Tüm alıştırma soruları

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ortak farkı $r$ olmak üzere, $r > 0$ olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında

a_2 + a_5 + a_8 = 24

a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan

a_{12}

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak

a_2 + a_8 = 2a_5

bağıntısından

a_5 = 8

bulunur. Ardından

a_1 = 8 - 4r

ve

a_9 = 8 + 4r

terimleri yerine yazıldığında,

(8-4r)(8+4r) = -80

eşitliğiyle

r^2 = 9

elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan

r = 3

'tür. Son adımda

a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak

a_5

terimini bulmak.

a_5 = 8

Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (

a_2 + a_8 = 2a_5

).

2

a_1

ve

a_9

terimlerini

a_5

ve

r

cinsinden yazarak ortak fark

r

değerini bulmak.

r = 3

a_1 = 8 - 4r

ve

a_9 = 8 + 4r

ifadelerinin çarpımı

64 - 16r^2 = -80

denklemine yol açar. Buradan

r^2 = 9

ve

r > 0

olduğu için

r = 3

elde edilir.

3

a_{12}

terimini

a_5

ve

r

kullanarak hesaplamak.

a_{12} = 29

a_{12} = a_5 + 7r

formülünde

a_5 = 8

ve

r = 3

değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.

Soru 602Soru →

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{11 - x}{x - 1}\right) \geq -1

e��itsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 45'tir.

Logaritmanın tanım kümesi olan (1, 11) aralığı ile tabanın 1/2 olmasından dolayı yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesi olan (-inf, 1) U [13/3, inf) aralığı kesiştirildiğinde [13/3, 11) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.

1 < x < 11

Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Logaritma tabanına göre eşitsizliği düzenlemek.

(11 - x) / (x - 1) <= 2

Logaritmanın tabanı (1/2) 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.

3

Eşitsizliği sıfıra eşitleyip kökleri bulmak ve işaret incelemesi yapmak.

x < 1 veya x >= 13/3

(11 - x)/(x - 1) - 2 <= 0 ifadesi düzenlendiğinde (13 - 3x)/(x - 1) <= 0 elde edilir. Payın kök�� 13/3, paydanın kökü 1'dir. İşaret tablosu ile çözüm aralığı belirlenir.

4

Çözüm kümesi ile tanım kümesinin kesişimini bulmak.

[13/3, 11)

Bulunan çözümlerin logaritma tanımını da sağlaması gerektiğinden iki kümenin kesişimi alınır.

5

Aralıktaki tam sayıları bulup toplamak.

45

13/3 yaklaşık 4.33 olduğundan bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9 ve 10'dur. Toplamları 45 yapar.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Soru 603Soru →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_5 + a_{15} = 20

eşitliği verilmektedir.

$f(x) = 3x - 4$ doğrusal fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 494

Cevap

İstenen toplamın değeri 494'tür.

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan

a_1 + a_{19} = a_5 + a_{15} = 20

olur. Dizinin ilk 19 teriminin toplamı

S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19}) = 190

olarak bulunur. Fonksiyonel toplam

3 \cdot S_{19} - 19 \cdot 4

şeklinde düzenlendiğinde

3 \cdot 190 - 76 = 494

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

a_1 + a_{19}

toplamını bulmak için indis özelliğini uygulamak.

a_1 + a_{19} = 20

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (

1 + 19 = 5 + 15 = 20

).

2

(a_n)

dizisinin ilk 19 teriminin toplamını (

S_{19}

) hesaplamak.

S_{19} = 190

Aritmetik dizide ilk

n

terim toplamı form��lü

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

şeklindedir. Buradan

S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 20 = 190

elde edilir.

3

f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})

toplamını düzenleyip hesaplamak.

494

f(x) = 3x - 4

doğrusal fonksiyonunu her terim için yerine yazarak toplamı

3(a_1 + a_2 + \dots + a_{19}) - 19 \cdot 4

şeklinde yazarız. Bulunan değerler yerine koyulduğunda

3 \cdot 190 - 76 = 494

elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ilk n terim toplamı ve doğrusal dönüşümlerin toplam üzerindeki etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 604Soru →

\left( \frac{4}{\log_{2} 144} + \frac{2}{\log_{3} 144} \right)^{\log_{3} 27} + 5^{\log_{25} 64}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İfadenin değeri 9 olarak bulunur.

Verilen ifadenin ilk kısmı taban değiştirme özelliği kullanılarak

\log_{144} (2^4 \cdot 3^2) = \log_{144} 144 = 1

olarak bulunur.

1^{\log_3 27} = 1^3 = 1

elde edilir. İkinci kısım ise

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_5 8} = 8

şeklinde sadeleşir. Bu iki kısmın toplamı

1 + 8 = 9

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme kuralı olan

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

özelliğini kullanarak paydadaki logaritmaları pay kısmına taşıyın.

\frac{4}{\log_2 144} = 4 \log_{144} 2

ve

\frac{2}{\log_3 144} = 2 \log_{144} 3

ifadeleri elde edilir.

Logaritmik ifadeleri aynı tabanda birleştirebilmek için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.

2

n \log_a b = \log_a (b^n)

özelliğini kullanarak katsayıları argümana üs olarak getirin.

4 \log_{144} 2 = \log_{144} (2^4) = \log_{144} 16

ve

2 \log_{144} 3 = \log_{144} (3^2) = \log_{144} 9

elde edilir.

Toplama işlemini yapabilmek için logaritmaların önünde katsayı bulunmaması gerekir.

3

Tabanları aynı olan logaritmaların toplamını, argümanların çarpımı şeklinde yazın:

\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

.

\log_{144} 16 + \log_{144} 9 = \log_{144} (16 \cdot 9) = \log_{144} 144 = 1

elde edilir.

Çarpım özelliğini uygulayarak ifade tek bir sayıya indirgenir.

4

Birinci terimin üssü olan

\log_3 27

ifadesini hesaplayın ve taban değeri olan

1

ile birleştirin. Ardından ikinci terim olan

5^{\log_{25} 64}

ifadesini

a^{\log_a b} = b

özelliğini kullanarak sadeleştirin.

Birinci kısım için

\log_3 27 = 3

olup

1^3 = 1

bulunur. İkinci kısım için

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_{5^2} 8^2} = 5^{\log_5 8} = 8

elde edilir.

Üstel logaritmik ifadeleri sadeleştirerek sayısal değerlerini bulmak amaçlanır.

5

Elde edilen iki terimin değerlerini toplayın.

1 + 8 = 9

elde edilir.

Soruda istenen toplam ifadesinin nihai sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve temel özellikleri yardımıyla üstel ifadelerin sadeleştirilmesi

Soru 605Soru →

$[0, 4]$ kapalı aralığında sürekli olan bir $f$ fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen integralin değeri 7 olarak bulunur.

Değişken değiştirme kuralları ve integralin aralık bölme özelliği doğru uygulandığında,

[0,2]

aralığındaki belirli integral değeri 4 olarak bulunur. İstenen integralde de benzer şekilde

w=2x

değişken değiştirmesi yapıldığında integralin değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

integralinde

u = 2x

dönüşümü yapıldığında

du = 2\,dx

olur. Sınırlar

x = 0 \implies u = 0

ve

x = 2 \implies u = 4

şeklinde güncellenir. Buradan

\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6

elde edilir.

2

İkinci integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

integralinde

v = x+1

dönüşümü yapıldığında

dv = dx

olur. Sınırlar

x = 1 \implies v = 2

ve

x = 3 \implies v = 4

şeklinde güncellenir.

3

Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini kullanmak

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx

özelliğinden yararlanarak bilinen değerler yerine yazılır:

12 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 8

denkleminden aranan değer bulunur.

4

İstenen integrali parçalara ayırarak hesaplamak

7

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx = 3 \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} 4x^3 \, dx

şeklinde yazılır. İlk kısım için

w = 2x

dönüşümüyle

3 \cdot \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(w) \, dw\right) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6

elde edilir. İkinci kısım ise

\left[ x^4 \right]_0^1 = 1

olur. Bu iki değer toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integrasyon sınırlarının güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.

Soru 606Soru →

Gökbilimde bir yıldızın dünyadan gözlemlenen görünür parlaklığı (ışık akısı)

I

olmak üzere, bu yıldızın görünür kadir derecesi

m

şu formülle hesaplanmaktadır:

m = -2,5 \log_{10}(I) - 19

Buna göre, görünür kadir derecesi

-1

olan bir yıldızın görünür parlaklığı, görün��r kadir derecesi

4

olan bir yıldızın görünür parlaklığının kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Görünür kadir derecesi -1 olan yıldızın görünür parlaklığı, kadir derecesi 4 olan yıldızın görünür parlaklığının 100 katıdır.

Kadir derecesi -1 ve 4 olan yıldızların parlaklık denklemleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında elde edilen logaritmik oran 10^2 yani 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kadir derecesi formüllerini her iki yıldız için ayrı ayrı yazmak

-1 = -2,5 \log_{10}(I_1) - 19

ve

4 = -2,5 \log_{10}(I_2) - 19

denklemleri elde edilir.

Her iki yıldızın parlaklık değerleri ile kadir dereceleri arasındaki bağıntıyı kurmak için.

2

Denklemleri taraf tarafa çıkararak sabit terimi yok etmek ve logaritmaları ortak paranteze almak

-5 = -2,5 \left(\log_{10}(I_1) - \log_{10}(I_2)\right)

eşitliği elde edilir.

Yıldızların parlaklıkları oranını elde edebilmek için logaritmik ifadeleri yalnız bırakmak.

3

Eşitliği sadeleştirmek ve logaritmanın fark kuralını kullanarak tek bir logaritma altında yazmak

2 = \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right)

elde edilir.

Bölümün logaritması kuralı gereğince iki parlaklığın oranını elde etmek.

4

Logaritma tanımını kullanarak üslü biçime dönüştürmek

\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100

bulunur.

Kadir derecesi -1 olan yıldızın parlaklığının diğerinin kaç katı olduğunu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat modellerinde iki farklı durumun oranlanması ve logaritma özelliklerinin uygulanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 607Soru →

Kütlesi $0{}4\text{ kg}$ olan bir futbol topu, yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ süratle uçmakta iken bir oyuncunun kafasına çarpmış ve aynı doğrultuda zıt y��nde $10\text{ m/s}$ süratle geri dönmüştür. Buna göre, etkileşim sırasında oyuncunun kafasının topa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Oyuncunun kafasının topa uyguladığı itmenin büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Topun momentumundaki değişim vektörel olarak hesaplandığında

\Delta P = P_{son} - P_{ilk} = -4 - 6 = -10\text{ N}\cdot\text{s}

bulunur. İtme çizgisel momentum değişimine eşit olduğundan, topa uygulanan itmenin büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Topun hareket yönlerini belirleyerek ilk ve son çizgisel momentumlarını hesaplamak.

P_{ilk} = 6\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve

P_{son} = -4\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan hızların yönleri dikkate alınmalıdır. Geliş yönü pozitif (+) seçildiğinde geri dönüş yönü negatif (-) olur.

2

Momentum değişimini (itme) hesaplamak.

I = -10\text{ N}\cdot\text{s}

(Büyüklüğü

10\text{ N}\cdot\text{s}

)

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

I = \Delta P = P_{son} - P_{ilk}

).

Anahtar Kavram

İtme ve çizgisel momentum değişimi arasındaki ilişki (

I = \Delta P

).

Soru 608Soru →

Bir $E$ örnek uzayındaki $A$ ve $B$ olayları için

P(B \mid A) = \frac{2}{3}

P(A' \mid B') = \frac{3}{5}

P(A \cup B) = \frac{7}{8}

olduğuna göre, $P(A \mid B')$ olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

İstenen olasılık değeri 2/5 (veya 0,4) olarak bulunur.

Koşullu olasılık tanımına göre

P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')}

yazılır. Gerekli adımlarla

P(B') = \frac{5}{24}

ve

P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{12}

değerleri elde edildikten sonra bu iki değerin oranı

\frac{1/12}{5/24} = \frac{2}{5}

veya

0{}4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık tanımından faydalanarak B olayının tümleyeninin olasılığını bulmak.

P(B') = \frac{5}{24}

ve dolayısıyla

P(B) = \frac{19}{24}

P(A' \mid B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{1 - P(A \cup B)}{1 - P(B)}

eşitliği kullanılarak

P(B')

elde edilir.

2

Verilen koşullu olasılık ve birleşim formüllerini kullanarak A olayının olasılığını belirlemek.

P(A) = \frac{1}{4}

ve

P(A \cap B) = \frac{1}{6}

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{3}

bağıntısı kesişimi A cinsinden yazmamızı sağlar. Birleşim formülü

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

kullanılarak tek bilinmeyenli denklem çözülür.

3

Aranan koşullu olasılık olan

P(A \mid B')

değerini hesaplamak.

P(A \mid B') = \frac{2}{5}

(veya

0{}4

)

P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(B')}

formülü ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık tanımı, birleşim formülü ve De Morgan kurallarının küme kuramsal olarak uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 609Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}

eğrisinin

x = 2

apsisli noktasındaki teğet doğrusu,

y = -3x + 5

doğrusuna paraleldir.

Bu teğet doğrusunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı $11$ olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Katsayıların çarpımı olan 2'dir.

Fonksiyonun türevi alındığında

f'(x) = \frac{-a-b}{(x-1)^2}

elde edilir.

x = 2

noktasındaki teğet doğrusu

y = -3x + 5

doğrusuna paralel olduğundan teğetin eğimi

-3

'tür. Buradan

f'(2) = -a - b = -3 \implies a + b = 3

bağıntısına ulaşılır. Teğet doğrusunun denklemi

y - f(2) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + f(2)

olarak yazılır. Doğrunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

11

olduğuna göre

6 + f(2) = 11 \implies f(2) = 5

olmalıdır. Fonksiyonda

x = 2

yazılarak

f(2) = 2a + b = 5

elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden

a = 2

,

b = 1

ve çarpımları

2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev fonksiyonunu bulun.

f'(x) = \frac{a(x-1) - (ax+b)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-a - b}{(x-1)^2}

Teğet doğrusunun eğimi, teğet noktasındaki türev değerine eşit olduğundan fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.

2

x = 2

apsisli noktadaki teğetin eğimini, paralel olduğu doğrunun eğimine eşitleyin.

f'(2) = \frac{-a - b}{(2-1)^2} = -a - b = -3 \implies a + b = 3

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir ve

y = -3x + 5

doğrusunun eğimi

-3

'tür.

3

x = 2

noktasındaki teğet doğrusunun genel denklemini yazın.

y - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - (2a + b) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 2a + b

Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazma kuralı uygulanır.

4

Teğet doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatını kullanarak ikinci bir denklem elde edin.

x = 0

için

y = 6 + 2a + b = 11 \implies 2a + b = 5

Bir doğrunun

y

eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde

x

yerine

0

yazılır.

5

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek katsayıları ve çarpımlarını bulun.

a + b = 3

ve

2a + b = 5

denklem sisteminin ortak çözümünden

a = 2

ve

b = 1

elde edilir. Buradan çarpım

a \cdot b = 2

bulunur.

Sistemdeki birinci denklem ikinci denklemden çıkarılarak

a

değeri, ardından yerine yazılarak

b

değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Alternatif Yöntem

Teğet doğrusunun denklemini eğimi

-3

ve

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

11

olduğu için doğrudan

y = -3x + 11

olarak yazabiliriz. Teğet noktasının apsisi

2

olduğundan bu noktadaki ordinat değeri

y = -3(2) + 11 = 5

olur. Dolayısıyla teğet noktası

(2, 5)

'tir. Bu nokta eğri üzerinde olduğundan

f(2) = 5

ve bu noktadaki türev değeri teğet doğrusunun eğimine eşit olduğundan

f'(2) = -3

olmalıdır. Buradan

a

ve

b

değerlerine ulaşılarak çarpımları hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 610Soru →

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve $S_3 = 26$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan $S_4$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.

Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir.

S_3 = 26

bilgisi kullanılarak ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme

S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r)

ve

S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)

İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.

2

Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma

r^2 = 9

ve pozitif terimli olduğu için

r = 3

a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r)

eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü

a_1(1 + r) \neq 0

olduğundan sadeleştirme yapılarak

r^2 = 9

bulunur.

3

S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma

a_1 = 2

S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26

eşitliği çözülür.

4

İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama

S_4 = 80

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi

Soru 611Soru →

Sürtünmesiz yatay bir zemin üzerinde üst üste konulmuş $m_1 = 2\text{ kg}$ ve $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli iki blok şekildeki gibi durmaktadır. Bloklar arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,4$ 'tür. Alttaki $m_2$ kütleli bloğa yatay doğrultuda $\vec{F}$ kuvveti uygulanıyor. Buna göre, üstteki $m_1$ kütleli bloğun alttaki bloğun üzerinde kaymadan birlikte hareket edebilmeleri için uygulanabilecek yatay $\vec{F}$ kuvvetinin büyüklüğü en fazla kaç $\text{N}$ olmalıdır? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Blokların birlikte kaymadan hareket edebilmeleri için uygulanabilecek maksimum yatay kuvvet 20 N olmalıdır.

Üstteki bloğun kaymadan hareket edebilmesi için gereken ivme, aralarındaki statik sürtünme kuvvetiyle sağlanır. Maksimum statik sürtünme kuvveti

f_{s,\max} = 8\text{ N}

olduğundan, üstteki bloğun ivmesi en fazla

a_{\max} = 4\text{ m/s}^2

olabilir. Blokların birlikte ivmelenmesi için uygulanabilecek en büyük yatay kuvvet ise

F_{\max} = (m_1 + m_2) \cdot a_{\max} = (2 + 3) \cdot 4 = 20\text{ N}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üstteki blok ile alttaki blok arasındaki maksimum statik sürtünme kuvvetini hesaplamak.

f_{s,\max} = 8\text{ N}

Üstteki bloğa yatay doğrultuda etki eden tek kuvvet iki blok arasındaki sürtünme kuvvetidir. Bu kuvvetin sınırı sistemin ivme limitini belirler.

2

Üstteki bloğun kaymadan sahip olabileceği maksimum ivmeyi bulmak.

a_{\max} = 4\text{ m/s}^2

Üstteki bloğun ivmesi, üzerine etki eden maksimum sürtünme kuvvetinin kütlesine bölünmesiyle (

a_{\max} = f_{s,\max} / m_1

) elde edilir.

3

Sistemin toplam kütlesi ve maksimum ortak ivme değerini kullanarak uygulanabilecek en büyük dış kuvveti hesaplamak.

F_{\max} = 20\text{ N}

Her iki bloğun birlikte ivmelenmesini sağlayan dış kuvvet, toplam kütle ile maksimum ivmenin çarpımına eşittir (

F_{\max} = (m_1 + m_2) a_{\max}

).

Anahtar Kavram

Statik sürtünme kuvvetinin sınır değeri ve Newton'ın ikinci hareket yasasının sisteme uygulanması.

Soru 612Soru →

4^{\log_2(\log_3 x)} + (\log_3 x)^{\log_2 4} = 32

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Denklemi sa��layan tek

x

gerçel sayısı 81'dir.

Verilen denklemde logaritma ve üslü sayı özellikleri kullanılarak

4^{\log_2(\log_3 x)}

terimi

(\log_3 x)^2

olarak yazılabilir. Aynı şekilde,

\log_2 4 = 2

olduğundan

(\log_3 x)^{\log_2 4}

terimi de

(\log_3 x)^2

değerine eşittir. Bu iki terimin toplamı

2(\log_3 x)^2 = 32

denklemini verir. Buradan

(\log_3 x)^2 = 16

elde edilir. Logaritmanın tanım kümesi gereği

\log_3 x > 0

olması gerektiğinden

\log_3 x = 4

olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek gerçel sayı ise

x = 3^4 = 81

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesini belirlemek

x > 1

ve

\log_3 x > 0

olmalıdır.

\log_2(u)

ifadesinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın argümanı olan

u

değerinin pozitif olması gerekir. Burada

u = \log_3 x

olduğundan,

\log_3 x > 0

olmalıdır.

2

İlk terimi sadeleştirmek

(\log_3 x)^2

4 = 2^2

yazılarak üslü sayı kuralları ve

a^{\log_a b} = b

özelliği kullanılır. Böylece

4^{\log_2(\log_3 x)} = (2^{\log_2(\log_3 x)})^2 = (\log_3 x)^2

elde edilir.

3

İkinci terimi sadeleştirmek

(\log_3 x)^2

\log_2 4 = 2

olduğundan, terim doğrudan

(\log_3 x)^{\log_2 4} = (\log_3 x)^2

şeklinde yazılır.

4

Denklemi çözmek

(\log_3 x)^2 = 16

Sadeleştirilmiş terimler denklemde toplanır:

(\log_3 x)^2 + (\log_3 x)^2 = 32 \implies 2(\log_3 x)^2 = 32 \implies (\log_3 x)^2 = 16

bulunur.

5

Tanım kümesi kontrolü ile

x

değerini bulmak

x = 81

(\log_3 x)^2 = 16

ise

\log_3 x = 4

veya

\log_3 x = -4

olur. Ancak birinci adımda belirlenen

\log_3 x > 0

koşulundan dolayı

\log_3 x = 4

olmalıdır. Buradan

x = 3^4 = 81

bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun

a^{\log_a b} = b

özelliğini uygulama, üslü logaritmik denklemleri çözme ve logaritmanın tanımlı olma şartlarını sağlayan değerleri belirleme.

Soru 613Soru →

Dik koordinat d��zleminde, $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ eğrisine üzerindeki $x = 1$ apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, bu eğriyi $x = 1$ dışındaki iki farklı noktada daha kesmektedir. Buna göre, bu kesim noktalarının apsislerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktaların apsisleri çarpımı -2'dir.

Eğrinin x = 1 noktasındaki normal doğrusunun denklemi y = x + 1 olarak bulunur. Bu doğru ile eğrinin ortak çözümü yapıldığında kesim noktalarının apsisleri 1, -1 ve 2 olarak elde edilir. x = 1 dışındaki noktaların apsisleri çarpımı (-1) * 2 = -2 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet noktasının ordinatını hesaplama

P(1, 2)

Teğet noktasının eğri üzerinde olduğunu bildiğimiz için x = 1 değerini fonksiyonda yerine yazarız.

2

Fonksiyonun türevini alma

f'(x) = 3x^2 - 4x

Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla türev fonksiyonuna ihtiyaç duyarız.

3

x = 1 noktasındaki teğet eğimini bulma

m_t = -1

x = 1 noktasındaki türev değeri teğet doğrusunun eğimini verir.

4

Normal doğrusunun eğimini bulma

m_n = 1

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.

5

Normal doğrusunun denklemini yazma

y = x + 1

Eğimi 1 olan ve P(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini oluştururuz.

6

Normal doğrusu ile eğrinin kesim noktalarını belirleme

x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Doğru ve eğrinin ortak noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.

7

Denklemin köklerini bulma

x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2

Elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kesim noktalarının apsislerini elde ederiz.

8

Diğer noktaların apsisleri çarpımını hesaplama

-2

x = 1 noktası dışındaki kesim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 değerlerini çarparız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerinin negatif tersidir. Normal doğrusunun eğri ile ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunur.

Soru 614Soru →

Bir veri merkezinde bulunan $A$ ve $B$ sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sırasıyla $P(E_A)$ ve $P(E_B)$ 'dir. Bu sunucuların arızalanma durumları birbirinden bağımsız olaylardır.

$A$ sunucusunun arızalanma olasılığı, $B$ sunucusunun arızalanma olasılığının $2$ katıdır.

Gün sonunda bu sunuculardan en az birinin arızalanmış olma olasılığı $\frac{7}{9}$ olduğuna göre, sadece $A$ sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Sadece A sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade biçimde 4/9 olup, pay ve payda toplamı 13'tür.

Sadece A sunucusunun arızalanması olasılığı, A'nın arızalanması ve B'nin arızalanmaması olaylarının kesişimidir. Olaylar bağımsız olduğu için bu olasılıkların çarpımı olan 4/9 değerine ulaşılır. Pay ve payda toplamı ise 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Sunucuların arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden ifade etme

P(E_B) = p

ise

P(E_A) = 2p

olur.

A sunucusunun arızalanma olasılığının, B sunucusunun arızalanma olasıl��ğının 2 katı olduğu soruda verilmiştir.

2

En az bir sunucunun arızalanma olasılığı formülünü bağımsız olaylar için kurup çözme

18p^2 - 27p + 7 = 0

denkleminden

p = \frac{1}{3}

elde edilir.

Olaylar bağımsız olduğundan

P(E_A \cup E_B) = P(E_A) + P(E_B) - P(E_A) \cdot P(E_B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2

olur.

3p - 2p^2 = \frac{7}{9}

eşitliğinden

18p^2 - 27p + 7 = 0

elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(3p - 1)(6p - 7) = 0

olup kökleri

p = \frac{1}{3}

veya

p = \frac{7}{6}

'dır. Olasılık değeri 1'den büyük olamayacağı ve

P(E_A) = 2p \leq 1

olması gerektiği için

p = \frac{1}{3}

alınır.

3

Sadece A sunucusunun arızalanma olasılığını hesaplama

P(E_A \cap E_B') = \frac{4}{9}

olur.

Sadece A'nın arızalanması, A'nın arızalanıp B'nin arızalanmaması anlamına gelir. Bağımsız olaylar için bu olasılık

P(E_A) \cdot (1 - P(E_B)) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

olarak hesaplanır.

4

En sade rasyonel ifadenin pay ve payda değerlerini toplama

a + b = 4 + 9 = 13

bulunur.

Bulunan

\frac{4}{9}

kesri en sade halindedir. Bu durumda

a = 4

ve

b = 9

olup toplamları 13'tür.

Anahtar Kavram

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının hesaplanması

Soru 615Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolünün $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı $6$ 'dır. Parabolün tepe noktasının apsisi $-\frac{1}{2}$ ve $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $5$ birimdir. Buna göre, parabolün başkatsayısı olan $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Parabolün başkatsayısı olan

a

değeri

-1

olarak bulunur.

Parabolün

y

-eksenini kestiği noktadan

c=6

ve tepe noktası apsisinden

b=a

bulunur. Kökler arası uzaklık formülü

\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5

kullanılarak

\Delta = a^2 - 24a

ifadesi yerine yazıldığında

a^2 - 24a = 25a^2

karesel denklemi elde edilir. Buradan

a = -1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

y-eksenini kestiği noktayı kullanarak c parametresini belirleme

c = 6

Parabolün y-eksenini kestiği nokta

f(0)

değeridir.

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 6

olur.

2

Tepe noktasının apsisinden yararlanarak b ve a arasındaki ilişkiyi bulma

b = a

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}

olarak verilmiştir. Buradan içler dışlar çarpım�� ile

b = a

elde edilir.

3

Eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü ve diskriminantı (\Delta) yazma

\Delta = a^2 - 24a

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktalar

ax^2 + bx + c = 0

denkleminin kökleridir.

b = a

ve

c = 6

değerleri için diskriminant

\Delta = b^2 - 4ac = a^2 - 24a

olur.

4

Uzaklık denklemini kurup çözerek a değerini bulma

a = -1

Kökler arası uzaklık

\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5

olduğundan

\frac{\sqrt{a^2 - 24a}}{|a|} = 5 \implies a^2 - 24a = 25a^2

elde edilir. Bu denklem

24a^2 + 24a = 0

şeklinde düzenlenir.

a \neq 0

olması gerektiğinden

a = -1

bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası apsisi ilişkisi

Soru 616Soru →

Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla azalmaktadır. $t$ geçen süreyi (dakika cinsinden) göstermek üzere, içeceğin $t$ . dakikadaki sıcaklığı $T(t)$ ( $^\circ\text{C}$ ) fonksiyonu:

T(t) = T_e + (T_0 - T_e) \cdot 2^{-c \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Burada $T_e$ ortam sıcaklığı, $T_0$ içeceğin başlangıç sıcaklığı ve $c$ pozitif bir soğuma sabittir.

Ortam sıcaklığının $20^\circ\text{C}$ olduğu bir odada, başlangıç sıcaklığı $84^\circ\text{C}$ olan bir fincan çayın sıcaklığ�� $10$ dakika sonra $52^\circ\text{C}$ 'ye düşmektedir.

Buna göre, bu çayın sıcaklığının $28^\circ\text{C}$ 'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren kaç dakika geçmesi gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çayın sıcaklığının 28°C'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren 30 dakika geçmesi gerekir.

Verilen başlangıç ve 10. dakika sıcaklık değerleri formülde yerine koyulduğunda soğuma sabiti

c = 0,1

olarak bulunur. Çayın sıcaklığının

28^\circ\text{C}

olması istenen denklemde bu katsayı kullanıldığında, geçen süre

30

dakika olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortam sıcaklığı

T_e = 20^\circ\text{C}

, başlangıç sıcaklığı

T_0 = 84^\circ\text{C}

ve

10

. dakikadaki s��caklık

T(10) = 52^\circ\text{C}

değerlerini formülde yerine yazmak.

52 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-c \cdot 10} \implies 32 = 64 \cdot 2^{-10c}

Soğuma sabiti

c

'yi bulmak için gerekli ilk denklemi kurmak.

2

32 = 64 \cdot 2^{-10c}

denklemini çözerek

c

katsayısını belirlemek.

2^{-10c} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -10c = -1 \implies c = 0,1

Üstel denklemi çözerek soğuma sabitini elde etmek.

3

Hedef sıcaklık

T(t) = 28^\circ\text{C}

değerini formülde yerine koyarak

t

süresini çözmek.

28 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 8 = 64 \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 2^{-0,1 \cdot t} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \implies -0,1 \cdot t = -3 \implies t = 30

Bulunan

c

sabiti ile hedeflenen sıcaklığa ulaşma süresini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modelleme yardımıyla gerçek hayat problemlerinin (Newton'ın Soğuma Kanunu) çözülmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 617Soru →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{12} = 28

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ortak farkı 2'dir.

Dizinin ortak farkının 2 olmasının nedeni;

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinden

a_1 + a_9 = 2a_5

simetri kuralı kullanılarak

a_5 = 8

değerine ulaşılması ve bu değerin

a_4 + a_{12} = 2a_5 + 6r = 28

denklemine yazılmasıyla

6r = 12 \implies r = 2

sonucunun elde edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

1

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinde aritmetik ortalama özelliğini kullanarak

a_5

teriminin değerini belirlemek

a_1 + a_9 = 2a_5 \implies 3a_5 = 24 \implies a_5 = 8

Bir aritmetik dizide belirli bir terime eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı, ortadaki terimin iki katına eşittir.

2

a_4 + a_{12} = 28

eşitliğindeki terimleri

a_5

ve ortak fark olan

r

cinsinden ifade etmek

a_4 = a_5 - r

ve

a_{12} = a_5 + 7r \implies (a_5 - r) + (a_5 + 7r) = 2a_5 + 6r = 28

Tüm bilinmeyen terimleri tek bir terim (

a_5

) ve ortak fark (

r

) cinsinden yazarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.

3

a_5 = 8

değerini denklemde yerine yazarak

r

ortak farkını bulmak

2(8) + 6r = 28 \implies 16 + 6r = 28 \implies 6r = 12 \implies r = 2

Bilinmeyen

a_5

değerini yerleştirip birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemi çözmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, terimler arası aritmetik ortalama ilişkisi ve genel terim yazımı

Soru 618Soru →

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir nehir boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir araziyi tel örgüyle çevirmek istemektedir. Nehir kenar��ndaki kenar için tel örgü kullanılmayacaktır. Nehire dik olan iki kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı $10\text{ TL}$ , nehire paralel olan kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı ise $15\text{ TL}$ 'dir. Bu iş için en fazla $1200\text{ TL}$ bütçe ayıran çiftçinin çevirebileceği arazinin alanı en fazla kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Çiftçinin çevirebileceği maksimum alan

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Mali kısıt altında oluşturulan alan fonksiyonunun türevini sıfır yapan

x = 30

değeri için alan en büyük değerini alır ve bu değer

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme

20x + 15y = 1200 \Rightarrow y = 80 - \frac{4}{3}x

Bütçe kısıtını kullanarak alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek

2

Alan fonksiyonunu tek değişkenli olarak kurma

A(x) = 80x - \frac{4}{3}x^2

Maksimum değeri türev yardımıyla bulabilmek için fonksiyonu tek değişkenli hale getirmek

3

Türevi sıfır yapan noktayı bulma ve maksimum alanı hesaplama

A'(x) = 80 - \frac{8}{3}x = 0 \Rightarrow x = 30

ve

A(30) = 1200

Birinci türevin sıfır olduğu nokta yerel maksimum noktasını verir

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde kısıt denklemini kullanarak tek değişkenli hedef fonksiyonu oluşturma ve türev yardımıyla optimizasyon yapma

Soru 619Soru →

İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olan pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_4 = 15 \cdot a_1

ve bu dizinin ortak çarpanı ilk terimine eşit ( $r = a_1$ ) olduğuna göre, dizinin ilk 3 teriminin toplamı ( $S_3$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk 3 teriminin toplamı 14'tür.

Formülün doğru uygulanması, elde edilen üçüncü dereceden denklemin kökünün doğru bulunması ve

r = a_1 = 2

eşitliği kullanılarak

S_3

toplamının doğru hesaplanması sonucunda 14 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü kullanarak

S_4

ifadesini

a_1

ve

r

cinsinden yazmak.

S_4 = a_1(r^3 + r^2 + r + 1)

S_4

toplamını ortak çarpan ve ilk terim cinsinden ifade etmek için.

2

Soruda verilen

S_4 = 15 \cdot a_1

eşitliğini yerine koyup sadeleştirmek.

r^3 + r^2 + r - 14 = 0

denklemi elde edilir.

r

ortak çarpanını bulmak amacıyla bir denklem oluşturmak için.

3

Denklemin pozitif gerçel kökünü bulmak.

r = 2

Dizinin ortak çarpanını belirlemek için.

4

r = a_1 = 2

değerlerini kullanarak

S_3

toplamını hesaplamak.

S_3 = 14

Soruda istenen ilk 3 terim toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler.

Soru 620Soru →

\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.

İfadedeki tüm terimlerin paydaları uygun tabanlarda yazılıp birleştirildiğinde sırasıyla

\log_2 150

,

\log_3 150

ve

\log_5 150

elde edilir. Taban değiştirme kuralı kullanılarak ifadeler ters çevrildiğinde tabanları eşit olan

\log_{150} 2

,

\log_{150} 3

ve

\log_{150} 25

terimleri elde edilir. Bu terimlerin toplamı

\log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Paydalardaki 1 ve 2 tam sayılarını, yanlarında bulunan logaritma tabanlarına uygun olarak logaritmik biçimde yazalım.

1 = \log_2 2

,

1 = \log_3 3

ve

2 = 2\log_5 5 = \log_5 5^2 = \log_5 25

olur.

Logaritma toplama özelliğini kullanabilmek için tabanların aynı olması gerekir.

2

Paydalarda bulunan logaritmik ifadeleri ortak tabanda toplayarak tek bir logaritma halinde birleştirelim.

1 + \log_2 75 = \log_2 2 + \log_2 75 = \log_2 (2 \cdot 75) = \log_2 150

1 + \log_3 50 = \log_3 3 + \log_3 50 = \log_3 (3 \cdot 50) = \log_3 150

2 + \log_5 6 = \log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150

elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir:

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

.

3

Bulduğumuz birleştirilmiş ifadeleri orijinal denklemdeki paydalara yerleştirelim.

İfade şu şekle dönüşür:

\frac{1}{\log_2 150} + \frac{1}{\log_3 150} + \frac{2}{\log_5 150}

Paydalardaki ifadelerin yerine basitleştirilmiş halleri yazılmıştır.

4

Taban değiştirme kuralın�� (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulayarak terimleri düzenleyelim.

\frac{1}{\log_2 150} = \log_{150} 2

\frac{1}{\log_3 150} = \log_{150} 3

\frac{2}{\log_5 150} = 2\log_{150} 5

olur.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmaları pay kısmına taban ve argüman yer değiştirerek taşıyabiliriz.

5

Son terimdeki 2 katsayısını argümanın üzerine üs olarak taşıyalım ve ardından tüm logaritmaları ortak tabanda toplayalım.

2\log_{150} 5 = \log_{150} 5^2 = \log_{150} 25

olur.
Toplam ifade:

\log_{150} 2 + \log_{150} 3 + \log_{150} 25 = \log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

bulunur.

n\log_a b = \log_a (b^n)

özelliğinden katsayı üsse taşınır ve ortak tabandaki toplam logaritmalar çarpım kuralıyla birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun özellikleri ve taban değiştirme kuralı.

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm