Examkin

Küme Problemleri

43 soru

Soru 21Soru →

Bir halk eğitim merkezinde 'Ebru', 'Hat' ve 'Tezhip' sanatları üzerine kurslar açılmıştır. Kurslara katılanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her katılımcı bu üç kurstan en az birine kayıtlıdır.
* Ebru kursuna katılanların hiçbiri Tezhip kursuna katılmamıştır.
* Hat kursuna katılan toplam kişi sayısı 2424'tür.
* Hat kursuna katılanların 13\frac{1}{3}'ü aynı zamanda Ebru kursuna da katılmıştır.
* Hat kursuna katılanların 14\frac{1}{4}'ü aynı zamanda Tezhip kursuna da katılmıştır.
* Ebru kursuna katılan toplam kişi sayısı, Hat kursuna katılan toplam kişi sayısına eşittir.
* Sadece Ebru kursuna katılanların sayısı, sadece Tezhip kursuna katılanların sayısına eşittir.

Buna göre, bu kurslara katılan toplam öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Kurslara katılan toplam öğrenci sayısı 56'dır.
Doğru cevap 56'dır çünkü verilen oranlar kullanılarak kesişim bölgeleri (8 ve 6 kişi) hesaplanır. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişimi boş küme olduğundan, Hat kümesinden bu iki kesişim çıkarılarak sadece Hat dersi alanlar (10 kişi) bulunur. Toplam Ebru sayısı Hat sayısına eşit (24) olduğu için, sadece Ebru alanlar 16 kişi bulunur. Sadece Tezhip alanlar da buna eşit olduğundan 16 kişidir. Tüm ayrık bölgelerin toplamı (16+16+10+8+6) 56 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayısal değerleri ve kesişim kümelerini belirle.
s(H)=24s(H) = 24. s(H∩E)=24⋅13=8s(H \cap E) = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8. s(H∩T)=24⋅14=6s(H \cap T) = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6.
Sorudaki kesir ifadelerini sayıya dökmek için.
2
Ebru ve Tezhip kümelerinin ayrık olduğunu (E∩T=∅E \cap T = \emptyset) dikkate alarak Hat kümesinin sadece kendine ait eleman sayısını bul.
s(Sadece H)=s(H)−s(H∩E)−s(H∩T)=24−8−6=10s(\text{Sadece } H) = s(H) - s(H \cap E) - s(H \cap T) = 24 - 8 - 6 = 10.
Hat kümesi diğer iki kümeyle kesişmekte ancak Ebru ve Tezhip kesişmediği için üçlü kesişim yoktur.
3
Ebru kümesinin toplam eleman sayısını ve 'Sadece Ebru' sayısını bul.
s(E)=s(H)=24s(E) = s(H) = 24 olarak verilmiş. s(E)=s(Sadece E)+s(H∩E)⇒24=x+8⇒x=16s(E) = s(\text{Sadece } E) + s(H \cap E) \Rightarrow 24 = x + 8 \Rightarrow x = 16. (Sadece Ebru)
Toplam Ebru sayısı verildiği için bilinmeyen 'Sadece Ebru' sayısı bulunabilir.
4
'Sadece Tezhip' sayısını bul ve toplam katılımcıyı hesapla.
Soruda 'Sadece E' = 'Sadece T' dendiği için, s(Sadece T)=16s(\text{Sadece } T) = 16. Toplam = (Sadece E) + (Sadece T) + (Sadece H) + (E kesişim H) + (T kesişim H) = 16+16+10+8+6=5616 + 16 + 10 + 8 + 6 = 56.
Ayrık bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısını verir.

Anahtar Kavram

Ayrık Kümeler ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
Kümeleri çizerek çalışın. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişiminin boş olduğunu (E∩T=∅E \cap T = \emptyset) dikkate alarak, Hat kümesini bu iki kümenin ortasına, onlarla kesişecek şekilde yerleştirin.
2
Önce Hat kümesinin kesişim elemanlarını bulun: 2424'ün 1/31/3'ü ve 1/41/4'ü kaçtır? Bu sayılar H∩EH \cap E ve H∩TH \cap T bölgeleridir.
3
s(E)=24s(E) = 24 olduğunu biliyorsunuz ve kesişim (E∩HE \cap H) 8 kişi. O halde sadece Ebru dersi alanları bulabilirsiniz. Bu sayı sadece Tezhip alanlara da eşittir. Tüm parçaları toplayın.

Alternatif Yöntem

Formül yöntemi: s(E∪H∪T)=s(E)+s(H)+s(T)−[s(E∩H)+s(H∩T)+s(E∩T)]+s(E∩H∩T)s(E \cup H \cup T) = s(E) + s(H) + s(T) - [s(E \cap H) + s(H \cap T) + s(E \cap T)] + s(E \cap H \cap T). Burada E∩T=∅E \cap T = \emptyset olduğundan son iki terim 0'dır. s(T)s(T)'yi bularak formülde yerine koyabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan 100100 personelin her biri; 'Bilgi Güvenliği', 'KVKK' ve 'Elektronik Belge Yönetimi' eğitimlerinden en az birine katılmıştır. Bu eğitimlere katılım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece iki eğitime katılan personel sayısı, her üç eğitime de katılan personel sayısının 44 katıdır.
* Sadece bir eğitime katılan personel sayısı, en az iki eğitime katılan personel sayısından 4040 fazladır.

Buna göre, her üç eğitime de katılan personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Her üç eğitime de katılan personel sayısı 6'dır.
Verilen bilgiler doğrultusunda personel grupları S1S_1, S2S_2 ve S3S_3 olarak ayrıldığında; S1+S2+S3=100S_1 + S_2 + S_3 = 100 ve S1=S2+S3+40S_1 = S_2 + S_3 + 40 denklemleri oluşur. Bu sistemden S2+S3=30S_2 + S_3 = 30 bulunur. S2=4S3S_2 = 4S_3 oranı yerleştirildiğinde 5S3=305S_3 = 30 bağıntısından her üç eğitime katılan personel sayısı 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölge sayılarını temsil eden değişkenleri tanımlayalım.
Sadece bir eğitime katılanlar: S1S_1, sadece iki eğitime katılanlar: S2S_2, her üçüne katılanlar: S3S_3.
Kümelerdeki ayrık bölgeleri gruplandırmak çözüm sürecini basitleştirir.
2
Toplam personel sayısı üzerinden temel denklemi kuralım.
S1+S2+S3=100S_1 + S_2 + S_3 = 100
Her personel en az bir eğitime katıldığı için tüm bölgelerin toplamı mevcudu verir.
3
Soruda verilen bağıntıları matematiksel ifadelere dönüştürelim.
S2=4⋅S3S_2 = 4 \cdot S_3 ve S1=(S2+S3)+40S_1 = (S_2 + S_3) + 40
Metindeki 'sadece iki', 'her üçü' ve 'en az iki' ifadeleri bu değişkenlere karşılık gelir.
4
S1S_1 ifadesini toplam denkleminde yerine yazarak S2+S3S_2 + S_3 toplamını bulalım.
(S2+S3+40)+S2+S3=100⇒2(S2+S3)=60⇒S2+S3=30(S_2 + S_3 + 40) + S_2 + S_3 = 100 \Rightarrow 2(S_2 + S_3) = 60 \Rightarrow S_2 + S_3 = 30
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyene indirgemek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
5
S2=4⋅S3S_2 = 4 \cdot S_3 bilgisini kullanarak S3S_3 değerini hesaplayalım.
4⋅S3+S3=30⇒5⋅S3=30⇒S3=64 \cdot S_3 + S_3 = 30 \Rightarrow 5 \cdot S_3 = 30 \Rightarrow S_3 = 6
Katsayılar toplamı üzerinden nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde bölge bazlı problem çözümü ve denklemler arası geçiş.
Soru 23Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen "Diksiyon" ve "Hızlı Okuma" seminerlerine katılan toplam 3535 personel bulunmaktadır. Bu personellerden 2222'si diksiyon seminerine, 1818'i hızlı okuma seminerine katılmıştır. 1010 personel ise her iki seminere de katılmıştır.

Buna göre, bu personellerden kaç tanesi düzenlenen seminerlerden yalnızca birine katılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

Düzenlenen seminerlerden yalnızca birine katılan personel sayısı 2020 olarak bulunur.
Diksiyon seminerine katılan 2222 kişiden 1010'u aynı zamanda hızlı okuma seminerine de katıldığı için, sadece diksiyon seminerine katılan 22−10=1222 - 10 = 12 kişi vardır. Benzer şekilde, sadece hızlı okuma seminerine katılan 18−10=818 - 10 = 8 kişi bulunur. 'Yalnızca birine katılanlar' bu iki grubun toplamı olan 12+8=2012 + 8 = 20 personelden oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyin.
s(D∩H)=10s(D \cap H) = 10
Her iki seminere de katılan personel sayısı, küme şemasının ortak bölgesini oluşturur.
2
Sadece diksiyon seminerine katılanları hesaplayın.
22−10=1222 - 10 = 12
Diksiyon kümesinin toplamından her iki seminere de katılanları çıkararak sadece bu seminerle ilgilenenleri buluruz.
3
Sadece hızlı okuma seminerine katılanları hesaplayın.
18−10=818 - 10 = 8
Hızlı okuma kümesinin toplamından ortak katılanları çıkararak sadece bu seminerle ilgilenenleri buluruz.
4
Yalnızca birine katılanların toplamını bulun.
12+8=2012 + 8 = 20
Soru bizden her iki kümenin de fark bölgelerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki küme probleminde 'yalnızca biri' ifadesi, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılması veya fark kümelerinin toplanması anlamına gelir.

İpuçları

1
Bir Venn şeması çizerek 'Diksiyon' ve 'Hızlı Okuma' kümelerini oluşturun.
2
Şemanın ortasındaki kesişim bölgesine her iki seminere katılanların sayısını (1010) yazın.
3
Sadece bir seminere katılanları bulmak için, küme toplamlarından kesişimdeki sayıyı çıkarın ve bu iki farkı toplayın.

Daha Fazla Pratik

Verilen toplam 3535 personelden kaç tanesinin hiçbir seminere katılmadığını bulmaya çalışarak evrensel küme kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seminerlerden en az birine katılan toplam kişi sayısını (birleşim) s(D∪H)=s(D)+s(H)−s(D∩H)s(D \cup H) = s(D) + s(H) - s(D \cap H) formülüyle 22+18−10=3022 + 18 - 10 = 30 olarak bulabilirsiniz. Yalnızca birine katılanları bulmak için bu birleşim değerinden her iki seminere de katılanları çıkarmak yeterlidir: 30−10=2030 - 10 = 20.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 24Soru →

Bir kamu kurumunun proje biriminde çalışan 54 personelin her biri; Kalkınma (K), Verimlilik (V) ve İstihdam (İ) projelerinden en az birinde görev almaktadır.

Bu personel grubuyla ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Her üç projede de görev alan personel sayısı 6'dır.
* Sadece iki projede görev alanların sayısı, her bir proje çifti için birbirine eşittir ve her üç projede de görev alanların sayısının yarısı kadardır.
* Sadece bir projede görev alanların sayısı, her üç proje grubu için de birbirine eşittir.

Buna göre, Kalkınma (K) projesinde görev alan toplam personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Kalkınma projesinde görev alan toplam personel sayısı 25'tir.
Kalkınma projesi kümesi (KK), sadece K'de çalışanları, K ile V'nin kesişimini, K ile İ'nin kesişimini ve her üçünün kesişimini kapsar. Verilenlerden her bölgenin değeri bulunup toplandığında 25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin kesişim ve fark bölgelerindeki eleman sayılarını değişkenlerle ifade et.
Her üç projede çalışan (K∩V∩I˙K \cap V \cap İ) = 6. Sadece iki projede çalışanlar her çift için 6/2=36/2 = 3. Sadece bir projede çalışanlar her küme için xx.
Sorudaki sözel ilişkileri matematiksel ifadelere dökmek için.
2
Toplam personel sayısını kullanarak xx değerini bulmak için denklem kur.
Total=(3×x)+(3×3)+6=54Total = (3 \times x) + (3 \times 3) + 6 = 54 ⇒3x+15=54\Rightarrow 3x + 15 = 54 ⇒3x=39\Rightarrow 3x = 39 ⇒x=13\Rightarrow x = 13.
Sadece bir projede çalışan personel sayısını bulmak için.
3
Kalkınma (K) kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.
s(K)=(Sadece K)+(Sadece K∩V)+(Sadece K∩I˙)+(Hepsi)s(K) = (\text{Sadece } K) + (\text{Sadece } K \cap V) + (\text{Sadece } K \cap İ) + (\text{Hepsi}) ⇒s(K)=13+3+3+6=25\Rightarrow s(K) = 13 + 3 + 3 + 6 = 25.
Soruda istenen 'Kalkınma projesinde görev alan toplam kişi sayısı'nı bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim Formülü ve Venn Şeması Yorumlama
Soru 25Soru →

Bir kamu kurumunun kütüphanesinden yararlanan 5050 personelin her biri "Süreli Yayınlar" veya "Akademik Kitaplar" bölümlerinden en az birini takip etmektedir. Bu personelden Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının 22 katıdır.

Her iki bölümü de takip eden 1010 personel olduğuna göre, sadece Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, sadece Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Sadece Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, sadece Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının 3 katıdır.
Verilen bilgilere göre Akademik Kitaplar takip edenlerin sayısı 20, Süreli Yayınlar takip edenlerin sayısı 40 olarak bulunur. Her iki bölümü takip eden 10 kişi çıkarıldığında, sadece Süreli Yayınlar takip eden 30 ve sadece Akademik Kitaplar takip eden 10 kişi kalır. 30 sayısı 10 sayısının 3 katıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Küme eleman sayıları için değişken tanımlayalım.
Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısı s(A)=xs(A) = x olsun. Bu durumda Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı s(S)=2xs(S) = 2x olur.
Soruda Süreli Yayınlar takipçilerinin, Akademik Kitaplar takipçilerinin 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Küme birleşim formülünü kullanarak xx değerini hesaplayalım.
s(S∪A)=s(S)+s(A)−s(S∩A)s(S \cup A) = s(S) + s(A) - s(S \cap A) formülünden; 50=2x+x−1050 = 2x + x - 10 elde edilir. Buradan 60=3x60 = 3x ve x=20x = 20 bulunur.
Tüm personelin en az bir bölümü takip ettiği bilindiğinden, toplam kişi sayısı birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir.
3
Kümelerin fark bölgelerini (sadece bir bölümü takip edenleri) bulalım.
Süreli Yayınlar toplamda 2x=402x = 40 kişidir. Sadece Süreli Yayınlar: 40−10=3040 - 10 = 30 kişi. Akademik Kitaplar toplamda x=20x = 20 kişidir. Sadece Akademik Kitaplar: 20−10=1020 - 10 = 10 kişi.
"Sadece" ifadesi, kümenin tamamından her iki bölümü de takip eden (kesişim) kişilerin çıkarılmasını gerektirir.
4
İstenen oranı hesaplayalım.
30/10=330 / 10 = 3 bulunur.
Sadece Süreli Yayınlar takipçilerinin, sadece Akademik Kitaplar takipçilerine oranı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemleri

İpuçları

1
Akademik Kitaplar takip edenlere xx diyerek bir Venn şeması çizmeyi deneyin.
2
Toplam 50 kişiyi bulmak için iki kümenin eleman sayılarını toplayıp ortak olanları (kesişim) bir kez çıkarmanız gerektiğini hatırlayın.
3
2x+x−10=502x + x - 10 = 50 denklemini çözerek her bir kümenin eleman sayısını bulun ve ardından 'sadece' kısımlarına odaklanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, eleman sayılarının katı yerine yüzdesi verildiği (örneğin personelin %60'ı...) durumlar için çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şemasında bölgelere isim vererek (a, b, c) çözebilirsiniz. a: sadece Süreli, b: kesişim, c: sadece Akademik olsun. b = 10 verilmiş. a + b + c = 50 ve a + b = 2(c + b) denklemleriyle a ve c değerlerine doğrudan ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilenlerden oluşan 60 kişilik bir turist kafilesinde; en çok iki dil bilenlerin sayısı 48, en az iki dil bilenlerin sayısı ise 28'dir.

Buna göre, bu kafilede yalnızca iki dil bilen kaç turist vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Yalnızca iki dil bilen turist sayısı 16'dır.
Soruda verilen kısıtları denkleme döktüğümüzde; toplam kişi sayısı 60 (x₁ + x₂ + x₃), en çok iki dil bilenler 48 (x₁ + x₂) ve en az iki dil bilenler 28 (x₂ + x₃) olarak ifade edilir. Toplam sayıdan en çok iki dil bilenleri çıkardığımızda 3 dil bilenleri (x₃ = 12) buluruz. Bunu 'en az iki dil bilenler' denkleminde yerine koyduğumuzda (x₂ + 12 = 28) yalnızca iki dil bilen sayısı 16 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri eleman sayılarına göre değişkenlerle ifade et.
x₁: Yalnızca 1 dil bilenler, x₂: Yalnızca 2 dil bilenler, x₃: 3 dili de bilenler. Hiç dil bilmeyen yoktur (x₀=0).
Soruda 'en az birini bilenler' ifadesi geçtiği için evrensel küme bu üç grubun toplamıdır.
2
Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dök.
1) Toplam: x₁ + x₂ + x₃ = 60
2) En çok iki dil (x₁ + x₂): 48
3) En az iki dil (x₂ + x₃): 28
Sözel ifadelerin (en az, en çok) matematiksel karşılıklarını doğru kurmak gerekir.
3
x₃ değerini bulmak için 1. ve 2. denklemleri kullan.
(x₁ + x₂ + x₃) - (x₁ + x₂) = 60 - 48 = 12. Yani x₃ = 12.
Toplam sayıdan, en çok iki dil bilenleri çıkarırsak geriye üç dil bilenler kalır.
4
x₂ değerini bulmak için 3. denklemde x₃'ü yerine koy.
x₂ + 12 = 28 olduğundan, x₂ = 16 bulunur.
En az iki dil bilenler kümesi, yalnızca iki dil bilenler ile üç dil bilenlerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde 'En Az' ve 'En Çok' Kavramları

İpuçları

1
Kişileri bildikleri dil sayısına göre gruplandırın: Yalnızca 1 dil bilenler (x₁), yalnızca 2 dil bilenler (x₂) ve 3 dil bilenler (x₃).
2
'En çok iki dil bilenler' ifadesi x₁ ve x₂'nin toplamıdır. Toplam kişi sayısından (60) bu grubu çıkarırsanız neyi bulursunuz?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 'yalnızca bir dil bilenler' sorulsaydı nasıl bulurdunuz?

Alternatif Yöntem

Kısa yol: (En çok 2 dil bilenler) + (En az 2 dil bilenler) = (x₁ + x₂) + (x₂ + x₃) = 48 + 28 = 76. Bu toplam, gerçek toplamdan (60) fazladır. Aradaki fark (76 - 60 = 16) bize iki kez sayılan grubu, yani x₂'yi verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →

Bir kamu kurumunun Strateji Geliştirme Başkanlığı tarafından yürütülen 120 adet kalkınma projesi; 'Ekonomik', 'Sosyal' ve 'Kültürel' olmak üzere üç ana bileşen üzerinden değerlendirilmiştir. Değerlendirme raporunda şu veriler yer almaktadır:

* Her proje en az bir bileşene sahiptir.
* Sadece Ekonomik bileşeni olan proje sayısı, sadece Kültürel bileşeni olan proje sayısının 3 katıdır.
* Sadece Sosyal bileşeni olan proje sayısı, sadece Kültürel bileşeni olan proje sayısına eşittir.
* Ekonomik bileşeni olan toplam proje sayısı 80, Sosyal bileşeni olan 60, Kültürel bileşeni olan ise 50'dir.
* Her üç bileşene de sahip proje sayısı 10'dur.

Buna göre, raporda sadece Ekonomik bileşene sahip olduğu belirtilen proje sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece Ekonomik bileşene sahip proje sayısı 36'dır.
Verilen koşullara göre, sadece tek bir niteliğe sahip proje sayıları x, x ve 3x olarak kodlanır. Üç kümenin birleşim formülü kullanılarak, sadece iki niteliğe sahip projelerin toplam sayısının 50 olduğu bulunur. Toplam proje sayısı (120), tüm ayrık bölgelerin toplamına eşittir: (Sadece 1'liler) + (Sadece 2'liler) + (3'lüler). Yani 120 = 5x + 50 + 10 denklemi kurulur. Buradan 5x = 60 ve x = 12 bulunur. Soruda 'Sadece Ekonomik' (3x) sorulduğu için cevap 3 * 12 = 36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri tanımla.
E: Ekonomik, S: Sosyal, K: Kültürel. Her bir kümenin 'sadece' o kümeye ait eleman sayılarına sırasıyla n(E'), n(S'), n(K') diyelim.
Problemi matematiksel denklemlere dökmek için değişken atamak gerekir.
2
Verilen oranları değişkenlere ata.
Sadece Kültürel = x olsun. Sadece Sosyal = x, Sadece Ekonomik = 3x olur. (n(K')=x, n(S')=x, n(E')=3x)
Sorudaki kat ve eşitlik ilişkilerini tek bir bilinmeyen (x) cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
3
Kesişimlerin toplamını bulmak için Birleşim Formülünü kullan.
n(E∪S∪K) = n(E) + n(S) + n(K) - [n(E∩S) + n(E∩K) + n(S∩K)] + n(E∩S∩K) formülünden hareketle; sadece iki özelliğe sahip elemanların toplamına Y dersek: 120 = 80 + 60 + 50 - (Y + 3*10) + 10 eşitliği kurulur. Buradan 120 = 170 - Y bulunur, yani Y = 50'dir.
Sadece tek özelliğe sahip kümeleri bulmak için önce sadece iki özelliğe sahip kümelerin toplam yükünü bulmak gerekir.
4
Toplam formülünü kullanarak x değerini bul.
Toplam = (Sadece 1 özellik) + (Sadece 2 özellik) + (3 özellik). 120 = (3x + x + x) + 50 + 10. Buradan 120 = 5x + 60 => 5x = 60 => x = 12 bulunur.
Tüm parçaların toplamı evrensel kümeyi (120) vermelidir.
5
İstenen değeri hesapla.
Soru 'Sadece Ekonomik' kısmını sormaktadır (3x). 3 * 12 = 36.
Bulunan x değeri yerine konularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Ayrık Bölgeler Analizi

İpuçları

1
Kümeleri çizip bölgelere isim verin. 'Sadece' bölgeleri için x, 3x gibi değişkenler kullanın.
2
Toplam sayıyı bulmak için şu formülü hatırlayın: Toplam = (Sadece 1 özellikli olanlar) + (Sadece 2 özellikli olanlar) + (3 özellikli olanlar).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'En az iki dil bilenler' veya 'En çok bir proje tamamlayanlar' şeklinde kısıtlamalarla çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin teknik hizmetler dairesinde görev yapan toplam 5252 personel; Netcad, AutoCAD ve ArcGIS paket programlarından en az birini kullanabilmektedir.

Bu personelin program kullanım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca Netcad bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısının 33 katıdır.
* Yalnızca AutoCAD bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısının 22 katıdır.
* Yalnızca ArcGIS bilenlerin sayısı, her üç programı da bilenlerin sayısına eşittir.
* Yalnızca iki program bilen üç alt grubun her birindeki personel sayıları birbirine eşit olup; yalnızca iki program bilenlerin toplam sayısı, yalnızca bir program bilenlerin toplam sayısına eşittir.

Buna göre, bu programlardan en az ikisini kullanabilen personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Programlardan en az ikisini kullanabilen personel sayısı 28'dir.
Soruda verilen bilgilere göre her bölgeyi xx cinsinden ifade ettiğimizde; yalnızca bir program bilenler 3x+2x+x=6x3x+2x+x=6x, yalnızca iki program bilenler de bu toplama eşit olduğundan 6x6x olur. Her üçünü bilenler xx'tir. Toplam 13x=5213x = 52 denkleminden x=4x=4 bulunur. 'En az iki program bilenler', yalnızca iki program bilenler (6x6x) ile her üçünü bilenlerin (xx) toplamıdır: 7x=7×4=287x = 7 \times 4 = 28.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölge eleman sayılarını değişkenler cinsinden ifade et.
Her üçünü bilen = x olsun. Yalnızca Netcad = 3x, Yalnızca AutoCAD = 2x, Yalnızca ArcGIS = x.
Soruda verilen kat ilişkilerini matematiksel ifadeye dökmek için.
2
Yalnızca bir program bilenlerin toplam sayısını bul.
Toplam (Yalnızca 1) = 3x + 2x + x = 6x.
Diğer koşulu kullanabilmek için ara toplam gereklidir.
3
'Yalnızca iki program bilenler' grubunu analiz et.
Yalnızca iki program bilenlerin toplam sayısı, yalnızca bir program bilenlere (6x) eşittir. Üç alt grup eşit olduğundan, her bir ikili kesişim grubu (örn. sadece Netcad ve AutoCAD) = 6x / 3 = 2x olur.
Eşitlik şartını sağlayarak tüm bölgeleri x cinsinden ifade etmek için.
4
Toplam personel sayısı üzerinden x değerini hesapla.
Toplam = (Yalnızca 1) + (Yalnızca 2) + (Her 3'ü). Denklem: 6x + 6x + x = 52 => 13x = 52 => x = 4.
Bilinmeyen değişkenin değerini bulmak için.
5
İstenen 'en az iki program bilen' sayısını hesapla.
En az iki = (Yalnızca iki bilenler) + (Her üçünü bilenler) = 6x + x = 7x. Sonuç: 7 * 4 = 28.
Sorunun kökündeki şartı (en az iki) doğru bölgeleri toplayarak cevaplamak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri (Venn Şeması)

İpuçları

1
Bu tür sorularda Venn şeması çizmek ve en içteki kesişimden (her üçünü bilenler) başlayarak değişken vermek çözümü kolaylaştırır.
2
Her üçünü bilenlerin sayısına xx diyerek başlayın. 'Yalnızca bir program bilenlerin' toplamını xx cinsinden bulup, 'yalnızca iki program bilenlerin' toplamına eşitleyin.
3
Toplam personel sayısı = (Yalnızca 1 bilenler) + (Yalnızca 2 bilenler) + (Her 3'ünü bilenler). Bu toplamı xx cinsinden yazıp 52'ye eşitleyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

55 kişilik bir toplulukta A, B ve C gazetelerinden en az birini okuyanlar bulunmaktadır. Bu toplulukla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A gazetesini okuyanların sayısı 25,
* B gazetesini okuyanların sayısı 26,
* C gazetesini okuyanların sayısı 26'dır.
* A ve B gazetelerini okuyanların sayısı 9,
* A ve C gazetelerini okuyanların sayısı 8,
* B ve C gazetelerini okuyanların sayısı 10'dur.

Buna göre, bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Bu toplulukta yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi vardır.
Üç kümenin birleşimi formülü kullanılarak önce her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısı (x=5x=5) bulunur. Daha sonra Venn şeması mantığıyla, ikili kesişimlerden bu değer çıkarılarak 'yalnızca iki gazete' okuyanların sayısı (12) bulunur. Son olarak, topluluk mevcudundan (55), birden fazla gazete okuyanların toplamı (12+5=1712+5=17) çıkarıldığında geriye yalnızca bir gazete okuyan 38 kişi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kümenin birleşim formülünü kullanarak her üç gazeteyi de okuyan kişi sayısını (xx) bulun.
s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+s(C)−[s(A∩B)+s(A∩C)+s(B∩C)]+s(A∩B∩C)s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - [s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] + s(A \cap B \cap C) formülünden; 55=25+26+26−(9+8+10)+x⇒55=77−27+x⇒x=555 = 25 + 26 + 26 - (9 + 8 + 10) + x \Rightarrow 55 = 77 - 27 + x \Rightarrow x = 5.
Yalnızca bir gazete okuyanları bulmak için öncelikle kesişimlerin merkezindeki sayıyı bilmemiz gerekir.
2
Verilen ikili kesişim sayılarından üçlü kesişimi çıkararak 'yalnızca iki gazete okuyan' kişi sayısını hesaplayın.
Yalnız A ve B: 9−5=49-5=4. Yalnız A ve C: 8−5=38-5=3. Yalnız B ve C: 10−5=510-5=5. Toplam 'yalnızca iki' okuyanlar: 4+3+5=124+3+5=12.
Soruda verilen ikili kesişimler (örneğin A ve B), üçlü kesişimi de kapsar. Sadece iki gazete okuyanları bulmak için üçlü kesişimi çıkarmalıyız.
3
Toplam kişi sayısından, iki veya üç gazete okuyanları çıkararak sonucu bulun.
Yalnızca Bir = Toplam - (Yalnızca İki + Üçü Birlikte) = 55−(12+5)=55−17=3855 - (12 + 5) = 55 - 17 = 38.
Evrensel küme (topluluk) üç ayrık grubun toplamıdır: Yalnızca 1 okuyanlar, Yalnızca 2 okuyanlar ve 3'ünü de okuyanlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri (Inclusion-Exclusion Prensibi)

İpuçları

1
Önce üç kümenin birleşim formülünü (s(A∪B∪C)s(A \cup B \cup C)) kullanarak, her üç gazeteyi de okuyanların sayısını bulmaya çalışın.
2
Her üç gazeteyi okuyan kişi sayısına xx deyin. Verilen formülde yerine koyduğunuzda 55=(25+26+26)−(9+8+10)+x55 = (25+26+26) - (9+8+10) + x denklemini elde edersiniz.
3
x=5x=5 bulduktan sonra, 'A ve B okuyan 9 kişi'nin içinde bu 5 kişinin de olduğunu unutmayın. Yani sadece A ve B okuyan 4 kişidir. Diğerleri için de aynısını yapıp toplamdan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Cebirsel Yöntem: Yalnız 1, Yalnız 2 ve Yalnız 3 okuyanların sayılarına sırasıyla n1,n2,n3n_1, n_2, n_3 diyelim.
1) n1+n2+n3=55n_1 + n_2 + n_3 = 55 (Toplam kişi)
2) n1+2n2+3n3=25+26+26=77n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 25+26+26 = 77 (Kümelerin toplamı, kesişimler mükerrer sayılır)
3) n2+3n3=9+8+10=27n_2 + 3n_3 = 9+8+10 = 27 (Kesişimlerin toplamı)
Bu denklem sistemini çözerek n3=5n_3=5, n2=12n_2=12 ve buradan n1=38n_1=38 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Bir belediyeye ait spor merkezinde düzenlenen yüzme ve tenis kurslarına katılan toplam 4040 kişi bulunmaktadır. Bu kişilerden 2525'i yüzme kursuna, 1818'i ise tenis kursuna katılmaktadır. Her iki kursa da katılan 77 kişi olduğuna göre, bu grupta kurslardan yalnızca birine katılan kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Kurslardan yalnızca birine katılanların sayısı 29'dur.
Yalnızca bir kursa katılanlar, sadece yüzme kursuna giden 18 kişi ile sadece tenis kursuna giden 11 kişinin toplamıdır (18+11=2918 + 11 = 29).

Adım Adım Çözüm

1
Yalnızca yüzme kursuna katılanları hesaplayın.
25−7=1825 - 7 = 18
Yüzme kursuna katılan toplam kişiden, her iki kursa da gidenleri çıkararak 'yalnızca yüzme' diyenleri buluruz.
2
Yalnızca tenis kursuna katılanları hesaplayın.
18−7=1118 - 7 = 11
Tenis kursuna katılan toplam kişiden, ortak öğrencileri çıkararak 'yalnızca tenis' diyenleri buluruz.
3
Sonuçları toplayın.
18+11=2918 + 11 = 29
Soru bizden 'yalnızca birine' katılanları istediği için her iki özel durumun toplamını alırız.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde 'yalnızca bir' ifadesi, kümelerin farklarının birleşimini (A∖B∪B∖AA \setminus B \cup B \setminus A) ifade eder.

İpuçları

1
Verilenleri bir Venn şeması üzerinde göstermek işinizi kolaylaştıracaktır.
2
'Yalnızca yüzme' ve 'yalnızca tenis' diyen kişileri ayrı ayrı hesaplamalısınız.
3
Yüzme katılanlarından kesişimi, tenis katılanlarından kesişimi çıkarıp çıkan sonuçları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu grupta hiçbir kursa katılmayanlar sorulsaydı, tüm gruptan birleşim kümesini (40−3640 - 36) çıkarmamız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Toplam katılan sayısını bulup (Birleşim: 25+18−7=3625 + 18 - 7 = 36), bu sayıdan her iki kursa da katılanları (Kesişim: 77) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz: 36−7=2936 - 7 = 29.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 31Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin 24'ü bilgisayar işletmenliği sertifikasına, 18'i ise yabancı dil sertifikasına sahiptir. Her iki sertifikaya da sahip olan 6 personel bulunduğuna göre, bu personellerden yalnızca bir sertifikaya sahip olan toplam kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Yalnızca bir sertifikaya sahip olan personel sayısı 30'dur.
Yalnızca bir sertifikaya sahip olan kişilerin sayısı, sadece bilgisayar sertifikası olanlar ile sadece yabancı dil sertifikası olanların toplamıdır. Bilgisayar sertifikası olan 24 kişiden 6'sı her iki sertifikaya sahip olduğu için 18 kişi sadece bilgisayar sertifikalıdır. Benzer şekilde, yabancı dil sertifikası olan 18 kişiden 6'sı her ikisine sahip olduğu için 12 kişi sadece yabancı dil sertifikalıdır. Bu iki grubun toplamı 30 kişiyi verir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi küme sembolleriyle modelleyelim.
Bilgisayar sertifikası kümesi s(B)=24s(B) = 24, Yabancı dil sertifikası kümesi s(Y)=18s(Y) = 18 ve her iki sertifika (kesişim) s(B∩Y)=6s(B \cap Y) = 6 olarak belirlenir.
Sözel ifadeleri matematiksel verilere dönüştürmek çözüm sürecini netleştirir.
2
Sadece bilgisayar sertifikası olan personeli hesaplayalım.
24−6=1824 - 6 = 18 kişi.
Toplam bilgisayar sertifikalı personelden, aynı zamanda yabancı dil sertifikası olan 6 kişiyi çıkararak 'yalnızca' bilgisayar sertifikalıları buluruz.
3
Sadece yabancı dil sertifikası olan personeli hesaplayalım.
18−6=1218 - 6 = 12 kişi.
Toplam yabancı dil sertifikalı personelden, aynı zamanda bilgisayar sertifikası olan 6 kişiyi çıkarırız.
4
Yalnızca bir sertifikaya sahip olanların toplamını bulalım.
18+12=3018 + 12 = 30 kişi.
Problemde 'yalnızca bir' sertifika istendiği için, her iki farklı 'yalnızca' grubunun toplamını almamız gerekir.

Anahtar Kavram

İki küme probleminde 'yalnızca bir' ifadesi, fark kümelerinin birleşimini temsil eder ve (A∖B)+(B∖A)(A \setminus B) + (B \setminus A) şeklinde hesaplanır.

İpuçları

1
Verilen bilgileri bir Venn şeması üzerine yerleştirmeyi deneyin; her iki sertifikaya sahip olan 6 kişiyi kesişim bölgesine yazın.
2
Sadece bilgisayar sertifikası olanları bulmak için 24'ten 6'yı, sadece yabancı dil sertifikası olanları bulmak için 18'den 6'yı çıkarmalısınız.
3
İstediğimiz sonuç, her iki kümenin de sadece kendilerine ait olan (kesişim dışındaki) bölgelerinin toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde birleşim ve kesişim formülünü (s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)) pekiştirmek için 'en az birini yapanlar' konulu bir problem çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam kişi sayısından (birleşim) her iki sertifikaya da sahip olanları (kesişim) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz: (24+18−6)−6=30(24 + 18 - 6) - 6 = 30.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 32Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen "Dijital Dönüşüm" ve "Siber Güvenlik" seminerlerine toplam 6060 personel katılmıştır. Her bir personel bu seminerlerden en az birine katılmıştır. Sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanların sayısı, sadece Siber Güvenlik seminerine katılanların sayısının 22 katıdır. Her iki seminere de katılan personel sayısı 1212 olduğuna göre, Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam personel sayısı 44'tür.
Soruda verilen bilgilere göre sadece Siber Güvenlik seminerine katılanlara xx denildiğinde, sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanlar 2x2x olur. Her iki seminere katılan 1212 kişi ile birlikte tüm bu grupların toplamı (3x+123x + 12), seminerlere katılan toplam 6060 kişiyi vermelidir. Buradan x=16x = 16 bulunur. Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam kişi sayısı, sadece bu seminere katılan 3232 (2×162 \times 16) kişi ile her iki seminere de katılan 1212 kişinin toplamı olan 4444 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri isimlendirin ve değişken atayın.
Sadece Siber Güvenlik seminerine katılanların sayısına xx dersek, sadece Dijital Dönüşüm seminerine katılanların sayısı 2x2x olur.
Soruda verilen oran ilişkisini matematiksel bir dile dökmek için.
2
Kesişim kümesini ve evrensel küme (toplam) bilgisini yerleştirin.
Her iki seminere katılanlar 1212 kişidir. Toplam katılan sayısı 6060 olduğuna göre: 2x+x+12=602x + x + 12 = 60.
Her personel en az bir seminere katıldığına göre, kümelerin birleşimi toplam personel sayısına eşittir.
3
Denklemi çözerek xx değerini bulun.
3x+12=60⇒3x=48⇒x=163x + 12 = 60 \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16.
Sadece bir seminere katılanların sayılarını bulmak için bilinmeyeni çözmemiz gerekir.
4
Dijital Dönüşüm seminerine katılan toplam sayıyı hesaplayın.
Dijital Dönüşüm seminerine katılanlar = (Sadece Dijital Dönüşüm) + (Her ikisi) = 2x+12=2(16)+12=32+12=442x + 12 = 2(16) + 12 = 32 + 12 = 44.
Soruda sadece belli bir bölüm değil, o kümeye ait olan tüm elemanlar sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesim Problemleri

İpuçları

1
Şema çizerek Dijital Dönüşüm ve Siber Güvenlik kümelerini belirleyin.
2
Her iki seminere de katılan 1212 kişiyi kesişim bölgesine yerleştirin ve geriye kalan bölgeler için bilinmeyenli bir denklem kurun.
3
Toplam personel sayısı olan 6060'dan her iki seminere katılan 1212 kişiyi çıkarırsanız, sadece bir seminere katılanların toplam sayısını (4848) bulursunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, seminerlere hiç katılmayan bir grubun da olduğu (evrensel kümenin dış bölgesinin dolu olduğu) bir senaryo ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizdikten sonra kesişim bölgesine 1212 yazılır. Kalan bölgelere xx ve 2x2x yazıldıktan sonra tüm bölgelerin toplamı olan x+2x+12=60x + 2x + 12 = 60 denkleminden xx bulunur. Şemadaki Dijital Dönüşüm dairesinin içindeki tüm sayıların toplamı sonucu verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →

Bir kamu kurumunun bekleme salonunda bulunan 4040 personelden 2424'ü AA gazetesini, 2020'si BB gazetesini okumaktadır. Personellerden 88'i ise her iki gazeteyi de okuduğuna göre, bu personellerden kaçı bu iki gazeteden hiçbirini okumamaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İki gazeteden hiçbirini okumayan personel sayısı 4'tür.
Doğru sonuç, toplam mevcut olan 4040 kişiden, en az bir gazeteyi okuyan 3636 kişinin çıkarılmasıyla elde edilir. Birleşim kümesi formülü (n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A) + n(B) - n(A \cap B)) kullanılarak okuyanlar hesaplandığında 24+20−8=3624 + 20 - 8 = 36 sonucuna ulaşılır. 40−36=440 - 36 = 4 sayısı hiçbirini okumayanları temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1
En az bir gazeteyi okuyan personellerin (birleşim kümesinin) sayısını hesaplayın.
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=24+20−8=36n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 24 + 20 - 8 = 36
Birleşim kümesini bulurken kesişim kümesini bir kez çıkarmalıyız, aksi halde her iki gazeteyi okuyanları iki kez saymış oluruz.
2
Toplam mevcuttan en az bir gazete okuyanları çıkarın.
40−36=440 - 36 = 4
Tüm personelden gazete okuyanları çıkardığımızda geriye hiçbirini okumayan personeller kalır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve evrensel küme arasındaki ilişki

İpuçları

1
Bir Venn şeması çizerek her iki gazeteyi de okuyan 88 kişiyi kesişim bölgesine yerleştirin.
2
Sadece AA okuyanları bulmak için 24−824-8, sadece BB okuyanları bulmak için 20−820-8 işlemini yapın.
3
Okuyanların toplamını (birleşim kümesini) bulup 4040'tan çıkararak dışarıda kalanları bulun.

Daha Fazla Pratik

Kesişimin verilmediği ancak sadece birini okuyanların oranının verildiği daha karmaşık küme problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şemasında bölgeleri harflendirerek (a,b,c,da, b, c, d) çözebilirsiniz. a+b=24a+b=24, b+c=20b+c=20, b=8b=8 ve a+b+c+d=40a+b+c+d=40 denklemlerinden dd (hiçbiri) değerini çekebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 34Soru →

Bir bakanlık denetimi sırasında incelenen 4242 adet dosyanın tamamı "Mali Mevzuat" veya "İdari Prosedür" hatalarından en az birini içermektedir. Sadece Mali Mevzuat hatası içeren dosyaların sayısı, sadece İdari Prosedür hatası içeren dosyaların sayısının 22 katıdır. Her iki hata türünü de barındıran dosya sayısı 66 olduğuna göre, Mali Mevzuat hatası içeren toplam dosya sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Mali Mevzuat hatası içeren toplam dosya sayısı 30'dur.
İdari Prosedür hatası içeren bölgeye xx dendiğinde, Mali Mevzuat hatası içeren bölge 2x2x olur. Kesişimle beraber toplam 3x+6=423x+6=42 eşitliğinden x=12x=12 bulunur. Mali Mevzuat kümesi 2x+62x+6 elemandan oluştuğu için sonuç 3030 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin atanması
Sadece İdari Prosedür hatası içeren dosya sayısına xx denilirse, sadece Mali Mevzuat hatası içeren dosya sayısı 2x2x olur.
Problemde bu iki grup arasında bire iki oran olduğu belirtilmiştir.
2
Küme birleşim denkleminin kurulması
2x+x+6=422x + x + 6 = 42
Dosyaların tamamı en az bir hata içerdiği için, sadece ilk tür hatayı içerenler, sadece ikinci tür hatayı içerenler ve her iki hatayı da içerenlerin toplamı genel toplamı verir.
3
Denklemin çözülmesi
3x+6=42⇒3x=36⇒x=123x + 6 = 42 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12
Değişkenin değerini bulmak için aritmetik işlemler uygulanır.
4
İstenen değerin hesaplanması
Mali Mevzuat toplamı = 2x+6=2(12)+6=24+6=302x + 6 = 2(12) + 6 = 24 + 6 = 30
Toplam Mali Mevzuat kümesi, sadece bu hatayı içerenler ile her iki hatayı birden içerenlerin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Problemler ve Venn Şeması Uygulamaları

İpuçları

1
İki kümeyi temsil eden bir Venn şeması çizmeyi ve kesişim bölgesine 66 yazmayı deneyin.
2
"Sadece" kelimesinin geçtiği kısımları değişkenlerle (xx ve 2x2x) şemaya yerleştirin.
3
Tüm bölgelerin toplamını 4242'ye eşitleyerek xx değerini bulun ve sonra Mali Mevzuat dairesinin içindeki tüm sayıları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Kesişimi bilinmeyen veya hiç hata içermeyen (dış bölge) dosyaların da olduğu daha karmaşık küme problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kümelerin eleman sayısı formülü kullanılabilir: s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B). Burada 42=2x+x+642 = 2x + x + 6 yazılarak doğrudan bölge elemanları üzerinden gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 35Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan denetimde, personelin sahip olduğu üç farklı yetkinlik belgesi incelenmiştir: 'Analitik Düşünme (A)', 'Bilgisayar İşletmenliği (B)' ve 'C Düzeyi Yabancı Dil (C)'.

Bu denetimle ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Kurumda toplam 60 personel bulunmaktadır ve her personel en az bir belgeye sahiptir.
* C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesine sahip olan her personelin, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi de bulunmaktadır.
* Analitik Düşünme (A) belgesi olan 35, Bilgisayar İşletmenliği (B) belgesi olan 40 ve C Düzeyi Yabancı Dil (C) belgesi olan 15 kişi vardır.
* Yalnızca bir çeşit belgeye sahip olan personellerin toplam sayısı, her üç belgeye de sahip olanların sayısının 4 katıdır.

Buna göre, sadece Analitik Düşünme ve Bilgisayar İşletmenliği belgelerine sahip olup Yabancı Dil belgesi olmayan personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Sadece A ve B belgelerine sahip olup C belgesi olmayan personel sayısı 5'tir.
Verilen C⊂BC \subset B koşulu, C kümesinin B kümesinin tamamen içinde olduğunu gösterir. Denklemler kurulduğunda, her üç belgeye sahip kişi sayısı (xx) 10 olarak bulunur. Soruda istenen 'Sadece A ve B'ye sahip' bölge (zz) ise 15−x15 - x bağıntısından 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve verilenleri tanımla.
C ⊂ B olduğu için C kümesi B'nin içindedir. A kümesi her ikisiyle kesişebilir. Bölgeler: Yalnız A (a), Yalnız B (b), Sadece A ve B (z), Sadece B ve C (y), Hepsi (x).
Alt küme ilişkisi (C ⊂ B), Venn şemasındaki bölge sayısını azaltır ve denklemleri basitleştirir.
2
Verilen sayıları denklemlere dök.
1) x + y = 15 (C kümesi)
2) b + z + x + y = 40 (B kümesi)
3) a + z + x = 35 (A kümesi)
4) a + b + z + y + x = 60 (Toplam)
5) a + b = 4x (Yalnız bir belge şartı)
Problemi çözmek için her bölgeyi temsil eden bilinmeyenlerle matematiksel model oluşturulmalıdır.
3
Denklemleri çözerek x (hepsi) ve z (istenen) değerlerini bul.
x + y = 15 ve b + z + 15 = 40 ise b + z = 25.
Toplam denkleminden: 35 (A) + b + y = 60 => b + y = 25.
Buradan z = y sonucu çıkar. y = 15 - x olduğu için z = 15 - x.
b + y = 25 denkleminde y yerine 15-x koyarsak: b = x + 10.
a + b = 4x denkleminde b yerine x+10 koyarsak: a = 3x - 10.
A kümesi denkleminde (a + z + x = 35) yerine koyalım: (3x - 10) + (15 - x) + x = 35 => 3x + 5 = 35 => 3x = 30 => x = 10.
İstenen z = 15 - 10 = 5.
Bilinmeyenleri birbirine bağlayarak ve yerine koyma metodunu kullanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Alt Küme ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1
C kümesi B kümesinin alt kümesi olduğu için (C⊂BC \subset B), Venn şemasında C dairesini B dairesinin içine çizmelisin.
2
Bilinmeyenleri azaltmak için bölgelere harf ver: Her üçü xx, sadece B ve C yy, sadece A ve B zz olsun. x+y=15x + y = 15 bilgisini kullan.
3
Toplam formülü A∪B=s(A)+s(B)−s(A∩B)A \cup B = s(A) + s(B) - s(A \cap B) mantığını burada bölgeleri toplayarak uygula. a+b+z+y+x=60a+b+z+y+x = 60 ve a+b=4xa+b = 4x denklemlerini birleştir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde çalışan 4040 personelin tamamı C++ veya Python programlama dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personellerden 2525'i C++, 2323'ü ise Python bilmektedir.

Buna göre, her iki programlama dilini de bilen personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Her iki dili de bilen personel sayısı 8'dir.
Toplam personel sayısı, her bir dili bilenlerin toplamından her iki dili bilenlerin (kesişim) çıkarılmasına eşittir. Matematiksel olarak 40=25+23−x40 = 25 + 23 - x denklemi kurulur. Buradan 40=48−x40 = 48 - x ve x=8x=8 bulunur. Yani 8 kişi her iki dili de bilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri küme notasyonu ile tanımla.
Evrensel küme (toplam personel) s(A∪B)=40s(A \cup B) = 40. C++ bilenler s(A)=25s(A) = 25. Python bilenler s(B)=23s(B) = 23. Bizden istenen s(A∩B)s(A \cap B) değeridir.
Problemi matematiksel formüle dökmek için verileri ayrıştırmak gerekir.
2
Birleşim kümesi formülünü kullan.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü kullanılır.
İki kümenin birleşimi, eleman sayılarının toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.
3
Değerleri yerine koyarak denklemi çöz.
40=25+23−s(A∩B)⇒40=48−s(A∩B)⇒s(A∩B)=840 = 25 + 23 - s(A \cap B) \Rightarrow 40 = 48 - s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 8.
Bilinmeyen kesişim değerini bulmak için işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim Formülü: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

İpuçları

1
C++ bilenler ile Python bilenlerin toplamını bulup, bu toplamın mevcut personel sayısından (40) ne kadar fazla olduğuna bakabilirsiniz.
2
Toplam sayı (25+23=4825 + 23 = 48) mevcut kişi sayısından (4040) fazladır. Bu fazlalık, her iki grupta da sayılan kişileri (kesişimi) gösterir.
3
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünde 40=25+23−x40 = 25 + 23 - x eşitliğini çözmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'sadece bir dili bilenler' sorulduğunda nasıl bir yol izleneceği üzerine çalışılabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 37Soru →

Bir kamu kurumunun ihale komisyonu tarafından incelenen 80 adet hizmet alım dosyasında; "Teminat Mektubu", "İş Bitirme Belgesi" ve "Personel Taahhüdü" olmak üzere üç farklı eksiklik türü tespit edilmiştir.

Eksikliklerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Personel taahhüdü eksikliği bulunan her dosyada, aynı zamanda İş bitirme belgesi eksikliği de bulunmaktadır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan dosyaların hiçbirinde Personel taahhüdü eksikliği yoktur.
* Sadece tek tür eksikliği bulunan dosya sayısı, tam olarak iki tür eksikliği bulunan dosya sayısının 3 katıdır.
* Teminat mektubu eksikliği bulunan toplam dosya sayısı, İş bitirme belgesi eksikliği bulunan toplam dosya sayısına eşittir.

Sadece İş bitirme belgesi eksikliği olan dosya sayısı, Personel taahhüdü eksikliği olan dosya sayısından 12 fazladır.

Buna göre, sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece Teminat mektubu eksikliği bulunan dosya sayısı 36'dır.
Verilen koşullara göre, Personel taahhüdü eksikliği (P) İş bitirme belgesi eksikliğinin (İ) alt kümesidir (P⊂I˙P \subset İ). Teminat mektubu (T) ile P ayrıktır. Bu yapı kurulup denklem sistemi çözüldüğünde, sadece Teminat mektubu eksikliği olan dosya sayısı (xx) 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri harflendir.
T: Teminat, İ: İş Bitirme, P: Personel.
Sadece T olanlar: xx
Sadece İ olanlar: yy
Sadece P olanlar: ∅\emptyset (P, İ'nin alt kümesi olduğu için P'deki her eleman aynı zamanda İ'dedir, yani 2 eksikliği vardır)
T ve İ kesişimi (sadece): zz
P kümesi (P ve İ kesişimi): tt
Problemdeki 'alt küme' ve 'ayrık küme' ilişkilerini matematiksel modele dökmek için.
2
Verilen ilişkileri denklemlere dönüştür.
1. Toplam dosya: x+y+z+t=80x + y + z + t = 80
2. Tek tür eksiklik (x+yx+y) = 3 * İki tür eksiklik (z+tz+t)
3. n(T)=n(I˙)⇒x+z=y+z+t⇒x=y+tn(T) = n(İ) \Rightarrow x + z = y + z + t \Rightarrow x = y + t
4. y=t+12y = t + 12
Sözel ifadeleri cebirsel eşitliklere çevirmek.
3
Denklem sistemini çöz.
(x+y)=3(z+t)(x+y) = 3(z+t) ve toplam 80 ise ⇒4(z+t)=80⇒z+t=20\Rightarrow 4(z+t) = 80 \Rightarrow z+t=20.
Bu durumda x+y=60x+y=60.
x=y+tx = y+t denklemini x+y=60x+y=60'ta yerine koy: (y+t)+y=60⇒2y+t=60(y+t) + y = 60 \Rightarrow 2y + t = 60.
Bilinmeyen sayısını azaltarak çözüme gitmek.
4
İki bilinmeyenli denklemi çözerek xx'i bul.
2y+t=602y + t = 60 ve y−t=12y - t = 12.
Taraf tarafa topla: 3y=72⇒y=243y = 72 \Rightarrow y = 24.
t=12t = 12.
x=y+t=24+12=36x = y + t = 24 + 12 = 36.
Soruda istenen 'Sadece Teminat mektubu eksikliği' (xx) değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Kümelerde Alt Küme ve Ayrık Küme Problemleri

İpuçları

1
Kümeleri çizerken 'Personel' kümesini 'İş Bitirme' kümesinin içine çizin. 'Teminat' kümesi ile 'Personel' kümesinin kesişmediğine dikkat edin.
2
Toplam dosya sayısını bölgelere ayırın: Sadece T (xx), Sadece İ (yy), T ve İ kesişimi (zz), P kümesi (tt). P kümesindeki elemanların hem P hem İ özelliğine sahip olduğunu (yani 2 eksiklik sayıldığını) unutmayın.
3
x+y=3(z+t)x+y = 3(z+t) ve x+y+z+t=80x+y+z+t=80 denklemlerini kullanarak önce x+yx+y ve z+tz+t toplamlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'Her üç eksikliğin de bulunduğu' bir durum ekleyerek ve toplam sayıyı değiştirerek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam 80 dosya var. Tek tür eksiklik (AA) ve iki tür eksiklik (BB) olsun. A=3BA = 3B ve A+B=80A+B=80 ise 4B=80⇒B=20,A=604B=80 \Rightarrow B=20, A=60. n(T)=n(I˙)n(T)=n(İ) olduğundan ve simetriden yola çıkarak, fark denklemiyle (y−t=12y-t=12) yerine koyma yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

Bir kamu kurumuna iş başvurusu yapan 45 adaydan her biri "Yüksek Lisans Mezuniyeti" veya "Yabancı Dil Belgesi" kriterlerinden en az birine sahip olabilir; ancak adayların bir kısmında bu özelliklerin hiçbiri bulunmamaktadır.

Bu adaylardan 25'inin yüksek lisans mezuniyeti, 22'sinin yabancı dil belgesi vardır. 8 adayın ise bu iki özelliğe de sahip olmadığı bilinmektedir.

Buna göre, bu adaylardan kaç tanesi sadece bir özelliğe sahiptir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Sadece bir özelliğe sahip olan aday sayısı 27'dir.
Toplam 45 adaydan 8'i hiçbir özelliğe sahip değilse, geriye kalan 37 aday en az bir özelliğe sahiptir. Yüksek lisansı olan 25 kişi ile yabancı dili olan 22 kişinin toplamı 47 eder. Bu toplamın birleşim sayısı olan 37'den fazla olmasının sebebi, her iki özelliğe sahip olanların iki kez sayılmış olmasıdır. Bu fark (47 - 37 = 10) kesişim kümesini verir. Sadece bir özelliği olanlar ise; sadece yüksek lisansı olan (25 - 10 = 15) ve sadece yabancı dili olan (22 - 10 = 12) adayların toplamı olan 27'dir.

Adım Adım Çözüm

1
En az bir özelliğe sahip olan aday sayısını (M∪LM \cup L) hesaplayın.
45−8=3745 - 8 = 37
Toplam aday sayısından hiçbir özelliğe sahip olmayanları çıkardığımızda, en az bir kritere uyan adayların sayısını buluruz.
2
Her iki özelliğe de sahip olan aday sayısını (M∩LM \cap L) bulun.
s(M∪L)=s(M)+s(L)−s(M∩L)⇒37=25+22−s(M∩L)⇒s(M∩L)=10s(M \cup L) = s(M) + s(L) - s(M \cap L) \Rightarrow 37 = 25 + 22 - s(M \cap L) \Rightarrow s(M \cap L) = 10
Birleşim kümesi formülünü kullanarak hem yüksek lisansı hem de dil belgesi olanların sayısını belirleriz.
3
Sadece bir özelliğe sahip olan bölgelerin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.
Sadece Yüksek Lisans: 25−10=1525 - 10 = 15; Sadece Yabancı Dil: 22−10=1222 - 10 = 12
Toplam özellik sayılarından kesişim bölgesini çıkararak sadece ilgili özelliğe sahip olan adaylara ulaşırız.
4
Sadece bir özelliği olan adayların toplamını bulun.
15+12=2715 + 12 = 27
Soruda istenen 'sadece bir özellik' ifadesi, bu iki bölgenin toplamını temsil eder.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Formülü

İpuçları

1
Tüm aday sayısından hiçbir özelliğe sahip olmayan 8 kişiyi çıkararak işleme başlayın.
2
Bulduğunuz bu sayı (37), kümelerin birleşimini (s(M∪L)s(M \cup L)) temsil eder. Şimdi s(M)+s(L)s(M) + s(L) toplamından bu birleşimi çıkararak ortak bölgeyi bulun.
3
Kesişim kümesini 10 olarak bulduktan sonra, Venn şeması üzerinde sadece bir daireye ait olan bölgeleri (15 ve 12) toplayın.

Daha Fazla Pratik

Üçlü küme problemlerinde benzer mantığı uygulayarak 'en az iki' veya 'en çok bir' kavramlarını çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru birleşim kümesinden (M∪LM \cup L) kesişim kümesini (M∩LM \cap L) çıkararak da çözülebilir: 37−10=2737 - 10 = 27.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 39Soru →

Bir ihracat firmasında çalışan 4848 personelin her biri İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personellerden İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Fransızca bilenlerin sayısının 33 katıdır. Ayrıca sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili de bilenlerin sayısından 66 fazladır. Buna göre, bu firmada sadece İngilizce bilen kaç personel vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Sadece İngilizce bilen personel sayısı 21'dir.
Toplam personel sayısı 4848'dir. Sadece Fransızca bilenlere xx dersek, İngilizce bilenlerin tamamı 3x3x olur. Toplam sayı x+3x=48x + 3x = 48 olduğundan 4x=484x=48 ve x=12x=12 bulunur. İngilizce bilenlerin toplamı 3636'dır. Sadece İngilizce bilenler (zz), her iki dili bilenlerden (yy) 66 fazla olduğuna göre ve y+z=36y+z=36 ise; y+(y+6)=36y + (y+6) = 36 denkleminden 2y=302y=30, y=15y=15 bulunur. Sadece İngilizce bilenler z=15+6=21z = 15 + 6 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.
Sadece Fransızca bilenler = xx, Her ikisini bilenler = yy, Sadece İngilizce bilenler = zz. Herkes en az bir dil bildiği için evrensel küme x+y+z=48x + y + z = 48.
Problemi matematiksel denklemlere dökebilmek için değişken atamak gerekir.
2
Verilen ilişkileri denkleme dök.
İngilizce bilenler (y+zy+z) sadece Fransızca bilenlerin (xx) 3 katıdır: y+z=3xy + z = 3x. Sadece İngilizce bilenler (zz) her iki dili bilenlerden (yy) 6 fazladır: z=y+6z = y + 6.
Sözel ifadeler matematiksel eşitliklere dönüştürülür.
3
Toplam personel denkleminde yerine koyarak xx'i bul.
x+(y+z)=48x + (y + z) = 48 denkleminde (y+z)(y+z) yerine 3x3x yazılır: x+3x=48⇒4x=48⇒x=12x + 3x = 48 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12.
Tek bilinmeyenli denklemden temel değişkenlerden biri bulunur.
4
Diğer değişkenleri hesapla ve istenen değeri bul.
y+z=3x=3(12)=36y + z = 3x = 3(12) = 36. Ayrıca z=y+6z = y + 6 olduğu için y+(y+6)=36⇒2y=30⇒y=15y + (y + 6) = 36 \Rightarrow 2y = 30 \Rightarrow y = 15. Son olarak z=15+6=21z = 15 + 6 = 21.
Bulunan xx değeri ve diğer denklemler kullanılarak sadece İngilizce bilenler (zz) hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma
Soru 40Soru →

Bir üniversitenin araştırma merkezinde yürütülen 90 adet proje; 'TÜBİTAK', 'Avrupa Birliği' ve 'Sanayi İşbirliği' olmak üzere üç farklı destek programından en az birinden onay almıştır. Bu projelerin onay durumları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısı, her üç programdan da onay alan proje sayısının 4 katıdır.
* Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, en az iki farklı programdan onay alan projelerin toplam sayısının 2 katıdır.

Buna göre, sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece tek bir programdan onay alan proje sayısı, sadece iki farklı programdan onay alan proje sayısından 36 fazladır.
Verilen bilgilere göre her üç onayı alanlara kk dediğimizde, sadece iki onayı alanlar 4k4k olur. 'En az iki onay alanlar' bu ikisinin toplamı olan 5k5k'dır. Sadece tek onay alanlar ise bunun 2 katı yani 10k10k'dır. Toplam proje sayısı 15k=9015k = 90 olduğundan k=6k=6 bulunur. İstenen fark 10k−4k=6k=3610k - 4k = 6k = 36 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade et.
Her üç programdan onay alan proje sayısına kk diyelim. Sadece iki programdan onay alanların sayısı 4k4k olur.
Sorudaki birinci koşul kullanılarak değişkenler arasındaki ilişki kurulur.
2
'En az iki' ifadesini matematiksel olarak tanımla.
En az iki programdan onay alanlar = (Sadece iki programdan onay alanlar) + (Her üç programdan onay alanlar) = 4k+k=5k4k + k = 5k.
'En az' kavramı, belirtilen sayı ve üzerini kapsar.
3
Sadece tek bir programdan onay alanların sayısını bul.
Sadece tek programdan onay alanlar, en az iki programdan onay alanların (5k5k) 2 katıdır. Yani 2×5k=10k2 \times 5k = 10k.
Sorudaki ikinci koşul kullanılarak tüm gruplar kk cinsinden ifade edilir.
4
Toplam proje sayısı üzerinden denklemi kur ve çöz.
Toplam = (Sadece tek) + (Sadece iki) + (Her üçü) = 10k+4k+k=15k10k + 4k + k = 15k. 15k=9015k = 90 ise k=6k = 6 bulunur.
Tüm alt kümelerin birleşimi evrensel kümeyi (toplam proje sayısı) verir.
5
İstenen farkı hesapla.
Sadece tek onay alan (10k=6010k = 60) - Sadece iki onay alan (4k=244k = 24) = 60−24=3660 - 24 = 36.
Bulunan kk değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerle Problem Çözümü (Venn Şeması Mantığı)

İpuçları

1
Projeleri üç gruba ayırarak düşünün: Sadece 1 onay alanlar, sadece 2 onay alanlar ve 3 onay alanlar.
2
3 onay alanların sayısına xx (veya kk) diyerek diğer grupları bu değişken cinsinden yazmaya çalışın. 'En az iki' ifadesinin, 'sadece iki' ve 'üçü birden' gruplarını kapsadığını unutmayın.
3
Toplam proje sayısı (90), şu denkleme eşittir: (Sadece 1 onay) + (Sadece 2 onay) + (3 onay). Değişkenlerinizi yerine koyarak 15k=9015k = 90 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en çok iki' ifadesini içeren ve evrensel kümenin dışında (hiçbiri) eleman bulunan bir problem çözünüz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bölgeye değişken atamak (aa, bb, cc gibi) ve verilen sözel ifadeleri bu bölgelerin toplamı olarak yazmak görsel çözüm sağlar.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Küme Problemleri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin