Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 381Soru →

ff ve gg, x=2x = 2 noktasında türevlenebilir ve f(2)>0f(2) > 0, g(2)>0g(2) > 0 koşullarını sağlayan iki fonksiyondur.

x=2x = 2 noktasını içeren açık bir aralıktaki her xx değeri için,
f(x)⋅g(x)=x2−3x+4f(x) \cdot g(x) = x^2 - 3x + 4
f(x)g(x)+1=(x−1)2\frac{f(x)}{g(x) + 1} = (x - 1)^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen türev değeri 12'dir.
Verilen fonksiyonel bağıntılardan çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla türev alınarak x=2x=2 için bir denklem sistemi oluşturulur. Buradan f′(2)=3f'(2) = 3 ve g′(2)=−1g'(2) = -1 bulunur. Daha sonra h(x)h(x) fonksiyonuna bölüm türevi uygulandığında h′(2)=12h'(2) = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliklerde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerleri belirlenir.
f(2)⋅g(2)=2f(2) \cdot g(2) = 2 ve f(2)g(2)+1=1\frac{f(2)}{g(2)+1} = 1 denklem sistemi elde edilir. Pozitif değerlilik koşulu altında bu sistem çözüldüğünde g(2)=1g(2) = 1 ve f(2)=2f(2) = 2 bulunur.
Türev denklemlerinde fonksiyonların bu noktadaki değerlerini yerine koyabilmek için.
2
Her iki eşitliğin de xx'e göre türevleri alınır.
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=2x−3f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x - 3 ve f′(x)(g(x)+1)−f(x)g′(x)(g(x)+1)2=2(x−1)\frac{f'(x)(g(x)+1) - f(x)g'(x)}{(g(x)+1)^2} = 2(x-1) türev bağıntıları elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ulaşmak amacıyla temel türev kuralları uygulanır.
3
Türev bağıntılarında x=2x = 2 yazılıp, bilinen fonksiyon değerleri yerine konularak doğrusal denklem sistemi çözülür.
f′(2)+2g′(2)=1f'(2) + 2g'(2) = 1 ve f′(2)−g′(2)=4f'(2) - g'(2) = 4 sistemi elde edilir. Buradan g′(2)=−1g'(2) = -1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
h′(2)h'(2) değerini hesaplamak için gerekli olan türev değerlerini bulmak.
4
h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} ifadesine bölüm ve pay kısmına çarpım türevi kuralı uygulanarak x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=(f(x)+x⋅f′(x))⋅g(x)−x⋅f(x)⋅g′(x)(g(x))2h'(x) = \frac{(f(x) + x \cdot f'(x)) \cdot g(x) - x \cdot f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} ifadesinde değerler yerine konduğunda h′(2)=(2+2⋅3)⋅1−2⋅2⋅(−1)12=12h'(2) = \frac{(2 + 2 \cdot 3) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)}{1^2} = 12 bulunur.
Soruda istenen h′(2)h'(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
Soru 382Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Anahtar Kavram

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Soru 383Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 olmak üzere,
lim⁡x→1x2⋅f(1)−f(x2)x−1=6 \lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Türevlenebilir ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri −1-1 olarak bulunur.
Verilen limit ifadesi cebirsel olarak düzenlendiğinde türevin limit tanımı yardımıyla 2f(1)−2f′(1)=62f(1) - 2f'(1) = 6 eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte f(1)=2f(1) = 2 değeri yerine yazıldığında f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadesinin pay kısmına f(1)f(1) terimini ekleyip çıkararak ifadeyi düzenleyelim.
lim⁡x→1x2⋅f(1)−f(1)+f(1)−f(x2)x−1=6\lim_{x \to 1} \frac{x^2 \cdot f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = 6
Türevin limit tanımını kullanabilmek için f(u)−f(1)f(u) - f(1) benzeri ifadeler elde etmeyi amaçlıyoruz.
2
Payı gruplandırarak limit ifadesini iki ayrı limitin farkı şeklinde ayıralım.
lim⁡x→1[f(1)⋅x2−1x−1−f(x2)−f(1)x−1]=6\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right] = 6
Limiti daha kolay hesaplanabilir iki bağımsız parçaya bölmek için.
3
Birinci terimde x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) özdeşliğini kullanarak sadeleştirme yapalım; ikinci terimde ise pay ve paydayı x+1x+1 ile çarparak türevin tanım formatını oluşturalım.
lim⁡x→1[f(1)⋅(x+1)−f(x2)−f(1)x2−1⋅(x+1)]=6\lim_{x \to 1} \left[ f(1) \cdot (x + 1) - \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = 6
x→1x \to 1 iken x2→1x^2 \to 1 olduğundan, ikinci limit parçasında türev tanımını uygulayabilmek için.
4
x→1x \to 1 için limitleri alalım ve verilen f(1)=2f(1) = 2 değerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f(1)⋅2−f′(1)⋅2=6  ⟹  2(2)−2f′(1)=6  ⟹  4−2f′(1)=6  ⟹  f′(1)=−1f(1) \cdot 2 - f'(1) \cdot 2 = 6 \implies 2(2) - 2f'(1) = 6 \implies 4 - 2f'(1) = 6 \implies f'(1) = -1
Denklemi çözüp istenen türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve limitin cebirsel özellikleri
Soru 384Soru →
f(x)=lim⁡n→∞x2n+1+ax2+bx+cx2n+1f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + ax^2 + bx + c}{x^{2n} + 1}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5

olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Bulunan parametre değerleri a=−3a = -3, b=1b = 1 ve c=3c = 3 olup, bunların kareleri toplamı olan a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 sayısıdır.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için x=1x=1 ve x=−1x=-1 kritik noktalarında limitlerinin var ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bu şartlar sağlandığında parametreler a=−3a=-3, b=1b=1, c=3c=3 olarak bulunur ve karelerinin toplamı 19 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun farklı aralıklardaki limit davranışını analiz etme.
∣x∣>1|x| > 1 için f(x)=xf(x) = x ve ∣x∣<1|x| < 1 için f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c elde edilir.
n→∞n \to \infty iken, ∣x∣<1|x| < 1 durumunda x2n→0x^{2n} \to 0 olur; ∣x∣>1|x| > 1 durumunda ise x2n→∞x^{2n} \to \infty olduğundan pay ve payda x2nx^{2n} ifadesine bölünerek limit hesaplanır.
2
f(2)+f(0)=5f(2) + f(0) = 5 eşitliğini kullanarak cc değerini bulma.
c=3c = 3 olarak bulunur.
2∈(1,∞)2 \in (1, \infty) olduğundan f(2)=2f(2) = 2 olur. 0∈(−1,1)0 \in (-1, 1) olduğundan f(0)=cf(0) = c olur. 2+c=5  ⟹  c=32 + c = 5 \implies c = 3 elde edilir.
3
x=1x = 1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a+b+c=1a + b + c = 1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=1x = 1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→1+f(x)=1\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1) ile sol limit (lim⁡x→1−f(x)=a+b+c\lim_{x \to 1^-} f(x) = a+b+c) eşit olmalıdır.
4
x=−1x = -1 noktasındaki sürekliliği inceleme.
a−b+c=−1a - b + c = -1 denklemi elde edilir.
ff fonksiyonu x=−1x = -1 noktasında sürekli olduğundan, bu noktadaki sağ limit (lim⁡x→−1+f(x)=a−b+c\lim_{x \to -1^+} f(x) = a-b+c) ile sol limit (lim⁡x→−1−f(x)=−1\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1) eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemini çözme ve kareler toplamını hesaplama.
a=−3a = -3, b=1b = 1 ve a2+b2+c2=19a^2 + b^2 + c^2 = 19 bulunur.
a+b+c=1a+b+c=1 ve a−b+c=−1a-b+c=-1 denklemlerinden 2b=2  ⟹  b=12b=2 \implies b=1 bulunur. c=3c=3 yerine yaz��ldığında a=−3a = -3 elde edilir. Buradan kareler toplamı (−3)2+12+32=19(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 19 olur.

Anahtar Kavram

Limit yardımıyla tanımlanan fonksiyonların sürekliliği ve kritik noktalarda süreklilik şartı.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 385Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonu yalnızca [x1,x2][x_1, x_2] kapalı aralı��ında azalandır.

x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a gerçek sayısı 15'tir.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğu için fonksiyon yalnızca kökler arasında azalandır. Kökler toplamı ve farkı ortak çözülerek kökler 1 ve 5 olarak bulunur. Bu kökler türev denklemini sağlayacağından x = 1 için türev sıfıra eşitlenerek a = 15 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12 fonksiyonunun türevini alırız.
f′(x)=3x2−18x+af'(x) = 3x^2 - 18x + a
Bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarını belirlemek için fonksiyonun birinci türevi incelenmelidir.
2
Fonksiyonun azalan olduğu aralık ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurarız.
x1x_1 ve x2x_2 değerleri 3x2−18x+a=03x^2 - 18x + a = 0 denkleminin kökleridir. Kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olur.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, türev kökler arasında negatif değerler alır ve fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile hesaplanır.
3
Kökler toplamı ve verilen kökler farkı bilgisini ortak çözerek kökleri elde ederiz.
x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x2=10  ⟹  x2=52x_2 = 10 \implies x_2 = 5 ve buradan x1=1x_1 = 1 bulunur.
4
x1=1x_1 = 1 kökünü türev fonksiyonunda yerine yazarak a değerini buluruz.
f′(1)=3(1)2−18(1)+a=0  ⟹  a=15f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + a = 0 \implies a = 15
Kökler, türev fonksiyonunu sıfır yapan değerler olduğundan denklemi sağlamak zorundadır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan oldu��u aralıkların belirlenmesi
Soru 386Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=xx+5xf(x) = x\sqrt{x} + 5x
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f′(4)f'(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazıldığında elde edilen sonuç 88'dir.
Verilen fonksiyon f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x şeklinde düzenlenip temel türev kuralları uygulandığında f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5 türev fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=324+5=3+5=8f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} + 5 = 3 + 5 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri türev almaya uygun şekilde üslü biçimde düzenlemek
f(x)=x3/2+5xf(x) = x^{3/2} + 5x
Tabanı aynı olan üslü sayıların çarpımı özelliğini kullanarak köklü ifadeyi tek bir üslü sayı biçiminde yazmak.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=32x+5f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5
Üs kuralı (d/dx(xn)=nxn−1d/dx(x^n) = n x^{n-1}) ve toplamın türevi kuralı yardımıyla her bir terimin türevini hesaplamak.
3
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değerini yerine yazmak
8
İstenen f′(4)f'(4) türev değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları yardımıyla üslü ve doğrusal ifadelerin türevlerinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çarpım türevi kuralı uygulanarak da çözülebilir. xxx\sqrt{x} ifadesinin türevi: (x)′⋅x+x⋅(x)′=1⋅x+x⋅12x=x+x2=3x2(x)' \cdot \sqrt{x} + x \cdot (\sqrt{x})' = 1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} olur. Buradan f′(x)=3x2+5f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + 5 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 387Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2+x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1

eğrisine üzerindeki farklı AA ve BB noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir.

Bu teğet doğruları arasındaki uzaklık 410\frac{4}{\sqrt{10}} birim olduğuna göre, bu paralel teğet doğrularının eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Paralel teğet doğrularının eğimi −0.5-0.5 olarak bulunur.
Doğru eğim değeri olan −0.5-0.5, paralel teğet doğrularının geometrik simetrisi ve aralarındaki uzaklık bağıntısı çözüldüğünde elde edilen tek gerçel çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması ve paralel teğet şartının yazılması
f′(x)=3x2−6x+1f'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, teğet noktalarının apsisleri aa ve bb için 3x2−6x+(1−m)=03x^2 - 6x + (1 - m) = 0 denklemi elde edilir.
Teğet doğruları paralel olduğundan teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimleri) eşit ve mm olmalıdır.
2
Simetri merkezinin kullanılması ve değişken dönüşümü yapılması
a+b=2a+b=2 olduğundan a=1−da = 1-d ve b=1+db = 1+d tanımlanır. Kökler çarpımı bağıntısından m=3d2−2m = 3d^2 - 2 bağıntısı elde edilir.
Apsislerin simetriğini kullanarak teğet doğrularının denklemlerini daha kolay ve sade bir şekilde ifade etmek hedeflenir.
3
Paralel teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması
L1:y=mx−2d3L_1: y = mx - 2d^3 ve L2:y=mx+2d3L_2: y = mx + 2d^3 denklemleri elde edilir.
İki paralel doğrunun denklemi arasındaki sabit terim farkını bulmak için teğet noktaları doğru denklemlerinde yerine yazılır.
4
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün uygulanması
4d3m2+1=410⇒10d6=m2+1\frac{4d^3}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow 10d^6 = m^2 + 1 denklemi kurulur.
Doğrular arasındaki uzaklığın belirtilen değere eşit olması bağıntısı kurulur.
5
Elde edilen denklemin çözülmesi ve eğimin bulunması
u=d2u = d^2 için 10u3−9u2+12u−5=010u^3 - 9u^2 + 12u - 5 = 0 denklemi çözülerek u=1/2u = 1/2 ve buradan m=−1/2m = -1/2 elde edilir.
Değişken değiştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle teğet doğrusunun eğimi olan mm değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, paralel teğet doğruları, iki paralel doğru arasındaki uzaklık ve simetri özellikleri.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 388Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir ff fonksiyonu
f(f(x)−2x)=3x2+2x−2f(f(x) - 2x) = 3x^2 + 2x - 2
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1)=3f(1) = 3
olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı ([f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)) doğru uygulanıp x=1x=1 yazıldığında f′(1)⋅(f′(1)−2)=8f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8 denklemi elde edilir. Bu denkleminin kökleri 44 ve −2-2 olup, fonksiyonun artan olma koşulundan dolayı pozitif olan 4 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki yanının türevini alarak zincir kuralını uygulayın.
f′(f(x)−2x)⋅(f′(x)−2)=6x+2f'(f(x) - 2x) \cdot (f'(x) - 2) = 6x + 2
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Eşitlikte x=1x = 1 yazarak verilen değerleri kullanın.
f′(f(1)−2)⋅(f′(1)−2)=8f'(f(1) - 2) \cdot (f'(1) - 2) = 8
Soruda f(1)f(1) değeri verildiği ve f′(1)f'(1) istendiği için türev denkleminde x=1x = 1 noktası incelenmelidir.
3
f(1)=3f(1) = 3 değerini yerine koyun.
f′(1)⋅(f′(1)−2)=8f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8
f(1)−2f(1) - 2 ifadesini sadeleştirmek ve bilinmeyen f′(1)f'(1) değerine bağlı bir denklem elde etmek için bu adım gereklidir.
4
f′(1)=kf'(1) = k değişken değiştirmesi ile ikinci dereceden denklemi çözün.
k=4k = 4 veya k=−2k = -2
k2−2k−8=0k^2 - 2k - 8 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.
5
ff fonksiyonunun artanlık özelliğini kullanarak doğru kökü seçin.
f′(1)=4f'(1) = 4
Artan fonksiyonların türevi tanımlı oldukları yerlerde negatif olamayacağı için negatif olan −2-2 kökü elenir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve elde edilen denklemin fonksiyon özelliklerine göre çözülmesi.
Soru 389Soru →
Türevlenebilir yy, uu ve vv değişkenleri arasında
y=u2+uy = u^2 + u
u=v2−3vu = v^2 - 3v
v=x2−2xv = x^2 - 2x
ilişkileri tanımlanmıştır.

Buna göre, x=3x = 3 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

x=3x = 3 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri 1212 olarak bulunur.
Zincir kuralı gereğince dydx\frac{dy}{dx} türevi, dydu\frac{dy}{du}, dudv\frac{du}{dv} ve dvdx\frac{dv}{dx} türevlerinin çarpımına eşittir. x=3x = 3 için bu türevlerin değerleri sırasıyla 11, 33 ve 44 olup çarpımları 1212 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktası için sırasıyla vv ve uu değişkenlerinin değerlerini bulma
v=3v = 3 ve u=0u = 0
Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek amacıyla değişkenlerin değerleri sırasıyla yerine yazılır.
2
Her bir değişkenin bağlı olduğu değişkene göre türev kuralını belirleme
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1, dudv=2v−3\frac{du}{dv} = 2v - 3, dvdx=2x−2\frac{dv}{dx} = 2x - 2
Zincir kuralını uygulamak için tekil türev ifadeleri elde edilmelidir.
3
Türev ifadelerinde belirlenen noktaları (u=0u = 0, v=3v = 3, x=3x = 3) yerine yazarak çarpımı hesaplama
dydx=1⋅3⋅4=12\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudv⋅dvdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı kullanılarak birbirine bağlı fonksiyonların türevini alma.
Soru 390Soru →

x>0x > 0 olmak üzere, f(x)=x3−3x2+4xf(x) = x^3 - 3x^2 + 4\sqrt{x} fonksiyonunun x=4x = 4 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuç 25'tir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}} olarak bulunur. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=3(16)−6(4)+1=25f'(4) = 3(16) - 6(4) + 1 = 25 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel türevini bulunuz.
f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}
Polinom terimler için (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} kuralı ve köklü terim için (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} kuralı uygulanmı��tır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(4)=25f'(4) = 25
f′(4)=3(42)−6(4)+24=48−24+1=25f'(4) = 3(4^2) - 6(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} = 48 - 24 + 1 = 25 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak polinom ve köklü ifadelerin türevinin hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 391Soru →

Türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(2)=3g(2) = 3 ve f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 olmak üzere,

lim⁡x→2f(x)g(x)−6x−2=11 \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisi kurularak çarpımın türevi yardımıyla g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit düzenlendiğinde 8g′(2)8g'(2) değerine eşit olduğundan sonuç 32'dir.
Limit tanımı gereği, lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} ifadesi (f⋅g)′(2)(f \cdot g)'(2) türev değerini verir. Buradan elde edilen denklem çözülerek g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit ifadesi h→0h \to 0 için 8g′(2)8g'(2) olarak sadeleşir. 8⋅48 \cdot 4 işlemiyle doğru cevap 3232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(2)f(2) değerini hesaplama ve limitin türev tanımıyla ilişkisini kurma
f(2)=22−3(2)+4=2f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 2 olup f(2)g(2)=2⋅3=6f(2)g(2) = 2 \cdot 3 = 6 elde edilir. Bu durumda verilen limit, h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x) çarpım fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türev tanımıdır:

h′(2)=lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2=11 h'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} = 11
Verilen limitin 0/00/0 belirsizliği içerdiğini görmek ve limit tanımını çarpım fonksiyonunun türevi cinsinden yazmak için.
2
Çarpımın türevi kuralını uygulayarak g′(2)g'(2) değerini elde etme
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) olduğundan h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=11h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 11 olur.

f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 1 değerini yerine yazarsak:

1⋅3+2⋅g′(2)=11  ⟹  2g′(2)=8  ⟹  g′(2)=4 1 \cdot 3 + 2 \cdot g'(2) = 11 \implies 2g'(2) = 8 \implies g'(2) = 4 bulunur.
g′(2)g'(2) değerine ulaşmak için ��arpımın türevi formülünden yararlanmak gerekir.
3
İstenen limit ifadesini düzenleme
lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h=lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)−(g(2−5h)−g(2))h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2) - (g(2 - 5h) - g(2))}{h}

=3⋅lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)3h−(−5)⋅lim⁡h→0g(2−5h)−g(2)−5h = 3 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2)}{3h} - (-5) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 - 5h) - g(2)}{-5h}

=3g′(2)+5g′(2)=8g′(2) = 3g'(2) + 5g'(2) = 8g'(2)
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzeterek sadeleştirmek için.
4
Nihai sonucu hesaplama
8g′(2)=8⋅4=328g'(2) = 8 \cdot 4 = 32 elde edilir.
Elde edilen g′(2)g'(2) değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve çarpım fonksiyonunun türevi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 392Soru →
f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen fonksiyonun belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 5'tir.
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki birinci türev değeridir. f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, x=3x = 3 için bu değer f′(3)=5f'(3) = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x = 3 değerinin yerine yazılması
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5
Teğet noktasının apsisi 3 olduğu için türevde x yerine 3 yazılarak teğet doğrusunun eğimi (m) elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumuna göre bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türevine eşittir.
Tahmini Süre:45s
Soru 393Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için her xx gerçel sayısı için g(x)≠0g(x) \neq 0’dır.

h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olmak üzere, her xx gerçel sayısı için

h′(x)+[g(x)]2⋅k′(x)=12x2+4h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4
h′(x)−[g(x)]2⋅k′(x)=8xh'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri 18'dir.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile f′(x)g(x)=6x2+2f'(x)g(x) = 6x^2 + 2 ve f(x)g′(x)=4xf(x)g'(x) = 4x eşitliklerine ulaşılır. x=2x=2 için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak h′(x)h'(x) ve k′(x)k'(x) türevlerini yazın.
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ve k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.
2
k′(x)k'(x) ifadesini [g(x)]2[g(x)]^2 ile çarparak sadeleştirin.
[g(x)]2⋅k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Bölüm türevinin paydasındaki [g(x)]2[g(x)]^2 terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f′(x)g(x)f'(x)g(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f′(x)g(x)=12x2+4  ⟹  f′(x)g(x)=6x2+22f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2
Toplama işlemiyle −f(x)g′(x)-f(x)g'(x) ve +f(x)g′(x)+f(x)g'(x) terimleri birbirini sıfırlar.
4
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak f(x)g′(x)f(x)g'(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f(x)g′(x)=8x  ⟹  f(x)g′(x)=4x2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x
Çıkarma işlemiyle f′(x)g(x)f'(x)g(x) terimleri birbirini sıfırlar.
5
x=2x = 2 yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.
f′(2)g(2)−f(2)g′(2)=26−8=18f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18
x=2x=2 için f′(2)g(2)=26f'(2)g(2) = 26 ve f(2)g′(2)=8f(2)g'(2) = 8 değerleri bulunur ve farkları alınır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması
Soru 394Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolüne üzerindeki olmayan P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğet doğrularının parabolü kestiği (teğet değme) noktalar AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan PABPAB üçgeninin alanı 1616 birimkaredir.
Parabole dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olarak bulunur. Köşeleri PP, AA ve BB olan üçgenin alanı koordinat metodu ile 1616 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğimi ifade etme.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, tt apsisli teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=2t−2m = 2t - 2 olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma ve dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasını bu denklemde yerine yazarak teğet noktalarının apsislerini bulma.
−7−(t2−2t−3)=(2t−2)(0−t)  ⟹  t2=4  ⟹  t=2-7 - (t^2 - 2t - 3) = (2t - 2)(0 - t) \implies t^2 = 4 \implies t = 2 ve t=−2t = -2 elde edilir.
Teğet doğrusu P(0,−7)P(0, -7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Teğet noktaları AA ve BB'nin koordinatlarını belirleme.
t=2t = 2 için A(2,−3)A(2, -3) ve t=−2t = -2 için B(−2,5)B(-2, 5) noktaları elde edilir.
Teğet noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri parabol denkleminde yerine yazılır.
4
Köşe koordinatları bilinen PABPAB üçgeninin alanını hesaplama.
Alan(PAB)=12∣2(12)−(−2)(−4)∣=16\text{Alan}(PAB) = \frac{1}{2} |2(12) - (-2)(-4)| = 16 birimkare bulunur.
Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan üçgenin alanı, koordinat düzleminde determinant yöntemi veya vektörel alan formülüyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin bulunması ve analitik düzlemde köşe koordinatları bilinen üçgenin alan hesabı.
Soru 395Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır. [0,π][0, \pi] aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.
2
Denklem ortak çarpan parantezine alınır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−2)=0\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
cos⁡(x)=0⇒x=π2\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=22⇒x=π4\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} veya x=3π4x = \frac{3\pi}{4}
[0,π][0, \pi] aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olan değerleri belirlemek için.
4
Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.
x1=π4,x2=π2,x3=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4} olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.
Bulunan tüm köklerin verilen [0,π][0, \pi] aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 396Soru →

Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonunun kuralı f(x)=x3−ax2+3xf(x) = x^3 - ax^2 + 3x biçimindedir.

lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=14\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 14

olduğuna g��re, aa sabitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a sabitinin değeri 2'dir.
Limit tanımı gereği lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=2f′(2)\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 2f'(2) olur. Buradan 2f′(2)=14  ⟹  f′(2)=72f'(2) = 14 \implies f'(2) = 7 elde edilir. Fonksiyonun türevi alınıp x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=15−4a=7f'(2) = 15 - 4a = 7 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde a=2a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına dönüştürmek
Limit ifadesinin değeri 2f′(2)2f'(2) olarak bulunur.
Türevin limit tanımını uygulayabilmek için limiti uygun katsayılarla parçalara ayırdık.
2
Verilen limit değerini kullanarak f′(2)f'(2) türev değerini bulmak
f′(2)=7f'(2) = 7
2f′(2)=142f'(2) = 14 denklemini çözerek x=2x = 2 noktasındaki türev değerini elde ettik.
3
Fonksiyonun türevini alıp x=2x = 2 yazarak aa değerini hesaplamak
a=2a = 2
f′(2)=15−4af'(2) = 15 - 4a ifadesini 77 değerine eşitleyerek aa parametresini bulduk.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı yardımıyla türev değerinin belirlenmesi ve polinom fonksiyonun türevi.
Soru 397Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi 2'dir.
Parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(3)=2f'(3) = 2 olup teğet noktası (3,2)(3, 2)'dir. Teğet doğrusunun denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olarak elde edilir. Bu doğrunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0y = 0 yazıldığında x=2x = 2 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının y-koordinatını bulmak
y=2y = 2 (f(3)=2f(3) = 2)
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
3
Türevde x=3x = 3 yazarak teğet eğimini hesaplamak
m=2m = 2
Bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturmak
y=2x−4y = 2x - 4
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) uygulanır.
5
Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak
x=2x = 2
Bir doğrunun xx eksenini kestiği noktada ordinat değeri sıfırdır (y=0y = 0).

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereğince bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
Soru 398Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=(x−3)2(x+2)(x−4)f'(x) = (x-3)^2(x+2)(x-4)

olarak verilmiştir. Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 6 birimdir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosunda, x=3x = 3 çift katlı kökünde işaret değişimi olmaması nedeniyle türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu da 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun köklerinin belirlenmesi
x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı) kökleri elde edilir.
f′(x)=0f'(x) = 0 eşitliğini sağlayan kritik noktalar bulunarak işaret değişim sınırları belirlenir.
2
Türevin işaret tablosunun oluşturulması
x∈(4,∞)x \in (4, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0, x∈(3,4)x \in (3, 4) için f′(x)<0f'(x) < 0, x∈(−2,3)x \in (-2, 3) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) için f′(x)>0f'(x) > 0 bulunur.
x=3x = 3 çift katlı kökünde işaretin korunacağı göz önünde bulundurularak işaret tablosu doldurulur.
3
En geniş azalanlık aralığının tespit edilmesi
Azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olarak belirlenir.
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 koşulunu sağlayan aralıklar sürekli fonksiyonlarda uç noktaları da kapsayacak şekilde birleştirilir.
4
Aralık uzunluğunun hesaplanması
4−(−2)=64 - (-2) = 6
Belirlenen aralığın uç noktaları arasındaki fark hesaplanarak uzunluk elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerin birleşimiyle elde edilir. Çift katlı köklerde türev işaret değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 399Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ve g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonları veriliyor.

h(x)=(f∘g)(2x)h(x) = (f \circ g)(2x)

olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. Zincir kuralı uygulandığında h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir. İlgili fonksiyonların değerleri hesaplandığında g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3} ve f′(3)=9f'(3) = 9 bulunur. Bu değerlerin çarpımı 9⋅23⋅2=129 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(2x))⋅g′(2x)⋅2h'(x) = f'(g(2x)) \cdot g'(2x) \cdot 2
Zincir kuralı gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadelerin türevleri sırasıyla çarpım olarak eklenir.
2
g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini hesaplayın.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3}
g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2+5} fonksiyonunda x=2x=2 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türevinde de x=2x=2 yazılır.
3
f′(3)f'(3) değerini hesaplayın.
f′(3)=9f'(3) = 9
f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 fonksiyonunun türevi olan f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x ifadesinde x=g(2)=3x = g(2) = 3 yazılır.
4
Elde edilen değerleri yerine koyarak sonucu hesaplayın.
h′(1)=12h'(1) = 12
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2=9⋅23⋅2=12h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 = 9 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 400Soru →
f(x)=ax2−5x+3f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonu için f′(3)=7f'(3) = 7 eşitliği sağlandığına göre, aa parametresinin değerini bulunuz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2'dir.
f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonunun türevi f'(x) = 2ax - 5 olarak bulunur. x = 3 için f'(3) = 6a - 5 elde edilir. Bu değer 7'ye eşitlendiğinde 6a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bulunuz.
f′(x)=2ax−5f'(x) = 2ax - 5
Temel türev alma kuralları gereği, xnx^n ifadesinin türevi n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}'dir. Sabit sayının türevi ise sıfırdır.
2
Türev fonksiyonunda x yerine 3 yazarak f'(3) ifadesini oluşturunuz.
f′(3)=6a−5f'(3) = 6a - 5
x=3x = 3 noktasındaki türev değeri soruda verildiği için bu noktayı türev denkleminde yerine koyarız.
3
Elde edilen ifadeyi verilen türev değerine eşitleyerek a'yı çözünüz.
a=2a = 2
f′(3)=7f'(3) = 7 olduğu verildiğinden 6a−5=76a - 5 = 7 denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve türevde değer bulma
ÖncekiSayfa 20 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin