Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2521Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4
fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı ile
g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5
fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı birbirine eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a değeri 4'tür.
Doğru cevap 4 değeridir. g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5 fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı g(2)−g(0)2−0=0\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = 0 olarak bulunur. f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ise f(3)−f(1)3−1=4−a\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = 4 - a olarak elde edilir. Hızların eşitliği koşulundan 4−a=04 - a = 0 denklemi kurulur ve a=4a = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−2x2+5g(x) = x^3 - 2x^2 + 5 fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki uç noktalardaki değerleri hesaplanır.
g(2)=23−2(22)+5=5g(2) = 2^3 - 2(2^2) + 5 = 5 ve g(0)=5g(0) = 5 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı hesaplanırken aralık uçlarındaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı hesaplanır.
g(2)−g(0)2−0=5−52=0\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = \frac{5 - 5}{2} = 0 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü olan g(b)−g(a)b−a\frac{g(b) - g(a)}{b - a} ifadesi uygulanır.
3
f(x)=x2−ax+4f(x) = x^2 - ax + 4 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki uç noktalardaki değerleri aa cinsinden hesaplanır.
f(3)=32−3a+4=13−3af(3) = 3^2 - 3a + 4 = 13 - 3a ve f(1)=12−a+4=5−af(1) = 1^2 - a + 4 = 5 - a olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülünde kullanılmak üzere fonksiyon değerleri aa parametresine bağlı olarak ifade edilir.
4
f(x)f(x) fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı aa cinsinden hesaplanır.
f(3)−f(1)3−1=(13−3a)−(5−a)2=8−2a2=4−a\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{(13 - 3a) - (5 - a)}{2} = \frac{8 - 2a}{2} = 4 - a olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulanarak f(x)f(x) fonksiyonunun değişim hızı elde edilir.
5
Elde edilen iki ortalama değişim hızı birbirine eşitlenerek aa değeri çözülür.
4−a=0  ⟹  a=44 - a = 0 \implies a = 4 olarak bulunur.
Soruda her iki fonksiyonun ortalama değişim hızlarının eşit olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim oranını gösterir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır. Geometrik olarak bu değer, fonksiyon grafiği üzerindeki (a,f(a))(a, f(a)) ve (b,f(b))(b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimine eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2522Soru →
xx bir gerçel sayı ve aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−(a−2)x+16x2+4x+8>0\frac{x^2 - (a-2)x + 16}{x^2 + 4x + 8} > 0
eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre, aa'nın alabilece��i farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

a tam sayıs��nın alabileceği değerlerin toplamı 30'dur.
Paydadaki ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir. Eşitsizliğin daima sağlanması için payın da daima pozitif olması gerekir, bu da payın diskriminantının negatif olmasını gerektirir. Buradan elde edilen −6<a<10-6 < a < 10 aralığındaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki ifadenin işaretini belirlemek için diskriminant analizi yapılması.
Δ=−16<0\Delta = -16 < 0 ve başkatsayı pozitif olduğundan payda daima pozitiftir.
Paydanın kökünün olup olmadığını ve işaretinin her yerde aynı olup olmadığını anlamak için.
2
Pay kısmındaki ifadenin daima pozitif olması gerektiği şartının kurulması.
x2−(a−2)x+16>0x^2 - (a-2)x + 16 > 0 ifadesinin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0).
Daima pozitif bir ifadenin paydası pozitifse payı da pozitif olmalıdır ve gerçel kökü bulunmamalıdır.
3
Payın diskriminant eşitsizliğinin çözülmesi.
∣a−2∣<8⇒−6<a<10|a-2| < 8 \Rightarrow -6 < a < 10 aralığı elde edilir.
aa parametresinin alabileceği değer aralığını bulmak için.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların toplanması.
−5-5 ile 99 arasındaki tam sayıların toplamı 3030 olarak hesaplanır.
Soruda istenen aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel ifadenin daima pozitif olması için pay ve paydanın işaretlerinin analizi ve ikinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0).
Soru 2523Soru →
1'den büyük ve x<y<zx < y < z şartını sağlayan x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
log⁡2(x⋅y⋅z)=7\log_2(x \cdot y \cdot z) = 7
log⁡x2+log⁡y2+log⁡z2=74\log_x 2 + \log_y 2 + \log_z 2 = \frac{7}{4}
log⁡x2⋅log⁡y2⋅log⁡z2=18\log_x 2 \cdot \log_y 2 \cdot \log_z 2 = \frac{1}{8}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, 4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)4(\log_x y + \log_y z + \log_z x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

İstenen ifadenin değeri 17'dir.
Soruda verilen logaritmik ifadeler log⁡2\log_2 tabanına dönüştürülüp değişken değiştirme uygulandığında, köklerinin toplamı, ikişerli çarpımlarının toplamı ve çarpımları bilinen bir üçüncü derece denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri bulunup büyüklük sıralamasına göre değişkenlere atandıktan sonra taban değiştirme kuralı yardımıyla hedeflenen toplam tam olarak 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sıralama şartının belirlenmesi
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡2yv = \log_2 y, w=log⁡2zw = \log_2 z olmak üzere 0<u<v<w0 < u < v < w bağıntısı elde edilir.
Logaritmik ifadeleri daha kolay çözebilmek ve cebirsel denklemler elde etmek için.
2
Verilen logaritma denklemlerinin u,v,wu, v, w cinsinden ifade edilmesi
u+v+w=7u + v + w = 7, 1u+1v+1w=74\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = \frac{7}{4} ve uvw=8uvw = 8 denklemleri elde edilir.
Çarpım kuralı (log⁡2(xyz)=log⁡2x+log⁡2y+log⁡2z\log_2(xyz) = \log_2 x + \log_2 y + \log_2 z) ve taban değiştirme kuralının sonucu olan çarpmaya göre tersi özelliğinin (log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}) uygulanması amacıyla.
3
Payda eşitleyerek ikişerli çarpımların toplamının hesaplanması
uv+vw+wu=14uv + vw + wu = 14 bulunur.
İkinci denklemde payda eşitlendiğinde elde edilen uv+vw+wuuvw=74\frac{uv+vw+wu}{uvw} = \frac{7}{4} ifadesinde uvw=8uvw = 8 değerini yerine koymak için.
4
Kökleri u,v,wu, v, w olan üçüncü dereceden denklemin yazılması ve çözülmesi
t3−7t2+14t−8=0t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0 denkleminin kökleri t=1,2,4t = 1, 2, 4 olarak bulunur. Sıralamadan dolayı u=1,v=2,w=4u=1, v=2, w=4 olur.
Toplamları, ikişerli çarpımlarının toplamları ve çarpımları bilinen üç sayıyı belirlemek için Vieta formüllerinden yararlanılır.
5
İstenen ifadenin değerinin taban değiştirme kuralı yardımıyla hesaplanması
4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)=174(\log_x y + \log_y z + \log_z x) = 17 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡xy=log⁡2ylog⁡2x=vu\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} = \frac{v}{u} vb. dönüşümleri yapıp bulunan değerleri yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinin (çarpım kuralı, taban değiştirme ve çarpmaya göre tersi özellikleri) cebirsel denklem sistemleriyle birleştirilerek uygulanması.
Soru 2524Soru →

Terimleri arasında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=1n2+na_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2 + n}

bağınt��sı bulunan bir (an)(a_n) dizisi verilmektedir.

Buna göre, a20a_{20} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7920\frac{79}{20}

Cevap

Dizinin 20. teriminin değeri olan \frac{79}{20} ifadesidir.
Verilen indirgeme bağıntısında 1n2+n\frac{1}{n^2+n} ifadesi 1n−1n+1\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} biçiminde basit kesirlere ayrıştırılır. Ardından n=1n=1 değerinden n=19n=19 değerine kadar terimler yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir (teleskopik toplam) ve a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} elde edilir. a1=3a_1 = 3 değeri yerine yazılarak a20=3+1920=7920a_{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırın.
1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
Teleskopik toplam oluşturarak aradaki terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla ifadeyi iki kesrin farkı olarak yazarız.
2
n değerlerini 1'den 19'a kadar yazarak taraf tarafa toplayın.
n=1  ⟹  a2−a1=1−12n = 1 \implies a_2 - a_1 = 1 - \frac{1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=12−13n = 2 \implies a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
n=19  ⟹  a20−a19=119−120n = 19 \implies a_{20} - a_{19} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}
a20a_{20} terimine ulaşmak için n=1n=1 ile başlayıp en son n=19n=19 yazarak a20−a19a_{20} - a_{19} terimini elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirin.
a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}
Sol taraftaki a2,a3,…,a19a_2, a_3, \dots, a_{19} terimleri birbirini götürür. Sağ tarafta ise ardışık olarak terimler sadeleşir ve geriye sadece ilk ve son terimler kalır.
4
Başlangıç koşulu olan a1=3a_1 = 3 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini hesaplayın.
a20=a1+1920=3+1920=7920a_{20} = a_1 + \frac{19}{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20}
Sadeleşme sonrası kalan denklemde bilinmeyen olan a20a_{20} değerini yalnız bırakıp bilinen başlangıç değerini ekleyerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak terimlerin belirlenmesi.
Soru 2525Soru →
Tepe noktası xx ekseni üzerinde olan
f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a
parabolünün tepe noktasının koordinatları (r,k)(r, k) olduğuna göre, r+ar + a toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile 33 olarak bulunur. Tepe noktası xx ekseni üzerinde olduğu için ordinatı k=0k = 0 olmalıdır. Buradan f(3)=0f(3) = 0 eşitliğinden a=9a = 9 elde edilir. Sonuç olarak r+a=3+9=12r + a = 3 + 9 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisi olan rr değerini r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü yardımıyla bulunuz.
r=−−62⋅1=3r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
Parabolün simetri eksenini (tepe noktasının apsisini) belirlemek için.
2
Tepe noktası xx ekseni üzerinde olduğundan ordinatın k=0k = 0 olması gerektiğini kullanıp f(r)=0f(r) = 0 eşitliğinden aa değerini hesaplayınız.
f(3)=32−6(3)+a=0  ⟹  9−18+a=0  ⟹  a=9f(3) = 3^2 - 6(3) + a = 0 \implies 9 - 18 + a = 0 \implies a = 9
Tepe noktasının xx ekseni üzerinde olma özelliğini uygulayarak bilinmeyen aa parametresini bulmak için.
3
Elde edilen rr ve aa değerlerini toplayınız.
r+a=3+9=12r + a = 3 + 9 = 12
İstenen r+ar + a toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatları ve simetri ekseninin bulunması ile tepe noktasının eksenler üzerindeki konumunun yorumlanması.
Tahmini Süre:45s
Soru 2526Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, [2,4][2, 4] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun [1,5][1, 5] ve [2,4][2, 4] kapalı aralıklarındaki ortalama değişim hızları birbirine eşit olup 22'dir.
Verilen f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki değişim hızı 10−24=2\frac{10 - 2}{4} = 2, [2,4][2, 4] aralığındaki değişim hızı ise 5−12=2\frac{5 - 1}{2} = 2 olarak elde edilir. Her iki aralıkta da ortalama değişim hızı 22 olduğundan ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için f(1)f(1) ve f(5)f(5) değerlerini bulup formülde yerine yazın.
f(1)=12−4(1)+5=2f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2 ve f(5)=52−4(5)+5=10f(5) = 5^2 - 4(5) + 5 = 10 olur. [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı: f(5)−f(1)5−1=10−24=2\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{10 - 2}{4} = 2 bulunur.
Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.
2
Aynı fonksiyonun [2,4][2, 4] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için f(2)f(2) ve f(4)f(4) değerlerini bulup formülü uygulayın.
f(2)=22−4(2)+5=1f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1 ve f(4)=42−4(4)+5=5f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 = 5 olur. [2,4][2, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı: f(4)−f(2)4−2=5−12=2\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 bulunur.
İkinci aralıktaki ortalama değişim hızını bulup birinci aralıktakiyle karşılaştırmak için bu adım gereklidir.
3
Elde edilen ortalama değişim hızı değerlerini karşılaştırın.
Her iki aralıktaki ortalama değişim hızı da 22 olarak bulunmuştur. Dolayısıyla bu iki değer birbirine eşittir.
Soru kökündeki eşitlik iddiasının doğruluğunu teyit etmek için karşılaştırma yapılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir kapalı aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimine eşittir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2527Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7
parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir.

Buna göre, r+kr + k toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Parabolün tepe noktasının bileşenleri toplamı −3-3'tür.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−−122⋅3=2r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2 ve ordinatı k=f(2)=−5k = f(2) = -5 olup bu iki değerin toplamı 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisi olan rr değerini bulmak.
r=2r = 2
Tepe noktasının apsisi parabolün simetri eksenidir ve r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile bulunur. Değerler yerine yazıldığında r=−−122⋅3=2r = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2 elde edilir.
2
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini bulmak.
k=−5k = -5
Tepe noktasının ordinatını bulmak için elde edilen rr değeri fonksiyonda yerine yazılır. k=f(2)=3(2)2−12(2)+7=−5k = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = -5 olur.
3
r+kr + k toplamını hesaplamak.
−3-3
Bulunan r=2r = 2 ve k=−5k = -5 değerleri toplanarak 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarının tepe noktası formülleriyle bulunması.
Soru 2528Soru →

Yerçekimi ivmesinin yükseklik arttıkça azaldığı değişken bir kütleçekim alanında yer alan, düşey doğrultuda yükselen gökdelen gibi çok yüksek bir yapının ağırlık merkezi, kütle merkezine kıyasla yer seviyesine daha yakındır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Doğru seçeneği, yerçekimi ivmesinin yükseklikle azalmasının gökdelenin alt kısımlarına etki eden yerçekimi kuvvetini artırdığını ve bu durumun ağırlık merkezini kütle merkezinin aşağısına (yer seviyesine daha yakına) kaydırdığını doğru bir şekilde açıklar.

Adım Adım Çözüm

1
Kütle merkezi ve ağırlık merkezi kavramlarının tanımlarını karşılaştırın.
Kütle merkezi tamamen cismin kütle dağılımı ile ilgiliyken, ağırlık merkezi cisme etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşke uygulama noktasıdır.
İki kavram arasındaki temel fiziksel farkı ortaya koymak için.
2
Yerçekimi ivmesinin yükseklikle olan değişimini analiz edin.
Yeryüzünden yukarı doğru çıkıldıkça yerçekimi ivmesi (gg) azalır.
Gökdelenin farklı y��ksekliklerindeki birim kütlelere etki eden yerçekimi kuvvetlerini karşılaştırabilmek için.
3
Gökdelene etki eden kuvvetlerin tork dengesini ve bileşkesini bulun.
Alt kısımlardaki kütlelere etki eden yerçekimi kuvvetleri üst kısımlardakilere göre daha büyük olduğu için, bileşke kuvvetin uygulama noktası olan ağırlık merkezi, kütle merkezinin altında (yer seviyesine daha yakın) yer alır.
İfadenin doğruluğunu kesin bir şekilde belirlemek için.

Anahtar Kavram

Değişken yerçekimi alanında kütle merkezi ve ağırlık merkezi ayrımı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2529Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi ile ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (bn)(b_n) aritmetik dizisi için
a3=b3a5=b7a7=b15\begin{aligned} a_3 &= b_3 \\ a_5 &= b_7 \\ a_7 &= b_{15} \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu diziler için b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 olduğuna göre, a11−b35a_{11} - b_{35} farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Dizilerin genel terimleri üzerinden yapılan hesaplamalar sonucu elde edilen 28 değeri doğrudur.
Doğru seçenek olan 28 değeri; geometrik dizide ortak çarpan karesinin r2=2r^2 = 2 ve aritmetik dizide ortak farkın d=1d = 1 bulunmasıyla, a11=64a_{11} = 64 ile b35=36b_{35} = 36 değerlerinin farkı alınarak doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin verilen eşitlikleri arasındaki fark ilişkisini kuralım.
a5−a3=b7−b3a_5 - a_3 = b_7 - b_3 ve a7−a5=b15−b7a_7 - a_5 = b_{15} - b_7 eşitlikleri yazılır.
Geometrik dizi terimleri ile aritmetik dizi terimleri arasındaki farkları ilişkilendirmek.
2
Aritmetik dizinin ortak farkını dd kabul edip indis farkları üzerinden oranlama yapalım.
b7−b3=4db_7 - b_3 = 4d ve b15−b7=8db_{15} - b_7 = 8d olur. Buradan a7−a5a5−a3=8d4d=2\frac{a_7 - a_5}{a_5 - a_3} = \frac{8d}{4d} = 2 elde edilir.
Ortak fark sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yaparak geometrik dizinin terimleri arasında bir bağıntı kurmak.
3
Geometrik dizinin terimlerini ortak çarpan rr cinsinden yazıp r2r^2 değerini bulalım.
a3r4−a3r2a3r2−a3=2  ⟹  a3r2(r2−1)a3(r2−1)=2\frac{a_3 r^4 - a_3 r^2}{a_3 r^2 - a_3} = 2 \implies \frac{a_3 r^2(r^2 - 1)}{a_3(r^2 - 1)} = 2 olur. r2≠1r^2 \neq 1 ve a3≠0a_3 \neq 0 olduğundan sadeleştirme ile r2=2r^2 = 2 bulunur.
Geometrik dizinin ardışık iki çift indisli terimi arasındaki oran ilişkisini çözmek.
4
b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 bilgisini kullanarak dizilerin terim değerlerini bulalım.
Aritmetik dizide b1+b17=b3+b15=20b_1 + b_{17} = b_3 + b_{15} = 20 olur. a3=b3a_3 = b_3 ve a7=b15a_7 = b_{15} olduğundan a3+a7=20a_3 + a_7 = 20 elde edilir. a7=a3r4=4a3a_7 = a_3 r^4 = 4a_3 yazılırsa, 5a3=20  ⟹  a3=45a_3 = 20 \implies a_3 = 4 ve a7=16a_7 = 16 bulunur.
Dizilerin başlangıç ve belirli indisli terimlerinin sayısal değerlerini tespit etmek.
5
Dizilerin ortak farkı dd ve aritmetik dizinin genel terimini elde edelim.
b3=4b_3 = 4, b7=a5=a3r2=8b_7 = a_5 = a_3 r^2 = 8 olur. b7−b3=4d  ⟹  8−4=4d  ⟹  d=1b_7 - b_3 = 4d \implies 8 - 4 = 4d \implies d = 1 bulunur. Buradan bn=n+1b_n = n + 1 genel terimi yazılır.
Soruda istenen aritmetik dizi teriminin sayısal değerini hesaplayabilmek.
6
a11a_{11} ve b35b_{35} terimlerini hesaplayıp farklarını alalım.
a11=a3r8=4×(r2)4=4×24=64a_{11} = a_3 r^8 = 4 \times (r^2)^4 = 4 \times 2^4 = 64 ve b35=35+1=36b_{35} = 35 + 1 = 36 olur. Farkları ise 64−36=2864 - 36 = 28 olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik ve Aritmetik Dizilerin Terimleri Arasındaki İndis İlişkileri
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2530Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a2⋅a10=64a_2 \cdot a_{10} = 64
a53+a73a5+a7=208\frac{a_5^3 + a_7^3}{a_5 + a_7} = 208
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a3+a9a_3 + a_9 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

İstenen toplamın değeri 65'tir.
Verilen geometrik dizide a2⋅a10=a5⋅a7=64a_2 \cdot a_{10} = a_5 \cdot a_7 = 64 ilişkisinden ve iki küp toplamı açılımından a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272 bulunur. Tam kare tamamlama yöntemiyle a5+a7=20a_5 + a_7 = 20 elde edilir. Çarpımları 64, toplamları 20 olan pozitif sayılar 4 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16 olur. Buradan ortak çarpanın karesi r2=4r^2 = 4 olarak bulunur. İstenen terimler a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 olduğundan, bunların toplamı 65 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımını ilişkilendirmek.
a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64
Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (2+10=5+7=122 + 10 = 5 + 7 = 12).
2
Verilen rasyonel ifadeyi iki küp toplamı özdeşliği ile sadeleştirmek.
a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272
a53+a73=(a5+a7)(a52−a5a7+a72)a_5^3 + a_7^3 = (a_5 + a_7)(a_5^2 - a_5 a_7 + a_7^2) özdeşliği kullanılarak payda sadeleştirilir ve a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64 değeri yerine yazılır.
3
Tam kare özdeşliğinden yararlanarak terimlerin toplamını bulmak.
a5+a7=20a_5 + a_7 = 20
(a5+a7)2=a52+a72+2a5a7(a_5 + a_7)^2 = a_5^2 + a_7^2 + 2a_5 a_7 eşitliğinde değerler yerine yazılıp karekök alınır.
4
Çarpımları 64 ve toplamları 20 olan terimleri belirlemek.
a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16
Dizi artan olduğundan küçük olan terim a5=4a_5 = 4, büyük olan terim a7=16a_7 = 16 olmalıdır.
5
Ortak çarpan rr'yi bularak a3a_3 ve a9a_9 terimlerini elde etmek.
a3=1a_3 = 1, a9=64a_9 = 64 ve toplamları 65
a7=a5⋅r2  ⟹  r2=4a_7 = a_5 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 bulunur. Buradan a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkisi ve ortak çarpan yardımıyla terimler arası geçiş yapılması.
Soru 2531Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi, f(x)f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, an=f(n)a_n = f(n) biçiminde tanımlanmıştır.

Bu dizi için,
a1+a3=20a_1 + a_3 = 20
f(a1)=25f(a_1) = 25

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ortak farkının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Ortak farkın alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Soruda verilen a1+a3=20a_1 + a_3 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 ve dolayısıyla a1=10−ra_1 = 10 - r bulunur. f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğinde genel terim f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x-1)r ifadesi kullanılarak (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 ikinci dereceden denkleme ulaşılır. Bu denklemin kökleri (ortak farkın alabileceği değerler) 3 ve 5 olup, toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon arasındaki ilişkiyi belirleme
f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x - 1)r
Genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r olup an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığı için fonksiyon da doğrusal yapıdadır.
2
Verilen terim toplamından a1a_1 terimini ortak fark rr cinsinden ifade etme
a1=10−ra_1 = 10 - r
a1+a3=2a2=20a_1 + a_3 = 2a_2 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 bulunur. a1=a2−ra_1 = a_2 - r bağıntısından a1=10−ra_1 = 10 - r elde edilir.
3
f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğini kullanarak rr parametresine bağlı bir denklem kurma
r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0
f(a1)=a1+(a1−1)r=25f(a_1) = a_1 + (a_1 - 1)r = 25 denkleminde a1=10−ra_1 = 10 - r yazıldığında (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 denklemine ulaşılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek ortak farkın alabileceği değerleri ve toplamını bulma
r=3r = 3 veya r=5r = 5; toplam = 8
r2−8r+15=(r−3)(r−5)=0r^2 - 8r + 15 = (r - 3)(r - 5) = 0 denkleminin kökleri r=3r = 3 ve r=5r = 5 olup, alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin doğrusal fonksiyon yapısı ve indis özellikleri
Soru 2532Soru →
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+(k−2)x+2kf(x) = -x^2 + (k-2)x + 2k
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir. CC noktası yy-ekseni üzerinde olup, parabol üzerinde CC noktasından farklı ve ordinatı CC ile aynı olan nokta DD olarak adlandırılıyor.

Köşeleri A,B,CA, B, C ve DD noktaları olan dörtgenin alanı 3232 birimkare olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

-16
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−2,0)A(-2, 0), B(k,0)B(k, 0), C(0,2k)C(0, 2k) ve ordinatı CC ile aynı olan diğer noktası D(k−2,2k)D(k-2, 2k) doğru şekilde belirlenmiştir. Bu noktaların oluşturduğu yamuğun alanı kk cinsinden ∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 olarak ifade edilir. Bu denklem çözüldüğünde kk sayısı 44 ve −4-4 değerlerini alabilir. Bu değerlerin çarpımı −16-16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme.
yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazılırsa f(0)=2kf(0) = 2k olduğundan C(0,2k)C(0, 2k) olur. xx-eksenini kestiği noktalar için f(x)=0f(x)=0 denklemi çözülürse: −x2+(k−2)x+2k=0  ⟹  x2−(k−2)x−2k=0  ⟹  (x−k)(x+2)=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 0 \implies x^2 - (k-2)x - 2k = 0 \implies (x-k)(x+2) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=kx_2 = k bulunur. Yani A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları elde edilir.
Dörtgenin köşelerini oluşturan AA, BB ve CC noktalarının koordinatlarını bulmak için.
2
DD noktasının koordinatlarını bulma.
DD noktasının ordinatı CC ile aynı olduğundan yD=2ky_D = 2k olmalıdır. −x2+(k−2)x+2k=2k  ⟹  −x2+(k−2)x=0  ⟹  −x(x−(k−2))=0-x^2 + (k-2)x + 2k = 2k \implies -x^2 + (k-2)x = 0 \implies -x(x - (k-2)) = 0 denklemi elde edilir. DD noktası CC'den farklı olduğundan x≠0x \neq 0 olmalıdır, bu yüzden xD=k−2x_D = k-2 bulunur. Dolayısıyla D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktası elde edilir.
Dörtgenin son köşesi olan DD noktasının yerini belirlemek için.
3
ABCDABCD dörtgeninin yapısını ve alan formülünü oluşturma.
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(k,0)B(k, 0) noktaları y=0y=0 (xx-ekseni) doğrusu üzerindedir. C(0,2k)C(0, 2k) ve D(k−2,2k)D(k-2, 2k) noktaları y=2ky=2k doğrusu üzerindedir. Bu iki doğru birbirine paralel oldu��undan ABCDABCD bir yamuktur. Yamuğun alt taban uzunluğu ∣AB∣=∣k−(−2)∣=∣k+2∣|AB| = |k - (-2)| = |k+2|, üst taban uzunluğu ∣CD∣=∣(k−2)−0∣=∣k−2∣|CD| = |(k-2) - 0| = |k-2| ve yüksekliği h=∣2k−0∣=∣2k∣h = |2k - 0| = |2k| birimdir. Yamuğun alan formülü: Alan(ABCD)=∣AB∣+∣CD∣2⋅h=∣k+2∣+∣k−2∣2⋅∣2k∣=∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \frac{|k+2| + |k-2|}{2} \cdot |2k| = |k|(|k+2| + |k-2|) olur.
Dörtgenin bir yamuk olduğunu belirleyip alanını kk cinsinden ifade etmek için.
4
Alan denklemini çözerek kk değerlerini bulma.
∣k∣(∣k+2∣+∣k−2∣)=32|k|(|k+2| + |k-2|) = 32 denklemini çözeriz:
- k≥2k \geq 2 ise: k(k+2+k−2)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=4k(k+2 + k-2) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = 4 (aralığa uygundur).
- 0≤k<20 \leq k < 2 ise: k(k+2+2−k)=32  ⟹  4k=32  ⟹  k=8k(k+2 + 2-k) = 32 \implies 4k = 32 \implies k = 8 (aralığa uygun değildir).
- −2≤k<0-2 \leq k < 0 ise: −k(k+2+2−k)=32  ⟹  −4k=32  ⟹  k=−8-k(k+2 + 2-k) = 32 \implies -4k = 32 \implies k = -8 (aralığa uygun değildir).
- k<−2k < -2 ise: −k(−k−2+2−k)=32  ⟹  2k2=32  ⟹  k2=16  ⟹  k=−4-k(-k-2 + 2-k) = 32 \implies 2k^2 = 32 \implies k^2 = 16 \implies k = -4 (aralığa uygundur).
Böylece kk sayısının alabileceği farklı değerler 44 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise 4⋅(−4)=−164 \cdot (-4) = -16 olur.
Alanın 3232 birimkare olmasını sağlayan tüm gerçel kk değerlerini bulup çarpmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik şekiller oluşturacak şekilde kullanılması.
Soru 2533Soru →
Tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve ortak çarpanı 11'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a3⋅a9=1024a_3 \cdot a_9 = 1024
a5+a7=80a_5 + a_7 = 80
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Geometrik dizilerde a3⋅a9=a62a_3 \cdot a_9 = a_6^2 özelliği kullanılarak a6=32a_6 = 32 elde edilir. Daha sonra a5+a7=80a_5 + a_7 = 80 denklemi a6r+a6⋅r=80\frac{a_6}{r} + a_6 \cdot r = 80 şeklinde yazılarak r=2r = 2 (veya r=1/2r = 1/2) bulunur. Ortak çarpan 1'den büyük dendiği için r=2r = 2 seçilir ve dördüncü terim a4=a6/r2=32/4=8a_4 = a_6 / r^2 = 32 / 4 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kurma
a3⋅a9=a62=1024  ⟹  a6=32a_3 \cdot a_9 = a_6^2 = 1024 \implies a_6 = 32
Geometrik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (an−k⋅an+k=an2a_{n-k} \cdot a_{n+k} = a_n^2). Terimler pozitif olduğu için pozitif kök alınır.
2
Diğer terimleri altıncı terim ve ortak çarpan cinsinden yazma
a5=32ra_5 = \frac{32}{r} ve a7=32ra_7 = 32r
Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimler arasındaki oran ortak çarpana (rr) eşittir.
3
Verilen toplam eşitliğini kullanarak ortak çarpanı bulma
32r+32r=80  ⟹  2r2−5r+2=0  ⟹  r=2\frac{32}{r} + 32r = 80 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0 \implies r = 2 veya r=12r = \frac{1}{2}
Toplam eşitliği düzenlendiğinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir ve bu denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
Ortak çarpanı seçme ve dördüncü terimi hesaplama
r=2r = 2 seçilir. a4=a6r2=324=8a_4 = \frac{a_6}{r^2} = \frac{32}{4} = 8
Soruda ortak çarpanın 1'den büyük olduğu belirtildiğinden r=2r = 2 alınır. Altıncı terimden iki adım geriye gidilerek dördüncü terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası bağıntılar ve ortak çarpanın belirlenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2534Soru →

Bir radyoaktif elementin kalan kütlesi y(t)y(t) gram, başlangıçtaki kütlesi y0y_0 gram ve geçen süre tt gün olmak üzere, bu elementin zamana bağlı bozunma modeli

y(t)=y0⋅(12)t24y(t) = y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{24}}

formülüyle modellenmektedir.

Bu elementin başlangıçtaki kütlesinin %60\%60'ının bozunarak yok olması için geçen süre t1t_1 gün, %85\%85'inin bozunarak yok olması için geçen süre t2t_2 gündür.

Buna göre, t2−t1t_2 - t_1 farkı kaç gündür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3

Cevap

72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 gün
Doğru yanıt olan 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 ifadesi, sırasıyla kalan kütle oranlarının %40\%40 ve %15\%15 olarak tespit edilip denklemlerin oranlanması ve ardından logaritma özelliklerinin doğru biçimde işletilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
t1t_1 süresi için kalan k��tle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %60\%60'ı bozunduğunda geriye kalan kütle %40\%40'ı olur. Buradan y(t1)=0,40⋅y0y(t_1) = 0,40 \cdot y_0 elde edilir.
Bozunma modelinde kalan kütle formülü kullanıldığından kalan oran tespit edilmelidir.
2
t2t_2 süresi için kalan kütle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %85\%85'i bozunduğunda geriye kalan kütle %15\%15'i olur. Buradan y(t2)=0,15⋅y0y(t_2) = 0,15 \cdot y_0 elde edilir.
Zamana bağl�� kalan kütle oranını denklemde yerine yazmak için.
3
Elde edilen denklemleri birbirine oranlamak.
y(t2)y(t1)=y0⋅(12)t224y0⋅(12)t124⇒(12)t2−t124=0,150,40=38\frac{y(t_2)}{y(t_1)} = \frac{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{24}}}{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{24}}} \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{0,15}{0,40} = \frac{3}{8} denklemine ulaşılır.
Üstel ifadeleri ortak tabanda sadeleştirerek fark değişkenini çekmek için.
4
Üstel ifadeyi logaritma kullanarak çözmek.
2−t2−t124=38⇒2t2−t124=832^{-\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 2^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{8}{3} olur. Buradan taban 2 alınarak logaritma uygulanırsa, t2−t124=log⁡2(83)\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2\left(\frac{8}{3}\right) elde edilir.
Bilinmeyen üssü logaritma yardımıyla yalnız bırakmak için.
5
Logaritma bölme özelliğini uygulayıp t2−t1t_2 - t_1 farkını yalnız bırakmak.
t2−t124=log⁡28−log⁡23=3−log⁡23⇒t2−t1=24⋅(3−log⁡23)=72−24log⁡23\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2 8 - \log_2 3 = 3 - \log_2 3 \Rightarrow t_2 - t_1 = 24 \cdot (3 - \log_2 3) = 72 - 24 \log_2 3 olarak bulunur.
İfadenin en sade halini elde etmek ve istenen farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerde yarı ömür, yüzdesel bozunma oranları ve logaritma bölme özelliğinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2535Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+2⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen değer 20 olarak bulunur.
İndirgemeli dizide ardışık terimlerin oranı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirildiğinde, a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu yardımıyla a15=120a_{15} = \frac{1}{20} olarak elde edilir. Bu değerin çarpmaya göre tersi alındığında doğru sonuç 20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,3,…,141, 2, 3, \dots, 14 yazarak terimler arasındaki ilişkileri belirleyin.
n=1n=1 için a2=13a1a_2 = \frac{1}{3} a_1, n=2n=2 için a3=24a2a_3 = \frac{2}{4} a_2, n=3n=3 için a4=35a3a_4 = \frac{3}{5} a_3, …\dots, n=14n=14 için a15=1416a14a_{15} = \frac{14}{16} a_{14} elde edilir.
Dizinin terimlerini birbirine bağlayan eşitlikleri taraf tarafa çarparak teleskopik sadeleştirme yapabilmek için.
2
Elde edilen 14 adet eşitliği taraf tarafa çarpın.
a2⋅a3⋅a4…a15=(13⋅24⋅35…1416)a1⋅a2⋅a3…a14a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \dots a_{15} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{14}{16}\right) a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_{14} eşitliğinden a2,a3,…,a14a_2, a_3, \dots, a_{14} terimleri sadeleşerek a15=(1⋅215⋅16)a1a_{15} = \left(\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 16}\right) a_1 elde edilir.
Ardışık terimlerin çarpım durumunda sadeleşmesini (teleskopik çarpım) sağlamak için.
3
Sadeleşme sonucunu düzenleyin ve a1=6a_1 = 6 başlangıç değerini yerine yazarak a15a_{15} değerini hesaplayın.
a15=2240⋅6=1120⋅6=120a_{15} = \frac{2}{240} \cdot 6 = \frac{1}{120} \cdot 6 = \frac{1}{20} bulunur.
a15a_{15} teriminin sayısal değerine ulaşmak için.
4
Bizden istenen 1a15\frac{1}{a_{15}} ifadesinin değerini bulun.
1a15=11/20=20\frac{1}{a_{15}} = \frac{1}{1/20} = 20 bulunur.
Soruda a15a_{15} yerine 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri sorulduğu için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi kullanılarak genel veya belirli bir terimin başlangıç terimi cinsinden bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2536Soru →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde ilk terim a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x ve ortak çarpan r=log⁡x27r = \log_x 27 olarak tanımlanıyor.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı 1313 olduğuna göre, ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 121

Cevap

İlk beş terimin toplamı 121'dir.
Logaritma özellikleri kullanılarak dizinin terimleri a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x, a2=3a_2 = 3 ve a3=9log⁡3xa_3 = \frac{9}{\log_3 x} şeklinde elde edilir. Bu terimlerin toplamı 1313'e eşitlendiğinde log⁡3x=1\log_3 x = 1 ve log⁡3x=9\log_3 x = 9 olmak üzere iki kök bulunur. Dizinin artan olması için ortak çarpanın r>1r > 1 olması gerektiğinden a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 durumunu sağlayan log⁡3x=1\log_3 x = 1 kökü kabul edilir. İlk 55 terimin toplamı ise S5=1⋅35−13−1=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 121 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terim tanımını kullanarak ikinci ve üçüncü terimleri xx cinsinden ifade etmek.
a2=a1⋅r=log⁡3x⋅log⁡x27=log⁡327=3a_2 = a_1 \cdot r = \log_3 x \cdot \log_x 27 = \log_3 27 = 3 ve a3=a2⋅r=3⋅log⁡x27=3⋅log⁡327log⁡3x=9log⁡3xa_3 = a_2 \cdot r = 3 \cdot \log_x 27 = 3 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} = \frac{9}{\log_3 x}
Dizinin tüm terimlerini ortak bir logaritmik tabanda yazarak denklemi basitleştirmek.
2
İlk üç terimin toplamı olan S3=13S_3 = 13 eşitliğini kurmak.
a1+a2+a3=log⁡3x+3+9log⁡3x=13  ⟹  log⁡3x+9log⁡3x=10a_1 + a_2 + a_3 = \log_3 x + 3 + \frac{9}{\log_3 x} = 13 \implies \log_3 x + \frac{9}{\log_3 x} = 10
Bilinmeyen logaritmik ifadeyi belirlemek üzere bir denklem elde etmek.
3
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yaparak oluşan rasyonel denklemi çözmek.
u+9u=10  ⟹  u2−10u+9=0  ⟹  (u−1)(u−9)=0  ⟹  u=1u + \frac{9}{u} = 10 \implies u^2 - 10u + 9 = 0 \implies (u-1)(u-9) = 0 \implies u = 1 veya u=9u = 9
İkinci dereceden denklemin köklerini bularak a1a_1 teriminin alabileceği değerleri tespit etmek.
4
Dizinin 'artan' olma koşulunu kullanarak uygun olan uu değerini seçmek.
u=9  ⟹  a1=9u = 9 \implies a_1 = 9 ve r=log⁡x27=3log⁡3x=39=13r = \log_x 27 = \frac{3}{\log_3 x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} olur. Ortak çarpan r<1r < 1 olduğundan bu dizi azalandır.
u=1  ⟹  a1=1u = 1 \implies a_1 = 1 ve r=31=3r = \frac{3}{1} = 3 olur. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan bu dizi artandır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 değerleri seçilir.
Soruda verilen 'artan geometrik dizi' şartını sağlayan tek durumu belirlemek.
5
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesini n=5n = 5 için uygulamak.
S5=1⋅35−13−1=243−12=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121
Dizinin ilk beş teriminin toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı ve logaritmik ifadelerde taban değiştirme kuralı.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2537Soru →
log⁡12(2x−4)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) \geq -3 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 18'dir ve bu ifade doğrudur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesinden gelen x>2x > 2 şartı ile eşitsizliğin çözümünden gelen x≤6x \leq 6 şartı kesiştirildiğinde en geniş çözüm aralığı (2,6](2, 6] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar olan 3,4,53, 4, 5 ve 66 değerlerinin toplamı 18 olduğundan verilen önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirleyin.
2x−4>0  ⟹  x>22x - 4 > 0 \implies x > 2
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliği çözün.
2x−4≤(12)−3  ⟹  2x−4≤8  ⟹  2x≤12  ⟹  x≤62x - 4 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \implies 2x - 4 \leq 8 \implies 2x \leq 12 \implies x \leq 6
Taban 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünü kesiştirerek en geniş çözüm kümesini bulun.
2<x≤62 < x \leq 6
Eşitsizliğin sağlanması için hem tanım kümesi şartının hem de eşitsizlik çözümünün aynı anda sağlanması gerekir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
3+4+5+6=183 + 4 + 5 + 6 = 18
Aralıktaki tam sayılar 3,4,5,63, 4, 5, 6'dır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna göre eşitsizlik yönü belirleme ve tanım kümesi sınırlamalarını uygulama
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2538Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde ortak fark pozitif bir gerçel sayıdır. Bu dizinin terimleri arasında,
a5+a9=34a_5 + a_9 = 34
a32+a112=706a_3^2 + a_{11}^2 = 706
e��itlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 55 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde simetrik indislerin aritmetik ortalaması ortadaki terimi verir (a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7). Buradan a7=17a_7 = 17 bulunur. a3a_3 ve a11a_{11} terimleri sırasıyla a7−4ra_7 - 4r ve a7+4ra_7 + 4r şeklinde yazılıp kareleri toplandığında çapraz terimler birbirini götürür ve 2(172+16r2)=7062(17^2 + 16r^2) = 706 denklemi elde edilir. Buradan r2=4r^2 = 4 ve pozitiflik şartından r=2r = 2 bulunur. Son olarak a1=a7−6r=17−12=5a_1 = a_7 - 6r = 17 - 12 = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndis simetrisini kullanarak a7a_7 terimini belirleme
a7=17a_7 = 17
a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7 bağıntısı aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki simetriden kaynaklanır.
2
a3a_3 ve a11a_{11} terimlerini a7a_7 ve ortak fark rr türünden yazma
a3=17−4ra_3 = 17 - 4r ve a11=17+4ra_{11} = 17 + 4r
Bilinmeyen sayısını azaltmak için terimleri a7a_7 referans alınarak ifade etmek kolaylık sağlar.
3
Kareler toplamı eşitliğinde yerine yazarak ortak fark rr'yi bulma
r=2r = 2
(17−4r)2+(17+4r)2=2(289+16r2)=706(17-4r)^2 + (17+4r)^2 = 2(289 + 16r^2) = 706 denkleminden r2=4r^2 = 4 ve pozitif ortak fark şartından r=2r=2 elde edilir.
4
a1a_1 ilk terimini hesaplama
a1=5a_1 = 5
a7=a1+6ra_7 = a_1 + 6r genel terim formülünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması ve genel terim özellikleri.
Soru 2539Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında A ve B tüplerindeki bakteri popülasyonları gözlemlenmektedir. A tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin 3. terimi 12⋅10412 \cdot 10^4 ve 6. terimi 96⋅10496 \cdot 10^4 olarak ölçülmüştür. B tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri ise bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin ilk 8 teriminin toplamı 88⋅10488 \cdot 10^4 ve 4. terimi 10⋅10410 \cdot 10^4 olarak belirlenmiştir. Buna göre, A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı kaç adet 10410^4'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı 12 adet 10410^4'tür.
A tüpündeki bakteri sayısı geometrik dizi (an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1}) ve B tüpündeki bakteri sayısı aritmetik dizi (bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4) kurallarına uyar. an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n eşitliğinden n=5n = 5 saati elde edilir. 5. saatin sonunda B tüpünde 12⋅10412 \cdot 10^4 bakteri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A tüpünün geometrik dizisi (an)(a_n) için ortak çarpanı ve ilk terimi belirlemek.
a3=a1⋅r2=12⋅104a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 \cdot 10^4 ve a6=a1⋅r5=96⋅104a_6 = a_1 \cdot r^5 = 96 \cdot 10^4 eşitliklerinden r3=8  ⟹  r=2r^3 = 8 \implies r = 2 bulunur. Buradan a1=3⋅104a_1 = 3 \cdot 10^4 elde edilir. Genel terim an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} olur.
Geometrik dizinin her bir saatin sonundaki değerlerini bulmak için genel terim formülünü oluşturmamız gerekir.
2
B tüpünün aritmetik dizisi (bn)(b_n) için ortak farkı ve ilk terimi belirlemek.
b4=b1+3d=10⋅104b_4 = b_1 + 3d = 10 \cdot 10^4 ve S8=4(2b1+7d)=88⋅104  ⟹  2b1+7d=22⋅104S_8 = 4(2b_1 + 7d) = 88 \cdot 10^4 \implies 2b_1 + 7d = 22 \cdot 10^4 denklem sistemi çözüldüğünde d=2⋅104d = 2 \cdot 10^4 ve b1=4⋅104b_1 = 4 \cdot 10^4 bulunur. Genel terim bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4 olur.
Aritmetik dizinin her saatin sonundaki değerlerini hesaplayabilmek için ortak farkı ve ilk terimi bulmamız gerekir.
3
an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n denklemini çözerek nn değerini bulmak.
3⋅104⋅2n−1=4⋅(2n+2)⋅104  ⟹  3⋅2n−1=8(n+1)  ⟹  3⋅2n−4=n+13 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot (2n + 2) \cdot 10^4 \implies 3 \cdot 2^{n-1} = 8(n + 1) \implies 3 \cdot 2^{n-4} = n + 1 denklemini sağlayan pozitif tam sayı n=5n = 5 olarak bulunur.
İki popülasyon arasındaki oran şartını sağlayan saati belirlemek.
4
n=5n = 5 için B tüpündeki bakteri sayısını hesaplamak.
b5=(2⋅5+2)⋅104=12⋅104b_5 = (2 \cdot 5 + 2) \cdot 10^4 = 12 \cdot 10^4 bulunur.
İstenen saatin sonundaki bakteri miktarını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri, toplam formülleri ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Soru 2540Soru →
1'den farklı pozitif xx gerçel sayısı için,
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡x(14)\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_x\left(\frac{1}{4}\right)
eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitli��i sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel sayı yarım (1/2) değeridir.
Zincir kuralı kullanılarak sol taraf sadeleştirildiğinde log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(8x) = 3 + \log_2 x elde edilir. Sağ taraf ise −2log⁡2x\frac{-2}{\log_2 x} şeklinde yazılır. t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü ile elde edilen t2+3t+2=0t^2 + 3t + 2 = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 ve t=−2t = -2'dir. Buradan x=1/2x = 1/2 ve x=1/4x = 1/4 değerleri bulunur. Ancak x=1/4x = 1/4 değeri denklemdeki log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) teriminin tabanını 1 yaptığından tanımsızlığa neden olur ve elenir. Bu yüzden tek geçerli çözüm yarım (1/2) değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki logaritmik ifadeyi taban değiştirme kuralı yardımıyla sadeleştirin.
log⁡2(x)⋅log⁡x(4x)⋅log⁡4x(8x)=log⁡2(8x)=3+log⁡2x\log_2(x) \cdot \log_x(4x) \cdot \log_{4x}(8x) = \log_2(8x) = 3 + \log_2 x
Zincir kuralı ve taban değiştirme özellikleri sayesinde çarpım durumundaki ifadeler sadeleşir ve tek bir logaritma tabanına indirgenir.
2
Sağ taraftaki ifadeyi 2 tabanında yazın.
log⁡x(14)=log⁡x(2−2)=−2log⁡2x\log_x\left(\frac{1}{4}\right) = \log_x(2^{-2}) = \frac{-2}{\log_2 x}
Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için tüm ifadeleri aynı logaritma tabanına dönüştürmek gerekir.
3
t=log⁡2xt = \log_2 x dönüşümü yaparak denklemi çözün.
3+t=−2t  ⟹  t2+3t+2=0  ⟹  (t+1)(t+2)=0  ⟹  t=−1 veya t=−23 + t = -\frac{2}{t} \implies t^2 + 3t + 2 = 0 \implies (t+1)(t+2) = 0 \implies t = -1 \text{ veya } t = -2
İkinci dereceden bir denklem elde ederek olası kök adaylarını belirlemek.
4
tt değerlerinden xx değerlerini bulun ve logaritmanın tanım kümesini kontrol edin.
t=−1  ⟹  x=12t = -1 \implies x = \frac{1}{2} (geçerli); t=−2  ⟹  x=14t = -2 \implies x = \frac{1}{4} (tabanı 1 yaptığı için geçersiz).
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. x=14x = \frac{1}{4} değeri log⁡4x(8x)\log_{4x}(8x) ifadesinin tabanını 4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1 yaptığından çözüm kümesine alınamaz.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 127 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin