Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 121Soru →
A={−3,−2,0,1,4}A = \{-3, -2, 0, 1, 4\}

kümesinden seçilen birbirinden farklı aa ve bb elemanları için a⋅ba \cdot b çarpımı pozitif veya işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan {a,b}\{a, b\} biçiminde kaç farklı iki elemanlı küme yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki elemanlı {a, b} kümelerinin çarpımının pozitif veya nötr olmasını sağlayan 6 farklı küme yazılabilir.
Çarpımın pozitif olması için iki sayının da negatif veya iki sayının da pozitif olması gerekir. Çarpımın nötr (işaretsiz) olması için ise sayılardan en az birinin sıfır olması gerekir. A kümesindeki elemanlar incelendiğinde bu koşulları sağlayan toplam 6 adet iki elemanlı küme yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın pozitif veya nötr olması için gereken durumları analiz edin.
Pozitif çarpım için a ve b aynı işaretli olmalıdır. Nötr (sıfır) çarpım için sayılardan biri 0 olmalıdır.
Pozitif sayıların çarpımı pozitif, negatif sayıların çarpımı pozitif ve 0 ile herhangi bir sayının çarpımı 0 (nötr) sonucunu verir.
2
Aynı işaretli eleman çiftlerini (çarpımı pozitif olanları) belirleyin.
Negatif elemanlardan {-3, -2} (çarpım 6) ve pozitif elemanlardan {1, 4} (çarpım 4) elde edilir. Toplam 2 küme.
Kümedeki negatif sayılar {-3, -2} ve pozitif sayılar {1, 4} olup, bunların kendi aralarındaki çarpımları pozitiftir.
3
Çarpımı nötr (sıfır) yapan eleman çiftlerini belirleyin.
{0, -3}, {0, -2}, {0, 1}, {0, 4} olmak üzere 4 farklı küme elde edilir.
Sıfır sayısı nötr bir sayıdır ve kümedeki diğer 4 elemanın her biriyle ayrı ayrı çarpıldığında sonuç sıfır (nötr) olur.
4
Tüm durumların toplamını bulun.
2 + 4 = 6 farklı küme yazılabilir.
Bulunan tüm durumlar birbirinden bağımsız olduğundan toplama işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpım kuralları ile sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 122Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+b3a + b

ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−b+3a - b + 3

Cevap

İki sayının farkının 3 fazlasını gösteren ifade her zaman tek sayıdır.
İki tam sayının toplamı çift ise bu iki sayı aynı pariteye sahiptir. Aynı paritedeki iki sayının farkı daima çifttir. Çift bir sayıya tek bir sayı olan 3 eklendiğinde elde edilen sonuç daima tek sayı olur. Bu nedenle iki sayının farkının 3 fazlasını gösteren ifade her zaman tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin paritesinden hareketle değişkenlerin durumunu belirlemek.
3a + b ifadesi çift sayı olarak verilmiştir. Bu ifade 2a + (a + b) şeklinde yazıldığında, 2a çift sayı olduğundan a + b ifadesi de kesinlikle çift sayı olmalıdır.
Değişkenlerin parite ilişkisini saptamak için.
2
a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumlarını sınıflandırmak.
a + b çift sayı ise, a ve b tam sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çift olmalıdır. Yani a ve b aynı pariteye sahiptir.
Seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini inceleyebilmek için.
3
Seçeneklerde verilen ifadelerin paritelerini kontrol etmek.
a ve b aynı paritede olduğundan a - b farkı daima çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile tek bir sayı olan 3'ün toplamı daima tek sayı olur.
Her zaman tek sayı olan ifadeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların aritmetik işlemleri ve üslerin tam sayı olma koşulu altındaki durumları.
Soru 123Soru →
SS kümesi
S={−4,−5,0,153,1.8,π,227,8⋅2}S = \left\{ -4, -\sqrt{5}, 0, \frac{15}{3}, \sqrt{1.8}, \pi, \frac{22}{7}, \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} \right\}
biçiminde tanımlanıyor. Bu kümenin;
- Rasyonel sayılardan oluşan alt kümesi AA,
- Tam sayılardan oluşan alt kümesi BB,
- Doğal sayılardan oluşan alt kümesi CC,
- İrrasyonel sayılardan oluşan alt kümesi DD
olarak belirleniyor.

Buna göre, s(A)⋅s(B)−s(C)⋅s(D)s(A) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İşlemin sonucu 11'dir.
Kümedeki elemanlar doğru sınıflandırıldığında rasyonel sayılar 5 adet, tam sayılar 4 adet, doğal sayılar 3 adet ve irrasyonel say��lar 3 adettir. Yapılan çarpma ve çıkarma işlemleri sonucunda doğru sonuç olan 11 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki elemanların sayı kümelerine aidiyetini incelemek
−4∈Z-4 \in \mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; −5∈Q′-\sqrt{5} \in \mathbb{Q}'; 0∈N0 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; 153=5∈N\frac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}; 1.8=35∈Q′\sqrt{1.8} = \frac{3}{\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}'; π∈Q′\pi \in \mathbb{Q}'; 227∈Q\frac{22}{7} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}); 8⋅2=4∈N\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = 4 \in \mathbb{N}, Z\mathbb{Z} ve Q\mathbb{Q}
Her bir elemanın hangi sayı kümesine ait olduğunu doğru belirleyerek alt kümeleri oluşturmak.
2
Alt kümelerin eleman sayılarını bulmak
s(A)=5s(A) = 5, s(B)=4s(B) = 4, s(C)=3s(C) = 3, s(D)=3s(D) = 3
Soruda verilen matematiksel ifadeyi hesaplayabilmek için alt kümelerin eleman sayılarını elde etmek.
3
İfadeyi hesaplamak
s(A)⋅s(B)−s(C)⋅s(D)=5⋅4−3⋅3=20−9=11s(A) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D) = 5 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 20 - 9 = 11
Elde edilen eleman sayılarını denklemde yerine yazarak sonucu bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (do��al sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) elemanlarını belirleme ve ayırt etme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 124Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü b·(a+c) ifadesi tek sayı olduğundan hem b hem de a+c tektir. Buradan a+c her zaman tektir (birinci öncül doğru). a ve c'den biri tek diğeri çift olmalıdır. b tek olduğundan, a·b + c ifadesi her iki durumda da (a tek iken a·b+c = tek·tek + çift = tek; a çift iken a·b+c = çift·tek + tek = tek) tek sayı olur (ikinci öncül doğru). Ancak b sayısı negatif bir tek sayı (örneğin -1) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve bu durumda teklik-çiftlikten bahsedilemez (üçüncü öncül her zaman doğru değildir).

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin çarpanlarına ayrılması ve teklik-çiftlik durumunun belirlenmesi
a⋅b+b⋅c=b(a+c)a \cdot b + b \cdot c = b(a+c) ifadesi tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek sayı ve a+ca+c tek sayı olarak bulunur.
Çarpımın sonucunun tek sayı olabilmesi için gerekli koşulu uygulamak.
2
Birinci öncülün (a+ca+c) incelenmesi
Birinci adımda a+ca+c ifadesinin tek sayı olduğu doğrudan bulunmuştur. Dolayısıyla I. öncül her zaman tek sayıdır.
Bulunan temel sonuç ile birinci öncülü karşılaştırmak.
3
İkinci öncülün (a⋅b+ca \cdot b + c) incelenmesi
a+ca+c tek sayı olduğundan aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
- Durum 1: aa tek, cc çift ve bb tek ise; a⋅b+c=tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=teka \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
- Durum 2: aa çift, cc tek ve bb tek ise; a⋅b+c=c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=teka \cdot b + c = \text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Her iki durumda da a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi tek sayıdır.
aa ve cc değişkenlerinin olası teklik-çiftlik durumlarını yerine koyarak ifadenin sonucunu analiz etmek.
4
Üçüncü öncülün (ab+ca^b + c) incelenmesi ve negatif üs durumunun sorgulanması
a,ba, b ve cc tam sayılar olarak tanımlandığı için bb negatif bir tek sayı olabilir (örneğin b=−1b = -1). Bu durumda ab=a−1=1aa^b = a^{-1} = \frac{1}{a} ifadesi a≠1a \neq 1 ve a≠−1a \neq -1 için bir tam sayı belirtmez. Dolayısıyla ab+ca^b + c ifadesi her zaman tek sayı veya çift sayı olarak sınıflandırılamaz.
Tam sayılar kümesinde negatif üslerin rasyonel sayılara yol açabileceğini göz önünde bulundurmak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler ve Kuvvet Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 125Soru →

aa, bb ve cc tam sayıları için

* a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesinin bir çift sayı,
* b2+b⋅cb^2 + b \cdot c ifadesinin bir tek sayı

olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c

Cevap

Doğru cevap a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesidir.
Doğru seçenek olan a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesi ortak çarpan parantezine alındığında c⋅(a2+b)c \cdot (a^2 + b) elde edilir. cc çift bir tam sayı olduğundan, bu ifadenin bir tam sayı ile çarpımı her zaman çift bir tam sayı olacaktır. Bu durum aa ve bb tam sayılarının değerlerinden bağımsız olarak her zaman geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesi ortak çarpan parantezine alınarak analiz edilir.
a(a+b)a(a+b) çarpımı çift sayı olmalıdır. Bu durumda aa çift sayı ise bb herhangi bir tam sayı olabilir; aa tek sayı ise a+ba+b toplamının çift olması için bb de tek sayı olmalıdır.
Birinci ifadenin çarpanlarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek amacıyla.
2
b2+b⋅cb^2 + b \cdot c ifadesi ortak çarpan parantezine alınarak analiz edilir.
b(b+c)b(b+c) çarpımı tek sayı olmalıdır. Bir çarpımın tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek sayı ve b+cb+c tek sayı olarak bulunur. bb tek sayı olduğuna göre, cc çift sayı olmalıdır.
İkinci ifadenin çarpanlarının teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek amacıyla.
3
Elde edilen sonuçlar birleştirilerek değişkenlerin durumları belirlenir.
bb kesinlikle tek sayı ve cc kesinlikle çift sayıdır. Birinci adımdaki analizde aa çift olduğunda da bb tek sayı olabildiği için, aa değişkeni tek veya çift olabilir. Dolayısıyla iki olası durum vardır: ya aa, bb tek ve cc çift; ya da aa, cc çift ve bb tek sayıdır.
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını tam olarak tespit etmek amacıyla.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin tam sayı olma ve her zaman çift sayı olma durumları incelenir. Değişkenlerin negatif veya sıfır tam sayı değerleri alabileceği göz önünde bulundurulur.
a2⋅c+b⋅ca^2 \cdot c + b \cdot c ifadesi c⋅(a2+b)c \cdot (a^2+b) olarak yazılabilir. cc çift bir tam sayı olduğu için, bu ifadenin sonucu aa ve bb tam sayılarının değerlerinden bağımsız olarak daima çift bir tam sayıdır. Üslü ifadeler içeren diğer seçenekler ise negatif veya sıfır üs durumlarında tam sayı belirtmeyebilir ya da tek sayı çıkabilir.
Her zaman doğru olan seçeneği doğrulamak ve diğer seçeneklerdeki tuzakları açıklamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler, ortak çarpan parantezine alma ve üslü ifadelerde taban ile üs ilişkileri (üslerin negatif veya sıfır olma durumları).

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir; ancak tam sayıların negatif ve sıfır olabilme durumları göz önüne alınmalıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 126Soru →

Sayı doğrusu üzerinde yer alan x,yx, y ve zz gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

- Bu sayılardan biri işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
- Bu sayıların en küçüğü aa, en büyüğü ise cc olmak üzere, a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 eşitsizliği geçerlidir.
- Sayılardan biri −4-4 ve bu üç sayının toplamı −1-1 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü olan cc değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En büyük sayı olan cc değeri 3'tür.
İşaretsiz sayı 0'dır. a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 eşitsizliğinde c2>0c^2 > 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olur. Sayıların sıralaması a<0<ca < 0 < c şeklindedir. Negatif olan sayı a=−4a = -4 olduğundan, toplam −4+0+c=−1  ⟹  c=3-4 + 0 + c = -1 \implies c = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) sayıyı belirleme
Üç sayıdan biri 0'dır.
Gerçel sayılar kümesinde işareti olmayan (nötr) tek sayı 0'dır.
2
En küçük (aa) ve en büyük (cc) sayıların işaretlerini analiz etme
a<0a < 0 ve c>0c > 0 olup, sayılar a<0<ca < 0 < c şeklinde sıralanır.
c2>0c^2 > 0 olmalıdır (çünkü c≠0c \neq 0). Bu durumda a3⋅c2<0a^3 \cdot c^2 < 0 olabilmesi için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır. En küçük sayı aa negatif, sayılardan biri 0 olduğuna göre en büyük sayı cc pozitif olmak zorundadır.
3
Verilen değerleri denklemde yerine yazarak cc değerini bulma
c=3c = 3 olarak bulunur.
Negatif olan sayı a=−4a = -4'tür. Diğer sayı 0 olduğuna göre, sayıların toplamı a+0+c=−1  ⟹  −4+0+c=−1  ⟹  c=3a + 0 + c = -1 \implies -4 + 0 + c = -1 \implies c = 3 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpım ve kuvvet özellikleri ile sıfırın nötr olma durumu.
Soru 127Soru →

a=−3a = -3 olmak üzere,

x=a2x = a^2
y=−a2y = -a^2
z=a⋅0z = a \cdot 0

sayıları tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pozitif, Negatif, Nötr

Cevap

İlk sayı pozitif, ikinci sayı negatif ve üçüncü sayı nötrdür.
Sırasıyla pozitif, negatif ve nötr işaretlerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü değişkenin değeri yerine yazıldığında x=(−3)2=9x = (-3)^2 = 9 (pozitif), y=−(−3)2=−9y = -(-3)^2 = -9 (negatif) ve z=−3⋅0=0z = -3 \cdot 0 = 0 (nötr) değerleri elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=a2x = a^2 ifadesinde a=−3a = -3 değerini yerine yazmak.
x=(−3)2=9x = (-3)^2 = 9 elde edilir. Bu değer sıfırdan büyük olduğu için ilk sayının işareti pozitiftir.
Bir negatif sayının çift kuvveti alınırken sayı parantez içinde düşünülür.
2
y=−a2y = -a^2 ifadesinde a=−3a = -3 değerini yerine yazmak.
y=−(−3)2=−9y = -(-3)^2 = -9 elde edilir. Bu değer sıfırdan küçük olduğu için ikinci sayının işareti negatiftir.
İfadenin önündeki eksi işareti, sayının karesi alındıktan sonra işleme dahil edilir.
3
z=a⋅0z = a \cdot 0 ifadesini hesaplamak.
z=−3⋅0=0z = -3 \cdot 0 = 0 elde edilir.
Herhangi bir gerçel sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Sıfır (0) sayısı ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların özellikleri ile sıfırın işaretsiz (nötr) olma durumu
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 128Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri
A={x∈R:x2∈Q}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \in \mathbb{Q}\}
B={x∈R:x3∈Q}B = \{x \in \mathbb{R} : x^3 \in \mathbb{Q}\}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre;
I. A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q}
II. Her x,y∈Ax, y \in A için x+y∈Ax + y \in A’dır.
III. A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.
I. ifade doğrudur, çünkü karesi ve küpü rasyonel olan bir sayı, bu iki değerin birbirine bölünmesiyle rasyonel olarak ifade edilebilir. III. ifade doğrudur, çünkü her pp asal sayısı için p\sqrt{p} sayısının karesi rasyonel (pp) iken küpü irrasyoneldir (ppp\sqrt{p}). Bu durum sonsuz elemanlı bir küme tanımlar. Bu nedenle I ve III ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadenin doğruluğunu kontrol etmek için kesişim kümesini inceleyelim.
A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} eşitliği elde edilir.
Herhangi bir x∈Qx \in \mathbb{Q} için x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olacağından Q⊆A∩B\mathbb{Q} \subseteq A \cap B olur. Diğer taraftan, eğer x∈A∩Bx \in A \cap B ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olur. x=0x = 0 ise zaten rasyoneldir. x≠0x \neq 0 ise x=x3x2x = \frac{x^3}{x^2} şeklinde yazılabilir. İki rasyonel sayının bölümü de rasyonel olduğundan x∈Qx \in \mathbb{Q} olur. Dolayısıyla A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} doğrudur.
2
II. ifadenin doğruluğunu bir karşıt örnek ile test edelim.
İfade her zaman doğru değildir.
x=2x = \sqrt{2} ve y=3y = \sqrt{3} olsun. x2=2∈Qx^2 = 2 \in \mathbb{Q} ve y2=3∈Qy^2 = 3 \in \mathbb{Q} olduğundan x,y∈Ax, y \in A olur. Ancak (x+y)2=(2+3)2=5+26(x+y)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} irrasyonel olduğundan x+y∉Ax+y \notin A olur. Bu nedenle II. ifade yanlıştır.
3
III. ifadenin doğruluğunu A∖BA \setminus B kümesinin elemanlarını analiz ederek belirleyelim.
A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.
A∖BA \setminus B kümesi, karesi rasyonel olup küpü rasyonel olmayan gerçel sayıları içerir. Her pp asal sayısı için x=px = \sqrt{p} sayısı seçildiğinde x2=p∈Qx^2 = p \in \mathbb{Q} olur ancak x3=ppx^3 = p\sqrt{p} sayısı p\sqrt{p} irrasyonel olduğundan rasyonel değildir. Sonsuz sayıda asal sayı olduğundan bu özelliğe uyan sonsuz sayıda xx gerçel sayısı vardır. Dolayısıyla III. ifade doğrudur.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların cebirsel işlemler altındaki kapalılık özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 129Soru →
Bir nn tam sayısı için
3n−53n - 5
ifadesinin bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: n2+2n^2 + 2

Cevap

n2+2n^2 + 2 ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
Verilen 3n−53n - 5 ifadesi çift sayı olduğuna göre 3n3n tek, dolayısıyla nn tek tam sayıdır. Buradan n2n^2 tek tam sayı olur ve buna çift sayı olan 2 eklendiğinde elde edilen n2+2n^2 + 2 ifadesi her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin teklik-çiftlik durumunu analiz etme
3n−53n - 5 ifadesinin çift sayı olduğu verilmiştir. 55 sayısı bir tek sayıdır. Çift bir sonuç elde etmek için 3n3n ifadesinin tek sayı olması gerekir (Tek−Tek=C\ciftTek - Tek = Çift).
3n−53n - 5 ifadesinin çift sayı olma koşulundan yararlanarak 3n3n ifadesinin teklik durumunu belirlemek.
2
nn değişkeninin teklik-çiftlik durumunu bulma
3n3n tek sayı ise ve 33 çarpanı tek sayı olduğundan, nn sayısı da tek bir tam sayı olmak zorundadır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
3
Seçenekleri analiz etme
nn tek tam sayı olduğundan n2n^2 de tek tam sayıdır. Bu durumda n2+2n^2 + 2 ifadesi (Tek + Çift) her zaman tek tam sayı olur. Diğer seçenekler ya çift sayıdır ya da tam sayı belirtmeyebilir (örneğin nnn^n ifadesi n=−3n = -3 için tam sayı değildir).
Bulunan nn değerini seçeneklerde yerine koyarak hangisinin her zaman tek sayı olduğunu belirlemek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların temel özellikleri ile işlem kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 130Soru →
aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c3=0a \cdot c^3 = 0
b−a<0b - a < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre;
I. −a2⋅b-a^2 \cdot b
II. (−b)3⋅a2(-b)^3 \cdot a^2
III. −b2⋅c-b^2 \cdot c
IV. a4⋅b3−ca^4 \cdot b^3 - c
V. −(−a)3⋅b-(-a)^3 \cdot b

ifadelerinden kaç tanesi pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen ifadelerden 3 tanesi pozitif bir gerçel sayı belirtir.
I, II ve V numaralı ifadeler pozitif değerler alırken, III numaralı ifade sıfıra eşit olup nötrdür, IV numaralı ifade ise negatif değer alır. Bu nedenle pozitif gerçel sayı belirten ifade sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme
a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 ifadesinden a<0a < 0 bulunur. a⋅c3=0a \cdot c^3 = 0 eşitliğinde a≠0a \neq 0 olduğundan c=0c = 0 olmalıdır. b−a<0  ⟹  b<a<0b - a < 0 \implies b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 olmalıdır.
2
İfadelerin tek tek incelenmesi
I. ifade pozitif, II. ifade pozitif, III. ifade nötr (sıfır), IV. ifade negatif, V. ifade pozitiftir.
Negatif sayıların çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olduğu ve parantez dışındaki eksi işaretlerinin işarete etkisi kuralları uygulanarak her bir ifadenin işareti belirlenir.
3
Pozitif ifadelerin sayısını bulma
3
I, II ve V. ifadeler pozitif gerçel sayı belirttiği için toplamda 3 tane pozitif ifade vardır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ile Sıfırın Nötrlüğü
Soru 131Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
- a⋅b−ca \cdot b - c ve a⋅c−ba \cdot c - b sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
- a+b+ca + b + c toplamı tek sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. ab+ca^b + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III ifadesi her zaman çift sayıdır.
Üçüncü ifadede b çift tam sayı olduğunda çarpım çift sayıdır. b tek tam sayı olduğunda ise c çift olmak zorundadır. a çift sayı olduğundan a + c toplamı da çift olur ve tek sayı ile çift sayının çarpımı yine çift sayı sonucunu verir. Bu durum her zaman geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin toplamının paritesini inceleyelim.
(a⋅b−c)+(a⋅c−b)=a(b+c)−(b+c)=(a−1)(b+c)(a \cdot b - c) + (a \cdot c - b) = a(b + c) - (b + c) = (a - 1)(b + c) elde edilir. Biri tek diğeri çift olan iki sayının toplamı her zaman tektir. Buradan (a−1)(b+c)(a - 1)(b + c) çarpımının tek sayı olduğu anlaşılır.
Toplama işleminin sonucundan yararlanarak ortak paranteze alma ve teklik-çiftlik kurallarını uygulamak için bu adım yapılır.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olmasından çarpanların durumlarını belirleyelim.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan a−1a - 1 tektir, yani aa çift sayıdır. Ayrıca b+cb + c tektir, yani bb ve cc sayılarından biri tek iken diğeri çift sayıdır.
Çarpma işleminde sonucun tek sayı olmasının tek yolu çarpanların her ikisinin de tek sayı olmasıdır.
3
Verilen ikinci koşul ile durumları uyumluluğunu kontrol edelim.
a+b+ca + b + c toplamında aa çift, bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan toplam c¸ift+tek+c¸ift=tek\text{çift} + \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur. Bu durum, verilen ikinci koşul olan toplamın tek sayı olması şartını doğrular.
Bulunan teklik-çiftlik durumlarının soruda verilen diğer bilgilerle çelişip çelişmediğini kontrol etmek amacıyla uygulanır.
4
Öncülleri tek tek değerlendirelim.
I. ab+ca^b + c ifadesinde bb değişkeni negatif bir tam sayı (örneğin b=−2b = -2) seçilirse ab=a−2a^b = a^{-2} ifadesi rasyonel sayı olur ve tam sayılar kümesinde teklik-çiftlik aranmaz.
II. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde bb çift ve cc tek seçildiğinde sonuç c¸ift⋅c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} çıkar.
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinde bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise cc çift olur, aa zaten çift olduğundan a+ca+c toplamı çift olur ve tek ile çiftin çarpımından sonuç yine çift bulunur. Dolayısıyla sadece üçüncü ifade her zaman çift sayıdır.
Her bir öncülün tüm tam sayı olasılıkları altındaki davranışı incelenerek kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile rasyonel sayı üreten negatif üs durumunun analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 132Soru →

Sayı kümeleriyle ilgili;

I. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
II. En küçük doğal sayı 11'dir.
III. Her rasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek (reel) sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Birinci ifadede belirtildiği gibi her tam sayı paydasına 1 yazılarak rasyonel sayı biçiminde gösterilebilir, yani her tam sayı bir rasyonel sayıdır. İkinci ifadede belirtilen en küçük doğal sayı 1 değil, 0'dır; bu yüzden ikinci ifade yanlıştır. Üçüncü ifadede belirtildiği gibi rasyonel sayılar kümesi gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir, dolayısıyla her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır. Bu nedenlerle doğru olan ifadeler birinci ve üçüncü ifadelerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi analiz etme.
Her aa tam sayısı için a=a1a = \frac{a}{1} yazılabildiğinden, her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle birinci ifade doğrudur.
Tam sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi (Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}) olduğunu doğrulamak.
2
İkinci ifadeyi analiz etme.
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} şeklindedir ve en küçük elemanı 00'dır. Bu nedenle ikinci ifade yanlıştır.
En küçük doğal sayının 00 olduğunu belirlemek.
3
Üçüncü ifadeyi analiz etme.
Rasyonel sayılar kümesi gerçek (reel) sayılar kümesinin alt kümesidir (Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}). Dolayısıyla her rasyonel sayı aynı zamanda bir gerçek sayıdır ve üçüncü ifade doğrudur.
Rasyonel sayılar ile gerçek sayılar arasındaki alt küme ilişkisini doğrulamak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Tanımları ve Alt Küme İlişkileri
Soru 133Soru →

Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci; doğal sayılar (N\mathbb{N}), tam sayılar (Z\mathbb{Z}), rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) ve irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümelerinin elemanlarını belirlemek için bir çalışma yapmaktadır.

Bu öğrenci, aşağıdaki sayıları uygun sayı kümeleriyle doğru şekilde eşleştirmek istiyor:

I. −0,4-\sqrt{0,4}

II. 2,25\sqrt{2,25}

III. π3\frac{\pi}{3}

IV. 0,6‾0,\overline{6}

V. (−3)2\sqrt{(-3)^2}

Buna göre, verilen sayılardan hangileri irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümesinin birer elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Verilen sayılardan −0,4-\sqrt{0,4} ve π3\frac{\pi}{3} irrasyonel sayılar olup doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.
Doğru seçenek olan 'I ve III' ifadesindeki −0,4-\sqrt{0,4} sayısı karekök dışına rasyonel olarak çıkamaz ve π3\frac{\pi}{3} sayısı π\pi irrasyonel olduğu için irrasyoneldir. Diğer tüm sayılar rasyonel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci sayıyı (−0,4-\sqrt{0,4}) analiz etme
−0,4=−410=−210-\sqrt{0,4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}} elde edilir. Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan 10\sqrt{10} ifadesi nedeniyle bu sayı irrasyoneldir (−0,4∈Q′-\sqrt{0,4} \in \mathbb{Q}').
Ondalık kesrin karekökünün rasyonel olup olmadığını belirlemek.
2
İkinci sayıyı (2,25\sqrt{2,25}) analiz etme
2,25=225100=1510=1,5\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1,5 elde edilir. İki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için bu sayı rasyoneldir (2,25∈Q\sqrt{2,25} \in \mathbb{Q}).
Karekök içerisindeki ondalık sayının rasyonel bir sayıya eşit olup olmadığını kontrol etmek.
3
Üçüncü sayıyı (π3\frac{\pi}{3}) analiz etme
π\pi sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan, bu sayının sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü olan π3\frac{\pi}{3} sayısı da irrasyoneldir (π3∈Q′\frac{\pi}{3} \in \mathbb{Q}').
İrrasyonel bir sayının rasyonel bir sayıya oranının irrasyonelliğini incelemek.
4
Dördüncü sayıyı (0,6‾0,\overline{6}) analiz etme
0,6‾=69=230,\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} elde edilir. Her devirli ondalık sayı rasyonel sayı olarak yazılabildiğinden bu sayı rasyoneldir (0,6‾∈Q0,\overline{6} \in \mathbb{Q}).
Devirli ondalık sayıların rasyonel sayı tanımına uygunluğunu kontrol etmek.
5
Beşinci sayıyı ((−3)2\sqrt{(-3)^2}) analiz etme
(−3)2=∣−3∣=3\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 elde edilir. 33 sayısı bir doğal sayı ve tam sayı olduğundan rasyoneldir ((−3)2∈Q\sqrt{(-3)^2} \in \mathbb{Q}).
Çift dereceden kök içindeki üslü ifadenin mutlak değer dışına çıkarılarak rasyonelliğinin değerlendirilmesi.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farklar ve sayı kümelerinin tanımları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 134Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
(a+b)⋅(b−c)(a + b) \cdot (b - c)
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+ca + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. a⋅c+ba \cdot c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen ifadenin tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve cc sayılarının aynı teklik-çiftlik karakterine, bb sayısının ise bunlardan farklı bir karaktere sahip olduğu bulunur. Bu durumda, aynı karakterdeki iki sayının toplamı olan birinci öncül (a+ca + c) ile çarpımda en az bir çift sayı bulunmasını garanti eden ikinci öncül (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla, I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesinin teklik durumunu analiz etme.
a+ba + b ve b−cb - c ifadelerinin her ikisinin de tek sayı olduğu sonucuna varılır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki sayının da tek sayı olması şarttır.
2
aa, bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirleme.
bb çift ise aa ve cc tek; bb tek ise aa ve cc çifttir. Dolayısıyla, aa ve cc aynı teklik karakterine sahiptir, bb ise bunlardan farklıdır.
Toplam ve fark işlemlerinde sonucun tek sayı olması için işleme giren sayıların zıt teklik karakterinde olması gerekir.
3
Öncülleri tek tek değerlendirme.
I. a+ca + c ifadesi her zaman çifttir (aynı karakterli sayıların toplamı). II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı her zaman çifttir (çarpanlardan en az biri her zaman çifttir). III. a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi her zaman tektir.
Değişkenlerin tüm olası teklik-çiftlik durumlarını öncüllerde yerine koyarak kesinlik testi yapılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik kuralları.
Soru 135Soru →

Aşağıdaki tabloda aa, bb ve cc gerçel sayılarının işaret durumları hakkında bilgiler verilmiştir:

Sayıİşaret Durumu
aaNegatif gerçel sayı
bbİşaretsiz (nötr) gerçel sayı
ccPozitif gerçel sayı

Bu sayılar kullanılarak aşağıdaki xx, yy ve zz ifadeleri tanımlanıyor:

x=(−a)2⋅cx = (-a)^2 \cdot c
y=−a4⋅by = -a^4 \cdot b
z=a3⋅(b−c)z = a^3 \cdot (b - c)

Buna göre; xx, yy ve zz ifadelerinden hangileri her zaman pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: xx ve zz

Cevap

İlk ifade ve son ifade daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.
Doğru seçenekte belirtilen ifadelere göre, ilk ifadede taban pozitif olup karesi de pozitiftir, pozitif bir sayıyla çarpımı pozitif sonuç verir. Son ifadede ise negatif bir tabanın tek kuvveti negatif, nötr sayıdan pozitif sayının çıkarılmasıyla elde edilen fark da negatiftir; bu iki negatif değerin çarpımı daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların değer aralıklarını ve işaretlerini belirleme.
a<0a < 0, b=0b = 0 ve c>0c > 0 olduğu belirlenir.
Soruda aa sayısının negatif, bb sayısının işaretsiz (nötr) ve cc sayısının pozitif olduğu belirtilmiştir. Gerçel sayılar kümesinde işaretsiz (nötr) olan tek sayı 00'dır.
2
İlk ifadenin işaretini inceleme.
x>0x > 0 (pozitif) elde edilir.
a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. Pozitif bir sayının karesi (−a)2(-a)^2 daima pozitiftir. c>0c > 0 olduğundan, iki pozitif sayının çarpımı olan (−a)2⋅c(-a)^2 \cdot c daima pozitif bir değer alır.
3
İkinci ifadenin işaretini inceleme.
y=0y = 0 (nötr) elde edilir.
b=0b = 0 olduğundan, −a4⋅0=0-a^4 \cdot 0 = 0 olur. Sıfır sayısı pozitif veya negatif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
4
Üçüncü ifadenin işaretini inceleme.
z>0z > 0 (pozitif) elde edilir.
a<0a < 0 olduğundan tek kuvveti olan a3<0a^3 < 0 olur. b−c=0−c=−cb - c = 0 - c = -c şeklindedir ve c>0c > 0 olduğundan −c<0-c < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı olan a3⋅(b−c)a^3 \cdot (b - c) daima pozitif sonuç verir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve İşlem Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 136Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin bir tek sayı,
* (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin bir çift sayı

olduğu biliniyor. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

Cevap

b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift bir tam sayı olduğundan, bb sayısının çift olduğu durumda b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını inceleyerek değişkenlerin karakterini belirlemek.
bb çift bir tam sayı, cc tek bir tam sayı olmalıdır. aa sayısı ise tek veya çift olabilir.
Eğer bb tek sayı olsaydı, (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin çift olması için a+ca + c çift olmalı, yani aa ve cc aynı karakterde (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmalıydı. Bu durumda a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, aa ve cc tek ise Tek - Tek = Çift; aa ve cc çift ise Çift - Çift = Çift olurdu. Ancak bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bb kesinlikle çift bir tam sayı olmalıdır. bb çift olduğunda a⋅ba \cdot b çift olur. a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin tek sayı olması için çift bir sayıdan tek sayı çıkarılmalıdır, bu yüzden cc tek sayı olmalıdır. bb çift olduğundan (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi aa tam sayısının teklik-çiftlik durumundan bağımsız olarak her zaman çift sayı olur; yani aa hakkında kesin bir hükme varılamaz.
2
Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri tek tek değerlendirmek.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin daima bir çift tam sayı olduğu görülür.
bb çift bir tam sayıdır. aa ve cc birer tam sayı olduğundan, toplamları olan a+ca + c de bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift bir tam sayı vereceğinden bu ifade her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Tam Sayılarda Teklik ve Çiftlik Durumlarının Analizi ile Kuvvet Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 137Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+aa \cdot b + a
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ba \cdot b + b

Cevap

Çarpımları ile ikinci değişkenin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpımları ile ikinci değişkenin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır. Çünkü aa tek ve bb çift tam sayı olduğunda, a⋅ba \cdot b çift tam sayıdır. Çift bir sayıya çift bir sayı olan bb eklendiğinde sonuç her zaman çift bir tam sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
a⋅b+a=a(b+1)a \cdot b + a = a(b + 1) olarak yazılır.
İfadenin çarpanlarını belirlemek teklik-çiftlik analizini kolaylaştırır.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olması durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve b+1b + 1 tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Bulunan sonuçlardan değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
aa tek bir tam sayıdır. b+1b + 1 tek sayı olduğundan, bb çift bir tam sayıdır.
Tek sayıya 1 eklenirse veya çıkarılırsa çift sayı elde edilir.
4
Elde edilen aa (tek) ve bb (çift) tam sayı değerlerini seçeneklerde yerine yazarak her zaman çift olan ifadeyi belirleyin.
a⋅b+ba \cdot b + b ifadesinde; aa tek, bb çift olduğundan a⋅ba \cdot b çifttir. Çift ile çiftin toplamı (a⋅b+ba \cdot b + b) çift bir tam sayı olur.
aa ve bb tam sayı olduğundan çarpımları ve toplamları da tam sayıdır ve üslü ifadelerdeki gibi rasyonel sayı olma riski taşımaz.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile üslerin tam sayı olma durumunun incelenmesi.
Soru 138Soru →

aa, bb, cc ve dd sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

a∈Za \in \mathbb{Z}
b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
d∈Nd \in \mathbb{N}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ca \cdot c
II. b+cb + c
III. c2c^2
IV. ca+b\frac{c}{a + b}
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d)
VI. bd+c\frac{b}{d} + c

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen ifadelerden I, II, IV ve VI olmak üzere toplam 4 tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır.
I, II, IV ve VI numaralı ifadeler rasyonel ve irrasyonel sayıların temel aritmetik kuralları gereği her zaman irrasyonel sayı belirtir. III numaralı ifade kök derecesine bağlı olarak rasyonel değer alabilir. V numaralı ifade ise değişkenlerin zıt işaretli seçilmesi durumunda sıfıra eşitlenerek rasyonel değer alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin sayı kümelerini ve özelliklerini belirleme
aa s��fırdan farklı bir tam sayı (rasyonel), bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı, cc irrasyonel sayı ve dd sıfırdan farklı bir doğal sayı olduğundan pozitif bir tam sayıdır.
İfadelerin irrasyonel olma durumlarını doğru analiz edebilmek için her bir değişkenin ait olduğu kümeyi ve alabileceği değer sınırlarını netleştirmemiz gerekir.
2
I, II ve VI. ifadelerin analizi
I. a⋅ca \cdot c: Sıfırdan farklı rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. II. b+cb + c: Rasyonel sayı ile irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. VI. bd+c\frac{b}{d} + c: İki rasyonel sayının bölümü olan bd\frac{b}{d} rasyoneldir; rasyonel sayı ile irrasyonel cc sayısının toplamı her zaman irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin kapalılık özelliklerini uygularız.
3
III ve IV. ifadelerin analizi
III. c2c^2: c=2c = \sqrt{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = 2 (rasyonel) olur; fakat c=24c = \sqrt[4]{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = \sqrt{2} (irrasyonel) olur. Kesinlik yoktur. IV. ca+b\frac{c}{a+b}: aa tam sayı ve bb tam sayı olmayan rasyonel olduğundan toplamları a+ba+b rasyoneldir ve asla tam sayı (ve dolayısıyla 0) olamaz. İrrasyonel bir sayının sıfırdan farklı rasyonel bir sayıya bölümü her zaman irrasyoneldir.
Köklü ifadelerin kuvvetlerini ve paydanın sıfır olmama güvencesini inceleriz.
4
V. ifadenin analizi
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d): a∈Za \in \mathbb{Z} ve d∈Z+d \in \mathbb{Z}^+ olduğundan, a=−da = -d seçilebilir (örneğin a=−2a = -2 ve d=2d = 2). Bu durumda a+d=0a+d = 0 olur ve c⋅0=0c \cdot 0 = 0 (rasyonel sayı) elde edilir. Dolayısıyla kesinlikle irrasyonel değildir.
Zıt işaretli tam sayıların toplamının sıfır olabilme uç durumunu test ederiz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri
Soru 139Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
24x\frac{24}{x}
ifadesi bir doğal sayıya eşittir.
Buna göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin sonucunun bir doğal sayı olması için xx sayısının 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olması gerekir. Bu değerler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 olmak üzere toplam 8 tanedir.
24x\frac{24}{x} ifadesinin bir doğal sayı olabilmesi için sonucun sıfırdan büyük veya eşit bir tam sayı olması gerekir. 24 sıfırdan farklı olduğundan sonuç pozitif bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx sayısı 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 değerlerini alabilir, bu da toplamda 8 farklı değer demektir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğal sayı tanımını kullanarak ifadenin alabileceği değer aralığını belirleme.
24x>0\frac{24}{x} > 0 ve 24x∈Z+\frac{24}{x} \in \mathbb{Z}^+ olmalıdır.
Doğal sayılar negatif olamaz ve 24 sıfırdan farklı olduğu için sonuç sıfır olamaz.
2
xx tam sayısının özelliklerini belirleme.
xx sayısı 24'ün pozitif bölenleri olmalıdır.
İfadenin sonucunun pozitif bir tam sayı çıkması için bölenin de pozitif olması gerekir.
3
24'ün pozitif bölenlerini yazıp sayma.
x∈{1,2,3,4,6,8,12,24}x \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} olup 8 farklı değer vardır.
Bu kümedeki her eleman 24'ü tam böler.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (tam sayılar ve doğal sayılar) özellikleri ve elemanlarının ayırt edilmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 140Soru →
aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre;
I. b⋅c<0b \cdot c < 0
II. a⋅b<0a \cdot b < 0
III. a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur.
I. öncüldeki b⋅c<0b \cdot c < 0 ifadesi her iki durumda da bb ve cc sayılarının zıt işaretli olmasından dolayı her zaman doğrudur. III. öncüldeki a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 ifadesi ise, a=0a=0 iken sıfıra eşitliği, a>0a>0 ve c>0c>0 iken ise pozitifliği sağladığından her zaman doğrudur. Bu nedenle 'I ve III' ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
(−b)3⋅c>0(-b)^3 \cdot c > 0 eşitsizliğini çözümleyerek bb ve cc sayılarının işaret ilişkisini belirlemek.
bb ve cc zıt işaretlidir (b⋅c<0b \cdot c < 0). Ayrıca b≠0b \neq 0 ve c≠0c \neq 0 durumları geçerlidir.
(−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 şeklinde yazılabilir. Buradan −b3⋅c>0  ⟹  b3⋅c<0-b^3 \cdot c > 0 \implies b^3 \cdot c < 0 elde edilir. Bir sayının tek kuvveti kendisiyle aynı işaretli olduğundan, bb ve cc zıt işaretli olmalıdır. Çarpım sıfırdan farklı olduğu için terimlerin hiçbiri sıfır olamaz.
2
−a2⋅b≥0-a^2 \cdot b \geq 0 eşitsizliğini, bb sayısının işaretine göre iki durumda incelemek.
Eğer b>0b > 0 ise a=0a = 0 olur. Eğer b<0b < 0 ise aa herhangi bir gerçel sayı olabilir.
b≠0b \neq 0 olduğundan iki ana durum vardır: 1) b>0b > 0 ise, pozitif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 kalması için −a2≥0  ⟹  a2≤0-a^2 \geq 0 \implies a^2 \leq 0 olmalıdır. Bu ise yalnızca a=0a = 0 durumunda mümkündür. 2) b<0b < 0 ise, negatif bir sayıyla çarpıldığında sonucun ≥0\geq 0 olması için −a2≤0  ⟹  a2≥0-a^2 \leq 0 \implies a^2 \geq 0 olmalıdır ki bu tüm gerçel sayılar için zaten doğrudur.
3
a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğini kullanarak ikinci durumdaki aa sayısını sınırlandırmak.
b<0b < 0 durumunda a≥0a \geq 0 olmal��dır.
b<0b < 0 ise c>0c > 0 olur (zıt işaretli olduklarından). Bu durumda c−b=(pozitif)−(negatif)>0c - b = (\text{pozitif}) - (\text{negatif}) > 0 elde edilir. a⋅(c−b)≥0a \cdot (c - b) \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf pozitif olan c−bc - b ifadesine bölündüğünde a≥0a \geq 0 bulunur.
4
Elde edilen tüm durumları birleştirerek öncülleri değerlendirmek.
I. ve III. öncüller her zaman doğruyken, II. öncül a=0a=0 durumu için yanlıştır.
1. Durum (b>0b > 0, c<0c < 0, a=0a = 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b=0<0a \cdot b = 0 < 0 (Yanlış), III. a3⋅c=0≥0a^3 \cdot c = 0 \geq 0 (Doğru). 2. Durum (b<0b < 0, c>0c > 0, a≥0a \geq 0): I. b⋅c<0b \cdot c < 0 (Doğru), II. a⋅b≤0a \cdot b \leq 0 olup a=0a=0 için 0<00 < 0 ifadesi yanlış olur (Her zaman doğru değil), III. a≥0  ⟹  a3≥0a \geq 0 \implies a^3 \geq 0 ve c>0c > 0 olduğundan a3⋅c≥0a^3 \cdot c \geq 0 (Doğru). Sonuç olarak I ve III her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.

Alternatif Yöntem

Sayısal değerler vererek seçenekleri eleme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, b=1b=1 seçilirse −a2≥0  ⟹  a=0-a^2 \geq 0 \implies a=0 olur. Bu durumda (−b)3⋅c>0  ⟹  −1⋅c>0  ⟹  c<0(-b)^3 \cdot c > 0 \implies -1 \cdot c > 0 \implies c < 0 olur. a=0a=0 ve c<0c < 0 için a⋅(c−b)=0≥0a \cdot (c-b) = 0 \geq 0 sağlanır. Bu değerler altında a⋅b=0a \cdot b = 0 olduğundan II. öncül elenir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 7 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin