Tüm alıştırma soruları

Soru 61Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = x^2 - (m+2)x + 2m$ fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Köşeleri bu noktalar olan $ABC$ üçgeninin alanı $24$ birimkare olduğuna göre, $m$ parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

m parametresinin alabileceği pozitif değer 6'dır.

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

A(2, 0)

,

B(m, 0)

ve

C(0, 2m)

olarak elde edilir. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanı

\frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)|

formülüyle hesaplanır. Alanın 24 birimkareye eşitlenmesiyle elde edilen

|m^2 - 2m| = 24

denkleminden pozitif gerçel sayı çözümü

6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.

x

-eksenini kestiği noktalar

A(2, 0)

ve

B(m, 0)

,

y

-eksenini kestiği nokta ise

C(0, 2m)

olarak bulunur.

Eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde

y=0

ve

x=0

yazılır.

x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0

olduğundan kökler

2

ve

m

'dir.

2

Eksenleri kestiği noktalarla oluşan üçgenin alanını

m

cinsinden ifade etmek.

\text{Alan}(ABC) = |m^2 - 2m| = 24

denklemi elde edilir.

A(2, 0)

ve

B(m, 0)

noktaları arasındaki uzaklık taban (

|m-2|

),

C(0, 2m)

noktasının

x

-eksenine uzaklığı ise yükseklik (

|2m|

) kabul edilirse;

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |m-2| \cdot |2m| = |m(m-2)|

olur.

3

m

değerini bulmak için mutlak değerli denklemi çözmek.

Pozitif

m

değeri

6

olarak bulunur.

|m^2 - 2m| = 24

eşitliğinden

m^2 - 2m = 24 \implies m^2 - 2m - 24 = 0 \implies (m-6)(m+4) = 0

olur. Buradan

m=6

veya

m=-4

bulunur. Diğer durum olan

m^2 - 2m = -24

denkleminin gerçel kökü yoktur. Soruda pozitif değer istendiği için

m=6

seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktalar yardımıyla geometrik alan hesabı yapılması.

Soru 62Soru →

Yarıçapı $9$ birim olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği 12 birimdir.

Kürenin merkezinden koninin tabanına olan dik uzaklık

|h-9|

birimdir. Küre yüzeyindeki bir nokta ile merkez ve taban merkezi arasında oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı yazıldığında

r^2 + (h-9)^2 = 81 \implies r^2 = 18h - h^2

elde edilir. Koninin hacmi

V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3)

olarak bulunur. Maksimum hacim için türev alındığında

V'(h) = \pi h(12-h) = 0

denklemi elde edilir.

h > 0

koşulunu sağlayan kök

h = 12

birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik modelin kurulması ve değişkenlerin belirlenmesi

Kürenin yarıçapı

R = 9

birim, koninin yüksekliği

h

ve taban yarıçapı

r

olsun.

Koninin hacmini maksimum yapabilmek için boyutları arasındaki ilişkiyi veren bir denklem kurmamız gerekir.

2

Küre içindeki dik üçgen yardımıyla bağıntı oluşturulması

r^2 + (h - 9)^2 = 9^2 \implies r^2 = 18h - h^2

Kürenin merkezi

O

, koninin tepe noktası

A

ve tabanının merkezi

M

olsun. Koni tabanının çemberi üzerindeki bir

B

noktası için

OB = 9

(yarıçap) ve

OM = |h - 9|

olur.

OMB

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır.

3

Hacim formülünün tek değişkene bağlı yazılması

V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h - h^2)h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3)

Türev alarak ekstremum noktayı bulabilmek için fonksiyonun tek değişken (

h

) cinsinden ifade edilmesi gerekir.

4

Hacim fonksiyonunun türevinin sıfıra eşitlenmesi

V'(h) = \frac{\pi}{3}(36h - 3h^2) = \pi h(12 - h) = 0 \implies h = 12

birim

Bir fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır.

0 < h < 18

aralığında türevi sıfır yapan tek değer

h = 12

olup, bu değer hacmi maksimum yapar.

Anahtar Kavram

Maksimum-minimum problemlerinde, optimize edilecek büyüklük (hacim, alan vb.) tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun birinci türevinin işaret değiştirdiği (özellikle pozitiften negatife geçtiği) yerel maksimum noktası aranır.

Soru 63Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}

olduğuna göre,

\cos(4x)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

İfadenin doğru değeri -0.5'tir.

Verilen

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}

eşitliği, temel özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü yardımıyla

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = \frac{5}{8}

biçimine dönüştürülür. Buradan

\sin^2(2x) = \frac{3}{4}

bulunur. İstenen

\cos(4x)

değeri ise kosinüsün yarım açı formülü olan

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

eşitliğinde yerine yazılarak

1 - 2\left(\frac{3}{4}\right) = -0.5

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesini özdeşlikler yardımıyla düzenlemek

1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Trigonometrik özdeşlikleri yarım açı formülleriyle ilişkilendirebilmek için dereceyi düşürmek

2

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

formülünü kullanarak ifadeyi tek değişkene indirgemek

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

Sinüsün yarım açı formülünü ifadeye dahil etmek

3

İfadeyi verilen sayısal değere eşitleyerek

\sin^2(2x)

değerini yalnız bırakmak

\sin^2(2x) = \frac{3}{4}

\cos(4x)

değerine geçiş yaparken kullanılacak olan

\sin^2(2x)

değerini belirlemek

4

Kosinüs yarım açı formülünü kullanıp sonucu hesaplamak

-0.5

\cos(4x)

ifadesini

\sin^2(2x)

cinsinden yazıp hesaplamayı tamamlamak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım/iki kat açı formüllerinin uygulanması ve temel özdeşliklerin kullanımı.

Soru 64Soru →

$\tan x = \frac{1}{2}$ ve $\cot y = 3$ olduğuna göre, $\tan(x+y)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1

Verilen

\cot y = 3

değerinden

\tan y = \frac{1}{3}

elde edilir. Tanjant toplam formülü olan

\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

ifadesinde

\tan x = \frac{1}{2}

ve

\tan y = \frac{1}{3}

değerleri yerine yazıldığında pay

\frac{5}{6}

, payda ise

1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

olur. Bu iki değerin birbirine oranı 1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

\cot y = 3

eşitliğini kullanarak

\tan y

değerini bulunuz.

\tan y = \frac{1}{3}

Aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.

2

Tanjant toplam formülünü uygulayarak

\tan(x+y)

değerini hesaplayınız.

\tan(x+y) = 1

\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

formülünde bilinen değerler yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı, bu açıların tanjantları cinsinden

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

formülüyle hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Açılar için dik koordinat sisteminde veya dik üçgende uygun kenar uzunlukları seçilerek geometrik modelleme yapılabilir, ancak formül kullanımı en hızlı ve güvenli yoldur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 65Soru →

1'den farklı bir

x

pozitif gerçel sayısı için,

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2(x^2) \cdot \log_3(x^3) + \log_3(x^3) \cdot \log_5(x^5) + \log_5(x^5) \cdot \log_2(x^2)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan $x$ tam sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bu eşitliği sağlayan

x

tam sayısı

2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6

olup, bu sayının sondan 6 basamağı sıfırdır.

Logaritma kuralları (üs başa çarpım olarak geçer,

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

ve tabanlar aynı olduğunda toplam durumundaki logaritmaların içleri çarpılır) doğru bir şekilde uygulandığında

x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6

olarak bulunur. Bu sayının sondan sıfır sayısı ise çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına yani 6'ya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın üs özelliğini (

\log_a(x^k) = k \log_a x

) kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek

\log_2(x^2) = 2\log_2 x

,

\log_3(x^3) = 3\log_3 x

ve

\log_5(x^5) = 5\log_5 x

olarak bulunur.

Denklemdeki karmaşık ifadeleri sadeleştirmek ve ortak çarpanlar elde etmek için.

2

u = \log_2 x

,

v = \log_3 x

ve

w = \log_5 x

değişken değiştirmelerini yapmak ve denklemde yerine yazmak

u \cdot v \cdot w = (2u) \cdot (3v) + (3v) \cdot (5w) + (5w) \cdot (2u)

yani

uvw = 6uv + 15vw + 10wu

denklemi elde edilir.

Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi daha kolay görebilmek için.

3

x \neq 1

olduğundan

u, v, w \neq 0

olduğunu belirtip denklemin her iki tarafını

uvw

ifadesine bölmek

1 = \frac{15}{u} + \frac{10}{v} + \frac{6}{w}

denklemi elde edilir.

Değişkenleri rasyonel terimler halinde yazarak taban değiştirme kuralını uygulayabilmek için.

4

Taban değiştirme özelliğini (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) kullanarak terimleri

x

tabanında yazmak

1 = 15\log_x 2 + 10\log_x 3 + 6\log_x 5

denklemi elde edilir.

Logaritmaları aynı tabanda birleştirerek tek bir logaritma ifadesi elde etmek için.

5

Logaritmanın toplama ve üs özelliklerini (

\log_a y + \log_a z = \log_a (yz)

ve

k\log_a y = \log_a y^k

) kullanarak denklemi çözmek

1 = \log_x(2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6) \implies x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6

bulunur.

x

değerini açık biçimde elde etmek için.

6

x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6

sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak

Sondan sıfır sayısı, sayının çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına eşittir.

\min(15, 6) = 6

basamağı sıfırdır.

Sondan sıfır sayısını bulmak için 10 çarpanının adedini belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve üs özellikleri ile sayılar teorisinde asal çarpanlara ayırma prensiplerinin birlikte kullanımı.

Soru 66Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan $f(x) = |x - 3| - |x + 5|$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı -9'dur.

Fonksiyonun kuralları parçalı olarak incelendiğinde, yalnızca

[-5, 3]

aralığında negatif eğimli doğrusal bir fonksiyon (

f(x) = -2x - 2

) elde edilir. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralık

[-5, 3]

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı

-9

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktaları belirleme

x = -5

ve

x = 3

kritik noktalardır.

Mutlak değerlerin içerisini sıfır yapan noktalar fonksiyonun davranışının değiştiği sınırları belirler.

2

Aralıklara göre fonksiyon kurallarını bulma

x < -5

için

f(x) = 8

,

-5 \le x \le 3

için

f(x) = -2x - 2

ve

x > 3

için

f(x) = -8

olur.

Fonksiyonun artan veya azalan olduğu bölgeleri belirlemek için her alt aralıktaki cebirsel ifadesi elde edilmelidir.

3

Artan/azalanlık incelemesi yapma

Fonksiyon yalnızca

[-5, 3]

aralığında azalandır.

-5 \le x \le 3

aralığında fonksiyonun kuralı

f(x) = -2x - 2

olan negatif eğimli bir doğrudur ve bu aralıkta azalan davranışı gösterir. Diğer aralıklarda fonksiyon sabit olduğundan artan veya azalan değildir.

4

Tam sayıların toplamını hesaplama

-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -9

Azalan olunan

[-5, 3]

kapalı aralığındaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir aralıkta

x_1 < x_2

iken

f(x_1) > f(x_2)

oluyorsa fonksiyon o aralıkta azalandır. Doğrusal fonksiyonlarda eğim negatif ise fonksiyon azalandır.

Soru 67Soru →

\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 5'tir.

Verilen eşitsizlikte payın kökü

x = 3

, paydanın kökü ise

x = -2

değeridir. Eşitsizliğin işaret tablosu yapıldığında

(-2, 3]

aralığında ifadenin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu görülür. Paydanın kökü olan

-2

değeri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kıldığından açık aralıkla sınırlandırılır; payın kökü olan

3

ise sıfıra eşitliği sağladığı için kapalı aralıkla dahil edilir. Bu aralıkta yer alan tam sayılar

-1, 0, 1, 2, 3

olup toplamları 5 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve paydanın sıfıra eşitlenerek köklerinin bulunması

Payın kökü

x = 3

, paydanın kökü

x = -2

olarak elde edilir.

Eşitsizliğin işaret değişim sınırlarını belirlemek amacıyla kritik noktalar saptan��r.

2

İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi

İşaretler sırasıyla

(3, \infty)

için

+

,

(-2, 3)

için

-

ve

(-\infty, -2)

için

+

şeklindedir. İstenen bölge

(-2, 3]

aralığıdır.

İfadenin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi yapılır.

3

Belirlenen aralıktaki tam sayıların toplanması

-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5

sonucu bulunur.

Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde payda kökünün çözüm kümesine dahil edilmemesi ve işaret tablosunun oluşturulması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 68Soru →

f: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^2 - 10x + 24

fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta artandır.
Buna göre,

a

gerçek sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a gerçek sayısının alabileceği en küçük değer 5'tir.

Fonksiyonun tepe noktasının apsisi 5'tir ve kolları yukarı doğru olan bu parabol 5'ten büyük veya eşit

x

değerleri için artandır. Tanımlanan

[a, \infty)

aralığında fonksiyonun artan kalması için

a

değeri 5'ten küçük olamaz, bu nedenle en küçük değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama

r = 5

İkinci dereceden bir fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanl��ktan artanlığa geçtiği sınır noktası tepe noktasıdır.

2

Artan olduğu en geniş aralığı belirleme

[5, \infty)

aralığı

x^2

teriminin katsayısı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasından itibaren artan olur.

3

Verilen tanım kümesi ile artanlık aralığını karşılaştırma

a \ge 5

ve en küçük

a = 5

[a, \infty)

kümesinin tamamen artanlık aralığı olan

[5, \infty)

içinde kalması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) artan olduğu en geniş aralık, başkatsayısı pozitif ise

[r, \infty)

aralığıdır.

Soru 69Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}

fonksiyonu

f(x) = x^2 - 4x + 7

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun bu aralıkta alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 10'dur.

Fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasında 3, en büyük değeri ise uç noktalarda 7'dir. Toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

r = 2

ve

k = f(2) = 3

bulunur.

Parabolün en küçük/en büyük değer adaylarından biri tepe noktasıdır.

2

Tepe noktasının apsisinin tanımlı aralıkta olup olmadığını inceleyelim.

2 \in [0, 4]

olduğundan fonksiyonun en küçük değeri

f(2) = 3

olur.

Tepe noktası

[0, 4]

aralığının içinde yer alır.

3

Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım.

f(0) = 7

ve

f(4) = 7

bulunur. Bu değerler fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeridir.

Sınırlı aralıktaki sürekli fonksiyonların maksimum/minimum değerleri uç noktalarda veya tepe noktasında bulunabilir.

4

En büyük ve en küçük değerleri toplayalım.

7 + 3 = 10

bulunur.

Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralık uç noktaları incelenir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 70Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu artan, $g$ fonksiyonu ise azalan bir fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için

f(x^2 - 3x - 10) < f(2x + 4)

ve

g(x^2 - a) < g(12)

eşitsizlikleri veriliyor.

Bu iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan $x$ gerçel sayılarının en geniş kümesi $(3, 7)$ açık aralığı olduğuna göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri -3 olarak bulunur.

Artan fonksiyonlarda eşitsizlik yön korurken, azalan fonksiyonlarda eşitsizlik yön değiştirir. Elde edilen iki eşitsizlik sisteminin en geniş ortak çözüm aralığı incelendiğinde, sol taraftaki negatif aralığın boş küme kalması için sınır şartı sağlanmalı, sağ taraftaki pozitif aralığın alt sınırı ise 3 olmalıdır. Bu analizler sonucunda

a + 12 = 9

denklemi kurularak

a = -3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Artan fonksiyon tanımını kullanarak birinci eşitsizliği sadeleştirmek

x^2 - 3x - 10 < 2x + 4 \implies x^2 - 5x - 14 < 0 \implies x \in (-2, 7)

Artan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirmez.

2

Azalan fonksiyon tanımını kullanarak ikinci eşitsizliği sadeleştirmek

x^2 - a > 12 \implies x^2 > a + 12

.

C = a + 12 > 0

için çözüm kümesi

I_2 = (-\infty, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, \infty)

Azalan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirir.

3

İki çözüm kümesinin kesişimini analiz etmek

Kesişim kümesi:

((-2, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, 7))

En geniş ortak çözüm kümesinin

(3, 7)

aralığına eşit olması şartını incelemek için kesişim alt aralıkları belirlenir.

4

Kesişim kümesini

(3, 7)

aralığına eşitleyerek sınır değerlerini bulmak

C = 9

değeri

C \ge 4

şartını sağlar.

Sol taraftaki aralığın boş küme olması için

-\sqrt{C} \le -2 \implies C \ge 4

olmalı, sağ taraftaki aralığın başlangıç sınırının 3 olması için ise

\sqrt{C} = 3 \implies C = 9

olmalıdır.

5

Bilinmeyen

a

parametresini hesaplamak

a + 12 = 9 \implies a = -3

Tanımladığımız

C

değişkeninin değerini yerine yazarak

a

parametresine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı ve Eşitsizlik Çözümleriyle İlişkisi

Soru 71Soru →

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2(k - 2)x + 5

fonksiyonu

[3, \infty)

aralığında artandır.

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

g(x) = (k - 7)x^2 + 4x - 3

fonksiyonu

(-\infty, 1]

aralığında artandır.

Buna göre, $k$ gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

k gerçek sayısı 5'tir.

Verilen

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarının sırasıyla

[3, \infty)

ve

(-\infty, 1]

aralıklarında artan olabilmesi için parabollerin tepe noktaları ve yönleri analiz edilmelidir.

f(x)

'in baş katsayısı pozitif olduğundan tepe noktasının sağında artandır; bu durum

k-2 \le 3 \implies k \le 5

olmasını gerektirir.

g(x)

'in sol yarıda artan olabilmesi için kollarının aşağı doğru olması gerekir, bu da

k < 7

demektir. Bu durumda

g(x)

tepe noktasının solunda artan olup,

r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 \implies k \ge 5

elde edilir. Her iki koşulu da sağlayan yegane değer

k = 5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun artanlık aralığından

k

için bir sınır bulunması.

k \le 5

f(x) = x^2 - 2(k-2)x + 5

parabolünün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası

r_f = k-2

olup,

[r_f, \infty)

aralığında artandır.

[3, \infty)

aralığında artan olması için

[3, \infty) \subseteq [k-2, \infty)

olmalıdır, bu da

k-2 \le 3 \implies k \le 5

koşulunu getirir.

2

g(x)

fonksiyonunun yönünün (kollarının yönünün) belirlenmesi.

k < 7

g(x)

parabolünün

(-\infty, 1]

aralığında artan olması istenmektedir. Eğer parabolün kolları yukarı doğru olsaydı (

k > 7

), artan olduğu aralık

[r_g, \infty)

şeklinde sağdan sınırsız olurdu ve

(-\infty, 1]

aralığında artan olamazdı. Bu yüzden kollar aşağı doğru olmalıdır, yani

k - 7 < 0 \implies k < 7

olmalıdır.

3

g(x)

fonksiyonunun tepe noktasından

k

için alt sınır bulunması.

k \ge 5

Kolları aşağı doğru olan

g(x) = (k-7)x^2 + 4x - 3

parabolü tepe noktası

r_g = -\frac{4}{2(k-7)} = \frac{2}{7-k}

olmak üzere

(-\infty, r_g]

aralığında artandır.

(-\infty, 1]

aralığında artan olması için

(-\infty, 1] \subseteq (-\infty, r_g]

olmalıdır, bu da

r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1

eşitsizliğini verir.

k < 7

olduğundan

7-k > 0

olup, eşitsizliği

2 \ge 7-k \implies k \ge 5

olarak çözebiliriz.

4

Elde edilen eşitsizliklerin kesiştirilmesi.

k = 5

f(x)

'in artanlık koşulundan

k \le 5

,

g(x)

'in artanlık koşulundan ise

5 \le k < 7

elde edilmiştir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek gerçek sayı değeri

k = 5

'tir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) artan ve azalan oldukları aralıklar, tepe noktasının apsisi (

r = -b/2a

) ve baş katsayının işareti kullanılarak belirlenir.

Soru 72Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında incelenen bakteri popülasyonunun $t$ . saatteki sayısının (bin adet olarak) zamana göre değişimi $P(t) = a \cdot b^t + c$ fonksiyonu ile modellenmektedir (burada $a$ , $b$ ve $c$ birer gerçek sayı olup $b > 1$ ve $a > 0$ 'dır).

Bu modelde bakteri popülasyonunun;
- İlk 2 saatteki ( $[0, 2]$ zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte $6$ bin bakteri,
- 2. saat ile 4. saat arasındaki ( $[2, 4]$ zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte $24$ bin bakteridir.

Buna göre, bu bakteri popülasyonunun $[1, 3]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte kaç bin bakteridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bakteri popülasyonunun

[1, 3]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte 12 bin bakteridir.

Verilen iki farklı zaman aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek modelin katsayıları olan

a = 4

ve

b = 2

değerlerine ulaşılır. Sonrasında istenen

[1, 3]

aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında sonucun

12

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

[0, 2]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.

a(b^2 - 1) = 12

elde edilir.

Ortalama değişim hızı formülü

\frac{P(b) - P(a)}{b - a}

şeklindedir.

[0, 2]

aralığı için

\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = 6

eşitliği kullanılır.

2

[2, 4]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.

a \cdot b^2(b^2 - 1) = 48

elde edilir.

[2, 4]

aralığı için ortalama değişim hızı

\frac{P(4) - P(2)}{4 - 2} = 24

olarak verilmiştir.

3

Elde edilen iki denklem birbirine oranlanarak

b

taban değeri çözülür.

b^2 = 4

ve

b > 1

koşuluyla

b = 2

bulunur.

Her iki denklemde ortak olan

a(b^2 - 1)

terimlerini sadeleştirmek için bölme işlemi yapılır.

4

b = 2

değeri ilk denklemde yerine yazılarak

a

katsayısı bulunur.

a = 4

bulunur.

a(2^2 - 1) = 12 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4

elde edilir.

5

[1, 3]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı formülü kurularak hesaplama tamamlanır.

Ortalama değişim hızı

12

olarak hesaplanır.

\frac{P(3) - P(1)}{3 - 1} = \frac{4(2^3 - 2)}{2} = 12

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim miktarının bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.

Soru 73Soru →

Azalan bir

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonu yardımıyla

g(x) = f(x^2 - 6x + 8)

fonksiyonu tanımlanıyor.

$g$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık $(-\infty, a]$ olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. Azalan bir fonksiyon altında bileşke fonksiyonun artan olabilmesi için içteki fonksiyonun azalan olması gerekir. Buna göre x^2 - 6x + 8 parabolü tepe noktası olan x = 3'ün solunda, yani (-∞, 3] aralığında azalandır. Bu nedenle g fonksiyonu bu aralıkta artan olur ve a = 3 bulunur.

g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için içteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir (çünkü f azalandır). u(x) parabolünün tepe noktası apsisi 3 olduğundan, bu parabolün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır. Buradan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun artanlık koşulunu analiz etmek.

g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir.

f fonksiyonu azalan olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Bu yüzden, x arttıkça g(x) değerlerinin artması için girdisi olan u(x) değerlerinin azalması gerekir.

2

İçteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığı bulmak.

u(x) parabolünün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır.

Kolları yukarı doğru olan bir parabolün azalan olduğu bölge, tepe noktasının sol tarafıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3 olduğundan, azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olur.

3

a değerini tespit etmek.

a = 3 bulunur.

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olarak elde edilir. Soruda bu aralık (-∞, a] olarak verildiğinden a = 3'tür.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 74Soru →

Grafiği $y = x^2 - 4x - 12$ denklemiyle verilen parabolün, $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 8 birimdir.

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktaların apsisleri,

x^2 - 4x - 12 = 0

denkleminin kökleri olan

6

ve

-2

sayılarıdır. Analitik düzlemde bu noktalar arasındaki mesafe

|6 - (-2)| = 8

birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktaları bulmak için

y = 0

denklemi kurulur.

x^2 - 4x - 12 = 0

denklemi elde edilir.

Bir grafiğin

x

-eksenini kestiği noktalarda ordinat (

y

) değeri sıfırdır.

2

x^2 - 4x - 12 = 0

ifadesi çarpanlarına ayrılır ve kökler belirlenir.

(x - 6)(x + 2) = 0

eşitliğinden kökler

x_1 = 6

ve

x_2 = -2

olarak bulunur.

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.

3

Elde edilen apsis değerleri arasındaki mutlak fark hesaplanır.

|6 - (-2)| = 8

birim bulunur.

Koordinat düzleminde

x

-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların apsislerinin farkının mutlak değeridir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden bir

ax^2 + bx + c = 0

denkleminin kökleri arasındaki uzaklık

\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

formülüyle doğrudan hesaplanabilir.

\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64

olur. Buradan uzaklık

\frac{\sqrt{64}}{|1|} = 8

birim olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 75Soru →

f(x) = |x^2 - 2x - 3| - 2x

kuralıyla verilen $f$ fonksiyonunun $[-4, 4]$ kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri 29, en küçük değeri ise -6 olup bu değerlerin toplamı 23'tür.

Fonksiyonun

[-4, 4]

aralığındaki davranışı incelendiğinde, mutlak değerin tanımından ötürü fonksiyon parçalı bir yapıya bürünür. Bu aralıktaki yerel ekstremum noktaları ve sınır noktaları kontrol edildiğinde, fonksiyonun alabileceği en büyük değerin

x = -4

için

29

, alabileceği en küçük değerin ise

x = 3

için

-6

olduğu görülür. Bu iki değer toplandığında

23

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarını (köklerini) bulma

x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1

ve

x = 3

Mutlak değerin dışına çıkış durumunu belirlemek amacıyla fonksiyonun kritik noktalarını tespit etmek gerekir.

2

Fonksiyonu tanımlı olduğu aralıklara göre parçalı fonksiyon biçiminde yazma

x \le -1

veya

x \ge 3

için

f(x) = x^2 - 4x - 3

;

-1 < x < 3

için

f(x) = -x^2 + 3

Farklı aralıklarda fonksiyonun farklı kurallarla davrandığını görerek analiz etmek gerekir.

3

Birinci parçanın (

x \le -1

veya

x \ge 3

) aralık uçlarındaki ve tepe noktasındaki değerlerini inceleme

f(-4) = 29

,

f(-1) = 2

,

f(3) = -6

,

f(4) = -3

. Tepe noktası

x = 2

bu aralıklara ait değildir.

Sınır noktalarındaki değerleri hesaplayarak olası ekstremum adaylarını belirlemek gerekir.

4

İkinci parçanın (

-1 < x < 3

) tepe noktasını ve değerini inceleme

x = 0

tepe noktası bu aralıktadır ve bu noktada en büyük yerel değer

f(0) = 3

olur.

Aralık içinde kalan parabol tepe noktasının fonksiyon değerini hesaplayarak diğer aday ekstremum değerini bulmak gerekir.

5

Tüm aday değerler arasından mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri belirleyip toplama

En büyük değer

29

, en küçük değer

-6

olup toplamları

29 + (-6) = 23

bulunur.

Belirlenen tüm aday değerleri kıyaslayarak en büyük ve en küçük değerlerin toplamını elde etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin belirlenmesi

Soru 76Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu daima artandır.

g(x) = f(x^3 - 3x^2 - 9x + 12)

biçiminde tanımlanan

g

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık

[a, b]

olduğuna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen

a + b

toplamı

2

değerine eşittir.

Bileşke fonksiyonun türevi olan

g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)

ifadesinde

f

daima artan olduğundan ilk çarpan daima pozitiftir. Dolayısıyla

g'(x) \le 0

olması için ikinci çarpanın

3x^2 - 6x - 9 \le 0

olması gerekir. Bu eşitsizlik

[-1, 3]

aralığındaki gerçel sayılar için sağlandığından en geniş azalanlık aralığı

[-1, 3]

olur. Buradan

a = -1

,

b = 3

bulunur ve toplamları

2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türevini almak

g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)

Fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türevinin işaretini incelememiz gerekir.

2

Dış fonksiyonun türevinin işaretini belirlemek

f'(u) > 0

(her

u

gerçel sayısı için)

f

fonksiyonu daima artan olarak tanımlandığı için türevi daima pozitiftir.

3

İçteki fonksiyonun türevinin işaret tablosunu oluşturmak

3x^2 - 6x - 9 \le 0 \implies x \in [-1, 3]

g'(x) \le 0

olmasını sağlayan aralığı bulmak için bu eşitsizliği çözeriz.

4

a

ve

b

değerlerini bulup toplamı hesaplamak

a = -1

,

b = 3 \implies a + b = 2

[-1, 3]

aralığının uç noktaları

a

ve

b

olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevinin sıfırdan küçük veya eşit olması ve bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı uygulaması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 77Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = \min(x^2 - 4x + 6, \ x + 2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun $[0, 5]$ kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer ile en küçük de��erin toplamı 9'dur.

Kesişim noktaları belirlendikten sonra

[0, 5]

aralığında fonksiyonun en küçük değerinin

2

(hem

x = 0

hem de

x = 2

için) ve en büyük değerinin

7

(

x = 5

için) olduğu tespit edilir. Bu iki değerin toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafiklerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki ifadeyi birbirine eşitleyin.

x^2 - 4x + 6 = x + 2 \implies (x - 1)(x - 4) = 0

denkleminden kesişim noktalarının apsisleri

x = 1

ve

x = 4

olarak bulunur.

Fonksiyonun hangi aralıklarda hangi kuralı takip edeceğini belirlemek için kesişim noktaları kritik sınırlardır.

2

Aralıkları parçalara ayırarak fonksiyonun kurallarını belirleyin.

[0, 1]

aralığında

f(x) = x + 2

,

[1, 4]

aralığında

f(x) = x^2 - 4x + 6

,

[4, 5]

aralığında

f(x) = x + 2

olur.

Minimum fonksiyonunun tanımı gereği, her aralıkta görüntüsü daha küçük olan fonksiyon kuralı seçilir.

3

Her alt aralıkta en büyük ve en küçük değerleri inceleyin.

[0, 1]

aralığında değerler

2

ile

3

arasındadır.

[1, 4]

aralığında tepe noktasında en küçük değer

2

olur.

[4, 5]

aralığında değerler

6

ile

7

arasındadır.

Alt aralıklardaki yerel ekstremumları ve sınır değerlerini belirlemek genel maksimum ve minimumu bulmayı sağlar.

4

Genel maksimum ve minimum değerleri belirleyip toplayın.

En büyük değer

7

, en küçük değer

2

olup toplamları

7 + 2 = 9

bulunur.

Tüm alt aralıklardaki en büyük ve en küçük değerlerin karşılaştırılmasıyla mutlak ekstremum değerlerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlanan veya iki fonksiyonun minimumu/maksimumu şeklinde verilen fonksiyonların, sınır noktaları ve kritik noktaları (kesişim noktaları ve parabol tepe noktası) incelenerek en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 78Soru →

Dik koordinat düzleminde,

b

ve

c

gerçek sayılar ve

c > 0

olmak üzere,

f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c

fonksiyonunun grafiği olan parabol

x

-eksenini farklı

A

ve

B

noktalarında,

y

-eksenini ise

C

noktasında kesmektedir.

$A$ , $B$ ve $C$ noktalarından geçen çember, $y$ -eksenini $C$ noktasından farklı bir $D$ noktasında daha kesmektedir.

$C$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık $9$ birim ve köşe noktaları $A$ , $B$ ve $D$ olan üçgenin alanı $12$ birimkare olduğuna göre, $b^2$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir.

Çemberde kuvvet özelliği gereği, dik koordinat sisteminde eksenleri kesen çemberin kesim noktalarının koordinatları arasında

x_1 x_2 = y_1 y_2

bağıntısı vardır. Buradan ikinci kesim noktası

D(0, -2)

bulunur. Uzaklık bağıntısından

c = 7

ve alan bağıntısından kökler farkı

|x_1 - x_2| = 12

elde edilerek ikinci dereceden denklemin diskriminant bağıntısı çözüldüğünde

b^2 = 22

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve kök ilişkilerini yazmak.

C(0, c)

noktası

y

-eksenini kestiği noktadır.

A(x_1, 0)

ve

B(x_2, 0)

ise

x

-eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar

-\frac{1}{2}x^2 + bx + c = 0 \implies x^2 - 2bx - 2c = 0

denkleminin kökleridir. Buradan kökler çarpımı

x_1 x_2 = -2c

olur.

Parabolün eksenleri kestiği noktaların çember denklemiyle olan ilişkisini kurabilmek için.

2

Çemberin eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik bağıntıyı (kuvvet teoremini) uygulamak.

A, B, C

noktalarından geçen çemberin

y

-eksenini kestiği diğer nokta

D(0, d)

olsun. Çemberin eksenleri kestiği noktalar için

x_1 x_2 = c \cdot d

eşitliği geçerlidir. Buradan

-2c = c \cdot d

ve

c > 0

olduğu için

d = -2

elde edilir.

D

noktası

(0, -2)

olarak bulunur.

Çemberin

y

-eksenini kestiği ikinci noktanın koordinatını bulmak için.

3

C

ve

D

noktaları arasındaki uzaklığı kullanarak

c

parametresini hesaplamak.

C(0, c)

ve

D(0, -2)

noktaları arasındaki uzaklık

|c - (-2)| = c + 2

birimdir.

c + 2 = 9 \implies c = 7

olarak bulunur.

Parabolün sabit terimi olan

c

değerini netleştirmek için.

4

Üçgenin alan bilgisini kullanarak kökler arasındaki mesafeyi bulmak.

ABD

üçgeninin tabanı

x

-ekseni üzerindeki

AB

doğru parçası olup uzunluğu

|x_1 - x_2|

birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise

D(0, -2)

noktasının

x

-eksenine uzaklığı olan

2

birimdir.

\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |x_1 - x_2| \cdot 2 = 12 \implies |x_1 - x_2| = 12

olur.

x

-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulmak için.

5

Kökler farkı formülünü kullanarak

b^2

değerini çekmek.

c = 7

için denklemimiz

x^2 - 2bx - 14 = 0

olur. Kökler farkı

|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{(-2b)^2 - 4(1)(-14)} = \sqrt{4b^2 + 56} = 2\sqrt{b^2 + 14}

şeklindedir.

2\sqrt{b^2 + 14} = 12 \implies \sqrt{b^2 + 14} = 6 \implies b^2 + 14 = 36 \implies b^2 = 22

elde edilir.

Kökler farkı ile denklem katsayıları arasındaki ilişkiyi kurarak bilinmeyen

b^2

değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile ikinci dereceden denklemlerin kök-katsayı ilişkilerinin ve çemberde kuvvet özelliğinin bir arada kullanılması.

Soru 79Soru →

Bir hareketlinin zamana ( $t$ ) bağlı konumunu gösteren $s(t)$ fonksiyonu için;

- $[1, 4]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_1$ ,
- $[4, 9]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_2$ ,
- $[1, 9]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_3$

olarak tanımlanmıştır.

Bu değerler arasında

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

bağıntısı olduğuna göre, $v_3$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortalama değişim hızları arasındaki ilişkiden elde edilen

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

denklemi, soruda verilen

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

eşitliğinde yerine yazıldığında

v_3 = 3

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında

s(4) - s(1) = 3v_1

,

s(9) - s(4) = 5v_2

ve

s(9) - s(1) = 8v_3

eşitlikleri bulunur. Değişimlerin toplamı özelliğinden dolayı

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

yazılır. Verilen denklemde bu ifade yerine konulduğunda

8v_3 - 4v_3 = 12

denkleminden

v_3 = 3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

v_1

,

v_2

ve

v_3

değerlerini ortalama değişim hızı tanımına göre

s(t)

cinsinden ifade edin.

v_1 = \frac{s(4) - s(1)}{3}

,

v_2 = \frac{s(9) - s(4)}{5}

ve

v_3 = \frac{s(9) - s(1)}{8}

elde edilir.

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

formülüyle hesaplanır.

2

Elde edilen ifadeleri düzenleyerek aralarındaki cebirsel ilişkiyi belirleyin.

s(4) - s(1) = 3v_1

,

s(9) - s(4) = 5v_2

ve

s(9) - s(1) = 8v_3

olur.

[1, 9]

aralığındaki toplam değişim,

[1, 4]

ve

[4, 9]

aralıklarındaki değişimlerin toplamına eşit olduğundan

(s(4) - s(1)) + (s(9) - s(4)) = s(9) - s(1)

yazılır. Buradan

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

eşitliğine ulaşılır.

Farklı alt aralıklardaki net değişim miktarlarının toplamı, birleşik aralıktaki toplam değişime eşittir.

3

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

ilişkisini soruda verilen denklemde yerine yazarak bilinmeyen

v_3

değerini çözün.

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 \implies 8v_3 - 4v_3 = 12 \implies 4v_3 = 12 \implies v_3 = 3

bulunur.

Tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun o aralıktaki değişim miktarının aralık uzunluğuna oranıdır.

Soru 80Soru →

f(x) = 2x^2 - mx + n

parabolü koordinat eksenlerini

A(0, -12)

ve

B(2, 0)

noktalarında kesmektedir.

Buna göre, bu parabolün $x$ -eksenini kestiği diğer noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Parabolün x-eksenini kestiği diğer noktanın apsisi -3'tür.

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatları fonksiyonda yerine yazıldığında denklemi sağlar. A(0, -12) noktası n = -12 değerini verir. B(2, 0) noktası ise f(2) = 8 - 2m - 12 = 0 eşitliğinden m = -2 değerini verir. Parabol denklemi f(x) = 2x^2 + 2x - 12 olur. Bu fonksiyonu sıfır yapan x değerleri x = 2 ve x = -3 olduğundan, diğer noktanın apsisi -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

y-eksenini kestiği noktayı denklemde yerine yazarak n katsayısını bulma

n = -12

Parabolün y-eksenini kestiği A(0, -12) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(0) = -12 eşitliğinden n = -12 elde edilir.

2

x-eksenini kestiği bilinen noktayı denklemde yerine yazarak m katsayısını bulma

m = -2

Parabolün x-eksenini kestiği B(2, 0) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(2) = 2(2)^2 - m(2) - 12 = 0 denkleminden m = -2 bulunur.

3

Katsayıları yerine yazıp elde edilen denklemin diğer kökünü bulma

x = -3

f(x) = 2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x + 3)(x - 2) = 0 denkleminin kökleri x = 2 ve x = -3'tür. Bize sorulan diğer noktanın apsisi -3'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmak için x = 0 (y-kesim noktası) ve y = 0 (x-kesim noktaları) değerleri kullanılır.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap