Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 301Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S9−S5=64S_9 - S_5 = 64
S6=48S_6 = 48

olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin 10. terimi 21'dir.
Verilen toplam ve fark eşitliklerinden elde edilen 2a1+13d=322a_1 + 13d = 32 ve 2a1+5d=162a_1 + 5d = 16 denklem sistemi çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak bulunur. Bu değerlerle dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+18=21a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S5S_9 - S_5 ifadesinin terimler ve ortak fark cinsinden eşitini bulma
2a1+13d=322a_1 + 13d = 32
S9−S5=a6+a7+a8+a9S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 eşitliğinde her terim a1a_1 ve dd cinsinden yazılarak toplanır.
2
S6S_6 terim toplamı formülünü kullanarak ikinci bir denklem elde etme
2a1+5d=162a_1 + 5d = 16
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=6n = 6 yazılıp toplam 48'e eşitlenir.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulma
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3
İki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla dd bulunur, ardından elde edilen değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
4
Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değerini hesaplama
a10=21a_{10} = 21
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d genel terim formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve genel terim özellikleri
Soru 302Soru →
log⁡12(x−2)+3log⁡3(x2−9)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3}{\log_3(x^2 - 9) - 3} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 34'tür.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 7, 8, 9 ve 10 olup toplamları 34'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>3x > 3 olmalıdır.
log⁡b(a)\log_b(a) ifadesinin tanımlı olması için a>0a > 0 olmalıdır. Dolayısıyla x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 koşullarının kesişimi alınarak x>3x > 3 bulunur.
2
Payın kökünü bulmak.
x=10x = 10
log⁡12(x−2)+3=0  ⟹  log⁡12(x−2)=−3  ⟹  x−2=8  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) = -3 \implies x - 2 = 8 \implies x = 10 olur.
3
Paydanın köklerini bulmak.
x=6x = 6 (ve x=−6x = -6, ancak bu değer tanım kümesi dışındadır).
log⁡3(x2−9)−3=0  ⟹  log⁡3(x2−9)=3  ⟹  x2−9=27  ⟹  x2=36  ⟹  x=6\log_3(x^2 - 9) - 3 = 0 \implies \log_3(x^2 - 9) = 3 \implies x^2 - 9 = 27 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 veya x=−6x = -6 olur. Tanım kümesi x>3x > 3 olduğundan sadece x=6x = 6 kökü incelenir.
4
Pay ve paydanın işaretlerini tanım kümesi olan (3,∞)(3, \infty) aralığında incelemek.
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin [6,10][6, 10] aralığında pozitif veya sıfır olduğu, ancak x=6x = 6'da payda sıfır olduğu için tanımsız olduğu belirlenir. Çözüm kümesi (6,10](6, 10] olarak elde edilir.
Payın tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan azalan, paydanın tabanı 3>13 > 1 olduğundan artan fonksiyondur. Bu durum işaret tablosundaki yönleri belirler.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak.
34
(6,10](6, 10] aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10 olup, toplamları 7+8+9+10=347 + 8 + 9 + 10 = 34 eder.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tanım kümesi sınırlamaları, tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin işaret incelemesi.
Soru 303Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, aa ve bb kenar uzunlukları sırasıyla 6 birim6\text{ birim} ve 3 birimdir.3\text{ birimdir.}

m(A^)−m(B^)=90∘m(\widehat{A}) - m(\widehat{B}) = 90^\circ

olduğuna göre, cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri 2 olarak bulunur.
Sinüs Teoremi uygulanarak 6sin⁡(90∘+B)=3sin⁡B\frac{6}{\sin(90^\circ + B)} = \frac{3}{\sin B} elde edilir. sin⁡(90∘+B)=cos⁡B\sin(90^\circ + B) = \cos B özdeşliği kullanıldığında 6cos⁡B=3sin⁡B\frac{6}{\cos B} = \frac{3}{\sin B} bağıntısı bulunur. Buradan oran-orantı kuralları ile cot⁡B=cos⁡Bsin⁡B=2\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = 2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgende Sinüs Teoremi bağıntısı yazılır.
asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})}
Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
a=6a = 6, b=3b = 3 ve m(A^)=90∘+m(B^)m(\widehat{A}) = 90^\circ + m(\widehat{B}) değerleri denklemde yerine yazılır.
6sin⁡(90∘+B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\sin(90^\circ + \widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})}
Verilen bağıntıyı kullanarak denklemi tek bir açı cinsinden ifade etmek için.
3
Trigonometrik indirgeme kullanılarak sin⁡(90∘+B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+B^)=cos⁡(B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) = \cos(\widehat{B}) olduğundan denklem 6cos⁡(B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\cos(\widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})} halini alır.
İkinci bölgedeki açının sinüs değerini birinci bölgedeki kosinüs cinsinden yazmak için.
4
Elde edilen denklem düzenlenerek cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) oranı hesaplanır.
cos⁡(B^)sin⁡(B^)=63=2\frac{\cos(\widehat{B})}{\sin(\widehat{B})} = \frac{6}{3} = 2 yani cot⁡(B^)=2\cot(\widehat{B}) = 2 bulunur.
Soruda bizden istenen oranı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Soru 304Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105
S10=120S_{10} = 120

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ardışık bazı terimlerinin toplamını gösteren
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80

eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan k pozitif tam sayısı 8'dir.
Verilen S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105 eşitliğinden ardışık üç terimin toplamı 3a17=105  ⟹  a17=353a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35 bulunur. İlk nn terim toplamı formülü kullanılarak S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2 bulunur. Ardışık 4 terimin toplamı olan ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)d=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d = 80 eşitliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında 8k+16=80  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies k = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
S18−S15S_{18} - S_{15} farkını dizi terimleri cinsinden yazıp a17a_{17} terimini bulmak.
a16+a17+a18=105  ⟹  3a17=105  ⟹  a17=35a_{16} + a_{17} + a_{18} = 105 \implies 3a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35. Buradan a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi elde edilir.
Bir dizinin ilk 18 teriminin toplamından ilk 15 teriminin toplamı çıkarıldığında geriye son 3 terim (16., 17. ve 18. terimler) kalır. Aritmetik dizilerde ardışık üç terimin toplamı, ortadaki terimin 3 katına eşittir.
2
S10=120S_{10} = 120 bilgisini ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak yazmak.
S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 denklemi elde edilir.
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülü ile hesaplanır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak.
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3 olarak bulunur.
a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi 2 ile genişletilerek 2a1+32d=702a_1 + 32d = 70 elde edilir. Bu denklemden 2a1+9d=242a_1 + 9d = 24 çıkarılırsa 23d=46  ⟹  d=223d = 46 \implies d = 2 bulunur. dd değeri ilk denklemde yerine yazıldığında a1=3a_1 = 3 elde edilir.
4
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80 eşitliğini a1a_1 ve dd cinsinden yazıp kk değerini hesaplamak.
8k+16=80  ⟹  8k=64  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies 8k = 64 \implies k = 8 bulunur.
Verilen toplam ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)da_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d olarak ifade edilebilir. a1=3a_1 = 3 ve d=2d = 2 değerleri yerleştirildiğinde 4(3)+(4k+2)(2)=12+8k+4=8k+16=804(3) + (4k + 2)(2) = 12 + 8k + 4 = 8k + 16 = 80 eşitliğinden kk değeri 8 olarak çözülür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler
Soru 305Soru →

Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

n⋅an+1−(n+2)⋅an=2n \cdot a_{n+1} - (n+2) \cdot a_n = 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, a30a_{30} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929

Cevap

Doğru cevap 929'dur.
Verilen bağıntı her iki tarafı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek teleskobik bir fark bağıntısına dönüştürülür. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümüyle elde edilen bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} eşitliği n=1n=1 ile n=29n=29 arasında toplandığında aradaki terimler sadeleşir. Başlangıç koşulu a1=1a_1 = 1 kullanılarak genel terim an=n(n+1)−1a_n = n(n+1) - 1 olarak elde edilir. Buradan a30=30⋅31−1=929a_{30} = 30 \cdot 31 - 1 = 929 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ile bölerek teleskobik biçime hazırlamak
an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n(n+1)(n+2)\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Ardışık terimler arasında ortak paydalar oluşturarak sadeleştirme yapmak
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlamak
bn+1−bn=2n(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Bağıntıyı birinci dereceden doğrusal bir indirgemeli dizi biçimine indirgemek
3
Rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı olarak yazmak
bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}
Teleskobik toplam yöntemiyle sadeleşebilecek bir yapı elde etmek
4
n=1n=1 ile n=29n=29 arasındaki terimler için taraf tarafa toplama yapmak
b30−b1=12−130⋅31b_{30} - b_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{30 \cdot 31}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskobik sadeleşme) sağlamak
5
b1=12b_1 = \frac{1}{2} başlangıç değerini kullanarak b30b_{30} terimini bulmak
b30=1−130⋅31b_{30} = 1 - \frac{1}{30 \cdot 31}
a1=1a_1 = 1 olduğu için b1=a11⋅2=12b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} elde edilir ve yerine yazılır
6
b30b_{30} tanımından yararlanarak a30a_{30} değerini hesaplamak
a30=929a_{30} = 929
b30=a3030⋅31b_{30} = \frac{a_{30}}{30 \cdot 31} bağıntısında paydaları eşitleyip sadeleştirerek sonuca ulaşmak

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan/bölen (bütünleştirici faktör) kullanarak teleskobik toplam oluşturma
Soru 306Soru →
3⋅cos⁡50∘+sin⁡50∘cos⁡20∘\frac{\sqrt{3} \cdot \cos 50^\circ + \sin 50^\circ}{\cos 20^\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin değeri 2'dir.
Verilen ifadede 3\sqrt{3} katsayısı yerine tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} yazılarak payda eşitlendiğinde pay kısmı sinüsün toplam formülü olan sin⁡(60∘+50∘)=sin⁡110∘\sin(60^\circ + 50^\circ) = \sin 110^\circ ifadesine dönüşür. Payda kısmındaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} değeri yukarı çarpım olarak geçer ve pay 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur. İkinci bölgede açılar dönüştürüldüğünde sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan payda yer alan cos⁡20∘\cos 20^\circ ile sadeleşir ve sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
3\sqrt{3} katsayısını tanjant cinsinden ifade etme
3=tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıyı trigonometrik orana çeviririz.
2
Pay kısmında payda eşitleme yapma
sin⁡60∘⋅cos⁡50∘+cos⁡60∘⋅sin⁡50∘cos⁡60∘\frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 50^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 50^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplama işlemini ortak paydada birleştirerek pay kısmında sinüs toplam formülünün yapısını oluştururuz.
3
Sinüs toplam formülünü uygulama ve cos⁡60∘\cos 60^\circ değerini yerine yazma
Pay sin⁡110∘\sin 110^\circ, paydadaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} yukarı çarpım olarak geçtiğinde pay ifadesi 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur.
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b özdeşliğini kullanırız.
4
Açı indirgemesi yapma ve sonucu bulma
sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan ifade 2cos⁡20∘cos⁡20∘=2\frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 olur.
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek için açıyı birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayacak şekilde dar açıya dönüştürürüz.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve 3=tan⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ dönüşümü yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 307Soru →
Her nn pozitif tam sayısı için genel terimi
an=3n+1(n+1)!a_n = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}
olan (an)(a_n) dizisi tanımlanıyor.

Buna göre, ak+1ak=15\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{5} eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Eşitliği sağlayan kk pozitif tam sayısı 13'tür.
Ardışık terimlerin oranı alındığında üslü ifadeler ve faktöriyel çarpanları sadeleşerek 3k+2\frac{3}{k+2} sonucuna ulaşılır. Bu ifadenin 15\frac{1}{5}'e eşitlenmesiyle k+2=15k+2 = 15 ve k=13k = 13 pozitif tam sayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aka_k ve ak+1a_{k+1} terimlerinin ifadelerini genel terim formülünü kullanarak yazarız.
ak=3k+1(k+1)!a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)!} ve ak+1=3k+2(k+2)!a_{k+1} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)!}
Ardışık iki terim arasındaki oranı hesaplayabilmek için bu terimlerin açık biçimlerini belirlememiz gerekir.
2
Elde edilen terimleri oranlayarak sadeleştirme işlemlerini uygularız.
ak+1ak=3k+2\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3}{k+2}
Üslü sayılarda bölme kuralı (3k+2/3k+1=33^{k+2} / 3^{k+1} = 3) ve faktöriyel açılım özelliği ((k+2)!=(k+2)⋅(k+1)!(k+2)! = (k+2) \cdot (k+1)!) yardımıyla pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir.
3
Sadeleşmiş oran�� 15\frac{1}{5} değerine eşitleyerek birinci dereceden denklemi çözeriz.
k=13k = 13
3k+2=15\frac{3}{k+2} = \frac{1}{5} denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında k+2=15k+2 = 15 ve buradan k=13k = 13 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminde değişken yerine indis yazarak terimleri belirleme ve faktöriyel içeren ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 308Soru →

Bir geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve beşinci terimi a5=162a_5 = 162 olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 18'dir.
Geometrik dizilerde her terimin karesi, kendisine eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir. Buradan a32=a1⋅a5=324a_3^2 = a_1 \cdot a_5 = 324 bulunur. a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 olduğundan ve a1=2a_1 = 2 pozitif, r2r^2 negatif olamayacağından üçüncü terim 18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini uygulayın.
a32=a1⋅a5a_3^2 = a_1 \cdot a_5 eşitliği kurulur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
2
Verilen terim değerlerini denklemde yerine yazarak a32a_3^2 değerini hesaplayın.
a32=2⋅162=324a_3^2 = 2 \cdot 162 = 324 elde edilir.
Bilinmeyen terimin karesini bulmak için sayısal değerler çarpılır.
3
Karekök alıp terimin işaretini belirleyin.
a3=18a_3 = 18 bulunur.
a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 eşitliğinde a1=2>0a_1 = 2 > 0 ve r2≥0r^2 \ge 0 olduğundan a3a_3 pozitif olmalıdır, bu yüzden −18-18 değeri elenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimlerin işaret analizi.
Soru 309Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+3n−2a_{n+1} = a_n + 3n - 2
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a20a_{20} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 536

Cevap

Dizinin yirminci terimi 536'dır.
Verilen indirgeme bağıntısında terimler an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 şeklinde düzenlenip 11'den 1919'a kadar olan nn değerleri için yazılıp toplandığında, sol tarafta a1a_1 dışındaki ara terimler birbirini götürür. Sağ taraftaki aritmetik toplam 532532 olarak hesaplanır ve başlangıç değeri olan a1=4a_1 = 4 eklendiğinde doğru sonuç 536 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme ve taraf tarafa toplama hazırlığı
an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 bağıntısında nn yerine 11 ile 1919 arasındaki tam sayıları yazarız.
Teleskobik (birbirini götüren) toplam elde etmek için.
2
Taraf tarafa toplama işlemini gerçekleştirme
a20−a1=∑n=119(3n−2)a_{20} - a_1 = \sum_{n=1}^{19} (3n - 2)
Dizinin terimlerinin birbirini sadeleştirmesiyle doğrudan a20a_{20} ve a1a_1 terimlerine ulaşmak için.
3
Toplam formülünü kullanarak sağ tarafı hesaplama
3⋅19⋅202−38=570−38=5323 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} - 38 = 570 - 38 = 532
Ardışık sayıların toplamı ve sabit terim toplamı kurallarını uygulamak için.
4
a1a_1 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini bulma
a20−4=532  ⟹  a20=536a_{20} - 4 = 532 \implies a_{20} = 536
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskobik toplam yöntemi
Soru 310Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={ax+5,x<1x2−a,x≥1f(x) = \begin{cases} ax + 5, & x < 1 \\ x^2 - a, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti var olduğuna göre, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasında limitinin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. lim⁡x→1−f(x)=a+5\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 5 ve lim⁡x→1+f(x)=1−a\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - a ifadeleri eşitlendiğinde a=−2a = -2 elde edilir. Bu aa değeri limit ifadesinde yerine yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soldan ve sağdan limitleri aa cinsinden bulunuz.
Soldan limit a+5a + 5, sağdan limit 1−a1 - a olarak elde edilir.
Limitin var olması için kritik nokta olan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
Soldan ve sağdan limitleri eşitleyerek aa parametresini hesaplayınız.
a+5=1−a  ⟹  2a=−4  ⟹  a=−2a + 5 = 1 - a \implies 2a = -4 \implies a = -2
x=1x = 1 noktasında limitin varlığı bu eşitliği gerektirir.
3
Bulunan aa değerini kullanarak limit değerini hesaplayınız.
Limit değeri 3 olur.
a=−2a = -2 değeri parçalı fonksiyon kurallarında yerine yazıldığında, soldan limit −2+5=3-2 + 5 = 3 ve sağdan limit 1−(−2)=31 - (-2) = 3 değerini verir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktadaki limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 311Soru →
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)−1\sin(2x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1 denkleminin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin verilen kapalı aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklemin yarım açı dönüşümü yapılıp çarpanlarına ayrılmasıyla sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} ve cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemlerine ulaşılır. Bu denklemlerin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki çözümleri x=0x = 0, x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)−2sin⁡(x)+1=02\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - 2\sin(x) + 1 = 0
Denklemi tek bir açı türüne indirgemek için yarım açı dönüşümü yapıl��r.
2
Denklemi çarpanlarına ayırın.
(2sin⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0
Gruplandırma yöntemi kullanılarak ortak terim olan (cos⁡(x)−1)(\cos(x) - 1) parantezine alınır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya cos⁡(x)=1\cos(x) = 1
Çarpımın sonucunun sıfır olması için her bir çarpanın sıfır olma durumları incelenir.
4
Belirlenen aralıktaki kökleri yazın.
x=0x = 0 ve x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
[0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki trigonometrik değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 312Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tan��mlı; grafiği dik koordinat düzleminin yy-eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu ile grafiği orijine göre simetrik olan bir gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için

f(x)−g(−x)=x2+3x+4f(x) - g(-x) = x^2 + 3x + 4

etkisini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

72
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri (ff çift, gg tek) kullanılarak f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4 ve f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) değeri ise 8⋅9=728 \cdot 9 = 72 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların grafik simetrilerinden cebirsel özelliklerini çıkarma
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak verilen denklemi basitleştirme
f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur, dolayısıyla −g(−x)=g(x)-g(-x) = g(x) eşitliği elde edilir.
3
Denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir ilişki kurma
f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4
f(−x)+g(−x)=(−x)2+3(−x)+4f(-x) + g(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 4 denkleminde f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özellikleri yerine yazılır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek fonksiyonların kurallarını bulma
f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x
Bulunan iki denklem taraf tarafa toplanarak 2f(x)=2x2+8⇒f(x)=x2+42f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow f(x) = x^2 + 4 elde edilir. Taraf tarafa çıkarılarak da 2g(x)=6x⇒g(x)=3x2g(x) = 6x \Rightarrow g(x) = 3x elde edilir.
5
İstenen değerleri hesaplama ve çarpma işlemini gerçekleştirme
f(2)⋅g(3)=72f(2) \cdot g(3) = 72
f(2)=22+4=8f(2) = 2^2 + 4 = 8 ve g(3)=3(3)=9g(3) = 3(3) = 9 değerleri çarpılarak sonuç 7272 bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel kuralları arasındaki ilişki
Soru 313Soru →

Bir aritmetik dizide baştan nn terimin toplamı SnS_n sembolüyle gösterilmektedir.

Bu dizide,
S12=−28S_{12} = -28
S28=−12S_{28} = -12

olduğuna göre, bu aritmetik dizinin baştan 4040 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Bu aritmetik dizinin baştan 40 teriminin toplamı 40'tır.
Verilen toplam formülleri açılıp sadeleştirildiğinde 2a1+11d=−1432a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve 2a1+27d=−672a_1 + 27d = -\frac{6}{7} denklemleri elde edilir. Bu sistemden ortak fark d=521d = \frac{5}{21} bulunur. İstenen S40=20(2a1+39d)S_{40} = 20(2a_1 + 39d) ifadesinde 2a1+39d2a_1 + 39d yerine (2a1+11d)+28d(2a_1 + 11d) + 28d yazılarak değerler yerine konduğunda parantez içi 2, toplam ise 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan nn terim toplam formülünü kullanarak S12S_{12} ve S28S_{28} ifadelerini açalım.
S12=6(2a1+11d)=−28  ⟹  2a1+11d=−143S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = -28 \implies 2a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve S28=14(2a1+27d)=−12  ⟹  2a1+27d=−67S_{28} = 14(2a_1 + 27d) = -12 \implies 2a_1 + 27d = -\frac{6}{7}
Verilen terim toplamları ile ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (dd) arasında ilişki kurmak.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa çıkararak dd değerini bulalım.
(2a1+27d)−(2a1+11d)=−67−(−143)  ⟹  16d=8021  ⟹  d=521(2a_1 + 27d) - (2a_1 + 11d) = -\frac{6}{7} - \left(-\frac{14}{3}\right) \implies 16d = \frac{80}{21} \implies d = \frac{5}{21}
Dizinin ortak farkını elde etmek.
3
Bulduğumuz ortak farkı kullanarak S40S_{40} formülünde yer alan 2a1+39d2a_1 + 39d ifadesinin değerini hesaplayalım.
2a1+39d=(2a1+11d)+28d=−143+28(521)=−143+203=22a_1 + 39d = (2a_1 + 11d) + 28d = -\frac{14}{3} + 28 \left(\frac{5}{21}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{20}{3} = 2
a1a_1 terimini tek başına bulmaya gerek kalmadan işlemi sadeleştirmek.
4
Bulduğumuz 2a1+39d=22a_1 + 39d = 2 değerini S40S_{40} formülünde yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
S40=20(2a1+39d)=20×2=40S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20 \times 2 = 40
Bizden istenen baştan 40 terimin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizilerde Sk=−mS_k = -m ve Sm=−kS_m = -k (k≠mk \neq m) ise baştan k+mk+m terim toplamının Sk+m=k+mS_{k+m} = k+m olduğu genel formülünden faydalanılabilir. Bu soruda k=12k=12 ve m=28m=28 olduğundan S40=12+28=40S_{40} = 12+28 = 40 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 314Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S15=390S_{15} = 390
S5=30S_5 = 30

olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ortak farkı 4'tür.
Dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] bağıntısıyla verilir. S5=30S_5 = 30 için 5(a1+2d)=30  ⟹  a1+2d=65(a_1 + 2d) = 30 \implies a_1 + 2d = 6 elde edilir. S15=390S_{15} = 390 için 15(a1+7d)=390  ⟹  a1+7d=2615(a_1 + 7d) = 390 \implies a_1 + 7d = 26 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 5d=205d = 20 bağıntısından ortak fark d=4d = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S5S_5 için yazıp sadeleştirmek
a1+2d=6a_1 + 2d = 6
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilk ilişkiyi elde etmek için.
2
İlk nn terim toplamı formülünü S15S_{15} için yazıp sadeleştirmek
a1+7d=26a_1 + 7d = 26
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ikinci ilişkiyi elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
d=4d = 4
Taraf tarafa çıkarma yöntemiyle a1a_1 terimini yok edip ortak farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü: Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]
Soru 315Soru →
Kimyada bir sulu çözeltinin pH değeri, çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/L) olmak üzere,
pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+]
formülüyle hesaplanır.
AA, BB ve CC sulu çözeltilerinin hidrojen iyonu derişimleri sırasıyla aa, bb ve cc mol/L'dir. Bu çözeltilerin derişimleri arasında,
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4}
ilişkileri bulunmaktadır.

BB çözeltisinin pH değeri 33 olduğuna göre, AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer 4'tür.
Logaritma özellikleri ve taban değiştirme kuralları yardımıyla çözeltilerin pH değerleri toplamı 6, çarpımı ise 8 olarak bulunur. Bu iki koşulu sağlayan pH değerleri 2 ve 4 olduğundan, alabileceği en büyük değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
B çözeltisinin pH değerini kullanarak log⁡10b\log_{10} b değerini bulunuz.
log⁡10b=−3\log_{10} b = -3
pH tanımı gereği pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+] şeklindedir. BB çözeltisinin pH değeri 3 olarak verildiği için −log⁡10b=3  ⟹  log⁡10b=−3-\log_{10} b = 3 \implies \log_{10} b = -3 elde edilir.
2
İlk denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin toplamını bulunuz.
pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2 ifadesinde 10 tabanına göre taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10alog⁡10b+log⁡10clog⁡10b=2  ⟹  log⁡10a+log⁡10clog⁡10b=2\frac{\log_{10} a}{\log_{10} b} + \frac{\log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 \implies \frac{\log_{10} a + \log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 olur. log⁡10b=−3\log_{10} b = -3 yazıldığında: log⁡10a+log⁡10c=−6\log_{10} a + \log_{10} c = -6 bulunur. pH tanımları gereği (−pHA)+(−pHC)=−6  ⟹  pHA+pHC=6(-\text{pH}_A) + (-\text{pH}_C) = -6 \implies \text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 elde edilir.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin çarpımını bulunuz.
pHA⋅pHC=8\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4} ifadesinde taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10blog⁡10a+log⁡10blog⁡10c=94  ⟹  −3−pHA+−3−pHC=94\frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} + \frac{\log_{10} b}{\log_{10} c} = \frac{9}{4} \implies \frac{-3}{-\text{pH}_A} + \frac{-3}{-\text{pH}_C} = \frac{9}{4} olur. Buradan 3⋅(1pHA+1pHC)=94  ⟹  pHA+pHCpHA⋅pHC=343 \cdot \left(\frac{1}{\text{pH}_A} + \frac{1}{\text{pH}_C}\right) = \frac{9}{4} \implies \frac{\text{pH}_A + \text{pH}_C}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} elde edilir. pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 değeri yerine yazılırsa: 6pHA⋅pHC=34  ⟹  pHA⋅pHC=8\frac{6}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} \implies \text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8 bulunur.
4
Elde edilen toplam ve çarpım değerlerinden AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
4
Toplamları 6, çarpımları 8 olan sayılar t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0 denkleminin kökleridir. Bu kökler çözüldüğünde (t−2)(t−4)=0  ⟹  t=2(t-2)(t-4) = 0 \implies t = 2 ve t=4t = 4 bulunur. Dolayısıyla pH değerleri 2 ve 4'tür. En büyük değer istendiğinden cevap 4 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma tanımı
Soru 316Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu üçgende,

a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=8a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8

ve

sin⁡C=08\sin C = 0{}8

olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 5 birimdir.
Üçgende kenar uzunlukları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki incelendiğinde, acos⁡B+bcos⁡A=ca \cos B + b \cos A = c bağıntısı elde edilir. Buradan c=8c = 8 bulunur. Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R olduğundan, 808=2R  ⟹  2R=10\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 2R = 10 ve yarıçap R=5R = 5 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenar projeksiyon ilişkisini kullanarak cc kenarının uzunluğunu belirleyelim.
c=8c = 8 birimdir.
Herhangi bir üçgende a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=ca \cdot \cos B + b \cdot \cos A = c eşitliği geçerlidir. Bu durum sinüs teoremi ve sinüs toplam formülü yardımıyla da 2R(sin⁡Acos⁡B+sin⁡Bcos⁡A)=2Rsin⁡(A+B)=2Rsin⁡C=c2R(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = 2R \sin(A+B) = 2R \sin C = c şeklinde ispatlanabilir.
2
Sinüs teoremini kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayalım.
R=5R = 5 birimdir.
Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda 808=2R  ⟹  10=2R  ⟹  R=5\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 10 = 2R \implies R = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Kenar-Açı İlişkileri
Soru 317Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk 1010 teriminin toplamı 2525, ilk 2525 teriminin toplamı ise 1010 değerine eşittir.

Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk 3535 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -35

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk 35 teriminin toplamı -35'tir.
Verilen ilk 10 terim toplamı ve ilk 25 terim toplamı denklemlerinden elde edilen ilk terim ve ortak fark değerleri aritmetik dizi toplam formülünde yerine konulduğunda ilk 35 terim toplamı -35 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp verilen değerleri yerine koyalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülünden; S10=5(2a1+9d)=25  ⟹  2a1+9d=5S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 25 \implies 2a_1 + 9d = 5 ve S25=252(2a1+24d)=10  ⟹  2a1+24d=45S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + 24d) = 10 \implies 2a_1 + 24d = \frac{4}{5} elde edilir.
Dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri veren iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek dizinin ortak farkını (dd) ve ilk teriminin iki katını (2a12a_1) bulalım.
(2a1+24d)−(2a1+9d)=45−5  ⟹  15d=−215  ⟹  d=−725(2a_1 + 24d) - (2a_1 + 9d) = \frac{4}{5} - 5 \implies 15d = -\frac{21}{5} \implies d = -\frac{7}{25} olur. Buradan 2a1=5−9(−725)=188252a_1 = 5 - 9\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{188}{25} bulunur.
İlk 35 terimin toplamını hesaplamak için gerekli olan 2a12a_1 ve dd değerlerini belirlemek amacıyla.
3
İlk 35 terimin toplamını (S35S_{35}) hesaplayalım.
S35=352[2a1+34d]=352[18825+34(−725)]=352[188−23825]=352[−5025]=−35S_{35} = \frac{35}{2} [2a_1 + 34d] = \frac{35}{2} \left[\frac{188}{25} + 34\left(-\frac{7}{25}\right)\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{188 - 238}{25}\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{-50}{25}\right] = -35 bulunur.
İstenen toplam değerini doğrudan formül yardımıyla elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Alternatif Yöntem

Bir aritmetik dizide ilk mm terim toplamı Sm=kS_m = k ve ilk kk terim toplamı Sk=mS_k = m (m≠km \neq k) ise ilk m+km+k terim toplamı Sm+k=−(m+k)S_{m+k} = -(m+k) olur. Soruda m=10m = 10 ve k=25k = 25 alındığında S35=−(10+25)=−35S_{35} = -(10 + 25) = -35 doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 318Soru →
Her xx gerçel sayısı için
x2−(a−3)x+a>0x^2 - (a-3)x + a > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanmasını sağlayan aa tam sayılarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olabilmesi için ifadenin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Buradan elde edilen a2−10a+9<0a^2 - 10a + 9 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi 1<a<91 < a < 9 açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan aa tam sayıları 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 35 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşullarını belirleme.
Baş katsayının pozitif olması (1>01 > 0) ve diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir (Δ<0\Delta < 0).
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) her zaman pozitif değerler alması, grafiğin xx eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması ile mümkündür.
2
Eşitsizlik için diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplama.
Δ=a2−10a+9\Delta = a^2 - 10a + 9 ifadesi elde edilir.
Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC formülünde A=1A = 1, B=−(a−3)B = -(a-3) ve C=aC = a değerleri yerine koyulur.
3
Δ<0\Delta < 0 koşulundan elde edilen eşitsizliği çarpanlarına ayırıp kökleri bulma.
(a−1)(a−9)<0(a-1)(a-9) < 0 eşitsizliğinin kökleri a=1a = 1 ve a=9a = 9 olarak bulunur.
Kökleri bulmak işaret inceleme tablosunun oluşturulması için gereklidir.
4
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme ve aa tam sayılarının toplamını hesaplama.
Çözüm aralığı 1<a<91 < a < 9 olup, bu aralıktaki aa tam sayı değerlerinin toplamı 2+3+4+5+6+7+8=352 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 bulunur.
Kökler dahil edilmeden (11 ve 99 hariç) açık aralıktaki tam sayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin daima pozitif olma koşulu (işaret analizi)
Soru 319Soru →

Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı S3S_3 ve ilk 6 teriminin toplamı S6S_6'dır.

S6S3=9\frac{S_6}{S_3} = 9

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çarpan 2'dir.
Dizinin ilk 6 teriminin toplamının ilk 3 teriminin toplamına oranı yazıldığında a1a_1 terimleri ve paydadaki r−1r-1 ifadeleri sadeleşir. Kalan r6−1r3−1\frac{r^6-1}{r^3-1} ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde r3+1r^3 + 1 elde edilir. Bu ifade 9'a eşitlendiğinde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla r=2r = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülünü tanımlamak
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Geometrik dizide ilk terimlerin toplamını ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade etmek için.
2
Verilen oran ifadesini formül cinsinden yazmak
S6S3=r6−1r3−1\frac{S_6}{S_3} = \frac{r^6 - 1}{r^3 - 1}
Ortak çarpan rr değerini bulabilmek amacıyla ilk terim a1a_1 ve ortak payda olan r−1r-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
3
Çarpanlara ayırma özdeşliğini uygulamak
S6S3=r3+1\frac{S_6}{S_3} = r^3 + 1
r6−1=(r3−1)(r3+1)r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1) iki kare farkı açılımını kullanarak r3−1r^3-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
4
Oluşan denklemi çözerek ortak çarpanı bulmak
r=2r = 2
r3+1=9  ⟹  r3=8r^3 + 1 = 9 \implies r^3 = 8 eşitliğini sağlayan reel sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülünün kullanılması ve çarpanlara ayırma yardımıyla ortak çarpanın çekilmesi.
Soru 320Soru →

Ortak farkı pozitif bir tam sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a5=14a_5 = 14

olduğu bilinmektedir. Bu dizinin kk ve mm terimleri için (k>mk > m),

ak2−am2=480a_k^2 - a_m^2 = 480

ve bu terimlerin indisleri arasında

k+m=16k + m = 16

ilişkisi bulunmaktadır.

Buna göre, rr dizinin ortak farkı olmak üzere, r⋅k⋅mr \cdot k \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

İstenen çarpımın değeri 110'dur.
İki kare farkı özdeşliğinden elde edilen (ak−am)(ak+am)=480(a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480 ifadesinde ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8=2(14+3r)a_k + a_m = 2a_8 = 2(14+3r) eşitlikleri yazılır. Elde edilen (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240 denkleminde k−mk-m farkının pozitif çift tam sayı olması gerektiği ve rr'nin pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanıldığında, bu koşulları sağlayan tek değer çiftinin k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 olduğu belirlenir. Buradan k=11k=11 ve m=5m=5 bulunarak, çarpım 110110 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
ak2−am2=(ak−am)(ak+am)=480a_k^2 - a_m^2 = (a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480
İfadeleri ortak fark ve terimler toplamı cinsinden analiz edebilmek için çarpanlara ayırmak gerekir.
2
Dizi terimlerinin farkını ve toplamını ortak fark ile indisler cinsinden yazın.
ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8a_k + a_m = 2a_8
Aritmetik dizide ardışık olmayan terimlerin farkı indis farkı ile ortak farkın çarpımına, terimlerin toplamı ise indislerinin aritmetik ortalamasının iki katına eşittir.
3
a8a_8 terimini bilinen a5a_5 terimi ve ortak fark cinsinden yazarak ana denklemi kurun.
a8=14+3ra_8 = 14 + 3r ve (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir denklem elde etmek için.
4
İndislerin tam sayı olma özelliklerini ve rr'nin pozitif tam sayı koşulunu kullanarak denklem sistemini çözün.
k−m=6k-m = 6 ve r=2r = 2
k+m=16k+m=16 çift olduğundan k−mk-m de çift olmalıdır. 240240 sayısının bölenleri arasında rr'yi pozitif tam sayı yapan tek durum k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 ikilisine aittir.
5
İndisleri bulun.
k=11k = 11 ve m=5m = 5
k+m=16k+m=16 ve k−m=6k-m=6 denklemlerinin ortak çözümünü yapmak için.
6
İstenen çarpım değerini hesaplayın.
2⋅11⋅5=1102 \cdot 11 \cdot 5 = 110
Soru kökünde talep edilen çarpıma ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indislerin aritmetik ortalama özelliği, terimler farkı ve ortak fark ilişkisi ile iki kare farkı özdeşliği.
ÖncekiSayfa 16 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin