Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Çoklu doğrusal regresyon modelinin $Y = X\beta + u$ şeklindeki matrisel gösteriminde, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi olan $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ vektörünün hesaplanabilmesi ve parametre katsayılarının tek bir çözümle (unique solution) elde edilebilmesi için gerekli olan temel matris varsayımı aşağıdakilerden hangisidir?

X

veri matrisinin tam sütun rankına sahip olması (

rank(X) = k

)

Hata terimlerinin (

u

) normal dağılıma sahip olması

Gözlem sayısının (

n

), tahmin edilecek parametre sayısından (

k

) küçük olması

Bağımsız değişkenler arasında yüksek (ancak tam olmayan) korelasyon bulunması

Hata terimlerinin varyans-kovaryans matrisinin köşegen dışı elemanlarının sıfırdan farklı olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ veri matrisinin tam sütun rankına sahip olması ( $rank(X) = k$ )

Cevap

Veri matrisinin tam sütun rankına sahip olması (

rank(X) = k

), katsayıların tekil olarak belirlenebilmesi için zorunlu olan 'tam çoklu doğrusal bağlantı yokluğu' varsayımıdır.

En Küçük Kareler (EKK) yönteminde katsayılar vektörü

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

işlemiyle bulunur. Bu matematiksel işlemin gerçekleşebilmesi için

(X'X)

matrisinin determinantı sıfırdan farklı (non-singular) olmalıdır. Bu durumun sağlanması için temel varsayım, bağımsız değişkenler arasında tam doğrusal bağımlılık bulunmaması, yani

X

matrisinin tam sütun rankına (

rank(X) = k

) sahip olmasıdır. Aksi takdirde parametreler için tek bir çözüm üretilemez.

Adım Adım Çözüm

1

EKK tahmin edicisi formülünü analiz etme

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

formülünde

(X'X)^{-1}

ifadesinin varlığı, bu matrisin tersinin (inverse) alınabilir olmasını gerektirir.

Bir matrisin tersi yoksa (singular ise), denklem sisteminin tek bir çözümü yoktur; sonsuz sayıda çözüm üretilir.

2

Matris tersi için rank koşulunu belirleme

X'X

matrisinin tersinin alınabilmesi için

X

matrisinin sütunları arasında tam doğrusal bağımlılık olmamalıdır.

Eğer bir bağımsız değişken diğerlerinin tam bir doğrusal katıysa (

X_j = c X_i

), matrisin determinantı sıfır olur ve tersi hesaplanamaz.

3

Varsayımın adını tanımlama

Bu durum 'Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı Yokluğu' (No Perfect Multicollinearity) veya 'Tam Rank' (Full Rank) varsayımıdır.

rank(X) = k

olması,

k

adet bağımsız değişkenin (sabit terim dahil) her birinin modele benzersiz bilgi kattığını garanti eder.

Anahtar Kavram

Tam Rank Varsayımı (Full Rank Assumption)

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenler arasında tam doğrusal bağlantı olduğunda ortaya çıkan 'Kukla Değişken Tuzağı' (Dummy Variable Trap) konusunu inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Üç değişkenli bir regresyon çalışmasında değişkenler arasındaki basit korelasyon katsayıları şu şekilde hesaplanmıştır:

Değişken Çifti	Korelasyon Katsayısı
Ekonomik Büyüme ( $Y$ ) - İhracat Hacmi ( $X_1$ )	$0,30$
Ekonomik Büyüme ( $Y$ ) - Yatırım Seviyesi ( $X_2$ )	$0,80$
İhracat Hacmi ( $X_1$ ) - Yatırım Seviyesi ( $X_2$ )	$0,60$

Buna göre, yatırım seviyesinin ( $X_2$ ) etkisi arındırıldığında ekonomik büyüme ( $Y$ ) ile ihracat hacmi ( $X_1$ ) arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{YX_1.X_2}$ ) kaçtır?

-0,375

0,375

-0,180

0,480

0,800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-0,375$

Cevap

Ekonomik büyüme ve ihracat hacmi arasındaki kısmi korelasyon katsayısı

-0,375

olarak hesaplanır.

Verilen korelasyon değerleri kısmi korelasyon formülünde yerine konulduğunda, pay kısmındaki farkın

-0,18

ve paydadaki karekök içindeki değerlerin çarpımının karekökünün

0,48

olduğu görülür. Bu iki değerin birbirine oranı olan

-0,375

, yatırım seviyesinin etkisi sabit tutulduğunda büyüme ve ihracat arasındaki gerçek ilişkiyi temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon formülünü belirle.

r_{12.3} = \frac{r_{12} - r_{13}r_{23}}{\sqrt{(1-r_{13}^2)(1-r_{23}^2)}}

Üçüncü bir değişkenin etkisi sabit tutulduğunda iki değişken arasındaki ilişki bu formülle hesaplanır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koy.

r_{YX_1.X_2} = \frac{0,30 - (0,80 \times 0,60)}{\sqrt{(1-0,80^2)(1-0,60^2)}}

Y=1, X_1=2, X_2=3

olarak atanmıştır.

3

Pay kısmındaki işlemi gerçekleştir.

0,30 - 0,48 = -0,18

İhracat ve büyüme arasındaki basit korelasyondan, ortak değişken olan yatırımın dolaylı etkisi çıkarılır.

4

Payda kısmındaki işlemi gerçekleştir.

\sqrt{(1-0,64)(1-0,36)} = \sqrt{0,36 \times 0,64} = 0,6 \times 0,8 = 0,48

Değişkenlerin açıklanmayan varyanslarının geometrik ortalaması hesaplanır.

5

Payı paydaya bölerek nihai sonucu elde et.

-0,18 / 0,48 = -0,375

Nihai kısmi ilişki katsayısı negatif bir yön kazanmıştır.

Anahtar Kavram

Kısmi korelasyon katsayısı, bir değişkenin etkisini kontrol ederek diğer iki değişken arasındaki 'saf' ilişkiyi ölçer.

Soru 23Soru →

Bir ekonomik araştırmada, bir ülkenin toplam ithalatı ( $Y$ ), reel gayrisafi yurt içi hasılası ( $X_1$ ) ve reel döviz kuru ( $X_2$ ) arasındaki doğrusal ilişkiler incelenmiştir. Yapılan analiz sonucunda değişkenler arasındaki basit korelasyon katsayıları şu şekilde hesaplanmıştır:

Değişken Çifti	Basit Korelasyon ( $r$ )
İthalat ( $Y$ ) - GSYH ( $X_1$ )	$0,72$
İthalat ( $Y$ ) - Döviz Kuru ( $X_2$ )	$0,60$
GSYH ( $X_1$ ) - Döviz Kuru ( $X_2$ )	$0,80$

Buna göre, döviz kurunun ( $X_2$ ) etkisi sabit tutulduğunda, ithalat ( $Y$ ) ile GSYH ( $X_1$ ) arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{YX_1.X_2}$ ) kaçtır?

0,50

0,24

0,48

0,72

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,50$

Cevap

İthalat ile GSYH arasındaki kısmi korelasyon katsayısı

0,50

olarak hesaplanır.

Verilen basit korelasyon katsayıları (

r_{YX_1}=0,72

,

r_{YX_2}=0,60

ve

r_{X_1X_2}=0,80

) kısmi korelasyon formülünde yerine konulduğunda pay

0,24

ve payda

0,48

çıkmaktadır. Bu oran sonucunda elde edilen

0,50

değeri, döviz kurunun etkisi dışlandığında ithalat ile GSYH arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon formülünü yazınız.

r_{YX_1.X_2} = \frac{r_{YX_1} - r_{YX_2}r_{X_1X_2}}{\sqrt{(1-r_{YX_2}^2)(1-r_{X_1X_2}^2)}}

İki değişken arasındaki ilişkiyi, üçüncü bir değişkenin etkisinden arındırmak için bu formül kullanılır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyunuz.

r_{YX_1.X_2} = \frac{0,72 - (0,60 \times 0,80)}{\sqrt{(1-0,60^2)(1-0,80^2)}}

r_{YX_1}=0,72

,

r_{YX_2}=0,60

ve

r_{X_1X_2}=0,80

değerleri yerleştirilir.

3

Pay ve payda işlemlerini gerçekleştiriniz.

Pay:

0,72 - 0,48 = 0,24

. Payda:

\sqrt{(1-0,36)(1-0,64)} = \sqrt{0,64 \times 0,36} = 0,8 \times 0,6 = 0,48

.

Karelerin alınması ve çıkarma işlemlerinin tamamlanması gerekir.

4

Son bölme işlemini yaparak katsayıyı bulunuz.

0,24 / 0,48 = 0,50

Payın paydaya oranı nihai kısmi korelasyonu verir.

Anahtar Kavram

Kısmi korelasyon, bir değişkenin etkisini kontrol altında tutarak diğer iki değişken arasındaki 'saf' ilişkiyi ölçer.

Alternatif Yöntem

Varyans açıklama oranları üzerinden gitmek mümkün olsa da, basit korelasyonlar verildiğinde doğrudan kısmi korelasyon formülü en hızlı yöntemdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir ekonomi araştırmacısı, $n = 24$ aylık veriyi kullanarak bir ülkenin ihracat performansını ( $Y$ ) açıklamak üzere enflasyon oranı ( $X_1$ ), reel döviz kuru ( $X_2$ ) ve kapasite kullanım oranı ( $X_3$ ) değişkenlerinden oluşan bir çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir. Modelin En Küçük Kareler (EKK) tahmin sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Katsayı ( $\hat{\beta}$ )	Standart Hata ( $SE$ )
Sabit	$12,50$	$4,20$
Enflasyon ( $X_1$ )	$-0,40$	$0,15$
Döviz Kuru ( $X_2$ )	$0,60$	$0,20$
Kapasite Kullanım ( $X_3$ )	$0,10$	$0,08$

Buna göre, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde döviz kuru ( $X_2$ ) değişkeninin ihracat üzerindeki etkisinin bireysel olarak anlamlılığını test etmek için kullanılan hesaplanmış $t$ istatistiği ( $t_{hesap}$ ) ve bu testin serbestlik derecesi ( $sd$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

( $t_{0,025; 20} = 2,086$ ; $t_{0,025; 21} = 2,080$ ; $F_{0,05; 3, 20} = 3,10$ )

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 20

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 21

t_{hesap} = 0,33

ve

sd = 20

t_{hesap} = 3,10

ve

sd = 20

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_{hesap} = 3,00$ ve $sd = 20$

Cevap

Döviz kuru değişkeni için hesaplanan t istatistiği

3,00

ve ilgili testin serbestlik derecesi

20

olarak hesaplanır.

Hesaplanan t değeri, ilgili değişkenin katsayısının (

0,60

) kendi standart hatasına (

0,20

) bölünmesiyle

3,00

olarak bulunur. Serbestlik derecesi ise

24

gözlemden

3

bağımsız değişken ve

1

sabit terim (toplam

4

parametre) çıkarılarak

20

olarak hesaplanır. Bu değerler bireysel anlamlılık testinin temel bileşenleridir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin (

sd

) hesaplanması

sd = 24 - 3 - 1 = 20

Çoklu doğrusal regresyonda serbestlik derecesi

n - k - 1

(gözlem sayısı - bağımsız değişken sayısı - 1) formülüyle bulunur.

2

Hesaplanan t istatistiğinin (

t_{hesap}

) bulunması

t_{hesap} = 0,60 / 0,20 = 3,00

Bir regresyon katsayısının bireysel anlamlılığı, katsayı tahmininin kendi standart hatasına bölünmesiyle elde edilen t istatistiği ile test edilir.

3

İstatistiselsel anlamlılığın yorumlanması

3,00 > 2,086

(Red bölgesi)

Hesaplanan t değeri (

3,00

), verilen serbestlik derecesindeki tablo kritik değerinden (

2,086

) büyük olduğu için döviz kuru değişkeninin ihracat üzerindeki etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyon modelinde bireysel parametrelerin anlamlılığı t-testi ile sınanır ve serbestlik derecesi modeldeki toplam parametre sayısı (sabit dahil) gözlem sayısından çıkarılarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Bir araştırmacı, bir ildeki konut fiyatlarını ( $Y$ , bin TL), konutun büyüklüğü ( $X_1$ , $m^2$ ) ve şehir merkezine olan uzaklığı ( $X_2$ , km) değişkenlerini kullanarak aşağıdaki çoklu doğrusal regresyon modelini tahmin etmiştir:

\hat{Y} = 450 + 2,5 X_1 - 12 X_2

Tahmin edilen bu modele göre, konut büyüklüğü değişkenine ait olan $2,5$ katsayısının doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

Şehir merkezine olan uzaklık sabit tutulduğunda, konut büyüklüğündeki 1

m^2

'lik artış, konut fiyatında ortalama 2,5 bin TL'lik bir artışa neden olur.

Konut büyüklüğündeki 1

m^2

'lik artış, konut fiyatında ortalama 2,5 bin TL'lik bir artışa neden olur.

Konut fiyatındaki değişimin %2,5'i konut büyüklüğü değişkeni tarafından açıklanmaktadır.

Konut büyüklüğü katsayısı %5 anlamlılık düzeyinde istatistiksel olarak 2,5 değerine eşittir.

Modelde çoklu doğrusal bağlantı olduğu için konut büyüklüğündeki artış fiyatı 2,5 birimden daha az etkilemektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Şehir merkezine olan uzaklık sabit tutulduğunda, konut büyüklüğündeki 1 $m^2$ 'lik artış, konut fiyatında ortalama 2,5 bin TL'lik bir artışa neden olur.

Cevap

Şehir merkezine olan uzaklık sabit tutulduğunda, konut büyüklüğündeki 1 birimlik artışın konut fiyatında neden olduğu 2,5 birimlik artış doğru yorumdur.

Çoklu doğrusal regresyon modellerinde her bir bağımsız değişkenin katsayısı, modeldeki diğer bağımsız değişkenlerin değerleri sabit tutulduğunda (ceteris paribus), ilgili bağımsız değişkendeki bir birimlik değişimin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisini gösterir. Bu nedenle konut büyüklüğü (

X_1

) yorumlanırken uzaklığın (

X_2

) sabit tutulduğu mutlaka belirtilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Modeldeki değişkenlerin rollerini belirleyin.

Y

bağımlı değişken,

X_1

ve

X_2

bağımsız değişkenlerdir.

Katsayı yorumu yapabilmek için hangi değişkenin neyi temsil ettiği bilinmelidir.

2

Kısmi regresyon katsayısının tanımını uygulayın.

Çoklu regresyonda bir katsayı yorumlanırken 'diğer bağımsız değişkenler sabitken' ifadesi eklenmelidir.

Çoklu regresyon, bir değişkenin etkisini diğerlerinin etkisinden arındırarak (kısmi olarak) ölçer.

3

Matematiksel katsayıyı sözel ifadeye dökün.

X_1

'deki 1 birimlik (

1 m^2

) artış,

Y

'de (

450 + 2,5(X_1+1) - 12X_2 - [450 + 2,5X_1 - 12X_2]

) 2,5 birimlik (2,5 bin TL) artışa yol açar.

Katsayının işareti pozitif olduğu için artış yönünde bir etki söz konusudur.

Anahtar Kavram

Kısmi Regresyon Katsayısı (Ceteris Paribus)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

$n$ adet gözlem birimi ve sabit terim dahil $p$ adet parametreden oluşan bir çoklu doğrusal regresyon modelinin matrisel gösterimi $Y = X\beta + \epsilon$ şeklindedir. Bu modelde tanımlanan $H = X(X'X)^{-1}X'$ matrisi (Hat matrisi) için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

H

matrisi idempotent bir matristir ve

H^2 = H

özelliğini taşır.

H

matrisinin boyutu

p \times p

olup, köşegen elemanlarının toplamı

n

değerine eşittir.

H

matrisinin izi (trace), modeldeki hata terimlerinin serbestlik derecesi olan

n-p

değerine eşittir.

X

matrisinin boyutu

p \times n

olup,

X'X

matrisi her zaman tekil (singular) bir matristir.

H

matrisi simetrik bir matris değildir ve

H \cdot e = Y

eşitliğini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H$ matrisi idempotent bir matristir ve $H^2 = H$ özelliğini taşır.

Cevap

Hat matrisi idempotent bir matristir ve

H^2 = H

özelliğini taşır.

Hat matrisi

H = X(X'X)^{-1}X'

olarak tanımlanır. Bu matrisin kendisiyle çarpımı (

H \cdot H

) yapıldığında, ortadaki

X'X

ve

(X'X)^{-1}

terimleri birim matris oluşturarak yok olur ve sonuç yine

H

matrisine eşit çıkar. Bu özellik matris cebirinde 'idempotent' olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Matris boyutlarını belirleme

X

matrisi

n \times p

,

X'

matrisi

p \times n

boyutundadır.

H matrisinin tanımı olan

X(X'X)^{-1}X'

işleminde boyut uyumunu kontrol etmek gerekir.

2

H matrisinin boyutunu hesaplama

H = (n \times p) \times (p \times p) \times (p \times n) = n \times n

.

Matris çarpımı kuralları gereği ortadaki boyutlar sadeleşir.

3

İdempotentlik özelliğini kanıtlama

H \cdot H = [X(X'X)^{-1}X'] \cdot [X(X'X)^{-1}X'] = X(X'X)^{-1}(X'X)(X'X)^{-1}X' = X(X'X)^{-1}X' = H

.

Matrislerin çarpımında ters matris özelliği (

A^{-1}A = I

) kullanılarak ifadenin kendisini verdiği görülür.

Anahtar Kavram

Hat matrisi (H), bağımlı değişken vektörünü (

Y

), tahmin edilen değerler vektörüne (

\hat{Y}

) dönüştüren (

HY = \hat{Y}

) simetrik ve idempotent bir matristir.

Soru 27Soru →

Bir konut piyasası analizinde, konut satış fiyatı ( $Y$ ); konutun büyüklüğü ( $X_1$ ), oda sayısı ( $X_2$ ), bina yaşı ( $X_3$ ) ve merkeze uzaklık ( $X_4$ ) bağımsız değişkenleri ile sabit terimli bir model çerçevesinde $n=25$ gözlem kullanılarak tahmin edilmiştir. Yapılan analiz sonucunda büyüklük değişkenine ait katsayı tahmini $\hat{\beta}_1 = 4,20$ ve bu katsayının standart hatası $S_{\hat{\beta}_1} = 0,60$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, büyüklük katsayısı ( $\beta_1$ ) için $\%95$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $t_{0,025; 20} = 2,086$ ; $t_{0,025; 24} = 2,064$ ; $t_{0,05; 20} = 1,725$ )

[2,9484; 5,4516]

[2,9616; 5,4384]

[3,1650; 5,2350]

[3,6000; 4,8000]

[2,5140; 5,8860]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,9484; 5,4516]$

Cevap

Büyüklük katsayısı için %95 güven aralığı

[2,9484; 5,4516]

olarak hesaplanır.

Büyüklük katsayısı için hesaplanan

[2,9484; 5,4516]

aralığı, modeldeki 4 bağımsız değişken ve 1 sabit terim dikkate alınarak (toplam

k=5

) elde edilen 20 serbestlik dereceli t-tablo değerinin (

2,086

) standart hata (

0,60

) ile çarpılıp katsayı tahmininden (

4,20

) çıkarılması ve eklenmesiyle doğru bir şekilde bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Modeldeki parametre sayısını ve serbestlik derecesini belirleyin.

k = 5

(4 bağımsız değişken + 1 sabit terim),

sd = n - k = 25 - 5 = 20

.

Çoklu regresyonda katsayılar için t-dağılımı serbestlik derecesi

n-k

formülüyle bulunur.

2

Verilen güven düzeyi için uygun kritik t değerini seçin.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0,05

ve

\alpha/2 = 0,025

olup,

t_{0,025; 20} = 2,086

değeridir.

Güven aralığı çift yönlü bir tahmin olduğu için

\alpha/2

düzeyindeki tablo değeri kullanılır.

3

Güven aralığı formülünü uygulayarak sınır değerleri hesaplayın.

Alt sınır:

4,20 - (2,086 \times 0,60) = 2,9484

; Üst sınır:

4,20 + (2,086 \times 0,60) = 5,4516

.

Güven aralığı

\hat{\beta} \pm (t_{\alpha/2; n-k} \times S_{\hat{\beta}})

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çoklu regresyon analizinde parametre tahminleri için güven aralıkları

n-k

serbestlik dereceli t-dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir tarım ekonomisti, $n = 33$ farklı işletmeden topladığı verilerle tarımsal üretim miktarını ( $Y$ ), gübre kullanımı ( $X_1$ ) ve iş gücü ( $X_2$ ) değişkenlerine bağlı olarak aşağıdaki çoklu doğrusal regresyon modelini tahmin etmiştir:

Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u

Tahmin sonucunda gübre kullanımına ait katsayı $\hat{\beta}_1 = 4,5$ ve bu katsayının standart hatası $se(\hat{\beta}_1) = 1,5$ olarak hesaplanmıştır.

(%5 anlamlılık düzeyi için kritik değerler: $t_{0,025; 30} = 2,042$ ; $t_{0,025; 32} = 2,037$ ; $F_{0,05; 2, 30} = 3,32$ )

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde $\beta_1$ katsayısının bireysel anlamlılığına ilişkin yapılan t testi sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 30

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 32

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

t_{hesap} = 0,33

ve

sd = 30

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlı değildir.

t_{hesap} = 3,00

değeri

F_{kritik} = 3,32

değerinden küçük olduğu için katsayı anlamlı değildir.

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 30

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlı değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_{hesap} = 3,00$ ve $sd = 30$ olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Cevap

t_{hesap} = 3,00

ve

sd = 30

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Hesaplanan t istatistiği 3,00 olarak bulunur (

4,5 / 1,5

). Modelde 2 bağımsız değişken ve 1 sabit terim olduğu için toplam 3 parametre vardır; dolayısıyla serbestlik derecesi

33 - 3 = 30

olur. %5 anlamlılık düzeyinde 30 serbestlik derecesindeki tablo değeri 2,042'dir.

3,00 > 2,042

olduğu için katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0: \beta_1 = 0

(Katsayı anlamlı değil),

H_1: \beta_1 \neq 0

(Katsayı anlamlı)

Bireysel anlamlılık testi için çift yönlü t testi hipotezleri oluşturulur.

2

t hesap istatistiğinin hesaplanması

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_1}{se(\hat{\beta}_1)} = \frac{4,5}{1,5} = 3,00

Test istatistiği, katsayı tahmininin kendi standart hatasına bölünmesiyle elde edilir.

3

Serbestlik derecesinin (

sd

) belirlenmesi

sd = n - k - 1 = 33 - 2 - 1 = 30

Çoklu doğrusal regresyonda hata teriminin serbestlik derecesi gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

4

Tablo değeriyle karşılaştırma ve karar

|t_{hesap}| = 3,00 > t_{tablo} = 2,042

Hesaplanan değer kritik değerden büyük olduğu için

H_0

reddedilir ve katsayı %5 düzeyinde anlamlıdır.

Anahtar Kavram

Bireysel Parametrelerin t-Testi ve Serbestlik Derecesi

Soru 29Soru →

Bir kalkınma ajansı tarafından yürütülen çalışmada, bölgedeki 23 imalat işletmesinin ihracat performansı ( $Y$ ); Ar-Ge harcamaları ( $X_1$ ) ve patent sayısı ( $X_2$ ) bağımsız değişkenleri kullanılarak çoklu doğrusal regresyon analizi ile incelenmiştir. Analiz sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı
Regresyon	120
Hata (Artık)	80
Toplam	200

Buna göre, modelin genel anlamlılığını test etmek amacıyla kullanılan $F$ istatistiğinin değeri kaçtır?

15,00

6,67

15,75

1,50

30,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15,00

Cevap

Modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan

F

istatistiği değeri 15,00'dir.

Verilen modelde 23 gözlem (

n=23

) ve 2 bağımsız değişken (

k=2

) bulunmaktadır. Regresyon serbestlik derecesi

k=2

, hata serbestlik derecesi ise

n-k-1 = 23-2-1 = 20

olarak hesaplanır. Regresyon Kareler Ortalaması

120 / 2 = 60

, Hata Kareler Ortalaması ise

80 / 20 = 4

olur. Bu iki değerin birbirine oranı olan

60 / 4 = 15

, modelin genel anlamlılık testi için gerekli olan

F

istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirleyin.

df_{reg} = k = 2

ve

df_{hata} = n - k - 1 = 23 - 2 - 1 = 20

.

Varyans analizi tablosunda kareler ortalamasını bulmak için ilgili kareler toplamlarının serbestlik derecelerine bölünmesi gerekir.

2

Kareler ortalamalarını (KO) hesaplayın.

RKO = 120 / 2 = 60

ve

HKO = 80 / 20 = 4

.

F istatistiği, regresyon kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranıdır.

3

F istatistiğini hesaplayın.

F = 60 / 4 = 15

.

Modelin genel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek için test istatistiği değeri bu oranla bulunur.

Anahtar Kavram

Çoklu regresyon modellerinde modelin genel anlamlılığı, ANOVA tablosu üzerinden F testi ile denetlenir. F değeri, açıklanan varyansın açıklanamayan varyansa oranıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Bir işletmenin satış performansını analiz etmek isteyen bir ekonomist, 20 gözlem kullanarak satış miktarı ( $Y$ ) üzerinde Ar-Ge harcamaları ( $X_1$ ) ve pazarlama bütçesinin ( $X_2$ ) etkisini inceleyen bir çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir. Elde edilen sonuçlara göre Ar-Ge harcamalarının katsayısı $\hat{\beta}_1 = 4,50$ ve bu katsayının standart hatası $SE(\hat{\beta}_1) = 0,80$ olarak bulunmuştur.

Analizde kullanılan bazı $t$ tablo değerleri şöyledir:
- $t_{0,025; 17} = 2,110$
- $t_{0,025; 18} = 2,101$
- $t_{0,025; 19} = 2,093$
- $t_{0,05; 17} = 1,740$

Buna göre, Ar-Ge harcamalarının katsayısı ( $\beta_1$ ) için %95 güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[2,812; 6,188]

Standard Error

[2,826; 6,174]

Standard Error

[2,819; 6,181]

Standard Error

[3,108; 5,892]

Standard Error

[3,700; 5,300]

Standard Error

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,812; 6,188]$ Standard Error

Cevap

Ar-Ge harcamaları katsayısı için %95 güven aralığı

[2,812; 6,188]

olarak hesaplanır.

Güven aralığı hesaplanırken katsayı tahminine hata payı eklenip çıkarılır. Hata payı, uygun serbestlik derecesindeki (20 gözlem - 3 parametre = 17)

t

tablo değeri (

2,110

) ile standart hatanın (

0,80

) çarpımıdır. Bu hesaplama sonucunda

[2,812; 6,188]

aralığına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini (sd) belirleyiniz.

sd = n - k = 20 - 3 = 17

Çoklu doğrusal regresyonda serbestlik derecesi, gözlem sayısından (

n

) toplam parametre sayısının (

k

) çıkarılmasıyla bulunur. Modelde bir sabit terim ve iki bağımsız değişken olduğu için

k=3

'tür.

2

Kritik

t

değerini seçiniz.

t_{\alpha/2; sd} = t_{0,025; 17} = 2,110

%95 güven düzeyi için

\alpha = 0,05

olup, iki yönlü güven aralığı hesaplandığından

\alpha/2 = 0,025

sütunu ve 17 serbestlik derecesi satırı kullanılır.

3

Güven aralığı sınırlarını hesaplayınız.

4,50 \pm (2,110 \times 0,80) = 4,50 \pm 1,688

Güven aralığı formülü

\hat{\beta}_i \pm t_{\alpha/2; n-k} \times SE(\hat{\beta}_i)

şeklindedir.

4

Alt ve üst sınır değerlerini bulunuz.

Alt sınır:

2,812

, Üst sınır:

6,188

Toplama ve çıkarma işlemleri sonucunda aralık belirlenir.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyonda katsayılar için güven aralığı hesaplanırken hata varyansının tahmininde kullanılan serbestlik derecesi (

n-k

) dikkate alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

Hesaplama yapmadan önce serbestlik derecesinin

n-k

olduğunu belirleyip seçeneklerdeki kritik değerlerin hangisinin

t_{17}

olduğuna bakarak elenebilecek şıklar hızlıca tespit edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Çoklu doğrusal regresyon analizinde $n$ gözlem sayısını, $k$ ise modeldeki bağımsız değişken sayısını (sabit terim hariç) temsil etmektedir. Modelde sabit terimin (kesim noktası) yer aldığı bilindiğine göre, modelin matrisel gösteriminde ( $Y = X\beta + \epsilon$ ) kullanılan $X$ (veri matrisi) ve bu matrisin transpozu ile çarpımı sonucunda elde edilen $X'X$ matrisinin boyutları sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

n \times (k+1)

ve

(k+1) \times (k+1)

n \times k

ve

k \times k

n \times (k+1)

ve

n \times n

(k+1) \times n

ve

(k+1) \times (k+1)

n \times k

ve

(k+1) \times (k+1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n \times (k+1)$ ve $(k+1) \times (k+1)$

Cevap

Veri matrisi

n \times (k+1)

boyutunda,

X'X

matrisi ise

(k+1) \times (k+1)

boyutundadır.

Çoklu doğrusal regresyon modelinde

X

matrisi,

n

gözlem ve

k

bağımsız değişkene ek olarak sabit terim için de bir sütun (birler sütunu) içerdiğinden

n \times (k+1)

boyutundadır.

X'X

işlemi ise

[(k+1) \times n] \times [n \times (k+1)]

matris çarpımı olduğundan sonuç

(k+1) \times (k+1)

boyutunda kare bir matris olur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri matrisinin (X) sütun yapısını analiz etme

1

(sabit terim için) +

k

(bağımsız değişkenler için) =

k+1

sütun

Modelde sabit terim olduğu için

X

matrisinin ilk sütunu birlerden oluşur.

2

Veri matrisinin (X) satır yapısını belirleme

n

adet satır

Her bir gözlem birimi matriste ayrı bir satırı temsil eder.

3

X'X matrisinin boyutlarını hesaplama

(k+1 \times n) \times (n \times k+1) = (k+1) \times (k+1)

Matris çarpımı kuralına göre iç boyutlar (

n

) sadeleşir ve dış boyutlar sonuç matrisini belirler.

Anahtar Kavram

Tasarım Matrisi (Design Matrix) Yapısı

İpuçları

1

Regresyon modelindeki her bir parametre (katsayı) için veri matrisinde bir sütun bulunmalıdır.

2

n

gözlem satır sayısını, sabit terim ve

k

değişken ise toplam sütun sayısını belirler.

Daha Fazla Pratik

Bu matris boyutlarını kullanarak Hat matrisinin (

H = X(X'X)^{-1}X'

) boyutlarını ve izini (trace) hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişkenler $X_1$ ve $X_2$ arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Değişkenlerin ölçü birimleri birbirinden farklıdır. Analiz sonucunda elde edilen ham (standartlaştırılmamış) regresyon katsayıları ve değişkenlerin standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Ham Katsayı ( $b$ )	Standart Sapma ( $s$ )
$Y$ (Bağımlı)	—	50
$X_1$	0,80	10
$X_2$	2,50	2

Buna göre, standartlaştırılmış regresyon katsayıları (Beta) kullanılarak bağımsız değişkenlerin $Y$ üzerindeki bağıl önemleri (relative importance) karşılaştırıldığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

X_1

değişkeninin standartlaştırılmış katsayısı 0,16 olup, bağımsız değişkenler arasında bağıl önemi en yüksektir.

X_2

değişkeninin ham katsayısı (2,50) daha büyük olduğu için

Y

üzerindeki etkisi

X_1

değişkeninden daha fazladır.

X_1

ve

X_2

değişkenlerinin standartlaştırılmış katsayıları sırasıyla 8,0 ve 5,0 olarak hesaplandığından

X_1

daha etkilidir.

Standartlaştırılmış katsayılar birimden arındırılmış olmadığı için değişkenler arasında bir önem sıralaması yapılamaz.

X_2

değişkeninin standartlaştırılmış katsayısı 0,10 olup, bağıl önemi

X_1

değişkeninden daha fazladır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_1$ değişkeninin standartlaştırılmış katsayısı 0,16 olup, bağımsız değişkenler arasında bağıl önemi en yüksektir.

Cevap

X1 değişkeninin standartlaştırılmış katsayısı 0,16 olarak hesaplanır ve bu değer X2 için hesaplanan 0,10 değerinden büyük olduğu için X1'in bağıl önemi daha yüksektir.

Değişkenlerin standart sapmaları ve ölçü birimleri farklı olduğunda, regresyon modelindeki etkilerini karşılaştırmak için standartlaştırılmış Beta katsayıları hesaplanır. Yapılan hesaplamada birinci değişkenin Beta katsayısı 0,16, ikinci değişkeninki ise 0,10 bulunmuştur. Sayısal olarak daha büyük olan Beta katsayısına sahip değişken (birinci değişken), bağımlı değişken üzerindeki varyasyonu açıklama noktasında daha yüksek bağıl öneme sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1

Standartlaştırılmış katsayı (Beta) formülünü uygulayınız.

\beta_j = b_j \times \frac{s_{X_j}}{s_Y}

Farklı birimlerdeki değişkenleri karşılaştırabilmek için katsayıları birimden arındırmak gerekir.

2

X_1

değişkeni için Beta değerini hesaplayınız.

\beta_1 = 0,80 \times \frac{10}{50} = 0,80 \times 0,2 = 0,16

Birinci bağımsız değişkenin standart sapma başına bağımlı değişken üzerindeki etkisini bulmak.

3

X_2

değişkeni için Beta değerini hesaplayınız.

\beta_2 = 2,50 \times \frac{2}{50} = 2,50 \times 0,04 = 0,10

İkinci bağımsız değişkenin standart sapma başına bağımlı değişken üzerindeki etkisini bulmak.

4

Elde edilen katsayıları karşılaştırınız.

0,16 > 0,10

olduğu için

X_1

daha önemlidir.

Beta katsayısının mutlak değerce büyüklüğü, o değişkenin bağıl öneminin daha fazla olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Standartlaştırılmış regresyon katsayıları, değişkenlerin ölçü birimleri farklı olduğunda hangisinin bağımlı değişken üzerinde daha etkili (bağıl önem) olduğunu belirlemek için kullanılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir ekonometrik çalışmada, 20 farklı haneye ait tüketim harcamalarını açıklamak amacıyla sabit terimin yanında 3 farklı bağımsız değişken (gelir, servet ve hane büyüklüğü) kullanılarak çoklu doğrusal regresyon analizi yapılmıştır. Bu modelin matrisel gösteriminde yer alan $X'X$ matrisinin boyutu ve parametrelerin ( $\hat{\beta}$ ) En Küçük Kareler yöntemiyle tek bir çözüm kümesi olarak hesaplanabilmesi için bu matrisin sahip olması gereken temel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Boyutu

4 \times 4

olmalı ve matris tam ranjlı (nonsingüler) olmalıdır.

Boyutu

3 \times 3

olmalı ve matrisin determinantı sıfıra eşit olmalıdır.

Boyutu

20 \times 20

olmalı ve matris köşegen bir yapıda olmalıdır.

Boyutu

4 \times 4

olmalı ve bağımsız değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı bulunmalıdır.

Boyutu

20 \times 4

olmalı ve matrisin rankı gözlem sayısına eşit olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Boyutu $4 \times 4$ olmalı ve matris tam ranjlı (nonsingüler) olmalıdır.

Cevap

Matris boyutu

4 \times 4

olmalı ve çözüm için matris tam ranjlı (tersi alınabilir) bir yapıda bulunmalıdır.

Doğru cevapta belirtildiği üzere, modelde sabit terim dahil 4 parametre olduğu için

X'X

matrisi

4 \times 4

boyutundadır. Parametre tahminlerini veren formül

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

olduğu için, çözümün varlığı

X'X

matrisinin tersinin alınabilmesine (tam ranjlı olmasına) bağlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametre sayısının (

p

) belirlenmesi

p = 4

Modelde 1 sabit terim ve 3 bağımsız değişken olduğu belirtilmiştir. Toplam parametre sayısı

k + 1 = 3 + 1 = 4

olur.

2

X'X

matrisinin boyutunun hesaplanması

4 \times 4

Tasarım matrisi

X

,

n \times p

(

20 \times 4

) boyutundadır.

X'

matrisi

p \times n

(

4 \times 20

) boyutunda olduğundan, çarpımları olan

X'X

matrisi

p \times p

(

4 \times 4

) boyutunda kare bir matris olur.

3

EKK tahmin edicisi formülünün incelenmesi

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin hesaplanabilmesi için

X'X

matrisinin tersinin (

(X'X)^{-1}

) mevcut olması gerekir.

4

Matrisin tersi için gerekli koşulun saptanması

|X'X| \neq 0

(Nonsingüler)

Bir matrisin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı, yani matrisin tam ranjlı (sütunlarının doğrusal bağımsız) olması şarttır.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyonun matrisel çözümünde, parametrelerin benzersiz şekilde tahmin edilebilmesi için tasarım matrisinin sütunları arasında tam çoklu doğrusal bağlantı olmamalı ve

X'X

matrisi tam ranjlı olmalıdır.

İpuçları

1

Matris boyutunu belirlerken sabit terimi (intercept) bir bağımsız değişken gibi düşünerek parametre sayısına eklemeyi unutmayın.

2

X'X

matrisi, tasarım matrisi

X

'in transpozu ile kendisinin çarpımıdır; bu yüzden boyutu parametre sayısı olan

p \times p

olur.

Daha Fazla Pratik

Parametre tahmin edicilerinin varyans-kovaryans matrisinin boyutunu ve formülünü (

Var(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1}

) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir ekonometrist, $26$ farklı ilin ihracat performansını ( $Y$ ); iş gücü maliyeti ( $X_1$ ), enerji fiyatları ( $X_2$ ), döviz kuru ( $X_3$ ), AR-GE yatırımları ( $X_4$ ) ve teknoloji düzeyi ( $X_5$ ) bağımsız değişkenleri ile analiz etmektedir. Çalışma sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (sd)
Regresyon	?	?
Hata (Artık)	$200$	?
Genel	$600$	$25$

Buna göre, modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan $F$ istatistiğinin değeri kaçtır?

2

6,67

8

8,40

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Modelin genel anlamlılığı için hesaplanan

F

istatistiği değeri

8

'dir.

Modelin genel anlamlılığını test eden

F

istatistiği, Regresyon Kareler Ortalaması'nın (

RKO = 80

) Hata Kareler Ortalaması'na (

HKO = 10

) bölünmesiyle elde edilir. Doğru serbestlik dereceleri kullanıldığında (

sd_{reg} = 5, sd_{hata} = 20

) bu oran

8

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon Kareler Toplamı'nın (RKT) hesaplanması

RKT = 400

Genel Kareler Toplamı (GKT) ile Hata Kareler Toplamı (HKT) arasındaki fark RKT'yi verir:

600 - 200 = 400

.

2

Serbestlik derecelerinin belirlenmesi

sd_{reg} = 5

ve

sd_{hata} = 20

Regresyon serbestlik derecesi bağımsız değişken sayısına (

k=5

) eşittir. Hata serbestlik derecesi ise toplam serbestlik derecesinden (

n-1=25

) regresyon serbestlik derecesinin çıkarılmasıyla bulunur:

25 - 5 = 20

.

3

Kareler Ortalamalarının (KO) hesaplanması

RKO = 80

ve

HKO = 10

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur:

RKO = 400 / 5 = 80

ve

HKO = 200 / 20 = 10

.

4

F

istatistiğinin hesaplanması

F = 8

F

istatistiği, Regresyon Kareler Ortalaması'nın Hata Kareler Ortalaması'na oranıdır:

80 / 10 = 8

.

Anahtar Kavram

Çoklu regresyonda modelin genel anlamlılığı, ANOVA tablosundaki değerler kullanılarak F-testi ile belirlenir.

Daha Fazla Pratik

F testi sonucunda elde edilen bu değerin, tablodaki kritik F değeri ile karşılaştırılması ve modelin anlamlılığına dair nihai yorumun yapılması konusuna çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 35Soru →

Bir lojistik firması, teslimat süresini ( $Y$ ) etkileyen faktörleri incelemek amacıyla $n = 30$ gözlem kullanarak mesafe ( $X_1$ ), durak sayısı ( $X_2$ ), trafik yoğunluğu ( $X_3$ ) ve araç yaşı ( $X_4$ ) değişkenlerini içeren bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Modele ilişkin bazı tahmin sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Katsayı Tahmini ( $\hat{\beta}$ )	Standart Hata ( $se$ )
Sabit Terim	$12,40$	$3,10$
Mesafe ( $X_1$ )	$0,85$	$0,25$
Durak Sayısı ( $X_2$ )	$4,50$	$1,50$
Trafik Yoğunluğu ( $X_3$ )	$2,10$	$0,70$
Araç Yaşı ( $X_4$ )	$-0,60$	$0,30$

Buna göre, durak sayısının ( $X_2$ ) bağımlı değişken üzerindeki etkisinin bireysel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken $t$ istatistiği ( $t_{hesap}$ ) ve bu testin serbestlik derecesi ( $sd$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

t = 3,00

;

sd = 25

t = 3,00

;

sd = 26

t = 3,00

;

sd = 29

t = 0,33

;

sd = 25

F = 9,00

;

sd = (4, 25)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t = 3,00$ ; $sd = 25$

Cevap

Durak sayısı değişkeni için hesaplanan

t

istatistiği

3,00

ve testin serbestlik derecesi

25

olarak bulunur.

Bireysel parametre testi için

t

istatistiği, ilgili katsayının (

4,50

) kendi standart hatasına (

1,50

) bölünmesiyle

3,00

olarak hesaplanır. Çoklu regresyon modellerinde serbestlik derecesi

n - (k + 1)

formülüyle bulunur; burada

n=30

gözlem sayısını,

k=4

bağımsız değişken sayısını temsil eder. Dolayısıyla

30 - 4 - 1 = 25

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hesaplanacak

t

istatistiği formülünü belirlemek.

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_2}{se(\hat{\beta}_2)}

Bireysel parametrelerin anlamlılığı test edilirken katsayı tahmini kendi standart hatasına bölünür.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak

t

değerini hesaplamak.

t_{hesap} = \frac{4,50}{1,50} = 3,00

Tablodaki katsayı ve standart hata değerleri kullanılarak test istatistiği bulunur.

3

Çoklu regresyon modeli için serbestlik derecesini (

sd

) hesaplamak.

sd = n - k - 1 = 30 - 4 - 1 = 25

Çoklu regresyonda serbestlik derecesi; gözlem sayısından (

n

), bağımsız değişken sayısı (

k

) ve sabit terimin (

1

) çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyonda bireysel parametrelerin t-testi ile anlamlılık kontrolü ve serbestlik derecesi tayini.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Türkiye'deki sanayi üretim endeksini ( $Y$ ) etkileyen faktörleri belirlemek amacıyla, 25 farklı organize sanayi bölgesinden toplanan verilerle aşağıdaki çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin edilmiştir:

Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon

Burada $X_1$ kapasite kullanım oranını, $X_2$ enerji tüketimini ve $X_3$ istihdam sayısını temsil etmektedir. Modele ilişkin tahmin sonuçları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Değişken	Katsayı Tahmini ( $\hat{\beta}_j$ )	Standart Hata ( $SE(\hat{\beta}_j)$ )
Sabit ( $\beta_0$ )	12,40	2,10
Kapasite Kul. ( $X_1$ )	4,50	0,80
Enerji Tük. ( $X_2$ )	0,60	0,15
İstihdam ( $X_3$ )	1,20	0,40

Buna göre, kapasite kullanım oranı değişkenine ait katsayı ( $\beta_1$ ) için $\%95$ güven düzeyinde kurulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $t_{0,025; 21} = 2,080$ ; $t_{0,025; 24} = 2,064$ ; $t_{0,05; 21} = 1,721$ )

[2,836; 6,164]

[2,849; 6,151]

[3,123; 5,877]

[2,900; 6,100]

[3,700; 5,300]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,836; 6,164]$

Cevap

Kapasite kullanım oranı katsayısı için %95 güven aralığı

[2,836; 6,164]

olarak hesaplanır.

Kapasite kullanım oranı (

X_1

) değişkeninin katsayısı (

\beta_1

) için güven aralığı hesaplanırken, örneklem büyüklüğü (

n=25

) ve modeldeki toplam parametre sayısı (

k=4

) kullanılarak serbestlik derecesi

25-4=21

olarak bulunur. %95 güven düzeyi için tablo değeri

t_{0,025; 21} = 2,080

seçilir. Katsayı tahmini (

4,50

) ve standart hatası (

0,80

) formülde yerine konulduğunda

[4,50 \pm 1,664]

işlemi ile

[2,836; 6,164]

aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesinin (sd) belirlenmesi.

sd = n - k = 25 - 4 = 21

Çoklu regresyonda güven aralığı için serbestlik derecesi, gözlem sayısından (

n

) tahmin edilen parametre sayısı (

k

) çıkarılarak bulunur. Bu modelde 3 bağımsız değişken ve 1 sabit terim olmak üzere toplam 4 parametre vardır.

2

Kritik t değerinin tablodan seçilmesi.

t_{\alpha/2, sd} = t_{0,025; 21} = 2,080

%95 güven düzeyi için

\alpha = 0,05

olup çift yönlü aralıkta

\alpha/2 = 0,025

değeri kullanılır.

3

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının hesaplanması.

\%95 GA = 4,50 \pm (2,080 \times 0,80) = 4,50 \pm 1,664

Güven aralığı formülü:

\hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2, n-k} \times SE(\hat{\beta}_j)

şeklindedir.

4

Sonuç aralığının yazılması.

Alt Sınır:

4,50 - 1,664 = 2,836

; Üst Sınır:

4,50 + 1,664 = 6,164

Hesaplanan hata payı katsayı tahminine eklenip çıkarılarak nihai güven aralığına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çoklu doğrusal regresyonda katsayılar için güven aralığı oluşturulurken t-dağılımı ve doğru serbestlik derecesi (

n-k

) kullanımı esastır.

Daha Fazla Pratik

Modelde çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) olması durumunda standart hataların şişerek güven aralıklarının nasıl genişlediğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Bir araştırmacı 30 gözlem ( $n = 30$ ) kullanarak bir bağımlı değişken ile bir bağımsız değişken ( $X_1$ ) arasındaki ilişkiyi incelemiş ve ardından modele ikinci bir bağımsız değişken ( $X_2$ ) eklemiştir. Elde edilen regresyon sonuçları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Model	Değişkenler	Belirtme Katsayısı ( $R^2$ )	Düzeltilmiş $R^2$ ( $\bar{R}^2$ )
Model 1	$X_1$	0,70	$\approx 0,689$
Model 2	$X_1, X_2$	0,71	$\approx 0,688$

Bu analiz sonuçlarına göre, modellerin karşılaştırılmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modele yeni bir değişken eklenmesi

R^2

değerini yükseltmiş olsa da,

\bar{R}^2

değerindeki düşüş bu değişkenin modele katkısının serbestlik derecesi kaybını karşılamadığını gösterir.

Belirtme katsayısı (

R^2

) arttığı için ikinci model, birinci modele göre her zaman daha yüksek bir öngörü gücüne sahiptir ve tercih edilmelidir.

Düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

), tanım gereği her zaman standart belirtme katsayısından (

R^2

) daha büyük veya ona eşit bir değer almalıdır.

Model 2'deki serbestlik derecesi kaybı, gözlem sayısının parametre sayısından az olması nedeniyle hesaplama hatasına yol açmıştır.

Modele eklenen her yeni bağımsız değişken, hem belirtme katsayısının hem de düzeltilmiş belirtme katsayısının kesinlikle artmasını sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modele yeni bir değişken eklenmesi $R^2$ değerini yükseltmiş olsa da, $\bar{R}^2$ değerindeki düşüş bu değişkenin modele katkısının serbestlik derecesi kaybını karşılamadığını gösterir.

Cevap

Düzeltilmiş belirtme katsayısının azalması, eklenen yeni değişkenin modele sağladığı açıklayıcılık artışının, serbestlik derecesindeki azalmadan kaynaklanan kaybı telafi edemediğini gösterir.

Düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

), modele eklenen değişkenlerin açıklayıcılıktaki artışını, serbestlik derecesindeki azalma (ceza terimi) ile dengeler. Tablodaki verilerde,

R^2

değerinin 0,70'ten 0,71'e çıkmasına rağmen

\bar{R}^2

değerinin 0,689'dan 0,688'e düştüğü görülmektedir. Bu durum,

X_2

değişkeninin modele sağladığı %1'lik ek açıklayıcılığın, bir serbestlik derecesi kaybetmenin maliyetini karşılamaya yetmediğini kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Modellerin serbestlik derecelerini belirleyin.

Model 1 için

n-k-1 = 30-1-1 = 28

; Model 2 için

n-k-1 = 30-2-1 = 27

.

Düzeltilmiş

R^2

hesaplanırken paydadaki serbestlik derecesi kullanılır.

2

Düzeltilmiş

R^2

formülünü (

\bar{R}^2 = 1 - (1 - R^2) \frac{n-1}{n-k-1}

) uygulayarak sonuçları yorumlayın.

Model 1:

1 - (0,30 \times \frac{29}{28}) \approx 0,689

; Model 2:

1 - (0,29 \times \frac{29}{27}) \approx 0,688

.

İkinci modelde

R^2

artsa da (0,70'ten 0,71'e), serbestlik derecesi kaybı (28'den 27'ye) daha baskın gelmiştir.

3

Modeller arası seçim kriterini değerlendirin.

\bar{R}^2

değeri düşen Model 2, Model 1'den daha iyi bir model olarak kabul edilmez.

Düzeltilmiş

R^2

, model karmaşıklığı ile açıklayıcılık arasındaki dengeyi ölçer.

Anahtar Kavram

Düzeltilmiş Belirtme Katsayısı (Adjusted R-squared)

Alternatif Yöntem

Düzeltilmiş

R^2

yerine Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerinden de karşılaştırma yapılabilir. Eğer

\bar{R}^2

azalıyorsa, bu durum modelin MSE değerinin arttığı anlamına gelir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Çoklu doğrusal regresyon analizinde kurulan modelin "parametrelerde doğrusal" (linearity in parameters) olması, En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin elde edilebilmesi için gereken temel bir varsayımdır. Bu varsayım, modeldeki katsayıların ( $\beta$ ) üstel bir fonksiyona sahip olmamasını veya birbiriyle çarpılmamasını gerektirirken; açıklayıcı değişkenlerin ( $X$ ) herhangi bir matematiksel dönüşüme (kare, logaritma, tersini alma vb.) uğraması bu varsayımı ihlal etmez. Buna göre, aşağıdaki regresyon modellerinden hangisi "parametrelerde doğrusallık" varsayımına uygun değildir?

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i}^2 + u_i

Y_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(X_{1i}) + \beta_2 X_{2i} + u_i

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 (X_{1i} X_{2i}) + u_i

Y_i = \beta_0 + \beta_1^2 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Y_i = \beta_0 + \beta_1 \frac{1}{X_{1i}} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y_i = \beta_0 + \beta_1^2 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i$

Cevap

Model katsayısının karesinin alındığı (

Y_i = \beta_0 + \beta_1^2 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

) seçenekteki model parametrelerde doğrusal olma varsayımına uygun değildir.

Çoklu doğrusal regresyonun ilk ve en temel varsayımı modelin parametrelerde (katsayılarda) doğrusal olmasıdır.

\beta_1^2

terimini içeren modelde parametre kendi karesiyle ifade edildiği için bu bir doğrusal olmayan modeldir. EKK yöntemi ile katsayı tahminleri bu formdaki bir modelde doğrudan yapılamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerde doğrusallık tanımını analiz et.

Bir regresyon modelinin doğrusal kabul edilmesi için

\beta

katsayılarının kendi aralarında toplamsal olması, üstlerinin alınmaması ve başka bir katsayı ile çarpılmaması gerekir.

EKK yönteminin katsayıları tahmin edebilmesi için modelin katsayılara göre türevinin alınabilir ve katsayılar için çözülebilir olması gerekir.

2

Değişkenler ve katsayılar arasındaki farkı ayırt et.

X

değişkenlerinin kare, küp, logaritma veya tersi gibi formlarda olması modelin 'değişkenlerde doğrusal' olmadığını gösterir ancak bu durum modelin 'doğrusal regresyon' sınıfında kalmasını engellemez.

Önemli olan katsayıların (parametrelerin) formudur.

3

Seçeneklerdeki

\beta

katsayılarını kontrol et.

\beta_1^2

ifadesi katsayının kendisiyle çarpıldığını gösterir ve bu durum parametrelerde doğrusallık varsayımının doğrudan ihlalidir.

Karesel parametre içeren modeller 'doğrusal olmayan regresyon modelleri' olarak adlandırılır.

Anahtar Kavram

Parametrelerde Doğrusallık Varsayımı

Daha Fazla Pratik

Parametrelerde doğrusal olan ancak değişkenlerde doğrusal olmayan modellerin (örn. Log-Lin, Lin-Log) yorumlama farklarını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Bir kamu kurumunda personelin iş verimliliğini etkileyen faktörler üzerine bir araştırma yapılmış; günlük işlem hacmi ( $Y$ ), iş tecrübesi ( $X_1$ ) ve personelin aldığı teknik eğitim saati ( $X_2$ ) değişkenleri arasındaki basit korelasyon katsayıları şu şekilde hesaplanmıştır:

* İşlem hacmi ile iş tecrübesi arasındaki basit korelasyon: $r_{YX_1} = 0,90$
* İşlem hacmi ile teknik eğitim saati arasındaki basit korelasyon: $r_{YX_2} = 0,80$
* İş tecrübesi ile teknik eğitim saati arasındaki basit korelasyon: $r_{X_1X_2} = 0,60$

Buna göre, personelin aldığı teknik eğitim saati ( $X_2$ ) değişkeninin etkisi kontrol edildiğinde, işlem hacmi ( $Y$ ) ile iş tecrübesi ( $X_1$ ) arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{YX_1.X_2}$ ) kaçtır?

0,875

0,700

0,525

0,420

0,100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,875

Cevap

İş tatmini değişkeni sabit tutulduğunda işlem hacmi ile iş tecrübesi arasındaki kısmi korelasyon katsayısı

0,875

olarak hesaplanır.

Verilen basit korelasyon katsayıları kullanılarak formül uygulandığında; pay

0,42

ve payda

0,48

olarak bulunur. Bu iki değerin oranı olan

0,875

, kontrol değişkeninin (

X_2

) etkisi arındırılmış net ilişkiyi gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon formülünü belirleyin.

r_{YX_1.X_2} = \frac{r_{YX_1} - (r_{YX_2} \times r_{X_1X_2})}{\sqrt{(1 - r_{YX_2}^2) \times (1 - r_{X_1X_2}^2)}}

Üçüncü bir değişkenin (

X_2

) etkisini kontrol etmek için standart kısmi korelasyon formülü kullanılır.

2

Formülün pay kısmını hesaplayın.

0,90 - (0,80 \times 0,60) = 0,90 - 0,48 = 0,42

Değişkenler arasındaki ortak doğrusal ilişkinin çıkarılması gerekir.

3

Formülün payda kısmını hesaplayın.

\sqrt{1 - 0,80^2} \times \sqrt{1 - 0,60^2} = \sqrt{0,36} \times \sqrt{0,64} = 0,60 \times 0,80 = 0,48

Geriye kalan açıklanmamış varyansların çarpımının karekökü paydayı oluşturur.

4

Payı paydaya bölün.

0,42 / 0,48 = 0,875

Kısmi korelasyon katsayısının nihai değerini bulmak için oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Kısmi korelasyon, bir veya daha fazla kontrol değişkeninin doğrusal etkisi arındırıldıktan sonra iki değişken arasındaki ilişkinin derecesini ölçer.

Daha Fazla Pratik

Kısmi korelasyon katsayısının karesinin, eklenen değişkenin modele katkısını gösteren kısmi belirtme katsayısı ile ilişkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 40Soru →

Bir kamu kurumu bünyesindeki $34$ farklı hizmet binasının yıllık enerji tüketim miktarlarını ( $Y$ ) etkileyen faktörleri incelemek amacıyla; binanın yaşı ( $X_1$ ), toplam kapalı alanı ( $X_2$ ) ve yalıtım kalitesi ( $X_3$ ) bağımsız değişkenleri kullanılarak bir çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin edilmiştir. Analiz sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması
Regresyon (SSR)	$450$	$?$	$?$
Hata (SSE)	$300$	$?$	$?$
Toplam (SST)	$750$	$?$

Buna göre, kurulan regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılan $F$ hesap istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6,67

11,25

15,00

15,51

16,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15,00

Cevap

Modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan

F

istatistiği değeri 15,00 olarak bulunmuştur.

Verilen modelde 3 bağımsız değişken (

k=3

) ve 34 gözlem (

n=34

) bulunmaktadır. Regresyon serbestlik derecesi

k=3

, hata serbestlik derecesi ise

n-k-1=30

olur. Regresyon kareler ortalaması (

MSR = 450/3 = 150

) ile hata kareler ortalaması (

MSE = 300/30 = 10

) hesaplandıktan sonra, bunların birbirine oranı olan

150/10 = 15,00

değeri modelin genel anlamlılığını test eden F istatistiğini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini belirleyin.

df_{reg} = k = 3

ve

df_{hata} = n - k - 1 = 34 - 3 - 1 = 30

.

Çoklu regresyonda regresyon serbestlik derecesi bağımsız değişken sayısına (

k

), hata serbestlik derecesi ise örneklem büyüklüğünden parametre sayısının çıkarılmasına (

n-k-1

) eşittir.

2

Kareler ortalamalarını (Mean Squares) hesaplayın.

MSR = SSR / df_{reg} = 450 / 3 = 150

ve

MSE = SSE / df_{hata} = 300 / 30 = 10

.

Varyans analizi tablosunda kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

F hesap istatistiğini bulun.

F = MSR / MSE = 150 / 10 = 15,00

.

Modelin genel anlamlılık testi (F-testi), regresyon kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu ve F-İstatistiği Hesaplaması

Daha Fazla Pratik

F hesap istatistiği bulunduktan sonra, seçilen anlamlılık düzeyindeki (

\alpha

) tablo değeriyle karşılaştırma yapılarak

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

hipotezi hakkında karar verilir.

Alternatif Yöntem

Eğer Belirtme Katsayısı (

R^2

) verilmiş olsaydı,

F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)}

formülüyle de aynı sonuca ulaşılabilirdi. Bu soruda

R^2 = 450/750 = 0,60

olduğundan;

F = \frac{0,60 / 3}{0,40 / 30} = \frac{0,20}{0,0133} = 15

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap