Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 101Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer tam sayı olmak üzere,

* a+b⋅ca + b \cdot c
* a⋅b+ca \cdot b + c
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

sayılarından iki tanesinin tek sayı, bir tanesinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c tek sayıdır.
II. a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 çift sayıdır.
III. ba+cb^a + c çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci öncüllerin her zaman doğru olduğunu belirten 'I ve II' ifadesidir.
Verilen iki tek, bir çift sayı koşulunu yalnızca aa sayısının çift, bb ve cc sayılarının ise tek olduğu durum sağlamaktadır. Buna göre; çift sayı ile tek sayının toplamı olan birinci öncül daima tektir. Tam sayıların karelerinin toplamından elde edilen ikinci öncül daima çifttir. Üçüncü öncülde ise aa üssü negatif bir çift tam sayı olabileceğinden (örneğin a=−2a = -2), bab^a ifadesi rasyonel bir sayı belirtir ve teklik-çiftlik aranmaz. Bu nedenle yalnızca birinci ve ikinci öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç ifadenin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için değişkenlerin durumlarını analiz etmek.
Sadece aa çift, bb tek ve cc tek olduğunda iki tek ve bir çift sayı elde edilir.
Olası tüm teklik-çiftlik durumları test edildiğinde; aa çift (Ç), bb tek (T), cc tek (T) iken:
* a+bc≡C¸+T⋅T≡Ta + bc \equiv \text{Ç} + \text{T} \cdot \text{T} \equiv \text{T}
* ab+c≡C¸⋅T+T≡Tab + c \equiv \text{Ç} \cdot \text{T} + \text{T} \equiv \text{T}
* a(b+c)≡C¸⋅(T+T)≡C¸a(b+c) \equiv \text{Ç} \cdot (\text{T} + \text{T}) \equiv \text{Ç}
koşulu sağlayan tek durumdur.
2
Elde edilen aa (çift), bb (tek), cc (tek) tam sayı bilgileriyle birinci öncülü test etmek.
a+ca+c ifadesi daima tektir.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı (a+c≡C¸+T≡Ta+c \equiv \text{Ç} + \text{T} \equiv \text{T}) her zaman tektir.
3
İkinci öncülü test etmek.
a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 ifadesi daima çifttir.
aa çift olduğundan karesi çift, bb ve cc tek olduğundan kareleri tektir. C¸+T+T≡C¸\text{Ç} + \text{T} + \text{T} \equiv \text{Ç} kuralından toplam daima çifttir.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
ba+cb^a + c ifadesi her zaman çift olmayabilir, hatta bir tam sayı bile belirtmeyebilir.
aa çift bir tam sayıdır fakat negatif bir sayı da olabilir (örneğin a=−2a = -2). Bu durumda ba=b−2=1b2b^a = b^{-2} = \frac{1}{b^2} ifadesi rasyonel bir sayıdır ve teklik-çiftlik özelliği aranmaz.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel dört işlem kuralları ile üslü ifadelerde üssün negatif olma durumunun teklik-çiftlik üzerindeki etkisi.
Soru 102Soru →
Bir xx irrasyonel gerçel sayısı için
x2−axx^2 - ax
ve
x3−13xx^3 - 13x
ifadelerinin değerleri birer rasyonel sayıdır.

Buna göre, aa pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a pozitif tam sayısı 2'dir.
Verilen xx irrasyonel gerçel sayısı için x2−axx^2-ax ve x3−13xx^3-13x ifadelerinin rasyonel olması, ancak ve ancak x2−ax−r=0x^2-ax-r=0 denkleminin köklerinin irrasyonel ve gerçel olmasıyla mümkündür. Polinom bölmesiyle elde edilen r=13−a2r = 13 - a^2 değeri yerine yazıldığında diskriminantın Δ=52−3a2\Delta = 52 - 3a^2 olduğu görülür. Δ≥0\Delta \geq 0 şartından a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} bulunur. Bu değerlerden sadece a=2a=2 için diskriminant tam kare olmayan bir pozitif sayı (4040) belirtir ve irrasyonel kök üretir. Diğer değerler rasyonel kökler ürettiği için aranan aa sayısı 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x2−axx^2 - ax ve x3−13xx^3 - 13x ifadelerini rasyonel sayılara eşitleyip polinom denklemlerini oluşturmak.
x2−ax=rx^2 - ax = r ve x3−13x=sx^3 - 13x = s (r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}). Buradan x2−ax−r=0x^2 - ax - r = 0 ve x3−13x−s=0x^3 - 13x - s = 0 elde edilir.
xx irrasyonel sayısının sağladığı rasyonel katsayılı polinom ilişkilerini analiz etmek.
2
x2−ax−rx^2 - ax - r polinomunu x3−13x−sx^3 - 13x - s polinomuna bölerek kalan şartını belirlemek.
x3−13x−s=(x+a)(x2−ax−r)+(a2+r−13)x+(ar−s)x^3 - 13x - s = (x + a)(x^2 - ax - r) + (a^2 + r - 13)x + (ar - s) ve kalanın sıfır olmasından r=13−a2r = 13 - a^2 elde edilir.
İrrasyonel xx sayısının her iki denklemi de sağlaması için ikinci derece polinomun üçüncü derece polinomu tam bölmesi gerekir.
3
xx sayısının gerçel sayı olma şartını (diskriminantın negatif olmaması) ve irrasyonel olma şartını (diskriminantın tam kare olmaması) incelemek.
Δ=a2+4r=52−3a2≥0  ⟹  a∈{1,2,3,4}\Delta = a^2 + 4r = 52 - 3a^2 \geq 0 \implies a \in \{1, 2, 3, 4\}. a=1,3,4a=1, 3, 4 için Δ\Delta sırasıyla 49,25,449, 25, 4 (tam kare) olur ve xx rasyonel çıkar. a=2a=2 için Δ=40\Delta = 40 (tam kare değil) olur ve x=1±10x = 1 \pm \sqrt{10} irrasyoneldir.
aa pozitif tam sayısının sadece irrasyonel gerçel kök üreten değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve ikinci dereceden denklem diskriminant analizi.
Soru 103Soru →

aa bir rasyonel sayı, bb ise bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre,

I. a+ba + b
II. a⋅ba \cdot b
III. b2b^2

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Her zaman irrasyonel olan ifade yalnız birinci öncüldür.
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Bu durum rasyonel sayıların çıkarma işlemine göre kapalı olmasından kaynaklanan matematiksel bir kuraldır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncüldeki toplama işlemini incelemek.
a+ba + b ifadesinin her zaman irrasyonel olduğu belirlenir.
E��er a+b=ra + b = r gibi rasyonel bir sayı olsaydı, b=r−ab = r - a olurdu. Rasyonel iki sayının farkı da rasyonel olacağından bb sayısı rasyonel olmak zorunda kalırdı. Bu durum bb'nin irrasyonel olmasıyla çeliştiği için toplam her zaman irrasyoneldir.
2
İkinci öncüldeki çarpma işlemini incelemek.
a⋅ba \cdot b ifadesinin her zaman irrasyonel olmadığı belirlenir.
aa rasyonel sayısı 00 olarak seçilirse, 0⋅b=00 \cdot b = 0 olur. Sıfır rasyonel bir sayı olduğundan çarpım her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.
3
Üçüncü öncüldeki karesel ifadeyi incelemek.
b2b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olmadığı belirlenir.
b=2b = \sqrt{2} irrasyonel sayısı için b2=(2)2=2b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 rasyonel sayısı elde edilir. Dolayısıyla irrasyonel bir sayının karesi rasyonel olabilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri ve kapalılık durumları
Soru 104Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a2−a+3ba^2 - a + 3b
ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

a ile b sayılarının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.
b sayısının çift sayı olduğu belirlendikten sonra, çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımının her zaman çift sayı olacağı kuralından dolayı bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadedeki terimlerin teklik-çiftlik durumunu analiz edin.
a2−aa^2 - a ifadesi a(a−1)a(a-1) şeklinde yazılabilir. Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift olduğundan, a2−aa^2 - a ifadesi her zaman çift sayıdır.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde teklik ve çiftlik kurallarını uygulamak için bilinen kısımları ayırmak gerekir.
2
b sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
a2−aa^2 - a ifadesi çift olduğundan, (a2−a)+3b(a^2 - a) + 3b ifadesinin çift olabilmesi için 3b3b ifadesinin de çift sayı olması gerekir. Buradan bb sayısının kesinlikle çift sayı olduğu sonucuna varılır.
Çift bir sayıya ancak çift bir sayı eklendiğinde sonuç çift sayı olur.
3
a sayısının durumunu değerlendirin.
aa tam sayısı hakkında herhangi bir teklik veya çiftlik bilgisi elde edilemez; aa tek veya çift olabilir.
a2−aa^2 - a ifadesi aa tek de olsa çift de olsa her zaman çift sayı sonuç verdiğinden, aa hakkında kesin bir yargıya varılamaz.
4
Seçenekleri b'nin çift sayı, a'nın ise herhangi bir tam sayı olduğu bilgisine göre test edin.
bb çift sayı olduğundan, aa tam sayısı ne olursa olsun a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift sayı olacaktır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların çarpımının çift olması ve çarpma işleminde çift çarpanın yutan eleman gibi davranarak sonucu çift yapması özelliği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 105Soru →
aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ifadesinin çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin ise tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c tek sayıdır.
II. (a−c)b(a - c)^b çift sayıdır.
III. ba+cb^a + c tek sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız I öncülü her zaman doğrudur. Belirlenen paritelere göre çift, tek ve çift sayıların toplamı her zaman tek sayıdır ve tam sayılarda toplama işlemi tanımlı olduğundan bu sonuç kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarından hareketle değişkenlerin paritelerini belirlemek.
bb tek sayı, cc çift sayı ve aa çift sayı olmalıdır.
Eğer bb çift olsaydı, b+cb+c tek olduğundan cc tek olurdu. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi çift + tek = tek sayı olurdu ki bu verilen bilgiyle çelişir. Dolayısıyla bb tek, cc çift olmalıdır. a⋅b+ca \cdot b + c çift olduğundan ve cc çift olduğundan a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. bb tek olduğundan aa çift olmak zorundadır.
2
I. öncülün doğruluğunu test etmek.
a+b+ca + b + c ifadesi her zaman tek sayıdır.
Çift (aa) + Tek (bb) + Çift (cc) = Tek sayı olur. Tam sayılar kümesinde toplama işlemi her zaman tanımlıdır ve sonuç tam sayıdır.
3
II. öncülün doğruluğunu test etmek.
(a−c)b(a - c)^b ifadesi her zaman çift sayı olmak zorunda değildir.
bb negatif bir tek sayı olabilir (örneğin b=−1b = -1). a=4a = 4 ve c=2c = 2 seçilirse (4−2)−1=2−1=1/2(4-2)^{-1} = 2^{-1} = 1/2 olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliği yoktur.
4
III. öncülün doğruluğunu test etmek.
ba+cb^a + c ifadesi her zaman tek sayı olmak zorunda değildir.
aa negatif bir çift sayı olabilir (örneğin a=−2a = -2). b=3b = 3 ve c=2c = 2 seçilirse 3−2+2=19/93^{-2} + 2 = 19/9 olur. Rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliği yoktur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda dört işlem özellikleri ile üs alma kuralları. Negatif üslerin sayıları rasyonel yapması ve rasyonel sayıların teklik-çiftlik özelliğinin olmaması.
Soru 106Soru →
Pozitif irrasyonel xx ve yy sayıları için,
x+y=4x + y = 4
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z}
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.
x⋅y=px \cdot y = p ifadesinin alabileceği değerler, sayıların pozitiflik ve irrasyonellik koşullarını sağlayan p=1p=1 ve p=2p=2 tam sayılarıdır. Bu değerlerin toplamı 1+2=31+2=3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=4x + y = 4 ve x⋅y=px \cdot y = p değişken tanımlaması yapılarak gerçel köklerin varlık aralığını belirlemek.
0<p≤40 < p \le 4 aralığı elde edilir.
xx ve yy pozitif gerçel sayılar olduğundan çarpımları pozitif olmalıdır. Ayrıca köklerin gerçel sayı olması için diskriminant Δ=16−4p≥0\Delta = 16 - 4p \ge 0 olmalıdır.
2
x3+y3∈Zx^3 + y^3 \in \mathbb{Z} koşulunu pp değişkeni cinsinden ifade etmek.
64−12p∈Z  ⟹  12p=k∈Z64 - 12p \in \mathbb{Z} \implies 12p = k \in \mathbb{Z} (yani p=k/12p = k/12) elde edilir.
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma şartı bulunur.
3
x4+y4∈Zx^4 + y^4 \in \mathbb{Z} koşulunu pp cinsinden yazarak p=k/12p = k/12 değerini yerine koymak.
256−64p+2p2∈Z  ⟹  k2−384k72∈Z256 - 64p + 2p^2 \in \mathbb{Z} \implies \frac{k^2 - 384k}{72} \in \mathbb{Z} elde edilir.
x4+y4=(x2+y2)2−2x2y2x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 özdeşliği kullanılarak ifadenin tam sayı olma koşulu analiz edilir.
4
k2−384k≡0(mod72)k^2 - 384k \equiv 0 \pmod{72} denkliğini mod 8 ve mod 9 için incelemek.
kk sayısının 12'nin katı olması gerektiği ve dolayısıyla pp değerinin bir tam sayı (p∈Zp \in \mathbb{Z}) olduğu bulunur.
Mod 8 için k2≡0(mod8)  ⟹  4∣kk^2 \equiv 0 \pmod 8 \implies 4 \mid k ve mod 9 için k(k−6)≡0(mod9)  ⟹  3∣kk(k-6) \equiv 0 \pmod 9 \implies 3 \mid k koşulları birleştirilerek 12∣k12 \mid k olduğu gösterilir.
5
0<p≤40 < p \le 4 aralığındaki tam sayı değerlerini irrasyonellik koşuluna göre test etmek.
p=1p = 1 ve p=2p = 2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+2=31 + 2 = 3 olur.
xx ve yy sayılarının irrasyonel olması için Δ=16−4p=4(4−p)\Delta = 16 - 4p = 4(4-p) ifadesinin tam kare olmaması gerekir. Bu durum p=3p=3 (kökler 1 ve 3) ve p=4p=4 (kökler 2 ve 2) değerlerini eler.

Anahtar Kavram

İrrasyonel ve rasyonel sayı kümelerinin özellikleri, tam sayılarla işlemler ve iki kare/küp toplamı özdeşliklerinin sayı kümeleriyle ilişkisi.
Soru 107Soru →

Bir meteoroloji istasyonu, ölçtüğü 8 farklı sıcaklık değerini santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden aşağıdaki kümede göstermiştir:

T={−5,  −2,  0,  1.75,  9,  π,  −124,  0.1}T = \left\{ -5, \; -\sqrt{2}, \; 0, \; 1.75, \; \sqrt{9}, \; \pi, \; -\frac{12}{4}, \; \sqrt{0.1} \right\}

Bu sıcaklık değerlerinden rasyonel sayı olanların sayısı RR, tam sayı olanların sayısı ZZ ve doğal sayı olanların sayısı DD olarak belirlenmiştir.

Buna göre, R−(Z+D)R - (Z + D) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İşlemin sonucu -1'dir.
Kümedeki rasyonel sayı adedi 5, tam sayı adedi 4 ve doğal sayı adedi 2'dir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında 5 - (4 + 2) = -1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerine (doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı) aitliğini tek tek incelemek.
-5: Tam sayı ve rasyonel sayı.
-\sqrt{2}: İrrasyonel sayı.
0: Doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayı.
1.75: Rasyonel say��.
\sqrt{9} = 3: Doğal sayı, tam sayı ve rasyonel sayı.
\pi: İrrasyonel sayı.
-\frac{12}{4} = -3: Tam sayı ve rasyonel sayı.
\sqrt{0.1} = \frac{1}{\sqrt{10}}: İrrasyonel sayı.
Sayı kümelerinin tanımlarını kullanarak her bir elemanın doğru sınıflara atanmasını sağlamak.
2
Tanımlanan kategorilere uyan sayıların adetlerini sayarak R, Z ve D değişkenlerinin değerlerini bulmak.
R = 5 (rasyonel sayılar: -5, 0, 1.75, 3, -3)
Z = 4 (tam sayılar: -5, 0, 3, -3)
D = 2 (doğal sayılar: 0, 3)
Soruda istenen matematiksel işlemi gerçekleştirmek için gerekli olan katsayıları elde etmek.
3
Elde edilen R, Z ve D değerlerini R - (Z + D) formülünde yerine koyarak işlemi hesaplamak.
5 - (4 + 2) = 5 - 6 = -1
İstenen matematiksel işlemin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve elemanlarının sınıflandırılması
Soru 108Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için
a<0≤ba < 0 \le b
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b−ab - a

Cevap

Fark ifadesi (b−ab - a) her zaman pozitif bir sayıya eşittir.
Fark ifadesi (b−ab - a), en az sıfır olan bir sayıdan (b≥0b \ge 0) negatif bir sayının (a<0a < 0) çıkarılması anlamına gelir. Matematiksel olarak b−a=b+(−a)b - a = b + (-a) şeklinde yazılabilir. a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. Pozitif bir sayı ile sıfır veya pozitif bir sayının toplamı her zaman sıfırdan büyük (pozitif) olacağı için bu ifade daima pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
a<0a < 0 ve b≥0b \ge 0 eşitsizliklerini inceleyerek değişkenlerin işaretlerini belirlemek.
aa negatif bir gerçel sayı, bb ise sıfır veya pozitif bir gerçel sayıdır.
İfadelerin işaret analizini yapabilmek için değişkenlerin sınır değerlerini bilmek gerekir.
2
b−ab - a ifadesinin işaretini analiz etmek.
a<0  ⟹  −a>0a < 0 \implies -a > 0 olur. b≥0b \ge 0 olduğuna göre, en az sıfır olan bb sayısı ile kesinlikle pozitif olan −a-a sayısının toplamı (b+(−a)b + (-a)) sıfırdan büyük olur.
b−ab - a farkının her koşulda pozitif olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 109Soru →

Her biri birer tam sayı olan aa, bb ve cc sayıları için
* a+ba + b toplamının çift sayı
* b⋅cb \cdot c çarpımının tek sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ac+ba^c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman bir çift sayıya e��ittir.
Verilen bilgiler doğrultusunda aa, bb ve cc sayılarının tamamı tek tam sayıdır. Tek sayıların çarpımı tek olduğundan a⋅ba \cdot b tektir, buna tek sayı olan cc eklendiğinde sonuç çift sayı olur. a+ca + c toplamı iki tek sayının toplamı olduğundan çifttir, çift bir sayının bb tam sayısı ile çarpımı da çifttir. Üçüncü öncülde ise negatif üs durumunda ifadenin tam sayı olmama olasılığı bulunduğundan her zaman çift sayıya eşit olduğunu söyleyemeyiz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpımın teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
bb ve cc sayılarının her ikisi de tek tam sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
Verilen toplamın teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
aa sayısı tek tam sayıdır.
bb tek sayı olduğuna göre, a+ba + b toplamının çift sayı olabilmesi için aa say��sının da tek sayı olması gerekir.
3
Birinci öncülü (a⋅b+ca \cdot b + c) değerlendirmek.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tek sayı olduğundan çarpımları a⋅ba \cdot b tek sayıdır. Tek sayı olan a⋅ba \cdot b ile tek sayı olan cc toplandığında sonuç çift sayı olur.
4
İkinci öncülü (b⋅(a+c)b \cdot (a + c)) değerlendirmek.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve cc tek sayı olduğundan toplamları a+ca + c çift sayıdır. Çift bir sayının herhangi bir tam sayı (bb) ile çarpımı her zaman çift sayıdır.
5
Üçüncü öncülü (ac+ba^c + b) değerlendirmek.
ac+ba^c + b ifadesi her zaman çift sayıya eşit değildir.
cc tek bir tam sayıdır ve negatif olabilir (örneğin c=−1c = -1). Bu durumda a=3a = 3 ve b=1b = 1 için ac+b=3−1+1=4/3a^c + b = 3^{-1} + 1 = 4/3 elde edilir ki bu sayı tam sayı bile değildir, dolayısıyla tekliği veya çiftliği tanımlı değildir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve kuvvet alırken üssün pozitifliği/negatifliği durumunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →

Bir torbada üzerinde sırasıyla −16-\sqrt{16}, −3-3, 00, 73\frac{7}{3}, 5\sqrt{5} ve π\pi sayılarının yazılı olduğu 6 adet kart bulunmaktadır. Bu kartlardan üzerinde bir rasyonel sayı yazılı olanların tamamı boş bir kutuya atılıyor.

Buna göre, son durumda kutuda bulunan kart sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Son durumda kutuda bulunan kart sayısı 4'tür.
Verilen sayılardan −16=−4-\sqrt{16} = -4, −3-3, 00 ve 73\frac{7}{3} sayıları rasyonel sayı kümesinin (Q\mathbb{Q}) elemanlarıdır. Kutuya atılan kart sayısı bu sayıların adedi olan 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kartların üzerindeki sayıların rasyonel olup olmadığının sınıflandırılması.
−16-\sqrt{16}, −3-3, 00 ve 73\frac{7}{3} sayıları rasyonel; 5\sqrt{5} ve π\pi sayıları irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}), iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayıları kapsar. Köklü ifadelerden tam sayıya dönüşebilen −16=−4-\sqrt{16} = -4 rasyoneldir. Ancak 5\sqrt{5} ve π\pi bu biçimde yazılamadığından irrasyoneldir.
2
Rasyonel sayı olan kartların toplam adedinin hesaplanması.
Toplam 4 adet kart kutuya atılmıştır.
Kutuya sadece rasyonel sayı içeren kartlar atılmaktadır.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayılar kümesinin elemanlarını tanıma ve irrasyonel sayılardan ayırt etme.
Soru 111Soru →

Bir kargo firmasında bulunan üç farklı koli grubundaki koli sayıları sırasıyla aa, bb ve cc pozitif tam sayılarıdır.
* Birinci ve ikinci gruptaki koli sayılarının toplamı bir tek sayıdır.
* İkinci ve üçüncü gruptaki koli sayılarının çarpımı bir çift sayıdır.

Buna göre;
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Yalnız üçüncü ifade incelendiğinde; ikinci değişken çift olduğunda çarpım doğrudan çift sayı olur. İkinci değişken tek olduğunda ise birinci ve üçüncü değişkenler çift olmak zorundadır. Bu durumda parantez içi toplam çift olacağından çarpım yine çift sayı olur. Dolayısıyla bu ifade her durumda çift sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel öncülleri matematiksel teklik-çiftlik ifadelerine dönüştürmek.
a+ba + b toplam�� bir tek sayı (T) ve b⋅cb \cdot c çarpımı bir çift sayıdır (Ç).
Soru kökündeki bilgileri analiz edebilmek için cebirsel gösterimlerden yararlanmamız gerekir.
2
a,ba, b ve cc değişkenlerinin alabileceği teklik-çiftlik durumlarını belirlemek için durum analizi yapmak.
İki temel durum mevcuttur:
1. Durum: bb çift (Ç) ise aa tek (T) olmalıdır. Bu durumda cc sayısı tek (T) veya çift (Ç) olabilir.
2. Durum: bb tek (T) ise aa çift (Ç) ve cc çift (Ç) olmalıdır.
Toplamın tek olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir; çarpımın çift olması için ise en az bir terimin çift olması şarttır.
3
Elde edilen tüm olası teklik-çiftlik kombinasyonlarını öncüllerde yerine yazarak denetlemek.
I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi: 1. durum altında cc tek olduğunda T⋅C\c+T=TT \cdot Ç + T = T (tek) olur.
II. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi: 1. durum altında cc tek olduğunda (T+C\c)⋅T=T(T + Ç) \cdot T = T (tek) olur.
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesi: bb çift ise çarpım çift olur. bb tek ise aa ve cc çift olduğundan a+ca+c toplamı çift olur ve çarpım yine çift olur.
İfadelerin 'her zaman' çift sayı olabilmesi için tüm olasılıklarda çift sayı üretmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri ile çok değişkenli durum analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 112Soru →

x,yx, y ve zz gerçel sayıları sırasıyla

* x∈Nx \in \mathbb{N}
* y∈Z−y \in \mathbb{Z}^-
* z∈Q∖Zz \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

kümelerinin birer elemanıdır.

Buna göre,

I. x⋅yx \cdot y
II. y⋅zy \cdot z
III. x+y+zx + y + z

ifadelerinden hangileri bir pozitif tam sayıya eşit olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesi bir pozitif tam sayıya eşit olabilir.
Yalnız II ifadesi pozitif bir tam sayıya eşit olabilir. Negatif bir tam sayı ile tam sayı olmayan rasyonel bir sayının çarpımı pozitif bir tam sayı üretebilir. Örneğin, −2-2 ile −12-\frac{1}{2} çarpıldığında 11 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan sayı kümelerinin özelliklerini belirlemek.
xx bir doğal sayı olduğu için 0,1,2,…0, 1, 2, \dots değerlerini alabilir. yy bir negatif tam sayı olduğu için −1,−2,−3,…-1, -2, -3, \dots değerlerini alabilir. zz ise tam sayı olmayan rasyonel bir sayıdır (örneğin −12-\frac{1}{2} veya 34\frac{3}{4}).
Soruda verilen ifadelerin hangi sayı kümelerine ait olduğunu netleştirmek doğru analiz yapmayı sağlar.
2
Birinci öncülü (x⋅yx \cdot y) değerlendirmek.
x⋅y≤0x \cdot y \le 0 olur.
x≥0x \ge 0 ve y<0y < 0 olduğundan, bu iki sayının çarpımı ya sıfır (eğer x=0x = 0 ise) ya da negatif bir tam sayıdır. Dolayısıyla pozitif bir tam sayı olamaz.
3
İkinci öncülü (y⋅zy \cdot z) değerlendirmek.
y⋅zy \cdot z ifadesi pozitif bir tam sayıya eşit olabilir.
Örnek olarak y=−2y = -2 (negatif tam sayı) ve z=−12z = -\frac{1}{2} (tam sayı olmayan rasyonel sayı) seçilirse, y⋅z=(−2)⋅(−12)=1y \cdot z = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 elde edilir. 11 sayısı pozitif bir tam sayıdır.
4
Üçüncü öncülü (x+y+zx + y + z) değerlendirmek.
x+y+zx + y + z ifadesi tam sayı olamaz, dolayısıyla pozitif tam sayı da olamaz.
İki tam sayının toplamı her zaman bir tam sayıdır. Burada xx ve yy birer tam sayı olduğundan x+yx + y toplamı da bir tam sayıdır. Bir tam sayı ile tam sayı olmayan bir rasyonel sayının (zz) toplamı ise her zaman tam sayı olmayan bir rasyonel sayı belirtir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları, eleman özellikleri ve kapalılık ilişkileri
Soru 113Soru →

Bir nn pozitif tam sayısı için

xn=n2+15nx_n = \sqrt{n^2 + 15n}

sayısı tanımlanıyor.

Buna göre, xnx_n sayısının bir rasyonel sayı olmasını sağlayan ka�� farklı nn değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin rasyonel bir sayı olmasını sağlayan 4 farklı pozitif tam sayı değeri vardır.
Verilen kareköklü ifadenin rasyonel bir sayı belirtmesi, kök içerisindeki n2+15nn^2 + 15n ifadesinin bir tam kare olmasını gerektirir. Tam kareye tamamlama metodu ve iki kare farkı yardımıyla elde edilen (2n+15−2k)(2n+15+2k)=225(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225 denkleminde, 225'in çarpanları üzerinden n>0n > 0 koşulunu sağlayan tam olarak 4 farklı nn pozitif tam sayısı (1,5,12,491, 5, 12, 49) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Kökün içindeki ifadenin rasyonellik şartını belirlemek.
n2+15n=k2n^2 + 15n = k^2 (burada kk bir pozitif tam sayıdır)
Pozitif bir tam sayının karekökünün rasyonel sayı olabilmesi için sayının tam kare olması gerekir.
2
Denklemi düzenleyerek iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırmak.
(2n+15−2k)(2n+15+2k)=225(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225
Çarpan analizi yaparak bilinmeyenlerin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
3
225'in çarpan çiftleri üzerinden nn değerlerini elde etmek.
nn değerleri 49, 12, 5 ve 1 olarak bulunur.
nn ve kk değerlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu sağlayan tüm durumları incelemek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayı Kümesi İlişkileri
Soru 114Soru →
a,btextvectextgerc\celsayılarıic\cina, b \\text{ ve } c \\text{ gerçel sayıları için}
a3cdotb2<0a^3 \\cdot b^2 < 0
b3cdotc5=0b^3 \\cdot c^5 = 0
a−b>0a - b > 0
textoldug˘ubilinmektedir.\\text{olduğu bilinmektedir.}

Buna göre,
I. acdotbcdotc<0a \\cdot b \\cdot c < 0
II. −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0
III. a−c<0a - c < 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III ifadeleri her zaman doğrudur.
Doğru cevap olan II ve III ifadesi, bulunan a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0 değerleriyle tam olarak uyuşmaktadır. İkinci öncüldeki −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0 ifadesi negatif iki değerin çarpımından dolayı pozitif ve doğrudur. Üçüncü öncüldeki a−c<0a - c < 0 ifadesi ise a−0=a<0a - 0 = a < 0 olduğundan her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a3cdotb2<0a^3 \\cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden yararlanarak aa ve bb sayılarının durumlarını incelemek.
b2b^2 ifadesi her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın sonucu sıfırdan küçük olduğu için bneq0b \\neq 0 ve b2>0b^2 > 0 olmalıdır. Buradan a3<0impliesa<0a^3 < 0 \\implies a < 0 (negatif) olarak bulunur.
Değişkenlerin sıfır olup olamayacağını ve işaretlerini netleştirmek için.
2
b3cdotc5=0b^3 \\cdot c^5 = 0 eşitliğini analiz ederek cc sayısının değerini bulmak.
İlk adımdan bneq0b \\neq 0 olduğunu bildiğimiz için b3neq0b^3 \\neq 0 olur. Eşitliğin sağlanabilmesi için c5=0impliesc=0c^5 = 0 \\implies c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
cc değişkeninin değerini ve nötr olma özelliğini belirlemek için.
3
a−b>0a - b > 0 eşitsizliğini kullanarak bb sayısının işaretini belirlemek.
a−b>0impliesa>ba - b > 0 \\implies a > b olur. a<0a < 0 olduğunu bildiğimiz için bb sayısı aa'dan da küçük olmalıdır. Bu durumda b<a<0b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 (negatif) bulunur.
bb sayısının negatif olduğunu kesinleştirmek için.
4
Elde edilen a<0a < 0, b<0b < 0 ve c=0c = 0 değerlerine göre öncülleri değerlendirmek.
I. öncül için: c=0c = 0 olduğundan acdotbcdotc=0a \\cdot b \\cdot c = 0 olur. 0<00 < 0 eşitsizliği yanlıştır. II. öncül için: a<0a < 0 ise a2>0a^2 > 0 ve önündeki eksi işaretinden dolayı −a2<0-a^2 < 0 (negatif) olur. b<0b < 0 olduğundan iki negatif sayının çarpımı pozitiftir, yani −a2cdotb>0-a^2 \\cdot b > 0 doğrudur. III. öncül için: a<0a < 0 ve c=0c = 0 olduğundan a−c=a−0=a<0a - c = a - 0 = a < 0 doğrudur.
Öncüllerin doğruluk değerlerini kesinleştirip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 115Soru →

Aslı, Banu ve Cemal'in ellerindeki kart sayıları sırasıyla aa, bb ve cc pozitif tam sayılarıdır.

* Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verirse, Banu'nun kart sayısı tek sayı oluyor.
* Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verirse, Cemal'in kart sayısı çift sayı oluyor.

Buna göre,

I. b+cb + c
II. a+b+ca + b + c
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır. bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlendiğinde, toplamları olan b+cb + c ifadesinin daima çift olduğu ortaya çıkar. aa sayısının da çift olduğu bilindiğinden, a+b+ca + b + c toplamı da iki çift sayının toplamı olarak daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işlemlerinden değişkenlerin temel özelliklerini belirleme
aa sayısı çift sayıdır ve bb sayısı 3'ün katı olan bir pozitif tam sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını (a/2a/2), Banu ise kartlarının üçte birini (b/3b/3) verebildiğine göre kart sayıları tam sayı olmalıdır.
2
Birinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
b+a2b + \frac{a}{2} toplamı tek sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verdiğinde Banu'nun yeni kart sayısı tek sayı olmaktadır.
3
İkinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
c+b3c + \frac{b}{3} toplamı çift sayıdır.
Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verdiğinde Cemal'in yeni kart sayısı çift sayı olmaktadır.
4
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını ilişkilendirme
bb ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Yani ikisi de aynı anda tek veya ikisi de aynı anda çifttir.
b=3mb = 3m (mm tam sayı) olsun. Bu durumda bb ile mm aynı paritededir. İkinci adımdan, c+mc + m çift olduğuna göre cc ile mm aynı paritededir. Dolayısıyla bb ile cc aynı paritededir.
5
Önermeleri tek tek analiz etme
I. b+cb+c toplamı daima çifttir. II. a+b+ca+b+c toplamı daima çifttir. III. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi ise her zaman çift değildir.
bb ve cc aynı paritede olduğundan toplamları b+cb+c daima çifttir. aa çift olduğundan a+(b+c)a+(b+c) da daima çifttir. Ancak a/2a/2 çift ise bb ve cc tek olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c tek olur. a/2a/2 tek ise bb ve cc çift olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c çift olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma işlemleri ve bölme içeren tam sayı koşullarının analiz edilmesi.
Soru 116Soru →

Verilen xx ve yy tam sayıları için x+yx + y toplamının bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅yx \cdot y

Cevap

İki sayının çarpımı olan ifade daima çift sayıdır.
Toplamları tek sayı olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Çarpma işleminde çarpanlardan birinin çift sayı olması, çarpımın sonucunun daima çift sayı olmasını sağlar. Bu yüzden iki sayının çarpımını gösteren ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamları tek olan iki tam sayının teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
Sayılardan biri tek, diğeri çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
Seçeneklerdeki çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu inceleyin.
İki sayının çarpımı daima çift sayı olur.
Çarpanlardan biri çift olduğunda çarpımın sonucu daima çift olacağından, biri tek diğeri çift olan iki sayının çarpımı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Toplamları tek olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemleri daima çift sayıdır.
Soru 117Soru →
Tam sayılar kümesinin elemanları olan aa, bb ve cc için
a⋅b+ca \cdot b + c
b⋅c+ab \cdot c + a
ifadelerinin her ikisinin de birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci ve ikinci ifadeler, bb sayısının tek veya çift olmasına bağlı her iki durumda da çift sayı sonucu verir. Üçüncü ifade ise negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarının belirlenmesi.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı ve b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin de tek sayı olduğu belirlenir.
Soruda bu iki ifadenin tek sayı olduğu doğrudan verilmiştir.
2
bb değişkeninin durumuna göre durum analizi yapılması.
Durum 1: Eğer bb çift sayı ise, a⋅ba \cdot b çift olur. a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan cc tek sayı olmalıdır. Benzer şekilde, b⋅cb \cdot c çift olur ve b⋅c+ab \cdot c + a tek olduğundan aa tek sayı olmalıdır. Bu durumda bb çift, aa ve cc tektir.
Durum 2: Eğer bb tek sayı ise, a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan a+ca + c toplamı tek olmalıdır. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri çift, diğeri tek sayı olmak zorundadır.
Çarpım ve toplam işlemlerinde teklik ve çiftlik kurallarını incelemek amacıyla durum analizi yapılmıştır.
3
Öncüllerin her iki durum için de değerlendirilmesi.
I. a+b+ca + b + c ifadesi: Durum 1 için Tek + Çift + Tek = Çift olur. Durum 2 için a+ca+c tek ve bb tek olduğundan Tek + Tek = Çift olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesi: Durum 1'de bb çift olduğundan çarpım çifttir. Durum 2'de aa ve cc sayılarından en az biri çift olduğundan çarpım yine çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a ifadesi: Soruda aa, bb ve cc'nin pozitif tam sayı olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, b=−2b = -2 gibi negatif bir tam sayı seçildiğinde ifade rasyonel sayıya dönüşebilir ve tek veya çift olarak tanımlanamaz.
Her bir öncülün kesinlikle çift sayı olup olmadığını test etmek amacıyla analiz gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve üslerin negatif tam sayı olabilme durumu
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 118Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
(x−y)⋅(y−z)(x - y) \cdot (y - z)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+zx + z

Cevap

x+zx + z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
xx ve zz sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. İki tek sayının toplamı veya iki çift sayının toplamı her zaman çift sayı olduğundan, x+zx + z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın sonucunu analiz etme
(x−y)(x - y) ve (y−z)(y - z) ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların her birinin ayrı ayrı tek sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleme
xx ile yy zıt karakterde (biri tek ise diğeri çift), yy ile zz de zıt karakterdedir. Buradan xx ve zz sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu (ikisi birden tek veya ikisi birden çift) sonucuna ulaşılır.
x−yx - y farkının tek olması için xx ve yy sayılarının paritelerinin farklı olması gerekir. Benzer şekilde y−zy - z farkının tek olması için yy ve zz sayılarının paritelerinin farklı olması gerekir. Bu durumda xx ile zz, yy'ye göre zıt paritede olduklarından kendi aralarında aynı paritede olurlar.
3
Seçenekleri değerlendirme
x+zx + z ifadesi, aynı pariteye sahip iki sayının toplamı olduğundan (T + T = Ç veya Ç + Ç = Ç) her zaman bir çift sayıdır.
Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki tam sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının çarpımı tek sayı ise çarpanların her ikisi de tek sayıdır. Zıt paritedeki sayıların farkı tek, aynı paritedeki sayıların toplamı çift sayıdır.
Soru 119Soru →

Her aa gerçel sayısı için −a2-a^2 ifadesinin değeri negatif bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Sıfır sayısı nötr olduğundan, a=0a = 0 için −a2-a^2 ifadesinin değeri negatif değil sıfırdır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü a=0a = 0 gerçel sayısı için −a2-a^2 değeri 00 olur ve sıfır sayısı negatif değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her gerçel sayı için geçerli olup olmadığını kontrol etmek amacıyla sıfır sayısını inceleyelim.
a=0a = 0 için −a2=−02=0-a^2 = -0^2 = 0 elde edilir.
Sıfır sayısı, işaret analizinde sıklıkla gözden kaçan kritik bir sınır noktasıdır.
2
Elde edilen değerin işaretini belirleyelim.
00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Pozitif veya negatif sayı tanımına uymayan gerçel sayıları belirlemek.
3
Elde edilen sonucu önermenin iddiası ile karşılaştıralım.
Önerme tüm sonuçların negatif olduğunu iddia ederken a=0a=0 için sonuç nötr çıktığından önerme yanlıştır.
Bir önermenin yanlış olduğunu ispatlamak için tek bir aksine örnek göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olması ve üslü ifadelerde negatiflik
Soru 120Soru →

Aşağıda altı elemanlı bir küme verilmiştir:

K={−4,0,9,83,5,−12}K = \{-4, 0, \sqrt{9}, \frac{8}{3}, \sqrt{5}, -\frac{1}{2}\}

Bu kümenin elemanlarından;

* Pozitif tam sayı olanların sayısı aa,
* Rasyonel sayı olup tam sayı olmayanların sayısı bb,
* İrrasyonel sayı olanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a+b−ca + b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin doğru değeri 2'dir.
Doğru cevap olan 2 değerine ulaşmak için K kümesindeki elemanlar tek tek incelenir. Pozitif tam sayı olan tek eleman \sqrt{9} = 3 olduğundan a = 1'dir. Rasyonel olup tam sayı olmayan elemanlar \frac{8}{3} ve -\frac{1}{2} olduğundan b = 2'dir. İrrasyonel olan tek eleman ise \sqrt{5} olduğundan c = 1'dir. Bu değerler yerine yazıldığında a + b - c = 1 + 2 - 1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını tek tek analiz ederek hangi sayı kümelerine ait olduklarını belirleyelim.
-4 sayısı bir negatif tam sayıdır.
0 sayısı işareti olmayan (nötr) bir tam sayıdır.
\sqrt{9} = 3 sayısı bir pozitif tam sayıdır.
\frac{8}{3} sayısı tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
\sqrt{5} sayısı bir irrasyonel sayıdır.
-\frac{1}{2} sayısı tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
Soruda tanımlanan a, b ve c sayılarını bulabilmek için kümedeki elemanların sayı kümelerini doğru belirlemeliyiz.
2
Tanımlanan koşullara uyan eleman sayılarını (a, b ve c) bulalım.
Pozitif tam sayı olan tek eleman \sqrt{9} = 3 olduğundan a = 1'dir.
Rasyonel sayı olup tam sayı olmayan elemanlar \frac{8}{3} ve -\frac{1}{2} olduğundan b = 2'dir.
İrrasyonel sayı olan tek eleman \sqrt{5} olduğundan c = 1'dir.
Her bir küme koşuluna uyan elemanları sayarak formüldeki değişkenlerin değerlerini buluruz.
3
Bulduğumuz a, b ve c değerlerini a + b - c ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
a + b - c = 1 + 2 - 1 = 2 elde edilir.
Soruda bizden istenen matematiksel ifadenin nihai değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri
ÖncekiSayfa 6 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin