Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2501Soru →

Sürtünme katsayısın��n μ=0,25\mu = 0,25 olduğu 37∘37^\circ eğimli eğik düzlemin en alt noktasında durmakta olan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir cisme, eğik düzleme paralel ve yukarı yönde 25 N25\text{ N} büyüklüğünde sabit bir FF kuvveti uygulanıyor.

Cisim eğik düzlem üzerinde 4 m4\text{ m} yol aldığı anda;

I. Yer çekimi kuvvetine karşı yapılan iş 48 J48\text{ J}'dür.
II. Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş −16 J-16\text{ J}'dür.
III. FF kuvvetinin uyguladığı anlık güç 150 W150\text{ W}'tır.

yargılarından hangileri doğrudur?

(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡37∘=0,6\sin 37^\circ = 0,6, cos⁡37∘=0,8\cos 37^\circ = 0,8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Yer çekimine karşı yapılan işin 48 J48\text{ J}, sürtünme kuvvetinin yaptığı işin −16 J-16\text{ J} ve FF kuvvetinin uyguladığı anlık gücün 150 W150\text{ W} olduğunu belirten öncüllerin tamamı doğrudur.
Doğru seçenekte belirtilen tüm öncüller doğrudur. Yer çekimine karşı yapılan iş mghmgh formülüyle 48 J48\text{ J} olarak bulunur. Sürtünme kuvveti yüzey tepkisi mgcos⁡37∘mg \cos 37^\circ kullanılarak 4 N4\text{ N} hesaplanır ve harekete zıt yönde olduğundan −16 J-16\text{ J} iş yapar. Net iş 36 J36\text{ J} olduğundan cismin son hızı 6 m/s6\text{ m/s}'dir ve bu andaki anlık güç F⋅v=150 WF \cdot v = 150\text{ W} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yer çekimine karşı yapılan işin hesaplanması
Yapılan iş Wg=mgh=mg⋅xsin⁡37∘=2⋅10⋅4⋅0,6=48 JW_g = mgh = mg \cdot x \sin 37^\circ = 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 0,6 = 48\text{ J} olarak bulunur.
Yer çekimine karşı yapılan iş, cismin kazandığı potansiyel enerjiye eşittir. Cismin yükselme miktarı h=x⋅sin⁡37∘h = x \cdot \sin 37^\circ bağıntısıyla bulunur.
2
Sürtünme kuvvetinin yaptığı işin hesaplanması
Sürtünme kuvveti fk=μN=μmgcos⁡37∘=0,25⋅2⋅10⋅0,8=4 Nf_k = \mu N = \mu mg \cos 37^\circ = 0,25 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 0,8 = 4\text{ N}'dur. Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ise Wfk=−fk⋅x=−4⋅4=−16 JW_{f_k} = -f_k \cdot x = -4 \cdot 4 = -16\text{ J} olur.
Sürt��nme kuvveti harekete zıt yönde etki ettiği için negatif iş yapar. Normal kuvvet eğik düzlemde N=mgcos⁡37∘N = mg \cos 37^\circ olarak belirlenir.
3
Net kuvvetin ve net işin hesaplanması
Net kuvvet Fnet=F−mgsin⁡37∘−fk=25−12−4=9 NF_{net} = F - mg \sin 37^\circ - f_k = 25 - 12 - 4 = 9\text{ N}'dur. Yapılan net iş ise Wnet=Fnet⋅x=9⋅4=36 JW_{net} = F_{net} \cdot x = 9 \cdot 4 = 36\text{ J}'dur.
Cismin kazandığı kinetik enerjiyi bulmak için iş-enerji teoremi uyarınca net kuvvetin yaptığı iş hesaplanmalıdır.
4
Cismin 4 m4\text{ m} yol aldığı andaki hızının ve anlık gücün hesaplanması
Wnet=ΔEk⇒36=12mv2⇒36=12⋅2⋅v2⇒v=6 m/sW_{net} = \Delta E_k \Rightarrow 36 = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow 36 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 \Rightarrow v = 6\text{ m/s} bulunur. FF kuvvetinin anlık gücü ise P=F⋅v=25⋅6=150 WP = F \cdot v = 25 \cdot 6 = 150\text{ W} olarak hesaplanır.
İş-enerji teoremi kullanılarak son hız bulunur. Bir kuvvetin anlık gücü, kuvvet ile o andaki hızın çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Eğik düzlemde iş-enerji teoremi, sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ve anlık güç ilişkisi.
Soru 2502Soru →

Yer çekimi ivmesinin g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 kabul edildiği ve hava direncinin önemsenmediği bir ortamda, bir kulenin tepesinden yatay doğrultuda v0=30 m/sv_0 = 30\text{ m/s} büyüklüğünde hızla fırlatılan bir cisim 80 m80\text{ m} düşey düşüş yaparak yere ulaşıyor. Buna göre, cismin fırlatıldığı düşey doğrultudan yatayda kaç metre uzakta yere çarptığını bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Cismin fırlatıldığı düşey doğrultudan yatayda aldığı yol 120 m120\text{ m}'dir.
Cismin düşeydeki hareketi serbest düşme olup h=5t2h = 5t^2 bağıntısı ile 80=5t280 = 5t^2 eşitliğinden uçuş süresi t=4 st = 4\text{ s} olarak elde edilir. Cismin yatayda aldığı yol ise sabit hızlı hareket prensibine göre x=v0⋅tx = v_0 \cdot t formülüyle x=30⋅4=120 mx = 30 \cdot 4 = 120\text{ m} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Düşey doğrultudaki hareket analiz edilerek uçuş süresi (tt) hesaplanır.
t=4 st = 4\text{ s}
Yatay atış hareketinde düşey doğrultudaki hareket, ilk hızı sıfır olan serbest düşme hareketidir. h=12gt2h = \frac{1}{2}gt^2 formülü kullanılarak süre bulunur.
2
Yatay doğrultudaki sabit hızlı hareket formülü kullanılarak yatayda alınan yol (xx) hesaplanır.
x=120 mx = 120\text{ m}
Yatay doğrultuda cisme etki eden net bir kuvvet olmadığından cisim yatayda sabit hızlı hareket yapar. Yatay yol x=v0×tx = v_0 \times t formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yatay atış hareketinde cisim düşey doğrultuda serbest düşme, yatay doğrultuda ise sabit hızlı hareket yapar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2503Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu ve bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→a∣f(x)∣=∣f(a)∣\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)| eşitliği sağlanıyorsa ff fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Mutlak değerce limitin fonksiyonun mutlak değerine eşit olması, fonksiyonun limitinin varlığını veya sürekliliğini garanti etmez. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği için o noktada limitinin var olması ve bu limitin doğrudan o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması şarttır.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik tanımını hatırlayalım.
Bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması için lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) eşitliği sağlanmalıdır.
Sürekliliğin tanımı gereği, limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
2
Verilen mutlak değerli koşulu inceleyelim.
Verilen lim⁡x→a∣f(x)∣=∣f(a)∣\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)| eşitliği, f(x)f(x) fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olmasını veya sürekli olmasını garanti etmez.
Mutlak değer, farklı işaretli limitlerin (örneğin sağdan limit 11, soldan limit −1-1) mutlak değerini eşitleyerek limiti varmış gibi gösterebilir.
3
Karşıt örnek oluşturalım.
f(x)={1,x≥a−1,x<af(x) = \begin{cases} 1, & x \ge a \\ -1, & x < a \end{cases} fonksiyonunda lim⁡x→a∣f(x)∣=1\lim_{x \to a} |f(x)| = 1 ve ∣f(a)∣=1|f(a)| = 1 olur ancak fonksiyonun x=ax = a noktasında limiti yoktur.
Süreklilik şartının her durumda sağlanmadığını göstermek için karşıt bir örnek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun süreklilik tanımı ve mutlak değer içeren limit durumlarında süreksizlik incelemesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2504Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 eşitlikleri veriliyor.

f(x)=(x3−x)⋅g(x2)f(x) = (x^3 - x) \cdot g(x^2)

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15 değeri doğrudur.
Çarpımın türevi ve zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak türev fonksiyonu f′(x)=(3x2−1)⋅g(x2)+(x3−x)⋅g′(x2)⋅2xf'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x olarak bulunur. Burada x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=11⋅g(4)+24⋅g′(4)f'(2) = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4) elde edilir. g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 değerleri yerlerine yazıldığında 33−48=−1533 - 48 = -15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev ifadesini yazın.
f′(x)=[x3−x]′⋅g(x2)+(x3−x)⋅[g(x2)]′f'(x) = [x^3 - x]' \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot [g(x^2)]'
f(x)=u(x)⋅v(x)f(x) = u(x) \cdot v(x) biçimindeki fonksiyonların türevi f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) formülü ile bulunur.
2
Bileşenlerin türevlerini hesaplayarak türev ifadesini düzenleyin.
[x3−x]′=3x2−1[x^3 - x]' = 3x^2 - 1 ve zincir kuralı yardımıyla [g(x2)]′=g′(x2)⋅2x[g(x^2)]' = g'(x^2) \cdot 2x olur. Bu durumda genel türev ifadesi: f′(x)=(3x2−1)⋅g(x2)+(x3−x)⋅g′(x2)⋅2xf'(x) = (3x^2 - 1) \cdot g(x^2) + (x^3 - x) \cdot g'(x^2) \cdot 2x olarak elde edilir.
Temel türev alma kuralları ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının uygulanması gerekir.
3
x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazın ve bilinen değerleri uygulayın.
f′(2)=(3(2)2−1)⋅g(22)+(23−2)⋅g′(22)⋅2(2)=11⋅g(4)+6⋅g′(4)⋅4=11⋅g(4)+24⋅g′(4)f'(2) = (3(2)^2 - 1) \cdot g(2^2) + (2^3 - 2) \cdot g'(2^2) \cdot 2(2) = 11 \cdot g(4) + 6 \cdot g'(4) \cdot 4 = 11 \cdot g(4) + 24 \cdot g'(4) olur. Verilen g(4)=3g(4) = 3 ve g′(4)=−2g'(4) = -2 değerleri yerine yazıldığında: f′(2)=11⋅3+24⋅(−2)=33−48=−15f'(2) = 11 \cdot 3 + 24 \cdot (-2) = 33 - 48 = -15 bulunur.
İstenen noktadaki türev değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkeninin yerine 22 yazılır ve verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) kurallarının bir arada uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2505Soru →
f(x)=∣x2−3x∣−2xf(x) = |x^2 - 3x| - 2x

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −234-\frac{23}{4}

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı -23/4'tür.
Doğru cevap, fonksiyonun tüm yerel ekstremum noktalarının belirlenerek y-değerlerinin doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilen -23/4 değeridir. Bu süreçte fonksiyon parçalı olarak yazılmış, kritik noktalarda türevin yön değişimi analiz edilmiş ve yerel minimum noktaları ile yerel maksimum noktasının ordinatları toplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu mutlak değerin tanımına göre parçalı fonksiyon biçiminde yazın.
x2−3x≥0  ⟹  x≤0x^2 - 3x \geq 0 \implies x \le 0 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x; 0<x<30 < x < 3 için f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x olarak bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin türev ve yön analizi yapılmadan önce kritik noktalara göre parçalanması gerekir.
2
Parçalı fonksiyonun her bir aralıktaki türevini alarak işaret tablosunu oluşturun.
x<0x < 0 veya x>3x > 3 için f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5; 0<x<30 < x < 3 için f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1 olur. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökü x=1/2x = 1/2 olup 0<x<30 < x < 3 aral��ğındadır. x=5/2x = 5/2 ise tanım dışıdır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum ve maksimum noktalarını belirleyin.
x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktalarında türev işareti eksiden artıya geçtiği için yerel minimum; x=1/2x = 1/2 noktas��nda artıdan eksiye geçtiği için yerel maksimum vardır.
Bir noktada türevin (veya fonksiyonun yönünün) eksi değerlerden artı değerlere geçmesi yerel minimumu, artıdan eksiye geçmesi yerel maksimumu belirtir.
4
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını (y-değerlerini) hesaplay��n ve toplayın.
f(0)=0f(0) = 0, f(3)=−6f(3) = -6, f(1/2)=1/4f(1/2) = 1/4 olup, ordinatlar toplamı 0+1/4−6=−23/40 + 1/4 - 6 = -23/4 olarak bulunur.
Soru yerel ekstremum noktalarının apsislerini değil, ordinatlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlar üzerinde türev ve yön değişimi yardımıyla belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2506Soru →

Düşey kesiti verilen ve yatay düzlemde sağa doğru sabit aa ivmesiyle hızlanan bir kabinin düşey arka iç duvarına mm kütleli K cismi yerle��tirilmiştir. Cisim ile duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı μs\mu_s olup K cismi kabine göre hareketsiz kalmaktadır.

Buna göre;
I. Duvarın cisme uyguladığı sürtünme kuvveti ile cismin ağırlığı bir etki-tepki kuvvet çiftidir.
II. Kabinin ivmesi aa artırılırsa, cisme etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü değişmez.
III. Duvarın cisme uyguladığı bileşke temas kuvvetinin büyüklüğü ma2+g2m\sqrt{a^2 + g^2} kadardır.

yargılarından hangileri doğrudur?
(Yerçekimi ivmesi gg sabittir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

Kabinin ivmesi artırıldığında sürtünme kuvvetinin değişmeyeceğini ve duvarın uyguladığı bileşke temas kuvvetinin ma2+g2m\sqrt{a^2 + g^2} olduğunu belirten II ve III yargıları doğrudur.
Kabinin ivmesi aa artırıldığında normal kuvvet (N=maN = ma) artsa bile cisim düşeyde dengede kalmaya devam ettiği için sürtünme kuvvetinin büyüklüğü değişmez ve ağırlığa (mgmg) eşit kalır. Duvarın cisme uyguladığı normal kuvvet ile sürtünme kuvveti birbirine dik olduğundan, bileşke temas kuvveti Pisagor bağıntısı ile ma2+g2m\sqrt{a^2 + g^2} olarak hesaplanır. Dolayısıyla II ve III. yargılar doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
K cisminin yatay doğrultudaki hareketini incelemek.
Kabinin sağa doğru aa ivmesiyle hızlanması nedeniyle, K cisminin de yatay doğrultuda aynı ivmeyle hızlanması gerekir. Bu ivmeyi sağlayan net kuvvet, duvarın cisme uyguladığı normal kuvvettir (N=maN = ma).
Newton'ın ikinci yasasına göre bir cismin ivmelenmesi için net bir dış kuvvete ihtiyaç vardır.
2
K cisminin düşey doğrultudaki dengesini incelemek.
K cismi kabine göre düşey doğrultuda hareketsizdir. Bu durumda düşey doğrultudaki net kuvvet sıfır olmalıdır. Cisme etki eden aşağı yönlü yerçekimi kuvveti (mgmg), yukarı yönlü statik sürtünme kuvveti (fsf_s) tarafından dengelenir: fs=mgf_s = mg.
Newton'ın birinci yasasına (eylemsizlik) göre dengede olan cisimler üzerindeki net kuvvet sıfırdır.
3
Kabinin ivmesi artırıldığında sürtünme kuvvetinin değişimini değerlendirmek.
İvme (aa) artırıldığında normal kuvvet (N=maN = ma) artar, bu da maksimum statik sürtünme kuvveti limitini (fs,max=μsNf_{s,max} = \mu_s N) artırır. Ancak cisim düşeyde hareketsiz kalmaya devam ettiği sürece sürtünme kuvveti (fsf_s) yine ağırlığa (mgmg) eşit kalır. Dolayısıyla sürtünme kuvvetinin büyüklüğü değişmez.
Statik sürtünme kuvveti, uygulanan kuvveti dengeleyecek kadar değer alır ve maksimum sınırını aşmadığı sürece bu dengeyi korur.
4
Duvarın cisme uyguladığı bileşke temas kuvvetini hesaplamak.
Duvarın cisme uyguladığı kuvvetler normal kuvvet (N=maN = ma) ve statik sürtünme kuvvetidir (fs=mgf_s = mg). Bu iki kuvvet birbirine diktir. Bileşke temas kuvveti (RR) Pisagor bağıntısı ile bulunur: R=N2+fs2=(ma)2+(mg)2=ma2+g2R = \sqrt{N^2 + f_s^2} = \sqrt{(ma)^2 + (mg)^2} = m\sqrt{a^2 + g^2}.
Birbirine dik iki vektörün bileşkesi vektörel toplama kurallarına göre hesaplanır.
5
Etki-tepki kuvvet çiftini analiz etmek.
Etki-tepki kuvvet çiftleri farklı cisimler üzerinde oluşur. Sürtünme kuvveti duvar tarafından cisme uygulanırken, cismin ağırlığı Dünya tarafından cisme uygulanan kütle çekim kuvvetidir. İkisi de aynı cisme etki ettiği için etki-tepki çifti oluşturamazlar.
Newton'ın üçüncü yasasına göre etki-tepki kuvvetleri aynı cisme etki edemez.

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları çerçevesinde ivmeli referans sistemlerindeki cisimlerin dengesi, statik sürtünme kuvvetinin doğası ve etki-tepki kuvvet çiftlerinin özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2507Soru →

Bir restoranın vitrininde sergilenmek üzere 33 farklı çorba, 33 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı yan yana sıralanacaktır. Bu yemeklerin sıralanmasında;

* Çorbaların tamamının yan yana olması,
* Herhangi iki ana yemeğin yan yana gelmemesi

koşulları aranmaktadır. Buna göre, bu yemekler vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 864

Cevap

Yemekler vitrinde 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Çorbaların bir arada olduğu ve ana yemeklerin yan yana gelmediği durum sayısı, çorba bloğu ile tatlıların sıralanması olan 3!×3!=363! \times 3! = 36 ile ana yemeklerin yerleştirilebileceği boşlukların permütasyonu olan P(4,3)=24P(4,3) = 24 değerlerinin çarpılması sonucu 864864 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çorbaların yan yana olma koşulunu değerlendirmek amacıyla çorbaları tek bir nesne olarak gruplamak.
33 farklı çorba tek bir blok (C\c1C\c2C\c3)(Ç_1Ç_2Ç_3) haline getirilir. Bu blok ve 22 farklı tatlı ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 33 olur. Bu 33 nesne kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Yan yana bulunması zorunlu olan elemanlar tek bir eleman gibi düşünülerek genel dizilim hesaplanır.
2
Grup haline getirilen çorbaların kendi aralarındaki sıralanışını hesaplamak.
Blok içindeki 33 farklı çorba kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Grup içindeki elemanlar birbirinden farklı olduğundan kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Ana yemeklerin yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak için boşlukları belirlemek ve yerleştirmek.
İlk iki adımda sıralanan 33 nesnenin arasında ve uçlarında toplam 44 boşluk (_Nesne1_Nesne2_Nesne3_\_ \text{Nesne}_1 \_ \text{Nesne}_2 \_ \text{Nesne}_3 \_) oluşur. 33 farklı ana yemek bu 44 boşluğa P(4,3)=4×3×2=24P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilir.
Belirli elemanların yan yana gelmemesi için diğer elemanların oluşturduğu boşluklara dağıtılması gerekir.
4
Elde edilen tüm durumları çarparak toplam sıralama sayısını bulmak.
Toplam sıralama sayısı 3!×3!×P(4,3)=6×6×24=8643! \times 3! \times P(4, 3) = 6 \times 6 \times 24 = 864 olarak hesaplanır.
Birbirine bağlı sıralama aşamaları çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının boşluk yöntemiyle hesabı.
Soru 2508Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, g(x)=axg(x) = \frac{a}{x} eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile dik kesişmektedir.

Buna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

a = -2
Verilen fonksiyonların türevleri alınarak teğet eğimleri sırasıyla -2 ve -a/4 olarak hesaplanır. Teğet doğruları dik kesiştiği için eğimler çarpımı -1 olmalıdır. Bu ilişkiden (-2) * (-a/4) = -1 denklemi kurularak a = -2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi (m1m_1) hesaplanır.
f′(x)=2x−4  ⟹  m1=f′(1)=2(1)−4=−2f'(x) = 2x - 4 \implies m_1 = f'(1) = 2(1) - 4 = -2
Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (m2m_2) hesaplanır.
g′(x)=−ax2  ⟹  m2=g′(2)=−a22=−a4g'(x) = -\frac{a}{x^2} \implies m_2 = g'(2) = -\frac{a}{2^2} = -\frac{a}{4}
Teğet eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alıp teğet noktasının apsisini yerine yazarız.
3
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralı uygulanarak aa değeri çözülür.
m1×m2=−1  ⟹  (−2)×(−a4)=−1  ⟹  a2=−1  ⟹  a=−2m_1 \times m_2 = -1 \implies (-2) \times \left(-\frac{a}{4}\right) = -1 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2
Dik koordinat düzleminde birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 2509Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff tek fonksiyonu için
∫−13f(2x−3) dx=6\int_{-1}^{3} f(2x-3) \, dx = 6
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12(x⋅f(2x2+1)+4x) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} (x \cdot f(2x^2+1) + 4x) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeri doğrudur.
İntegralin lineerlik özelliği ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulanıp tek fonksiyon simetrisiyle ∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 değeri elde edildikten sonra ikinci integral −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 değişken değiştirmesi yapılması
∫−53f(u) du=12\int_{-5}^{3} f(u) \, du = 12 elde edilir.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=−1  ⟹  u=−5x = -1 \implies u = -5 ve x=3  ⟹  u=3x = 3 \implies u = 3 olarak güncellenir. Buradan 12∫−53f(u) du=6  ⟹  ∫−53f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{-5}^{3} f(u) \, du = 6 \implies \int_{-5}^{3} f(x) \, dx = 12 bulunur.
2
ff fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğinin kullanılması
∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 olarak bulunur.
ff tek fonksiyon olduğundan ∫−33f(x) dx=0\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0 olur. Bu durumda ∫−53f(x) dx=∫−5−3f(x) dx+∫−33f(x) dx=12  ⟹  ∫−5−3f(x) dx=12\int_{-5}^{3} f(x) \, dx = \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 12 \implies \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = 12 olur. Tek fonksiyon simetrisinden ∫−5−3f(x) dx=−∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=−12\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = -\int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 elde edilir.
3
İkinci integralin lineerlik özelliği ile iki parçaya ayrılması ve t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılması
İstenen integral değeri −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak bulunur.
∫124x dx=[2x2]12=4−2=2\int_{1}^{\sqrt{2}} 4x \, dx = [2x^2]_{1}^{\sqrt{2}} = 4 - 2 = 2 olur. Diğer parça olan ∫12x⋅f(2x2+1) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2x^2+1) \, dx için t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılırsa dt=4x dx  ⟹  x dx=dt4dt = 4x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{4} olur. Sınırlar x=1  ⟹  t=3x = 1 \implies t = 3 ve x=2  ⟹  t=5x = \sqrt{2} \implies t = 5 olur. Buradan 14∫35f(t) dt=14(−12)=−3\frac{1}{4} \int_{3}^{5} f(t) \, dt = \frac{1}{4} (-12) = -3 elde edilir. Toplam sonuç −3+2=−1-3 + 2 = -1 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve tek fonksiyonların simetrik aralıktaki integral özelliklerinin kullanılması.
Soru 2510Soru →

Kütlesi 2 kg2\text{ kg} olan bir blok, eğim açısı 37∘37^\circ olan ve kinetik sürtünme katsayısının sabit ve k=0,5k = 0,5 olduğu yeterince uzun bir eğik düzlemin en alt noktasından, eğik düzleme paralel 10 m/s10\text{ m/s} ilk hızla yukarı doğru fırlatılıyor.

Buna göre, cismin fırlatıldığı noktadan başlayıp tekrar aynı noktaya dönünceye kadar geçen tüm hareket süreciyle ilgili;

I. Yerçekimi kuvvetinin yaptığı net iş sıfırdır.
II. Isıya dönüşen toplam enerji 80 J80\text{ J}'dur.
III. Cismin tepe noktasına ulaşıncaya kadar geçen sürede yerçekimi kuvvetine karşı yapılan iş 60 J60\text{ J}'dur.

yargılarından hangileri doğrudur?

(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2; sin⁡37∘=0,6\sin 37^\circ = 0,6; cos⁡37∘=0,8\cos 37^\circ = 0,8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III
Yerçekimi kuvveti korunumlu bir kuvvet olup, cisim atıldığı ilk noktaya geri döndüğünde net yer değiştirmesi sıfır olduğu için yerçekimi kuvvetinin yaptığı net iş sıfırdır. Cismin çıkış ivmesi 10 m/s210\text{ m/s}^2 olup 5 m5\text{ m} yol alır. Bu yolda 3 m3\text{ m} dikey yükselir ve yerçekimine karşı yapılan iş 60 J60\text{ J} olur. Sürtünme kuvveti ise hem çıkışta hem inişte 40 J40\text{ J}'lık negatif iş yaparak toplamda 80 J80\text{ J}'luk enerjinin ısıya dönüşmesini sağlar. Bu nedenle yargıların tümü doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Cisme etki eden sürtünme kuvvetini ve yerçekimi kuvvetinin eğik düzleme paralel bileşenini hesaplayın.
fk=8 Nf_k = 8\text{ N} ve Fgx=12 NF_{gx} = 12\text{ N}
Bu kuvvetler cismin ivmesini ve yapılan iş miktarlarını bulmak için gereklidir. Yerçekimi bileşeni Fgx=mgsin⁡37∘=2×10×0,6=12 NF_{gx} = mg \sin 37^\circ = 2 \times 10 \times 0,6 = 12\text{ N}'dur. Tepki kuvveti N=mgcos⁡37∘=16 NN = mg \cos 37^\circ = 16\text{ N} olup, sürtünme kuvveti fk=kN=0,5×16=8 Nf_k = k N = 0,5 \times 16 = 8\text{ N} olarak bulunur.
2
Cismin çıkış ivmesini bulup duruncaya kadar alacağı yolu hesaplayın.
ac¸ıkıs¸=10 m/s2a_{\text{çıkış}} = 10\text{ m/s}^2 ve x=5 mx = 5\text{ m}
Çıkış yönündeki net kuvvet Fnet=Fgx+fk=12+8=20 NF_{\text{net}} = F_{gx} + f_k = 12 + 8 = 20\text{ N}'dur. Buradan ivme a=10 m/s2a = 10\text{ m/s}^2 olur. Cismin durana kadar alacağı yol v2=v02−2axv^2 = v_0^2 - 2ax formülünden 0=102−2×10×x  ⟹  x=5 m0 = 10^2 - 2 \times 10 \times x \implies x = 5\text{ m} bulunur.
3
Cismin çıkışında yükseldiği dikey yüksekliği bularak yerçekimi kuvvetine karşı yapılan işi hesaplayın.
h=3 mh = 3\text{ m} ve Wkars¸ı=60 JW_{\text{karşı}} = 60\text{ J}
Dikey yükseklik h=xsin⁡37∘=5×0,6=3 mh = x \sin 37^\circ = 5 \times 0,6 = 3\text{ m}'dir. Yerçekimi kuvvetine karşı yapılan iş mgh=2×10×3=60 Jmgh = 2 \times 10 \times 3 = 60\text{ J} olarak bulunur. Bu durum üçüncü yargıyı doğrular.
4
Yerçekimi kuvvetinin tüm tur boyunca yaptığı net işi belirleyin.
Wg,net=0 JW_{g,\text{net}} = 0\text{ J}
Yerçekimi kuvveti korunumlu bir kuvvet olduğundan kapalı bir yörünge boyunca yaptığı net iş yer değiştirmeye bağlı olarak sıfırdır (çıkışta −60 J-60\text{ J}, inişte +60 J+60\text{ J}). Bu durum birinci yargıyı doğrular.
5
Sürtünme kuvvetinin yaptığı toplam işi ve ısıya dönüşen enerjiyi hesaplayın.
Wf,net=−80 JW_{f,\text{net}} = -80\text{ J} ve Eısı=80 JE_{\text{ısı}} = 80\text{ J}
Sürtünme kuvveti harekete her zaman zıt yönde etki ettiği için hem çıkışta hem inişte negatif iş yapar: Wf=−fk⋅(2x)=−8×10=−80 JW_f = -f_k \cdot (2x) = -8 \times 10 = -80\text{ J}. Dolayısıyla ısıya dönüşen toplam enerji 80 J80\text{ J} olur. Bu durum ikinci yargıyı doğrular.

Anahtar Kavram

Korunumlu ve korunumsuz kuvvetlerin işi ile mekanik enerji dönüşümleri
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2511Soru →

Analitik düzlemde f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ve g(x)=−x2+2x+10g(x) = -x^2 + 2x + 10 parabollerinin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Üstteki parabol olan g(x)=−x2+2x+10g(x) = -x^2 + 2x + 10 fonksiyonundan alttaki parabol olan f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1 fonksiyonu çıkarılarak elde edilen (−3x2+6x+9)(-3x^2 + 6x + 9) ifadesinin kesim noktaları olan [−1,3][-1, 3] aralığındaki belirli integrali alındığında sonuç 32 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerini bulmamız gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi parabolün daha üstte yer aldığını belirleyelim.
[−1,3][-1, 3] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x)
İntegrali kurarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarmak için.
3
İki eğri arasında kalan alanı veren belirli integrali yazalım.
∫−13(−3x2+6x+9)dx\int_{-1}^{3} (-3x^2 + 6x + 9) dx
Alan, üstteki eğri ile alttaki eğrinin farkının kesim noktaları arasındaki belirli integraline eşittir.
4
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine koyalım.
32
Belirli integralin değerini bularak alanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2512Soru →

Yatay ve sürtünmesiz bir zemin üzerinde üst üste duran mm kütleli K cismi ile 3m3m kütleli L cisminin aralarındaki statik sürtünme katsayısı μs=05\mu_s = 0{}5, kinetik sürtünme katsayısı ise μk=04\mu_k = 0{}4'tür.

Alttaki L cismine şekildeki gibi yatay doğrultuda FF kuvveti uygulanmaktadır.

Yerçekimi ivmesinin gg olduğu ortamda cisimlerin hareketiyle ilgili,

I. Cisimlerin birbirine göre kaymadan birlikte hareket edebileceği en büyük FF kuvveti 2mg2mg büyüklüğündedir.
II. L cismine F=4mgF = 4mg büyüklüğünde kuvvet uygulandığında, K cisminin ivmesi 04g0{}4g büyüklüğünde olur.
III. Cisimler birbirine göre kayarken, K cisminin L cismine uyguladığı sürtünme kuvvetinin büyüklüğü, L cisminin K cismine uyguladığı sürtünme kuvvetinin büyüklüğünden daha küçüktür.

yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Cisimlerin birlikte hareket edebileceği maksimum ivme, aralarındaki statik sürtünme kuvvetinin üst sınırı olan fs,max=05mgf_{s,max} = 0{}5mg değerine bağlı olarak amax=05ga_{max} = 0{}5g bulunur. Bu ivmeyle hareket edebilecek toplam kütle 4m4m olduğundan, uygulanabilecek en büyük dış kuvvet 2mg2mg'dir. Kuvvet 4mg4mg olduğunda bu limit aşıldığı için cisimler kayar ve aralarında kinetik sürtünme kuvveti (fk=04mgf_k = 0{}4mg) oluşur. Bu kuvvet altında K cisminin ivmesi 04g0{}4g olur. K ve L cisimlerinin birbirine uyguladığı sürtünme kuvvetleri etki-tepki çifti olduğundan büyüklükleri her zaman birbirine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
K cisminin kaymadan sahip olabileceği maksimum ivmeyi hesaplayınız.
amax=05ga_{max} = 0{}5g
K cismini ivmelendiren tek yatay kuvvet aralarındaki sürtünme kuvvetidir. Kaymama sınırı statik sürtünmenin maksimum değeriyle belirlenir: fs,max=μs⋅NK=05mgf_{s,max} = \mu_s \cdot N_K = 0{}5mg. Buradan amax=fs,maxm=05ga_{max} = \frac{f_{s,max}}{m} = 0{}5g elde edilir.
2
Cisimlerin birlikte hareket edebileceği en büyük dış kuvveti bulunuz.
Fmax=2mgF_{max} = 2mg
Cisimlerin birlikte ivmelenmesi için net dış kuvvet Fmax=(mK+mL)⋅amax=(m+3m)⋅05g=2mgF_{max} = (m_K + m_L) \cdot a_{max} = (m + 3m) \cdot 0{}5g = 2mg olmalıdır. Bu değer aşıldığında cisimler birbirine göre kaymaya başlar.
3
Uygulanan kuvvet F=4mgF = 4mg olduğunda K cisminin ivmesini hesaplayınız.
aK=04ga_K = 0{}4g
F=4mg>2mgF = 4mg > 2mg olduğu için cisimler bağıl olarak kayar. Kayma durumunda cisimler arasındaki sürtünme kuvveti kinetik sürtünmeye dönüşür: fk=μk⋅m⋅g=04mgf_k = \mu_k \cdot m \cdot g = 0{}4mg. K cisminin ivmesi ise aK=fkm=04ga_K = \frac{f_k}{m} = 0{}4g olur.
4
Etki-tepki çiftinin büyüklük ilişkisini Newton'ın üçüncü yasasına göre değerlendiriniz.
fK→L=fL→Kf_{K\rightarrow L} = f_{L\rightarrow K}
K cisminin L'ye uyguladığı sürtünme kuvveti ile L'nin K'ye uyguladığı sürtünme kuvveti bir etki-tepki çiftidir. Cisimler kayıyor olsa bile bu kuvvetler her zaman eşit büyüklüktedir.

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları, Statik ve Kinetik Sürtünme Kuvvetleri, Etki-Tepki Yasası
Soru 2513Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.
2
Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.
a=sin⁡x⋅tan⁡x<0a = \sin x \cdot \tan x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), b=cos⁡x⋅cot⁡x<0b = \cos x \cdot \cot x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), c=sin⁡x⋅cos⁡x>0c = \sin x \cdot \cos x > 0 (iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.
İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.
3
Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.
5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} aralığında ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olduğundan, ∣a∣=sin⁡2x∣cos⁡x∣|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|} ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla ∣a∣>∣b∣|a| > |b| elde edilir. Sayılar negatif olduğundan a<ba < b olur.
Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2514Soru →
Bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(x)=(x2−a)(x2+2x+3)f(x) = (x^2 - a)(x^2 + 2x + 3)
biçiminde tanımlanıyor.

f′(1)=24f'(1) = 24 olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Çarpımın türevi kuralı uygulanarak elde edilen f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a ifadesi 2424'e eşitlendiğinde aa değeri −2-2 olarak hesaplanır.
Verilen fonksiyonun türevi çarpım kuralına göre alınır: f′(x)=2x(x2+2x+3)+(x2−a)(2x+2)f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2). Bu türev fonksiyonunda x=1x=1 yazıldığında f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a elde edilir. Bu değer 2424'e eşitlendiğinde 16−4a=24  ⟹  a=−216 - 4a = 24 \implies a = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralını fonksiyon üzerinde uygulayarak genel türev ifadesini bulunuz.
f′(x)=2x(x2+2x+3)+(x2−a)(2x+2)f'(x) = 2x(x^2 + 2x + 3) + (x^2 - a)(2x + 2)
İki fonksiyonun çarpımı durumundaki ifadelerin türevini almak için çarpım kuralının doğru uygulanması gerekir.
2
Türev ifadesinde x=1x = 1 değerini yerine koyarak f′(1)f'(1) değerini aa parametresine bağlı olarak hesaplayınız.
f′(1)=16−4af'(1) = 16 - 4a
Soruda verilen f′(1)=24f'(1) = 24 bilgisini kullanabilmek için fonksiyonun türevinin x=1x=1 noktasındaki cebirsel karşılığı bulunur.
3
Elde edilen 16−4a=2416 - 4a = 24 denklemini çözerek aa değerini bulunuz.
a=−2a = -2
Türev değerini sağlayan aa bilinmeyenini belirlemek için doğrusal denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi Kuralı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2515Soru →
Her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(x⋅f(x2)+f(3−x)) dx\int_{1}^{2} \left( x \cdot f(x^2) + f(3 - x) \right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin doğru değeri 9'dur.
Soruda verilen integral iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir. İlk kısımda u=x2u = x^2 dönüşümü ile sınırlar 1'den 4'e güncellenir ve 12∫14f(u) du=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 5 değeri elde edilir. İkinci kısımda ise v=3−xv = 3 - x dönüşümüyle sınırlar 1'den 2'ye güncellenir ve ∫12f(v) dv=4\int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 değeri elde edilir. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} du olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒u=1x = 1 \Rightarrow u = 1 ve x=2⇒u=4x = 2 \Rightarrow u = 4 elde edilir. Bu durumda integral 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali bilinen bir sınır aralığında ff fonksiyonu cinsinden yazabilmek.
2
İlk integralin değeri verilen ∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10 bilgisi kullanılarak hesaplanır.
12∫14f(u) du=12⋅10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 bulunur.
Soruda verilen belirli integral değerini yerine yerleştirmek.
3
İkinci integral olan ∫12f(3−x) dx\int_{1}^{2} f(3 - x) \, dx ifadesinde v=3−xv = 3 - x değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında dv=−dx⇒dx=−dvdv = -dx \Rightarrow dx = -dv olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒v=2x = 1 \Rightarrow v = 2 ve x=2⇒v=1x = 2 \Rightarrow v = 1 elde edilir. İntegral ∫21f(v)⋅(−dv)=∫12f(v) dv\int_{2}^{1} f(v) \cdot (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv biçimine dönüşür.
İkinci integrali de bilinen integral sınırları cinsinden ifade etmek.
4
İkinci integralin değeri hesaplanır ve iki integralin sonuçları toplanır.
Verilen ∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4 bilgisine göre ikinci integralin değeri 4'tür. Toplam sonuç ise 5+4=95 + 4 = 9 olarak bulunur.
Sorulan ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2516Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
x2⋅f(x)=∫(4x3−3x2+2x⋅f(x))dxx^2 \cdot f(x) = \int \left( 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru yanıt 12 sayısıdır.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında, sol tarafta çarpımın türevi uygulanarak 2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi elde edilir. Sağ tarafta ise integralin türevi kendisi olduğundan 4x3−3x2+2x⋅f(x)4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) ifadesi kalır. Karşılıklı terimler sadeleştiğinde f′(x)=4x−3f'(x) = 4x - 3 bulunur. Bu ifadenin integrali f(x)=2x2−3x+Cf(x) = 2x^2 - 3x + C olur. f(1)=2f(1) = 2 bilgisi kullanılarak C=3C = 3 bulunur. Dolayısıyla f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazıldığında sonuç 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)=4x3−3x2+2x⋅f(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x)
İntegral işlemini tersine çevirmek için türev alınır. Sol tarafta çarpımın türevi kuralı uygulanırken, sağ tarafta belirsiz integralin türevi kendisini verir.
2
Elde edilen denklem sadeleştirilir ve türev fonksiyonu yalnız bırakılır.
x2⋅f′(x)=4x3−3x2  ⟹  f′(x)=4x−3x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 \implies f'(x) = 4x - 3
Eşitliğin her iki tarafındaki 2x⋅f(x)2x \cdot f(x) terimleri sadeleşir. x≠0x \neq 0 için her iki taraf x2x^2 ile bölünür. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı yazılır.
f(x)=∫(4x−3) dx=2x2−3x+Cf(x) = \int (4x - 3) \, dx = 2x^2 - 3x + C
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti CC bulunur.
f(1)=2(1)2−3(1)+C=2  ⟹  −1+C=2  ⟹  C=3f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3
Belirsiz integralden gelen CC sabitini netleştirmek için verilen nokta denklemde yerine yazılır.
5
Kuralı belirlenen f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değeri hesaplanır.
f(3)=2(3)2−3(3)+3=18−9+3=12f(3) = 2(3)^2 - 3(3) + 3 = 18 - 9 + 3 = 12
Soruda bizden istenen f(3)f(3) değerine ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ile ilişkisi, çarpımın türevi kuralı ve integral sabiti hesabı.
Soru 2517Soru →

mm sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak ��zere,

(x2−mx)6\left(x^2 - \frac{m}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki x6x^6’lı terimin katsayısı, x3x^3’lü terimin katsayısının −3-3 katına eşittir.

Buna göre, mm kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri bir bölü dört olarak bulunur.
Doğru seçenekte verilen değer, binom açılımının genel terim formülü kullanılarak x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları oranlandığında elde edilen değerdir. Genel terim formülü (6r)(x2)6−r(−mx)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r şeklindedir. Burada x6x^6 terimi için r=2r=2 olup katsayı 15m215m^2 bulunur. x3x^3 terimi için r=3r=3 olup katsayı −20m3-20m^3 bulunur. Soruda verilen katsayı ilişkisi kurulduğunda 15m2=−3⋅(−20m3)15m^2 = -3 \cdot (-20m^3) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde sıfırdan farklı mm değeri bir bölü dört olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü yazmak.
Tr+1=(6r)(x2)6−r(−mx)rT_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{m}{x}\right)^r
İstenen terimlerin katsayılarını belirlemek için genel terim ifadesini oluşturmamız gerekir.
2
Genel terimdeki xx değişkeninin üssünü düzenlemek.
Tr+1=(6r)(−m)rx12−3rT_{r+1} = \binom{6}{r} (-m)^r x^{12-3r}
Terimlerin derecelerini rr cinsinden bulabilmek için tabanları aynı olan üslü ifadeleri birleştiririz.
3
x6x^6 ve x3x^3 terimlerini elde etmek için rr değerlerini bulmak.
x6x^6 için 12−3r=6  ⟹  r=212-3r=6 \implies r=2 ve x3x^3 için 12−3r=3  ⟹  r=312-3r=3 \implies r=3 bulunur.
Hangi terimlerin aradığımız kuvvetleri verdiğini saptamak amacıyla üsleri sırasıyla 6 ve 3'e eşitleriz.
4
Bulunan rr değerlerini genel terimde yerine yazarak katsayıları belirlemek.
x6x^6'lı terimin katsayısı (62)(−m)2=15m2\binom{6}{2} (-m)^2 = 15m^2 ve x3x^3'lü terimin katsayısı (63)(−m)3=−20m3\binom{6}{3} (-m)^3 = -20m^3 olarak elde edilir.
İlişkilendireceğimiz katsayı değerlerini mm cinsinden açıkça ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemlerini yaparız.
5
Verilen katsayı ilişkisini kullanarak denklem kurmak ve mm değerini çözmek.
15m2=−3⋅(−20m3)  ⟹  15m2=60m3  ⟹  1=4m  ⟹  m=1415m^2 = -3 \cdot (-20m^3) \implies 15m^2 = 60m^3 \implies 1 = 4m \implies m = \frac{1}{4} (m≠0m \neq 0 olduğu için m2m^2 ile sadeleştirme yapılabilir).
Soruda belirtilen oran bağıntısını uygulayarak bilinmeyen mm parametresini buluruz.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı bulma
Soru 2518Soru →

Sürtünme katsayısının k=0,5k = 0,5 olduğu, yatayla 37∘37^\circ açı yapan eğik düzlemin alt ucunda durmakta olan 2 kg2\text{ kg} kütleli cisme, eğik düzleme paralel ve yukarı yönde 25 N25\text{ N} büyüklüğünde sabit bir kuvvet 4 m4\text{ m} yol boyunca uygulanıyor.

Buna göre, bu süreçte cismin kinetik enerjisindeki değişim kaç J\text{J} olur?

(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡37∘=0,6\sin 37^\circ = 0,6, cos⁡37∘=0,8\cos 37^\circ = 0,8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

Kinetik enerjideki değişim 20 J olur.
Kinetik enerjideki değişim, net kuvvetin yaptığı işe eşittir. Hareket doğrultusundaki net kuvvet 5 N ve yer değiştirme 4 m olduğundan yapılan net iş, dolayısıyla kinetik enerjideki artış 20 J olur.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin ağırlığının eğik düzleme paralel (GxG_x) ve dik (GyG_y) bileşenleri hesaplanır.
Gx=12 NG_x = 12\text{ N}, Gy=16 NG_y = 16\text{ N}
Eğik düzlem üzerindeki kuvvetlerin hareket doğrultusundaki bileşenlerini belirlemek için ağırlık bileşenlerine ayrılır.
2
Eğik düzlemin cisme uyguladığı normal kuvvet (NN) ve buna bağlı olarak sürtünme kuvveti (fsf_s) hesaplanır.
N=16 NN = 16\text{ N} ve fs=8 Nf_s = 8\text{ N}
Sürtünme kuvveti, yüzeye dik olan normal kuvvetle sürtünme katsayısının çarpımına eşittir.
3
Cisme hareket doğrultusunda etki eden net kuvvet (FnetF_{\text{net}}) bulunur.
Fnet=5 NF_{\text{net}} = 5\text{ N}
Net kuvvet; uygulanan kuvvet, ağırlığın paralel bileşeni ve sürtünme kuvvetinin vektörel toplamı (hareket yönündekiler pozitif, zıt yöndekiler negatif) alınarak bulunur.
4
İş-enerji teoremine göre net kuvvetin yaptığı iş hesaplanarak kinetik enerjideki değişim belirlenir.
ΔEk=20 J\Delta E_k = 20\text{ J}
Bir cismin kinetik enerjisindeki değişim, cisim üzerine yapılan net işe eşittir (Wnet=Fnet⋅dW_{\text{net}} = F_{\text{net}} \cdot d).

Anahtar Kavram

İş-Enerji Teoremi ve Net Kuvvetin Yaptığı İş
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2519Soru →
Bir ses yalıtım malzemesinin kalınlığı ile bu malzemeden geçen sesin şiddet düzeyi arasındaki ilişkiyi inceleyen bir mühendis, x cmx\text{ cm} kalınlığındaki bir yalıtım duvarından geçen sesin şiddet düzeyini β(x)\beta(x) desibel (dB\text{dB}) cinsinden
β(x)=β0−10log⁡10(1+ax)\beta(x) = \beta_0 - 10 \log_{10}(1 + ax)
modeli ile hesaplamaktadır. Bu modelde β0\beta_0 sesin malzemeye çarpmadan önceki ilk şiddet düzeyini, aa ise malzemeye bağlı pozitif bir sabiti göstermektedir.
Aynı malzemeden yapılmış 3 cm3\text{ cm} kalınlığındaki bir duvar, 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 70 dB70\text{ dB} düzeyine düşürmektedir.
Buna göre, aynı malzemeden yapılmış bir duvarın 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 50 dB50\text{ dB} düzeyine düşürebilmesi için kalınlığı kaç cm\text{cm} olmalıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 333

Cevap

Duvarın kalınlığı 333 cm olmalıdır.
Ses yalıtım modeli kullanılarak ilk verilerden malzemenin a sabiti 3 olarak bulunur. Ardından, sesin 80 dB'den 50 dB'e düşmesi için gereken kalınlık x değeri modelde yerine yazıldığında log10(1 + 3x) = 3 denklemi elde edilir. Logaritma tanımı gereği 1 + 3x = 1000 olup buradan x = 333 cm olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki verileri (x = 3, ilk ses şiddeti 80 dB ve geçiş sonrası ses şiddeti 70 dB) denklemde yerine yazarak malzeme sabiti olan a değerini bulmak.
70 = 80 - 10 * log10(1 + 3a) denklemi elde edilir.
Malzemenin ses yutma katsayısını (a sabiti) belirlemek, ikinci durumdaki kalınlığı hesaplamak için gereklidir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi çözerek a değerini hesaplamak.
log10(1 + 3a) = 1 => 1 + 3a = 10 => a = 3 bulunur.
Logaritma tanımı gereği log10(y) = 1 ise y = 10'dur.
3
Hesaplanan a = 3 değerini ve ikinci durumdaki verileri (ilk ses şiddeti 80 dB ve hedef ses şiddeti 50 dB) modelde yerine koymak.
50 = 80 - 10 * log10(1 + 3x) denklemi kurulur.
İstenen yalıtım düzeyini sağlayacak kalınlık (x) değerini belirlemek için yeni bir denklem oluşturulur.
4
Oluşturulan denklemi x için çözmek.
log10(1 + 3x) = 3 => 1 + 3x = 1000 => 3x = 999 => x = 333 bulunur.
Logaritma tanımı kullanılarak logaritmik ifade üstel ifadeye dönüştürülür ve x yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Logaritmik fonksiyonların gerçek hayat durumlarını modellemede kullanımı ve logaritma özelliklerini uygulayarak denklem çözme.
Soru 2520Soru →
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−tan⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \tan x \end{aligned}

sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Doğru sıralama olan b < c < a ilişkisi, üçüncü bölgede kosinüsün sinüsten daha küçük negatif değer alması, kotanjantın tanjanttan büyük pozitif değer alması ve pozitif-negatif değerlerin kendi aralarında kıyaslanmasıyla kesin olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleyip fonksiyonların işaret ve büyüklüklerini analiz etme
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} aralığı birim çemberde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede:
- sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0
- tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0
- Açı 5π4\frac{5\pi}{4} değerinden küçük oldu��undan, bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Dolayısıyla cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır.
- Yine bu aralıkta tanjant değeri 11'den küçük, kotanjant değeri ise 11'den büyüktür: 0<tan⁡x<1<cot⁡x0 < \tan x < 1 < \cot x.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizine ihtiyaç duyulur.
2
a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleme
- a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x: sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan (örneğin −0.5>−0.866-0.5 > -0.866), bu fark pozitif bir değer üretir (a>0a > 0).
- b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (b<0b < 0).
- c=sin⁡x−tan⁡xc = \sin x - \tan x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (c<0c < 0).
İfadelerin pozitiflik ve negatiflik durumları belirlenerek sıralamada genel bir taslak oluşturulur.
3
Negatif olan b ve c değerlerini kendi aralarında kıyaslama
bb ve cc değerlerinin farkına bakalım: b−c=(cos⁡x−cot⁡x)−(sin⁡x−tan⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(tan⁡x−cot⁡x)b - c = (\cos x - \cot x) - (\sin x - \tan x) = (\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x)
- cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 (negatif)
- tan⁡x<cot⁡x  ⟹  tan⁡x−cot⁡x<0\tan x < \cot x \implies \tan x - \cot x < 0 (negatif)
İki negatif değerin toplamı da negatif olacağından b−c<0b - c < 0 yani b<cb < c elde edilir.
Her ikisi de negatif olan iki değerin hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için farkları analiz edilir.
4
Genel sıralamayı birleştirme
b<c<0<ab < c < 0 < a olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Elde edilen tüm büyüklük ilişkileri bir araya getirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ve Sıralaması
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 126 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin