur. Diğer bisikletlinin hızı ise

3v

'dir ve zıt yönde hareket etmeye devam ederler. İkinci karşılaşma süresi

t_2 = \frac{x}{3v + 2v} = \frac{x}{5v}

olur. Buradan oran

\frac{t_2}{t_1} = \frac{x/5v}{x/4v} = \frac{4}{5}

bulunur.

Hız değişimi sonrasında yeni hızlar toplamı kullanılarak ikinci karşılaşma süresi hesaplanır ve ilk süreye oranlanır.

3

İkinci durumda aracın aldığı toplam yolu

3S

kabul ederek her bir bölüm için geçen süreleri yazıp toplam süreyi bulunuz.

Yolun ilk

\frac{1}{3}

'ü

S

olup

30\text{ km/sa}

hızla

t_1 = \frac{S}{30}

sürede alınır. Kalan yol

2S

olup yarısı

S

mesafesini

40\text{ km/sa}

hızla

t_2 = \frac{S}{40}

sürede alır. Son kısım

S

mesafesini

60\text{ km/sa}

hızla

t_3 = \frac{S}{60}

sürede alır. Toplam süre

T = \frac{S}{30} + \frac{S}{40} + \frac{S}{60} = \frac{9S}{120} = \frac{3S}{40}

olur.

Ortalama hızı bulabilmek için toplam sürenin yol cinsinden ifadesi gerekir.

4

İkinci durum için ortalama hızı hesaplayınız.

Ortalama hız

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{3S}{\frac{3S}{40}} = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız formülü olan toplam yolun toplam zamana oranı uygulanır.

5

Üçüncü durumda nehirde akıntı yönünde ve akıntıya karşı hızları belirleyip ortalama hızı bulunuz.

Gidiş hızı akıntı yönünde olduğundan

25 + 5 = 30\text{ km/sa}

olur. Dönüş hızı akıntıya karşı olduğundan

25 - 5 = 20\text{ km/sa}

olur. Gidiş dönüşte eşit mesafeler katedildiği için ortalama hız

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_{gidis} \cdot v_{donus}}{v_{gidis} + v_{donus}} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 20}{30 + 20} = 24\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Akıntı etkisiyle değişen gidiş ve dönüş hızları kullanılarak eşit mesafeli gidiş-dönüş yolculuğunun ortalama hızı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde bağıl hız, ortalama hız ve akıntı problemlerinin formülleri.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 70Soru →

Bir otoyol dinlenme tesisinden saatte $80\text{ km}$ sabit hızla yola çıkan bir otomobilin ardından, aynı tesisten $2\text{ saat}$ sonra ve aynı yöne doğru saatte $120\text{ km}$ sabit hızla bir motosikletli yola çıkmıştır. Buna göre, motosikletli yola çıktıktan kaç saat sonra otomobili yakalar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Motosikletli yola çıktıktan 4 saat sonra otomobili yakalar.

Motosikletli yola çıktığında otomobil

160\text{ km}

yol almıştır. Motosikletli her saat otomobile

40\text{ km}

yaklaşacağından, aradaki mesafeyi

160 / 40 = 4

saatte kapatır.

Adım Adım Çözüm

1

Otomobilin motosikletli harekete başlamadan önce aldığı yolu hesaplamak

160\text{ km}

Motosikletli yola çıktığında otomobilin 2 saat boyunca yol almış olması

2

İki araç arasındaki hız farkını bulmak

40\text{ km/sa}

Motosikletlinin otomobile her saat ne kadar yaklaşacağını belirlemek

3

Yakalama süresini hesaplamak için aradaki mesafeyi hız farkına bölmek

4\text{ saat}

Motosikletlinin aradaki

160\text{ km}

mesafeyi kapatması için gereken süreyi bulmak

Anahtar Kavram

Aynı yönde hareket eden iki araçtan arkadakinin öndekini yakalama süresi, aralarındaki mesafenin hızları farkına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{V_1 - V_2}

)

Alternatif Yöntem

Motosikletlinin otomobili yakaladığı ana kadar geçen sürede her iki aracın aldığı yollar birbirine eşittir. Otomobilin hareket süresi

t+2

saat, motosikletlinin hareket süresi

t

saat olsun. Yolların eşitliğinden

80 \times (t + 2) = 120 \times t \implies 80t + 160 = 120t \implies 40t = 160 \implies t = 4

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 71Soru →

Bir bisikletli, evinden kütüphaneye giden yokuş yukarı yolu saatte $12\text{ km}$ sabit hızla çıkmış; aynı yolu kullanarak kütüphaneden evine dönerken ise saatte $20\text{ km}$ sabit hızla inmiştir.

Buna göre, bisikletlinin bu gidiş-dönüş yolculuğundaki ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

14

15

16

17

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Ortalama hız saatte 15 km'dir.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur. Ev ile kütüphane arasındaki mesafe 60 km olarak kabul edildiğinde, gidiş süresi 5 saat, dönüş süresi 3 saat olmaktadır. Toplamda 120 km yol 8 saatte alındığı için ortalama hız saatte 15 km olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun uzunluğuna hem 12 hem de 20 sayılarına kolay bölünebilen bir değer (örneğin en küçük ortak katları olan 60) verelim.

Ev ile kütüphane arasındaki tek yönlü yol

x = 60\text{ km}

olsun.

Hesaplamaları kolaylaştırmak ve zaman denklemini kurmak için.

2

Gidiş ve dönüş sürelerini bulalım.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{60}{12} = 5\text{ saat}

, dönüş süresi

t_2 = \frac{60}{20} = 3\text{ saat}

olur.

Zaman = Yol / Hız formülünü uygulamak için.

3

Toplam alınan yolu ve toplam geçen süreyi hesaplayalım.

Toplam yol =

60 + 60 = 120\text{ km}

, Toplam zaman =

5 + 3 = 8\text{ saat}

olur.

Ortalama hız formülü olan (Toplam Yol) / (Toplam Zaman) değerlerini elde etmek için.

4

Ortalama hızı hesaplayalım.

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{120}{8} = 15\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hızı bulmak için.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Soru 72Soru →

Bir lojistik merkezinden ��ıkış yapan Kırmızı, Mavi ve Yeşil kuryelerin hareketlerine ilişkin bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Kırmızı kurye: Saatte $60\text{ km}$ sabit hızla harekete başlamış ve her saatin sonunda hızını saatte $10\text{ km}$ artırarak toplam $3\text{ saat}$ boyunca yol almıştır.
* Mavi kurye: Belirli bir yolu saatte $80\text{ km}$ sabit hızla gidip, zaman kaybetmeden aynı yolu saatte $120\text{ km}$ sabit hızla dönerek seferini tamamlamıştır.
* Yeşil kurye: Çevre uzunluğu $600\text{ metre}$ olan dairesel bir pistte, hızları oranı $\frac{3}{2}$ olan iki hareketli aynı noktadan, aynı anda ve zıt yönlerde harekete başlamış ve $12\text{ saniye}$ sonra ilk kez karşılaşmıştır.

Buna göre, sol sütundaki hareket özelliklerini sağ sütundaki doğru sayısal değerler ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Kırmızı kuryenin aldığı toplam yol

210\text{ km}

değeriyle, Mavi kuryenin ortalama hızı

96\text{ km/s}

değeriyle, Yeşil kuryelerden yavaş olanının hızı ise

20\text{ m/s}

değeriyle eşleşmektedir.

Kırmızı kuryenin saatlik hız artışıyla aldığı toplam yol

210\text{ km}

ile, Mavi kuryenin gidiş-dönüş hareketindeki ortalama hızı harmonik ortalamayla

96\text{ km/s}

ile ve Yeşil kuryelerden yavaş olanının hızı dairesel pist karşılaşma bağıntısıyla

20\text{ m/s}

ile doğru bir şekilde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kırmızı kuryenin aldığı toplam yolu hesaplama.

Toplam yol =

60 + 70 + 80 = 210\text{ km}

Kırmızı kurye her saatin sonunda hızını

10\text{ km/s}

artırdığı için saat saat aldığı yollar sırasıyla

60\text{ km}

,

70\text{ km}

ve

80\text{ km}

'dir.

2

Mavi kuryenin ortalama hızını hesaplama.

Ortalama Hız =

96\text{ km/s}

Eşit gidiş-dönüş mesafelerinde ortalama hız, hızların harmonik ortalaması olan

\frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

formülüyle hesaplanır.

3

Yeşil kuryelerden yavaş olanın hızını bulma.

Yavaş kuryenin hızı =

20\text{ m/s}

Dairesel pistte zıt yönlü harekette karşılaşma süresi formülü

t = \frac{\text{Pist Çevresi}}{v_1 + v_2}

şeklindedir. Buradan hızlar toplamı

50\text{ m/s}

bulunur. Hızlar oranı

\frac{3}{2}

olduğundan yavaş olanın hızı

20\text{ m/s}

olur.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel bağıntılar; gidiş-dönüş durumunda ortalama hız hesabı ve dairesel pistte karşılaşma problemleri.

Soru 73Soru →

Bir kargo firmasına ait drone, rüzgarsız bir havada yatay doğrultuda saatte $v\text{ km}$ sabit hızla uçabilmektedir. Rüzgarın doğudan batıya doğru saatte $30\text{ km}$ sabit hızla estiği bir günde bu drone, A noktasından doğusunda bulunan B noktasına gitmiş ve hiç zaman kaybetmeden tekrar A noktasına dönmüştür. Dronun bu gidiş-dönüş yolculuğundaki ortalama hızı saatte $45\text{ km}$ olduğuna göre, rüzgarsız havadaki hızı olan $v$ kaç $\text{km/sa}$ 'tir?

15

45

60

75

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dronun rüzgarsız havadaki hızı saatte 60 km'dir.

Ortalama hız harmonik ortalama formülüyle hesaplandığında

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

bağıntısından

45 = \frac{v^2 - 900}{v}

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü

v = 60

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dronun rüzgarlı havada gidiş ve dönüş yönlerindeki hızlarını belirleme.

v_1 = v - 30\text{ km/sa}

(rüzgara karşı gidiş),

v_2 = v + 30\text{ km/sa}

(rüzgar yönünde dönüş).

Rüzgar doğudan batıya estiğinden, doğudaki B noktasına giderken hızı r��zgar hızı kadar azalır; dönerken ise rüzgar hızı kadar artar.

2

Gidiş-dönüş yolculuğu için ortalama hız formülünü kurma.

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = 45

Aynı yol gidilip dönüldüğünde ortalama hız, gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalamasına eşittir.

3

Elde edilen denklemde hız ifadelerini yerine yazıp sadeleştirme yapma.

\frac{2(v-30)(v+30)}{(v-30)+(v+30)} = 45 \implies \frac{2(v^2 - 900)}{2v} = 45 \implies \frac{v^2 - 900}{v} = 45

Paydadaki terimler sadeleşerek denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem haline getirir.

4

İkinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.

v^2 - 45v - 900 = 0 \implies (v - 60)(v + 15) = 0

Denklemin köklerini bulmak için çarpımları

-900

ve toplamları

-45

olan

-60

ve

+15

sayıları seçilir.

5

Fiziksel olarak anlamlı kökü seçerek hızı belirleme.

v = 60\text{ km/sa}

Hız değeri negatif olamayacağından (

v \neq -15

), pozitif değer olan

v = 60

dronun rüzgarsız havadaki hızı olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Rüzgar/Akıntı Etkisiyle Hareket

Soru 74Soru →

Bir bisikletli, rüzgarlı bir günde rüzgarı arkasına aldığında saatte en fazla $24\text{ km}$ sabit hızla, rüzgara karşı pedal çevirdiğinde ise saatte en fazla $12\text{ km}$ sabit hızla hareket edebilmektedir. Bu bisikletli, rüzgarın yönü ve şiddetinin değişmediği bir günde A noktasından B noktasına gidip hiç durmadan aynı yoldan başlangıç noktasına geri dönmüştür.

Buna göre, bisikletlinin gidiş-dönüş yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

15

16

18

20

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Doğru cevap saatte 16 km'dir.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{24}

ve dönüş süresi

t_2 = \frac{x}{12}

olmak üzere toplam süre

\frac{x}{8}

saattir. Toplam alınan yol

2x

km olduğundan ortalama hız

\frac{2x}{\frac{x}{8}} = 16\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi

x

olarak belirleyip gidiş ve dönüş sürelerini bu mesafe ve hızlar cinsinden yazalım.

Gidiş süresi:

t_{\text{gidiş}} = \frac{x}{24}

saat, Dönüş süresi:

t_{\text{dönüş}} = \frac{x}{12}

saat olur.

Hız, yol ve zaman arasındaki

x = v \cdot t

ilişkisini kullanarak geçen süreleri ifade etmek gerekir.

2

Toplam geçen süreyi bulmak için gidiş ve dönüş sürelerini toplayıp payda eşitleyelim.

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{24} + \frac{x}{12} = \frac{x + 2x}{24} = \frac{3x}{24} = \frac{x}{8}

saat elde edilir.

Ortalama hızı bulabilmek için toplam geçen sürenin bilinmesi gerekir.

3

Toplam alınan yolu toplam geçen süreye oranlayarak ortalama hızı hesaplayalım.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{2x}{\frac{x}{8}} = 2x \cdot \frac{8}{x} = 16\text{ km/sa}

bulunur.

Ortalama hız formülü

V_{\text{ort}} = \frac{x_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız Problemleri

Soru 75Soru →

Bir spor kulübündeki üç atletin (Arda, Burak ve Cenk) yaptıkları antrenmanlardaki koşu mesafeleri, sabit hızları ve süreleri ile ilgili bazı bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Arda: Saatte $12\text{ km}$ sabit hızla $1,5\text{ saat}$ boyunca ko��muştur.
* Burak: $20\text{ km}$ 'lik parkuru $2\text{ saat}$ 'te sabit hızla koşarak tamamlamıştır.
* Cenk: Saatte $8\text{ km}$ sabit hızla koşarak toplam $24\text{ km}$ yol katetmiştir.

Buna göre, sol sütunda verilen atletlerin isimlerine ait durumlar ile sağ sütunda bu durumları gösteren doğru sayısal değerleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Arda'nın koştuğu toplam mesafe 18 km, Burak'ın hızı 10 km/saat ve Cenk'in süresi 3 saat ile eşleşir.

Arda için yol formülü (

12 \times 1,5 = 18\text{ km}

), Burak için hız formülü (

20 / 2 = 10\text{ km/saat}

) ve Cenk için süre formülü (

24 / 8 = 3\text{ saat}

) doğru eşleştirmeleri vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Arda'nın aldığı yolu hesaplayınız.

Arda'nın aldığı toplam yol

18\text{ km}

'dir.

Yol formülü olan

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

bağıntısı kullanılarak

12\text{ km/saat} \times 1,5\text{ saat} = 18\text{ km}

elde edilir.

2

Burak'ın hızını hesaplayınız.

Burak'ın koşu hızı

10\text{ km/saat}

'tir.

Hız formülü olan

\text{Hız} = \frac{\text{Yol}}{\text{Zaman}}

bağıntısı kullanılarak

\frac{20\text{ km}}{2\text{ saat}} = 10\text{ km/saat}

elde edilir.

3

Cenk'in koşu süresini hesaplayınız.

Cenk'in koşuyu tamamlama süresi

3\text{ saat}

'tir.

Zaman formülü olan

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

bağıntısı kullanılarak

\frac{24\text{ km}}{8\text{ km/saat}} = 3\text{ saat}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel doğrusal ilişki (Yol = Hız x Zaman)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 76Soru →

Çevresi $720\text{ metre}$ olan dairesel bir koşu pistinde antrenman yapan Arda ve Berk, pist üzerindeki aynı noktadan aynı anda zıt yönlere doğru sabit hızlarla koşmaya başlamışlardır. Koşucular harekete başladıktan $3\text{ dakika}$ sonra ilk kez karşılaşmışlardır.

İlk karşılaşmanın hemen ardından; Arda koşu hızını $\%50$ artırmış, Berk ise koşu hızını $\%50$ azaltmıştır. Koşucular yönlerini değiştirmeden yeni hızlarıyla koşmaya devam etmiş ve ilk karşılaşmalarından $4\text{ dakika}$ sonra ikinci kez karşılaşmışlardır.

Buna göre, Berk'in başlangıçtaki hızı dakikada kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Berk'in başlangıçtaki hızı dakikada 180 metredir.

Koşucuların ilk hızları toplamı

240\text{ m/dak}

ve hız değişiminden sonraki hızları toplamı

180\text{ m/dak}

olarak bulunur. Bu iki denklemin ortak çözümünden Berk'in başlangıçtaki hızı

180\text{ m/dak}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşucuların başlang��çtaki hızlarının toplamını bulmak

v_{\text{Arda}} + v_{\text{Berk}} = 240\text{ m/dak}

Zıt yönlü harekette karşılaşma süresi ile h��zlar toplamının çarpımı toplam pist çevresini verir.

2

Hız değişimlerinden sonraki yeni hızlar toplamını bulmak

1{}5 \cdot v_{\text{Arda}} + 0{}5 \cdot v_{\text{Berk}} = 180\text{ m/dak}

İlk karşılaşmadan sonra yön değişmediği için ikinci karşılaşma için yine tüm pist çevresinin tamamlanması gerekir.

3

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek Arda'nın hızını belirlemek

v_{\text{Arda}} = 60\text{ m/dak}

İkinci denklem olan

3 \cdot v_{\text{Arda}} + v_{\text{Berk}} = 360

ifadesinden birinci denklem çıkarılarak Arda'nın hızı yalnız bırakılır.

4

Arda'nın hızını kullanarak Berk'in hızını hesaplamak

v_{\text{Berk}} = 180\text{ m/dak}

İlk denklemde Arda'nın hızı yerine yazıldığında Berk'in başlangıçtaki hızına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairesel pistte zıt yönlü hareket ve hız değişimi senaryoları

Soru 77Soru →

İki istasyon arasında sefer yapan bir banliyö treni, gidiş yolunda saatte $40\text{ km}$ sabit hızla hareket etmiş; dönüş yolunda ise aynı hattı kullanarak saatte $60\text{ km}$ sabit hızla ilk istasyona geri dönmüştür.

Buna göre, bu trenin tüm gidiş-dönüş yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

45

48

50

52

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Ortalama hız

48\text{ km/sa}

'dir.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye oranı ile hesaplanır. Gidiş ve dönüş yolları eşit olduğundan, ortalama hız

48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İki istasyon arasındaki mesafeye

x\text{ km}

diyelim ve gidiş ile dönüş sürelerini tanımlayalım.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{40}

saat, dönüş süresi ise

t_2 = \frac{x}{60}

saat olur.

Hız formülü olan

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

bağıntısını uygulamak için.

2

Tüm yolculuk boyunca geçen toplam süreyi hesaplayalım.

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{40} + \frac{x}{60} = \frac{3x + 2x}{120} = \frac{5x}{120} = \frac{x}{24}

saat.

Ortalama hız formülünde payda kısmında kullanılacak toplam süreyi bulmak için paydaları eşitleyerek toplama yaparız.

3

Gidiş-dönüş boyunca alınan toplam yolu ve ortalama hızı hesaplayalım.

Toplam yol

x + x = 2x\text{ km}

'dir. Ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2x}{\frac{x}{24}} = 2x \cdot \frac{24}{x} = 48\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hızın tanımı gereği toplam yolun toplam zamana oranlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız Hesaplama

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formülü olan

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

kısayolu kullanılabilir. Bu formülde değerler yerine yazıldığında:

V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 40 \cdot 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/sa}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 78Soru →

A ve B şehirlerinden hızları sırasıyla $v_A$ ve $v_B$ olan iki araç, aynı anda birbirlerine doğru sabit hızlarla harekete başlamış ve bir süre sonra aralarındaki C noktasında karşılaşmışlardır. Harekete başladıklarında B'den kalkan aracın ilk hızı, A'dan kalkan aracın ilk hızının $1,5$ katıdır.

C noktasındaki karşılaşma anından hemen sonra;
* A'dan yola çıkan araç hızını $2$ katına çıkarmış,
* B'den yola çıkan araç ise hızını üçte birine ( $1/3$ 'ine) düşürmüştür.

Bu hız değişimlerinin ard��ndan, A'dan hareket eden araç karşılaşma noktasından B şehrine $6$ saatte ulaştığına göre, B'den hareket eden araç karşılaşma noktasından A şehrine kaç saatte ulaşır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

B'den hareket eden araç karşılaşma noktasından A şehrine 16 saatte ulaşır.

Araçların başlangıç hızları

2v

ve

3v

olarak oranlandığında, karşılaşma süresi 8 saat olarak bulunur. Bu süreyle

AC

yolu

16v

olur. B'den gelen araç hızını

v

değerine düşürdüğü için

16v

mesafeyi 16 saatte tamamlar.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç hızlarını değişkenler cinsinden belirleme.

A'dan kalkan aracın hızı

v_A = 2v

ise B'den kalkan aracın hızı

v_B = 1,5 \cdot 2v = 3v

olur.

B'den kalkan aracın hızı A'dan kalkanın 1,5 katı olduğundan işlem kolaylığı için

2v

ve

3v

değerleri seçilmiştir.

2

Karşılaşma noktası C'ye kadar alınan yolları süreye bağlı olarak ifade etme.

Karşılaşma süresi

t

saat olsun. Bu durumda

AC

mesafesi

2vt

,

BC

mesafesi ise

3vt

olur.

Yol = Hız

\times

Zaman formülü kullanılarak karşılaşma noktasına kadar olan mesafeler belirlenir.

3

Karşılaşma sonrası A'dan gelen aracın hareketini analiz ederek karşılaşma süresini bulma.

A'dan gelen aracın yeni hızı

2 \cdot 2v = 4v

olur.

BC

yolunu 6 saatte aldığı için

BC = 4v \cdot 6 = 24v

bulunur. Buradan

3vt = 24v \implies t = 8

saat elde edilir.

A'dan kalkan aracın karşılaşmadan sonra aldığı yol ve yeni hızı yardımıyla bilinmeyen

t

süresi bulunur.

4

B'den gelen aracın karşılaşma sonrası A'ya ulaşma süresini hesaplama.

AC

mesafesi

2v \cdot 8 = 16v

olarak bulunur. B'den gelen aracın yeni hızı

3v / 3 = v

olur. A'ya ulaşma süresi ise

16v / v = 16

saat olarak bulunur.

B'den kalkan aracın yeni hızı ve gitmesi gereken

AC

yolu kullanılarak kalan süresi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol ilişkisi (

x = v \cdot t

) ile hız değişimlerinin süreye olan etkisinin oran-orantı yoluyla çözülmesi.

Soru 79Soru →

Bir havalimanında bulunan belirli bir uzunluktaki yürüyen bant, çalışmadığı durumlarda üzerinden sabit hızla yürüyen bir kişi tarafından $t$ saniyede geçilmektedir.

Bandın çalışır durumda olduğu ve hareket yönünün bu kişinin yürüme yönüyle aynı olduğu bir anda; kişinin bandın üzerindeki yürüme hızı, bandın hareket hızının $3$ katıdır. Bu kişi bant üzerinde yürümeye başladıktan tam olarak yolun yarısına geldiği anda, bandın hareket yönü aniden tersine dönmüş ve bandın hızı başlangıçtaki hızının $2$ katına çıkmışt��r.

Bu kişi yürüme yönünü ve bant üzerindeki yürüme hızını değiştirmeden yürümeye devam ettiğine göre, bandın sonuna ulaştığında toplam geçecek süre kaç $t$ olur?

\frac{9}{8}

\frac{6}{5}

\frac{21}{20}

\frac{15}{8}

\frac{27}{40}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{15}{8}$

Cevap

Toplam geçen süre

\frac{15}{8}t

olur.

Kişinin bant çalışmıyorken hızı

v

ve bandın uzunluğu

L

olduğunda

t = \frac{L}{v}

olur. İlk yarıda yere göre hız

\frac{4}{3}v

olup geçen süre

\frac{3}{8}t

, ikinci yarıda ise bandın yönü tersine dönüp hızı

2

katına çıktığından yere göre hız

\frac{1}{3}v

ve geçen süre

\frac{3}{2}t

olur. Bu iki sürenin toplamı

\frac{15}{8}t

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Yürüyen bandın uzunluğunu

L

, kişinin bandın çalışmadığı durumdaki (yani banda göre) hızını

v

olarak tanımlayalım ve duran banttaki geçiş süresi ile ilişkilendirelim.

Duran bantta

L = v \cdot t

olduğundan

t = \frac{L}{v}

olur.

Soru bizden sonucu

t

cinsinden istediği için yürüme hızını ve bandın uzunluğunu

t

parametresine bağlamamız gerekir.

2

İlk yarıda (

L/2

mesafesinde) bandın hızı ve kişinin yere göre hızını belirleyip geçen süreyi hesaplayalım.

Kişinin hızı

v

ise bandın hızı

v_{band1} = \frac{v}{3}

olur. Aynı yönde hareket ettikleri için yere göre hız

v_{yer1} = v + \frac{v}{3} = \frac{4}{3}v

olur. İlk yarı için geçen süre:

t_1 = \frac{L/2}{\frac{4}{3}v} = \frac{3L}{8v} = \frac{3}{8}t

bulunur.

Hareketi iki farklı hız bölgesi olduğu için parçalayarak incelememiz ve ilk bölgenin süresini bulmamız gerekir.

3

İkinci yarıda (

L/2

mesafesinde) bandın yeni hızı, yeni yönü ve kişinin yeni yere göre hızını belirleyip geçen süreyi hesaplayalım.

Bandın yeni hızı

v_{band2} = 2 \cdot \frac{v}{3} = \frac{2}{3}v

olur. Bant yönü tersine döndüğünden kişinin yere göre yeni hızı

v_{yer2} = v - \frac{2}{3}v = \frac{1}{3}v

olur. İkinci yarı için geçen süre:

t_2 = \frac{L/2}{\frac{1}{3}v} = \frac{3L}{2v} = \frac{3}{2}t

bulunur.

Bandın yönü ve hızı değiştiği için ikinci yarıdaki yeni yere göre hızı bulup bu kısım için geçen süreyi hesaplamalıyız.

4

İki aşamada geçen süreleri toplayarak toplam süreyi

t

cinsinden bulalım.

t_{toplam} = t_1 + t_2 = \frac{3}{8}t + \frac{3}{2}t = \frac{15}{8}t

elde edilir.

Yolculuğun tamamı boyunca geçen toplam süreyi bulmak için her iki yarıda harcanan süreleri toplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Hız ve Hareket Problemlerinde Bağıl Hız ve Yere Göre Hız

Soru 80Soru →

Tam dolu bataryasıyla saatte $20\text{ km}$ sabit hızla hareket eden bir elektrikli scooter, bataryası tamamen tükenene kadar $2$ saat yol alabilmektedir.

Buna göre, bu scooter tam dolu bataryasıyla saatte $8\text{ km}$ sabit hızla hareket etseydi bataryası tamamen tükenene kadar kaç saat yol alabilirdi?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Scooter saatte

8\text{ km}

hızla hareket etseydi bataryası

5

saatte tükenirdi.

Scooterın bataryasının kapasitesi sabit olduğundan gidebileceği toplam mesafe değişmez ve

20 \times 2 = 40\text{ km}

olarak bulunur. Saatte

8\text{ km}

hızla bu mesafeyi tamamlamak için geçen süre ise

40 / 8 = 5

saat olur.

Adım Adım Çözüm

1

Scooterın bataryasıyla alabileceği toplam mesafeyi hesaplama

40\text{ km}

Yol formülü olan

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

(

x = v \cdot t

) bağıntısı kullanılarak toplam menzil hesaplanır.

2

Yeni hız değeriyle bataryanın dayanma süresini hesaplama

5\text{ saat}

Zaman formülü olan

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

(

t = \frac{x}{v}

) bağıntısı kullanılarak yeni süre bulunur.

Anahtar Kavram

Hız ve zaman arasındaki ters orantı ilişkisi (

x = v \cdot t

)

Tahmini Süre:1m 0s

Hız ve Hareket Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram